第1章平面直角坐标系
第一部分 第二章 §1 1.5 平面直角坐标系中的距离公式
提示：能，|AC|＝|x2－x1|，|BC|＝|y2－y1|. 由勾股定理得|AB|＝ x2－x12＋y2－y12. |AC|2＋|BC|2＝
两点间的距离公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点A，B的距离公式 |AB|＝
x2－x12＋y2－y12 .
在平面几何中，求点P到直线l的距离的方法是：先 过点P作l的垂线PH，垂足为H，再求PH的长度即可．那么， 在平面直角坐标系中，如何用坐标法求出点P(x0，y0)到直
[例3]
求点P0(－1,2)到下列直线的距离．
(1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0.
[思路点拨] 解答本题可先将直线方程化为一
般式，然后直接利用点到直线的距离公式求解，对于
(2)(3)题中的特殊直线，也可以借助图像求解．
[精解详析]
(1)由点到直线的距离公式知d＝ 5.
|2×－1＋2－10| 10 ＝ ＝2 2 5 2 ＋1
2．应用点到直线的距离公式的注意事项
(1)特别地，当点P0在直线上时，点P0到该直线
的距离为0.
(2)在应用此公式时，若给出的直线方程不是一
般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距
离．
[例1]
(1)求直线2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴
的交点之间的距离；
(2)已知点A(a，－5)与B(0,10)间的距离是17，求a 的值； (3)求直线l：y＝x被两条平行直线x＋y－2＝0和x＋
[一点通]
下几点
使用点到直线的距离公式时应注意以
(1)若所给的直线方程不是一般式，则应先把方
程化为一般式，再利用公式求距离． (2)若点P在直线上，点P到直线的距离为零，此 公式仍然适用．
高一数苏教必修四讲义：第1章 1.1 1.1.1 任 意 角 Word含答案
任意角、弧度1．1.1任意角预习课本P5～7，思考并完成下列问题1．在初中，角是怎样定义的？2．如果角按旋转的方向来进行分类，可分为哪三类？3．如果把角放入平面直角坐标系中，象限角和轴线角的规定是怎样的？4．如何表示终边相同的角？[新知初探]1．任意角(1)角的概念一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．(2)角的分类正角：按逆时针方向旋转所形成的角；负角：按顺时针方向旋转所形成的角；零角：射线没有作任何旋转所形成的角．[点睛]对角的理解关键是抓住旋转二字(1)要明确旋转的方向；(2)要明确旋转量的大小；(3)要明确旋转的开始位置．2．象限角、轴线角以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角．[点睛](1)角的顶点要与坐标原点重合；(2)角的始边要与x轴的正半轴重合.3．终边相同的角一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．[点睛]终边相同的角与相等的角是两个不同的概念，两角相等，终边一定相同，但是两角终边相同时，两角不一定相等，它们相差360°的整数倍．[小试身手]1．下列命题正确的是____________(填序号)．①－30°是第一象限角；②750°是第四象限角；③终边相同的角一定相等；④－950°12′是第二象限的角．★答案★：④2．－1 120°角所在象限是____________．★答案★：第四象限3．与405°角终边相同的角的集合是____________．★答案★：{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}4．在－180°到360°范围内，与2 000°角终边相同的角为____________．★答案★：－160°，200°角的概念辨析[典例]有下列说法：①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；②{α|α是锐角}{β|0°≤β<90°}；③第一象限角都是锐角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确说法的序号是________．[解析]①不正确．终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立；②∵α是锐角，即0°<α<90°，故{α|0°<α<90°}{β|0°≤β<90°}，故②正确；③第一象限角不一定都是锐角，如380°是第一象限角，但它不是锐角，故③不正确；④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．[★答案★]②有关角的概念辨析的解题策略(1)正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．(2)可通过举出反例来进行判断．下列命题是真命题的序号是________．①三角形的内角必是一、二象限内的角；②第二象限角是钝角； ③不相等的角终边一定不同；④{α|α＝k ·360°±90°，k ∈Z}＝{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z}． 解析：①90°不是象限角；②如－240°是第二象限角，但不是钝角； ③如0°和360°不相等，但终边相同；④k ·360°±90°＝2k ·180°±90°＝2k ·180°＋90°或(2k －1)·180°＋90°，k ∈Z. ★答案★：④象限角及终边相同的角[典例] 在0°到360°的范围内，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角． (1)－736°；(2)904°18′.[解] (1)－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角． ∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角． (2)904°18′＝2×360°＋184°18′，184°18′是第三象限角． ∴184°18′与904°18′是终边相同的角，且904°18′为第三象限角．(1)把任意角化为α＋k ·360°(k ∈Z 且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k .可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行；负角除以360°，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值．(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．[活学活用]写出－720°到720°之间与－1 068°终边相同的角的集合为______________． 解析：与－1 068°终边相同的角为－1 068°＋k ·360°，要落在－720°到720°之间，则取k ＝1,2,3,4.★答案★：{－708°，－348°，12°，372°}已知角α所在象限，判断αn 或nα(n ∈Z)所在象限[解] ∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°，k ∈Z. ∴180°＋2k ·360°＜2α＜360°＋2k ·360°，k ∈Z.∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角． [一题多变]1．[变设问]若本例条件不变，求α2是第几象限角？解：45°＋k 2 ·360°＜α2＜90°＋k2·360°，k ∈Z.当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ， 则45°＋n ·360°＜α2＜90°＋n ·360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ， 则225°＋n ·360°＜α2＜270°＋n ·360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．2．[变设问]若本例条件不变，求α3是第几象限角？解：∵k ·120°＋30°<α3<k ·120°＋60°(k ∈Z)，当k ＝3n (n ∈Z)时， n ·360°＋30°＜α3＜n ·360°＋60°；当k ＝3n ＋1(n ∈Z)时， n ·360°＋150°＜α3＜n ·360°＋180°；当k ＝3n ＋2(n ∈Z)时， n ·360°＋270°＜α3＜n ·360°＋300°.∴α3是第一或第二或第四象限的角. 3．[变条件]已知α是第二象限角，且8α与2α的终边相同，判断2α是第几象限角． 解：8α＝2α＋k ·360°(k ∈Z)， 所以α＝k ·60°(k ∈Z)， 所以，2α＝k ·120°(k ∈Z)，当k 为偶数时， 2α的终边分别落在x 轴的正半轴和第二、第三象限． 当k 为奇数时，2α的终边分别落在x 轴的正半轴和第二、第三象限， 所以，2α为第二或第三象限角，或是终边落在x 轴正半轴上的角．已知角α终边所在象限，(1)确定nα终边所在的象限，直接转化为终边相同的角即可． (2)确定αn 终边所在象限常用的步骤如下：①求出αn 的范围；②对n 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1； ③下结论．层级一 学业水平达标1．在0°到360°范围内，与－950°角终边相同的角是________．解析：－950°＝130°－3×360°，所以在0°～360°的范围内，与－950°角终边相同的角是130°.★答案★：130°2．在－390°，－885°，1 351°，2 016°这四个角中，其中第四象限角的个数为________． 解析：－390°＝－360°－30°是第四象限角；－885°＝－2×360°－165°是第三角限角；1 351°＝3×360°＋271°是第四象限角；2 016°＝5×360°＋216°是第三象限角．故有2个．★答案★：23．钟表经过2小时，时针转过的度数为________．解析：时针均按顺时针方向旋转，2小时时针转过16周，所以时针转过了－60°.★答案★：－60°4．已知角α，β的终边相同，那么α－β的终边在________． 解析：∵角α，β的终边相同， ∴α＝k ·360°＋β，k ∈Z.作差α－β＝k ·360°＋β－β＝k ·360°，k ∈Z. ∴α－β的终边在x 轴的正半轴上． ★答案★：x 轴的正半轴上5. 设集合A ＝{α|α＝90°·k ＋30°，k ∈Z}，B ＝{α|0°≤α<360°}，则A ∩B ＝________. 解析：由0°≤90°·k ＋30°<360°，k ∈Z ， 得－13≤k <113，k ∈Z ，所以k ＝0,1,2,3，所以A ∩B ＝{30°，120°，210°，300°}． ★答案★：{30°，120°，210°，300°}6．若α＝45°＋k·180° (k∈Z)，则α的终边在第________象限．解析：由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限，当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限．∴α是第一或第三象限的角．★答案★：一或三7．已知α与β均为正角，且α＋β＝180°，若0°<α≤90°，则角β的终边位于_______________．解析：若0°<α<90°，则90°<β＝180°－α<180°，即角β的终边在第二象限；若α＝β＝90°，则角β的终边位于y轴正半轴上．★答案★：第二象限或y轴正半轴上8．若角α满足180°＜α＜360°，角5α与角α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝______________.解析：∵5α与α的始边和终边相同，∴这两角的差应是360°的整数倍．即5α－α＝4α＝k·360°，k∈Z.即α＝k·90°.又180°<α<360°，∴180°<k·90°<360°.∴2<k<4.∴k＝3，故α＝270°.★答案★：270°9．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．解：(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}．10．已知α＝－1 910°，(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解：(1)设α＝β＋k·360°(k∈Z)，则β＝－1 910°－k·360°(k∈Z)．令－1 910°－k·360°≥0，解得k≤－1 910 360.所以k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．(2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到符合－720°≤θ＜0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或－470°.层级二应试能力达标1．在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为___________．解析：与角－60°的终边在同一条直线上的角为－60°＋k·180°，k∈Z，取k＝1,2.★答案★：120°与300°2．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，再顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝________.解析：根据任意角的定义可得∠AOC＝120°＋(－270°)＝－150°.★答案★：－150°3．若α是第三象限角，则180°－α是第________象限角．解析：因为α是第三象限角，所以k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z.所以k·360°－90°<180°－α<k·360°，k∈Z.所以180°－α为第四象限角．★答案★：四4．与1 991°终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．解析：与1 991°终边相同的角为1 991°＋k·360°，取k＝－5，－6.★答案★：191°，－169°5．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________________.★答案★：150°＋k·360°，k∈Z6．已知角2α的终边落在x 轴上方，那么α是第________象限角． 解析：由题知k ·360°＜2α＜180°＋k ·360°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α＜90°＋k ·180°，k ∈Z.当k 为偶数时，α是第一象限角；当k 为奇数时，α为第三象限角，∴α为第一或第三象限角．★答案★：一或三7．若θ是第一象限角，判断θ2所在的象限．解：∵θ是第一象限角， ∴k ·360°<θ<k ·360°＋90°(k ∈Z)． k ·180°<θ2<k ·180°＋45°(k ∈Z)．当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°<θ2<n ·360°＋45°，∴θ2为第一象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时， n ·360°＋180°<θ2<n ·360°＋225°，∴θ2为第三象限角．综上，θ2为第一或第三象限角．8．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上． (1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°<β<720°的元素． 解：(1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°， 在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°， 终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合为： S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z}， S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z}， 所以角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z} ＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z} ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z}．(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋k·180°<720°，k∈Z.解得－73<k<113，k∈Z，所以k＝－2，－1,0,1,2,3.所以S中适合不等式－360°<β<720°的元素为：60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.。
1.第9课时 平面直角坐标系与函数
或_(a__，__b_＋__n_)．口诀(a：，左b－减n右) 加，上加下减
第9课时 平面直角坐标系与函数
1. 在平面直角坐标系中，点M(－2，－5)在( C )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 下列各点不在x轴上的是( A )
A. (－1，－1)
B. (－1，1)
C. (1，1)
D. (1，－1)
第9课时 平面直角坐标系与函数
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Байду номын сангаас
5.点P(2，－3)关于y轴对称的点的坐标是_(_－__2_，__－__3_)_． 6. 在平面直角坐标系中，将点P(－3，2)向上平移4个单位长度后得到点P′，则P′ 的坐标为_(_－__3_，__6_)． 7. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为(2m＋4，m－1)，若点P在过点A(2，－3)且 与x轴平行的直线上，则点P的坐标为(0_，__－__3_)__．
坐标刻画一个简单图形；
第9课时 平面直角坐标系与函数
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◎探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义； ◎结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例； ◎能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析； ◎ 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值； ◎能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系； ◎结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论．
函数表达式的形式 自变量的取值范围
第9课时 平面直角坐标系与函数
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第1章2.位置变化的描述——位移
1. 定义：为了定量地描述物体（质点）的位置以及位置的变化而建立的具有 原点、方向和标度的坐标轴.2. 建立坐标系的目的：为了定量描述物体（质点）的位置以及位置的变化.「螯坐标系3 .种类2蚩面直角坐标系.三维坐标系［再判断］1. 描述直线运动，一般建立直线坐标系.（V ）2.物体在某平面内做曲线运动时，应当用平面直角坐标系描述.（V ）3.描述花样滑冰运动员的位置，应用直线坐标系.（x ）［后思考］1. 某运动员正在百米赛道上自南向北全力奔跑，为准确描述他在不同时刻 的位置和位置变2.位置变化的描述——位移学习目标 知识脉络i.知道坐标系的概念，会用一维坐标系定量描述物体的 位置及位置的变化. 2 .知道矢量和标量的定义及二者计算方法的不同. 3.理解位移的概念，知道位移是矢量，知道位置、位 移、路程等概念的区别和联系.（重点）伞标系化，应建立怎样的坐标系？图1-2-1【提示】可以以赛道起点为原点，选择向北方向为正方向，选取一定的标度，建立直线坐标系.2•如图1-2-2甲所示，冰场上的花样滑冰运动员，要描述他的位置，你认为应该怎样建立坐标系？如图乙所示，要描述空中飞机的位置，又应怎样建立坐标系？甲乙图1-2-2【提示】描述运动员的位置可以以冰场中央为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y 轴正方向，建立平面直角坐标系•如果要描述飞机的位置，则需要确定一点(如观察者所在的位置)为坐标原点，建立空间直角坐标系.探讨1:坐标系建立的三要素是什么？【提示】原点、正方向、单位长度.探讨2:在坐标系中物体位置的变化与坐标原点的位置有关吗？【提示】无关，物体位置的变化用物体位置坐标之差来表示，与坐标原点的位置无关.［核心点击］1. 建立坐标系的意义和原则(1) 意义：借助适当的坐标系可以定量地描述物体的位置及位置变化.(2) 原则：建立坐标系的原则是确定物体的位置方便、简捷.2. 三种坐标系的比较典例一个小球从距地面4m高处落下，被地面弹回，在距地面1 m高处被接住.坐标原点定在抛出点正下方2 m处，向下方向为坐标轴的正方向.小球的抛出点、落地点、接住点的位置坐标分别是（）【导学号：96332019】A. 2 m,—2 m,—1 m B . —2 m,2 m,1 mC. 4 m,0,1 m D . —4 m,0,—1 m【解析】根据题意建立如图所示的坐标系，A点为抛出点，坐标为一2 m, B点为坐标原点，D点为地面，坐标为2 m，C点为接住点，坐标为1 m，所以选项B正确.【答案】B［迁移1］在纪念抗日战争暨反法西斯战争胜利70周年的阅兵仪式上，被检阅的方队和战车依次从天安门前经过，以北京长安街为坐标轴x,向西为正方向，以天安门中心所对的长安街中心为坐标原点O,建立一维坐标系.一辆装甲车最初在原点以东3 km处，一段时间后行驶到原点以西2 km处.这辆装甲车最初位置坐标和最终位置坐标分别是（）图1-2-3A. 3 km,2 km B . —3 km,2 kmC. 3 km,—2 kmD. —3 km, —2 km【解析】解答本题可按以下流程分析：【答案】B［迁移2］湖中0点有一观察站，一小船从0点出发向东行驶4 km，又向北行驶3 km,则0点的观察员对小船位置的报告最为精确的是（）【导学号：96332019】A .小船的位置变化了7 kmB •小船向东北方向运动了7 kmC. 小船向东北方向运动了5 kmD. 小船的位置在东偏北37°方向5 km处【解析】如果取O点为坐标原点，东方为x轴正方向，北方为y轴正方向,则小船的位置坐标为（4 km,3 km）或x= 4 km,y= 3 km，小船虽然运动了7 km，但在O点的观察员看来，它离自己的距离是-'42+ 32 km = 5 km,方向要用角度3 一表示，sin 0= 5 = 0.6，因此0= 37°,如图所示.故D正确.【答案】D位置坐标的“相对性”和位置变化的“绝对性”1. 物体的位置坐标与坐标系原点的选取、坐标轴正方向的规定有关.同一位置，建立某种坐标系时所选原点不同，或选定的正方向不同，物体的位置坐标不同.2.物体位置的实际变化与坐标系原点的选取、坐标轴正方向的规定无关.［先填空］1.路程物体运动轨迹的长度.2. 位移⑴物理意义：表示物体（质点）在一段时间内位置的变化.（2）定义：从初位置到末位置的一条有向线段.（3）大小：初、末位置间有向线段的长度.（4）方向：由初位置指向末位置.1 .路程的大小一定大于位移的大小.（X ）2 •物体运动时，路程相等，位移一定也相等.（X ）3. 列车里程表中标出的北京到天津122 km,指的是列车从北京到天津的路程.（V）4. 位移由质点运动的始末位置决定，路程由质点实际运动的路径决定.（V）［后思考］1. 物体的位移为零，表示物体一定静止吗？【提示】不一定，位移为零表示物体初、末位置相同，物体可能运动了一周又回到了出发点.2. 一个人从北京去重庆，可以乘火车，也可以乘飞机，还可以先乘火车到武汉，然后再乘轮船沿长江到重庆，如图1-2-4所示，则他的运动轨迹、位置变动、走过的路程和他的位移是否相同？图1-2-4【提示】他的运动轨迹不同，走过的路程不同；他的位置变动相同，位移相同.［合作探讨］探讨：在图中，A处两个同学分别沿图中直线走到B（图书馆）、C（操场）两个不同位置，经测量知，路程是相同的，那么，两同学的位移相同吗？请说明理由.图1-2-5【提示】两同学的位移不相同.原因是：位移是矢量，既有大小，又有方向.虽然两同学的路程相等，但位置变化的方向是不相同的，故两同学的位移不相同.［核心点击］路程和位移的区别与联系卜典例四建筑工地上的起重机把一筐砖先竖直向上提升然后水平移动30 m,此过程中关于砖及其路程和位移大小表述正确的是()A •砖可视为质点，路程和位移都是70 mB •砖不可视为质点，路程和位移都是50 mC. 砖可视为质点，路程为70 m,位移为50 mD. 砖不可视为质点，路程为50 m,位移为70 m【解析】当物体的形状、大小对所研究的问题没有影响或者影响不大时，物体可以看做质点.路程等于物体运动轨迹的长度，则路程s= 40 m+ 30 m = 70 m，位移大小等于首末位置的距离，x=" 302+ 402 m = 50 m.【答案】C［迁移3］如图1-2-6所示，物体从A运动到C,以下说法正确的是()【导学号：96332019】图1-2-6A .经1从A运动到C的位移最小B. 经2从A运动到C的位移是曲线C. 经3从A运动到C的位移最大D. 无论从哪条路线运动，位移都相同【解析】由图看出，三个运动过程物体的起点与终点相同，根据位移是从起点到终点的有向线段可知，位移都相同，位移都是A - C.故D正确，A、B、C 错误．【答案】D[迁移4] (多选)如图1-2-7所示为某学校田径运动场跑道的示意图，其中A点是所有跑步项目的终点，也是400 m、800 m赛跑的起跑点，B点是100 m赛跑的起跑点.在一次校运动会中，甲、乙、丙三位同学分别参加了100 m、400 m和800 m赛跑,则从开始比赛到比赛结束时( )【导学号：96332019】图1-2-7A .甲的位移最大B .丙的位移最大C.乙、丙的路程相等 D .丙的路程最大【解析】甲同学的初、末位置直线距离为100 m,位移大小为100 m,路程也是100 m；乙同学路程为400 m，但初、末位置重合，位移大小为零；丙同学路程为800 m,初、末位置重合，位移大小也为零，所以甲的位移最大，丙的路程最大，A、D 正确.【答案】AD位移和路程的“可能”与“不可能”1. 位移与路程永远不可能相同.因为位移既有大小又有方向；而路程只有大小没有方向.两者的运算法则不同.2. 在任何情况下，位移的大小都不可能大于路程. 因为两点之间线段最短.3. 位移大小与路程可能相等，一般情况下，位移大小都要小于路程，只有当物体做单向直线运动时，位移大小才与路程相等.标量和［先填1 •标量：只有大小没有方向的物理量，如质量、时间、路程等.2•矢量：既有大小又有方向的物理量，如力、速度、位移等.3 •运算法则两个标量的加减遵循算术法则，而矢量则不同，后面将学习到.［再判断］1. 负5 m的位移比正3 m的位移小.（X）2. 李强向东行进5 m,张伟向北也行进5 m,他们的位移不同.（V）3. 路程是标量，位移是矢量.（V）4. 标量只有正值，没有负值.（X）［后思考］1. 物体运动前一半时间内路程为2 m,后一半时间内路程为3 m,总路程一定是5 m吗？【提示】是，路程是标量，其运算满足算术运算法则.2. 物体运动前一半时间内位移为2 m，后一半时间位移为3 m，总位移一定是5 m吗？【提示】不一定，位移为矢量，其运算不满足算术运算法则.［合作探讨］探讨1:像位移这样的物理量叫做矢量，既有大小又有方向.但是我们以前学过的物理量很多都只有大小，没有方向，请同学们回忆哪些物理量只有大小，没有方向？【提示】温度、质量、体积、长度、时间、路程.探讨2:矢量和标量的算法有什么不同？【提示】两个标量相加遵从算术加法的法则.两个矢量相加满足平行四边形定则（第三章学习）.［核心点击］A .质量 C .路程1 .矢量的表示方法⑴图示表示：用带箭头的线段表示，线段的长度表示矢量的大小，箭头的 方向表示矢量的方向.(2)数字表示：先建立坐标系并规定正方向，然后用正、负数来表示矢量.“ + ”号表示与坐标系规定的正方向一致， “―”号表示与坐标系规定的正方向相反；数字的大小表示矢量的大小.2. 矢量和标量的区别(1) 矢量是有方向的，标量没有方向.(2) 标量的运算法则为算术运算法则，即初中所学的加、减、乘、除等运算 方法；矢量的运算法则为以后要学到的平行四边形定则.()A .两个运动物体的位移大小均为 30 m ,则这两个位移一定相同 B. 做直线运动的两物体的位移 x 甲=3 m ，x 乙=一 5 m ，则x 甲＞x 乙 C. 温度计读数有正也有负，其正、负号表示方向D. 温度计读数的正、负号表示温度的高低，不能表示方向【解析】 当两个矢量大小相等、方向相同时，才能说这两个矢量相同；直线运动的位移的“ + ”、“一”号只表示方向；温度是标量，标量的正负表示大 小(即温度的高低).【答案】 D［迁移5］下列物理量中，哪个是矢量( )【导学号：96332009】B .时间 D .位移【解析】 质量、时间和路程都只有大小，没有方向，是标量.位移既有大 小又有方向，是矢量.选项 D 正确.【答案】 D十 、 “一”号只代表方向.(3)矢量大小的比较要看其数值的绝对值大小，绝对值大的矢量大，而F 列关于位移(矢量)和温度(标量)的说法中，正确的是[迁移6] (多选)关于矢量和标量，下列说法中正确的是( )A .矢量是既有大小又有方向的物理量B.标量是既有大小又有方向的物理量C .位移一10 m比5 m小D.—10 C比5 C的温度低【解析】由矢量的定义可知，A正确，B错误；位移的正、负号只表示方向，不表示大小，其大小由数值和单位决定，所以—10 m 的位移比5 m 的位移大，故C错误；温度的正、负是相对温度为0 C时高出和低于的温度，所以一10 C比5 C的温度低，故D正确.【答案】AD矢量、标量的大小比较比较两个矢量大小时比较其绝对值即可. 比较两个标量大小时，有的标量比较绝对值，如电荷量，有的标量比较代数值，如温度.。
人教版七年级数学下册课件 7.1.2 平面直角坐标系 (共22张PPT)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
A: -3; B: 2. 点C. 思考2 : 由(1)你发现数轴上的点与实数是什么关系？
一一对应. ①数轴上的每个点都对应一个实数(这个实数叫作这个
点在数轴上的坐标); ②反过来,知道一个数, 这个数在数轴上的位置就确定了.
新课导入
1596－1650
数学家笛卡儿潜心研究能否用代数中的 计算来代替几何中的证明. 有一天, 在梦中他 用金钥匙打开了数学宫殿的大门, 遍地的珠 子光彩夺目, 他看见窗框角上有一只蜘蛛正 忙着结网, 顺着吐出的丝在空中飘动, 一个念 头闪过脑际: 眼前这一条条的横线和竖线不 正是自己全力研究的直线和曲线吗?
5 N
A
平面内的点就可以用一个
4
x轴上的点的
(3, 4)
有序数对来表示了.
纵坐标为0; y 3
轴上的点的 2 C 例如, 由点 A 分别向 x 轴、横坐标为0. 1
原点O的坐标 为(0, 0)
y轴作垂线, 垂足M 在 x 轴 上的坐标3, 垂足 N 在 y 轴 -4 -3
-2
-1 O
M 1 2 3456
y
D （0, 6）
6
C（6, 6）
5
4
3
2
1
A(O) （0,10）2 3 4 5 B （6, 0）
x
新知探究
请另建立一个平面直角坐标系, 这时正方形的顶点A, B, C, D 的坐标又分别是什么？与同学们交流一下.
y
D (-3,3)
C (3,3)
A (-3,-3)
B (3,-3)
x
新知探究
由上得知, 建立的平面直角坐标系不同, 则各点的坐标也 不同. 你认为怎样建立直角坐标系才比较适当？
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第三章 函数 第一节 平面直角坐标系
1．在平面直角坐标系中，A 点坐标为(3，4)，将 A 点绕原点 O 顺时针旋
转 180°得到 A′，则点 A′的坐标是
( B)
A．(－4，3)
B．(－3，－4)
C．(－4，－3)
D．(－3，4)
2．(RJ 八上 P71 练习 T2 改编)如图，△ABO 关于 x 轴对称，点 A 的坐标 为(1，－2)，写出点 B 的坐标是(1(1，，22))．
类型二 点的坐标变换
3．(2020·兰州第 8 题 4 分)若点 A(－4，m－3)，B(2n，1)关于 x 轴对称，
则
( B)
A．m＝2，n＝0 B．m＝2，n＝－2
C．m＝4，n＝2 D．m＝4，n＝－2
4．(2021·兰州第 6 题 3 分)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(－2，4)关
3．(RJ 七下 P69 习题 T4 改编)在平面直角坐标系中，已知点 P 到 x 轴的
距离为 2，到 y 轴的距离为 3.
(1)若点 P 在第二象限，则其坐标为__(－－33，，2)_2_)，关于原点的对称点 P′ 坐标为__((33，，－－2)2__)；若将点 P 先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，其对应点的坐标为(－(1－1，，11))．
命题点：平面直角坐标系中点的坐标特征(省卷近 5 年考查 4 次，兰州近
5 年考查 2 次)
类型一 点的坐标位置
1．(2016·省卷第 5 题 3 分)已知点 P(0，m)在 y 轴的负半轴上，则点 M(－
m，－m＋1)在
( A)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．(2019·省卷第 11 题 4 分改编)中国象棋是中华民族的 文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋 棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(0，－2)， “马”位于点(4，－2)，则“兵”位于点 _(__－_ 1，1) ．
《平面直角坐标系》复习课件(共32张PPT)
特殊位置点的特殊坐标：
坐标轴上点P
（x，y）
连线平行于坐标轴 的点
点P（x，y）在各象限的
坐标特点
象限角平分线 上的点
x轴 y轴 原点 平行于 平行于y 第一 第二 第三 第四 一三象 二四象
x轴
轴
象限 象限 象限 象限 限
限
纵坐标相 横坐标相 x＞0
(x,0) (0,y) (0,0) 同
.
6.点A(x,y),且x+y>0,
x 那0 么点A在第___象限 y
特殊点的坐标 y
（０，y）
在平面平直行角于坐x轴标的系直内线描上出(2,2),(的0,各2),点(2的,2)纵,(4坐,2)标,依相次连 接各点同,,从横中坐标你不发同现. 了什么?
1
-1 0 1 -1
在平面直角坐标系内描
出平(行-2于,3)y,轴的直线上的
x
1
2
.
C
3
4
5
1.点Ｐ的坐标是（２，－３），则点Ｐ在第 四象限．
２．若点Ｐ（x，y）的坐标满足xy﹥０，则点Ｐ
象限； 一或三
在第
若点Ｐ（x，y）的坐标满足xy﹤０，且在x轴上方，则点Ｐ
在第
象二限．
３．若点Ａ的坐标是（－３，５），则它到x轴的距离是
，
到y轴的距离是
．
５
３
４．若点Ｂ在x轴上方，y轴右侧，并且到x轴、y轴距离分别是２、
1
-4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3
-4
A的横坐标为4
A的纵坐标为2
有序数对(4, 2)就叫做A的坐标
记作：（A ·4,2）
横坐轴 写在前面 1 2 3 4 5 x 横轴
华师版数学八年级下册同步练习课件-第17章-17.2 1平面直角坐标系
思维训练
▪ 18．如图，在平面直角坐标系中，每个最小 方格的边长均为1个单位长度，P1、P2、 P3、…(50均5,50在5) 格点上，其顺序按图中“→”方
第一向P象解4限排(析1的：，角列由平－，规分律线1如，上)、．得：∵20P点1P95P÷1(3((4－10＝,1,)5、1004P，)…7、(2…,－23P)，、12P∴(1)10点(、3,,P312)0P，1)9、在∴6(－P31(1,2,)1、)、… 点P根2019(据505,5这05)个． 规律，点P2019的坐＋．1，(0，m＋－32))在x轴上，则点P的A坐标为(
)
▪ C．(0，－4)
D．(4,0)
▪ 6．如果电影院中“5排6号”记作(5,6)，那么(3,5)表示的意义是
__________.
3排5号
▪ 7．【浙江杭州中考】P(3，－4)到x轴的距4 离是_____.
第17章 函数及其图象
17.2 函数的图象
1 平面直角坐标系(第一课时)
名师点睛
▪ 知识点1 平面直角坐标系及点的坐标
▪ (1)平面直角坐标系：在平面上画两条原点重 合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴， 这就建立了平面直角坐标系．通常把其中水 平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向； 铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向； 两条数轴的交点O叫做坐标原点．
3
基础过关
▪ 1．根据下列表述，能确定位置的D是( ) ▪ A．红星电影院2排 B．北京市四环路
▪ C．北偏东30° D．东经118°，北纬40°
▪ 2．【2019·湖南株洲中考】在平面直角坐标系中，点A(2，－3)
位于 ( )
D
▪ A．第一象限
B．第二象限
平面直角坐标系(第2课时)教学设计-【名师经典教学资料】
第三章位置与坐标2．平面直角坐标系（第2课时）一、学生起点分析《平面直角坐标系》是八年级上册第三章《位置与坐标》第二节内容。
本章是“图形与坐标”的主体内容，不仅呈现了“确定位置的多种方法、平面直角坐标系”等内容，而且也从坐标的角度使学生进一步体会图形平移、轴对称的数学内涵，同时又是一次函数的重要基础。
《平面直角坐标系》反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系，让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心。
因此，教学过程中创设生动活泼、直观形象、且贴近他们生活的问题情境，会引起学生的极大关注，会有利于学生对内容的较深层次的理解；另一方面，学生已经具备了一定的学习能力，可多为学生创造自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、积极探究。
二、教学任务分析知识目标：1．知道在坐标轴上的点以及与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征. 2．知道不同象限点的坐标的特征。
3．经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程，进一步体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系，发展数形结合意识。
能力目标：1．经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程，发展学生的数形结合思想，培养学生的合作交流能力；2．通过由点确定坐标到根据坐标描点的转化过程，进一步培养学生的转化意识。
情感目标：通过生动有趣的教学活动，发展学生的合情推理能力和丰富的情感、态度，提高学生学习数学的兴趣。
教学重点、难点：体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系，发展数形结合意识。
三、教学过程设计第一环节感受生活中的情境，导入新课.在上节课中我们学习了平面直角坐标系的定义，以及横轴、纵轴、点的坐标的定义，练习了在平面直角坐标系中由点找坐标，还探讨了横坐标或纵坐标相同的点的连线与坐标轴的关系，坐标轴上点的坐标有什么特点。
1、探究坐标轴上点或与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征.练习.在直角坐标系中描出下列各点,并将各组内这些点依次用线段连接起来.(1)D(-3,5),E(-7,3),F(-6,3),B(0,3),C(1,3),D(-3,5)；(2)F(-6,3),G(-6,0),A(0,0),B(0,3)；观察所描出的图形，它像什么？解答下列问题（1）点G与点A的坐标有什么共同特点?在坐标系中它们的位置又有什么共同特点?（2）线段EC与x轴有什么特殊的位置关系？点E、点C的坐标有什么特点？线段EC上其它点的坐标呢？（3）点F、点G的坐标有什么共同特点，线段FG与Y轴有怎样的位置关系？解答：（1）线段 AG 上的点都在 x 轴上，它们的纵坐标等于 0；线段 AB 上的点都在 y 轴上，它们的横坐标等于 0．（2）线段 EC 平行于 x 轴，点 E 和点 C 的纵坐标相同．线段 EC 上其他点的纵坐标相同，都是 3．（3）点 F 和点G 的横坐标相同，线段 FG 与 y 轴平行．由点找坐标是已知点在直角坐标系中的位置，根据这点在方格纸上对应的x轴、y轴上的数字写出它的坐标，反过来，已知坐标，让你在直角坐标系中找点，你能找到吗？这就是本节课的内容。
平面直角坐标系
三、例题讲解： 例题讲解：
• 例2．（教材第90页例题）如图，在平面直角坐标系中描出下列各点： A（4，5），B（－2，3），C（－4，－1），D（2.5，－2），E（0， －4），F(－4，0)
• 分析：以描点A为例，先在x轴上找出表示4的点，再在y轴上找出表示5的点， 过这两个点分别作x轴和y轴的垂线，垂线的交点就是点A．类似的，描出其他各 点．
• • •
五、课后作业
• 监测第30课时练习题
3.1.2 平面直角坐标系（1） 平面直角坐标系（ ）
•
一，教材分析
ห้องสมุดไป่ตู้• 1，教材目标、重点、难点
• 教学目标：认识并能画平面直角坐标系，在直角坐标系中 会由点的位置写出它的坐标，由坐标描出点的位置． • 教学重点：平面直角坐标系的有关概念，掌握由点定坐标、 由坐标定点的方法． • 教学难点：掌握由点定坐标、由坐标定点的方法，体会数 形结合思想．
本章教学时间约须10课时
• 3.1 平面直角坐标系 共3课时 其中 • 3.1.1 有序数对 （1课时）
• 3.1.2 平面直角坐标系 （2课时+1）
• 3.2 坐标方法的简单应用 共3课时 其中 • 3.2.1 用坐标表示地理位置 （1课时+1）
• 3.2.2 用坐标表示平移 （2课时）
• 机动，数学活动 共2课时
2,例、习题的意图
• 第89页的填空有关如何根据点的坐标描出点的位置的方 法．这样，学生在掌握由点定坐标、由坐标定点的方法的 同时，能初步认识坐标平面内点与坐标一一对应的关系， 进一步体会数形结合的思想． • 第91页的练习1、2和习题3.1的第1题目的有两个，一是为 了及时巩固由点定坐标和由坐标定点的方法，规范坐标的 书写；二是在引出象限的概念后，想让学生通过分析坐标 平面内一些具体点的坐标，归纳得出一般结论，即四个象 限内和两坐标轴上点的坐标的特征，体现了由特殊到一般 的认识过程． • 第92页第2题是让学生在学会如何求坐标、描点的基础上， 自己总结出各个象限内和坐标轴上的点的坐标的特征，这 有助于对象限概念的理解．
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3 y＝ 3 x＋1 因此，由 2 2 x ＋y ＝1 4 3 那么弦长＝ 1＋k2|x1－x2|
⇒13x2＋8x－32＝0，
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
＝
32 8 2 32 48 1＋ 3 · －13 －4×－13＝13，故暂不加固
48 的部分长 km. 13
课 前 自 主 导 学
如图 1－1－2 所示，圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1，|O1O2| ＝4，过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分 别为切点)，使得|PM|＝ 2|PN|，试建立适当的坐标系，并求 动点 P 的轨迹方程．
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
④如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线 方程为标准方程．
课 时 作 业
菜
单
BS ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
3．如果 x 轴的单位长度保持不变，y 轴的单位长度缩小 1 为原来的 ，圆 x2＋y2＝4 的图形变为什么图形？伸缩变换可 2 以改变图形的形状吗？那平移变换呢？
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3．平面直角坐标系中的伸缩变换 在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即 改变x轴或y轴
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的单位长度
，将会对图形产生影响．
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1．△ABC 的三个顶点是 A(－3,0)，B(3,0)，C(0,3)，则 中线 CO(O 为坐标原点)的方程是 x＝0 吗？
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(2)该荒漠上有一条水沟 l 恰好经过点 A，且与 AB 成 30° 的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园 的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂 不加固，问：暂不加固的部分有多长？
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2．运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列 关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题．
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已知某荒漠上有两个定点 A、B，它们相距 2 km，现准 备在荒漠上开垦一片以 AB 为一条对角线的平行四边形区域 建成农艺园，按照规划，围墙总长为 8 km. (1)问农艺园的最大面积能达到多少？
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又|PB|－|PA|＝4， ∴点 P 在以 A、B 为焦点的双曲线的右支上， x2 y2 双曲线方程为 4 － 5 ＝1(x≥2)．②
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联立①②，解得 P 点坐标为(8,5 3)． 5 3 ∴kPA＝ ＝ 3. 8－3
【解】 (1)设平行四边形的另两个顶点为 C、D，由围
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墙总长为 8 km 得|CA|＋|CB|＝4>|AB|＝2， 由椭圆的定义知，点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点，长轴 长 2a＝4，焦距 2c＝2 的椭圆(去除落在直线 AB 上的两点)． 以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴，建立
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设 P(x，y)，则|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2＝(x＋2)2＋y2－1. 同理，|PN|2＝(x－2)2＋y2－1. ∵|PM|＝ 2|PN|，即|PM|2＝2|PN|2， 即(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
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x2 y2 (2) 因为修建农艺园的可能范围在椭圆 ＋ ＝ 1(y≠0) 4 3 3 内，故暂不需要加固水沟的长就是直线 l：y＝ 3 (x＋1)被椭 圆截得的弦长，如图．
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(2)由(1)知 M(2,0)，N(－2,0)，Q(1， 3)， ∴2a＝|QN|＋|QM|＝2 3＋2， ∴a＝ 3＋1，c＝2， ∴b2＝a2－c2＝2 3，
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x2 y2 ∴椭圆方程为： ＋ ＝1. 4＋2 3 2 3
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2．平面直角坐标系与曲线方程 曲线可看作是 满足某些条件 的点的集合或轨迹，由
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此我们可借助平面直角坐标系，研究曲线与方程间的关系． 在平面直角坐标系中，如果某曲线 C 上的 点 与一个二
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【思路探究】 建立适当的平面直角坐标系，准确确定
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定点坐标，分别用待定系数法求圆 C 和椭圆方程． 【自主解答】 (1)建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意得：△CQM 为正三角形．
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x2 y2 直角坐标系，则点 C 的轨迹方程为 ＋ ＝1(y≠0)． 4 3
易知点 D 也在此椭圆上， 要使平行四边形 ABCD 的面积 最大， 则 C、 D 为此椭圆短轴的端点， 此时， 面积 S＝2 3(km2)．
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图 1－1－2
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【解】
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如下图，以直线 O1O2 为 x 轴，线段 O1O2 的垂
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直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分 别为 O1(－2,0)，O2(2,0)．
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解决此类问题的关键是根据题目条件，充分利用其中垂 直、对称等关系建立适当的平面直角坐标系，然后再根据轨
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迹(曲线)条件选用求曲线方程的待定系数法或定义法或直接 法或相关点(代入)法或参数法求解．
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即 x2－12x＋y2＋3＝0， 即动点 P 的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
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x2 y2 在下列平面直角坐标系中，分别作出25＋ 9 ＝1 的图形． (1)x 轴与 y 轴具有相同的单位长度；
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(2)x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的 2 倍； 1 (3)x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的 倍． 2 【思路探究】 先按要求改变 x 轴或 y 轴的单位长度，
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建立平面直角坐标系，再在新坐标系中作出图形．
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【自主解答】 (1)建立平面直角坐标系使 x 轴与 y 轴具
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如图 1－1－1，四边形 MNPQ 是圆 C 的内接等 → 与PN → 的夹角为 120° →· → ＝2. 腰梯形，向量CM ，QC QM (1)求圆 C 的方程；
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(2)求以 M、N 为焦点， 过点 P、Q 的椭圆方程．
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→· → ＝r2· ∴QC QM cos 60° ＝2， ∴圆 C 的半径为 2. 又圆心为(0,0)，
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∴圆 C 的方程为：x2＋y2＝4.
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相距 4 千米． 某时刻甲舰发现商船的某种求救信号． 由于乙、 丙两舰比甲舰距商船远，因此 4 s 后乙、丙两舰才同时发现 这一信号，此信号的传播速度为 1 km/s.若甲舰赶赴救援，行 进的方位角应是多少？
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x2 y2 有相同的单位长度，则25＋ 9 ＝1 的图形如图①.
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(2)如果 x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度 1 x2 y2 缩小为原来的2，则25＋ 9 ＝1 的图形如图②.
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【提示】 因为中线 CO 是一条线段， 而并非一条直线， 所以其方程为 x＝0(0≤y≤3)，而非 x＝0.
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2．如何建立适当的平面直角坐标系？
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【提示】 ①如果图形有对称中心，选对称中心为坐标 原点； ②如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴； ③使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴上；
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