第3章 数学中的非逻辑思维方法

第3章数学中的非逻辑思维

非逻辑思维包括形象思维、直觉思维、灵感思维和数学审美等。

一、联想

联想是形象思维的基本方法，是由一种思考对象想到另一种思考对象的方法。其特点是通过形象的彼此连接而达到对事物的认识。

1.联想的构成

一般来说，联想由三部分构成：

其一是联想诱因。

其二是联想结果。

其三是联想途径。

就数学联想来看，除有极少数例外情形外，联想诱因及联想结果一般都是数学的概念、命题、关系结构、数学思想方法等。而联想的途径则是通过这些数学对象间的数学关联来沟通的。

古希腊哲学家亚里士多德在其著作《记忆与联想》一书中指出:“我们的思维是从与正在寻求的事物相类似的事物、相反的事物、或者与它相接近的事物开始进行的,以后,便追寻与它相关联的事物。由此而产生联想。”这一观点为后人所接受,形成了用于指导联想的三个基本法则。

2. 联想的法则

（1）类似性联想

类似性联想也称相似性联想，就是由一件事物的认识引起对与该事物在形态或性质上相似的另一件事物的认识的联想。其特点是具有比较性与类比性，能使一类认识对象过渡到另一对象，具有转移性和思维跳跃性，因而在思维活动中具有一定的创造性。

例1．求证：若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0则x,y,z成等差数列。

例2．已知:H是锐角△ABC的垂心,设AH=x,BH=y,CH=z,BC=a,CA=b,AB=c。

求证: a b c abc

x y z xyz

++=。

（2）接近性联想

接近性联想是指利用形态或性质等方面接近的事物在人们思维中产生的联系，由此事物联想到彼事物的方法。其特点是：联想诱因与联想结果的意义接近，关系密切（如因果关系），联系稳固，联想的跳跃度小，过渡自然。它是逐步深入事物内部的思维方法。

在数学中，如算术根与绝对值、二次函数图像与一元二次不等式解集、极值与最值、曲线与方程等都具有性质相近的联系。

例3 设( x、y )∈R+求证

8 9

9 >

（3）对比性联想

对比性联想是指由某一件事物的认识引起对形态或性质上与其相反事物的认识的联想，又称为相反性联想或对立性联想。其特点为逆反性和对称性，数学逆向思维中也常采用这种方法。

如相等与不等、直线与曲线、有限与无限、高维与低维、数与形等等都可通过对比性联想加以沟通。

例4 求证：正四面体内任意一点到各面的距离之和为定值。

例5 已知三个方程x2+4ax+3-4a=0，x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围。

3.联想方法与逻辑思维方法的关联

二、直觉

1.直觉的含义

美国教育家布鲁纳：“直觉是指没有明显地依靠个人技巧的分析器官掌握问题的或情景的意义、重要性或结构的行为。”

英国科学家贝弗里奇：“直觉即指突然跃入脑际而能阐明问题的思想，包括灵感、启示和突然的、预见不到的顿悟。”

美国的物理学家爱因斯坦：“直觉能力是一种思想的自由创造力”

法国数学家庞加莱：“直觉不必建立在感觉明白之上，感觉不久便会变得无能为力。”

共同之处：直觉的确是一种客观存在的思维形式，表现出突发、迅速、整体感悟等特征。

2.数学直觉及其特点

根据一般直觉的特点，可给数学直觉这样论述：数学直觉是人脑对于数学对象的某种迅速而直接的洞察或领悟。这种洞察或领悟有如下特点：

（1）整体性：它不拘泥于对象的局部，把各种信息结合起来考虑；

（2）直接性：它常常表现为思维过程的压缩，舍弃中间环节，直接达到事物本质；

（3）突发性：迅速地作出判断，有时表现为某种顿悟；

（4）自由性：它不受逻辑规则的制约，常常呈发散的自由思维。

3.直觉思维的三个层次

数学直觉究竟有哪些分类？没有明确的答案和系统的论述，但汇集学者观念，可认为直觉思维包括对数学对象的感觉与想象，对数学关系的认识与概括，对数学概念、原理的直接领悟等三层含义。

（1）对数学对象的感觉与想象

例1 设P 、Q 为线段BC 上两定点，且BP=CQ ，A 为BC 外一动点。当点A 运动到使CAQ BAP ∠=∠时，ABC ?是什么三角形？

例2将正有理数写成下面的序列：

,41,32,23,14,31,22,13,21,12,11找出值是2009

2010的数所在位置的号码。 （2）对数学关系的认识与概括

例3 平面上有2n+3个点，其中任意3点不共线，任意4点不共圆。求证：必定可以再其中找到3点，作一个圆，使其余2n 个点中n 个在圆外，n 个在圆内。

例4 已知四面体P-ABC 的六条棱之和为l ，并且∠APB=∠BPC=∠CPA=900

，求它的最大体积。

（3）对数学概念、原理的直接领悟

例5 对3725148这个七位数，能否变化各个数字的位置，使之成为一个七位素数？ 例6求正整数n 和a1,a2, …… ， an ，使a1+a2+ ……+ an=2009，且乘积a1,a2, …… an 尽可能地大。

4.直觉与逻辑的关系

直觉是发现的工具，直觉的产生要以逻辑活动为前提，直觉需要逻辑的补充

5.直觉主义

20世纪初，在数学基础理论问题上，形成了三大流派，即以英国数学家罗素为代表的逻辑主义，以荷兰数学家布劳维尔为代表的直觉主义和以德国数学家希尔伯特为代表的形式主义。逻辑主义认为全部数学可以化归为逻辑，因而是逻辑的一个分支，逻辑是符号体系。形式主义认为数学真理性不过是一个公理系统是否相容的问题。无论是数学的公理系统或逻辑的公理系统，其中基本概念都是没有意义的，其公理也只是一行行的符号，无所谓真假，只要能证明该公理系统是相容的，不互相矛盾的，该公理系统便获得承认，它便代表一种真理。直觉主义则认为数学理论的真伪，只能用人的直觉去判断，数学认识不依赖于逻辑和经验，它的唯一来源是数学思想中固有的一种带有构造性的直觉。

历史证明，三大流派都有各自的优点和缺陷，但是他们弥补了数学基础的很多不足，为数学的严密性提供了更加精确的符号和语言。