本征值和本征向量
特征值公式
特征值公式
设A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx 成立，则称m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。
非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。
扩展资料
判断相似矩阵的必要条件
设有n阶矩阵A和B，若A和B相似（A∽B），则有：
1、A的特征值与B的特征值相同——λ(A)=λ(B)，特别地，λ(A)=λ(Λ)，Λ为A的对角矩阵；
2、A的特征多项式与B的特征多项式相同——|λE-A|=|λE-B|；
3、A的迹等于B的迹——trA=trB/ ，其中i=1,2,…n（即主对角线上元素的和）；
4、A的行列式值等于B的行列式值——|A|=|B|；
5、A的秩等于B的秩——r(A)=r(B)。
[1]
因而A与B的特征值是否相同是判断A与B是否相似的根本依据。
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量子力学中的矩阵算符与本征值问题
量子力学中的矩阵算符与本征值问题量子力学是研究微观领域的科学，它描述了粒子在微观世界行为的规律，对现代技术和科学起了重要的推动作用。
其中，矩阵算符和本征值问题是量子力学中的两个重要知识点。
一、矩阵算符矩阵算符是量子力学中的重要概念。
在量子力学中，每个物理量都可以表示为一个算符的形式，也就是矩阵算符。
从数学角度来看，矩阵算符是表示线性变换的矩阵。
量子力学中的矩阵算符可以分为厄米矩阵算符和非厄米矩阵算符两种。
厄米矩阵算符是指复共轭转置等于自身的矩阵算符，而非厄米矩阵算符则没有这个性质。
矩阵算符在量子力学中的应用非常广泛。
例如，能量和动量就是量子力学中非常重要的物理量。
它们可以表示为矩阵算符的形式，从而方便地进行计算和分析。
二、本征值与本征矢本征值和本征矢也是量子力学中的重要概念。
在量子力学中，物理量的测量结果是一个实数，这个实数就是这个物理量的本征值。
而每个本征值都对应一个本征矢，本征矢是指一个状态矢量，它在一个物理量算符的作用下保持不变，乘以这个物理量算符之后得到的结果仍然是原来的状态矢量的一个常数倍，这个常数就是对应的本征值。
本征值与本征矢的应用非常广泛，它们可以帮助我们预测和计算量子系统中的一系列物理量和性质。
三、本征值问题本征值问题是指在量子力学中，如何求得一个物理量算符的本征值和本征矢。
对于一般的物理量算符，我们很难直接求出它的本征值和本征矢。
所以，在量子力学中，我们通常通过一些数学方法来求解本征值问题。
其中，最重要的方法就是矩阵对角化。
矩阵对角化是指将一个矩阵算符变换成一个对角矩阵，而对角矩阵的对角线上的元素就是矩阵算符的本征值。
对角矩阵的非对角元素都是0，这意味着对于对角矩阵而言，本征矢就是坐标轴上的单位向量。
在实际求解本征值问题时，我们通常先求解一个物理量算符的本征矢，然后再通过本征矢求解本征值。
这些本征矢就是这个物理量算符的本征空间。
四、总结量子力学中的矩阵算符和本征值问题是量子力学的基础知识点，也是解决量子力学问题的重要方法。
eme本征模展开法
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
mathematical矩阵本征值解析
mathematical矩阵本征值解析矩阵的本征值解析是数学中的一个重要概念。
本征值指的是矩阵在某个向量上的作用后，结果与原向量仅相差一个常数倍数，这个常数倍数即为本征值。
解析本征值的过程可以帮助我们了解矩阵的性质和特征。
要求解析矩阵的本征值，我们需要解决以下的方程：(A-λI)x=0其中A是给定的n阶方阵，λ是本征值，I是单位矩阵，x是对应的本征向量。
这个方程被称为特征方程。
解决特征方程有多种方法，其中常用的是特征值分解法。
特征值分解法的基本思想是将矩阵A分解成PDP^(-1)的形式，其中P是由本征向量组成的矩阵，D是对角矩阵，对角线上的元素即为本征值。
通过求解方程(A-λI)x=0，我们可以得到特征向量，从而构建矩阵P。
然后，我们可以通过变换得到对角矩阵D，其中对角线上的元素即为特征值。
除了特征值分解法，还有其他方法可以用来解析矩阵的本征值，如幂法、QR方法和雅可比方法等。
每种方法都有其特点和适用范围。
选择合适的方法取决于矩阵的特性以及解析本征值的精度要求。
在实际应用中，解析矩阵的本征值对于很多问题都具有重要意义。
例如，在物理学中，本征值解析常常被用来分析量子力学问题，确定能量级别和粒子运动的稳定性。
在工程领域中，本征值解析可以帮助我们理解结构的固有振动模态，并优化设计。
在数据分析中，本征值解析可以用于主成分分析，帮助我们降维和提取重要特征。
总之，矩阵的本征值解析是一项重要的数学工具，在许多领域都有广泛的应用。
通过解析本征值，我们可以了解矩阵的性质，从而更好地理解和解决实际问题。
第十二章弹性力学的哈密顿求解体系
- 323 -第十二章 弹性力学的哈密顿求解体系“一切守恒的真实物理过程都能表成适当的哈密顿体系。
”十九世纪英国天文学家哈密顿，在研究牛顿力学时，引进广义坐标和广义动量来表示系统的能量，现在通称为哈密顿函数。
尽管哈密顿体系在许多研究领域得到广泛的应用，但是弹性力学求解一直是使用以半逆解法为主的拉格朗日体系。
由于半逆法是一种凑合法，依赖于具体问题，且缺乏一般性，往往只能找出某些解而不能找到全部解。
使读者感到难于掌握的是，怎样才能凑出这些半逆解法的合适的假定。
二十世纪末，钟万勰提出在弹性力学方程的求解方法中引进哈密顿体系，拓宽了弹性力学的求解方法，使得许多问题可以直接进行求解。
下面将简略介绍采用直接法求解的哈密顿求解体系。
为了便于文献阅读，本章采用矩阵表示方法。
矩阵表示方法也是弹性力学中的一种常用表示方法，它是有限元数值法求解不可或缺的数学工具。
§12-1 哈密顿原理 正则方程与勒让德变换1．哈密顿原理设有限自由度n 维的广义位移和它对时间的微商分别为i q 和n) , 1,(i =i q ，则动力系统的拉格朗日函数（动能-势能）为)(n i n i q ,,q ,,q ,q ,,q ,,q 11L （12-1） 或简单用其向量表达式表示：) ,(q q L（12-1'）哈密顿原理可表述为：一个保守系统自初始点) ,(00t q 运动到终结点) ,(e t e q ，其真实的运动轨道应使作用量A 成为驻值，即 0=A δ 式中dt A et t ⎰= 0) ,(qq L ， （12-2）对上式作变分展开后，作分部积分有dt et t TT ⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 0 q q q q A δδδL L dt dt d Tt t eq q q 0δ⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎰ L L （12-3） 式中，当0t t =时，0 =q δ，当e t t t <<0时，q δ为任意变分；因此，令式（12-3）为零，可导出拉格朗日方程0=∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂qq L L dt d （12-4）这说明哈密顿原理对应于拉格朗日方程。
退化椭圆算子的特征值问题
退化椭圆算子的特征值问题
一、退化椭圆算子的特征值问题
1.概述
退化椭圆算子（degenerate elliptic operator）指的是一类带有零本征值和参数特征的椭圆型算子，及其在特定函数空间上的表示。
它在微分方程和几何分析中出现，特别是在几何优化和计算几何中，最重要的问题之一就是求解退化椭圆算子的特征值问题。
2.特征值问题
退化椭圆算子的特征值问题主要涉及到求解特定退化椭圆算子A 的本征值和本征向量。
一般来说，我们需要求解的是特定退化椭圆算子A的特征值问题：
A · x = λ· x
其中A为退化椭圆算子，x为系数向量，λ为特征值。
由于本征值是唯一的，所以可以证明本征值的相应本征向量也是唯一的。
有关求解退化椭圆算子的特征值问题，许多方法和算法已经被提出。
如基于子空间法，有限元方法，拉格朗日乘子法，等比缩放法，流形算法，等等。
3.应用
退化椭圆算子的特征值问题在几何优化和计算几何中有着广泛
的应用，例如求解凸结构的最小体积，最小半径等。
此外，退化椭圆算子的特征值问题还在图像处理、模式识别、机器学习等方面有重要的应用，比如数据挖掘，图像分割，图像特征描述等。
线性代数中的本征值问题
线性代数中的本征值问题是一类重要的数学问题，涉及到矩阵、向量、特征值等概念，是线性代数理论的核心之一。
本文将从基本概念入手，探讨本征值问题的一般性质、求解方法及应用等方面。
一、基本概念矩阵是线性代数中的重要概念，是一个按照一定排列方式排列的数表，常用大写字母表示。
对于一个矩阵A，若存在一个非零向量x满足下式：Ax = λx其中λ为常数，则称常数λ为矩阵A的一个特征值，称向量x 为矩阵A关于特征值λ的一个特征向量。
二、一般性质本征值问题是线性代数中重要的问题之一，有以下一般性质：1.特征值与特征向量是成对出现的，每个特征值对应一个或多个线性无关的特征向量。
2.矩阵的特征值和其转置矩阵的特征值是相同的。
3.若矩阵是实对称矩阵，则其特征值一定是实数。
4.若矩阵是正定矩阵，则其特征值一定是正数。
三、求解方法求解本征值问题的方法有很多，以下主要介绍两种：1.特征值分解法对于一个n阶矩阵A，若它有n个线性无关的特征向量，则可以通过它们组成的特征向量矩阵P和对角矩阵Λ，将矩阵A分解为以下形式：A = PΛP^-1其中Λ为以矩阵A的特征值为对角线元素的对角矩阵，即：Λ = [λ1 0 0 … 0][0 λ2 0 … 0][0 0 λ3 … 0]...[0 0 0 … λn]该方法的优点是求解简单，但必须存在n个线性无关的特征向量。
2.幂法幂法是一种迭代法，用于求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
其主要思想是：先任选一个初始向量x0，将其乘以矩阵A，并将结果归一化（即除以模），得到一个新的向量x1。
反复迭代，直到结果的变化趋于趋于稳定。
迭代公式如下：xi+1 = Axi / ||Axi||其中||·||表示向量的模。
该方法的优点是对于大型稀疏矩阵求解较为方便。
四、应用本征值问题具有广泛的应用，涵盖了各个领域，以下列举几个具体的应用：1.物理学中的量子力学，关于能量和动量的本征值问题。
2.工程学中的结构动力学，关于结构振动的本征值问题。
量子力学部分
• Alice在计算基矢下测量后
概率都为1/4
• 密度算符为
• 对Alice的部分求迹
Bob手中是一个混态，不包含被传递态的任何信息，只有获得Alice传递的经典信息， Bob才能获得被传递态。由于经典信息不会超光速，所以量子隐形传态也不会超光速。
2.5 Schmidt 分解和纯化
• 密度算符和部分求迹是研究复合系统两个非常重要的工具，
• 比如：
是 是作用在A上的幺正算符。
• 纯化：如果系统
处在一个混态
上，那么我们能够 ，
引入另外一个系统 使得 时， 就约化到
，定义联合系统的一个纯态
，即，我们单独看系统 。这个将子系统的混态与一个假
想大系统的纯态联系起来的纯粹的数学过程叫做纯化。系 统 应。
• 证明：
叫做参考系统，它是一个虚构的系统，没有物理对
• 在两个线性空间V和W之间的一个线性算符定义为一个函数：
如果都是V空间，我们就说线性算符A定义在线性空间V上。
• 单位算符 • 零算符
• 定义
向量可以在某组基矢下用列向量表示，那么算符呢？
算符的矩阵表示
• 假设线性算符
• 那么： • 其中
叫做算符
的矩阵表示。 I ?
• 注意：必须指定基矢！
2.1.3 Pauli 矩阵
பைடு நூலகம்
• 正算符：非负数 • 正定算符：正数 • 正算符一定是厄米算符，有谱分解
非负
2.1.7 直积
是两个向量空间，维数分别为 那么， （读作V直积W）也是一个向量空间，其维数为 中的元素也是直积 基矢
例如：
性质：
内积：
• A: mn;
B: pq.
例如：
自由振动法
自由振动法自由振动法是一种用于计算结构动力学响应的方法，它适用于结构体系的线性动力学分析。
在该方法中，假设结构受到某种激励，它将以一种自由振动的方式响应，即它在没有外力的情况下自由振动。
自由振动法的基本思想是将结构分解为一系列振动模式，然后在每个模式上分别计算响应，然后通过这些模式的组合来确定结构的总响应。
在自由振动法中，结构的振动模式是自由振动方程的解。
自由振动方程是一个二阶常微分方程，它描述了结构在没有外力作用下的振动行为。
这个方程可以通过求解结构的本征值和本征向量来得到。
本征值和本征向量表示了结构振动的频率和振动模式。
在自由振动法中，结构的响应可以表示为每个本征振动模式的叠加。
由于每个本征振动模式都是线性的，因此可以将它们分别考虑并计算响应。
然后将每个模式的响应加起来，得到结构的总响应。
这个过程可以通过使用线性代数进行计算。
自由振动法有一些优点。
首先，它适用于大型结构，并且可以处理任意复杂的结构形状。
其次，它可以计算结构在任意时间内的响应，不仅仅是在特定时间的响应。
最后，它可以用于预测结构在不同条件下的响应，如地震、风等。
但是，自由振动法也有一些限制。
首先，它只适用于线性结构，并且无法处理非线性结构。
其次，它无法考虑结构体系的非均匀变形。
最后，由于其计算复杂度较高，因此需要配备强大的计算机来进行计算。
在实际应用中，自由振动法通常用于计算结构的稳定性和响应。
例如，在地震工程中，自由振动法可以用来计算建筑物在地震中的响应，以评估其稳定性和安全性。
在航空工程中，自由振动法可以用于计算航空器在飞行中的响应，以评估其结构安全性。
总之，自由振动法是一种广泛应用于结构动力学分析的方法，它可以用于预测结构在不同条件下的响应，包括地震、风等。
然而，在使用自由振动法时需要注意其限制，以便得出准确的结果。
高等代数07向量空间
本征值和本征向量
定义1 定义1 中一个数,如果存在 中非零向量ξ 设λ是F中一个数 如果存在 中非零向量ξ,使得 中一个数 如果存在V中非零向量 (1) )=λξ σ(ξ)=λξ . 那么λ就叫做σ的一个本征值, 叫做σ 那么 λ 就叫做 σ 的一个本征值 , 而 ξ 叫做 σ 的属于本 征值λ的一个本征向量. 征值λ的一个本征向量.
定义2 定义2 是数域F上一个 阶矩阵,行列式 设A=(aij)是数域 上一个 阶矩阵 行列式 是数域 上一个n阶矩阵 行列式: x-a11 (x)=det(xIfA(x)=det(xI-A)= -a21 -an1 叫做矩阵A的特征多项式. 叫做矩阵A的特征多项式. -a12 … -a1n -a2n x-ann
命题 7.3.3 设数域F上的向量空间V的一个线性变换σ关于V 的一个取定的基的矩阵是A,那么σ可逆必要且只要A可逆,并且 σ-1关于这个基的矩阵就是A-1.
不变子空间
定义 V的一个子空间W说是在线性变换σ之下不变(或稳 的一个子空间W说是在线性变换σ之下不变( ),如果 定),如果 σ (W ) W . 如果子空间W在σ之下不变,那么W就叫做σ的一个不 如果子空间W 之下不变,那么W就叫做σ 变子空间. 变子空间.
命题 7.1.1 设V和W是数域F上向量空间,而σ:V→W是一个线性 映射.那么V的任意子空间在σ之下的像是W的一个子空间,而W 的任意子空间在σ之下的原像是V的一个子空间.
命题 7.1.2 设V和W是数域F上向量空间,而σ:V→W是一个线 性映射,那么 Im(σ)=W. (Ⅰ) σ是满射 (Ⅱ) σ是单射 Ker(σ)=|0|.
推论 7.6.3 令σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换. 如果σ的特征多项式fσ(x)在F内有n个单根,那么存在V的一个 基,使σ关于这个基的矩阵是对角形式.
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注意:Ⅰ)方阵才有上述概念，注意其特征根的范围.
Ⅱ）由上述讨论及概念知线性变换 的本征值与
本征向量与矩阵的特征根与特征向量的关系：
设dimV n, L(V ),取定V的一个基 1, ,n ,
令 关于这个基的矩阵为 A aij n .
①A的特征根（注在C中）不一定是 的本征值(在 F中)，而 的一个本征值λ，必是A的一个特征根
是 (I A)X 0 的非零解.
注3:α是A属于λ的特征向量 是(I A) X 0的非零解.
求A的全部特征值和特征向量的步骤：
1. 计算特征多项式 I A
2. 求特征方程 I A 0 的所有根，即得A的全部
特征值 1, 2 , , n
3. 对于A的每一个特征值 i ，求相应的齐次线性
的一个本征值必要且只要 是 的特征多项式
f (x) 的一个根.
把 f A (x)在复数域C内的根（即 f A (x) 0 在复数域
C内的解）叫做矩阵A的特征根.若 为A的一个特
征根，那么相应的齐次线性方程组
x1 0
(I A)
xn 0
的一个非零解叫做矩阵A的属于特征根 的一个
Tr( A) a11 a22 ann
综上 fA(x) xn Tr(A)xn1 (1)n A (1)
A的特征根与 f A (x)的展开式中的系数的关系?
设 1, , n是A在C内的全部特征根，则由根与一次
因式的关系有：
fA (x) (x 1) (x n )
xn (1 n )xn1 (1)n 1 n (2) 比较（1）（2）得：
( ) 关于基1,2, ,n的坐标 y1, y2,
则
y1 x1
A
yn xn
, yn .
而
( ) .
则有
x1
x1 A
(I
A)
x1
0
(1)
xn xn
xn 0
即有
a11
a21
an1
a12
a22
an2
a1n x1
a2n
x20(1) Nhomakorabeaann
xn
即 关于基1,2, ,n的坐标是上述（1）以
I A 为系数矩阵的齐次线性方程组的非零解；
而（1）有非零解 系数行列式I A 0 (2).
即 F 是 的一个本征值时其须满足（2）；
反之若 F 满足(2)，则(1)有非零解 x1, , xn , 从线性而变 换x1的1 一个本x征n值n .满足 ( ) ,即 为
2 2
A的特征值为1 4，2＝－1
2 对于 1 4, 解 (4I A)X 0
即
3
2
3 2
x1 x2
0
由于
3 2
3 2
1 0
1
0
得基础解系
1
1 1
A的对应于1 4 的全部特征向量为c11(c1 0)
对于 2 1, 解 (I A)x 0
即
2
2
3 3
同时,非零解 x1, , xn 即为本征向量 关于基
1,2, ,n 的坐标.
定义2： a11 a12
A
a21 an1
a22 an2
a1n
a2n ann
是数域F上的n阶矩阵.
x a11 a12
a1n
fA (x) xI A a21 x a22
a2n
an1 an2
x ann
（在F中).
.
②矩阵A的属于F的特征根λ就是 的本征值，而 A的属于特征根λ的特征向量，就是 的属于λ的
本征向量关于所给定的基的坐标.
特征多项式的进一步讨论
1.相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特 征根.
2.矩阵 A aij M n (F) 的特征多项式展开
x a11 a12 a1n
方程组 (iI A)X 0 的一个基础解系
i1 ,i2 , ,is ,则A的属于i的全部特征向量为
c1i1 c2i2 csis（ c1, c2 , , cs 不全为零）
例1 设
1
A
2
3 2
，求A的全部特征值、特征向量.
解：1 A的特征多项式为
1 I A
3 2 3 4 ( 4)( 1) 0
问题3 属于σ的同一本征值λ的本征向量是否唯一
确定?
例题1--3
问题4 F上的向量空间V中本征向量与一维不变子 空间有什么关系?
7.5.2 本征值和本征向量的计算方法
设 dim V n, L(V ) ,取定V的一个基
1,2, ,n ,令 关于这个基的矩阵为
A
aij
.
n
若 关于基 1,2, ,n 的坐标 x1, x2, , xn .
x1 x2
0
由于
2
2
3 3
1 0
3
2
0
得基础解系
称为A的特征多项式. xI A 0 称为A的特征方程， xI A 称为A的特征矩阵.
是 的一个本征值 特征多项式 I A 0 (2).
相似矩阵有相同的特征多项式吗?
的全部的本征值可以由 关于V的任意一个基的
矩阵的特征多项式来决定,因此把它改称为线性变
换 的特征多项式,记为 f (x).
定理7.5.1 设 dimV n, L(V ), F为线性变换
7.5.1 本征值和本征向量的定义
定义1 设V 是数域F上的一个向量空间， L(V ) , 如果对于F中的一个数λ, 存在V中非零向量 使得 ( ) ,则称λ为线性变换σ的一个本征值，
而 叫做σ的属于本征值λ的一. 个本征向量.
问题1 定义为什么限制 非零?
问题2 属于σ的本征值λ是否被本征向量唯一确定?
Tr(A) 1 n A 1 n
7.5.4 矩阵特征值和特征向量的计算方法
1 λ是A的特征值 0.使 A
0.(I A) 0.
(I A) X 0有非零解
I A 0.
注2：λ是A的特征值 λ是方程 I A 0的根 .
2α是A属于λ的特征向量 0 且 A 0.(I A) 0.
f A (x) xI A
a21
x a22
a2n
an1 an2 x ann
f A (x)的降幂形式的前两项为:
f A (x) xn (a11 a22 ann )xn1
由多项式的性质 f A (x) 的常数项为:
fA(x) (1)n A .
定义3 矩阵A的主对角线上元素的和称为矩阵A的迹.