2010届高三数学总复习专题突破训练5

俯视图2010届高三数学总复习专题突破训练：立体几何一、选择题 1、（2009揭阳）某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的三面护墙，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为（制作过程合板的损耗和合板厚度忽略不计）（ ）D A. 240000cm B. 240800cmC. 21600(22cmD. 241600cm2、（2009广东五校）在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中，真命题是（ ）B（A ）若l β⊂，且αβ⊥，则l α⊥（B ）若l β⊥，且//αβ，则l α⊥（C ）若m αβ= ，且l m ⊥，则//l α（D ）若l β⊥，且αβ⊥，则//l α3、（2009番禺）一个几何体的三视图如右图，其中主视图和左视图都是边长为1的正三角形，那么这个几何体的侧面积为（ ）AA ．12π B ．CD ．4π 4、（2009吴川）已知α、β是两个不同平面，m 、n 是两条不同直线，则下列命题不正确．．．的是( )D A ．//,,m αβα⊥则m β⊥ B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αC ．n ∥α，n ⊥β，则α⊥βD ．m ∥β，m ⊥n ，则n ⊥β5、（2009北江中学）如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，主视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为（ ）B A ．324 B ．334 C ．354 D ．不确定 6、（2009北江中学）已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题：①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,；②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂；③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交； ④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂其中正确的命题是 （ ） D A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 7、（2009珠海）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ C ）A ．313cmB ．323cmC ．343cmD ．383cm8、（2009潮州）设x 、y 、z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：① x 、y 、z 均为直线；② x 、y 是直线，z 是平面；③ z 是直线，x 、y 是平面；④ x 、y 、z 均为平面。

其中使“x ⊥z 且y ⊥z ⇒x ∥y ”为真命题的是 （ ）CA ③ ④B ① ③C ② ③D ① ②9、（2009澄海）设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是（ ）AA ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④10、（2009韶关田家炳）设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列命题中，其中正确的命题是（ ）A. βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B. n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C. n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D. ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,, 二、解答题 1、（2009广雅期中）已知四棱锥P ABCD -的三视图如下图所示，E 是侧棱PC 上的动点.(1) 求四棱锥P ABCD -的体积；(2) 是否不论点E 在何位置，都有BD AE ⊥？证明你的结论； (3) 若点E 为PC 的中点，求二面角D AE B --的大小.DPE2、（2009广雅期中）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点.(1) 求证：//AF 平面BCE ； (2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ； (3) 求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值.3、（09广东四校理期末）如图所示,在矩形ABCD 中，AD =2AB =2，点E 是AD 的中点，将△DEC沿CE 折起到△D ′EC 的位置，使二面角D ′—EC —B（1）证明：BE ⊥C D ′；（2）求二面角D ′—B C —E 的正切值.4（09广东四校文期末）如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90︒.E 为BB 1的中点，D 点在AB 上且DE = 3 .（Ⅰ）求证：CD ⊥平面A 1ABB 1； （Ⅱ）求三棱锥A 1－C DE 的体积.5、（09北江中学文期末）如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，⊥PA 面ABCD ，E 、F 为别为PD 、 AB 的中点，且1==AB PA ，2=BC ， （Ⅰ）求四棱锥ABCD E -的体积； （Ⅱ）求证：直线AE ∥平面PFCABCD EFD BPE6、（2009广东东莞）在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，且异面直线B A 1与11C B 所成的角等于060，设a AA =1. （1）求a 的值；（2）求平面11BC A 与平面11BC B 所成的锐二面角的大小.7、（2009广州海珠）如图6，在直角梯形ABCP 中，AP//BC ，APAB ，AB=BC=2，D是AP 的中点，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、CB 的中点，将PCD ∆沿CD 折起，使得⊥PD 平面ABCD,如图7.（Ⅰ）求证：AP//平面EFG ； (Ⅱ) 求二面角D EF G --的大小; （Ⅲ）求三棱椎PAB D -的体积.8、（2009广州（一））如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．若3PA AD ==，CDAD FGCBEP图6BGCDFEAP图7ABC DA 1B 1C 1D 1PBE（Ⅰ）求证：//AF 平面PCE ； （Ⅱ） 求点F 到平面PCE 的距离；（Ⅲ）求直线FC 平面PCE 所成角的正弦值．9、（2009广东揭阳）如图，已知1111ABCD A B C D -是底面为正方形的长方体，1160AD A ∠=，14AD =，点P 是1AD 上的动点．（1）试判断不论点P 在1AD 上的任何位置，是否都有平面11B PA 垂直于平面11AA D ？并证明你的结论；（2）当P 为1AD 的中点时，求异面直线1AA 与1B P 所成角的余弦值； （3）求1PB 与平面11AA D 所成角的正切值的最大值．10、（2009广东潮州期末）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒∠=，PA 垂直于底面ABCD ，N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点。

(1)求证：DM PB ⊥；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角；（3）求截面ADMN 的面积。

11、（2009珠海期末）已知PA ⊥平面ABCD ，2PA AB AD ===，AC 与BD 交于E 点，2BD =，BC CD =，（1）取PD 中点F ，求证://PB 平面AFC 。

（2）求二面角A PB E --的余弦值。

12、（2009中山期末）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD AB AD ===== （I ）求证：AO ⊥平面BCD ；（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦；（III ）求点E 到平面ACD 的距离．答案：1、解：(1) 由三视图可知，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且2PC =. …………2分∴211212333P ABCD ABCD V S PC -=⋅=⨯⨯=正方形， 即四棱锥P ABCD -的体积为23. …………4分(2) 不论点E 在何位置，都有BD AE ⊥. …………5分证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥.…………6分 ∵PC ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，∴BD PC ⊥.…………7分 又∵AC PC C = ，∴BD ⊥平面PAC . …………8分 ∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC .∴不论点E 在何位置，都有BD AE ⊥. …………9分 (3) 解法1：在平面DAE 内过点D 作DF AE ⊥于F ，连结BF . ∵1AD AB ==，DE BE ===AE AE ==，∴Rt △ADE ≌Rt △ABE ，从而△ADF ≌△ABF ，∴BF AE ⊥. ∴DFB ∠为二面角D AE B --的平面角. …………12分 在Rt △ADE 中，AD DE DF BF AE ⋅===， 又BD =△DFB 中，由余弦定理得22222213cos 22223DF BF BD DFB DF BF ⨯-+-∠===-⋅⨯， …………13分∴120DGB ∠=︒，即二面角D AE B --的大小为120︒. 解法2：如图，以点C 为原点，CD CB CP ，，所在的直线分别为,,x y z 坐标系. 则(1,0,0)(1,1,0)(0,1,0)(0,0,1)D A B E ，，，，从而 (0,1,0)DA = ，(1,0,1)DE =- ，(1,0,0)BA = ，(0,1,1)BE =-. 设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为 1111(,,)n x y z = ，2222(,,)n x y z =， 由111110000n DA y x z n DE ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨-+==⎩⎪⎩，取1(1,0,1)n = . …………11分 由222220000n BA x y z n BE ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨-+==⎩⎪⎩，取2(0,1,1)n =-- . …………12分 ABCDPEFEz设二面角D AE B --的平面角为θ，则12121cos 2n n n n θ===-⋅ ， …………13分 ∴23πθ=，即二面角D AE B --的大小为23π. …………14分 2、方法一：(1) 证法一：取CE 的中点G ，连FG BG 、.∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且12GF DE =. …………1分∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ，∴//GF AB . …………2分 又12AB DE =，∴GF AB =. …………3分∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG . …………4分 ∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，∴//AF 平面BCE . …………5分 证法二：取DE 的中点M ，连AM FM 、.∵F 为CD 的中点，∴//FM CE . …………1分∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴//DE AB . …………2分又12AB DE ME ==，∴四边形ABEM 为平行四边形，则//AM BE . …………3分 ∵FM AM ⊄、平面BCE ，CE BE ⊂、平面BCE ， ∴//FM 平面BCE ，//AM 平面BCE .又FM AM M = ，∴平面//AFM 平面BCE . …………4分 ∵AF ⊂平面AFM ，∴//AF 平面BCE . …………5分(2) 证：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥. …………6分∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE AF ⊥. …………7分 又CD DE D = ，故AF ⊥平面CDE . …………8分 ∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE . …………9分 ∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE . …………10分(3) 解：在平面CDE 内，过F 作FH CE ⊥于H ，连BH . ∵平面BCE ⊥平面CDE ， ∴FH ⊥平面BCE .∴FBH ∠为BF 和平面BCE 所成的角. …………12分设22AD DE AB a ===，则sin 452FH CF a =︒=，2BF a ===，R t △FHB中，sin FH FBH BF ∠==∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为.…………14分方法二：ABCDEFMHG设22AD DE AB a ===，建立如图所示的坐标系A xyz -，则()()()()()000200,0,0,,,0,,2A C a B a D a E a a ，，,，，.…………2分∵F 为CD的中点，∴3,02F a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. …………3分 (1) 证：()()3,0,,,2,0,2AF a BE a a BC a a ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭， …………4分 ∵()12AF BE BC =+，AF ⊄平面BCE ，∴//AF 平面BCE . …………5分 (2) 证：∵()()3,,0,,0,0,0,222AF a a CD a ED a ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭， …………6分∴0,0AF CD AF ED ⋅=⋅= ，∴,AF CD AF ED ⊥⊥. …………8分 ∴AF ⊥平面CDE ，又//AF 平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE . …………10分(3) 解：设平面BCE 的法向量为(),,n x y z = ，由0,0n BE n BC ⋅=⋅=可得：0,20x z x z +=-=，取()1,2n =. …………12分又3,2BF a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设BF 和平面BCE 所成的角为θ，则sin 4BF n BF n θ===⋅ . ∴直线BF 和平面BCE所成角的正弦值为4. …………14分 3、解：（1）∵AD =2AB =2，E 是AD 的中点， ∴△BAE ，△CDE 是等腰直角三角形，易知, ∠BEC =90°，即BE ⊥EC. 又∵平面D ′EC ⊥平面BEC ，面D ′EC ∩面BEC =EC , ∴BE ⊥面D ′EC ，又C D ′⊂ 面D ′EC , ∴BE ⊥CD ′； （2）法一：设M 是线段EC 的中点，过M 作MF ⊥BC 垂足为F ，连接D ′M ，D ′F ，则D ′M ⊥EC . ∵平面D ′EC ⊥平面BEC , ∴D ′M ⊥平面EBC , ∴MF 是D ′F 在平面BECD ′F ⊥BC∴∠D ′FM 是二面D ′—BC —E 的平面角. 在Rt △D ′MF 中，D ′M =21EC =22，MF =21AB =21∴,2tan ='='∠MFMD FM D DB即二面角D ′—BC —E 的正切值为2.法二：如图，以EB ，EC 为x 轴、y 轴，过E 垂直于平面BEC 的射线为z 轴，建立空间直角坐标系.则B （2，0，0），C （0，2，0），D ′（0，22，22）设平面BEC 的法向量为)1,0,0(1=n ；平面D ′BC 的法向量为),,(2222z y x n =33,cos ),1,1,1(,10222202200),22,22,0(),0,2,2(21212122222222=>=<∴==⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧='⋅=⋅-='-=n n n x z y y x D n n D 得取由⇒ tan ><→→21,n n =2 ∴二面角D ′—BC —E 的正切值为2.4、解：(1)在Rt △DBE 中，BE=1，DE= 3 ，∴BD=DE 2－BE 2= 2 = 12AB ，∴ 则D 为AB 中点, 而AC=BC ， ∴CD ⊥AB 又∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱, ∴CD ⊥AA 1 又 AA 1∩AB =A 且 AA 1、AB ⊂ 平面A 1ABB 1 故 CD ⊥平面A 1ABB 1 6分 （2）解：∵A 1ABB 1为矩形，∴△A 1AD ，△DBE ，△EB 1A 1都是直角三角形， ∴ 111111A EB D BE AD A ABB A D E A S S S S S ∆∆∆∆---==2×2 2 －12 × 2 ×2－12 × 2 ×1－12 ×2 2 ×1= 322∴ V A 1－CDE =V C －A 1DE = 13 ×S A 1DE ×CD= 13 ×32 2 × 2 =1 ∴ 三棱锥A 1－CDE 的体积为１．14分5、解：（1）取AD 的中点O ，连接EO,则EO 是∆PAD 的中位线，得EO ∥PA,故EO 面⊥ABCD,EO 是四棱锥ABCD E -的高，3121213131=⨯⨯⨯=⨯=-EO S V ABCD ABCD E 6分 （2）取PC 的中点G,连EG,FG, 由中位线得EG ∥CD,EG=21CD=AF, ∴ 四边形AFGE 是平行四边形， AE FG PFC AE ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄∴FG //AE PFC 面面∥PFC 面 6分6、解法一：（1） 11//C B BC ，∴BC A 1∠就是异面直线B A 1与11C B 所成的角，即0160=∠BC A ，……（2分）连接C A 1，又AC AB =，则C A B A 11=∴BC A 1∆为等边三角形，……………………………4分由1==AC AB ，090=∠BAC 2=⇒BC ，∴121221=⇒=+⇒=a a B A ；………6分（2）取B A 1的中点E ，连接E B 1，过E 作1BC EF ⊥于F ，连接F B 1，B A E B 11⊥,E BC A 111⊥⊥⇒E B 1平面11BC A⊥⇒E B 11BC ………………8分 又1BC EF ⊥，所以⊥1BC 平面EF B 1，即11BC F B ⊥，所以FE B 1∠就是平面11BC A 与平面11BC B 所成的锐二面角的平面角。