《27.2.2--相似三角形的性质》教学设计
【人教版】九年级数学下册-27.2.2 相似三角形的性质(教案)
27.2相似三角形27.2.2 相似三角形的性质【知识与技能】1. 理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长和面积性质；2. 能够运用相似三角形及相似多边形的周长和面积性质解决相关问题.【过程与方法】经历将多边形问题转化为三角形问题进行探究的过程，进一步增强学生领会转化的思想方法.【情感态度】通过对性质的发现和论证过程，感受数学活动中充满着探索，提高学习热情，增强探究意识.【教学重点】理解并能运用相似三角形及相似多边形的周长和面积性质.【教学难点】探索证明相似多边形面积性质的过程.一、情境导入，初步认识问题 （1)如果△ABC ∽△A B C '''，则它们之间有哪些性质？(2)如果两个多边形相似，那么这两个多边形又有怎样的性质呢？不妨说说看，并与同伴交流.【教学说明】以上两个问题可由学生口答，既是对前面学过知识的回顾，又是学习相似三角形及相似多边形的性质的铺垫.教师在学生回答过程中，在黑板上可写出关系式：（1)AB BC AC k A B B C A C ===''''''（2)2311212231n n n n A A A A A A A A A A A A --===''''''11n n A A k A A ==''，为后面证明相似三角形及相似多边形周长的比作准备.）二、思考探究，获取新知问题 1 你能根据刚才的性质探索出相似三角形和相似多边形周长之间各有怎样的特征？【教学说明】让学生依据黑板上所给出的两个等式来探索新的结论，在学生自主探索过程中，教师应在黑板上画出能够相似的△ABC 和△ABC,及相似的多边形A 1A 2……A n ，和多边形12n A A A '''，如下图（1)(2)所示：（1） （2）最后师生共同探索出结论，并给出证明过程. 问题2 如图，△ABC ∽△A B C '''，相似比为k 且AD ，A D ''分别是△ABC与△A B C '''对应边长的高线，求AD A D ''的值，并说明理由.问题3 如图，△ABC ∽△A B C '''，相似比为k 则△ABC 与△A B C '''的面积之间有什么关系，说说你的理由.【教学说明】问题2为解决问题3作好了铺垫.教师可让学生自主探究问题2的结论，得出相似三角形对应高线之比等于相似比的结论.这里既要用到相似三角形性质又要用到相似三角形的判定，教师要作好诱导.由问题2的解决来探索问题3就顺理成章了 .问题4 如图，四边形ABCD 与四边形A B C D '''',相似比为k 那么它们的面积之比又如何？谈谈你的看法.【教学说明】可先让学生在小组中进行交流， 尽量找出解决问题的方法，与此同时，教师可设置以下问题来帮助学生：你能直接表示出图中两个四边形的面积吗？如果不能，是否可连接对角线AC 和AC,，用三角形的面积来表示四边形的面积呢？这样设问起到画龙点睛作用，问题便迎刃而解，最后教师可在黑板上展示说理过程，从而得出：相似四边形面积的比等于相似比的平方.问题5 类似地，相似多边形面积之比是否也等于相似比的平方呢？【教学说明】引导学生将两个相似多边形用类似于问题4的方法转化成若干个三角形，从而得出结论.三、运用新知，深化理解1. 判断：(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍.( )(2)—个四边形的各边长扩大为原来的9倍，它的面积扩大为原来的9倍.（ ）2. △ABC ∽△A B C '''，它们的周长分别为60和 72，且 AB =15，B ’C ’ =24，试求 BC ，AC ， A 'B '，A 'C ’ 的长.性质 相似三角形周长之比等于相似比; 相似多边形周长之比等于相似比.1.相似三角形对应高线之比等于相似比.2.相似三角形面积之比等于相似比的平方.相似多边形面积之比等于相似比的平方.3.在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？4.如图，在△ABC和△DEF 中，AB =2DE，AC=2DF，∠A=∠D，△ABC的周长为 24，面积为125，求△DEF的周长和面积.【教学说明】所选四道小题都可直接运用相似三角形和相似多边形的周长与面积性质进行判断说明，难度不大，学生可自主完成，教师巡视，发现问题，及时指导，让每个学生都学有所得.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1. (1)√ (2)× 2.BC=20，AC=25 ，A’B'=18，A’C’=30.3.这次复印的放缩比例是1:3，这个多边形的面积放大了 9倍.四、师生互动，课堂小结1.在探索相似多边形面积之比等于相似比的平方时，采用了怎样的思想方法，谈谈你的认识.2.请总结一下相似三角形和相似多边形的性质.习题27. 2中选取.1.布置作业：从教材P54〜562. 课外思考：(1)蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是15cm，一种半径是30cm，如果半径为15cm的蛋糕够2个人吃，那么半径为30cm的蛋糕，够几个人吃（假设两种蛋糕的高度相同)？(2)如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC， D、F在AB边上，E、G在AC边上，且 DE、FG将△ABC的面积三等分，若AB=10，试求AD，DF的长.(3)完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本课时的教学过程中，首先提出问题让学生回答，这有助于学生回顾有关知识，接着教师提出问题并让学生自主探索形成初步认识，最后师生共同归纳结论. 在上述教学过程中，教师要充分调动学生的积极性，自主探究，体会发现和解决问题的乐趣.。
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（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将在教学中采取以下策略或活动：
1.创设生活情境，引入与相似三角形相关的实际问题，让学生感受到数学知识的实用性和趣味性；
2.设计具有挑战性的探究活动，引导学生通过自主探究、合作交流发现相似三角形的性质；
在总结反馈阶段，我将采取以下方式引导学生自我评价并提供有效的反馈和建议：
1.自我评价：让学生回顾本节课所学内容，总结相似三角形的定义、判定方法和性质，评估自己的学习效果；
2.互相评价：组织学生相互评价，鼓励他们提出建议和意见，促进学生之间的交流；
3.教师反馈：针对学生的表现，给予肯定和鼓励，对存在的问题进行指导，提供改进的建议。
板书在教学过程中的作用是帮助学生梳理知识结构，强化记忆。为确保板书清晰、简洁且有助于学生把握知识结构，我将：
1.在课前精心设计板书内容，确保逻辑性和条理性；
2.在课堂中适时更新板书，突出重难点；
3.使用不同颜色粉笔，区分关键信息和辅助信息，提高视觉效果。
（二）教学反思
在教学过程中，我预见到以下可能出现的问题或挑战：
3.利用多媒体教学资源，如动画、图片等，形象生动地展示相似三角形的性质，提高学生的学习兴趣；
4.适时给予学生鼓励和肯定，增强他们的自信心，培养良好的学习氛围；
5.组织课堂讨论和小组竞赛，激发学生的学习积极性，培养团队协作能力。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
我将采用的主要教学方法包括启发式教学、探究式教学和情境教学。选择这些方法的理论依据如下：
2.多媒体资源：课件、动画、图片等，形象生动地展示相似三角形的性质，提高学生的学习兴趣；
人教版数学九年级下册《27.2.2相似三角形的性质》说课稿
人教版数学九年级下册《27.2.2相似三角形的性质》说课稿一. 教材分析人教版数学九年级下册《27.2.2相似三角形的性质》这一节主要讲述了相似三角形的性质。
在初中数学中，相似三角形是一个重要的概念，它是学生进一步学习几何知识的基础。
本节课的内容主要包括相似三角形的定义、性质及其判定方法。
通过学习本节课，学生能够理解和掌握相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析在九年级的学生中，他们已经学习过了三角形的基本知识，对三角形的性质有一定的了解。
但是，他们对相似三角形的性质的认识还比较模糊，需要通过本节课的学习来进一步理解和掌握。
此外，学生对于抽象几何图形的理解和判断能力还有待提高，这也是他们在学习本节课时可能会遇到的困难。
三. 说教学目标根据教材内容和学情分析，我制定了以下教学目标：1.让学生理解和掌握相似三角形的性质，能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
2.培养学生的逻辑思维能力和抽象概括能力。
3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 说教学重难点根据教材内容和学情分析，我确定了以下教学重难点：1.相似三角形的定义和性质。
2.相似三角形的判定方法。
3.运用相似三角形的性质解决实际问题。
五. 说教学方法与手段为了达到本节课的教学目标，我采用了以下教学方法和手段：1.讲授法：通过讲解相似三角形的定义、性质和判定方法，使学生理解和掌握相关知识。
2.案例分析法：通过分析具体案例，使学生了解相似三角形的性质在实际问题中的应用。
3.小组讨论法：学生进行小组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
4.多媒体辅助教学：利用多媒体课件，直观地展示相似三角形的性质和判定方法，提高学生的学习兴趣和效果。
六. 说教学过程1.导入：通过复习三角形的基本知识，引出相似三角形的概念，激发学生的学习兴趣。
2.讲解：讲解相似三角形的定义、性质和判定方法，结合具体案例进行分析。
3.练习：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
《相似三角形的性质》 教学设计
《相似三角形的性质》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
（2）掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
（3）能运用相似三角形的性质解决相关的计算和证明问题。
2、过程与方法目标（1）通过观察、类比、猜想、证明等活动，经历相似三角形性质的探究过程，培养学生的逻辑推理能力和创新思维能力。
（2）通过对相似三角形性质的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识。
3、情感态度与价值观目标（1）通过合作探究，培养学生的团队合作精神和交流表达能力。
（2）让学生在探索和解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的信心。
二、教学重难点1、教学重点相似三角形的性质及其应用。
2、教学难点相似三角形面积比等于相似比的平方的推导和应用。
三、教学方法讲授法、探究法、练习法相结合四、教学过程1、复习引入（1）回顾相似三角形的定义和判定方法。
（2）展示两个相似三角形，让学生观察并思考相似三角形的对应角和对应边有什么关系。
2、探究相似三角形的性质（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例通过多媒体展示两个相似三角形，让学生测量对应角的度数和对应边的长度，然后计算对应边的比值，从而得出相似三角形对应角相等，对应边成比例的性质。
（2）相似三角形周长的比等于相似比设两个相似三角形的相似比为k，对应边分别为a、b、c 和ka、kb、kc，分别计算两个三角形的周长，得出相似三角形周长的比等于相似比。
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方引导学生将相似三角形的对应边延长，得到对应的高，设两个相似三角形的相似比为 k，对应边分别为 a、b，对应高分别为 h、kh，分别计算两个三角形的面积，得出相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3、例题讲解（1）例 1：已知两个相似三角形的相似比为 3:5，其中一个三角形的周长为 24cm，求另一个三角形的周长。
（2）例 2：两个相似三角形的面积比为 9:16，其中一个三角形的一条边长为 3cm，求另一个三角形对应边的长。
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3.教师点评：教师对每个小组的表现进行点评，强调解题过程中的Βιβλιοθήκη 键点和注意事项，对学生的疑问进行解答。
（四）课堂练习
1.练习设计：教师根据教学内容，设计具有梯度、层次的练习题，让学生在课堂上独立完成。
5.教学延伸设想：
（1）课后拓展：布置一定难度的拓展题，让学生在课后继续深入探讨相似三角形的性质。
（2）生活应用：鼓励学生在生活中发现相似三角形的实例，将所学知识运用到实际中，提高他们的实践能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.复习导入：首先，带领学生回顾之前学过的相似图形的概念，以及如何判断两个三角形相似。通过这个问题，激活学生的已有知识，为新课的学习做好铺垫。
2.解题指导：学生在解题过程中，教师巡回指导，关注学生的解题思路和方法，及时发现问题并进行个别辅导。
3.反馈评价：学生完成练习后，教师对他们的解题情况进行反馈评价，强调易错点，提醒学生注意。
（五）总结归纳
1.知识梳理：教师引导学生回顾本节课所学的内容，梳理相似三角形的性质及其应用，强化知识结构。
2.情感态度：教师鼓励学生保持对数学学习的热情，培养他们勇于探究、积极思考的学习态度。
（二）过程与方法
1.通过自主探究、小组合作的方式，让学生经历相似三角形性质的发现和证明过程，培养他们的观察能力、逻辑思维能力和团队合作能力。
2.通过实际例题的讲解和练习，使学生掌握相似三角形性质的应用方法，提高他们解决实际问题的能力。
3.引导学生运用类比、归纳等方法，发现相似三角形与其他图形之间的联系，提高他们的几何直观能力。
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3.课后作业：布置适量的课后作业，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
五、作业布置
为了巩固学生对相似三角形性质的理解和应用，提高其解题能力和数学素养，特布置以下作业：
1.基础巩固题：
-请学生完成课本第27.2.2节后的习题1、2、3，以巩固相似三角形的性质和判定方法。
d.注重数学思想方法的渗透，如化归思想、数形结合等，提高学生的数学思维能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：教师出示一张比例放大或缩小的图片，如地图、建筑设计图等，引导学生观察并思考：这些图片有什么共同特点？它们之间存在着怎样的数学关系？
2.提出问题：通过图片的观察，学生可能会发现图形之间存在着相似关系。此时，教师提出问题：“什么是相似三角形？相似三角形具有哪些性质？”激发学生的好奇心，为新课的学习做好铺垫。
5.掌握相似三角形在坐标平面上的表示方法，能够运用坐标系解决相关问题。
（二）过程与方法
1.通过实际操作、观察、猜想、验证等环节，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
2.引导学生运用逻辑推理、数学证明等方法，培养其严谨的数学思维。
3.利用小组合作、讨论交流等形式，培养学生团队协作、共同探究的学习习惯。
-选择两道课后练习题，要求学生独立完成，加强基础知识的应用。
2.提高拓展题：
-设Байду номын сангаас一道综合性的相似三角形应用题，如求解实际生活中的物体尺寸、距离等问题，让学生运用所学知识解决实际问题。
-鼓励学生尝试完成课本第27.2.2节后的习题4、5，这两题难度较高，旨在培养学生的逻辑思维和推理能力。
《27.2.2 相似三角形的性质》教案、导学案
27.2.2 相似三角形的性质【教学目标】1．理解相似三角形的性质；(重点)2．会利用相似三角形的性质解决简单的问题．(难点)【教学过程】一、情境导入两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如，在图中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？二、合作探究探究点一：相似三角形的性质【类型一】利用相似比求三角形的周长和面积如图所示，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝EC，BD、AE 相交于F点．(1)求△BEF与△AFD的周长之比；(2)若S△BEF＝6cm2，求S△AFD.解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解．解：(1)∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，∴△BEF∽△AFD.又∵BE＝12BC，∴BEAD＝BFDF＝EFAF＝12，∴△BEF与△AFD的周长之比为BE＋BF＋EFAD＋DF＋AF＝12；(2)由(1)可知△BEF∽△DAF，且相似比为12，∴S△BEFS△AFD＝(12)2，∴S△AFD＝4S△BEF＝4×6＝24cm2.方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．【类型二】利用相似三角形的周长或面积比求相似比若△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的相似比为( )A．1∶2 B.2∶2C．1∶4 D.2∶1解析：∵△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2＝2∶2.故选B.方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．【类型三】利用相似三角形的性质和判定进行计算如图所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别为18和8，DE＝3，求AC边上的高．解析：求AC边上的高，先将高线作出，由△ABC的面积为18，求出AC的长，即可求出AC边上的高．解：过点B作BF⊥AC，垂足为点F.∵AD⊥BC, CE⊥AB，∴Rt△ADB∽Rt△CEB，∴BDBE＝ABCB，即BDAB＝BECB，且∠ABC＝∠DBE，∴△EBD∽△CBA, ∴S△BEDS△BCA＝(DEAC)2＝818.又∵DE＝3，∴AC＝4.5.∵S△ABC＝12AC·BF＝18, ∴BF＝8.方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解答．【类型四】利用相似三角形线段的比等于相似比解决问题如图所示，PN∥BC，AD⊥BC交PN于E，交BC于D.(1)若AP∶PB＝1∶2，S△ABC＝18，求S△APN；(2)若S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，求AEAD的值．解析：(1)由相似三角形面积比等于对应边的平方比即可求解；(2)由△APN 与四边形PBCN 的面积比可得△APN 与△ABC 的面积比，进而可得其对应边的比．解：(1)因为PN ∥BC ，所以∠APN ＝∠B ，∠ANP ＝∠C ，△APN ∽△ABC ，所以S △APN S △ABC ＝(AP AB )2.因为AP ∶PB ＝1∶2，所以AP ∶AB ＝1∶3.又因为S △ABC ＝18，所以S △APNS △ABC ＝(13)2＝19，所以S △APN ＝2； (2)因为PN ∥BC ，所以∠APE ＝∠B ，∠AEP ＝∠ADB ，所以△APE ∽△ABD ，所以AP AB ＝AE AD ，S △APN S △ABC ＝(AP AB )2＝(AE AD )2.因为S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，所以S △APN S △ABC ＝13＝(AE AD)2，所以AE AD ＝13＝33.方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．【类型五】 利用相似三角形的性质解决动点问题如图，已知△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．(1)当△PQC 的面积是四边形PABQ 面积的13时，求CP 的长；(2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长． 解析：(1)由于PQ ∥AB ，故△PQC ∽△ABC ，当△PQC 的面积是四边形PABQ面积的13时，△CPQ 与△CAB 的面积比为1∶4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP 的长；(2)由于△PQC ∽△ABC ，根据相似三角形的性质，可用CP 表示出PQ 和CQ 的长，进而可表示出AP 、BQ 的长．根据△CPQ 和四边形PABQ 的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出CP 的长．解：(1)∵PQ ∥AB ，∴△PQC ∽△ABC ，∵S △PQC ＝13S 四边形PABQ ，∴S △PQC ∶S △ABC ＝1∶4，∵14＝12，∴CP ＝12CA ＝2； (2)∵△PQC ∽△ABC ，∴CP CA ＝CQ CB ＝PQ AB ，∴CP 4＝CQ 3，∴CQ ＝34CP .同理可知PQ ＝54CP ，∴C △PCQ ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝CP ＋54CP ＋34CP ＝3CP ，C 四边形PABQ ＝PA ＋AB ＋BQ ＋PQ ＝(4－CP )＋AB ＋(3－CQ )＋PQ ＝4－CP ＋5＋3－34CP ＋54CP ＝12－12CP ，∴12－12CP ＝3CP ，∴72CP ＝12，∴CP ＝247.方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问题是解题的关键．三、板书设计1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；3．相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 【教学反思】本节教学过程中，学生们都主动地参与了课堂活动，积极地交流探讨，发现的问题较多：相似三角形的周长比，面积比，相似比在书写时要注意对应关系，不对应时，计算结果正好相反；这两个性质使用的前提条件是相似三角形等等．同学们讨论非常激烈，本节课堂教学取得了明显的效果.27.2.2 相似三角形的性质教学目标：知识与技能1、理解掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系；掌握定理的证明方法。
《27.2.2 相似三角形的性质》教学设计教学反思-2023-2024学年初中数学人教版12九年级下
《相似三角形的性质》教学设计方案（第一课时）一、教学目标：1. 理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的性质。
2. 能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
3. 培养观察、分析和解决问题的能力。
二、教学重难点：教学重点：相似三角形的定义及性质的应用。
教学难点：理解相似三角形的对应比值相等以及灵活运用性质解决实际问题。
三、教学准备：1. 准备教学用具：黑板、白板、图片、尺子等。
2. 制作PPT，设计相关问题引导学生思考。
3. 搜集一些相似三角形的实际应用案例，以便于学生了解性质的重要性。
4. 安排一次实践活动，让学生动手制作相似三角形，加深理解。
四、教学过程：本节课的教学对象是八年级的学生，他们已经具备一定的认知能力和动手操作能力。
本节课的重点是相似三角形的性质的探究和应用，难点是相似三角形性质的灵活运用。
1. 引入：首先通过一些生活中的相似三角形实例，让学生感受到相似三角形的存在和其在实际生活中的应用，从而激发学生的学习兴趣。
2. 探究：引导学生通过观察、测量、比较等方法，探究相似三角形的性质。
可以利用直尺、剪刀、纸张等工具，进行实际操作和实验。
在探究过程中，鼓励学生发现问题、提出问题、解决问题。
3. 讲解：在学生探究的基础上，教师进行适当的讲解和说明，帮助学生理解相似三角形的性质及其证明过程。
4. 练习：设计一些与相似三角形性质相关的练习题，让学生进行练习。
这些练习题应该包括基础题和提高题，以适应不同学生的学习需求。
5. 总结：在课程结束前，让学生总结本节课的主要内容，包括相似三角形的性质及其应用，并鼓励学生提出自己的问题和观点。
6. 作业：布置一些与相似三角形性质相关的作业，包括基础题和提高题，以帮助学生巩固和拓展所学知识。
在教学方法上，可以采用探究式学习和合作学习的方法，鼓励学生积极参与、动手实践、交流合作，以培养学生的自主学习能力和合作精神。
同时，可以利用多媒体教学技术，如PPT、视频等，来辅助教学，提高教学效果。
27.2.2 相似三角形的性质
27．2.2 相似三角形的性质一、教学目标1．经历三角形相似的性质的探究过程，培养学生有效获得数学猜想的经验，在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体验解决数学问题策略的多样性．2．理解并掌握相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形对应线段的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方，并能应用相似三角形的性质解决简单的问题．二、教学重难点重点：理解并掌握相似三角形对应线段的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．难点：相似三角形的性质的应用．教学过程（教学案）一、问题引入思考：三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数、高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等．如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？二、互动新授【探究】 如教材图27.2－13，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？教材图27.2－13师生共同探究：如教材图27.2－13，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′的对应高AD 和A ′D ′.通过证明三角形相似即可得出相似三角形对应高等于三角形的相似比。
类似地，可以证明相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比也等于k.【思考】 相似三角形面积的比有什么关系？学生练习后，小组交流讨论．如教材图27.2－13，由前面的结论，我们有S △ABC S △A ′B ′C ′＝12BC ·AD 12B ′C ′·A ′D ′＝BC B ′C ′·AD A ′D ′＝k ·k ＝k 2. 这样，我们又得到相似三角形的一个性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方．三、精讲例题【例3】 如教材图27.2－14，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D.若△ABC 的边BC 上的高为6，面积为125，求△DEF 的边EF 上的高和面积．教材图27.2－14学生练习后，小组交流、讨论．教师讲评：【解】 在△ABC 和△DEF 中，∵AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∴DE AB ＝DF AC ＝12. 又∠D ＝∠A ，∴△DEF ∽△ABC ，△DEF 与△ABC 的相似比为12. ∵△ABC 的边BC 上的高为6，面积为125，∴△DEF 的边EF 上的高为12×6＝3，面积为(12)2×125＝3 5. 如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？学生练习后，小组交流、讨论．教师讲评：若△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为k.则有AB A 1B 1＝BC B 1C 1＝CA C 1A 1＝k. ∴AB ＝kA 1B 1，BC ＝kB 1C 1，CA ＝kC 1A 1.∴AB ＋BC ＋CA A 1B 1＋B 1C 1＋C 1A 1＝kA 1B 1＋kB 1C 1＋kC 1A 1A 1B 1＋B 1C 1＋C 1A 1＝k. ∴相似三角形周长的比等于相似比．同样，相似多边形周长的比也等于相似比．四、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？五、板书设计27．2.2 相似三角形的性质 1．相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比． 2．相似三角形对应线段的比等于相似比． 3．相似三角形周长的比等于相似比． 4．相似三角形面积的比等于相似比的平方．六、教学反思本节课通过探索相似三角形的性质，体验化归思想，让学生深刻体验到有限数学归纳的魅力．要应用相似三角形的性质，必须要先有满足条件的两个相似三角形．应用性质“相似三角形面积的比等于相似比的平方”时，要注意由相似比求面积比必须平方，这一点学生容易忽略．反过来，由面积比求相似比必须开方，学生往往掌握不好，教学时可适当增加这方面的练习．导学方案一、学法点津三角形对应三线(高线、中线、角平分线)的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．可根据计量单位来记忆，高线、中线、角平分线、周长都是长度单位，都是一次的，所以相似比也是一次的；面积单位是二次的，所以相似比也是二次的．二、学点归纳总结1.知识要点总结相似三角形的性质：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．2.规律方法总结（1）已知三角形的相似比求面积比不容易出错，但已知面积比求相似比往往容易忘记求算术平方根．（2）类比相似三角形的性质可知，相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．（3）求相似三角形对应边的比和面积的比的问题可以互相转化，对于没有指明对应顶点的相似三角形仍然要分类讨论．课时作业设计一、选择题1．如果两个相似三角形对应边的比为1∶3，则它们周长的比为( )．A ．1∶3B ．3∶1C ．1∶9D ．9∶12．如果两个相似三角形面积的比为1∶4，则它们对应高的比为( )．A ．1∶4B ．4∶1C ．1∶2D ．2∶13．在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形图案的一条边由原来的1cm 变成2cm ，那么这次复印出来的多边形图案面积是原来的( )．A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍二、填空题4．已知两个相似三角形一组对应边分别是15cm 和23cm ，它们的周长相差40cm ，则这两个三角形的周长分别是__________．5．如果把一个15cm ×20cm 的矩形按相似比35进行变换，得到一个新矩形，那么它的周长为________cm ，面积为__________cm 2.三、解答题6．如下图所示，在△ABC 中，点D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，AD 、BE 相交于点G.若S △GDE ＝1，求S △ABC .【参考答案】1．A 2.C 3.D4．75cm 、115cm 5.42 1086．解：∵点D 、E 分别是BC 、AC 的中点，∴DE ∥AB ，DE ＝12AB. ∴△GAB ∽△GDE ，∴S △GAB S △GDE ＝(AB DE)2＝22＝4，∴S △GAB ＝4. ∵△AGE 与△GDE 等高， ∴S △AGE S △GDE ＝AG DG ＝AB DE ＝2，∴S △AGE ＝2. 同理可得 S △GBD ＝2，∴S 四边形ABDE ＝4＋2＋2＋1＝9.∵DE ∥AB ，∴△EDC ∽△ABC ，设S △ABC ＝x ，则x x －9＝(21)2， 得x ＝12，即S △ABC ＝12.。
人教版九年级数学下册：27.2.2 《相似三角形的性质》教学设计2
人教版九年级数学下册：27.2.2 《相似三角形的性质》教学设计2一. 教材分析《人教版九年级数学下册》第27.2.2节《相似三角形的性质》是学生在学习了相似三角形的概念和性质之后的内容。
本节主要让学生掌握相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
教材通过具体的例题和练习，引导学生探究相似三角形的性质，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了相似三角形的概念，并对相似三角形的性质有一定的了解。
但在实际运用中，对相似三角形的性质的理解和运用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，加深对相似三角形性质的理解，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，并能够运用性质解决实际问题。
2.培养学生的观察能力、操作能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.相似三角形的性质及其运用。
2.学生在实际问题中，如何运用相似三角形的性质解决问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，发现相似三角形的性质。
2.使用案例分析法，让学生在具体的问题中，运用相似三角形的性质解决问题。
3.运用启发式教学法，引导学生主动探究，培养学生的创新精神和合作意识。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备练习题和课后作业。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾相似三角形的概念和性质。
例如：在平面直角坐标系中，已知两个三角形的三个顶点坐标，如何判断这两个三角形是否相似？2.呈现（10分钟）呈现教材中的例题，引导学生观察、分析，发现相似三角形的性质。
通过小组讨论，让学生总结出相似三角形的性质。
3.操练（10分钟）让学生通过实际的例题，运用相似三角形的性质解决问题。
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《27.2.2 相似三角形的性质》教学设计
湖北省嘉鱼县高铁中学孙幼阶
一、内容和内容解析
（一）内容
相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
（二）内容解析
判定和性质是研究几何图形的两个重要方面，我们已研究了相似三角形的判定，接下来就要对性质进行研究．与全等三角形一样，相似三角形的性质主要研究三角形几何量之间的关系．
由相似三角形的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例．三角形还有其他的几何量，如高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等．教材先是对相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比进行探究，推广得到对应线段的比等于相似比，以此作为基础，得到相似三角形面积的比与相似比的关系．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：相似三角形对应线段的比、面积的比与相似比的关系的探究和运用．
二、目标和目标解析
（一）教学目标
1．了解相似三角形对应线段的比、面积的比与相似比的关系．
2．会利用相似三角形性质解决简单的问题．
（二）目标解析
1．达成目标1的标志是：知道相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，能够通过推理证明两条性质．
2．达成目标2的标志是：会利用相似三角形性质求有关线段的长和三角形的面积．
三、教学问题诊断分析
相似三角形的对应角相等，对应边成比例，由定义可得到，且类比于全等三角形的对应角相等，对应边相等，这些性质学生易于发现．但三角形还有其他的量，如何提出它们的性质？可提出哪些性质？既要从一维层面上提，又要想到二维层面上来，对学生现有的认知基础来说，还有一定的难度．
本节课的教学难点：提出相似三角形性质的猜想．
四、教学支持条件分析
用几何画板佐证“相似三角形对应线段的比等于相似比”．
五、教学过程设计
（一）导出猜想，确定方向
问题1：对于相似三角形，我们已研究了它的定义与判定，根据已有的研究几何图形的经验，我们还需研究什么？可以从哪些角度来研究？
师生活动：学生思考交流．
追问1：相似三角形的性质主要是研究三角形几何量之间的关系，三角形有哪些几何量？
师生活动：学生互相补充，列举出几何量．
追问2：我们已经知道哪些有关几何量的性质？还能从哪些几何量方面提出哪些性质猜想？
师生活动：学生回答相似三角形的对应角相等，对应边成比例，并写出性质猜想，如果学生列出性质猜想有难度，教师可再追问：全等三角形可以看作相似比为1的三角形，全等三角形对应高的比是多少？相似三角形呢？三角形的几何量呢？教师展示，并指出我们这堂课要研究的问题．
设计意图：对几何图形的研究包括判定和性质两个方面，性质主要研究几何量的相互关系，这样设计体现了几何图形研究的基本套路，立足于学生的可持续发展．学生自己提出研究的问题，能激发学生研究的兴趣．
（二）计算探究，归纳新知
问题2：
△ABC ∽△C B A '''，相似比为k ，证明对应高的比为k ．
追问：对应高在哪两个三角形中，它们相似吗？如何证明？
师生活动：学生证明，教师展示学生的证明过程．
设计意图：由于有两次相似，因此教师要根据相似的条件加以引导．
问题3：
如果△ABC ∽△C B A '''，相似比为k ，它们的对应中线、角平分线的比是否也等于相似比？
师生活动：学生猜想，证明留到课后完成．
追问：如果△ABC ∽△C B A '''，相似比为k ，对应线段的比呢？你是如何理解对应线段的？试举例说明．
师生活动：学生猜想，教师利用几何画板验证．
设计意图：由相似三角形对应高的比等于相似比类比，得到对应中线、角平分线的比等于相似比，进而归纳出对应线段的比等于相似比．几何画板辅助演示，直观形象，用利于学生归纳得出一般结论．
问题4：
如果△ABC ∽△C B A '''，相似比为k ，它们的周长有什么关系？
师生活动：学生自主探究，教师指导，将△ABC 中的每条边用△C B A '''中相应的边表示，然后得出结论．
设计意图：求对应周长的比可以看作是相似三角形对应线段的比等于相似比的应用． 问题5：如果△ABC ∽△C B A '''，相似比为k ，△ABC 与△C B A '''的面积比是多少？ 师生活动：（1）师生分析：我们已经知道相似三角形对应线段的比等于相似比，可将三角形的面积往对应线段上转化．
（2）由学生写出问题5的计算过程．
（3）教师板书：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
设计意图：在对相似三角形对应周长的比等于相似比的探究基础上，进一步运用转化的思想解决面积的比的问题，从一维到二维，让学生深入体会相似比的应用．
（三）典例探讨，运用新知
问题6：
如图2，在△ABC 和△DEF 中，DE AB 2=，DF AC 2=，D A ∠=∠，△ABC 的边BC
上的高是6，面积是512，求△DEF 的边EF 上的高和面积．
师生活动：师生一起分析△ABC 和△DEF 具有什么关系，相似三角形的对应高，对应面积有什么关系？
设计意图：进一步巩固两三角形相似的判定方法，初步学会运用新知求三角形的对应线段的长度和面积．
（四）小结反思，自主评价
回顾本节课的学习，回答下列问题：
我们研究了相似三角形哪些几何量之间的关系？它们各是什么关系？我们是如何证明对应高的比等于相似比的？
设计意图：点出图形性质的研究套路．对应高的比等于相似比用到两次相似，在小结中让学生回顾．
（五）分层作业，着眼发展
必做题：教科书第39页练习1，2，3题．
选做题：
如图3，△ABC 的面积为100，周长为80，20=AB ，
点D 是AB 上一点，12=BD ，过点D 作DE ∥BC ，
交AC 于E ．
（1）求△ADE 的周长和面积； （2）过点E 作EF ∥AB ，EF 交BC 于点F ，求△EFC 和四边形DBFE 的面积．
设计意图：必做题对三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行了巩固运用．选做题难度有所加大，要让学生找相似三角形，再通过周长的比、面积的比与相似比的关系解决．
六、目标检测设计
（一）选择题
1．已知△ABC ∽△DEF ，且AB ∶DE =1∶2，则BC 的中线与EF 的中线之比为（ ）
A ．1∶2
B ．1∶4
C ．2∶1
D ．4∶1
设计意图：考查“相似三角形对应线段的比等于相似比”的运用．
2．在△ABC 和△DEF 中，DE AB 2=，DF AC 2=，D A ∠=∠，如果△ABC 的周长是16，面积是12，那么△DEF 的周长、面积依次为（ ）
A ．8，3
B ．8，6
C ．4，3
D ．４，6
设计意图：结合三角形相似的判定，考查“相似三角形周长的比等于相似比”和“相似三角形面积的比等于相似比的平方”的运用．
（二）填空题
3．已知△ABC 与△DEF 相似且面积比为4∶25，则△ABC 与△DEF 的相似比F
E D C
B A 图3 A B
C D
E F 图2
为 ．
设计意图：考查“相似多边形面积的比等于相似比的平方”的运用．
4．已知两个相似三角形周长比为1∶2，它们的面积和为25，则较大三角形面积为_________.
设计意图：考查“相似三角形周长的比等于相似比”和“相似三角形面积的比等于相似比的平方”的运用．
（三）解答题
5．如图，□ABCD 中，点E 是AB 延长线上一点，DE 交BC
于点F ，已知BE ∶AB =3∶2，S △BEF =4，求S △CDF ．
设计意图：结合平行四边形的性质，考查“相似三角形面积的比等于相似比的平方”的
运用． A B C D E F （第5题）。