一阶线性微分方程及其解法
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e lx nx 2 e lx n d C x
1 x
x3dxC
1 x3 C 4x
例4 求 x 2 d y (2 x y x 1 )d x 0 满 y足 0的. x 1
解
原方程变形为
dy 2 x1
y dx x
x2
,
其中
P( x) 2 , Q(x) x 1 则通解为
x
x2
ye2xdxxx21e2xdxdxC
齐次的 通解
非齐次 的特解
4）常数变易法 设yu(x)eP(x)dx为非齐次线性方程的解，则
y u (x )e P (x )d x u (x )e P (x )d( x P (x ))
将y, y 代入原方程有
[ u ( x ) e P ( x ) d u x ( x ) e P ( x ) d ( P x ( x ) P ) ( x ) u ] ( x ) e P ( x ) d Q x ( x )
kt
e m
g em k t dtC
em ktg
m k d(em kt )C
kt
e m(g
mem kt
k
C)
mg k
k t
Ce m
由vt0 0得
c mg k
因此所求速度与时间的函数关系为
v mg(1emk t ) k
三、小结
1. 一阶线性齐次微分方程
（1）一般式
dyP(x)y 0 dx
（2）通解公式 yCeP(x)dx
e x 3 x x ( e e x d ) C x e x 3 x ( x e e x ) C e x 3 x ( x e e x ) C
3(x1)Cxe
由yx0 0得 C 3,
因此所求曲线方程为
y3(exx1)
例6 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力于他下落
(3)yy2x2 (5)yyyx
(4) dy1ysinx2 dx x
(6)yxsiynx21
解 （1）、（4）是一阶线性的，其余的是非线性的. 2. 一阶线性微分方程的一般式
dy P(x)yQ (x) dx 3. 一阶线性微分方程的分类
(1)
当 Q(x)0时，方程（1）称为一阶线性齐次微
分方程。
当 Q(x)0时，方程（1）称为一阶线性非齐次 微分方程。
e 2 lx n(x 1 )d x C
1 x2
x2 2
xC
1 2
1 x
C x2
由yx1 0得C
1, 2
因此方程满足初始条件的特解为
y
1 2
1 x
1 2x2
二、一阶线性微分方程的应用
应用微分方程解决实际问题的步骤:
1. 分析问题,设出所求未知函数,确定初始条件。 2. 建立微分方程。 3. 确定方程类型,求其通解. 4. 代入初始条件求特解.
即 u(x)eP(x)dxQ(x)
u(x)Q(x)eP(x)dx
u(x)Q (x)eP(x)dd x xC
通解 y e P (x )d[xQ (x )e P (x )dd x x C ]
例3 求y1yx2 的通.解 x
解 P( x) 1 , Q(x) x2则,通解为
x
ye1xdxx2e1xdxdxC
4. 一阶线性微分方程的解法
（1）一阶线性齐次微分方程
1）一般式
dyP(x)y 0 dx
分离变量
1 dy P( x)dx y
2）解法 分离变量法 两边积分 ln y P( x)dx ln C
Leabharlann Baidu
通解
y Ce P( x)dx
3）通解公式
y CeP(x)dx
例2 求y2y0 的通.解
x
§6.2 一阶线性微分方程
一、 一阶线性微分方程及其解法 二、 一阶线性微分方程的简单应用 三、 小结及作业
一、一阶线性微分方程及其解法
1. 一阶线性微分方程的定义 在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次 的，则称其为一阶线性微分方程。
例1 判下列微分方程是否为一阶线性微分方程： (1)3y2yx2 (2)(y)3x ysi2 n x(1 )
的速度成正比(比例系数 k 0)，起跳时的速度为0，
求下落的速度与时间 t 的函数关系。
解 设速度与时间的函数关系为： vv(t),
则依题 v 有 0, t0
由牛顿第二定律知：
m k g vmm av
即 v k v g 其中 P(t) k , Q(t)g
m
m
则通解为vem kdtgem kdtdtC
2. 一阶线性非齐次微分方程
（1）一般式
dyP(x)yQ(x) dx
（2）通解公式 y e P (x )d(xQ (x )e P (x )d xC )
解 P(x) 2 则通解 x
y CeP(x)dx
2
Ce
dx x
Ce2l nx Cx2
（2）一阶线性非齐次微分方程
1）一般式
dyP(x)yQ(x) dx
2）解法 常数变易法
3）通解公式
y e P (x )d[xQ (x )e P (x )dd x x C ]
CeP(x)dxeP (x)dx Q (x)eP (x)dd x x
例5 求过原点平且(x在 ,y)处 点的切线斜率 3x y 的曲线方程。
解 设所求曲线方程为 yf(x), 则依题 y 有 0, x0
从而
y 3 x y
即 yy3x 其中 P(x)1, Q(x)3x
则通解为
yedx3xedd x x C
ex3 x x e d x C ex 3 x d x C e
1 x
x3dxC
1 x3 C 4x
例4 求 x 2 d y (2 x y x 1 )d x 0 满 y足 0的. x 1
解
原方程变形为
dy 2 x1
y dx x
x2
,
其中
P( x) 2 , Q(x) x 1 则通解为
x
x2
ye2xdxxx21e2xdxdxC
齐次的 通解
非齐次 的特解
4）常数变易法 设yu(x)eP(x)dx为非齐次线性方程的解，则
y u (x )e P (x )d x u (x )e P (x )d( x P (x ))
将y, y 代入原方程有
[ u ( x ) e P ( x ) d u x ( x ) e P ( x ) d ( P x ( x ) P ) ( x ) u ] ( x ) e P ( x ) d Q x ( x )
kt
e m
g em k t dtC
em ktg
m k d(em kt )C
kt
e m(g
mem kt
k
C)
mg k
k t
Ce m
由vt0 0得
c mg k
因此所求速度与时间的函数关系为
v mg(1emk t ) k
三、小结
1. 一阶线性齐次微分方程
（1）一般式
dyP(x)y 0 dx
（2）通解公式 yCeP(x)dx
e x 3 x x ( e e x d ) C x e x 3 x ( x e e x ) C e x 3 x ( x e e x ) C
3(x1)Cxe
由yx0 0得 C 3,
因此所求曲线方程为
y3(exx1)
例6 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力于他下落
(3)yy2x2 (5)yyyx
(4) dy1ysinx2 dx x
(6)yxsiynx21
解 （1）、（4）是一阶线性的，其余的是非线性的. 2. 一阶线性微分方程的一般式
dy P(x)yQ (x) dx 3. 一阶线性微分方程的分类
(1)
当 Q(x)0时，方程（1）称为一阶线性齐次微
分方程。
当 Q(x)0时，方程（1）称为一阶线性非齐次 微分方程。
e 2 lx n(x 1 )d x C
1 x2
x2 2
xC
1 2
1 x
C x2
由yx1 0得C
1, 2
因此方程满足初始条件的特解为
y
1 2
1 x
1 2x2
二、一阶线性微分方程的应用
应用微分方程解决实际问题的步骤:
1. 分析问题,设出所求未知函数,确定初始条件。 2. 建立微分方程。 3. 确定方程类型,求其通解. 4. 代入初始条件求特解.
即 u(x)eP(x)dxQ(x)
u(x)Q(x)eP(x)dx
u(x)Q (x)eP(x)dd x xC
通解 y e P (x )d[xQ (x )e P (x )dd x x C ]
例3 求y1yx2 的通.解 x
解 P( x) 1 , Q(x) x2则,通解为
x
ye1xdxx2e1xdxdxC
4. 一阶线性微分方程的解法
（1）一阶线性齐次微分方程
1）一般式
dyP(x)y 0 dx
分离变量
1 dy P( x)dx y
2）解法 分离变量法 两边积分 ln y P( x)dx ln C
Leabharlann Baidu
通解
y Ce P( x)dx
3）通解公式
y CeP(x)dx
例2 求y2y0 的通.解
x
§6.2 一阶线性微分方程
一、 一阶线性微分方程及其解法 二、 一阶线性微分方程的简单应用 三、 小结及作业
一、一阶线性微分方程及其解法
1. 一阶线性微分方程的定义 在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次 的，则称其为一阶线性微分方程。
例1 判下列微分方程是否为一阶线性微分方程： (1)3y2yx2 (2)(y)3x ysi2 n x(1 )
的速度成正比(比例系数 k 0)，起跳时的速度为0，
求下落的速度与时间 t 的函数关系。
解 设速度与时间的函数关系为： vv(t),
则依题 v 有 0, t0
由牛顿第二定律知：
m k g vmm av
即 v k v g 其中 P(t) k , Q(t)g
m
m
则通解为vem kdtgem kdtdtC
2. 一阶线性非齐次微分方程
（1）一般式
dyP(x)yQ(x) dx
（2）通解公式 y e P (x )d(xQ (x )e P (x )d xC )
解 P(x) 2 则通解 x
y CeP(x)dx
2
Ce
dx x
Ce2l nx Cx2
（2）一阶线性非齐次微分方程
1）一般式
dyP(x)yQ(x) dx
2）解法 常数变易法
3）通解公式
y e P (x )d[xQ (x )e P (x )dd x x C ]
CeP(x)dxeP (x)dx Q (x)eP (x)dd x x
例5 求过原点平且(x在 ,y)处 点的切线斜率 3x y 的曲线方程。
解 设所求曲线方程为 yf(x), 则依题 y 有 0, x0
从而
y 3 x y
即 yy3x 其中 P(x)1, Q(x)3x
则通解为
yedx3xedd x x C
ex3 x x e d x C ex 3 x d x C e