中考必会几何模型：角平分线四大模型

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角平分线的四大模型

角平分线的四大模型模型1：角平分线的点向两边作垂线如图，P是∠M O N的平分线上一点，过点P作PA⊥O M于点A，PB⊥O N于点B，则PB＝PA模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口例题1 （1）如图①，在⊥ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6，BD＝4，那么点D 到直线AB的距离是（2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC1.如下图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC，求证：∠BAD＋∠BCD＝180°模型2：截取构造对称全等如图，P是∠M O N的平分线上的一点，点A是射线O M上任意一点，在O N上截取O B＝O A，连接PB，则⊥O PB⊥⊥O PA模型实例例题2 （1）如图①所示，在⊥ABC中，AD是⊥BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由（2）如图②所示，AD是⊥ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－PB与AC－AB 的大小，并说明理由巩固提升1.已知，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC＝16，AD＝8，求线段BC的长模型3：角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠M O N的平分线上一点，AP丄O P于P点，延长AP交O N于点.B，则⊥A O B是等腰三角形.模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.模型实例例题3 如图，己知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，C£丄BD.垂足为E.求证：BD=2C£.巩固提升1.如图，在⊥ABC中.BE是角平分线.AD丄BE.垂足为D.求证：∠2=∠1+∠C.模型4：角平分线+平行线模型分析有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线. 构造等腰三角形.为证明结论提供更多的条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.模型实例例题4 解答下列问题：(1)如图①.⊥ABC中，EF∥BC，点D在EF上，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB.写出线段EF 与BE、CF有什么数量关系？(2)如图②，BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACG. DE//BC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由.(3)如图③，BD 、CD 为外角∠CBM 、∠BCN 的平分线，DE //BC 交AB 延长线于点E .交AC 延长线于点F ，直接写出线段EF 与BE 、CF 有什么数关系？巩固提升1.如图，在⊥ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E .过点E 作MN ∥BC 交AB 于M 点. 交AC 于N 点.若BM +CN =9，则线段MN 的长为 .课后练习1．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF △AB ，F 为垂足．下列结论：△△ABD ≌△EBC ；△∠BCE +∠BCD =180°；△AD=AE ；△BA +BC =2BF ．其中正确的是（）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△ 2．如图，中，，，垂足为，若，，则的长为（）A ．B ．C ．D ．4ABC ∆135ACB ∠=︒CD AB ⊥D 6AD =20BD =CD72。

中考数学几何模型复习专题01 角平分线的五种模型(学生版+解析版)

中考数学几何模型复习专题01 角平分线的五种模型模型一、角平分线垂两边【例1】如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2B．6：4C．2：3D．不能确定【例2】如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为___．【变式训练1】如图所示，在四边形ABCD中，DC//AB，∠DAB =90°，AC BC，AC =BC，∠ABC的平分线交A D，AC于点E、F，则BFEF的值是___________.【变式训练2】如图，BD平分ABC的外角∠ABP，DA=DC，DE∠BP于点E，若AB=5，BC=3，求BE的长．【变式训练3，的平分线相交于点E ，过点E 作交AC 于点F ，则EF 的长为 .模型二、角平分线垂中间【例3】如图，已知，90,,BAC AB AC BD ∠=︒=是ABC ∠的平分线，且CE BD ⊥交BD 的延长线于点E ．求证：2BD CE =．【变式训练1】如图，已知∠ABC ，∠BAC ＝45°，在∠ABC 的高BD 上取点E ，使AE ＝BC ．（1）求证：CD ＝DE ；（2）试判断AE 与BC 的位置关系？请说明理由；【变式训练2】如图，D 是△ABC 的BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，AE ⊥CE 于点E ，且AB =10，AC =16，则DE 的长度为________【变式训练3】如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形【例4】如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =13CE 时，EP +BP =________.【变式训练1】平分于点C ，，求OC 的长？【变式训练2C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且，则AC=．模型四、利用角平分线作对称例.平分.【变式训练】AD是∠ABC的角平分线，过点D作DE∠AB于点E，且DE＝3，S∠ABC＝20．（1）如图1，若AB＝AC，求AC的长；（2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长．模型五、内外模型【例5】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠AC E的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°的平分线CP与内角BP交于点P，若，则.课后训练4321DA1．如图，BD 是ABC 的外角∠ABP 的角平分线，DA ＝DC ，DE ∠BP 于点E ，若AB ＝5，BC ＝3，则BE 的长为（）A ．2B ．1.5C ．1D ．02．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，若7ABC S =△，32=DE ，5AB =，则AC 的长为（）A ．133B ．4C ．5D ．63．如图，在Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，CD ＝2，BD ＝3，Q 为AB 上一动点，则DQ 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2.5 D4．如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝6，BC ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD的面积是______．5．如图，在∠ABC中，AD为∠ABC的角平分线，DE∠AB，垂足为E，DF∠AC，垂足为F，若AB=5，AC=3，DF=2，则∠ABC的面积为______．6．在∠ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是∠ABC的外角∠ACD和∠ABC的平分线交于点E，则∠AEB ＝_____∠7．如图，DE∠AB于E，DF∠AC于F，若BD=CD，BE=CF．（1）求证：AD平分∠BAC：（2）已知AC=18，BE=4，求AB的长．8．如图1，在平面直角坐标系中，∠ABC的顶点A（-4，0），B（0，4），AD∠BC交BC于D点，交y轴正半轴于点E（0，t）（1）当t=1时，点C的坐标为；（2）如图2，求∠ADO的度数；（3）如图3，已知点P（0，3），若PQ∠PC，PQ=PC，求Q的坐标（用含t的式子表示）．9AB为直径，CD D，求证：.中考数学几何模型复习专题01 角平分线的五种模型模型一、角平分线垂两边例1.如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2B．6：4C．2：3D．不能确定【答案】A【详解】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∵AD为∠BAC的平分线，∴DE=DF，又AB：AC=3：2，∴S△ABD：S△ACD=（12AB•DE）：（12AC•DF）=AB：AC=3：2．故选A．例2.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为___．【答案】2【详解】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵PC//OA，∴∠CPO＝∠POD，又∠AOP＝∠BOP＝15°，∴∠CPO＝∠BOP＝15°，又∠ECP为△OCP的外角，∴∠ECP＝∠COP＋∠CPO ＝30°，在直角三角形CEP 中，∠ECP ＝30°，PC ＝4，∴PE ＝12PC ＝2，则PD ＝PE ＝2．故答案为：2．【变式训练1】如图所示，在四边形ABCD 中，DC //AB ，∠DAB =90°，AC ⊥BC ，AC =BC ，∠ABC 的平分线交AD ，AC 于点E 、F ，则BFEF的值是___________.11221BCBC BC ==--【详解】解：如图，作FG ⊥AB 于点G ，∠DAB -90°，∴FG /AD ，∴BF EF =BGAGAC ⊥BC ，∴∠ACB =90° 又BF 平分∠ABC ，∴FG =FC 在Rt △BGF 和Rt △BCF 中BF BFCF GF=⎧⎨=⎩ ∴△BGF ≌△BCF （HL ），∴BC =BGAC =BC ，∴∠CBA =45°，∴AB =2BC1BF BG BC EF AG AB BG ∴===- 【变式训练2】如图，BD 平分ABC 的外角∠ABP ，DA =DC ，DE ⊥BP 于点E ，若AB =5，BC =3，求BE 的长．【答案】1【详解】解：过点D 作BA 的垂线交AB 于点H ，∵BD平分△ABC的外角∠ABP，DH⊥AB，∴DE＝DH，在Rt△DEB和Rt△DHB中，DE DHDB DB=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEB≌Rt△DHB（HL），∴BE＝BH，在Rt△DEC和Rt△DHA中，DE DHDC DA=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEC≌Rt△DHA（HL），∴AH＝CE，由图易知：AH＝AB−BH，CE＝BE＋BC，∴AB−BH＝BE＋BC，∴BE＋BH＝AB−BC＝5−3＝2，而BE＝BH，∴2BE＝2，故BE＝1．【变式训练3，，的平分线相交于点E，过点E作交AC于点F，则EF的长为.【答案】【解析】延长FE交AB于点D G H，如图所示：四边形BDEG是矩形，平分CE平分，四边形BDEG是正，，设，则，，，解得，，即，解得，.模型二、角平分线垂中间例．如图，已知，90,,BAC AB AC BD ∠=︒=是ABC ∠的平分线，且CE BD ⊥交BD 的延长线于点E ．求证：2BD CE =．【答案】见解析【详解】证明：如图，延长CE 与BA 的延长线相交于点F ，∵90,90EBF F ACF F ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴EBF ACF ∠=∠，在ABD △和ACF 中，EBF ACF AB AC BAC CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABD ACF ASA △≌△，∴BD CF =，∵BD 是ABC ∠的平分线，∴EBC EBF ∠=∠．在BCE ∆和BFE ∆中，EBC EBF BE BE CEB FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BCE BFE ASA ≌△△， ∴CE EF =，∴2CF CE =， ∴2BD CF CE ==．【变式训练1】如图，已知△ABC ，∠BAC ＝45°，在△ABC 的高BD 上取点E ，使AE ＝BC ．（1）求证：CD ＝DE ；（2）试判断AE 与BC 的位置关系？请说明理由；【答案】（1）见解析；（2）AE BC ⊥，理由见解析；（3）【详解】（1）证明：∵BD AC ⊥，45BAC ∠=︒，∴90,45EDA BDC ABD BAD ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴AD BD =，在Rt ADE △和Rt BDC 中，∵AD BDAE BC =⎧⎨=⎩∴()Rt ADE Rt BDC HL ≅，∴CD ＝DE ；（2）AE BC ⊥，理由如下：如图，延长AE ，交BC 于点F ，由（1）得,90EAD EBF EAD AED ∠=∠∠+∠=︒，∵AED AEF ∠=∠，∴90BEF EBF ∠+∠=︒，∴90EFB =︒，即AE BC ⊥；【变式训练2】如图，D 是△ABC 的BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，AE ⊥CE 于点E ，且AB =10，AC =16，则DE 的长度为________【答案】3【解答】解：如图，延长CE ，AB 交于点F .AE 平分∠BAC ，AE ⊥EC ，∴∠F AE =∠CAE ，∠AEF =∠AEC =90°在△AFE 和△ACE 中，EAF EAC AE AE AEF AEC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠，∴△AFE ≌ACE （ASA ），∴AF =AC =16，EF =EC ，∴BF =6又D 是BC 的中点，∴BD =CD ，∴DE 是△CBF 的中位线，∴DE =12BF =3，故答案为：3. 【变式训练3】如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.【答案】见解析【解答】证明：延长AD 交BC 于点F .CD 平分ACF ∠, ACD FCD ∴∠=∠.又,,AD CD CD CD ⊥=ADC ∴∆≌FDC ∆,AD FD ∴=. 又DE ∥BC ,EA EB ∴=.模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形例.如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =13CE 时，EP +BP =________.【答案】12【解答】解：如图，延长BQ 交射线EF 于点M .E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF //BC ，∴∠CBM =∠EMBBM 平分∠ABC ，∴∠ABM =∠CBM ，∴∠EMB =∠EBM ，∴EB =EM ，∴EP +BP =EP +PM =EM CQ =13CE ，∴EQ =2CQ由EF //BC 得，△EMQ ∽△CBQ∴2 212 12EM EQEM BC EP BP BC CQ==∴==∴+=【变式训练1】如图，平分于点C ，，求OC 的长？【解析】如图所示：过点D 作交OA 于点E ，平分，，，.【变式训练2C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AC=．【解析】过点E于G，连接CF，如图所示：分别是的平分线，，CF是的平分线，，，由勾股定理可得.模型四、利用角平分线作对称例.平分.【答案】见解析【解析】证明：在AB上截取，连接DE，如图所示：.【变式训练】AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，且DE＝3，S△ABC＝20．（1）如图1，若AB＝AC，求AC的长；（2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长．【答案】（1）203；（2）253【详解】解：（1）如图1，作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF ＝DE ＝3，由题意得，12×AB ×3＋12×AC ×3＝20，解得，AC ＝AB ＝203；（2）如图2，作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF ＝DE ＝3，由题意得，12×5×3＋12×AC ×3＝20，解得，AC ＝253．模型五、内外模型例.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠D 的度数为（）A ．15°B ．17.5°C ．20°D ．22.5°4321DA【答案】A【解析】∵∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∴∠DCE=∠DCA，∠CBD=∠ABD，即.的外角的平分线CP与内角BP交于点P，若，则.【解析】平分平分，又，过点P的延长线，垂足分别为点E、F、G，如图所示：由角平分线的性质可得，AP是.课后训练1．如图，BD 是ABC 的外角∠ABP 的角平分线，DA ＝DC ，DE ⊥BP 于点E ，若AB ＝5，BC ＝3，则BE 的长为（）A ．2B ．1.5C ．1D ．0【答案】C【详解】解：如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，BD 是ABP ∠的角平分线，DF AB ⊥，DE ⊥BP ，DE DF ∴=，在Rt BDE 和Rt BDF 中，BD BDDE DF =⎧⎨=⎩，()Rt BDE Rt BDF HL ∴△≌△，BE BF ∴=，在Rt ADF 和Rt CDE △中，DA DCDE DF =⎧⎨=⎩，()Rt ADF Rt CDE HL ∴△≌△，AF CE ∴=，AF AB BF =-，CE BC BE =+，AB BF BC BE ∴-=+，2BE AB BC ∴=-，5AB =，3BC =，2532BE ∴=-=，解得：1BE =．故选：C ．2．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，若7ABC S =△，32=DE ，5AB =，则AC 的长为（）A ．133B ．4C ．5D ．6【详解】∵AD 是ABC ∆中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，∴32DF DE ==．又∵ABC ABD ACD S S S =+，5AB =，∴1313752222AC =⨯⨯+⨯⨯，∴133AC =．故选：A ． 3．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，CD ＝2，BD ＝3，Q 为AB 上一动点，则DQ 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2.5D 【答案】B 【详解】解：作DH ⊥AB 于H ，如图，∵AD 平分∠BAC ，DH ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DH =DC =2，∵Q 为AB 上一动点，∴DQ 的最小值为DH 的长，即DQ 的最小值为2．故选：B ．4．如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝6，BC ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积是______．【详解】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，则∠E＝∠C＝90°，∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝DC=4，∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝12×BC×CD＋12×AB×DE＝12×9×4＋12×6×4＝30，故答案为：30．5．如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB=5，AC=3，DF=2，则△ABC的面积为______．【答案】8【详解】解：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=2，∴△ABC的面积=12×5×2+12×3×2=8，故答案侍：8．6．在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是△ABC的外角∠ACD和∠ABC的平分线交于点E，则∠AEB＝_____︒【答案】25【详解】解：如图示：过点E ，分别作EF BD ⊥交BD 于点E ，EG AC ⊥交AC 于点G ，EH AB ⊥，交AB 延长线于点H ， ∵BE 平分ABC ∠，CE 平分ACD ∠，∴EH EF =，EG EF =，∴EH EG =，∴AE 平分HAC ∠， ∵62ABC ∠=︒，50∠=°ACB ，∴6250112HAC ABC ACB ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴111125622EAO HAC ∠=∠=⨯︒=︒， ∵BE 平分ABC ∠，62ABC ∠=︒∴11623122EBC ABC ∠=∠=⨯︒=︒在AOE △和BOC 中，OBC OCB OAE AEB ∠+∠=∠+∠∴31505625AEB OBC OCB OAE ∠=∠+∠-∠=︒+︒-︒=︒，故答案是：25．7．如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD =CD ，BE =CF ．（1）求证：AD 平分∠BAC ：（2）已知AC =18，BE =4，求AB 的长．【答案】（1）见解析；（2）10AB =．【详解】（1）证明：DE AB ∵⊥，DF AC ⊥，90E DFC ∴∠=∠=︒，在Rt BED 和Rt CFD △中，BD CD BE CF =⎧⎨=⎩，∴Rt BED Rt CFD ≅()HL ，DE DF ∴=， DE AB ∵⊥，DF AC ⊥，AD ∴平分BAC ∠；（2）解：DE DF =，AD AD =，Rt ADE Rt ADF ∴≅()HL ，AE AF ∴=，AB AE BE AF BE AC CF BE =-=-=--，184410AB ∴=--=．8．如图1，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A （-4，0），B （0，4），AD ⊥BC 交BC 于D 点，交y 轴正半轴于点E （0，t ）（1）当t=1时，点C 的坐标为；（2）如图2，求∠ADO 的度数；（3）如图3，已知点P （0，3），若PQ ⊥PC ，PQ=PC ，求Q 的坐标（用含t 的式子表示）．【答案】（1）点C 坐标（1，0）；（2）∠ADO =45°；（3）Q （-3，3-t ）．【详解】（1）如图1，当t =1时，点E （0，1），∵AD ⊥BC ， ∴∠EAO +∠BCO =90°，∵∠CBO +∠BCO =90°，∴∠EAO =∠CBO ，在△AOE 和△BOC 中，∵90EAO CBO AO BO AOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠︒⎩＝，∴△AOE ≌△BOC （ASA ），∴OE =OC =1，∴点C 坐标（1，0）．故答案为：（1，0）；（2）如图2，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，∵△AOE ≌△BOC ，∴S △AOE =S △BOC ，且AE =BC ，∵OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，∴OM =ON ，∴OD 平分∠ADC ；AD ⊥BC ，90ADC ∴∠=︒∴∠ADO =1452ADC ∠=︒；（3）如图3，过P 作GH ∥x 轴，过C 作CG ⊥GH 于G ，过Q 作QH ⊥GH 于H ，交x 轴于F ，∵P（0，3），C（t，0），∴CG=FH=3，PG=OC=t，∵∠QPC=90°，∴∠CPG+∠QPH=90°，∵∠QPH+∠HQP=90°，∴∠CPG=∠HQP，∵∠QHP=∠G=90°，PQ=PC，∴△PCG≌△QPH，∴CG=PH=3，PG=QH=t，∴Q（-3，3-t）．9AB为直径，CD平分D.【解答】见解析【解析】连接AD、BD，过点A，过点B M、N，如图所示：CD于点D，，，，又，.。

中考数学角平分线四大模型专题知识解读

N M O A B PPO N M B A角平分线四大模型专题知识解读【专题说明】角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。

【方法技巧】模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。

结论：PB=PA 。

【模型分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。

结论：△OPB ≌△OPA 。

【模型分析】P O N M B AQP O N M 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP ⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。

结论：△AOB 是等腰三角形。

【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。

这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

模型4 角平分线+平行线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。

结论：△POQ 是等腰三角形。

【模型分析】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

角平分线的模型

角平分线的模型三角形中角平分线的基本模型在初中阶段，角平分线问题涉及角度的计算和证明。

经过总结归纳，有相当部分可以转化为基本模型，掌握这些模型，可以为我们迅速找到解题思路，形成良好的数学思维习惯奠定基础。

下面举例说明。

【模型一】角平分线+垂直一边（点在线垂两边得全等）若PA⊥OM于点A，如图a，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。

可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”，显然这个基本图形中可以利用角平分线的性质定理，也可以得到一组全等三角形；【模型二】角平分线+斜线若点A是射线OM上任意一点，如图b，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA。

可记为“图中有角平分线，可以将图形对折看，对称以后关系现”。

【模型三】角平分线+垂线（角分垂等腰归）若AP⊥OP于点P，如图c，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB 的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”，实际上这是“两线合一”的一种情形，这个图形中隐含着全等和等腰三角形；【模型四】角平分线+平行线（角分平等腰呈）若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图d，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”，这个基本图形使用频率那是相当的高，切记。

【模型五】角平分线+对角互补若∠A+∠C=180°，BD是∠ABC的平分线，则AD=CD．【模型六】夹角模型BP 、CP 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，则：∠P=90°+∠A ．BP 、CP 分别是∠CBG 、∠BCD 的角平分线，则： ∠D=90°-∠A ．BP 、CP 分别是∠ABC 、∠ACD 的角平分线，则：∠P=∠A ．模型：角平分线 + 垂直（一）、与角的两边垂直——构全等如果：OP 平分∠AOB ，PM ⊥OB ，可以过P 点向OA 作垂线交于点N 。

那么：△NOP ≌△MOP例题：1、如图△ABC 中， ∠C=90º，AC=BC ，AD 是∠A 平分线。

角平分线的四大模型(Word版)

角平分线四大模型模型一：角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

例1：（1）如图①，在△ABC,∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到AB的距离是___cm(2)如图②，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC.练习1 如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠C=180°练习2 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）模型二：截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB，则△OPB≅△OPA.模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

例2：(1)如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．(2)如图②所示．AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC -PB与AC-AB的大小，并说明理由．练习 3 已知：△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8，求线段BC的长。

练习4 已知,如图AB=AC,∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD.练习5 如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD.求证：BC=AB+CE.模型三：角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B,则△AOB是等腰三角形。

专题角平分线四大模型在三角形中的应用(知识解读)-中考数学(全国通用)

N M O A B PPO N M B A专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（知识解读）【专题说明】角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。

【方法技巧】模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。

结论：PB=PA 。

模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。

结论：△OPB ≌△OPA 。

P O N M B AQP O N M 【模型分析】利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。

结论：△AOB 是等腰三角形。

【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。

这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

模型4 角平分线+平行线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。

结论：△POQ 是等腰三角形。

中考数学几何专项——角平分线模型

中考数学几何专项——角平分线模型(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--角平分线模型的构造四大基本模型：已知P是∠MON平分线上一点，（1）若平PA⊥OM于点A，如图（a）所示，可以过点P作PB⊥ON于点B，则PB=PA（2）若点A是射线OM上任意一点，如图（b）所示，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA（3）若AP⊥OP于点P，如图（c）所示，可以延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点（4）若过P点作PQ⊥ON交OM于点Q，如图（d）所示，可以构造△POQ是等腰三角形，“角平分线平行得等腰”例题：1、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D 到直线AB的距离是 cm。

2、如图所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC3、如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，连接AP、CP，若∠BPC=40°，求∠CAP的度数。

4、如图，∠AOB=45°，点P在∠AOB的平分线上，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PD=2，求PC的长。

5、已知在四边形ABCD中，AB=9，AD=CD=10，BC=21，BD为∠ABC的角平分线，求BD 的长。

6、如图所示，已知在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB，求证：AB=AC+CD变式1：如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC，求证：BC=AB+CD变式2：如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC，求证：BC=BD+AD7、①如图所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由。

专题6 全等模型——角平分线模型

初中数学︵角平分线模型︶培优篇角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需反复掌握．【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB 的角平分线、CA OA 于点A 时，过点C 作CA OB ．结论：CA CB 、OAC ≌OBC ．图1常见模型1（直角三角形型）条件：如图2，在ABC 中，90C ，AD 为CAB 的角平分线，过点D 作DE AB ．结论：DC DE 、DAC ≌DAE ．（当ABC 是等腰直角三角形时，还有AB AC CD ）图2初中数学︵角平分线模型︶培优篇常见模型2（邻等对补型）条件：如图3，OC 是∠COB 的角平分线，AC =BC ，过点C 作CD ⊥OA 、CE ⊥OB 。

结论：①180BOA ACB ；②AD BE ；③2OA OB AD ．图3A ．4 例2．如图，已知BF ，垂足分别为①CP 平分ACF ； ② APM CPN APC S S ．其中结论正确的是（ A ．①②③B ．①②③④初中数学︵角平分线模型︶培优篇例3．如图所示，90BC ，E 是BC 的中点，DE 平分ADC ．（1）求证：AE 是DAB 的平分线；（2）若2cm,BAD=60CD ，求AD 的长．例4．已知，OA 平分MON ，点P 在射线OA 上，点B 在射线OM 上，点C 在直线ON 上，连接PB ，PC ，且180MON BPC ．（1）如图1，当90MON 时，PB 与PC 的数量关系是______．（2）如图2，当MON 是钝角时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）当120MON 时，若6OP ，2OC ，请直接写出OBP 与OCP △的面积的比值．初中数学︵角平分线模型︶培优篇【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB 的角平分线，AB OC ．结论：△AOC ≌△BOC ，OAB 是等腰三角形、OC 是三线合一等．图1 图2 图3 条件：如图2，BE 为ABC 的角平分线，BE EC ，延长BA ，CE 交于点F ．结论：△BEC ≌△BEF ，BFC 是等腰三角形、BE 是三线合一等。

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角平分线四大模型模型1 角平分线的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，则PB＝PA模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型实例（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6,BD＝4,那么点D到直线AB的距离是解答：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB,∴CD＝DE.∵CB＝6,BD＝4,∴DE＝CD＝2，即点D到直线AB的距离是2.（2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC证明：如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，∵∠1＝∠2，∴PD＝PE,∵∠3＝∠4, ∴PE＝PF，∴PD＝PF又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC（角平分线的判定）练习1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC,BD平分∠ABC ，求证：∠BAD＋∠BCD＝180°证明：作DE⊥BC于E，作DF⊥BA的延长线于F，∴∠F＝∠DEC＝90°,∵BD平分∠ABC,∴DF＝DE，又∵AD＝DC，∴△DFA≌DEC,∴∠FAD＝∠C∵∠FAD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°2.如图，△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝.解答：如图所示，作PN⊥BD于N，作PF⊥BA，交BA延长线于F，作PM⊥AC于M ∵BP、CP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP,∠DCP＝∠ACP，PF＝PN＝PM，∵∠BAC＝∠ACD－∠ABC，∠BPC＝∠PCD－∠PBC(外角性质)∴∠BAC＝2∠PCD－2∠PBC＝2(∠PCD－∠PBC)＝2∠BPC＝80°∴∠CAF＝180°－∠BAC＝100°，∵PF＝PM∴AP是∠FAC的角平分线，∴∠CAP＝∠PAF＝50°模型2 截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA,连接PB，则△OPB≌△OPA模型分析利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型实例（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由解题：PB+PC＞AB+AC证明：在BA的延长线上取点E,使AE＝AB,连接PE，∵AD平分∠CAE∴∠CAD＝∠EAD，在△AEP与△ACP中，∵AE＝AB，∠CAD＝∠EAD,AP＝AP，∴△AEP≌△ACP （SAS），∴PE＝PC∵在△PBE中：PB+PE＞BE,BE＝AB+AE＝AB+AC，∴PB+PC＞AB+AC（2）如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－PB与AC－AB的大小，并说明理由解答：AC-AB>PC-PB证明:在△ABC中, 在AC上取一点E,使AE=AB ，∴AC-AE=AB-AC=BE∵AD平分∠BAC ，∴∠EAP=∠BAP ，在△AEP和△ACP中∴△AEP≌△ABP (SAS) ，∴PE=PB ，∵在△CPE中CE>CP-PE ，∴AC-AB>PC-PB练习1.已知，在△ABC中，∠A＝2∠B,CD是∠ACB的平分线，AC＝16,AD＝8,求线段BC的长解：如图在BC边上截取CE＝AC，连结DE，在△ACD和△ECD中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD CD ECD ACD EC AC∴△ACD ≌△ECD(SAS)∴AD ＝DE ， ∠A ＝∠1 ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠1＝2∠B ，∵∠1＝∠B ＋∠EDB ， ∴∠B ＝∠EDB ，∴EBB ＝ED ， ∴EB ＝DA ＝8，BC ＝EC ＋BE ＝AC ＋DA ＝16＋8＝242. 在△ABC 中，AB ＝AC,∠A ＝108°,BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AB ＋CD证明：在BC 上截取BE ＝BA ，连结DE ，∵BD 平分∠ABC,BE ＝AB,BD ＝BD∴△ABD ≌△EBD(SAS)，∴∠DEB ＝∠A ＝108°，∴∠DEC ＝180°－108°＝72°∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠ABC ＝12(180°－108°)＝36°，∴∠EDC ＝72° ， ∴∠DEC ＝∠EDC ，∴CE ＝CD ，∴BE ＋CE ＝AB ＋CD ，∴BC ＝AB ＋CD3.如图所示，在△ABC 中，∠A ＝100°,∠ABC ＝40°,BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，使DE ＝AD ，求证：BC ＝AB ＋CE证明：在CB 上取点F ，使得BF ＝AB,连结DF ，∵BD 平分∠ABC ，BD ＝BD∴△ABD ≌△FBD ，∴DF ＝AD ＝DE,∠ADB ＝∠FDB ，∴BD 平分∠ABC∴∠ABD ＝20°,则∠ADB ＝180°－20°－100°＝60°＝∠CDE∠CDF ＝180°－∠ADB －∠FDB ＝60°，∴∠CDF ＝∠CDE ，在△CDE 和△CDF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD CD CDE CDF DF DE∴△CDE ≌CDF ，∴CE ＝CF ，∴BC ＝BF ＋FC ＝AB ＋CE模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MON 的平分线上一点，AP 丄OP 于P 点，延长AP 交ON 于点.B,则△AOB 是等腰三角形.模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.模型实例如图.己知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°, AB=AC, BD平分∠ABC, C£丄BD.垂足为E.求证：BD=2C£.解答：如图，延长CE、BA交于点F,∵CE丄BD于E, ∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CED. ∴∠ABD=∠ACF.又∵AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°, ∴△ABD≌△ACF.∴ BD=CF.∵BD平分∠ABC, ∴∠CBE=∠FBE. 又BE=BE,∴△BCE≌△BFE.∴CE=EF. ∴BD=2CE.练习1.如图.在△ABC中.BE是角平分线.AD丄BE.垂足为D.求证：∠2=∠1+∠C.证明：延长AD交BC于F,∵AD⊥BE, ∴∠ADB=∠BDF=90°, ∵∠ABD=∠FBD,∴∠2=∠BFD. ∵∠BFD=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.2.如图.在△ABC中. ∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线, BE丄AD于点E.求证:1()2BE AC AB=-.(2)证明:延长BE 交AC 于点F.∵AD 为∠BAC 的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.∵AE=AE, ∴∠BAE=∠FAE,则△AEB ≌△AEF ，∴AB=AF, BE=EF, ∠ 2=∠3.∴AC-AB=AC-AF=FC. ∵∠ABC=3∠C,∴∠2+∠1=∠3+∠1=∠1+∠C+∠1=3∠C.∴2∠1=2∠C即∠1=∠C ∴BF=FO=2BE.∴()1122BE FC AC AB ==-模型4 角平分线+平行线模型分析有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线. 构造等腰三角形.为证明结论提供更多的条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.模型实例解答下列问题：(1)如图①.△ABC 中，EF ∥BC,点D 在EF 上,BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACB.写出线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系？(2)如图②，BD 平分∠ABC,CD 平分外角∠ACG. DE//BC 交AB 于点E,交AC 于点F ，线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系？并说明理由.(3)如图③，BD 、CD 为外角∠CBM 、∠BCN 的平分线，DE//BC 交AB 延长线于点E.交AC 延长线于点F,直接写出线段EF 与BE 、CF 有什么数关系？解答：(1) ∵EF//BC,∴∠EDB=∠DBC.∴BD平分∠EBC，∴∠EBD=∠DBC=EDB. ∴EB=ED. 同理：DF=FC. ∴EF=ED+DF=BE+CF.(2)图②中有EF=BE=CF，BD平分∠BAC,∴∠ABD=∠DBC.又DE//BC、∴∠EDB=∠DBC. ∴DE=EB.同理可证：CF=DF ∴EF=DE-DF=BE-CF.(3) EF=BE+CF.练习1.如图. 在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC交AB于M点. 交AC于N点.若BM+CN=9，则线段MN的长为.解答：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,∴MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB.∵MN//BC, ∴∠EBC=∠MEB, ∠NEC=∠ECB. ∴∠MBE-∠MEB, ∠NEO=∠ECN.∴BM=ME, EN=CN. ∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN.∵BM+CN=9,∴MN=9.2. 如图. 在△ABC中,AD平分∠BAC.点E、F分別在BD，AD上,EF∥AB.且DE=CD,求证：EF=AC.证明：如图，过点C作CM∥AB交AD的延长线于点M,∵AB∥EF,∴CM∥EF.∴∠3=∠4. ∵DE=CD, ∠5=∠6, ∴△DEF≌△DCM.∴EF=CM. ∵AB//CM,∴∠2=∠4. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠4.∴CM=AC.∴EF=AC3.如图.梯形ABCD中,AD∥BC,点E在CD上,且AE平分∠BAD.BE平分∠ABC.求证：AD=AB-BC.证明：延长AD、BE交于点F.∵AD∥BC,∴∠2=∠F. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠F.∴AB=AF. ∵AE平分∠BAD∴BE=EF. ∵∠DEF=∠CEB,∴△DEF≌△CEB.∴DF=BC.∴AD=AF-DF=AB-BC.。