椭圆的定义及其标准方程说课稿

《曲线与方程》说课稿

曲线与方程是人教版选修2—1第二章第一节“曲线和方程”的第一课时，下面我从以下五个方面来汇报对教材的钻研情况和本节课的教学。

一、教材分析

“曲线和方程”是在必修介绍了“直线的方程”和“圆的方程”之后，对一般曲线(也包括直线)与二元方程的关系作进一步的研究。“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，为“作形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，这正体现了解析几何这门课的基本思想，对全部解析几何教学有着深远的影响。学生只有透彻理解了曲线和方程的意义，才算是寻得了解析几何学习的入门之径。如果以为学生不真正领悟曲线和方程的关系，照样能求出方程、照样能计算某些难题，因而可以忽视这个基本概念的教学，这不能不说是一种“舍本逐题”的偏见，应该认识到这节“曲线和方程”的开头课是解析几何教学的“重头戏”！根据以上分析，确立教学重点是：理解曲线的方程和方程的曲线的概念；难点是：对曲线与方程对应关系的理解。由于本节课是由直观表象上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延。由于学生已经具备了用方程表示直线、圆等实际模型，积累了感性认识的基础，所以可用举反例的方法来解决困惑，通过反例揭示“两者缺一”与直觉的矛盾，从而又促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义。为了强化其认识，每一个问题都引发学生用集合的知识加以阐述，并决定在一开始学习曲线与方程的概念时用集合相等的概念来理解曲线和方程的关系，并以此为工具来分析问题、实例，这将有助于学生的理解，有助于学生通其法，知其理。

二、教学目标分析

根据教材的要求以及本节课在教材的地位和作用，结合高二学生的认知特点，我认为，通过本节课的教学，应使学生理解曲线和方程的概念；会用定义来判断、证明曲线的方程；培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力，渗透数形结合的数学思想；并借用曲线与方程的关系进行辩证唯物主义观点的教育；通过对问题的不断探讨，培养学生勇于探索的精神。

确定教学目标如下：

知识目标：

1、了解曲线上的点的坐标与方程的解之间的一一对应关系；

2、初步理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；

3、学会根据已学知识为切入点，引起关注，引发数学思考进而分析、判断、归纳结论

4、强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

能力目标：

1、通过直线方程和圆的方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；

2、在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条

理的阐述自己的观点；

3、能用所学集合知识理解新的概念，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。

情感目标：

1、以现实生活中飞逝的流星，雨后的彩虹，从古代的石拱桥到现代繁华都市的立交桥的图片激发学生学习曲线与方程的兴趣。通过两个问题的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；

2、通过问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

三、教学问题诊断

此前，学生已知，在建立了直角坐标系后平面内的点和有序实数对之间建立了一一对应关系，已有了用方程（有时以函数式的形式出现）表示曲线的感性认识（特别是二元一次方程表示直线），现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变数的方程之间的关系，是由直观表象上升到抽象概念的过程，对学生有相当大的难度。而新课标强调返璞归真，努力揭示数学概念、结论的发展背景，过程和本质，揭示人们探索真理的道路。本节课在学生学习了集合和直线的方程，圆的方程知识的基础上，使学生理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的过程，体会孕育在其中的思想，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。为突破曲线的方程与方程的曲线定义的难点，选择学生认知结构中与新知最邻近“直线的方程”和“圆的方程”入手，以集合相等，帮助理解“曲线的方程”与“方程的曲线”，进一步强化了概念理解的深刻性。无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则。学生在学习时容易产生的问题是，不理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”这两句话在揭示“曲线和方程”关系时各自所起的作用。四、教法分析

以学生为中心，让学生真正成为学习的主人而不是知识的奴隶，基于此，本节课根据学生的认知基础，重点采用了问题探究和启发式相结合的教学方法，从问题引入到问题推广的探究，启发引导学生得出概念，深化概念。在生生合作，师生互动中解决问题，为提高学生分析问题、解决问题的能力打下了基础。并利用多媒体辅助教学，节省了时间，增大了信息量，增强了直观形象性。提倡学习方式的多样化，通过引导学生主动参与，亲身实践，独立思考，合作探究，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力，以及交流合作的能力，基于此，本节课从问题引入→推广→得概念→概念挖掘深化→具体应用的思考，始终让学生主动参与，亲身实践，独立思考，与合作探究相结合，在生生合作，师生互动中，使学生真正成为知识的发现者和知识的研究者，不仅使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，而且对所用到的数学方法和涉及的数学思想也得以领会，这样既可以使学生完成知识建构，又可以培养其能力。

五、教学过程

一、情景引入

设计问题，激发兴趣

幻灯片展示：现实生活中飞逝的流星，雨后的彩虹，古代的石拱桥和现代繁华都市的立交桥的图片

设计意图：激发兴趣，将课件中的图片抽象成曲线，体现出“数”控制“形”的变化

二、探究问题，引出概念

问题一

(1)平面直角坐标系中，第一、三象限角平分线的方程是吗？为什么？你能用集合的知识加以阐述吗？

(2)方程|y|=|x|是上述直线的方程吗？

(3)以上两个方程不是直线的方程，那么你们能找出第一、三象限角平分线的方程吗？

设计意图：从学生已学知识为切入点，引起学生的关注，引发数学思考，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程。

提出问题，继续引发思考

问题二

圆心在C(1,2),半径为2的圆的方程是

4

)2

(

)1

(2

2=

-

+

-y

x吗？

设计意图：学生活动，包括观察、归纳、猜想、验证、推理、讨论、合作、交流、互动等活动；让学生在活动中体验数学，在课堂上不停的进行思维的碰撞。使学生不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、反思与建构等思维过程。

三、归纳，生成概念

曲线的方程、方程的曲线的定义：

一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程0

),(=

y

x

f

的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上的点的坐标都是方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

设计意图：由特殊到一般，从简单到复杂，使新知的建构顺畅和自然，既体现在教师引导下学生自我建构，又使学生感到知识之间并不是孤立的，而是相互联系的，他们是一个相互联系的、密切相关的整体。

四、通过运用，巩固概念

练习

1、过点A（2，0）平行于y轴的直线方程是|x|=2吗？为什么？

2、到两坐标轴等距离的点的轨迹方程是y=x吗？为什么？

例1：证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是

k xy±=.

x y=

设计意图：数学概念是要在运用中得以巩固，通过练习，可以纠正错误的认识，促使对概念的正确理解，

五、课堂小结

1、曲线的方程和方程的曲线的概念

通过本节学习，要理解曲线的方程和方程的曲线的概念，曲线C和方程f（x,y）=0必须满足两个条件。曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法，曲线与方程的这种对应关系，是通过平面直角坐标系建立的，曲线和方程之间的对应关系，实质上是曲线C上点的坐标与方程的解之间的对应关系问题。以及用集合相等来辅助理解曲线的方程和方程的曲线的概念。

2、基本思想与方法

数形结合的思想，转化与化归的思想

设计意图：让学生回顾、总结、联系、整合、提高认识、理解数学。

六、布置作业

1．举出一个曲线的方程的例子．

2．举出一个方程与一条曲线，使它们之间符合关系(1)而不符合关系(2)．

3．举出一个方程与一条曲线，使它们间符合关系(2)而不符合关系(1)．

《椭圆的定义及其标准方程》说课稿

【教材分析】

一、教材的前后联系及地位作用

本节课是高中新课程人教A版数学选修1—1第二章第一单元《椭圆的定义及其标准方程》的第一课时.

本节的内容是继学习圆之后运用“曲线和方程”理论解决具体二次曲线的又一实例.从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础.因此，这节课有承前启后的作用，是本节乃至本章的重点.

二、课标要求：

“经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程.”

三、教学目标

基于新课标的要求，结合本节内容的地位，我提出教学目标如下：

（一）知识与技能：

1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程；

2.使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程.

（二）过程与方法：

1.让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想；

2.学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐标法解决几何问题的能力.

（三）情感态度与价值观：

1.通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与成功的喜悦；培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神.

2.通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美；提高学生的审美情趣.

四、教学重点、难点

椭圆定义是通过它的形成过程进行定义的，揭示了椭圆的本质属性，也是椭圆方程建立的基石；椭圆标准方程是研究几何性质的根本依据，椭圆的几何性质是通过研究它的方程展开的，因此椭圆定义和标准方程是为本节课的重点.

【学生情况分析】

一、在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。

二、二、经过一年半的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力、建模能力都有了明显提高，使得进一步探究学习本节内容成为可能。但是，在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导。

【教学方法分析】

一、教法的选择

科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教与学的和谐完美统一。基于上述分析，我采取的是教学方法是“问题诱导--启发讨论--探索结果”以及“直观观察--归纳抽象--总结规律”的一种探究式教学方法，注重“引、思、探、练”的结合。引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。

二、学法指导的实施

1.通过利用圆的定义及圆的方程的推导过程，从而启发椭圆的定义及椭圆的标准方程的推导，让学生体会到类比思想的应用；通过利用椭圆定义探索椭圆方程的过程，指导学生进一步理解数形结合思想，产生主动运用的意识；通过揭示由于椭圆位置的不确定所引起的分类讨论，进行分类讨论思想运用的指导。

2.通过解题思路的脉络分析，对学生进行解题思考的指导。

3.通过对学生发言的点评，规范语言表达，指导学生进行交流和讨论。

【教学过程分析】

为了完成教学目标，解决教学重点突破教学难点，课堂教学流程设计：

认识椭圆→画椭圆→定义椭圆→推导椭圆方程→椭圆方程知识讲解→椭圆方程知识运用→本课小结→作业布置

教

学

环

节

教学程序（师生双边活动）设计意图

认

识椭圆图片展示：神州7号飞船椭圆轨道和近圆轨道；汽车储

油罐横截面的外轮廓线；汽车车标的轮廓线等

（1）从现实问题引入，使

学生了解数学源于实际。

（2）展示图片，使学生更

好的掌握椭圆形状，更直

观、形象地了解后面要学

的内容。

画椭圆1.画一画(画椭圆)：

(1).请学生拿出课前准备的硬纸板、细线、铅笔，同桌

一起合作画椭圆。

(2).课件动态演示椭圆的形成过程：

接着指出：这就是我们要学习的一类新的闭合曲线

——椭圆。

（1）通过画图给学生提供

一个动手操作、合作学习

的机会；调动学生学习的

积极性。

（2）多媒体演示向学生说

明椭圆的具体画法，更直

观形象。

定义椭圆2.议一议（椭圆的定义及有关概念）

（1）由学生画图及教师演示椭圆的形成过程，引导学生

归纳定义。

定义：在平面内，到两定点2

1

,F

F的距离之和等于常数

a2(a2>

2

1

F

F)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定

点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦

距,记2

1

F

F=c2。

（2）椭圆定义的再认识：为什么要满足a

2>c2呢？当

a2=c2，a2

结论：①当a

2>c2时，是椭圆；

②当a

2=c2时，是线段；

③当a

2

让学生通过反思画图，归

纳定义，理解定义，利用

动画演示，深刻地理解椭

圆定义条件，突破了重点。

推导椭圆方程3、求一求：（椭圆标准方程的推导）

（教师引导）设问1：求曲线方程的一般方法？（建系、

设点、列式、化简）

设问2：本题中可以怎样建立直角坐标系？（让学生根据

自已的经验来确定）

方案1：（如图1）以2

1

,F

F所在的直线为x轴，

2

1

,F

F的

中点为原点建立直角坐标系：

方案2：（如图2）以所2

1

,F

F在的直线为y轴，

2

1

,F

F的中点为原点建立直角坐标系

让学生自己去推导椭圆的

标准方程，给学生较多的

思考问题的时间和空间，

变“被动”为“主动”，变

“灌输”为“发现”。教师

结合猜想加以引导。

图1

解例2：求适合下列条件的椭圆标准方程（1）两个焦点的坐标分别为)0,4(),0,4(-，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10

（2）两个焦点的坐标分别为)2,0(),2,0(-，并且椭圆经过点)2

5

,23(-

数法时强调“二定”即定位

定量；（3）培养学生运用知识解决问题的能力。

椭

圆方程知识运用

6.练一练（运用知识）

1.已知21,F F 是椭圆19

252

2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于M、N 两点，则2MNF ?的周长为

。2.平面内两定点距离之和等于8，一个动点到这两个定点的距离之和等于10，建立适当坐标系写出动点的轨迹方程。

通过课堂练习，使学生进

一步巩固知识，运用知识

小

结

小结：（一、二、二、三）1.一个定义：（椭圆的定义）、

2.二类方程：（焦点分别在x 轴、y 轴的上的两个标准方程）

3.二种方法：（去根号的方法、待定系数系法）

4.三个意识：（求美意识，求简意识，猜想意识）归纳小结，突出重点，巩固新知，形成知识网络。

作

业

布

置

1.写出适合下列条件的椭圆标准方程：

（1）a =4,b =1,焦点在x 轴上。（2）a =4,c =3,2.运用椭圆的定义10

13613622=++++-x x x x 3．研究性题：

反思画图，观察椭圆上的点到焦点的距离最大最小的点是哪个点？并用数学方法加以证明。

（1）.巩固知识发现和弥补教学中的不足。（2）.强化学生的基本技能的训练，提高学生运用新知识的熟练程度

【板书设计分析】

好的板书就像一份微型教案，此板书力图全面而简明的将授课内容传递给学生，清晰直观，便于学生理解和记忆，理清文章脉络。

课题

1、椭圆的定义

2、有关概念

3、标准方程

（1）、焦点在x轴上（2）、焦点在y轴上椭圆标准方程的推导过程

书写

例1：（写要点）

例2：

（1）详写

（2）写关键步骤