专题11 幂函数-2021年高考数学一轮复习专题讲义附真题及解析

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2025届新高考数学一轮复习精讲精练：幂函数与二次函数(知识+真题+15类高频考点) ( 精讲)

幂函数与二次函数目录第一部分：基础知识 (2)第二部分：高考真题回顾 (3)第三部分：高频考点一遍过 (3)高频考点一：幂函数的定义 (3)角度1：求幂函数的值 (3)角度2：求幂函数的解析式 (4)角度3：由幂函数求参数 (4)高频考点二：幂函数的值域 (6)高频考点三：幂函数图象 (8)角度1：判断幂函数图象 (8)角度2：幂函数图象过定点问题 (10)高频考点四：幂函数单调性 (13)角度1：判断幂函数的单调性 (13)角度2：由幂函数单调性求参数 (14)角度3：由幂函数单调性解不等式 (15)高频考点五：幂函数的奇偶性 (18)高频考点六：二次函数 (20)角度1：二次函数值域问题 (20)角度2：求二次函数解析式 (21)角度3：由二次函数单调性（区间）求参数 (22)角度4：根据二次函数最值（值域）求参数.......................23角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题.....................24第四部分：新定义题（解答题）.. (29)第一部分：基础知识R R R |0}x x ≥|0}x x ≠R|0}y y ≥R|0}y y ≥2、二次函数形如2()(0)f x ax bx c a =++≠的函数叫做二次函数.第二部分：高考真题回顾1．（2023·天津·统考高考真题）设0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b<<【答案】D【详解】由 1.01x y =在R 上递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=，由0.5y x =在[0,)+∞上递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选：D第三部分：高频考点一遍过高频考点一：幂函数的定义角度1：求幂函数的值角度2：求幂函数的解析式角度3：由幂函数求参数典型例题例题1．（2024上·山东威海·高一统考期末）已知幂函数2()(214)k f x k k x =--在()0,∞+上单调递增，则k =（）A ．3-B ．3C ．5-D ．5【答案】D高频考点二：幂函数的值域高频考点三：幂函数图象角度1：判断幂函数图象．．．．【答案】B【分析】对B选项，根据，二次函数开口向下，不满足，其他选项满足类幂函数和二次函数性质，得到答案.(10a≠时，二次函数对称轴为A ．⑥③④②⑦①⑤B ．⑥④②③⑦①⑤C ．⑥④③②⑦①⑤D ．⑥④③②⑦⑤①【答案】C【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故角度2：幂函数图象过定点问题典型例题例题1．（2024上·上海·高一上海市吴淞中学校考期末）下列命题中正确的是（）A ．当0m =时，函数m y x =的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．幂函数m y x =图象不可能在第四象限内D ．若幂函数m y x =为奇函数，则m y x =是定义域内的严格增函数【答案】C【分析】由幂函数的图象与性质判断即可.A．p，q均为奇数，且p qB．q为偶数，p为奇数，且．．．．【答案】BD【分析】结合二次函数与幂函数的性质，逐一分析各选项即可得解.【详解】因为()22f x ax x =-，当1a =-时，()f x =，其图象开口向下，对称轴为高频考点四：幂函数单调性角度1：判断幂函数的单调性角度2：由幂函数单调性求参数典型例题例题1．（2023上·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校考阶段练习）若()2222m my m m x+=--是幂函数，且在()0,∞+上单调递增，则m 的值为（）A ．1-或3B ．1或3-C ．1-D ．3【答案】D【分析】根据幂函数的性质即可求解.【详解】因为()2222mmy m m x+=--是幂函数，角度3：由幂函数单调性解不等式（2）根据函数的单调性和定义域得到不等式，解得答案.高频考点五：幂函数的奇偶性典型例题例题1．（2024·全国·高一假期作业）“幂函数()()21mf x m m x =+-在()0,∞+上为增函数”是“函数()222x x g x m -=-⋅为奇函数”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要【答案】A高频考点六：二次函数角度1：二次函数值域问题典型例题例题1．（2024上·江西·高一校联考期末）已知函数2()23=-+f x x x ，则()f x 在区间[]0,4的值域为（）A ．[]3,6B ．[]2,6C ．[]2,11D ．[]3,11【答案】C【分析】由二次函数的单调性计算即可得.【详解】()22()2312f x x x x =-+=-+，则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,4单调递增，又(1)2f =，(0)3f =，(4)11f =，故()f x 在区间[]0,4的值域为[]2,11.故选：C.例题2．（2024上·河南新乡·高一统考期末）已知函数()f x 满足()3log f x mx =，且()f x 的图象经过点()1,3.(1)求()f x 的解析式；(2)求函数()()()2[]45g x f x f x =-+在(],1-∞上的值域.【答案】(1)()3xf x =(2)[)1,5【分析】（1）利用指数和对数的互化公式，代入点的坐标即可求解；（2）利用换元法直接求解函数值域即可.【详解】（1）因为()3log f x mx =，所以()3mxf x =.又因为()f x 的图象经过点()1,3，所以33m =，解得1m =，故()f x 的解析式为()3xf x =.（2）当1x ≤时，033x <≤，令()(],0,3t f x t =∈，则()()222[]4545(2)1f x f x t t t -+=-+=-+，函数2(2)1y t =-+在(]0,2t ∈上单调递减，在[]2,3t ∈上单调递增，则当2t =时，()g x 取得最小值1，又22(2)1(02)15t -+<-+=，所以()g x 的值域为[)1,5.角度2：求二次函数解析式为2x =.角度3：由二次函数单调性（区间）求参数典型例题例题1．（2024下·云南红河·高一蒙自一中校考开学考试）已知二次函数221y x ax =-+在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2][3,)-∞⋃+∞B ．[2,3]C ．(,3][2,)-∞-⋃-+∞D ．[3,2]--【答案】A【分析】根据二次函数的性质求解.【详解】二次函数221y x ax =-+的对称轴为0x a =，欲使得()2,3x ∈时是单调的，则对称轴0x a =必须在(2,3)区间之外，即2a ≤或者3a ≥.故选：A.例题2．（2024上·四川宜宾·高一统考期末）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数，若函数()()21y f x a x =--在区间()1,1-上为单调函数，则实数a 的取值范围为（）A ．(],0-∞B ．[)2,+∞C ．[]0,2D ．(][),02,-∞⋃+∞【答案】D【分析】幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数，解得()2f x x =，函数()()21y f x a x =--在区间()1,1-上为单调函数，利用二次函数的性质，列不等式求实数a 的取值范围.【详解】()()2133m f x m m x +=-+为幂函数，则2331m m -+=，解得2m =或1m =，2m =时，()3f x x =；1m =时，()2f x x =.()f x 为偶函数，则()2f x x =.函数()()()22121y f x a x x a x =--=--在区间()1,1-上为单调函数，则11a -≤-或11a -≥，解得0a ≤或2a ≥，所以实数a 的取值范围为(][),02,-∞⋃+∞.故选：D.角度4：根据二次函数最值（值域）求参数角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题当区间[],3t t +在对称轴左侧时，即1t ≤-时，()()2min 3288f x f t t t =+=+-=-，解得2t =-或0=t （舍去）当区间[],3t t +在对称轴右侧时，即2t ≥时，()()2min 458f x f t t t ==--=-，解得3t =或1t =（舍去），当对称轴在区间[],3t t +内时，即12t -<<时，()()min 29f x f ==-，不符合题意，综上所述，2t =-或3t =第四部分：新定义题（解答题）()224223x x f m m x +=-⋅+-为定义域()(),00,∞-+∞U 上的“G 函数”，否则不是．【点睛】思路点睛：根据题目新定义转化为存在定义域内的x ，使得()()0f x f x -+=，进而判断方程是否有解.。

高三数学幂函数试题答案及解析

高三数学幂函数试题答案及解析1.若，则满足的取值范围是 .【答案】【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.【考点】幂函数的性质.2.对于函数f(x)若存在x0∈R，f(x)＝x成立，则称x为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)图象上A，B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A，B两点关于直线y＝kx＋对称，求b的最小值．【答案】（1）－1和3.（2）(0,1)（3）－【解析】解：(1)∵a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，f(x)＝x⇒x2－2x－3＝0⇒x＝－1，x＝3，∴函数f(x)的不动点为－1和3.(2)即f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x有两个不等实根，转化为ax2＋bx＋b－1＝0有两个不等实根，需有判别式大于0恒成立，即Δ＝b2－4a(b－1)>0⇒Δ1＝(－4a)2－4×4a<0⇒0<a<1，∴a的取值范围为(0,1)．(3)设A(x1，x1)，B(x2，x2)，则x1＋x2＝－，则A，B中点M的坐标为(，)，即M(－，－)．∵A，B两点关于直线y＝kx＋对称，且A，B在直线y＝x上，∴k＝－1，A，B的中点M在直线y＝kx＋上．∴－＝＋⇒b＝－＝－，利用基本不等式可得当且仅当a＝时，b的最小值为－.3.若幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝________．【答案】【解析】设f(x)＝xα，则＝9α，∴α＝－，即f(x)＝x－，f(25)＝4.设α∈{-1,1,,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为() A．1,3B．-1,1C．-1,3D．-1,1,3【答案】A【解析】当α=-1时函数定义域为{x|x≠0}.当α=时,定义域是[0,+∞),都不符合条件.当α=1,3时,幂函数定义域为R且为奇函数.故选A.5.幂函数y＝f(x)的图像经过点(4，)，则f()的值为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设幂函数，由，得.【考点】幂函数6.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据函数的单调性分析出指数大于零，解不等式可得的取值范围，再利用得，然后根据幂函数为偶函数可得；（2）根据导数求极值，为使方程只有一个根，则必须恒成立，于是根据判别式可求.试题解析：（1）在区间上是单调增函数，即又 4分而时，不是偶函数，时，是偶函数，. 6分（2）显然不是方程的根.为使仅在处有极值，必须恒成立， 8分即有，解不等式，得. 11分这时，是唯一极值. . 12分【考点】1.幂函数；2.函数的单调性；3.导数公式；4.函数的极值.7.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据函数的单调性分析出指数大于零，解不等式可得的取值范围，再利用得，然后根据幂函数为偶函数可得；（2）根据导数求极值，为使方程只有一个根，则必须恒成立，于是根据判别式可求.试题解析：（1）在区间上是单调增函数，即又 4分而时，不是偶函数，时，是偶函数，. 6分（2）显然不是方程的根.为使仅在处有极值，必须恒成立， 8分即有，解不等式，得. 11分这时，是唯一极值. . 12分【考点】1.幂函数；2.函数的单调性；3.导数公式；4.函数的极值.8.函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是（）A．B．C．D．或【答案】【解析】是幂函数或 . 又上是增函数,所以.【考点】幂函数的概念及性质.9.函数由确定，则方程的实数解有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】因为，所以.方程为：，化简得，其根有3个，且1不是方程的根.【考点】幂的运算，分式方程的求解.10.下列对函数的性质描述正确的是（）A．偶函数，先减后增B．偶函数，先增后减C．奇函数，减函数D．偶函数，减函数【答案】B【解析】是偶函数，图象关于y轴对称，而在（0，+∞）是减函数，所以，在（-∞.0）是增函数，故选B。

2021年高中数学核心知识点3.5 幂函数(精讲精析篇)(解析版)新高考

专题3.5幂函数（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 幂函数的概念一般地，形如y ＝x α(α为常数)的函数叫做幂函数.【典例1】（2020·广东省高一期末）若函数()21()22m f x m m x -=--是幂函数，则m =（）A ．3B ．1-C ．3或1-D ．13【答案】C 【解析】因为函数()21()22m f x m m x -=--是幂函数,所以2221m m --=,解得1m =-或3m =. 故选:C【典例2】（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知幂函数n y mx =(,)m n R ∈的图象经过点(4,2)，则m n -=_______．【答案】12【解析】由ny mx =是幂函数，可得1m =.由ny x =的图象经过点(4,2)，可得2=4n ，解得12n =. 所以11122m n -=-=.故答案为：12. 【特别警示】形如y ＝x α的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y ＝3x 、y ＝x x ＋1、y ＝x 2＋1均不是幂函数，【变式探究】1.（2018·重庆市綦江中学高一期中）若幂函数y x α=的图像过点(4,2)，则y x α=的值域是_________【答案】[0,)+∞ 【解析】由幂函数y x α=的图像过点(4,2)，可得24α=，可得12α=，故12y x x α==，由幂函数的性质可得其值域为[0,)+∞，故答案为：[0,)+∞.2.（2015·湖南高考真题（理））已知函数32,(),x x m f x x x m ⎧≤=⎨>⎩，，若存在实数a ，使函数g(x)=f(x)-a 有两个零点，则实数m 的取值范围是________．【答案】()(),01,-∞⋃+∞ 【解析】∵()()g x f x a =-有两个零点， ∴()f x a =有两个零点，即()y f x =与y a =的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =．①当1m >时,函数()f x 的图象如图所示，此时存在a 满足题意，故1m >满足题意．②当1m =时,由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意．③当01m <<时,函数()f x 单调递增，故不符合题意．④0m =时,()f x 单调递增，故不符合题意． ⑤当0m <时,函数()y f x =的图象如图所示,此时存在a 使得()y f x =与y a =有两个交点．综上可得0m <或1m >．所以实数m 的取值范围是()(),01,-∞⋃+∞．热门考点02 幂函数的图象和性质1. 五种常见幂函数的性质，列表如下：解析式定义域值域奇偶性单调性公共点y ＝x R R 奇在R 上是__增函数__ 都过(1,1)点y ＝x 2 R [0，＋∞) 偶在(－∞，0)上是减函数；在[0，＋∞)上是增函数y ＝x 3R R 奇在R 上是增函数12()f x x= [0，＋∞) [0，＋∞)非奇非偶在[0，＋∞)上是增函数 y ＝x －1(－∞，0)∪(0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇在(－∞，0)和(0，＋∞)上均是减函数2.幂函数的指数与图象特征的关系(1)图象：在同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y=12x，y＝x－1的图象如图．（2）幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边．（3）当α≠0,1时，幂函数y＝xα在第一象限的图象特征：【典例3】（2020·甘肃省武威十八中高二期中（文））函数43y x的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】4343y x x ==∴该函数的定义域为R ，所以排除C ；因为函数为偶函数，所以排除D ；又413>，43y x ∴=在第一象限内的图像与2y x 的图像类似，排除B.故选：A ．【典例4】（2018·上海高考真题）已知112112322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，，，，，，，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____．【答案】-1 【解析】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣1122，，1，2，3}，幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减， ∴a 是奇数，且a ＜0， ∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【规律方法】幂函数y ＝x α的形式特点是“幂指数坐在x 的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y 轴左侧的增减性即可．【变式探究】1．（2020·通榆县第一中学高一期末）若函数212()()2m f x m m x -=--是幂函数,且()y f x =在(0,)+∞上单调递增,则()2f =( )A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】D 【解析】因为函数()()2122m f x m m x-=--是幂函数,所以2221m m --=,解得1m =-或3m =.又因为()y f x =在(0,)+∞上单调递增,所以10m -≥, 所以3m =,即2()f x x =,从而()2224f ==，故选：D.2．（2020·攀枝花市第十五中学校高一期中）幂函数()2()33mf x m m x =-+的图象关于y 轴对称，则实数m =_______.【答案】2 【解析】函数()2()33mf x m m x =-+是幂函数，2331,m m ∴-+=解得：1m =或2m =，当1m =时，函数y x =的图象不关于y 轴对称，舍去，当2m =时，函数2y x 的图象关于y 轴对称，∴实数2m =．热门考点03 幂函数图象和性质的应用【典例5】（2020·云南省高三其他（文））已知352a =，253b =，135c -=，则（） A ．b a c << B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】D 【解析】由题得135222,12a <∴<<<.120533,1b 33<∴<<<.352b a b a ===< 30151,15c -<=∴<.所以c a b <<. 故选：D【典例6】（2020·辽源市田家炳高级中学校高二期中（文））已知幂函数()nf x x =的图象过点18,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()()13f a f +<，则a 的取值范围是（）A ．()4,2-B ．()(),42,-∞-+∞C ．(),4-∞-D ．2,【答案】B 【解析】已知幂函数()n f x x =的图象过点18,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则184n=，则812log 43n ==-，故幂函数()f x 的解析式为()23f x x -=，若()()13f a f +<，则13a +>，解得4a 或2a >.故选：B.【典例7】（2019·浙江省高二学业考试）设:2p a <；3322:(1)(32)q a a --->-，则p 是q 成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由3322(1)(32)a a --->-得10,320,132,a a a a ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩解得1a <，因为2a <不能推出1a <，1a <可推出2a <，所以p 是q 成立的必要不充分条件. 故选：B ．【典例8】（2019·安徽省淮北一中高一期中）若幂函数()f x 的图像过点(4,2)，则不等式()2()f x f x <的解集为（） A ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(1,)+∞【答案】D 【解析】设幂函数的解析式为()f x x α=，∵幂函数()f x 的图象过点(4,2)，∴24α=，∴12α=，∴12()f x x =，∴()f x 的定义域为[0,)+∞，且单调递增，∵()2()f x f x <等价于20x x x ≥⎧⎨>⎩，解得1x >，∴()2()f x f x <的解集为(1,)+∞.故选：D . 【总结提升】1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤．第一步，据指数分清正负；第二步，正数区分大于1与小于1，a >1，α>0时，a α>1；0<a <1，α>0时0<a α<1；a >1，α<0时0<a α<1；0<a <1，α<0时，a α>1；第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形． 2．给定一组数值，比较大小的步骤．第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行．第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1.第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性．第四步：对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底(化同指)、或放缩、有时作商(或作差)、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等．【变式探究】1.（2020·黑龙江省铁人中学高二期中（文））已知函数()()2211m m f x m m x+-=--是幂函数，且在(0,)+∞上为增函数，若,,a b R ∈且0,0,a b ab +><则()()f a f b +的值（） A ．恒等于0 B ．恒小于0 C ．恒大于0 D ．无法判断【答案】C 【解析】函数()()2211m m f x m m x+-=--是幂函数，则211m m --=，解得2m =或1m =-.当1m =-时，()1f x x -=，在(0,)+∞上为减函数，排除；当2m =时，()5f x x =，在(0,)+∞上为增函数，满足；()5f x x =，函数为奇函数，故在R 上单调递减.0a b +>，故a b >-，()()()f a f b f b >-=-，故()()0f a f b +>.故选：C .2．（2020·河北承德第一中学高二月考）若幂函数()y f x =的图象过点(8,，则函数()()21f x f x --的最大值为（） A ．12B ．12-C ．34-D ．-1【答案】C 【解析】设幂函数()y f x x α==，图象过点(8,，故318=2=2ααα故()f x =()()21f x f x x --=t =，则()21y t t =-+，0t ≥，∴12t =时，max 34y =-.故选：C【易错警示】用幂函数的性质解题时，易忽略函数的定义域及不同单调区间的讨论.巩固提升1．（2019·伊宁市第八中学高一期中）下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（） A ．2yx B ．1y x -=C ．2yxD ．13y x =【答案】A 【解析】由偶函数定义知，仅A,C 为偶函数， C.2yx 在区间(0,)+∞上单调递增函数，故选A ．2．幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则 ( )A ．－1<m <0,0<m <1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1【答案】B【解析】当x >1时，y ＝x n 的图象在y ＝x－1的图象下方，∴n <－1；又0<m <1，故选B ．3．函数y ＝x α与y ＝αx (α∈{－1，12，2,3})的图象只可能是下面中的哪一个 ( )【答案】C【解析】直线对应函数y ＝x ，曲线对应函数为y ＝x－1,1≠－1.故A 错；直线对应函数为y ＝2x ，曲线对应函数为y ＝x 12 ，2≠12.故B 错；直线对应函数为y ＝2x ，曲线对应函数为y ＝x 2,2＝2.故C 对；直线对应函数为y＝－x ，曲线对应函数为y ＝x 3，－1≠3.故D 错．4．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知幂函数()21(2)n f x n n x+=-，若在其定义域上为增函数，则n 等于（） A ．1，12-B ．1C ．12-D ．11,2-【答案】C 【解析】22110n n n ⎧-=⎨+>⎩，解得12n =-或1n =．又1n =时，函数2y x 不满足在定义域上增，舍去，故选C ．5．（2020·山东省微山县第一中学高一月考）已知幂函数()y f x =的图象过点2,2⎛ ⎝⎭，则下列结论正确的是（）A ．()y f x =的定义域为[0,)+∞B ．()y f x =在其定义域上为减函数C ．()y f x =是偶函数D ．()y f x =是奇函数【答案】B 【解析】设幂函数()n f x x =，点⎛ ⎝⎭代入得，2n =，解得121,()2n f x x -=-∴=，根据幂函数的性质可得，选项B 正确. 故选:B6．（2018·贵州省高一期末）若幂函数()a f x x 的图象过点(4,2)P ，则函数()f x 的在其定义域内（） A ．先增后减 B ．先减后增C ．单调递增D ．单调递减【答案】C 【解析】因为幂函数()a f x x 的图象过点(4,2)P ,所以24a =,解得12a =,即幂函数为y =由幂函数的图象和性质可知,在定义域内单调递增. 故选:C.7．（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）设21,2,,33α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R ，且为偶函数的所有α的值为（） A ．1,3- B ．1,2- C ．1,3,2- D ．22,3【答案】D 【解析】函数1y x -=，定义域为{}|0x x ≠，且为奇函数，不符合题意.函数2yx ，定义域为R ，且为偶函数，符合题意.函数23y x =，定义域为R ，且为偶函数，符合题意. 函数3y x =，定义域为R ，且为奇函数，不符合题意. 故选：D8．（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）设函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数，且当(0,)x ∈+∞，()f x 单调递增，则m 的值为（）A ．2-B ．2-或1C ．2D ．2或1-【答案】C 【解析】由题意()f x 是幂函数，则211m m --=，解得2m =或1m =-，因为()f x 在()0,x ∈+∞上是增函数，而当2m =时，2330m m +-=>符合题意；当1m =-时，2330m m +-=-<，所以()f x 在()0,x ∈+∞上是减函数，不符合题意，2m ∴=.故选：C9．（2020·宜昌市人文艺术高中（宜昌市第二中学）高二月考）幂函数()y f x =经过点()24，，则()f x 是（）A ．偶函数，且在()0∞+，上是增函数 B ．偶函数，且在()0∞+，上是减函数 C ．奇函数，且在()0∞+，是减函数 D ．非奇非偶函数，且在()0∞+，上是增函数【答案】A 【解析】()y f x =为幂函数，设()f x x α=，因为幂函数()y f x =经过点()24，，代入可得42α=，所以2α=，则()2f x x =，定义域x ∈R ，而()()2f x x f x -==，所以()f x 为偶函数，由二次函数性质可知()f x 在()0+∞，上是增函数，故选：A.10．（2019·营口市第二高级中学高二月考（文））当()0,x ∈+∞时，幂函数()2531m y m m x--=--为减函数，则实数m 的值为______. 【答案】2 【解析】因为函数()2531m y m m x--=--既是幂函数又是()0,∞+上的减函数，所以211530m m m ⎧--=⎨--<⎩，解得：2m =.故答案为：2.11．（2020·甘肃省武威十八中高二期中（文））若点14,64P ⎛⎫⎪⎝⎭在幂函数()f x 的图象上，则()2f =________．【答案】18【解析】设幂函数为()f x x α=，α为实数，由点14,64P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在()f x 的图象上，得1464α=，解得3α=-，则()3f x x -=，故()31228f -==．故答案为：1812．（2020·天津大钟庄高中高二月考）已知幂函数a y x =的图象过点(28)，，则这个函数的解析式是____________．【答案】3y x =【解析】因为幂函数a y x =的图象过点(28)，，所以82a =，解得3a =，所以幂函数解析式是3y x =.13．（2016·上海高一期末）已知幂函数()y f x =的图像过点2,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()4f =___________.【答案】12【解析】设幂函数()f x x α=，幂函数()y f x =的图象过点2,2⎛ ⎝⎭，∴2α=，解得12α=-， 12()f x x-∴=， ()121442f -∴==，故答案为：12． 14．（2018·安徽省怀宁县第二中学高三月考（文））若()()1122132a a +<-，则实数a 的取值范围是________．【答案】21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】令f(x)=12x 的定义域是{x|0x ≥},且在(0,+∞)上单调递增,则原不等式等价于10,{320,132,a a a a +≥-≥+>-解得21,3a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.15．（2020·调兵山市第一高级中学高二月考）已知幂函数22()(1)m f x m m x =--为偶函数则m 的值为_____________. 【答案】2. 【解析】幂函数22()(1)m f x m m x =--，则2112m m m --=∴=或1m =-当1m =-时，()f x x =为奇函数，舍去；当2m =时，4()f x x =为偶函数，满足故答案为：216．（2019·涡阳县萃文中学高一月考）已知幂函数()y f x =的图象过点(. （1）求函数()f x 的解析式，并求出它的定义域；（2）试求满足()()13f a f a +>-的实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x =[)0,+∞.（2）(]1,3【解析】（1）设()f x x α=，代入点(得2α=，解得12α=，即()12f x x ==.故函数()f x 的定义域为[)0,+∞.（2）由于()f x 的定义域为[)0,+∞，且在[)0,+∞上递增，由已知()()13f a f a +>-可得103013a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩故a 的范围是(]1,3.。

2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第六节幂函数二次函数课件文北师大版202102191

D．(－∞，0)
答案：B
3．(易错点：二次函数的单调性)若 f(x)＝x2＋bx＋c 的递增区间为[－1，＋∞)，则 b＝________．答案：2 4．(基础点：分段函数的性质)设函数 f(x)＝x12＋x1＞0x≤0，则 f(x)＞f(1)的 x 的取值范围为________．
答案：(－∞，0)
－2ba，4ac4－a b2
图像关于直线__x_＝__－__2_ba_____成轴对称图形
3.巧记幂函数的图像五个幂函数在第一象限内的图像的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”，即 α＞0(α≠1)时的图像是抛物线型(α＞1 时的图像是竖直抛物线型，0＜α＜1 时的图像是横卧抛物线型)，α＜0 时的图像是双曲线型．
A⊆－∞，－2baA⊆－2ba，＋∞，即区间 A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)．
挖掘 2 二次函数的最值/ 互动探究
[例 2] 已知函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a 在 x∈[0，1]时，有最大值 2，则 a 的值
为________． [解析] 函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为 x＝a.
或
f（1）＝a－2＋2≥0
1f＜1a＝1a＜2－4，1a＞0或1af（≥44），＝16a－8＋2≥0.
所以aa≥≥10，或14a＜＞a12＜1，或aa≥≤3814，，所以 a≥1 或12＜a＜1 或∅，即 a＞12，当 a＜0 时，ff（（14））＝＝a1－6a－2＋8＋2≥2≥0，0，解得∅；当 a＝0 时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，所以不合题意．综上可得，实数 a 的取值范围是 a＞12.
考点二二次函数的图像与性质

考点11 幂函数——2021年高考数学专题复习讲义附解析

考点11：幂函数【思维导图】【常见考法】考法一：幂函数定义辨析1．已知函数22+3()(21)mm f x n x -+=-，其中m N ∈，若函数()f x 为幂函数且其在(0,)+∞上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则m n += 。

2．幂函数()()2231m m f x m m x+-=--在()0,+∞时是减函数，则实数m 的值为。

3．若幂函数()()223265m f x m m x-=-+没有零点，则()f x 满足。

A ．在定义域上单调递减 B ．()f x 在(0,)x ∈+∞单调递增 C ．关于y 轴对称 D ．()()0f x f x +-=4．已知幂函数y ＝（m 2﹣3m +3）x m +1是奇函数，则实数m 的值为。

考法二：幂函数的性质1．函数()12ln 1xf x x x =-+的定义域。

2．若函数()12f x x -=则函数y ＝f (4 x －3)的定义域是。

3．已知幂函数y x α=的图象过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的单调递减区间为。

4．若()14f x x =,则不等式816f x f x 的解集是。

5．已知()()2233132a a --+<-，则a 的取值范围__________.6．已知函数()22k k f x x -++=，且()()23f f >，则实数k 的取值范围是______.7．已知，131344525,,333a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是。

考法三：图像问题1．幂函数y =（m 2-m -5）x 241m m -+的图象分布在第一、二象限，则实数m 的值为______.2．上图中曲线是幂函数n y x =在第一象限的图象，已知n 取2±，12±四个值，则相应于曲线1C 、2C 、3C 、4C 的n 依次为（）3．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）① ② ③ ④ A ．①13y x =，②2y x ，③12y x =，④1y x -= B ．①3y x =，②2y x ，③12y x =，④1y x -=C ．①2yx ，②3y x =3y x =，③1y x -=，④12y x =D ．①13y x =，②12y x =，③2y x ，④1y x -=4．已知幂函数a y x =的图像满足，当(0,1)x ∈时，在直线y x =的上方；当(1,)x ∈+∞时，在直线y x =的下方，则实数a 的取值范围是_______________.解析附后考点10：对数函数【思维导图】。

2021版新高考数学一轮复习第二章函数及其应用2.6幂函数与二次函数课件新人教B版202011231

【解后反思】如何确定二次函数的单调性? 提示:关键看二次函数图象的开口方向与对称轴.
命题角度2 二次函数中的恒成立问题
【典例】1.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则a的取值范围
是 ()
A.(-∞,2] B.[-2,2]
C.(-2,2]
D.(-∞,-2)
2.若关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立,则m的取值范围为______.
1.(必修1P119巩固与提高T1(5)改编)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点 ( 1， 2 )
22
则k+α等于
A. 1
B.1
C. 3
D.2
2
2
()
k 1，
【解析】选C.由幂函数的定义,知
2 k ( 1 ).
2
2
所以k=1,α= 1 ,所以k+α= .3
2
2
2.(必修1P63习题2-2AT8改编)已知函数f(x)=x2+2ax+3,若y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数,则实数a的取值范围为________. 【解析】由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a,所以要使f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4. 答案:(-∞,-6]∪[4,+∞)
B.a>b>c>d D.a>b>d>c
3.(2019·全国卷Ⅱ)若a>b,则 ( )
A.ln(a-b)>0
B.3a<3b
C.a3-b3>0
D.|a|>|b|
4.设a= ,b=

2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第2章第5节幂函数与二次函数 Word版含答案

第五节幂函数与二次函数[最新考纲] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝1x的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x 12y＝x－1图象性质定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0} 值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0} 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共(1,1)点2.二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ＜0)图象定义域 RR值域⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈上单调递减；在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于直线x ＝－b2a对称 [常用结论]1．幂函数y ＝x α性质研究的方法(1)先确定幂函数的定义域(分数指数幂先转化为根式)，若对称，判定其奇偶性；(2)研究幂函数在第一象限的图象与性质：①当α＞0时，函数y ＝x α恒经过(0,0)，(1,1)；在[0，＋∞)上为增函数； ②当α＜0时，函数恒经过(1,1)；在(0，＋∞)上为减函数； (3)结合函数的奇偶性研究其它象限的图象．(4)当x ∈(0,1)时，α越大，函数值越小；当x ∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．3．一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的充要条件是“a ＞0且Δ＜0”； (2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的充要条件是“a ＜0且Δ＜0”．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 12是幂函数．( )(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )(3)当α＜0时，幂函数y ＝x α是定义域上的减函数． ( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.( )(5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数． ( )(6)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )[答案](1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、教材改编1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 C [因为函数f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32.]2.如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( )A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜bD[根据幂函数的性质，可知选D.]3．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是( )A．a≥3 B．a≤3C．a＜－3 D．a≤－3D[函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，所以－2a≥6，解得a≤－3，故选D.]4．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域是________．[－1,3] [∵g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝－1，又g(0)＝0，g(3)＝9－6＝3，∴g(x)max＝3，即g(x)的值域为[－1,3]．]考点1 幂函数的图象及性质幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.1.幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)是( )A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数D [设幂函数f (x )＝x α，则f (3)＝3α＝3，解得α＝12，则f (x )＝x 12＝x ，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．]2．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2＋m －1)x －5m －3为减函数，则实数m 的值为( )A ．－2B ．1C ．1或－2D ．m ≠－1±52B [因为函数y ＝(m 2＋m －1)x －5m －3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以⎩⎨⎧m 2＋m －1＝1，－5m －3＜0，解得m ＝1.]3．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜cD [因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＞b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＜c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，所以b ＜a ＜c .]4．若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23 [易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎨⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解得－1≤a ＜23.]在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，如T 3.考点2 求二次函数的解析式求二次函数解析式的策略[一题多解]已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解] 法一：(利用二次函数的一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用二次函数的顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n .∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，故所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同．1.已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________.19x 2＋49x －59[法一：(一般式)设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ －b2a＝－2，4ac －b24a ＝－1，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝19，b ＝49，c ＝－59，所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －59.法二：(顶点式)设所求解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k . 由已知得f (x )＝a (x ＋2)2－1，将点(1,0)代入，得a ＝19，所以f (x )＝19(x ＋2)2－1，即f (x )＝19x 2＋49x －59.]2．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则函数的解析式f (x )＝________.x2－4x＋3[∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象经过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.]考点3 二次函数的图象与性质解决二次函数图象与性质问题时应注意2点(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．二次函数的图象已知abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )A BC DD[A项，因为a＜0，－b2a＜0，所以b＜0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故A错．B项，因为a＜0，－b2a＞0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B错．C项，因为a＞0，－b2a＜0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C错．D项，因为a＞0，－b2a＞0，所以b＜0，因为abc＞0，所以c＜0，而f (0)＝c ＜0，故选D.]识别二次函数图象应学会“三看”二次函数的单调性函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－3]C ．[－2,0]D ．[－3,0]D [当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎨⎧a ＜0，3－a 2a≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．][母题探究] 若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________.－3 [由题意知f (x )必为二次函数且a ＜0，又3－a2a＝－1，∴a ＝－3.]二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．二次函数的最值问题设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．[解] f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1.当t ＋1＜1，即t ＜0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ＞1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min＝⎩⎨⎧t 2＋1，t ＜0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.图(1) 图(2) 图(3)[逆向问题] 已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时，有最大值2，则a 的值为________．－1或2 [函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .当a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1. 当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)．当a ＞1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.]二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．二次函数中的恒成立问题(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________；(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为________．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)(－∞，1) [(1)作出二次函数f (x )的草图如图所示，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，则有⎩⎨⎧ f (m )＜0，f (m ＋1)＜0，即⎩⎨⎧ m 2＋m 2－1＜0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1＜0，解得－22＜m ＜0. (2)由题意得x 2＋x ＋1＞k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k ＜1.故k 的取值范围为(－∞，1)．]由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .[教师备选例题]已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．[解](1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎨⎧ (x ＋1)2，x ＞0，－(x ＋1)2，x ＜0.所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．1.若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象只可能是( )A B C DC [因为一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，所以a ＜0，b ＜0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程x ＝－b 2a＜0，只有选项C 适合．] 2．若函数y ＝x 2－3x ＋4的定义域为[0，m ]，值域为，则m 的取值范围为( )C [y ＝x 2－3x ＋4＝⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋74的定义域为[0，m ]，显然，在x ＝0时，y ＝4，又值域为，根据二次函数图象的对称性知32≤m ≤3，故选C.] 3．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．[0,2] [依题意a ≠0，二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 图象的对称轴是直线x ＝1，因为函数f (x )在区间[0,1]上单调递减，所以a ＞0，即函数图象的开口向上，所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.]。

精品 2021届新高考数学一轮复习讲义 2.4二次函数与幂函数

个性化教学辅导教案学科：数学任课教师：授课时间：2020 年8月日(星期)姓名年级性别教学课题 2.4二次函数与幂函数教学目标重点难点课前检查课堂教学过程2.4二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1.(2)图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac－b24a，＋∞⎝⎛⎦⎤－∞，4ac－b24a 单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a上单调递减；在⎣⎡⎭⎫－b2a，＋∞上单调递增在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a上单调递增；在⎣⎡⎭⎫－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－b2a对称[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x12是幂函数．()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．()(3)当n<0时，幂函数y＝x n是定义域上的减函数．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.()(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．()(6)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)√[教材衍化]1.(必修1P77图象改编)如图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为________．解析：根据幂函数的性质可知a<0，b>1，0<c<1，故a<c<b.答案：a<c<b2．(必修1P39B组T1改编)函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域为________．解析：由g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，得g(x) 在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数．所以g(x)min＝g(1)＝－1，而g(0)＝0，g(3)＝3.所以g(x)的值域为[－1，3]．答案：[－1，3][易错纠偏](1)二次函数图象特征把握不准；(2)二次函数的单调性规律掌握不到位； (3)幂函数的图象掌握不到位．1．如图，若a <0，b >0，则函数y ＝ax 2＋bx 的大致图象是________(填序号)．解析：由函数的解析式可知，图象过点(0，0)，故④不正确．又a <0，b >0，所以二次函数图象的对称为x ＝－b2a>0，故③正确．答案：③2．若函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3，＋∞)上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <0－12m ≤3，即m ≤－16.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－16 3．当x ∈(0，1)时，函数y ＝x m 的图象在直线y ＝x 的上方，则m 的取值范围是________．答案：(－∞，1)幂函数的图象及性质(1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )(2)若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)设幂函数的解析式为y ＝x α，因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12.所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x<1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项，故选C.(2)易知函数y＝x12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a＋1≥0，3－2a≥0，a＋1<3－2a，解得－1≤a<23.【答案】(1)C(2)⎣⎡⎭⎫－1，23幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.1．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限是单调递减函数，则m＝________．解析：因为幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数，又m2－2m<0，故m＝1.答案：12．当0<x<1时，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________．解析：如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的图象，由此可知h(x)>g(x)>f(x)．答案：h(x)>g(x)>f(x)求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】法一：(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得⎩⎨⎧4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－4，b＝4，c＝7.所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝2＋（－1）2＝12.所以m＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a⎝⎛⎭⎫x－122＋8.因为f(2)＝－1，所以a⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4⎝⎛⎭⎫x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a（－2a－1）－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：1．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________．解析：由f (x )是偶函数知f (x )的图象关于y 轴对称，所以－a ＝－⎝⎛⎭⎫－2ab ，即b ＝－2，所以f (x )＝－2x 2＋2a 2，又f (x )的值域为(－∞，4]，所以2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4.答案：－2x 2＋42．已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．解：因为f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )的对称轴为x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为 f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4，3)，所以3a ＝3，a ＝1，所以所求f (x )的解析式为 f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.二次函数的图象与性质(高频考点)高考对二次函数图象与性质进行考查，多与其他知识结合，且常以选择题形式出现，属中高档题．主要命题角度有：(1)二次函数图象的识别问题； (2)二次函数的单调性问题；(3)二次函数的最值问题．角度一二次函数图象的识别问题已知abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )【解析】 A 项，因为a <0，－b2a <0，所以b <0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故A 错． B 项，因为a <0，－b2a>0，所以b >0.又因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c >0，故B 错． C 项，因为a >0，－b2a <0，所以b >0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故C 错．D 项，因为a >0，－b2a >0，所以b <0，因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c <0，故选D. 【答案】 D角度二二次函数的单调性问题函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________．【解析】当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <03－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]．【答案】 [－3，0](变条件)若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a 为何值？解：因为函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间为[－1，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a<0，a－3－2a＝－1，解得a＝－3.角度三二次函数的最值问题已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，x∈[－1，2]．(1)若a＝1，求f(x)的最大值与最小值；(2)f(x)的最小值记为g(a)，求g(a)的解析式以及g(a)的最大值．【解】(1)当a＝1时，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，x∈[－1，2]，则当x＝1时，f(x)的最小值为0，x＝－1时，f(x)的最大值为4.(2)f(x)＝(x－a)2＋1－a2，x∈[－1，2]，当a<－1时，f(x)的最小值为f(－1)＝2＋2a，当－1≤a≤2时，f(x)的最小值为f(a)＝1－a2，当a>2时，f(x)的最小值为f(2)＝5－4a，则g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a，a<－1，1－a2，－1≤a≤2，5－4a，a>2，可知，g(a)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，g(a)的最大值为g(0)＝1.(1)确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．(2)二次函数最值的求法二次函数的区间最值问题一般有三种情况：①对称轴和区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动．解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合，三点指的是区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解．对于②、③，通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论．1．若函数f (x )＝x 2＋ ax ＋b 在区间[0, 1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关解析：选 B.f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a 24＋b ，①当0≤－a 2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b ，1＋a ＋b }，所以M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0，1]上单调递增，所以M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关；③当－a2>1时，f (x )在[0，1]上单调递减，所以M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关，故选B.2．若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a ＞0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：因为a ＞0，所以二次函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14的图象开口向上．在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，只需t ＝－10a时f (t ＋1)－f (t )≥8，即a (t ＋1)2＋20(t ＋1)＋14－(at 2＋20t ＋14)≥8，即2at ＋a ＋20≥8，将t ＝－10a代入得a ≥8. 所以a 的最小值为8. 故答案为8. 答案：8三个“二次”间的转化(2020·金华市东阳二中高三调研)已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )． (1)当a ＝－6时，函数f (x )的定义域和值域都是⎣⎡⎦⎤1，b2，求b 的值； (2)当a ＝－1时在区间[－1，1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2b －1的图象上方，试确定实数b 的范围．【解】 (1)当a ＝－6时，函数f (x )＝x 2－6x ＋b ，函数对称轴为x ＝3，故函数f (x )在区间[1，3]上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增．①当2<b ≤6时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1，b 2上单调递减；故有⎩⎨⎧f （1）＝b2f ⎝⎛⎭⎫b 2＝1，无解；②当6<b ≤10时，f (x )在区间[1，3]上单调递减，在区间⎝⎛⎦⎤3，b 2上单调递增，且f (1)≥f ⎝⎛⎭⎫b2，故⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝b 2f （3）＝1，解得b ＝10； ③当b >10时，f (x )在区间[1，3]上单调递减，在区间⎝⎛⎦⎤3，b 2上单调递增，且f (1)<f (b 2)，故⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫b 2＝b 2f （3）＝1，无解．所以b 的值为10.(2)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－x ＋b ，由题意可知x 2－x ＋b >2x ＋2b －1对x ∈[－1，1]恒成立，化简得b <x 2－3x ＋1，令g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1，1]，图象开口向上，对称轴为x ＝32，在区间[－1，1]上单调递减，则g (x )min ＝－1，故b <－1.(1)二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题．借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .[提醒] 当二次项系数a 是否为0不明确时，要分类讨论．1．(2020·宁波市余姚中学期中检测)设a <0，(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为( )A.13 B.12 C.33D.22解析：选A.因为(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，所以3x 2＋a ≥0，2x ＋b ≥0或3x 2＋a ≤0，2x ＋b ≤0，①若2x ＋b ≥0在(a ，b )上恒成立，则2a ＋b ≥0，即b ≥－2a >0，此时当x ＝0时，3x 2＋a ＝a ≥0不成立， ②若2x ＋b ≤0在(a ，b )上恒成立，则2b ＋b ≤0，即b ≤0，若3x 2＋a ≤0在(a ，b )上恒成立，则3a 2＋a ≤0，即－13≤a ≤0，故b －a 的最大值为13.2．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1，1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可．因为g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m <－1 .因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)[基础题组练]1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 解析：选C.因为函数f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32.2．若幂函数f (x )＝x mn(m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图象如图所示，则( )A ．m ，n 是奇数，且mn <1B ．m 是偶数，n 是奇数，且mn >1C ．m 是偶数，n 是奇数，且mn <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且mn>1解析：选C.由图知幂函数f (x )为偶函数，且mn <1，排除B ，D ；当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ；选C.3．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的x ∈R 都有f (x －1)＝f (3－x )，则以下结论中正确的是( ) A ．f (0)<f (－2)<f (5) B ．f (－2)<f (5)<f (0) C ．f (－2)<f (0)<f (5)D ．f (0)<f (5)<f (－2)解析：选A.若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的x ∈R 都有f (x －1)＝f (3－x )，则f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝1且函数f (x )的图象的开口方向向上，则函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，所以f (2)<f (4)<f (5)，又f (0)＝f (2)，f (－2)＝f (4)，所以f (0)<f (－2)<f (5)．4．(2020·瑞安四校联考)定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈[－2，－1]时，f (x )的最小值为( )A ．－116B ．－18C ．－14D ．0解析：选A.当x ∈[－2，－1]时，x ＋2∈[0，1]，则f (x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2，又f (x ＋2)＝f [(x(1)求f (x )的解析式；(2)若m ＜3，求函数f (x )在区间[m ，3]上的值域．解：(1)因为函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，3)，且关于直线x ＝1对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝1－b ＋c ＝3－b 2＝1，解得b ＝－2，c ＝0，所以f (x )＝x 2－2x .(2)当1≤m ＜3时，f (x )min ＝f (m )＝m 2－2m ， f (x )max ＝f (3)＝9－6＝3，所以f (x )的值域为[m 2－2m ，3]；当－1≤m ＜1时，f (x )min ＝f (1)＝1－2＝－1， f (x )max ＝f (－1)＝1＋2＝3，所以f (x )的值域为[－1，3]．当m ＜－1时，f (x )min ＝f (1)＝1－2＝－1， f (x )max ＝f (m )＝m 2－2m ，所以f (x )的值域为[－1，m 2－2m ]．[综合题组练]1．(2020·台州质检)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的结论是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③解析：选B.因为二次函数的图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.2．(2020·温州市十校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16 B.⎣⎡⎦⎤－66，66C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣⎡⎦⎤－33，33解析：选B.因为当x≥0时，f(x)＝12(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝12(a2－x＋2a2－x －3a2)＝－x；当a2＜x＜2a2时，f(x)＝12(x－a2＋2a2－x－3a2)＝－a2；当x≥2a2时，f(x)＝12(x－a2＋x－2a2－3a2)＝x－3a2.综上，函数f(x)＝12(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)在x≥0时的解析式等价于f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x，0≤x≤a2，－a2，a2＜x＜2a2，x－3a2，x≥2a2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－66≤a≤66.3．已知函数f(x)＝|x2＋ax＋b|在区间[0，c]内的最大值为M(a，b∈R，c＞0为常数)且存在实数a，b，使得M取最小值2，则a＋b＋c＝________．解析：函数y＝x2＋ax＋b是二次函数，所以函数f(x)＝|x2＋ax＋b|在区间[0，c]内的最大值M在端点处或x＝－a2处取得．若在x＝0处取得，则b＝±2，若在x＝－a2处取得，则|b－a24|＝2，若在x＝c处取得，则|c2＋ac＋b|＝2.若b＝2，则|b－a24|≤2，|c2＋ac＋b|≤2，解得a＝0，c＝0，符合要求，若b＝－2，则顶点处的函数值的绝对值大于2，不成立．可得a＋b＋c＝2.故答案为2.答案：2。

高考数学一轮复习幂函数课件理

二、填空题(每小题4分，共12分) 6．幂函数f(x)=(m2－5m+7)xm－2为奇函数，则m=____. 【解析】由f(x)=(m2－5m+7)xm－2为幂函数得： m2－5m+7=1，解得：m=2或m=3，又因为该函数为奇函数，所以m=3．答案:3
7．设a=(
2 3
)m，b=
m
3 2
，c=
【解析】选C.∵0<a<b<1，
∴0<a<b<11< <1 ，
ba
又∵f(x)= x在12 (0，+∞)上为增函数，
∴f(a)<f(b)<f(
)1b<f(
)．1
a
4．若幂函数f(x)的图象经过点(3，1 )，则其定义域为___.
9
【解析】设幂函数为y=xα，∵函数过点(3，1)，
9
∴ 1=3α，解得α=-2，f(x)=x-2，
象，如图所示：
x－2，
则有：h(x)=
x
2，
x－2，
x －1，－1 x＜0或0＜x 1，
x 1．
根据图象可知：函数的最大值等于1，单调递增区间是
(－∞，－1)和(0，1)，单调递减区间是(－1，0)和
(1，+∞).
【规律方法】解决与幂函数图象有关的问题，常利用其单调性、奇偶性、最值(值域)等性质，而与幂函数有关的函数的性质的研究，常利用其相应幂函数的图象，数形结合求解.
1
1
∴ x 3 ，y即3 D选项错误.
【方法技巧】比值大小的类型及方法 (1)关于同底数幂的大小比较，一般从指数函数的单调性方面考虑； (2)关于相同指数幂的大小比较，一般从幂函数的单调性方面考虑； (3)关于同底数的对数值的大小比较，一般从对数函数的单调性方面考虑； (4)关于同真数的对数值的大小比较，一般先应用换底公式，转换为同底数的对数值，从对数函数的单调性方面考虑.

2021高考浙江版数学一轮讲义：第二章 § 2.4 二次函数和幂函数 Word版含解析

§ 2.4二次函数和幂函数1.幂函数(1)定义:形如①y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数x是自变量,α为常数.常见的五类幂函数为y=x,y=x2,y=x3,y=x 12,y=x-1.(2)性质a.幂函数在(0,+∞)上都有定义;b.当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;c.当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数的三种表示形式a.一般式:②f(x)=ax2+bx+c(a≠0);b.顶点式:③f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);c.两根式:④f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).(3)二次函数的图象和性质解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)图象定义域(-∞,+∞)(-∞,+∞)值域[4ac-b2,+∞)(-∞,4ac-b2]单调性在[-b2a,+∞)上单调递增,在-∞,-b2a 上单调递减在-∞,- b2a上单调递增,在-b2a,+∞上单调递减奇偶性当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)顶点坐标(-b,4ac-b2)对称性图象关于直线x=-b2a对称(4)若二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x1)=f(x2),则图象关于直线⑤x=x1+x22对称;若二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+m)=f(-x+n),则图象关于直线⑥x=m+n2对称.1.(教材习题改编)下图是①y=x a;②y=x b;③y=x c在第一象限的图象,则a,b,c的大小关系为( )A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b1.答案 D2.函数f(x)=(m2-m-1)x m是幂函数,且在x∈(0,+∞)上为增函数,则实数m的值是( )A.-1B.2C.3D.-1或22.答案 B3.(2018浙江温州高三月考)已知函数f(x)=x2+x+c,若f(0)>0, f(p)<0,则必有( )A. f(p+1)>0B. f(p+1)<0C. f(p+1)=0D. f(p+1)的符号不能确定 3.答案 A4.(教材习题改编)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√22),则此函数的解析式为 ;在区间上递减.4.答案 y=x -12;(0,+∞)5.已知函数f(x)=x 2-2ax-3在区间[1,2]上具有单调性,则实数a 的取值范围是 . 5.答案 (-∞,1]∪[2,+∞)考点一二次函数的解析式典例1 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1, f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试求出此二次函数的解析式.解析解法一:(利用“一般式”解题)设f(x)=ax 2+bx+c(a≠0). 由题意得{4a +2b +c =-1,a -b +c =-1,4ac -b 24a =8,解得{a =-4,b =4,c =7. ∴所求二次函数的解析式为f(x)=-4x 2+4x+7.解法二:(利用“顶点式”解题)设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ∵f(2)=f(-1),∴抛物线的对称轴为x=2-12=12,∴m=12.又函数有最大值8,∴n=8,∴f(x)=a (x -12)2+8, ∵f(2)=-1,∴a (2-12)2+8=-1, 解得a=-4,∴f(x)=-4(x -12)2+8=-4x 2+4x+7. 解法三:(利用“两根式”解题)由已知可得f(x)+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0), 即f(x)=ax 2-ax-2a-1.又函数有最大值8, ∴4a (-2a -1)-(-a )24a=8.解得a=-4或a=0(舍).∴所求函数的解析式为f(x)=-4x 2+4x+7.1-1 已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且截x 轴所得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求二次函数 f(x)的解析式.解析 ∵f(2-x)=f(2+x)对x∈R 恒成立, ∴f(x)的图象的对称轴为直线x=2. 又∵f(x)的图象截x 轴所得的线段长为2, ∴f(x)=0的两根为x=1和x=3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0), ∵f(x)的图象过点(4,3),∴3a=3,a=1.∴二次函数f(x)的解析式为f(x)=(x-1)·(x -3), 即f(x)=x 2-4x+3.考点二二次函数的图象与性质命题方向一二次函数图象识别问题典例2 (2019镇海中学模拟)一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C解析若a>0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,故可排除A;若a<0,则一次函数y=ax+b为减函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,故可排除D;<0,而二次函数图象的对称轴在y轴的右侧,对于选项B,由一次函数的图象可知a>0,b>0,则-b2a故应排除B,故选C.方法指导识别二次函数图象应学会“三看”2-1 函数y=1-|x-x2|的图象大致是( )答案 C 当x=-1时,y=1-|-1-1|=-1,所以排除A,D,当x=2时,y=1-|2-4|=-1,所以排除B,故选C.命题方向二二次函数的单调性问题典例3 已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].(1)求使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数的实数a的取值范围;(2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.解析(1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=-2a=-a,2要使f(x)在[-4,6]上为单调函数,只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6.故a的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).(2)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3={x2+2x+3=(x+1)2+2,x≤0, x2-2x+3=(x-1)2+2,x>0,其图象如图所示.∵x∈[-4,6],∴f(|x|)在区间[-4,-1)和[0,1)上为减函数,在区间[-1,0)和[1,6]上为增函数.◆探究1 若函数f(x)=x2+2ax+3在[-4,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围.解析∵f(x)=x2+2ax+3在[-4,+∞)上为增函数,∴-a≤-4,即a≥4.◆探究2 若函数f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为[-4,+∞),求a为何值.解析∵f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为[-4,+∞),∴-a=-4,即a=4.方法技巧研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同,因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论.(2)若已知f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增),则A⊆(-∞,-b2a](A⊆[-b2a,+∞)).2-2 (2019浙江模拟)已知函数f(x)=x2-2tx+1在(-∞,1]上递减,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围是( )A.[-√2,√2]B.[1,√2]C. [2,3]D.[1,2]答案 B 对任意的x 1,x 2∈[0,t+1],总有|f(x 1)-f(x 2)|≤2转化为f(x)max -f(x)min ≤2. 由f(x)在(-∞,1]上是减函数,得--2t 2≥1,即t≥1,从而有t-0≥t+1-t,故f(x)在[0,1+t]上的最大值为1,最小值为1-t 2,故有1-(1-t 2)≤2,解得-√2≤t≤√2,又t≥1,所以1≤t≤√2.故选B.命题方向三二次函数的最值问题典例4 (2019浙江名校新高考研究联盟高三第一次联考)设函数f(x)=|x 2+a|+|x+b|(a,b∈R),当x∈[-2,2]时,记f(x)的最大值为M(a,b),则M(a,b)的最小值为 .答案258解析去绝对值得f(x)=±(x 2+a)±(x+b),根据二次函数的性质可得,f(x)在[-2,2]上的最大值为f(-2), f(2),f (-12)或f (12),所以M(a,b)≥f(-2)=|4+a|+ |-2+b|,M(a,b)≥f(2)=|4+a|+|2+b|, M(a,b)≥f (12)=|14+a|+|12+b|, M(a,b)≥f (-12)=|14+a|+|-12+b|, 上面四个式子相加可得4M(a,b)≥2(|4+a |+|14+a|)+|2-b|+|2+b|+|12+b|+|12-b| ≥2×|4-14|+(|2+2|+|12+12|)=252, 即M(a,b)≥258,所以M(a,b)的最小值为258. 方法点拨二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型:①对称轴、区间都是固定的;②对称轴动、区间固定;③对称轴定、区间变动.(2)求解策略:抓住“三点一轴”数形结合,三点指区间的两个端点和顶点,一轴指对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可解决.变式练(2019台州中学月考)若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则a的取值集合为( )A.{-3,-1}B.{-1,3}C.{-3,3}D.{-1,-3,3}答案 C f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,故函数图象的对称轴是x=1.因为f(x)在区间[a,a+2]上的最小值为4,所以当1≤a时,ymin=f(a)=(a-1)2=4,解得a=-1(舍去)或a=3,当a+2≤1,即a≤-1时,ymin=f(a+2)=(a+1)2=4,解得a=1(舍去)或a=-3,当a<1<a+2,即-1<a<1时,ymin=f(1)=0≠4,不符合题意.故a的取值集合为{-3,3}.深化练已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,求实数a的取值范围.解析由题可知2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.当a=0时,符合题意;当a≠0时,x=0时,有-3<0恒成立;x≠0时,a<32(1x-13)2-16,因为1x∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当1x =1,即x=1时,不等式右边取最小值12.所以a<12,且a≠0.综上,实数a的取值范围是(-∞,12).命题方向四一元二次不等式恒成立问题典例5 已知a∈R,函数f(x)={x 2+2x +a -2,x ≤0,-x 2+2x -2a ,x >0.若对任意x∈[-3,+∞), f(x)≤|x|恒成立,则a 的取值范围是 .答案 [18,2]解析 ①当x∈[-3,0]时,因为f(x)≤|x|恒成立,所以x 2+2x+a-2≤-x,参变量分离得a≤-x 2-3x+2,令y=-x 2-3x+2=-(x +32)2+174,所以当x=0或x=-3时,y 取得最小值,为2,所以a≤2.②当x∈(0,+∞)时,因为f(x)≤|x|恒成立,所以-x 2+2x-2a≤x,参变量分离得a≥-12x 2+12x,令y=-12x 2+12x=-12(x -12)2+18,所以当x=12时,y 取得最大值,为18,所以a≥18.由①②可得18≤a≤2. 规律总结由不等式恒成立求参数的取值范围的思路1.一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据:(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max ;(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min .2-3 已知函数f(x)={x 2+2x +a -1,-3≤x ≤0,-x 2+2x -a ,0<x ≤3.当a=0时, f(x)的最小值等于 ;若对任意x∈[-3,3], f(x)≤|x|恒成立,则实数a 的取值范围是 .答案 -3;[14,1] 解析当a=0时,f(x)={x 2+2x -1,-3≤x ≤0,-x 2+2x ,0<x ≤3.-3≤x≤0时, f(x)=(x+1)2-2, 得当x=-1时, f(x)有最小值-2, 0<x≤3时, f(x)=-(x-1)2+1, 得当x=3时, f(x)有最小值-3, 所以,当a=0时, f(x)的最小值等于-3.由对任意x∈[-3,3], f(x)≤|x|恒成立, 知 ①-3≤x≤0时,x 2+2x+a-1≤-x 恒成立, 即a≤-x 2-3x+1恒成立, 令g(x)=-x 2-3x+1=-(x +32)2+134,则-3≤x≤0时,g(x)的最小值为g(0)=g(-3)=1, 所以a≤1.②0<x≤3时,-x 2+2x-a≤x 恒成立, 即a≥-x 2+x 恒成立, 令h(x)=-x 2+x=-(x -12)2+14,则当0<x≤3时,h(x)的最大值为h (12)=14, 所以a≥14.综上,实数a 的取值范围是[14,1].考点三二次函数的综合问题典例6 (2019鄞州中学高三月考)已知函数f(x)=x 2+ax+3. (1)当a=-4时,求函数f(x)的零点;(2)若函数f(x)对任意x∈R 都有f(1+x)=f(1-x)恒成立,求函数f(x)的解析式; (3)若函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值为-3,求实数a 的值. 解析 (1)当a=-4时, f(x)=x 2-4x+3=(x-1)(x-3), 由f(x)=0可得x=1或x=3, 所以函数f(x)的零点为1和3.(2)由于f(1+x)=f(1-x)对任意x∈R 恒成立,所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=1,即-a2=1,解得a=-2,故函数f(x)的解析式为f(x)=x 2-2x+3.(3)函数f(x)=x 2+ax+3图象的对称轴为直线x=-a2, 当-a2≥1,即a≤-2时, f(x)在[-1,1]上单调递减, 所以f(x)min =f(1)=a+4=-3,解得a=-7,符合题意;当-1<-a2<1,即-2<a<2时, f(x)在[-1,-a2]上单调递减,在(-a2,1]上单调递增, 所以f(x)min =f (-a2)=4×3-a 24=-3,解得a=±2√6,与-2<a<2矛盾,舍去;当-a2≤-1,即a≥2时, f(x)在[-1,1]上单调递增, 所以f(x)min =f(-1)=4-a=-3,解得a=7,符合题意. 综上所述,a=-7或a=7. 规律总结二次函数的综合问题中,最典型的就是二次函数与不等式的综合问题,其中又以三个“二次”问题最为典型,也就是二次函数、二次方程和二次不等式的综合问题.它们常结合在一起,而二次函数又是其核心,所以,利用二次函数的图象(数形结合)是探求这类问题的基本策略.如一元二次方程根的分布问题常借助二次函数图象,从开口方向、对称轴、判别式、端点函数值四方面入手处理.3-1 (2018浙江杭州第二中学热身)已知函数f(x)=x 2-2mx+m+2,g(x)=mx-m,若存在x 0∈R,使得f(x 0)<0且g(x 0)<0同时成立,则实数m 的取值范围是 .答案 (3,+∞)解析当m>0,x<1时,g(x)<0, 所以f(x)<0在(-∞,1)有解, 则{f (1)<0,m ≥1或{0<m <1,Δ>0, 即m>3或{0<m <1,m 2-m -2>0(无解),故m>3.当m<0,x>1时,g(x)<0,所以f(x)<0在(1,+∞)有解, 所以{f (1)<0,m <0,此不等式组无解.综上,m 的取值范围是(3,+∞).考点四幂函数的图象与性质典例7 已知幂函数f(x)=x -m 2-2m+3(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数,则f(2)的值为 .答案 16解析根据幂函数的性质可得-m 2-2m+3>0,即m 2+2m-3<0,解得-3<m<1,又m∈Z,故m 的可能取值为-2,-1,0.当m=-2时,-m 2-2m+3=3,不符合题意;当m=-1时,-m 2-2m+3=4,符合题意;当m=0时,-m 2-2m+3=3,不符合题意.所以f(x)=x 4,所以f(2)=24=16. 方法指导研究幂函数时,要从熟记五个基本幂函数的图象开始,理清幂函数y=x α(α∈R)的相关性质,再辅之以数形结合的方法,这类问题就会迎刃而解.如果不是基本的幂函数,那么通常先将负指数幂化为正指数幂,再将分数指数幂化为根式(幂指数是负整数时化为分式),然后根据得到的根式(分式)研究幂函数的性质.幂函数的定义域就是使这些根式或分式有意义的自变量的集合,直接利用定义判断其奇偶性和单调性.4-1 若函数f(x)是幂函数,则f(1)= ,若满足f(4)=8f(2),则f (13)= . 答案 1;127解析设f(x)=x α(α∈R), 则f(1)=1.由f(4)=8f(2)得4α=8×2α, 则2α=α+3,∴α=3,则f(x)=x 3,则f (13)=127.A 组基础题组1.幂函数f(x)的图象过点(2,√22),则f(8)=( )A.14 B.√24 C.12D.√21.答案 B2.函数f(x)=2x 2-mx+3在(-∞,-1]上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,则f(2)=( ) A.10 B.14 C.19 D.20 2.答案 C3.函数y=√2的值域为( ) A.[0,4] B.(-∞,4]C.[0,+∞)D.[0,2]3.答案 D4.已知a∈{-1,2,12,3,13},若f(x)=x a 为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,则实数a 的值是( ) A.-1或3B.13或3C.-1,13或3 D.13,12或3 4.答案 B5.已知函数f(x)=x 2+(a+1)x+ab,若不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤4},则a+2b 的值为( ) A.-2 B.3C.-3D.25.答案 A 依题意,知-1,4为方程x 2+(a+1)x+ab=0的两个根,所以{-1+4=-(a +1),-1×4=ab ,解得{a =-4,b =1,所以a+2b 的值为-2,故选A. 6.(2019绍兴一中月考)命题“ax 2-2ax+3>0恒成立”是假命题,则实数a 的取值范围是( ) A.a<0或a≥3 B.a≤0或a≥3 C.a<0或a>3D.0<a<36.答案 A 若ax 2-2ax+3>0恒成立,则a=0或{a >0,Δ=4a 2-12a <0,可得0≤a<3,故当命题“ax 2-2ax+3>0恒成立”是假命题时,a<0或a≥3.7.二次函数f(x)=x 2+2ax+b 在[-1,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是 . 7.答案 [1,+∞)解析二次函数f(x)=x 2+2ax+b 的图象的对称轴为直线x=-a,∵f(x)在[-1,+∞)上单调递增,∴-a≤-1,即a≥1.8.幂函数f(x)=(m 2-3m+3)x m 的图象关于y 轴对称,则实数m= . 8.答案 2解析 ∵函数f(x)=(m 2-3m+3)x m 是幂函数,∴m 2-3m+3=1, 解得m=1或m=2.当m=1时,函数f(x)=x 的图象不关于y 轴对称,舍去; 当m=2时,函数f(x)=x 2的图象关于y 轴对称, ∴实数m=2.9.(2019浙江台州高三上期末)已知f(x)={x +3,x <0,x 2+x -1,x ≥0,则f(2)= ;不等式f(x)>f(1)的解集为 . 9.答案 5;(-2,0)∪(1,+∞) 解析 f(2)=22+2-1=5.f(x)>f(1)等价于{x <0,x +3>1或{x ≥0,x 2+x -1>1,解得-2<x<0或x>1,故不等式的解集为(-2,0)∪(1,+∞).10.对于定义在R 上的函数f(x),若实数x 0满足f(x 0)=x 0,则称x 0是函数f(x)的一个不动点.若函数f(x)=x 2+ax+1没有不动点,则实数a 的取值范围是 . 10.答案 (-1,3)解析问题等价于方程x 2+ax+1=x 无解,即x 2+(a-1)x+1=0无解,∴Δ=(a -1)2-4<0⇒-1<a<3. 11.设二次函数f(x)=ax 2+2bx+c(c>b>a),其图象过点(1,0),且与直线y=-a 有交点. (1)求证:0≤ba <1;(2)若直线y=-a 与函数y=|f(x)|的图象从左到右依次交于A,B,C,D 四点,且线段AB,BC,CD 能构成钝角三角形,求b a 的取值范围.11.解析 (1)证明:由题意知,a+2b+c=0,又c>b>a, 所以a<0,c>0.由c=-a-2b>b>a,得-13<b a <1.因为函数y=f(x)的图象与直线y=-a 有交点, 所以方程ax 2+2bx+c+a=0有实根, 故Δ=4b 2-4a(c+a)=4b 2+8ab≥0, 所以4(b a )2+8·ba ≥0, 解得ba ≤-2或ba ≥0, 综上可得,0≤ba <1.(2)易知A,D 关于对称轴对称,B,C 关于对称轴对称, 所以|AB|=|CD|, 设|AB|=|CD|=m,|BC|=n,因为线段AB,BC,CD 能构成钝角三角形, 所以{m +m >n ,m 2+m 2<n 2,解得n<2m<√2n,故 2n<2m+n<(√2+1)n,所以2|BC|<|AD|<(√2+1)|BC|.设x 1,x 2是方程ax 2+2bx+c+a=0的两个根, 所以|x 1-x 2|=|BC|=√4(b a )2+8·ba . 设x 3,x 4是方程ax 2+2bx+c-a=0的两个根,所以|x 3-x 4|=|AD|=√4(b a )2+8·ba +8. 所以2√4(b a )2+8·ba<√4(b a )2+8·ba +8<(√2+1)√4(b a )2+8·ba ,解得-1+√24<ba <-1+√153. B 组提升题组1.设函数f(x)=x 2+ax+b(a,b∈R)的两个零点分别为x 1,x 2,若|x 1|+|x 2|≤2,则( ) A.|a|≥1B.|b|≤1C.|a+2b|≥2D.|a+2b|≤21.答案 B 由根与系数的关系知b=x 1x 2,所以|b|=|x 1||x 2|≤(|x 1|+|x 2|2)2≤1(当且仅当|x 1|=|x 2|时,等号成立),故选B.2.设抛物线y=ax 2+bx+c(a>0)与x 轴有两个交点A,B,顶点为C,设Δ=b 2-4ac,∠ACB=θ,则cos θ= ( ) A.Δ-4Δ+4 B.√Δ-√Δ+2 C.Δ+4Δ-4 D.√Δ+2√Δ-22.答案 A 如图所示.∵|AB|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√(-b a )2-4·c a =√Δa , ∴|AD|=√Δ2a ,而|CD|=|4ac -b 24a |=Δ4a ,∴|AC|2=|AD|2+|CD|2=Δ4a 2+Δ216a 2=Δ2+4Δ16a 2, ∴cos θ=|AC |2+|BC |2-|AB |22|AC |·|BC |=1-|AB |22|AC |2=1-Δa 22·Δ2+4Δ16a 2=Δ-4Δ+4,故选A.3.下图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,给出下面四个结论:①b 2>4ac;②2a -b=1;③a -b+c=0;④5a<b.其中正确的结论是( )A.②④B.①④C.②③D.①③3.答案 B 因为二次函数的图象与x 轴交于两点,所以b 2-4ac>0,即b 2>4ac,①正确;因为图象的对称轴为直线x=-1,即-b2a =-1,所以2a-b=0,②错误;由题图可知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误;由对称轴为直线x=-1知b=2a,又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确,故选B.4.若f(x)=x 2+ax+b(a,b∈R),x∈[-1,1],且|f(x)|的最大值为12,则4a+3b= . 4.答案 -32 解析由题意可知,{ |f (-1)|≤12,|f (0)|≤12,|f (1)|≤12,即{ |1-a +b |≤12,|b |≤12,|1+a +b |≤12,而|1-a+b|+|1+a+b|≥2|1+b|, 所以2|1+b|≤1,解得-32≤b≤-12,又|b|≤12等价于-12≤b≤12, 所以b=-12, 所以{|12-a|≤12,|12+a|≤12, 解得a=0. 故4a+3b=-32.5.(2019镇海中学月考)已知函数f(x)=x 2-2ax+5(a>1). (1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a 的值;(2)若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x 1,x 2∈[1,a+1],总有|f(x 1)-f(x 2)|≤4,求实数a 的取值范围;(3)若f(x)在[1,3]上有零点,求实数a 的取值范围. 5.解析 (1)易知f(x)在[1,a]上单调递减, 所以{f (1)=a ,f (a )=1,所以a=2.(2)若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,则a≥2,所以当x∈[1,a+1]时, f(x)min =f(a)=5-a 2,f(x)max =f(1)=6-2a, 因为对任意的x 1,x 2∈[1,a+1],总有|f(x 1)-f(x 2)|≤4, 即f(x)max -f(x)min ≤4,即6-2a-5+a 2≤4, 所以a 2-2a-3≤0,得-1≤a≤3. 所以2≤a≤3.(3)f(x)=x 2-2ax+5(a>1)在[1,3]上有零点, 即x 2-2ax+5=0在[1,3]上有解, 所以2a=x+5x 在[1,3]上有解,令h(x)=x+5x ,易知h(x)=x+5x 在[1,√5]上是减函数,在[√5,3]上是增函数, 因为h(1)=6,h(√5)=2√5,h(3)=143,所以2√5≤h(x)≤6,所以2√5≤2a≤6,所以√5≤a≤3.(2019浙江,16,4分)已知a∈R,函数f(x)=ax 3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,则实数a 的最大值是 . 答案 43解析 |f(t+2)-f(t)|≤23⇔|a(t+2)3-(t+2)-(at 3-t)|≤23⇔|6at 2+12at+8a-2|≤23⇔|3at 2+6at+4a-1|≤13⇔-13≤3at 2+6at+4a-1≤13⇔23≤a(3t 2+6t+4)≤43, ∵3t 2+6t+4=3(t+1)2+1≥1,∴若存在t∈R,使不等式成立,则需a>0, 故a(3t 2+6t+4)∈[a,+∞),∴只需[a,+∞)∩[23,43]≠⌀即可,∴0<a ≤43, 故a 的最大值为43.。

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【常见考法】考法一：幂函数定义辨析
1．【答案】2
【解析】因为函数 f (x) 为幂函数,所以 2n 1 1,所以 n 1 , 又因为函数 f (x) 在 (0, ) 上是单调递增函数,所以 m2 2m 3 0 ,所以 1 m 3 , 因为 m N ,所以 m 0,1, 2 .当 m 0, 2 时,函数 f (x) 为奇函数,不合题意,舍去. 当 m 1 时. f (x) x4 为偶函数,符合题意.所以 m n 11 2 .
2．【答案】-1
【解析】由题意得
m2 m2
m 1 m3
1 0
m
1
.
3．A．在定义域上单调递减 B． f x 在 x (0, ) 单调递增
C．关于 y 轴对称
D． f x f x 0
【答案】D
【解析】函数 f (x) 2m2 6m 5 x2m3 为幂函数，∴ 2m2 6m 5 1，解得 m 1或 m 2 ，
1．函数 f x ln
x
1
x 2 的定义域
。
x 1
2．若函数
f
x
1
x2
则函数
y＝f(4
x－3)的定义域是
。
3．已知幂函数
y
x
的图象过点
1 2
,
4
，则该函数的单调递减区间为
。
4．若
f
x
1
x4
,则不等式
f
( x)
>
f
(8x
-
16)
的解集是
。
5．已知 a
1
2 3
3
2a
2 3
，则 a 的取值范围__________.
x 8 x 2
7
5．【答案】
2 3
,
4
【解析】幂函数 y xa 当 a 2 时为偶函数，在 0, 上是减函数，在 , 0 上是增函数，所以有
3
a
1
3 2a
，两边平方整理得 3a2
14a
8
0 ，解得
2 3
a
4
，故答案为：
2 3
,
4
6．【答案】 , 1 2, .
【解析】因为 f (x) xk2 k2 ，且 f 2 f 3 ，所以其在 (0, ) 上是减函数，
【思维导图】
考点 11：幂函数
【常见考法】
考法一：幂函数定义辨析
1．已知函数 f (x) (2n 1)xm2 2m+3 ，其中 m N ，若函数 f (x) 为幂函数且其在 (0, ) 上是单调递增的，
并且在其定义域上是偶函数，则 m n
。
2．幂函数 f x m2 m 1 xm2 m3 在 0, 时是减函数，则实数 m 的值为
6．已知函数 f x xk2 k2 ，且 f 2 f 3 ，则实数 k 的取值范围是______.
1
3
1
7．已知，
a
5 3
3
,
b
2 3
4
,
c
5 3
4
，则
a,
b,
c
的大小关系是
。
考法三：图像问题 1．幂函数 y=（m2-m-5）x m2 4m1 的图象分布在第一、二象限，则实数 m 的值为______.
y
=
x2
，②yx3yx3，③y
x1
，④
y
1
x2
D．①
y
1
x3
，②
y
1
x2
，③
y
=
x2
，④
y
x1
4．已知幂函数 y xa 的图像满足，当 x (0,1) 时，在直线 y x 的上方；当 x (1, ) 时，在直线 y x 的下方，则实数 a 的取值范围是_______________.
解析：
5 3
4
，即
c
b
.所以 b
c
a
.
考法三：图像问题 1．【答案】m=3
【解析】由题意，幂函数 y m2 m 5 xm2 4m1 的图象分布在第一、二象限，
∴ m2 m 5 1 ，解得 m 2 或 m 3 ，当 m 2 时，函数 y x13 的图象分布在第一、三象限，不符合题意；
,
.
3．【答案】 0,
【解析】
y
x
过点
1 2
,
4
，即
æççè12
öa ÷÷ø
=
4
f x 单调递减区间为 0,
2
f x x2
4．【答案】
2,
16 7
【解析】由
f
x
1
x4
得
f
x
是定义在0,
上的增函数,
x 0
则由不等式 f ( x) > f (8x - 16) 得 8 x 2 0 ,解得: 2 x 16 .
所以根据幂函数的性质，有 k 2 k 2 0 ，即 k 2 k 2 0 ，
所以 k 1 或 k 2 ．故答案为： , 1 2, ．
7．【答案】 b c a
【解析】由于
y
5 3
x
为
R
上的增函数，所以
a
c
.由于
y
1
x4
在
0,
上递增，所以
3
1
1
2 4 3
8 4 27
。
3．若幂函数 f x 2m2 6m 5 x2m3 没有零点，则 f x 满足
。
A．在定义域上单调递减
B． f x 在 x (0, ) 单调递增
C．关于 y 轴对称
D． f x f x 0
4．已知幂函数 y＝（m2﹣3m+3）xm+1 是奇函数，则实数 m 的值为
。
考法二：幂函数的性质
1．【答案】 0,
考法二：幂函数的性质
【解析】由题得
x x
x
1 0
0
x x
0或x 0
1,
x
0
所以函数的定义域为
0,
.
2．【答案】
3 4
,
【解析】幂函数
f
x
1
x2
1
， y f 4x 3
1
,
x
4x 3
所以 4x 3 0 ，所以 x
3 4
，所以函数
y
f
4
x
3
的定义域是
3 4
2．上图中曲线是幂函数
y
xn
在第一象限的图象，已知
n
取
2
，
1 2
四个值，则相应于曲线
C1
、
C2
、
C3 、 C4 的 n 依次为（）
3．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）
①
②
③
④
A．①
y
1
x3
，②
y
=
x2
，③
y
1
x2
，④
y
x1
B．①
y
x3 ，②
y
=
x2
，③
y
1
x2
，④
y
x1
C．①
当 m 3 时，函数 y = x- 2 的图象分布在第一、三象限，符合题意；故答案为：3． 2．【答案】 2 ， 1 ， 1 ， 2
22 【解析】设曲线 C1 、 C2 、 C3 、 C4 的函数解析式分别为 y xn1 、 y xn2 、 y xn3 、 y xn4 ，
作直线 x
3 2
当 m 1时， f x x1，函数没有零点，是奇函数，且满足 f x f x 0 ；
当 m 2 时， f x x ，函数有零点，不满足题意.
4．【答案】2
【解析】根据幂函数得到 m2 3m 3 1,m 1 或 m 2
当 m 1时， y = x2 不是奇函数，排除；当 m 2 时， y x3 满足题意；