正弦型函数(一)
高一数学正弦型函数知识点
高一数学正弦型函数知识点正弦型函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
正弦型函数可以描述周期性变化的现象，如声音的波动、电流的变化等。
在本文中，我们将讨论正弦型函数的基本概念、性质和应用。
一、正弦型函数的定义和性质正弦型函数是指形式为y = A*sin(Bx + C)的函数，其中A、B、C为常数。
A代表振幅，B代表周期，C代表初相位。
1. 振幅（Amplitude）：指正弦函数在一周期内的最大偏离量，通常用A表示。
振幅可以决定正弦函数图像上下的波动范围。
2. 周期（Period）：指正弦函数的一个完整波动所需的水平距离，通常用T表示，T = 2π/B。
周期越小，图像波动得越快。
3. 初相位（Phase Shift）：指正弦函数图像在x轴上的左右平移量，通常用C表示。
初相位决定了图像的水平位置。
二、正弦型函数图像的特点正弦型函数的图像呈现典型的波动形态，具有以下几个特点：1. 对称性：正弦函数是关于y轴对称的，即满足f(x) = -f(-x)。
2. 周期性：正弦函数的图像是周期性重复的，即满足f(x + T) = f(x)，其中T为周期。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足f(-x) = -f(x)。
奇函数的图像关于原点对称。
4. 零点：正弦函数的零点是指函数图像与x轴交点的横坐标值。
正弦函数的零点通常位于一周期的中心或边界。
三、正弦型函数的应用正弦型函数在数学和物理等领域有着广泛的应用，下面我们就来看几个具体的例子。
1. 声音波动：正弦型函数可以描述声音的波动，比如我们常见的音乐声音。
声音是由空气分子的周期性振动产生的，并可以通过正弦函数进行描述。
2. 电流变化：正弦型函数可以描述交流电的变化规律。
交流电的电压和电流都呈现周期性的正弦变化，采用正弦函数可以方便地描述电流变化和计算电路中的电压和电流。
3. 振动现象：正弦函数还可以描述弹簧振子、摆线钟等物理现象。
这些物理系统都有一个周期性的振动过程，借助正弦函数可以准确地描述振动的变化。
正弦型函数解析式
正弦型函数解析式：y=Asin(ωx+φ)+b各常数值对函数图像的影响：φ：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）ω：决定周期（最小正周期T=2π/∣ω∣）A：决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数）b：表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离（上加下减）两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtan（α＋β）＝(tanα+tanβ)／(1-tanαtanβ)tan（α－β）＝(tanα－tanβ)／(1＋tanα·tanβ)二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)tan2α＝2tanα/[1－tan^2(α)]半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sin^2(α/2)＝(1－cosα)／2cos^2(α/2)＝(1＋cosα)／2tan^2(α/2)＝(1－cosα)／(1＋cosα)另也有tan(α/2)=(1－cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)万能公式万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]万能公式推导附推导：sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝2tanα/(1＋tan^2(α))然后用α/2代替α即可。
正弦函数的图象与函数(一)
2
)的图象
小结：
1.正弦函数图象的画法 （1）几何法 （平移三角函数线）
（2）描点法
（换
3.数形结合应用
2011.3.29
三角函数的图象及性质
正弦函数和余弦函数，正切函数
省实验：中华
正弦函数的图象及性质
y sin x
你想怎么画正弦函数的图象？
1.正弦函数图象的画法
（1）几何法
（平移三角函数线）
（五点法）
（2）描点法
3 (0,0), ( ,1), ( ,0), ( ,1), (2 ,0) 2 2
3.巩固提高
3 （ ）y sin x ( x 1 )与y 1的图象 2 2 围成一个封闭图形，求 其面积 （2） 判断 sin x x的解的个数 (3) y sin x 2 | sin x |, x [0,2 ]的图象 与y k有且只有两个不同的交 点， 求k的取值范围 (4) 用五点法画 y sin( x
注意：左右延伸
练习：用五点法画下列函数图象
(1) y sin x 1 ( 2) y sin 2 x
x 0 2x 0 sinx 0 x Sinx+10 1 sin2x
1
0
-1
0
2.图象变换 （翻折）
画出以下函数图象： （ ） 1 cos x 1 y
2
（2） sin | x | y
正弦型函数
正弦型函数生活中的正弦型函数非常的多，因此很难找到一个人来总结他们。
我先说出正弦型函数大概的特点：形状如正弦函数（自变量的取值范围是有限制的），符合“ y=x^2+bx+c”（二次函数）的形式，其图像为曲线。
自然界里有许多物质都是由这种形式表示的，比如电流、电压、光波等，因此了解它们非常重要。
上课时老师给我们讲解了正弦型函数，可是我并不知道怎样求正弦型函数。
今天终于让我学会了求正弦型函数，这使我开心极了！老师还告诉我们应该注意哪些地方，使我记住了它们。
我喜欢数学，更喜欢学习数学。
数学是人类文明的结晶，但它有趣又富有挑战性。
古代希腊时，人们将“数”与“形”结合在一起。
欧几里得用“命题”这个词表达一条真理，但那时人们只是称之为“真理”而已。
中世纪时，人们把“数”与“神”相连，称之为“命运”。
人们认为神给了世间万物以数，所以，他们求的是数。
直到现在，我国人民仍然把求算盘珠子的数当作一门技艺，称之为“打珠算”。
这些，都体现了我们中华民族独特的“数”文化。
1、任意一个正弦型函数的图像都可以通过勾股定理或三角形内角和公式转化为平面直角坐标系下的二元一次方程组，利用基本不等式或根式的性质就能解出正弦型函数的表达式。
2、正弦型函数的定义域是原点与单位圆上的某一个点。
3、正弦型函数是对称函数，只有当原点和单位圆内的两个点重合时，才能保持这种对称性。
4、当一个正弦型函数的图像经过坐标轴原点时，这个图像的最大值为0，最小值为1。
当这个图像上的某一点的横坐标为零时，纵坐标不为零。
5、若一个正弦型函数的图像关于直线对称，则它的导数等于0。
6、若一个正弦型函数的图像关于坐标轴对称，则它的切线垂直于这个图像上的每一个点。
7、正弦型函数的导函数是它的反函数的增函数。
8、若一个正弦型函数的图像关于坐标轴对称，则它的斜率就等于它的反函数在这个图像上的截距。
9、正弦型函数的图像都是双曲线。
10、正弦型函数的图像在变为直线时都经过无数点。
正弦型函数
理论升华 整体建构
正弦型函数的定义域周期分别是什么？
A 0, 0) 的定义 正弦型函数 y A sin( x )(
域是R，周期是
2π
．
T
2π
．
巩固知识 典型例题
例1 求函数 y sin x cos 2 x cos x sin 2 x 的周期． 解 由于
y sin x cos 2 x cos x sin 2 x sin 3x，
故函数的周期为
T 2π ． 3
利用公式（1.3）将 函数化成正弦型函数 的形式，是确定函数弦型函数
创设情境 兴趣导入
我们已经学习了正弦函数 y sin x 和余弦函数 y cos x． 在物理、电工和工程技术中，经常遇到形如 y A sin( x ) 的函数，这类函数叫做正弦型函数．
动脑思考 探索新知
我们首先讨论正弦型函数的周期．
π π 观察正弦型函数 f ( x) sin(2 x )．令 z 2x ，则 x R，z R． 3
运用知识 强化练习
指出下列各函数的周期 π (1) y sin(3 x )； 3 π (2) y 3sin( x )； 3 1 π (3) y sin( x )； 2 3 (4) y cos 2 x sin 2 x．
2π （1） ； 3 （2） 2 π； （3） ； 4π （4） π ．
3
由于函数 y sin （ z z R） 的周期是2 π ，故
π f ( x) sin(2x ) sin z sin( z 2π) 3 π = sin(2 x 2π) 3 π sin[2( x π) ] 3 f ( x π)，
正弦型函数
解决问题: 解决问题:
我们由y=sinx的图象经过怎样的变换可以得 的图象经过怎样的变换可以得 我们由 到 y = 3sin(2 x + ) 的图象? 的图象
3
π
图象
y = sin x
平行移动 y = sin ( x + ϕ )
y = sin ( x + ϕ ) 周期变换 y = sin (ωx + ϕ ) y = sin (ωx + ϕ ) 振幅变换 y = A ⋅ sin (ωx + ϕ )
思考: 思考:
能否由函数y=sin2x的图像向左平移π/3个 能否由函数y=sin2x的图像向左平移π/3个 y=sin2x的图像向左平移π/3 单位得到函数的y=sin 2x+π/3）图像？ y=sin（ 单位得到函数的y=sin（2x+π/3）图像？ 为什么？ 为什么？
答案： 答案：
不能。因为由y=sin2x的图像向左平移π /3 的图像向左平移π 不能。因为由y=sin2x的图像向左平移 个单位是相对于变量x而言， 个单位是相对于变量x而言，而不是相对于 2x，所以得到的图像应是=sin（2x+2 π /3） 2x，所以得到的图像应是=sin（ /3） 的图像，而不是y=sin（ /3）的图像。 的图像，而不是y=sin（2x+ π /3）的图像。
例二. 例二
1 作出函数y = sin 2 x和y = sin x的简图 2
y 1
π
2
o -1
π
3π 2
2π
4π x
结论2 结论2
一般地，函数y=sinωx（ >0且 一般地，函数y=sinωx（ω>0且ω≠1)的图 y=sinωx 1)的图 像可以看作是把y=sinx的图像上所有点的横坐 像可以看作是把y=sinx的图像上所有点的横坐 y=sinx的图像上所有点的 标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来 标缩短( >1时 或伸长( 0<ω<1时 的1/ω倍(纵坐标不变)而得到的。我们称这种 1/ω 纵坐标不变)而得到的。 变换为周期变换。 变换为周期变换。
正弦型函数
1.5正弦型函数,的图象第一课时教案
第一章 基本初等函数（Ⅱ）1．5 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象（共2课时）第一教案――――――――――――――――――――――――――――――教材教案第1课时 函数)s i n (ϕω+=x A y 的图象（一）【教学目标】 1、 知识目标了解)sin(ϕω+=x A y 的实际意义，理解参数A ,,ωϕ对)sin(ϕω+=x A y 的图象的影响，理解xy sin =的图象与)sin(ϕω+=x A y 的图象之间的关系。
2．能力目标培养学生观察问题和探索问题的能力。
3、情感目标（1）通过本节课的学习体验研究数学问题的基本方法：从具体到抽象，从特殊到一般。
（2）学会用运动变化的观点看待数学问题之间的内在联系。
【重点难点】 1、 重点（1）A ,,ωϕ对)sin(ϕω+=x A y 的图象的影响，通过图象变换由x y s i n =的图象与可得到)s i n (ϕω+=x A y 的图象。
2、 难点图象变换与函数解析式变换的内在联系的理解。
案例（一）教学过程板书设计案例（二）教学过程1、复习引入复习正弦函数的图象与性质。
教师――提出问题引导学生回顾。
学生――根据教师提出的问题思考、回答。
2、函数)sin(ϕω+=x A y 与函数x y sin =的图象有什么关系？师生――观察投影片图1.5－1，共同直观感知两个函数图象之间的联系（形状大致相同，进一步提出分步研究各参数对函数图象的影响。
3、你能探索ϕ对)sin(ϕ+=x y 的图象有何影响吗？学生――利用计算器或计算机在同一坐标系中作出)3sin(π+=x y 的图象与x y sin =的图象，再在同一坐标系内作出)3sin(π-=x y 的图象与x y sin =的图象。
观察)3sin(π+=x y 的图象与x y sin =的图象之间的关系。
观感)3sin(π-=x y 的图象与x y sin =的图象之间的关系。
师生――让学生试着用语言描述图象之间的关系，教师适当矫正。
正弦型函数
2 2
π
y 1
-π/2
0 -1
π
2π
5π/2
x
x x+π/2
-π/2
0
0
π/2
π/2
π
π
3π/2
3π/2
2π
x X- π/2
π/2
0
π
π/2
1
3π/2 2π
π
0
5π/2
2π
0
3π/2
复 习
的图象、定义域、值域、 正弦函数 y = sinx 的图象、定义域、值域、周期
y 1 x 0 -1 x sinx 0 0
π
2
π
2π π 0
3π 2
3π 2π 0
4π
1
-1
定义域： R 定义域：
， 值域: 值域 [-1，1]
周期： 周期： 2π
y
观览车问题： 观览车问题：
p
设观览车转轮的半径长为R， 设观览车转轮的半径长为 ， 转动的角速度为
跟踪练习
纵坐标伸长到原来的4 纵坐标伸长到原来的4倍
函数y=sinx 1、函数y=sinx
纵坐标缩短到原来的1/4 纵坐标缩短到原来的1/4
y=4sinx
求函数y=8sinx的最大值、最小值和最小正 的最大值、 2、求函数 的最大值 周期： 周期：
解 y=8sinx的最大值是8，最小值是－8， y=8sinx的最大值是8 最小值是－ 的最大值是 最小正周期T＝2π 最小正周期T
跟踪练习
1、y=sinx
横坐标缩短到原来的1/4倍 横坐标缩短到原来的 倍 横坐标伸长到原来的4倍 横坐标伸长到原来的 倍
正弦函数图像
正弦函数的图像与性质是什么?
正弦函数的图像与性质是正弦函数y=sinx。
余弦函数y=cosx，正弦函数在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]上单调递增，在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]上单调递减，余弦函数在[-π+2kπ,2kπ]上单调递增，在[2kπ,π+2kπ]上单调递减等。
正弦函数在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]上单调递增，在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]上单调递减，余弦函数在[-π+2kπ,2kπ]上单调递增，在[2kπ,π+2kπ]上单调递减。
正弦函数关于x=π/2+2kπ轴对称，关于(kπ,0)中心对称。
正弦型函数的图像
正弦型函数y=Asin(ωx+φ)图象的几何画法是，在横轴Ox上任取一点C为圆心，A为半径作圆，与x轴相交于两点A0和A6.以A0为始点，任意等分此圆(图1中是12等份)，设分点为Ai其中A0与A12重合。
在x轴上取OA′0=-φ/ω，然后从A′0起作A′i使A′iA′i+1=π/6ω，即周期2π/ω的1/12，过Ai与A′i分别与x轴和y轴平行的直线交于点Pi，连结Pi各点成光滑曲线，即得y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的近似图象。
正弦型函数的图象也称为正弦型曲线或称正弦波。
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汨罗市职业中专学校教学方案设计（首页）
教学 内容 正弦型函数（一） 课
型
新授
学时
节次
授课班级 12机1 12机2 12机3
授课日期
出勤情况
纪律情况
教学目的
知识与技能 过程与方法 情感态度价值观
知识目标：
掌握正弦型函数的性质．
能力目标：
（1）通过三角计算的学习，
培养学生的计算技能与计算工
具使用技能．
（2）通过应用举例的学习与数
学知识的应用，培养学生分析问
题和解决问题的能力．
讲解这部分内容时，注意“变量替换”的运用，讲清利用“变量替换”的手段进行化归的思想，以利于通过各个部分内容的教学，使得学生切实掌握这个重要的数学思维方法． 培养学生分析问题和解决
问题的能力．
教学重点
利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期．
教学难点
利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期．
教学资源
课件
教学后记
教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学
意图
*揭示课题
1.2正弦型函数．
*创设情境 兴趣导入
我们已经学习了正弦函数sinyx和余弦函数cosyx．在物理、
电工和工程技术中，经常遇到形如sin()yAx的函数，这类函数叫
做正弦型函数．
介绍 播放 课件 质疑 了解
观看 课件 思考 学生自然
的走
向知
识点
*动脑思考 探索新知
我们首先讨论正弦型函数的周期．
观察正弦型函数π()sin(2)3fxx．令π23zx，则xR，
zR．由于函数sinyz（zR
）的周期是2π，故
π
()sin(2)sinsin(2π)3fxxzz
ππ
=sin(22π)sin[2(π)](π)33xxfx，
所以，
正弦型函数π()sin(2)3fxx的周期为π．恰好具有关系
2π
π=
2
．
在正弦型函数sin()yAx中，令zx,则
sin()yAx
sinAz
,
一般地，可以证明，正弦型函数sin()yAx(0,0)A的定
义域为R，周期为
2π
T
.
总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 思考 理解 记忆 带领
学生
总结
*巩固知识 典型例题
例1 求函数sincos2cossin2yxxxx的周期．
解 由于
sincos2cossin2sin3yxxxxx
，
故函数的周期为 2π3T．
【小提示】
利用公式（1.3）将函数化成正弦型函数的形式，是确定函数周期
引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解 通过
例题
进一
步领
会
教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学
意图
的关键．
*运用知识 强化练习 指出下列各函数的周期 （1）πsin(3)3yx； （2）π3sin()3yx； （3）1πsin()23yx； （4）cos2sin2yxx. 提问 巡视 指导 动手 求解 及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况
*理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 填空：正弦型函数sin()(0,0)yAxA 的定义域为 ，周期为 . 结论： 正弦型函数sin()(0,0)yAxA 的定义域为R，周期为2π. 质疑 归纳强调 小组 讨论 回答 理解 强化 以小
组讨
论师
生共
同归
纳的
形式
强调
重点
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
引导 回忆
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习
效果如何？
求函数3cossinyxx的周期.
提问 巡视 指导 反思 动手 求解 检验
学习
效果
*继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题1．2（必做）；学习指导1．2（选做）
说明 记录 分层
次要
求