§4.6n阶线性方程的一般理论
第四章一般理论
第四章 一般理论§1 引 言微分方程理论的主要问题是求解和研究解的各种性质.这些问题对于第一章中那些能用初等积分法求得通解的简单方程和第三章中那些能用代数方法求得通解的常系数线性方程，都很容易或者至少比较容易解决，第二章所研究的一般线性方程，虽然它的通解一般无法具体求出，但从理论上我们知道，通解具有简单而清晰的结构，这一重要事实对于求解和研究解的各种性质无疑是很方便的.然而，对于一般的非线性方程，问题就困难多了．前已指出，即使像里卡蒂方程x '那样看上去十分简单的非线性方程，也不能用初等积分法求解．在这一章里，我们介绍关于非线性方程的一般理论．这些理论无论对于求解或是进一步研究解的各种性质都是很基本的．t x −=2我们将着重研究一阶正规形非线性方程组==),,,,(),,,,(1111n n n n x x t f dtdx x x t f dt dx """"" (E) 其中f i 是的已知函数．因为如我们在第一章1所指 n i ,,1,"=n x x t ,,,1"出，任意正规形高阶方程x (E) ),,,,()1('−=n n x x x t f "n 都可以化成等价的一阶正规形方程组,关于方程组（E）的所有定理都可转到高 阶方程（E）上去.n 方程组（E）也可简记为),,(x t f dtdx = （E） 其中,1=dt dx dt dx dt dx n # x= f(t,x)= ,1 n x x #.),,,(),,,(111 n n n x x t f x x t f "#"关于方程组(E) 的最基本的定解问题是初值问题，也称为柯西问题. 设初值条件为x(,)ξτ= (1.1)其中ξ是任一给定的n 维列向量.本章先研究初值问题解的存在性与唯一性，然后研究解的其它基本性质.§2 皮卡存在与唯一性定理2.1皮卡定理在第二章里，我们曾用逐次逼近法对线性方程证明过初值问题解的存在与唯一性，这种方法也可以用于非线性方程组（E ) ，但需要求f(t,x)除连续外还要满足某种条件，其中常用的一种是李普希茨（Lipschitz,1832-1903）条件简称李氏条件.我们说f(t,x)在闭域 R：b x a t ≤−≤−ξτ,上满足李氏条件，如果存在常数N，使得对任意点（t,x ),(),21x t R ∈,都有121(,)(,)2f t x f t x N x x −≤− （2.1）其中N 称为李氏常数.由中值定理知,如果f(t,x)在R 上关于x 的各个分量的 偏微商都存在且有界，则f（t,x）在R 上满足李氏条件．定理2.1（皮卡（Picard,1856-1941）定理） 若f(t,x)在闭域R 上连续，且满足李氏条件(2.1),则方程组（E）于区间I :0h t ≤−τ上有唯一解满足初值条件(1.1),其中h = min M M b a ,,是),(x t f 于R 上的一个上界. 证明 分3 步来完成.1.将问题归结为证明等价的积分方程组,x(t)= (2.2) ∫+tds s x s f τξ))(,(于I 0有唯一连续解．等价的意思是，如果)(t ϕ是初值问题于(E)，(1.1)于I 上 0的解，则)(t ϕ必是方程组（2.2）于I 上的解（当然连续）；反之，如果0)(t ϕ是方程组（2.2）于I 上的连续解，则0)(t ϕ必是初值问题（E），（1.1）于I 上的解.02.在I 上，构造皮卡迭代序列{0)(t k ϕ}并证明其收敛性．为此，令∫=+==−t k k k ds s s f t t τϕξϕξϕ.,2,1,))(,()(,)(10" (2.3)用归纳法容易证明：{)(t k ϕ}在I 0上有定义，连续，且满足不等式0(),k t Mh b t ϕξI −≤≤∈。
线性微分方程解的结构
上线性无关。 则 y1 ( x) 与 y2 ( x) 在区间 I 上线性无关。
例
证
证明： cos 线性无关的。 证明： x 与 sin x 在任何一个区间上均为 线性无关的。
上线性相关， 若 cos x 与 sin x 在某区间 I 上线性相关，则存在不 全为零
π
2
) 上线性无关。 上线性无关。
(3) 二阶齐线性微分方程解的结构 定理 1 若 y1 ( x)、y2 ( x) 是二阶齐线性方程
y′′ + p ( x) y′ + q( x) y = 0
的两个线性无关的解， 的两个线性无关的解，则
(2)
y ( x) = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x)
x ex W [ x, e x ] = = e x ( x − 1) ， 1 ex
从而， 线性无关。 由题意 x ≠ 1，故 W [ x, e x ] ≠ 0，从而，x 与 e x 线性无关。
由叠加原理， 由叠加原理，原方程的通解为
y = C1 x + C2 e x 。
问题： 问题：
的一个解， 如果已知 y1 ( x) 是方程 y′′ + p( x) y′ + q ( x) y = 0 的一个解， 如何求出方程的一个与 y1 ( x) 线性无关的解 y2 ( x) ?
怎么做？
′ y1 z ′ + (2 y1 + p ( x) y1 ) z = 0。
即 故有
z′ +
′ 2 y1 + p ( x) y1 z = 0。 y1
−
关于 z 的一阶线性方程
线性微分方程的一般理论
一、解的存在唯一性定理 二、齐线性方程的解的结构与性质 三、非齐线性方程与常数变易法
一、解的存在唯一性定理
二、齐线性方程的解的 结构与性质
三、非齐线性方程与常数变易法 一、解的存在唯一性定理 三、非齐线性方程与常数变易法 三、非齐线性方程与常数变易法 三、非齐线性方程与常数变易法 三、非齐线性方程与常数变易法 一、解的存在唯一性定理 二、齐线常数变易法 一、解的存在唯一性定理 一、解的存在唯一性定理 三、非齐线性方程与常数变易法 二、齐线性方程的解的结构与性质 三、非齐线性方程与常数变易法 二、齐线性方程的解的 结构与性质 二、齐线性方程的解的结构与性质 一、解的存在唯一性定理 1 线性微分方程的一般理论 三、非齐线性方程与常数变易法 三、非齐线性方程与常数变易法 一、解的存在唯一性定理 二、齐线性方程的解的结构与性质 一、解的存在唯一性定理 三、非齐线性方程与常数变易法 二、齐线性方程的解的 结构与性质 三、非齐线性方程与常数变易法 二、齐线性方程的解的结构与性质 二、齐线性方程的解的 结构与性质 一、解的存在唯一性定理
三、非齐线性方程与常数变 易法
习题: p112 1;2;4;6;8
n阶常系数齐次线性常微分方程通解的简单证法
n阶常系数齐次线性常微分方程通解的简单证法n阶常系数齐次线性常微分方程通解的简单证法n阶常系数齐次线性常微分方程通解的简单证法是一种常用的求解常微分方程的方法。
一般情况下，n阶常系数齐次线性常微分方程可以表示为：$$a_n\frac{d^nx}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\cdots+a_1\frac{dx}{dt}+a_0x=f(t)$$其中，$a_n$、$a_{n-1}$、$\cdots$、$a_0$是常数，$f(t)$是右端函数。
首先，我们计算特征方程的根，即求解：$$a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0=0$$当特征方程的根有重根时，求解该常微分方程的通解可以通过以下变换得到：$$x=C_1e^{\lambda_1t}+C_2te^{\lambda_1t}+\cdots+C_{m-1}t^{m-1}e^{\lambda_1t}+C_me^{\lambda_2t}+C_{m+1}te^{\lambda_2t}+\cd ots+C_{n-1}t^{n-1}e^{\lambda_2t}+C_nt^ne^{\lambda_2t}$$这里，$C_1$、$C_2$、$\cdots$、$C_n$是常数，而$\lambda_1$、$\lambda_2$是特征方程的根，其中$\lambda_1$可能与$\lambda_2$相等。
当特征方程的根没有重根时，求解该常微分方程的通解可以通过以下变换得到：$$x=C_1e^{\lambda_1t}+C_2e^{\lambda_2t}+\cdots+C_ne^{\lambda_ nt}$$这里，$C_1$、$C_2$、$\cdots$、$C_n$是常数，而$\lambda_1$、$\lambda_2$、$\cdots$、$\lambda_n$是特征方程的根。
线性微分方程的一般理论
线性微分方程的一般理论摘要：本文描述了线性微分方程的定义,齐次线性微分方程的解的性质与结构,以及非齐次线性微分方程与常数变易法,给读者展示了线性微分方程的一般理论和解法.关键词：齐次线性微分方程； 朗斯基行列式；通解；基本解组；常数变易法The General Theory of Linear Differential Equation Abstract ：In this paper,we describe the definition of a linear differential equation, the properties and structure of the solutions of the homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation,showing the readers the linear differential equation method of the general theory of reconciliation. KeyWords :Homogeneouslineardifferentialequation;Langyankeesdeterminant;General solution;Basic set of solutions;Method of variation constant前言在微分方程的理论中,线性微分方程是很重要的一部分.线性微分方程是研究非齐次线性微分方程的基础,它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛的应用.因此学习线性微分方程的一般理论是非常有用的.1. 引言先讨论如下的n 阶线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d x dxa t a t a t x f t dt dt dt---++++= ， (1) 其中()(1,2,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数.如果()0f t ≡,则方程(1)变为1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt---++++= ， (2) 我们称它为n 阶齐次线性微分方程,简称齐次线性微分方程,而称一般的方程(1)为n 阶非齐次线性微分方程,简称非齐次线性微分方程,并且通常把方程(2)叫做对应于方程(1)的齐次线性方程.首先给出方程(！)的解的存在唯一性定理.定理1[1] 如果()(1,2,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数,则对于任一[]0,t a b ∈及任意的0x ,()10x , ,()10n x -,方程(1)存在唯一解()x t ϕ=,定义于区间a t b ≤≤上,且满足初值条件()00t x ϕ=,()()100d t x dt ϕ=, ,()()11001n n n d t x dt ϕ---=. (3) 2. 齐次线性微分方程的解的性质与结构首先讨论齐次线性微分方程1111()()()0n n n n n n d x d x dxa t a t a t x dt dt dt---++++= . (2) 根据“常数可以从微分号下提出来”以及“和的倒数等于倒数之和”的法则,容易得到齐次线性微分方程的解的叠加原理.定理2(叠加原理) 如果()1x t ,()2x t , ,()k x t 是方程(2)的k 个解,则它们的线性组合()()()1122k k c x t c x t c x t +++ 也是(2)的解,这里1c ,2c , ,k c 是任意常数.特别地，当k n =时，即方程(2)有解()()()1122n n x c x t c x t c x t =+++ (4)它含有n 个任意常数.考虑定义在区间a t b ≤≤上的函数()1x t ,()2x t , ,()k x t ,如果存在不全为零的常数1c ,2c , ,k c ,使得恒等式()()()11220k k c x t c x t c x t +++≡对于所有[],t a b ∈都成立,我们称这些函数是线性相关的,否则就成这些函数在所给区间上线性无关.有定义在区间a t b ≤≤上的k 个可微1k -次的函数()1x t ,()2x t , ,()k x t 所做成的行列式()()()[]()()()()()()()()()()()()1212'''1211112,,,k k k k k k k W x t x t x t x t x t x t x t x t x t W t x t x t x t ---⎡⎤⎣⎦≡≡成为这些函数的朗斯基行列式.定理3 若函数()1x t ,()2x t , ,()n x t 在区间a t b ≤≤上线性相关，则在[],a b 上它们的朗斯基行列式[]0W t ≡.证明 有假设知,存在一组不全为零的常数1c ,2c , ,n c ,使得()()()11220n n c x t c x t c x t +++≡ ，a t b ≤≤ (5)依次对t 微分此等式,得到()()()()()()()()()'''1122''''''1122(1)(1)(1)11220,0,0.n n n n n n n n n c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t ---⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(6) 把(6)和(7)看成关于1c ,2c , ,n c 的齐次线性代数方程组,它的系数行列式()()()12,,,n W x t x t x t ⎡⎤⎣⎦ ,于是由线性代数理论知道，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零,即[]0W t ≡()a t b ≤≤.定理证毕.定理 4 如果方程(2)的解()1x t ,()2x t , ,()n x t 在区间a t b ≤≤上线性无关,则()()()12,,,n W x t x t x t ⎡⎤⎣⎦ 在这个区间的任何点上都不等于零,即[]0W t ≠()a t b ≤≤.证明 采用反证法.设有某个0t 0()a t b ≤≤使得[]00W t =.考虑关于1c ,2c , ,n c 的齐次线性代数方程组()()()()()()()()()1102200'''1102200(1)(1)(1)1102200000.n n n n n n n n n c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t ---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(7) 其系数行列式[]00W t =,故(7)有非零解1c ,2c , ,n c .先在以这组常数构造函数()()()()1122n n x t c x t c x t c x t ≡+++ ,a t b ≤≤,根据叠加原理,()x t 是方程(2)的解.注意到(7),知道这个解()x t 满足初值条件()()()(1)000'0n x t x t x t -==== , (8)但是0x =显然也是方程(2)的满足初始条件(8)的解.有解的唯一性,即知()0x t ≡()a t b ≤≤,即()()()11220n n c x t c x t c x t +++≡ ,a t b ≤≤.因为1c ,2c , ,n c 不全为零,这就与()1x t ,()2x t , ,()n x t 线性无关的假设矛盾.定理得证.根据定理3和定理4可以知道,由n 阶齐次线性微分方程(2)的n 个解构成的朗斯基行列式或者恒等于零,或者在方程的系数为连续的区间内处处不等于零.定理 5[2] n 阶齐次线性微分方程(2)一定存在n 个线性无关的解. 证明 线性微分方程(2)存在满足下列初始条件()101y x =,()'100y x =, ,()(1)100n y x -=; ()200y x =,()'201y x =, ,()(1)200n y x -=; ()00n y x =,()'00n y x =, ,()(1)01n n y x -=的n 个解1()y x ,2()y x , ,()n y x ,[]0,,x x a b ∈.又因10200[(),(),,()]10n W y x y x y x =≠ ,于是可知这n 个解在[],a b 上线性无关.定理6[3](通解结构定理) 如果()1x t ,()2x t , ,()n x t 是方程(2)的n 个线性无关的解,则方程(2)的通解可表为()()()1122n n x c x t c x t c x t =+++ , (9)其中1c ,2c , ,n c 是任意常数.且通解(9)包括了方程(2)的所有解.推论 方程(2)的线性无关解的最大个数等于n .因此可得结论: n 阶齐次线性微分方程的所有解构成一个n 维线性空间.方程(2)的一组n 个线性无关解称为方程的一个基本解组.显然,基本解组不是唯一的.特别的,当[]01W t =时称其为标准基本解组.3.非齐次线性微分方程与常数变易法考虑n 阶非齐次线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d x dxa t a t a t x f t dt dt dt---++++= , (1) 易见方程(2)是它的特殊形式,首先容易验证如下两个简单性质:性质1 如果_()x t 是方程(1)的解,而()x t 是方程(2)的解,则()_()x t x t +也是方程(1)的解.性质2 方程(1)的任意两个解之差必为方程(2)的解. 有如下定理:定理7 设()1x t ,()2x t , ,()n x t 是方程(2)的基本解组，而_1()x t 是方程(1)的某一解,则方程(1)的通解可表为()()()_1122()n n x c x t c x t c x t x t =++++ , (10)其中1c ,2c , ,n c 是任意常数.而且这个通解(10)包括了方程(1)的所有解.证明 根据性质1易知(10)是方程(1)的解,它包含有n 个任意常数,像定理6的证明过程一样,不难证明这些常数是彼此独立的,因此,它是方程(1)的通解.现设()x t ≈是方程(1)的任一解,则由性质2,_()()x t x t ≈-是方程(2)的解,根据定理6,必有一组确定的常数1c,2c , ,n c,使得()()()_1122()()n n x t x t c x t c x t c x t ≈-=+++,即()()()_1122()()n n x t c x t c x t c x t x t ≈=++++这就是说,方程(1)的任一解()x t可以由(10)表出,其中1c ,2c , ,n c 为相应的确定常数,由于()x t的任意性,这就证明了通解表达式(10)包括方程(1)的所有解.定理证完.设()1x t ,()2x t , ,()n x t 是方程(2)的基本解组，因而()()()1122n n x c x t c x t c x t =+++ (11)为(2)的通解,把其中的任意常数1c 看作t 的待定函数()i c t (1,2,,)i n = ,这(11) 变为1122()()()()()()n n x c t x t c t x t c t x t =+++ . (12) 将它代入方程(1)，就得到()1c t ,()2c t , ,()n c t 必须满足的一个方程,但待定函数有n 个,即()1c t ,()2c t , ,()n c t ,为了确定它们,必须再找出1n -个限制条件,在理论上,这些另加的条件可以任意给出,其法无穷,当然以运算上简便为宜,考虑下面的1n -个条件.对t 微分等式(12)得()()()()()'''''''11221122()()()()()()()n n n n x c t x t c t x t c t x t x t c t x t c t x t c t =+++++++ , 令()()'''1122()()()()0n n x t c t x t c t x t c t +++= ， 1(13)得到()()()''''1122()()()n n x c t x t c t x t c t x t =+++ . 1(14)对t 微分等式(12),并像上面一样做法,令含有函数'()i c t 的部分等于零,我们又得到一个条件()()''''''1122()()()()0n n x t c t x t c t x t c t +++= 2(13)和表达式()()()''''''''''1122()()()n n x c t x t c t x t c t x t =+++ . 2(14)继续上面做法,在最后一次我们得到第1n -个条件.()()(2)'(2)'(2)'1122()()()()0n n n n n x t c t x t c t x t c t ---+++= 1(13)n -和表达式()()()(1)(1)(1)(1)1122()()()n n n n n n x c t x t c t x t c t x t ----=+++ 1(14)n -最后,对t 微分1(14)n - 得到()()()()()()()()()1122(1)'(1)'(1)'1122()()()()()()()n n n n n n n n n n n x c t x t c t x t c t x t x t c t x t c t x t c t ---=+++++++ (14)n现将(12), 1(14) , 2(14), ,(14)n 代入(1),并注意到()1x t ,()2x t , ,()n x t 是方程(2)的解，得到()()(1)'(1)'(1)'1122()()()()()n n n n n x t c t x t c t x t c t f t ---+++= (13)n这样,我们得到了含n 个未知函数'()i c t (1,2,,i n = 的n 个方程1(13),2(13), ,(13)n 它们组成一个线性代数方程组,其系数行列式就是()()()12,,,n W x t x t x t ⎡⎤⎣⎦ ,它不等于零,因而方程的解可以唯一确定,设求得'()()i i c t t ϕ=,1,2,,i n = ,积分得'()()i i i c t t dt ϕγ=+⎰ 1,2,,i n = ,这里i γ是任意常数.将所得'()i c t (1,2,,)i n = 的表达式代入(11)即得方程(1)的解11()()()nni i i i i i x x t x t t dt γϕ===+∑∑⎰.显然,它并且是方程(1)的通解.为了得到方程的一个解,只需给常数i γ(1,2,,)i n = 以确定的值.例如,当取0i γ=(1,2,,)i n = 时,即得解1()()ni i i x x t t dt ϕ==∑⎰.从这里可以看出,如果已知对应的齐次线性微分方程的基本解组,那么非齐次线性微分方程的任一解可由求积得到.因此,对于线性微分方程来说,关键是求出齐次线性微分方程的基本解组.例1 求方程''1cos x x t+=的通解,已知它的对应齐次线性微分方程的基本解组为cos t ,sin t .解 应用常数变易法,设12()cos ()sin x c t t c t t =+为齐次方程的解. 则1()c t ,2()c t 满足下列方程组:''12''12()cos ()sin 01()(sin )()cos cos c t t c t t c t t c t t t ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解之得'1sin ()cos tc t t=-,'2()1c t = 积分得1()ln cos c t t =,2()c t t =所以原方程的通解为cos ln cos sin x t t t t =+参考文献[1] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程第三版[M ],北京:高等教育出版社,2006. [2] 焦宝聪,王在洪,时红延.常微分方程[M ],北京:清华大学出版社,2008.[3] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程第三版[M ],北京:高等教育出版社,2006.。
常微分方程32线性微分方程的基本理论
20
d d tn n x a 1 (t)d d tn n 1 x 1 … … a n 1 (t)d d x t a n (t)x 0(3.2.2)
推论3.2：设x1(t)， x2(t), ,xn(t) 是方程 (3.2.2) 在区间（a, b）上的n个解。如果存在 t0 (a,b), 使得它的Wronskian 行列式
性质3.1 L(cx)cL(x) c为常数. 性质3.2 L (x 1x2)L (x 1)L (x2)
6
d d tn n x a 1 (t)d d tn n 1 x 1 … … a n 1 (t)d d x t a n (t)x 0 (3.2.2)
二、齐次线性方程解的性质和结构
依次将此恒等式对 t 微分, 得到 n 个恒等式
c 1 x 1 ( t) c 2 x 2 ( t) c n x n ( t) 0 , c 1 x 1 ( t) c 2 x 2 ( t) c n x n ( t) 0 ,
,
c 1 x 1 ( n 1 ) ( t) c 2 x 2 ( n 1 ) ( t) c n x n ( n 1 ) ( t) 0 , 14
在区间（a, b）上的n个线性无关的解, 则它们的Wronskian 行列式
W [x1(t)， x2(t), ,xn(t)]在该区间上任何点都不为零.
证明: 用反证法
假设有 t0 (a,b),使得 W(t0)0.
18
考虑关于 c1,c2,,cn 的齐次线性代数方程组 c1x1(t0)c2x2(t0)cnxn(t0)0, c1x1(t0)c2x2(t0)cnxn(t0)0, c1x1(n1)(t0)c2x2(n1)(t0)cnxn(n1)(t0)0. 其系数行列式W(t0)0,故它有非零解 c1,c2,,cn,
线性方程组解的一般理论
,
b1 b2
bm
得（*）的 向量表达式:
x11 x2 2 x n n
取 A (1,2 , ,n )
A (1,2, ,n , )
a11 a21
am1
aa系矩1222 数 阵
am2
a1n a2n
amn
a11 a21
am1
a12 a22
增矩广阵aa12nn
am2 amn
解：要判断 rA ？r(A)
1 3 6 5 0 行变换1 3 6 5 0 1 3 6 5 0
A2 1 4 2 1
0 7 16 12 1 0 7 16 12 1
5 1 2 1 7
0 14 32 24 7 0 0 0 0 5
A
得rA 2, r( A) 3
故该方程组无解
【例2】讨论k取何值时，以下方程组有解， 无解。在有解的情况下，唯一解？ 无穷多解？
am2
a2n
amn
a11 a12 a1n b1
A
a21 am1
a22 增广a2n 矩阵
am2 amn
b2
bm
无解的充要条件是：rA r( A)
【例1】判断以下方程组是否有解？
2x1x13xx22
6x3 4x3
5x4 2x4
0 1
5x1 x2 2x3 x4 7
设r( A) r( A) r
则
r n 有无穷多解 r n 仅有零解
反之，若有无穷多解，则有r<n。
推论1 ： 齐次线性方程组有非零解的充要条件是
对齐次线性方程组：
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a 21 x1
a22
x2
§4 高阶线性微分方程
问题 y1 (x) 与 y2 (x) 是(4.2)的解，由定理 1， y C1 y1 (x) C2 y2 (x) 也是
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
高阶线性微分方程的一般理论 ppt课件
at b (1) ( n 1) 上的连续函数, 则对于任一 t0 [a, b] 及任意的 x0 , x0 , x0 ,
方程（4.1）存在 唯一解 x (t )，定义于区间 a t b 上，且满足初始条件：
n 1 d (t0 ) d (t0 ) (1) ( n 1) (t0 ) x0 , x0 , , x 0 n 1 dt dt
8
也是（4.2）的解，这里 c1 , c2 ,, ck 是任意常数。
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证明
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt
(n)
(4.2)
[c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) ck xk (t )] a1 (t )[c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) ck xk (t )]( n1)
x1 (t ) (t ) x1
x2 (t ) (t ) x2
xk (t ) (t ) xk
12
( k 1) ( k 1) x1( k 1) (t ) x2 (t ) xk (t )
称为这些函数的伏朗斯基行列式。
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定理3 若函数 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 在区间 a t b 上线性相关， 上它们的伏朗斯基行列式 W (t ) 0。 则在 [a, b] 证明 由假设，即知存在一组不全为零的常数 c1, c2 ,, cn , （4.6）
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt
n阶常系数线性齐次方程解法
n 阶常系数线性齐次方程解法()(1)11[]0 (4.21)n n n n L y y a y a y a y --'=++++=0 (4.y a y '+=有特解ax y e -=，由此猜想(4.21)由特解x y e λ=(4.23)， 因为111[]()() (4.24)x n n x x n n L e a a a e P e λλλλλλλ--=++++=，由此可知：x e λ是(4.21)的解()0 (4.25)P λ⇔=特征多项式，特征方程，特征根，求解微分方程归结为求解代数方程。
4.2.1 特征根都是单根。
定理4.8 如果(4.25)有n 个互异特征根12,,,n λλλ，则(4.21)有基本解组1212,,,n x x x n y e y e y e λλλ=== (4.26)。
证明：显然。
例1 求解方程50y y '''-=。
．．．例2 求方程560y y y '''-+=的通解及满足初值(0)1,(0)2y y '==的特解。
如果（4.25)有复根k a bi λ=+，则c o s s i n k x a x i b xa x a xk y e ee b x i e b x u i vλ+===+=+为复解。
下求实解。
k y u iv =-仍然是解。
1()c o s 21()s i n 2a xk k ax k ku y y e bx v y y e bx i ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩仍然为解，由此可知，共轭复解,k k y y 对应实解,u v 。
易知无关。
例3 求解方程39130y y y y ''''''-++=。
．．．例4 求解方程440y y y y ''''''-+-=。
4.2.2 特征根有重根设1λ是(1)k k n <≤重根，互异特征根为012,,,n λλλ，0n n <，此时，1x e λ，02,,n xx e e λλ没有构成基本解组，下面补充无关解。
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4.48
1(
n2)
(t
)c1(t
)
(n2) 2
(t
)c2
(t
)
1(
n1)
对于 n 2的齐次线性方程
y(2) a1(t) y a2 (t) y 0,
(4.41)
如果已知一个非零解 y1, 令
z y , 代入原方程(4.41), 经整理
y1
有
y1z(2) (2y1 a1(t) y1)z 0.
令 z, 则上述方程降低一阶为
2 y1 a1(t) y1 0,
§4.6 n阶线性方程的一般理论
本节研究n阶线性方程的一般理论.它的一般形式是
y(n) a1(t) y(n1) an1(t) y an (t) y h(t),
(4.32)
其中 a1(t), , an(t) 和 h(t) 都是自变量 t I 的连续函数. 非齐次项 h(t) 0, t I 时, 相应齐次线性方程为
m
cj xj (t) 0
j 1
在区间I上成立, 则称函数组 x1(t), x2(t), , xm(t) 在区间I上是线性 相关的. 否则, 则称函数组 x1(t), x2(t), , xm(t) 在区间I上是线性 无关的. 换句话说, 恒等式(4.37)在I上成立, 当且仅当
c1 c2 cm 0, 则称函数组 x1(t), x2 (t), , xm (t) 在区间I上线性无关.
y ( n 1) 0
0
0
,
1
a1(t)
0
0
h(t) .
0
h(t)
(4.36)
显然 A(t) 和 h(t) 是区间 I上的连续函数. 利用n阶线性方程(4.32)与对应的一阶线性方程组(4.35)的等阶 性, 我们立即可得n阶线性方程(4.32)解的整体存在惟一性定理.
y
c1 y1
c2 y2
1 t
(c1
sin t
c2
cos t ).
二. 非齐次线性方程 对于n阶非齐次线性方程(4.32), 有如下基本性质. 命题4.6 若 (t) 为n阶非齐次线性方程(4.32)的解, (t)是所对应 的齐次方程的解, 则 (t) + (t) 仍为非齐次线性方程(4.32)的解. 命题4.7若(t) 和 (t) 都是非齐次线性方程(4.32)的解,则它们的差 (t) - (t) 是所对应的齐次方程的解.
(n) (t) a1(t) (n1) (t) an1(t) (t) an (t)(t)
n
n
n
cj
(t
)
( j
n1)
(t
)
c
j
(t
)
(n j
)
(t
)
a1
(t
)
c
j
(t
)
(n1) j
(t
)
j 1
j 1
j 1
n
n
an1(t) cj (t)j (t) an (t) cj (t) j (t)
(t
)
取(4.16)的第一个分量, 可得第一部分为其齐次线性方程的通解,
第二部分即为(4.45).
n
注4.2 应用常数变易法, 在齐次线性方程通解 y c j j (t)
j 1
的基础上,
作变换
(t )
n
c
j
(t)
j
(t),
其中
c1(t),
c2 (t),
, cn (t)
j 1
对于n阶齐次线性方程(4.33), 剩下的关键是求出基本解组. 但对
于变系数方程(4.33), 一般没有通有的办法. 最好能够做到的是
如下的降阶方法.
定理4.19 若已知一个非零解, 则方程(4.33)可降低一阶, 即求解
一个 n 1阶齐次线性方程,即可求出(4.33)的全部解; 若已知k
个线性无关的解 y1, y2, , yk则, 方程(4.33)可降低k阶, 即求解一 个 n k阶齐次线性方程即可求出(4.33)的全部解.
于是可得非齐次线性方程(4.32)的通解结构. 定理4.20 设 (t) 为非齐次线性方程(4.32)的一个特解,而
1(t), 2 (t), ,n (t) 是对应的齐次线性方程的基本解组, 则非
齐次线性方程(4.32)的通解为
n
x cj j (t) (t)， j 1
(4.44)
其中c1, c2, ,cn为任意常数; 而且该通解包含了方程(4.33)的所有解.
推论 齐次线性方程(4.33)线性无关解的最大个数为n.
定义4.3 齐次线性方程(4.33)任何n个线性无关的解称为方程(4.33)
的基本解组.
判别方程(4.33)给定的 n 个解是否线性无关? 我们也有相应的
Liouville公式.
y1
s
y c1 y1 c2 y1
t t0
1 y12 (
s)
e
t0
a1
(
)
d
ds.
(4.43)
结显构然也y2 可 得y1 到tt0 y(4121(.4s)3e).
s
是与 ds t0 a1( )d y1线性无关的解, 利用通解
而利用刘维尔公式(4.40)同样可以求出
上述通解公式(4.43).
替换后所得的行列式.
注4.1 可以利用一阶线性方程组的常数变易公式(4.16), 注意,
此时基解矩阵 Φ(t) 为
1(t)
Φ(t)
1(t)
( n 1) 1
(t
)
2 (t) 2 (t)
( n 1) 2
(t
)
n (t)
n (t)
.
( n 1) n
y(n) a1(t) y(n1) an1(t) y an (t) y 0.
相应初始条件为; 当 t t0 时,
y(t0 ) y0, y(t0 ) y0 ,
,
y(n1) (t0 )
y(n1) 0
.
令 y x1, y x2, , y(n1) xn
其中 c1, c2 ,, cn为n个任意常数, 并且(4.44)包含了方程(4.32) 的全部解. 并且特解 (t) 可以由下列常数变易公式所确定:
t
n
j (t)
j 1
t Wj (s) h(s)ds， t0 W (s)
(4.45)
其中 W j (t) 是Wronski行列式 W (t)中第j列用 0, 0, , 0, 1T
为n个待定函数使得 (t) 为非齐次线性方程(4.32)的解. 为此
需要将(t)代入方程(4.32), 并确定n个待定函数 cj (t),1 j n. 注意n个待定函数c j (t)仅要求满足一个方程(4.32), 因此我们还有
n 1个选择确定c j (t) 的自由度.
因为 令 则
n
n
cj (t)j (t)
c
j
(t
)
( j
2)
(t
),
j 1
j 1
令 n
cj (t)j (t) 0,
(4.462 )
j 1
则
n
(2) (t)
c
j
(t
)
(2) j
(t
).
j 1
(4.472 )
用同样的方法, 归纳可得, 令
n
cj
(t)
(n2) j
(t)
(4.38) .
(n 1
1)
(t
)
( n 1) 2
(t
)
( n 1) n
(t
)
定理4.16 齐次线性方程(4.33)必存在n个线性无关的解
1(t), 2(t), ,n (t), 其通解为
y c11(t) c22 (t) cnn (t), t I,
(4.39)
定理4.14 如果 a1(t), , an (t) 和 ht 在区间 I 上连续，则n阶线
性方程(4.32)满足初始条件(4.34)的解 y (t) 在区间 I 上整
体存在惟一, 并连续地依赖于初值 (t0, x(t0)). 一. 齐次线性方程 对于n阶齐次线性方程(4.33),直接验证即知叠加原理成立: 定理4.15 如果 1(t), 2(t), ,m(t) 是齐次线性方程(4.33)的m个解, 则其线性组合
y1
(4.42)
这是一阶线性方程, 因此可积. 求解得
回代变量 z, 可得
c2
t
e . t0 a1 ( )d
y12
积分可得
z
c2
t
e , t0 a1 ( )d
y12
s
z c1 c2
t t0
1 y12 (
s)
e
t0
a1
(
)
d
ds.
再次回代变量 z y , 可得原方程(4.41)的通解公式
,
n
(t
)
n (t)
,
( n 1) n
(t
)