第3章 数学中的非逻辑思维方法
第3章数学中的非逻辑思维
非逻辑思维包括形象思维、直觉思维、灵感思维和数学审美等。
一、联想
联想是形象思维的基本方法，是由一种思考对象想到另一种思考对象的方法。
其特点是通过形象的彼此连接而达到对事物的认识。
1.联想的构成
一般来说，联想由三部分构成：
其一是联想诱因。
其二是联想结果。
其三是联想途径。
就数学联想来看，除有极少数例外情形外，联想诱因及联想结果一般都是数学的概念、命题、关系结构、数学思想方法等。
而联想的途径则是通过这些数学对象间的数学关联来沟通的。
古希腊哲学家亚里士多德在其著作《记忆与联想》一书中指出:“我们的思维是从与正在寻求的事物相类似的事物、相反的事物、或者与它相接近的事物开始进行的,以后,便追寻与它相关联的事物。
由此而产生联想。
”这一观点为后人所接受,形成了用于指导联想的三个基本法则。
2. 联想的法则
（1）类似性联想
类似性联想也称相似性联想，就是由一件事物的认识引起对与该事物在形态或性质上相似的另一件事物的认识的联想。
其特点是具有比较性与类比性，能使一类认识对象过渡到另一对象，具有转移性和思维跳跃性，因而在思维活动中具有一定的创造性。
例1．求证：若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0则x,y,z成等差数列。
例2．已知:H是锐角△ABC的垂心,设AH=x,BH=y,CH=z,BC=a,CA=b,AB=c。
求证: a b c abc
x y z xyz
++=。
（2）接近性联想
接近性联想是指利用形态或性质等方面接近的事物在人们思维中产生的联系，由此事物联想到彼事物的方法。
其特点是：联想诱因与联想结果的意义接近，关系密切（如因果关系），联系稳固，联想的跳跃度小，过渡自然。
它是逐步深入事物内部的思维方法。
在数学中，如算术根与绝对值、二次函数图像与一元二次不等式解集、极值与最值、曲线与方程等都具有性质相近的联系。
例3 设( x、y )∈R+求证
8 9
9 >
（3）对比性联想
对比性联想是指由某一件事物的认识引起对形态或性质上与其相反事物的认识的联想，又称为相反性联想或对立性联想。
其特点为逆反性和对称性，数学逆向思维中也常采用这种方法。
如相等与不等、直线与曲线、有限与无限、高维与低维、数与形等等都可通过对比性联想加以沟通。
例4 求证：正四面体内任意一点到各面的距离之和为定值。
例5 已知三个方程x2+4ax+3-4a=0，x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围。
3.联想方法与逻辑思维方法的关联
二、直觉
1.直觉的含义
美国教育家布鲁纳：“直觉是指没有明显地依靠个人技巧的分析器官掌握问题的或情景的意义、重要性或结构的行为。
”
英国科学家贝弗里奇：“直觉即指突然跃入脑际而能阐明问题的思想，包括灵感、启示和突然的、预见不到的顿悟。
”
美国的物理学家爱因斯坦：“直觉能力是一种思想的自由创造力”
法国数学家庞加莱：“直觉不必建立在感觉明白之上，感觉不久便会变得无能为力。
”
共同之处：直觉的确是一种客观存在的思维形式，表现出突发、迅速、整体感悟等特征。
2.数学直觉及其特点
根据一般直觉的特点，可给数学直觉这样论述：数学直觉是人脑对于数学对象的某种迅速而直接的洞察或领悟。
这种洞察或领悟有如下特点：
（1）整体性：它不拘泥于对象的局部，把各种信息结合起来考虑；
（2）直接性：它常常表现为思维过程的压缩，舍弃中间环节，直接达到事物本质；
（3）突发性：迅速地作出判断，有时表现为某种顿悟；
（4）自由性：它不受逻辑规则的制约，常常呈发散的自由思维。
3.直觉思维的三个层次
数学直觉究竟有哪些分类？没有明确的答案和系统的论述，但汇集学者观念，可认为直觉思维包括对数学对象的感觉与想象，对数学关系的认识与概括，对数学概念、原理的直接领悟等三层含义。
（1）对数学对象的感觉与想象
例1 设P 、Q 为线段BC 上两定点，且BP=CQ ，A 为BC 外一动点。
当点A 运动到使CAQ BAP ∠=∠时，ABC ∆是什么三角形？
例2将正有理数写成下面的序列：
,41,32,23,14,31,22,13,21,12,11找出值是2009
2010的数所在位置的号码。
（2）对数学关系的认识与概括
例3 平面上有2n+3个点，其中任意3点不共线，任意4点不共圆。
求证：必定可以再其中找到3点，作一个圆，使其余2n 个点中n 个在圆外，n 个在圆内。
例4 已知四面体P-ABC 的六条棱之和为l ，并且∠APB=∠BPC=∠CPA=900
，求它的最大体积。
（3）对数学概念、原理的直接领悟
例5 对3725148这个七位数，能否变化各个数字的位置，使之成为一个七位素数？ 例6求正整数n 和a1,a2, …… ， an ，使a1+a2+ ……+ an=2009，且乘积a1,a2, …… an 尽可能地大。
4.直觉与逻辑的关系
直觉是发现的工具，直觉的产生要以逻辑活动为前提，直觉需要逻辑的补充
5.直觉主义
20世纪初，在数学基础理论问题上，形成了三大流派，即以英国数学家罗素为代表的逻辑主义，以荷兰数学家布劳维尔为代表的直觉主义和以德国数学家希尔伯特为代表的形式主义。
逻辑主义认为全部数学可以化归为逻辑，因而是逻辑的一个分支，逻辑是符号体系。
形式主义认为数学真理性不过是一个公理系统是否相容的问题。
无论是数学的公理系统或逻辑的公理系统，其中基本概念都是没有意义的，其公理也只是一行行的符号，无所谓真假，只要能证明该公理系统是相容的，不互相矛盾的，该公理系统便获得承认，它便代表一种真理。
直觉主义则认为数学理论的真伪，只能用人的直觉去判断，数学认识不依赖于逻辑和经验，它的唯一来源是数学思想中固有的一种带有构造性的直觉。
历史证明，三大流派都有各自的优点和缺陷，但是他们弥补了数学基础的很多不足，为数学的严密性提供了更加精确的符号和语言。
自然辩证法 第三章 创造性思维形式与方法
（9）他常年持续不断乱放炸弹，证明 他一直独身，没有人用友谊或爱情来愈 合其心理创伤。
（10）他虽无友谊，却重体面，一定是 一个衣冠楚楚的人
（11）为了制造炸弹，他宁愿独居而不住 公寓，以便隐藏和不妨碍邻居。
爱因斯坦说：“……组合作用似乎 是创造性思维的本质特征。”
如何培养发散思维
（1）拓宽思维的广度 （2）扩大观察范围 （3）破除思维障碍（思维定势） （4）培养群体协作精神
热身练习——脑筋急转弯
发散思维练习1
两个圆、两条直线和两个三角形，可 以组成各种有意义的图案。
答案：
比如：从具体形象出发，可组成 “人脸”；
可从抽象角度考虑，组成等式： △○=○△；
可以把抽象与具体结合起来，组成 “△|○○|△”，表示两山（具体） 相距一定距离（抽象）等。
发散思维练习2
请你写出所能想到的带有“Байду номын сангаас”结 构的字，写得越多越好。
答案
“土”在右方，如灶、肚、杜等：“土”在左方， 如址、墟、增等：“土”在下方，如尘、塑、堂等：
5．创造性思维是发散式与收敛式思 维的统一
发散式思维divergent thinking，是指 从同一探索对象出发，思维向不同 方向发散，充分发挥人的想象力， 通过知识观念的重新组合，找出更 多新的可能的答案、设想或解决办 法。
发散式思维模式
所谓“一题多解”、“一事多写”、 “一物多用”等。
这种思考既无一定的方向也无 一定的范围，允许对问题进行 标新立异的思考，在方向上可 以“海阔天空”、“异想天 开”，从已知的领域去探索未 知的境界。这是一种开放性的 思维，也可以理解为是从所给 的信息中产生信息，从同一来 源中产生各式各样为数众多的 输出。
中学数学解题方法(第三章 数学问题论证的基本方法 )
4．否定肯定式
否定肯定式是将肯定判断中所蕴含的部分加以否定 而进行推理，其推理模式为： 若 p q 为真，且 q 的否定为真，则 p 的否定亦为真．
5．演绎定理
若从一个假设 p ，以及一组陈述 q1 , q2 , , qn ，可以 推断出 r ，则可以从 q1 , q2 , , qn 推断出 p 含有 r ．
中学数学层面的课程，这里只关注分析法、综合法和演
绎法．
第一节 分析法与综合法 1.1 分析法的意义和作用 分析法是将整体分解为若干个部分的思维方法．亦即 先把研究的对象分解成若干个组成部分，然后通过对各个 组成部分的研究，最终达到对研究对象整体基础或本质的 认识． 分析法的思维方式通常体现为“执果索因”，亦即由 结果追溯到产生这一结果的原因．具体表现为： 从数学问题的结论或需求问题出发，一步一步地进行 探索，直至问题的题设条件． 分析法的逻辑模式为：
2．假言推理 假言推理是根据假言判断的逻辑性质所进行推演的推 理．即：判断某一事物情况的存在是另一事物情况存在条 件的推理．
假言判断有三个陈述， 其推理的逻辑结构为 （其中 p, q 均为陈述） ： 若 p 为真实，且 p 蕴涵 q ，则 q 为真实．
3．传递推理
传递推理是根据传递关系进行的推理，其传递性的逻 辑结构为（其中 p, q, r 均为陈述） ： 若 p 蕴涵 q ，且 q 蕴涵 r ，则 p 蕴涵 r ．
6．证逆否命题
证逆否命题是一种重要而且有效的直接演绎推理形 式，而非间接证明，其推理模式为： 若 q 的否定蕴涵 p 的否定，则 p 蕴涵 q ．
7．数学归纳法
蕴含于数学归纳法中的推理是一种演绎推理，其推理 模式为：
T (n0 ) ；对于每个 k N (k n0 ), T (k ) T (k 1)
创新思维：非逻辑思维训练
创新思维：非逻辑思维训练
创新思维：非逻辑思维训练思维方法用于训练人们的思维，就变成了思维训练方法。
人们对思维方法和思维训练方法的认识还有很多不清楚的地方，尽管如此，事实证明一些思维训练方法对于人们训练创新思维和非逻辑思维还是很有效的。
我们这里选取了几种主要的非逻辑思维训练方法，并按照人们对它们的一般理解来评述它们，但为什么要选择这几种方法以及这几种方法的分类则是按照我们自己的理解来进行的，其中可能会有不合理的地方。
我们的主要目的是为了训练非逻辑思维能力并揭示非逻辑思维训练的共同本质特征。
如前所述，非逻辑思维训练的根本原则是培养一种由不充分的前提材料就得出结论的思维习惯，下面要介绍的几种非逻辑思维训练方法都具有这样一个共同的本质特征。
阻碍非逻辑思维的因素有很多，如“唯一正确答案”、“从众心理”、“已有知识”和“陈规”等。
我们在下面介绍每一项主要的非逻辑思维训练方法时，只介绍了一两种主要的阻碍因素，这并不等于说其他因素对其没有阻碍作用。
事实上，这些因素对各种非逻辑思维训练方法都可能起阻碍作用，区别是不同的阻碍因素对不同的非逻辑思维训练方法的影响不同。
非逻辑思维的主要形式19页PPT
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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ห้องสมุดไป่ตู้
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
数理逻辑 第三章 数学推理 数学归纳法
这样就证明了从P(n)得出P(n+1) 在第二个等式中我们使用了归纳假设P(n) 因为P(1)为真，而且对所有正整数n来说
P(n)→P(n+1)为真，所以，由数学归纳法原 理就证明了对所有正整数n来说P(n)为真
四、数学归纳法的例子
例：用数学归纳法证明：对所有正整数n 来说不等式n<2n
来说P(k)为真，要完成归纳步骤就必须证明 在这个假定下P(n+1)为真
五、数学归纳法的第二原理
例：证明：若n是大于1的整数，则n可以 写成素数之积
解：分两种情况考虑：当n+1是素数时和当 n+1是合数时。若n+1是素数，则P(n+1)为 真；若n+1是合数，则可以将其表示成两个 整数a和b之积，其中a、b满足 2≤a≤b≤n+1
3.2 数学归纳法 Mathematical Induction
一、引言
前n个正奇数之和的公式是什么？ 对n=1,2,3,4,5来说，前n个正奇数之和为：
1=1，1+3=4，1+3+5=9， 1+3+5+7=16，1+3+5+7+9=25
猜测前n个正奇数之和是n2 假如这个猜测是正确的，我们就需要一
三、数学归纳法
用数学归纳法证明定理时
首先证明P(1)为真，然后知道P(2)为真，因 为P(1)蕴含P(2)
P(3)为真，因为P(2)蕴含P(3) 以这样的方式继续下去，就可以看出对任
意正整数k来说P(k)为真
数学归纳法的形象解释
三、数学归纳法
为什么数学归纳法是有效的？
逻辑思维和非逻辑思维的理解
逻辑思维和非逻辑思维的理解《逻辑思维与非逻辑思维的理解》逻辑思维和非逻辑思维是人类思维模式中两个重要的方面。
逻辑思维是指通过逻辑推理和分析来思考和解决问题的能力。
这种思维模式具有严谨、合理和客观的特点，通常基于事实和证据进行推断，并追求一致性和可验证性。
相反，非逻辑思维是指一种不受传统逻辑约束的自由思考方式，更多地依赖于直觉、想象力和创新。
逻辑思维在日常生活和学习中发挥着重要作用。
它能够帮助我们有效地整理和处理大量的信息，并在复杂的情境中做出正确的决策。
逻辑思维的一大优势是其严谨性，它使我们能够排除漏洞和错误，并确保我们的思考过程具有逻辑一致性。
当我们遇到问题时，逻辑思维能够帮助我们有条不紊地分析问题，并找到解决问题的最佳方式。
然而，逻辑思维并不是解决所有问题的万能钥匙。
在一些情况下，非逻辑思维也能发挥重要作用。
非逻辑思维强调的是直觉和想象力，它有助于我们从不同的角度看待问题，并提出创新的解决方案。
非逻辑思维常常能够突破传统的思维模式，给予我们新的视角和见解。
它能够激发创造力，帮助我们发现隐藏在问题背后的新颖思想和策略。
逻辑思维和非逻辑思维在许多情况下是相辅相成的。
一种很好的方法是将两者结合起来，整合逻辑思维的严谨性和非逻辑思维的创造性。
逻辑思维可以帮助我们研究和解决问题的具体细节，而非逻辑思维则能够帮助我们放松思维的限制，寻找可能被忽视的可能性。
当我们能够在逻辑和非逻辑思维之间灵活地切换，我们就能够全面且有效地思考和解决问题。
在现代社会中，逻辑思维和非逻辑思维都是极其重要的素质。
在科学研究、创新设计、问题解决以及领导力等领域，都需要综合运用这两种思维模式。
只有通过理解并灵活运用逻辑和非逻辑思维，我们才能更好地适应和应对复杂多变的现实世界。
因此，无论在个人和职业发展上，我们都应该努力培养和提高逻辑思维和非逻辑思维的能力，以获得更广阔的思维视野和更好的问题解决能力。
数学思维方法有哪些
数学思维方法有哪些数学思维方法有哪些？数学，是一种既具有理性又具有创造性的学科，是研究数量、结构、变化以及空间和形式的科学。
作为一种科学，数学不仅仅只是教导我们如何计算，还教导我们如何掌握科学思维方法，如何运用套路和技巧。
数学思维方法是指在数学应用中，科学家和应用者所采用的一种思考方式和方法，我们可以通过以下几个方面来思考：一、数学逻辑思维方法逻辑思维是数学思维的核心，是解决数学问题的关键。
在数学中，我们需要采用严密的、逻辑严谨的思维方式去解决问题。
采用逻辑思维的方式可以使我们避免犯错，得到正确的解法，同时让我们了解到解题的思路。
例如，在解方程的过程中，我们需要通过变形将方程转化为另一个等价的方程，再利用解同名分母、移项等方法最终得出正确的解。
二、数学联想思维方法联想思维是指通过与已有知识的联系以及发散性思考去解决问题的思维方式。
在解决未知类似问题时，采用这种方法可以很好地发掘和运用已有的知识和技巧。
例如，在解决多项式求导过程中，我们可以通过对已知的导数和基本导数的联系去运用已有的知识，从而更好地，更快地解决问题。
三、数学归纳思维方法归纳思维是指从一个特定的例子出发，推广、总结出类似情况下的通用结论的思维方式。
在数学中，对于一些无法直接证明的结论或规律，我们可以采用数学归纳法来推导出这些结论和规律的正确性。
例如，对于一个等差数列，我们可以从一个特定的情况出发推导出通用的等差数列的和式结论，从而推广到所有等差数列。
四、数学抽象思维方法抽象思维是指将一个问题抽象化为一般性问题，然后从一般性问题出发去解决所涉及的具体问题的思维方式。
在数学中，数学家们常常通过将问题转化为一些数学概念和表达式来解决问题。
例如，一个最简单的例子就是将线性方程组抽象化为矩阵的形式，通过矩阵的运算和操作得到正确的解法。
五、数学模型思维方法模型思维是指将一个复杂的问题简化为一个或多个数学模型，以模拟和预测事件的思维方式。
在数学中，我们可以采用线性规划、微积分、微分方程等方法来建立模型，从而解决复杂的实际问题。
小学数学思维方法最新课件第3章
21世纪小学教师教育系列教材
关系（relationship）映射（mapping）反演（inversion）方法， 也称关系映射反演原则，或简标法、函数法、待定系数法
小学数学思维方法
三、有关RMI方法的几点说明
21世纪小学教师教育系列教材
（一）RMI方法在数学中的应用
3.能否有特殊的技巧将题设或结论变形，从而找到某种对应手段，把问题映
射到其他领域去解决，然后反演到原来的系统中得出结论。
小学数学思维方法 讨论与思考
21世纪小学教师教育系列教材
1.用实例说明RMI方法中的映射φ与逆 映射φ-1。 2.为什么说RMI方法是化归方法的进一 步发展？ 3.结合函数法、待定系数法说明RMI方 法的应用。
小学数学思维方法小学数学思维方法21世纪小学教师教育系列教材化归法概述01变形法02分割法03关系映射反演方法04小学数学思维方法21世纪小学教师教育系列教材第三章化归法化归法概述01化归法概述小学数学思维方法21世纪小学教师教育系列教材part01数学中的化归方法是把待解决或未解决的问题通过某种转化过程归结到一类已能解决或者较容易解决的问题中去最终获得问题的解决
二、恒等变形 恒等变形是在等价变化的思想指导下进行的。
三、同解变形 同解变形是在等价转化思想的指导下，通过等价的变换，使
原来的等式与变形的等式有相同的解。
四、参数变形 通过引入参数的方法使等式变形。
小学数学思维方法 讨论与思考
21世纪小学教师教育系列教材
1.结合等价变形、恒等变形、同解变形 说明变形法在解题中的作用。 2.结合例子说明参数变形法在解题中的 作用。 3.说明恒等变形时引入特殊值检验的作 用。
21世纪小学教师教育系列教材
论数学中的逻辑思维与非逻辑思维
论数学中的逻辑思维与非逻辑思维
陈代娟
【期刊名称】《西南师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1999(024)001
【摘要】辨证地分析、说明了逻辑思维与非逻辑思维在数学发展中的作用及其相
互关系，论证了它们的同等重要性，阐明了这种同等重要性对数学教育的指导意义。
【总页数】5页(P130-134)
【作者】陈代娟
【作者单位】四川教育学院职教系
【正文语种】中文
【中图分类】O1－0
【相关文献】
1.在数学教学中如何提高学生非逻辑思维能力 [J], 傅小丽
2.论非逻辑思维在数学发展和教育中的作用 [J], 许海深
3.数学教学中如何培养学生的非逻辑思维能力 [J], 薄三德
4.简析高考数学中的非逻辑思维方法 [J], 杨仲明;李绍荣
5.合情推理在数学学习与非逻辑思维培养中的作用 [J], 武江红
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科学研究中的逻辑思维与非逻辑思维PPT课件
感性具体 （ 科分学析事 实 ）
思维中的具体 （ 科 学 理 论综）合
抽象的规定 （科学概念，符号、思想模型）
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• 感性的具体是科学事实 • 抽象的规定是未经综合的概念、经验规律（如开普勒三定律）、科学假说等 • 思维的具体是指经过辩证综合的、完整的科学理论体系
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• 科学抽象：在科学研究中通过对各种经验材料的比较与分析，去其次要因素，抽取本质因素， 形成科学概念或科学符号，以达到揭示研究对象的普遍规律和因果关系的思维方法
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• 理想模型
• 思想模型的特殊类型，既具有高度抽象性，又具有某种极限特征。 • 如数学点、线、面，质点、刚体，理想气体。
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• 思想模型是科学抽象的产物，将对象的本质属性和基本过程以最纯粹的形式甚至以某种极限 状态表现出来。科学理论研究的直接对象是思想模型。
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• 归纳原理不能在逻辑上得到证明： • 在时间t1观察到天鹅x1是白色的， • 在时间t2观察到天鹅x2是白色的， • 在时间t3观察到天鹅x3是白色的， • …… • 在时间tn观察到天鹅xn是白色的， • 所以，一切天鹅都是白色的。 • 事实上,存在黑天鹅.
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• 归纳原理也不能从经验上证明： • 在x1场合运用归纳原理是有效的， • 在x2场合运用归纳原理是有效的， • 在x3场合运用归纳原理是有效的， • …… • 在xn场合运用归纳原理是有效的， • 所以，在任何场合运用归纳原理总是有效的。 • 事实上，并非总是有效，不能保证总是有效。
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• 科学归纳法：引进了因果关系作为推理依据
求同法：场合 条件
研究对象