七年级数学下册：8.3平方差公式与完全平方公式同步练习沪科版
初中数学平方差完全平方公式练习题(附答案)
初中数学平方差完全平方公式练习题(附答案)初中数学平方差完全平方公式练题一、单选题1.下列各式添括号正确的是(。
)A.x y(y x)B.x y(x y)C.10m5(2m)D.32a(2a3)2.(1y)(1y)(。
)A.1+y2B.1y2C.1y2D.1y23.下列计算结果为2ab a2b2的是(。
)A.(a b)2B.(a b)2C.(a b)2D.(a b)24.5a24b2=()25a416b4，括号内应填(。
)A.5a24b2B.5a24b2C.5a24b2D.5a24b25.下列计算正确的是(。
)A.(x y)2x22xy y2B.(m2n)2m24n2C.(3x y)2=9x2-6xy+y2D.x5x25x25/46.多项式15m3n25m2n20m2n3各项的公因式是(。
)A.5mnB.5m2n2C.5m2nD.5mn27.下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是(。
)A.a2b 2B.5m220mnC.x2y2D.x298.化简(x3)2x(x6)的结果为(。
)A.6x9B.12x9C.9D.3x99.下列多项式能用完全平方公式分解的是(。
)A.x2x 1B.12x x2C.a2a1/2D.a2b22ab10.计算(3a bc)(bc3a)的结果是(。
)A.b2c29a2B.b2c23a2C.b2c29a2D.9a2b2c211.如果x2(m1)x9是一个完全平方式，那么m的值是(。
)A.7B.7C.5或7D.5或512.若a,b,c是三角形的三边之长，则代数式a22bc c2b2的值(。
)A.小于0B.大于0C.等于0D.以上三种情况均有可能二、解答题13.计算：1）-3x2-5y/（x2-5y）；2）9x2+1(1-3x)(-3x-1)。
解：（1）-3x2-5y/（x2-5y）= -3x2/(x2-5y) - 5y/(x2-5y) = -3 - 5y/(x2-5y)。
2）9x2+1(1-3x)(-3x-1) = 9x2+1(9x2+3x-x-1) = (3x+1)(3x-1)。
七年级数学下册平方差公式与完全平方公式同步练习沪科版
8.3 平方差公式与完全平方公式一、选择1、下列运算正确的是（ ）A 、223)3)(3(y x y x y x -=-+B 、229)3)(3(y x y x y x -=--C 、229)3)(3(y x y x y x --=-+-D 、229)3)(3(y x y x y x -=--+-2、下列算式可用平方差公式的是（ ）A 、（m+2m ）(m-2m)B 、（-m-n ）(m+n)C 、（-m-n ）(m-n)D 、（m-n ）(-m+n)3、计算2)55)(5151(y y x y x -+-+的结果是( )A 、x 2 B 、-x 2 C 、2y 2-x 2 D 、x 2-2y 2 4.（-x 2-y ）2的运算结果正确的是 （ ） A.—x 2-2xy+y 2 B.-x 4-2x 2y+y 2 C.x 4+2x 2y+y 2 D.x 4-2x 2y+y 25.下列各式计算结果是2mn-m 2-n 2的是（ ）A.（m-n ）2 B.-（m-n ）2 C.-（m+n ）2 D.(m+n)26.下列等式：①（a-b ）2=（b-a ）2②（a+b ）2=（-a-b ）2③（a-b ）2=（a+b ）2④a 2-b 2=(b-a)(-b-a)⑤(a+b)(a-b)=(b+a)(b-a).其中一定成立的是（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.计算（-x-2y ）2的结果是( )A.x 2-4xy+4y 2B.-x 2-4xy-4y 2C.x 2+4xy+4y 2D.-x 2+4xy-4y 28.若（9+x 2）(x+3)( )=x 4-81,则括号里应填入的因式是( )A.x-3B.3-xC.3+xD.x-99.计算（a m +b n ）(a 2m -b 2n )(a m -b n )正确的是 （ ）A.a 4m -2a 2m b 2n +b 4mB.a 4m -b 4C.a 4m +b 4nD.a 2m +b 2n +2a m b n10.（3x+2y ）2=(3x-2y)2+A,则代数式A 是 （ ）A.-12xy B.12xy C.24xy D.-24xy二、填空题11.（a-b+1）（a+b-1）= . 12.已知x 2+4x+y 2-2y+5=0,则x+y= .13.已知0)13(132=+++-x y x ，则x 2+y 2= .14.若x+y=3,x-y=1,则x 2+y 2= xy= . 15.22491)(_____)231(y x y x -=+-16.(1+4m 2) (_____) (______)=1-16m 4 17.x 2-px+16是完全平方式，则p= . 18.(a+b)2= (a-b)2+________. 19.若x+2y=3,xy=2,则x 2+4y 2=______. 20.已知(x+y)2=9,(x-y)2=5,则xy=三、解答题21.计算：①)2)(2(b a b a --+- ②2009200720082⨯- ③))()((22b a b a b a +-+④.,12,222的值求若b a b a b a +=-=- ⑤22)1()3(--+a a22.①已知a 2-8a+k 是完全平方式，试问k 的值. ②已知x 2+mx+9是完全平方式，求m 的值.23.已知21=+xx ，求221x x +的值.24.【探究题】给出下列算式32-12=8=8×1；52-32=16=8×272-52=24=8×3；92-72=32=8×4………⑴观察上面一系列式子，你能发现什么规律？用含有n 的式子表示出来： （n 为正整数）： ⑵根据你发现的规律，计算：20052-20032= .这时，n= .一、计算： （1）()21x + （2）221⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a （3）210151⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x （4）221⎪⎭⎫ ⎝⎛+-cd（5）)12)(12(-+++y x y x （6）)2)((4)2(2y x y x y x +---二、用完全平方公式计算：（1）4992 （2）9982 （3）532 （4）882参考答案一、 选择1.D2.C3.B4.C5.B6.C7.C8.A9.A 10.C二、填空题11.a 2-b 2+2b-1 12.-1 13.91 14. 5, 2 15.y x 231-- 16. (1-2m)(1+2m) 17.±8 18. 4ab 19.1 20.1二、 解答题21.解析： ①原式=(-2a)2-b 2=4a 2-b 2.②原式=20082-(2008-1)(2008+1)=20082-(20082-1)=1.③原式=(a 2-b 2)(a 2+b 2)=a 4-b 4.④因为a 2-b 2=12, (a+b)(a-b)= a 2-b 2所以a+b=6.⑤原式=(a+3+a-1)(a+3-a+1)=4(2a+2)=8a+8；22. 解析：①设m 2=k ；因为a 2-8a+k 是完全平方式，所以a 2-8a+m 2=(a-m)2= a 2-2ma+m 2,所以8a=2ma,解得m=4,所以k=16. ②因为x 2+mx+9是完全平方式，所以x 2+mx+9=(x±3)2,所以m=±6. 23.解：∵ 4)1(2=+xx ， ∴41222=++x x ， 故221x x +=2； 24.解：⑴(2n+1)2-(2n-1)2=8n⑵8016。
《8.3完全平方公式与平方差公式》作业设计方案-初中数学沪科版12七年级下册
《完全平方公式与平方差公式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课时作业设计的目标是帮助学生熟练掌握完全平方公式与平方差公式的应用，能够通过具体题目运用这些公式进行计算和证明，加深对公式的理解，并培养其独立解决问题的能力。
二、作业内容本课时作业内容主要包括以下方面：1. 基础练习：包括完全平方公式和平方差公式的直接运用，如填空题和选择题，旨在让学生熟悉公式的形式和运用场景。
2. 计算题：设计一系列运用完全平方公式和平方差公式的计算题，包括单项计算和综合计算，难度逐步提升。
3. 公式应用题：通过实际问题，让学生运用完全平方公式和平方差公式进行解答，如面积计算、几何问题等，培养学生解决实际问题的能力。
4. 探索与思考：设置一些开放性问题，让学生自主探索公式的其他应用场景或变形形式，培养学生的创新意识和思维能力。
三、作业要求为保证作业的质量和效果，提出以下要求：1. 认真审题：学生应仔细阅读题目，明确题目要求，避免因理解错误导致答案错误。
2. 规范答题：学生应按照数学规范进行答题，如正确使用数学符号、格式清晰等。
3. 独立思考：鼓励学生独立思考，尽量自己解决问题，如遇到困难可适当参考教材或请教老师、同学。
4. 及时完成：学生应合理安排时间，确保在规定时间内完成作业。
四、作业评价本课时作业的评价主要从以下几个方面进行：1. 正确性：答案是否正确，是否符合题目要求。
2. 规范性：答题是否规范，是否符合数学规范。
3. 创新性：在探索与思考部分是否有新的发现或创新。
4. 进度：是否在规定时间内完成作业。
五、作业反馈1. 教师将对学生的作业进行批改，对错误的地方进行标注和指导。
2. 对于普遍存在的问题，将在课堂上进行讲解和指导。
3. 对于表现优秀的学生，将给予表扬和鼓励，激发其学习积极性。
4. 学生应根据作业反馈，及时订正错误，巩固所学知识。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《完全平方公式与平方差公式》的复习和练习，使学生熟练掌握这两个公式的应用，能灵活运用它们解决实际问题，为后续学习奠定坚实基础。
8.3《平方差公式与完全平方公式》典型例题精析
8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x ＋2y )2＝x 2＋2·x ·2y ＋(2y )2＝x 2＋4xy ＋4y 2；(2)(2a －5)2＝(2a )2－2·2a ·5＋52＝4a 2－20a ＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，SⅠ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a－b)2＝a2－2ab＋b2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a－b)2，也可以表示为SⅠ＝S大－SⅡ－SⅣ＋SⅢ，又S大，SⅡ，SⅢ，SⅣ分别等于a2，ab，b2，ab，所以SⅠ＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.从而验证了完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a＋b)2－4ab，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b)2，根据面积相等有(a＋b)2－4ab＝(a－b)2.答案：(a＋b)2－4ab＝(a－b)22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b的正方形得到的，所以它的面积等于a2－b2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12 (b＋a)(a－b)，所以梯形的面积和是(a＋b)(a－b)，根据阴影部分的面积不变，得(a＋b)(a－b)＝a2－b2.因此验证的一个乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204.4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15. 解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n 2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65. 5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b ＋a )(－b ＋a )＝a 2－b 2.②符号变化：(－a ＋b )(－a －b )＝(－a )2－b 2＝a 2－b 2.③系数变化：(0.5a ＋3b )(0.5a －3b )＝(0.5a )2－(3b )2.④指数变化：(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm，它的面积就增加39 cm2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x＋3)2＝x2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm，则(x＋3)2＝x2＋39，即x2＋6x＋9＝x2＋39，解得x＝5(cm)．故这个正方形的边长是5 cm.7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式：①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ；②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋b a －b的值即可． 答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a＋b＝2，所以(a＋b)2＝22，即a2＋2ab＋b2＝4.把ab＝1代入，得a2＋2×1＋b2＝4，于是可得a2＋b2＝4－2＝2.。
初中数学沪科版七年级下册-8.3-完全平方公式与平方差公式-同步分层作业(含解析)
8.3 完全平方公式与平方差公式简记为：“首平方，尾平方， 积的 2 倍放中间”两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫做完全平方公式.公式特征：1. 积为二次三项式；2. 积中的两项为两数的平方；3. 另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符号相同；4. 公式中的字母 a ，b 可以表示数、单项式和多项式.注意：1. 项数、符号、字母及其指数2. 不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号，变形成符合公式的形式才行。
3. 弄清完全平方公式和平方差公式的区别（公式结构特点及结果）常用结论：a 2 +b 2 = (a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab ，4ab = (a + b)2 - (a - b)2.平方差公式：(a + b)(a − b) = a 2 − b 2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用基础过关练一、单选题1．已知非负实数,,a b c 满足24,0a b a b c +=-+<，则下列结论一定正确的是（ ）A ．()2222a b a ab b +=++B C ．()()224a b a b ab -=+-D 二、填空题11．如图，用四个长为a ，宽为b 的长方形大理石板不重叠地拼成一个大正方形拼花图案，正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形，当拼成的这个大正方形的边长比中间小正方形的边长多6时，大正方形的面积+=12．已知x y13．化简：(x-14．定义：若三个正整数培优提升练三、解答题19．问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1________图2________；（用字母a，b表示）数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题（1）已知7a b +=，12ab =，求22a b +的值；（2）已知()()202420222023x x --=，求()()2220242022x x -+-的值．拓展运用：如图3，点C 是线段AB 上一点，以AC ，BC 为边向两边作正方形积分别是1S 和2S ．若AB m =，12S S S =+，则直接写出Rt ACF 的面积．（用(1)【知识生成】请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含方法一： ；方法二： ；(2)【得出结论】22(2)()23a b a b a ab b ++=++．(1)根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为______；(2)已知等式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++，请你画出一个相应的几何图形加以解释．故选：C ．8．C【分析】根据积的乘方、合并同类项、平方差公式、单项式的除法等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：A ．()326-=-b b ，故选项错误，不符合题意；B ．3332a a a +=，故选项错误，不符合题意；C ．()()22224x y x y x y +-=-，故选项正确，符合题意；D ．62422÷=a a a ，故选项错误，不符合题意．故选：C ．9．D【分析】此题考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m 的值．【详解】解：216x mx ++ 是完全平方式，8m ∴=±．故选：D ．10．D【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出两幅图中阴影部分的面积，再关键两幅图阴影部分面积相等即可得到答案．【详解】解：左边一幅图阴影部分面积为22a b -，右边一幅图阴影部分面积为()()a b a b +-，∵两幅图阴影部分面积相等，∴()()22a b a b a b -=+-，故选：D ．11．2【分析】本题考查用图象法验证完全平方公式，准确识图列出()22(4)a b b b a a +--=是解题关键．分别表示出每个长方形石板的面积和图中大、小正方形的面积，然后列出等量关系计算求解．【详解】解：每个长方形石板的面积为ab ，中间小正方形的边长为a b -，面积为2()a b -；大正方形的边长为a b +，面积为2()a b +，所以()22(4)a b b b a a +--=；当()()6460a b a b ab +--=⎧⎨=⎩时，解得53a b =⎧⎨=⎩，∴2a b -=，故答案为：2．12．22x y m n x y m n +=+⎧∴⎨-=-⎩或x y m n x y n m+=+⎧⎨-=-⎩解得x m y n =⎧⎨=⎩或x n y m=⎧⎨=⎩．故都有2006200620062006x y m n +=+．21．（1）2x xy +，6；（2）244 24m m -，．【分析】本题考查了整式乘法混合运算，求代数式的值．（1）分别用乘法公式及单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项，最后代值求解即可；（2）用平方差公式展开再合并同类项，由已知得26m m -=，然后整体代入求值即可．【详解】解：（1）2()()()()x y x x y x y x y +-++-+222222x xy y x xy x y =++--+-2x xy =+，当2x =-，1y =-时，原式2(2)(2)(1)6=-+-⨯-=；（2）2(2)(2)(4)m n m n n m +-+-22244m n n m=-+-244m m =-，由260m m --=，得26m m -=，原式24()4624m m =-=⨯=．22．(1)()24m n mn +-；()2m n -(2)()()224m n mn m n +-=-(3)6a b -=或6a b -=-．【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察．（1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即()24m n mn +-，图②中的阴影部分正方形的边长等于m n -，即面积为()2m n -；（2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系；（3）由（2）中的等量关系即可求解．【详解】（1）解：方法一：()24m n mn +-；方法二：()2m n -，故答案为：()24m n mn +-；()2m n -；（2）解：代数式()2m n +，()2m n -，mn 之间的等量关系为：。
沪科版数学七年级下完全平方公式与平方差公式(第1课时,完全平方公式)课件
+(
=
)2
（4）原式=（2a）2-2·2a·5+52
2
y +y+
=4a2-20a+25
注意每一项系数
例2.运用完全平方公式计算:
（1）(-2s+t)2
解:
（2） (-2x-1)2
（1）(-2s+t)2= (t-2s)²
= t² -2·2s·t +(2s)2
=t2-4st+4s2
=(2x+1)2
2
2
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放
( a b) a 2ab b
2
2
2
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不
丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；
巩固练习
（1） ( 2a
3)
2
（2）
1
(3
t)2
3
（3）
(b 3)
思考： （1）完全平方展开有几项？
2
（4）
( 2 a 3 y ) 2
（5）
(0.5m 0.2n) 2
（6）
(1 3x)(3x 1)
（2）每一项的符号特征？
相信你能行
课堂练习：
1、计算：
(1)(a
2
1 2
沪科版数学七年级下
8.3完全平方公式与平方差公式
第一课时
完全平方公式
知识回顾
1、多项式乘以多项式的 根据是什么？
——分配率
2、如何进行多项式与多项式乘法运算？
(m+b)(n+a)= mn
+ ma + bn + ba
《8.3完全平方公式与平方差公式》作业设计方案-初中数学沪科版12七年级下册
《完全平方公式与平方差公式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在让学生巩固完全平方公式与平方差公式的概念、特点及应用。
通过完成本节课的作业，学生能够：1. 掌握完全平方公式的构成要素及其应用场景。
2. 熟练运用平方差公式进行相关计算和问题解决。
3. 提升学生逻辑思维能力和计算能力，培养数学学习的信心和兴趣。
二、作业内容作业内容将分为三个部分，以提高学生的理论理解及实际运用能力：1. 基础知识巩固完成教材上的例题，注重对完全平方公式与平方差公式的记忆和解析，特别是公式的适用条件和限制条件。
要求学生熟练掌握公式的表达形式及公式的应用场景。
2. 实践操作练习布置适量的习题，让学生通过实际计算加深对公式的理解。
包括填空题、选择题以及解答题等多种题型，覆盖各种难易程度的问题。
3. 实际问题解决设计一个或几个与日常生活相关的问题，如面积计算、速度与距离的关系等，要求学生运用完全平方公式与平方差公式进行解决，旨在培养学生的数学应用意识和解决问题的能力。
三、作业要求1. 准时完成：学生需在规定时间内完成作业，不得拖延。
2. 独立自主：鼓励学生独立完成作业，不抄袭他人答案。
3. 细致认真：要求学生在解题过程中，注意细节，避免因粗心导致的错误。
4. 规范书写：答案需书写规范，步骤清晰，便于教师批改和了解学生的解题思路。
5. 反思总结：在完成作业后，学生需对解题过程进行反思总结，找出自己的不足和需要改进的地方。
四、作业评价教师将对每位学生的作业进行批改，评价标准包括：准确性、解题思路、书写规范程度等。
对于表现优秀的学生给予表扬和鼓励，对于存在问题的学生及时指出问题并给予指导。
同时，教师将对全班学生的作业情况进行统计和分析，以便更好地指导后续教学。
五、作业反馈1. 对于共性问题，教师将在课堂上进行集中讲解和纠正。
2. 对于个别学生的问题，教师将通过面谈或辅导的方式给予个别指导和帮助。
3. 将学生的优秀作业展示在教室或通过线上平台供其他学生学习借鉴。
8.3 完全平方公式与平方差公式 课件 2023-2024学年沪科版数学七年级下册
言叙述你的 发现.
③ (2m + 1)( 2m - 1) = 4m2 - 1 = (2m)2 - 12
④ (5y + z)(5y - z) = 25y2 - z2 = (5y)2 - z2
想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了
什么规律？
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差.
知识要点
平方差公式：(a + b)(a − b) = a2 − b2.
合作探究
平方差公式
算一算：看谁算得又快又准. ① (x + 1)( x - 1)；
② (m + 2)( m - 2)；
③ (2m + 1)(2m - 1)；
④ (5y + z)(5y - z).
① (x + 1)( x - 1) = x2 - 1 = x2 - 12
用自己的语
② (m + 2)( m - 2) = m2 - 4 = m2 - 22
3. 运用完全平方公式计算：
(1) (6a + 5b)2； = 36a2 + 60ab + 25b2.
(2) (4x－3y)2 ； =16x2－24xy + 9y2.
(3) (2m－1)2 ； = 4m2－4m + 1.
(4) (－2m－1)2 . = 4m2 + 4m + 1.
4. 若 a + b = 5，ab = - 6，求 a2 + b2，a2 - ab + b2. 解：a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = 52 - 2×(-6) = 37，
沪科版数学七年级下册
第8章 整式乘法与因式分解
完全平方公式与平方差公式(第2课时)-2022-2023学年七年级数学下册教材配套教学课件(沪科版)
方法总结：利用平方差公式先化简再求值， 切忌代入数值直接计算．
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给 了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这 块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租 给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认 为李大妈吃亏了吗？为什么？
(3)原式=(9x2－16)－(6x2+5x-6)
=3x2－5x－10.
能力拓展： 1.(x－y)(x+y)(x2+y2)； 解：原式=(x2－y2)(x2+y2)=x4－y4；
2.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是_2_8_－__1_． 解析：A=(2+1)(22+1)(24+1) =[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(24－1)(24+1)]÷(2－1) =(28－1)÷(2－1) =28－1．
3.已知a=7202,b=721×719；则（ B ）
A.a=b
B.a>b
C.a<b
D.a≤b
4.97×103=(100－3)×( 100+3)=(1002－32). 5.(x+6)(x－6)－x(x－9)=0的解是__x_=_4__.
6.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a- 3b)；
解：原式=a2－(3b)2 =a2－9b2 ；
用自己的 语言叙述 你的发现.
③（2m＋1)( 2m－1)=4m2－1 =(2m)2－12
完全平方公式与平方差公式(第1课时)-2022-2023学年七年级数学下册教材配套教学课件(沪科版)
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的 符号，避免漏解．
二 完全平方公式的运用
思考：怎样计算1022,992更简便呢？
完全平方公式：
(a＋b)2=a2 ＋ 2ab + b2
(a－b)2=a2－ 2ab + b2
语言表述：两数和（差）的平方，等于它 们的平方和加上（减去）它们乘积的两倍.
公式的结构特征：
首平方，尾平方，首尾二倍在中央，符号 看前方.
【例2】用完全平方公式计算：
（1）(5＋3p)2；
（2） (2x－7y)2； （3） (－2a－5)2.
用语言叙述为：两项和的平方,等于这两个项的平 方和加上它们的积的2倍.
9.4 乘法公式（1）——完全平方公式
议一议
【例1】计算：(a－b)2．
解：(a－b)2 ＝ [a+(－b)]2
＝ a 2 + 2 a (－b) + (－b) 2 ＝a2－ 2ab＋ b2.
(a－b)2=a2－2ab＋b2
也称为完全平方公式.
公式特征： 1.积为二次三项式； 2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同. 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
想一想: 你能根据图1和图2中的面积解释完全平方公式吗?ba ab 图1b ab a 图2
几何解释:
b
a
=
+
a
b
a2
ab
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8.3 平方差公式与完全平方公式
一、选择
1、下列运算正确的是（ ）
A 、223)3)(3(y x y x y x -=-+
B 、229)3)(3(y x y x y x -=--
C 、229)3)(3(y x y x y x --=-+-
D 、229)3)(3(y x y x y x -=--+-
2、下列算式可用平方差公式的是（ ）
A 、（m+2m ）(m-2m)
B 、（-m-n ）(m+n)
C 、（-m-n ）(m-n)
D 、（m-n ）(-m+n)
3、计算2)55)(5
151(y y x y x -+-+
的结果是( )A 、x 2 B 、-x 2 C 、2y 2-x 2 D 、x 2-2y 2 4.（-x 2-y ）2的运算结果正确的是 （ ） A.—x 2-2xy+y 2 B.-x 4-2x 2y+y 2 C.x 4+2x 2y+y 2 D.x 4-2x 2y+y 2
5.下列各式计算结果是2mn-m 2-n 2的是（ ）A.（m-n ）2 B.-（m-n ）2 C.-（m+n ）2 D.(m+n)2
6.下列等式：①（a-b ）2=（b-a ）2②（a+b ）2=（-a-b ）2③（a-b ）2=（a+b ）2④a 2-b 2=(b-a)(-b-a)⑤(a+b)(a-b)=(b+a)(b-a).其中一定成立的是（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.计算（-x-2y ）2的结果是( )
A.x 2-4xy+4y 2
B.-x 2-4xy-4y 2
C.x 2+4xy+4y 2
D.-x 2+4xy-4y 2
8.若（9+x 2）(x+3)( )=x 4-81,则括号里应填入的因式是( )
A.x-3
B.3-x
C.3+x
D.x-9
9.计算（a m +b n ）(a 2m -b 2n )(a m -b n )正确的是 （ ）
A.a 4m -2a 2m b 2n +b 4m
B.a 4m -b 4
C.a 4m +b 4n
D.a 2m +b 2n +2a m b n
10.（3x+2y ）2=(3x-2y)2+A,则代数式A 是 （ ）A.-12xy B.12xy C.24xy D.-24xy
二、填空题
11.（a-b+1）（a+b-1）= . 12.已知x 2+4x+y 2-2y+5=0,则x+y= .
13.已知0)13(132
=+++-x y x ，则x 2+y 2= .14.若x+y=3,x-y=1,则x 2+y 2= xy= . 15.22491)(_____)231(y x y x -=+-
16.(1+4m 2) (_____) (______)=1-16m 4 17.x 2-px+16是完全平方式，则p= . 18.(a+b)2= (a-b)2+________. 19.若x+2y=3,xy=2,则x 2+4y 2=______. 20.已知(x+y)2=9,(x-y)2=5,则xy=
三、解答题
21.计算：①)2)(2(b a b a --+- ②2009200720082⨯- ③))()((22b a b a b a +-+
④.,12,222的值求若b a b a b a +=-=- ⑤22)1()3(--+a a
22.①已知a 2-8a+k 是完全平方式，试问k 的值. ②已知x 2+mx+9是完全平方式，求m 的值.
23.已知21
=+x x ，求221
x x +的值.
24.【探究题】给出下列算式
32-12=8=8×1；52-32=16=8×2
72-52=24=8×3；92-72=32=8×4
………
⑴观察上面一系列式子，你能发现什么规律？用含有n 的式子表示出来： （n 为正整数）： ⑵根据你发现的规律，计算：
20052-20032= .
这时，n= .
一、计算：
（1）()21x + （2）221
⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a （3）210151
⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x （4）2
21⎪⎭⎫ ⎝⎛+-cd
（5）)12)(12(-+++y x y x （6）)2)((4)2(2y x y x y x +---
二、用完全平方公式计算：
（1）4992 （2）9982 （3）532 （4）882
参考答案
一、 选择
1.D
2.C
3.B
4.C
5.B
6.C
7.C
8.A
9.A 10.C
二、填空题
11.a 2-b 2+2b-1 12.-1 13.91 14. 5, 2 15.y
x 231
-- 16. (1-2m)(1+2m) 17.±8 18. 4ab 19.1 20.1
二、 解答题
21.解析： ①原式=(-2a)2-b 2=4a 2-b 2.
②原式=20082-(2008-1)(2008+1)
=20082-(20082-1)
=1.
③原式=(a 2-b 2)(a 2+b 2)=a 4-b 4.
④因为a 2-b 2=12, (a+b)(a-b)= a 2-b 2
所以a+b=6.
⑤原式=(a+3+a-1)(a+3-a+1)=4(2a+2)=8a+8；
22. 解析：①设m 2=k ；因为a 2-8a+k 是完全平方式，
所以a 2-8a+m 2=(a-m)2= a 2-2ma+m 2,所以8a=2ma,解得m=4,所以k=16. ②因为x 2+mx+9是完全平方式，所以x 2+mx+9=(x±3)2,所以m=±6.
23.解：∵ 4)1
(2=+x x ，
∴41
222=++x x ，
故221
x x +=2；
24.解：⑴(2n+1)2-(2n-1)2=8n
⑵8016。