圆心角定理

圆心角定理(弧、弦、圆心角关系定理)基本内容：1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

2、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

3、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

在理解时要注意：⑴前提：在同圆或等圆中；⑵条件与结论：在①两条弧相等；②两条弦相等；③两个圆心角相等中，只要有一个成立，则有另外两个成立。

基本概念理解：1．在同圆或等圆中，若的长度＝的长度，则下列说法正确的个数是（ ）①的度数等于；②所对的圆心角等于所对的圆心角；③和是等弧；④所对的弦心距等于所对的弦心距。

A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，在两半径不同的同心圆中，︒=''∠=∠60B O A AOB ，则（ ）A ．B ．C ．的度数=的度数D ．的长度=的长度3．下列语句中，正确的有（ ） （1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧； （4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个4．已知弦AB 把圆周分成1:5的两部分，这弦AB 所对应的圆心角的度数为 ． 5．在⊙O 中，的度数240°，则的长是圆周的 份．概念的延伸及其基本应用：1．在同圆或等圆中，如果圆心角BOA ∠等于另一圆心角COD ∠的2倍，则下列式子中能成立的是（ ）2．在同圆或等圆中，如果，则AB 与CD 的关系是（ ）A ．CD AB 2> B ．CD AB 2=C ．CD AB 2< D ．CD AB =（2题图）3．在⊙O 中，圆心角︒=∠90AOB ，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为（ ）A ．24B ．28C ．24D ．164．在⊙O 中，两弦CD AB <，OM ，ON 分别为这两条弦的弦心距，则OM ，ON 的关系是（ ）A ．ON OM >B ．ON OM =C ．ON OM <D ．无法确定 5．已知：⊙O 的半径为4cm ，弦AB 所对的劣弧为圆的31，则弦AB 的长为 cm ，AB 的弦心距为 cm ．6．如图，在⊙O 中，AB ∥CD ，的度数为45°，则∠COD 的度数为 ．典型例题精析：例题1、如图，已知：在⊙O 中，OA ⊥OB ，∠A=35°，求和的度数.解：连结OC ，在Rt △AOB 中，∠A=35° ∴∠B=55°，又∵OC=OB ， ∴∠COB=180°-2∠B=70°，∴的度数为70°，∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°，∴的度数为20°.说明：连结OC ，通过求圆心角的度数求解。

此题是基本题目，目的是巩固基础知识. 例题2、如图，已知：在⊙O 中，=2，试判断∠AOB 与∠COD ，AB 与2CD 之间的关系，并说明理由.分析：根据条件确定图形，观察、分析、猜想，特别是解：∠AOB=2∠COD ， AB<2CD ，理由如下：如图，在⊙O 上取一点C ’，使=.∴∠COD=∠DOC’∵=2，∴，=+=.∴AB=CC’. ∠AOB=∠CO C’=∠COD+∠DOC’=2∠COD又∵在△CD C’中，CD+DC’> CC’，∴CC’ <2CD ，即AB<2CD.说明：①证明两条线段的不等关系，常常把两条线段放到一个三角形中。

②此题进一步理解定理及其推论的应用条件，在“相等”问题中的不等量.由=2可得∠AOB=2∠COD 是正确的，但由=2得出AB=2CD ，是错误的，培养学生在学习中的迁移能力.例题3、如图，已知：AB 是⊙O 直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，求证：=.分析：要证弧相等，可以证弧对应的弦相等，弧对应的圆心角相等.A（6题图）1图）（例题4图）（例题5图）证法一：连结AC 、OC 、OD 、BD ，∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ， ∴AC= OC 、OD=BD 又∵OC=OD ，∴AC= BD ，∴=.证法二：连结OC 、OD ，∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点，∴OM=21AO ，ON=21BO ， ∵OA=OB ，∴OM=ON ，∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴OC=OD ，∴Rt △COM ≌Rt △DON ，∴∠COA=∠DOB ，∴=.证法三、如图，分别延长CM 、DN 交⊙O 于E 、F ， ∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点，∴OM=21AO ，ON=21BO ， ∵OA=OB ，∴OM=ON ，又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴CE=DF ，∴=∵=21，=21，∴=.说明：此题是利用本节定理及推论应用的优秀题目，题目不难，但方法灵活，培养学生灵活解决问题的能力和基本的辅助线的作法.例题4、如图，C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 点作弦DE ，使CD ＝CO ，若的度数为40°，求的度数．分折： 要求的度数，可求它所对的圆心角∠BOE 的度数，如图作辅助线，通过等量转换得出结果．解： 连OE 、OD 并延长DO 交⊙O 于F ． ∵的度数为40°，∴∠AOD=40°．∵CD ＝CO ， ∴∠ODE ＝∠AOD ＝40°． ∵OD ＝OE ， ∴∠E ＝ ∠ODE ＝40°．∴∠EOF=∠E+∠ODE=80°，∠BOF= ∠AOD ＝40°， 则∠BOE=∠EOF +∠BOF =80°+40°=120°，∴的度数为120°．说明：此题充分体现了圆中的等量转换以及圆中角度的灵活变换． 例题5、如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于CD 并交CD 于E ；直径MN 交CD 于F ，且OE FD FO 2==，求的度数.解 连结OD .CD AB ⊥于E ，且OE OF 2=. ︒=∠∴30EFO ，︒=∠60EOF ，ABABA（例题3图1）（例题6图）（例题7图）又FD OF = .︒=∠=∠∴15FOD FDO ︒=∠∴75AOD ，的度数是︒150.说明：由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而我们对角是比较熟悉的，所以求弧的度数的问题往往转化为求它所对的圆心角度数的问题.例题6、已知：如图，M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点，CD AB =，求证：CNM AMN ∠=∠.分析：由弦CD AB =，想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之间的关系定理，又M 、N 分别为AB 、CD 的中点，如连结OM ，ON ，则有ON OM =，AB OM ⊥，CD ON ⊥，故易得结论.证明 连结OM 、ON ，O 为圆心，M 、N 分别为弦AB 、CD 的中点， CD ON AB OM ⊥⊥∴,.CD AB = ON OM =∴ONM OMN ∠=∠∴ONM CNM OMN AMN ∠-︒=∠∠-︒=∠90,90CNM AMN ∠=∠∴说明：有弦中点，常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来证题.例题7、如图，已知⊙O 中，，OB 、OC 分别交AC 、DB 于点M ，N ，求证：OMN ∆是等腰三角形.分析：由，应得：AC OM ⊥，BD ON ⊥，因此，只要证明BD AC =就可以证明MON ∆是等腰三角形.说明：在本题中，请注意垂径定理基本图形在证明中的作用.例题8、如图，已知AB 为⊙O 的弦，从圆上任一点引弦AB CD ⊥，作OCD ∠的平分线交⊙O 于P 点，连接PB PA ,. 求证：PB PA =. 证明：连结OP .∵ ,OP CO =∴ OPC OCP ∠=∠. ∵ CP 是DCO ∠的平分线，∴ OCP DCP ∠=∠.∴OP ∥CD . ∵ ,AB CD ⊥∴ AB OP ⊥.∴ .PB PA =∴说明：本题考查在同圆中等弧对等弦及垂径定理的综合应用，解题关键是连结OP ，证AB OP ⊥.易错点是囿于用全等三角形的办法证明PA 与PB 相等而使思维受阻或证明繁杂.作业：1．已知⊙O 的半径为R ，弦AB 的长也为R ，则AOB ∠=_________，弦心距是_______2． 在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的31，圆的半径为cm 2，则AB =_________ 3．圆的一条弦把圆分为度数的比为5:1的两条弧，如果圆的半径为R ，则弦长为______，该弦的弦心距为__________4．如图，直径CD AB ⊥，垂足为E ，︒=∠130AOC ，则的度数为_______，的度数为________5．在矩形、等腰直角三角形、圆、等边三角形四种几何图形中，只有一条对称轴的几何图形是________6．⊙O 中弦AB 是半径OC 的垂直平分线，则的度数为_______7．已知⊙O 的半径为cm 5，的度数是︒120，则弦AB 的长是________8．如果一条弦将圆周分成两段弧，它们的度数之比为1:3，那么此弦的弦心距的长度与此弦的长度的比是________ 9．已知：在直径是10的⊙O 中，的度数是60°．求弦AB 的弦心距．10．已知：如图，⊙O 中，AB 是直径，CO ⊥AB ，D 是CO 的中点，DE ∥AB ，求证：=2．11．如图，⊙O 内两条相等的弦AB 与CD 相交于P ，求证：PD PB =PA=PB12．如图，⊙1O 和⊙2O 是等圆，M 是两圆心21O O 的中点，过M 任作一直线分别交⊙1O 于A ，B ，交⊙2O 于C ，D ，求证：=13．如图，已知⊙O 的直径AC 为cm 20，的度数为 60，求弦AB 的弦心距的长。

例 如图，已知：在⊙O 中，=2，试判断∠AOB 与∠COD ，AB 与2CD 之间的关系，并说明理由.分析：根据条件确定图形，观察、分析、猜想，特别是两条线段的不等关系，常常把两条线段放到一个三角形中.解：∠AOB=2∠COD ， AB<2CD ，理由如下： 如图，在⊙O 上取一点C ’，使=.∴∠COD=∠DOC ’∵=2，∴，=+=.∴AB=CC ’. ∠AOB=∠CO C ’=∠COD+∠DOC ’=2∠COD又∵在△CD C ’中，CD+DC ’> CC ’，∴CC ’ <2CD ，即AB<2CD.说明：此题进一步理解定理及其推论的应用条件，在“相等”问题中的不等量.由=2可得∠AOB=2∠COD 是正确的，但由=2得出AB=2CD ，是错误的，培养学生在学习中的迁移能力.例 如图，已知：AB 是⊙O 直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，求证：=.分析：要证弧相等，可以证弧对应的弦相等，弧对应的圆心角相等. 证法一：连结AC 、OC 、OD 、BD ，∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ， ∴AC= OC 、OD=BD 又∵OC=OD ，∴AC= BD ，∴=.证法二：连结OC 、OD ，∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点，∴OM=21AO ，ON=21BO ， ∵OA=OB ，∴OM=ON ，∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴OC=OD ，∴Rt △COM ≌Rt △DON ，∴∠COA=∠DOB ，∴=.证法三、如图，分别延长CM 、DN 交⊙O 于E 、F ， ∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点，∴OM=21AO ，ON=21BO ， ∵OA=OB ，∴OM=ON ，又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴CE=DF ，∴=∵=21，=21，∴=.说明：此题是利用本节定理及推论应用的优秀题目，题目不难，但方法灵活，培养学生灵活解决问题的能力和基本的辅助线的作法.例 如图，已知：在⊙O 中，OA ⊥OB ，∠A=35°，求和的度数.分析：连结OC ，通过求圆心角的度数求解. 解：连结OC ，在Rt △AOB 中，∠A=35° ∴∠B=55°，又∵OC=OB ， ∴∠COB=180°-2∠B=70°，∴的度数为70°，∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°， ∴的度数为20°.说明：此题是基本题目，目的是巩固基础知识.例 如图，C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 点作弦DE ，使CD ＝CO ，若的度数为40°，求的度数．ABAB分折： 要求的度数，可求它所对的圆心角∠BOE 的度数，如图作辅助线，通过等量转换得出结果．解： 连OE 、OD 并延长DO 交⊙O 于F ． ∵的度数为40°，∴∠AOD=40°．∵CD ＝CO ， ∴∠ODE ＝∠AOD ＝40°． ∵OD ＝OE ， ∴∠E ＝ ∠ODE ＝40°．∴∠EOF=∠E+∠ODE=80°，∠BOF= ∠AOD ＝40°， 则∠BOE=∠EOF +∠BOF =80°+40°=120°，∴的度数为120°．说明：此题充分体现了圆中的等量转换以及圆中角度的灵活变换．典型例题五例 （北京市朝阳区试题，2002）已知：如图，ABC ∆内接于⊙O ，AD 是⊙O 的直径，点E 、F 分别在AB 、AC 的延长线上，EF 交⊙O 于点M 、N ，交AD 于点H ，H 是OD的中点，，2=-HF EH ，设α=∠ACB ，43tan =α，EH 和HF 是方程()0422=++-k x k x 的两个实数根.（1）求EH 和HF 的长； （2）求BC 的长. 解：（1）依题意，有一元二次方程根与系数关系，得()[]04412>⨯-+-=k k ∆，① 2+=+k HF EH ， ②A04>=⋅k HF EH ， ③ 又2=-HF EH . ④ 由②、③、④得 12=k . 当12=k 时，①成立.把12=k 代入原方程解得 81=x ,62=x ∴8=EH ，6=HF . （2）解法一：连结BD ，∴α∠=∠1.∵AD 是⊙O 的直径，∴︒=∠90ABD .∵， ∴EF AD ⊥. 即︒=∠=∠90AHF AHE . ∴α∠=∠=∠1E .在AEH Rt ∆中，43tan tan ===αEH AH E ，又8=EH . ∴6=AH . 由勾股定理得10=AE . 在AHF Rt ∆中，6==HF AH ，由勾股定理得26=AF .在ABD Rt ∆中，43tan 1tan ===∠αBD AB . 设m AB 3=，则m BD 4=，由勾股定理得m AD 5=.∵H 是OD 的中点，∴AD AH 43=.∴863434=⨯==AH AD .∴85=m . 解得58=m .∴5243==m AB . …………………………11分∴α∠=∠E ，FAE BAC ∠=∠， ∴ABC ∆∽AFE ∆. ∴AFAB EF BC =. ∴()()25282668524=+⨯=+=AF HF EH AB BC . …………………………14分 解法二：同解法一求出10=AE ，8=AD . 连结CD .∵HF AH =，且HF AH ⊥， ∴︒=∠=∠45F HAF ∵AD 为⊙O 直径，∴︒=∠90ACD ，︒=∠45ADC .∴2445sin sin =︒⋅=∠⋅=AD ADC AD AC . ……………………11分以下同解法一可求得2528101424=⨯=⋅=AE EF AC BC . 说明：这是一道综合性较强的题目，主要考查一元二次方程的韦达定理和圆的一些知识。