【新人教】高考数学总复习专题训练集合与简易逻辑

第一章集合与简易逻辑【知识网络】【学法点拨】集合与简易逻辑是近代数学中最基本、应用非常广泛的基础知识，是研究数学问题、进行数学思维的基本工具．集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支，有关简易逻辑常识与原理无不贯穿在数学的分析推理、计算与探索之中．复习巩固有关知识，对于提升数学语言素养，增强解决数学问题能力、提高思维能力等都会产生一定的影响，同时也为今后进一步学习高等数学打好基础．解决集合问题时一要注意吃透概念，准确表示，善于推理判断，并留心元素互异性的特征的利用、所给集合能否为空集的讨论、所求特定系数的取舍；二要注意集合与函数、方程、不等式、三角、解几、立几等知识的密切联系与综合应用；三要注意灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合、补集法等思想方法解题．在面临与命题相关的具体问题中，应结合语境仔细阅读、推敲，反复咀嚼有关逻辑联结词．为了加深对于逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义的理解，可联系集合运算中的“交”、“并”、“补”对应地理解．尤其应注意，对逻辑联结词“或”的理解是难点；在研究四种命题及其相互关系时，应注意逆命题、否命题、逆否命题都是相对于原命题而言的．另应注意区分“否命题”与“命题的否定”的不同含义：前者是同时否定条件和结论，而后者只否定结论；反证法是一种重要的证题方法，其理论基础是互为逆否命题的等价性，证明步骤应分为三步：反设、归谬、结论．具体证题时，应注意书写的规范性、步骤的完整性以及导出矛盾时推理的严密性；判断条件的充要关系时，究竟是充分非必要条件，还是必要非充分条件？还是既充分又必要条件？还是非充分又非必要条件？应当判断到位．在寻求充要条件或证明充要性命题时，应准确运用相关概念，防止误把“充分”当“必要”，或把“必要”当“充分”．第1课 集合的概念【考点指津】理解集合、子集、全集、交集、并集、补集等基本概念的内涵，了解属于、包含、相等关系的意义；正确识别与使用集合的有关术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．【知识在线】１．设集合A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==N m x x m ,21|，若,,21A x A x ∈∈则必有 （ ） A ．A x x ∈+21 B ．A x x ∈21 C ．A x x ∈-21 D ．A x x ∈21 ２．给出6个关系式：（1）0∈∅，（2）∅∈{∅}，（3）{}0φ，（4）{}φφ≠，（5）φ {}φ，（6）{}0φ≠.其中正确的个数是 （ ）A ．6B ． 5C ． 4D ． 33．设Ｓ为全集，,B A S ⊆⊆则下列结论中不正确的是 （ ）Ａ．S S A B ⊆ Ｂ．A B B = Ｃ．()S A B =∅ Ｄ．()S A B =∅4．已知集合A=},21|{+≤≤-a x a x B=},53|{<<x x 则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是5．满足{1,2}X ⊆ {1,2,3,4,5}的集合X 的个数为 ． 【讲练平台】例１．（2002年全国高考）设集合1,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则 （ ）A ．M ＝NB 。

M ⊂≠NC 。

M ND 。

M N φ=法一 从赋值入手，令k ＝0、1±、2±等，列举部分元素后观察分析知选B ．法二 从缩小代表元素表示形式差异入手，M 中代表元素412+=k x ，N 中代表元素41)1(42++=+=k k x ，通过比较化归为判断{}{})(12Z k k k ∈+与间的关系，选B ． 法三 从函数思想入手，),2(41214),12(41412+=++=+k k k k 而Z k ∈时，函数12)(+=k k f 的值域是奇数集，函数2)(+=k k g 的值域是整数集Z ，故选B ．点评 不同的解题思路可以区分具有不同层次基本功与能力水平的考生，可谓平淡之中见功底．变题 与角集⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k M ,42ππαα相等的集合是 （ ） ≠⊂≠⊃A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k k ,42ππαα B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ，＋＝或432k ,42ππαππαα C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=+=Z k k k ,44ππαππαα或 D ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈--=Z k k k ,43242ππαππαα＝或 提示 可借鉴以上几种思路选C ．例２ （1）分别用列举法表示集合：{}21,2,A y y x x x Z ==-≤∈=_____________, (){}2,1,2,B x y y xx x Z ==-≤∈=__________________________； （２） 已知{}{}21,0,2,,0,3P a Q a a =-=-，且Ｐ=Ｑ，则a ＝ ； （３）设{}{}222,4,5,2,2I a M a a =-=-+，当{}1I M =-时，则a ＝ ．分析 （1）关键在于分清集合A 、B 的不同含义；（２）、（３）均含有待定系数，应在准确领会集合的相等、全集与补集等概念的基础上进行分析与转化．解 （1）A 表示当x=012±±、、时函数21y x =-的值域，从而{}1,0,3A =-；B 则表示曲线21y x =-当0,1,2x =±±时对应的点集，因而易得 ()()()()(){}23,011023B =--，，-1,0，，，，，. （２）P Q = ， 2132a a a =-⎧∴⎨-=⎩（Ⅰ） 或 2231a a a =⎧⎨-=-⎩ （Ⅱ） 由（Ⅰ）得：1a =-，而（Ⅱ）无解.1a ∴=-.（３）,1I M I I ⊆∴-∈，2512a a ∴-=-=±得．当a=2时，{}2,4,I M M M I ==，符合要求．当2a =-时，{}2,8,M =Ｍ I ，不合题意，舍去，故a=2为所求．点评 解决含待定系数的集合问题时，常常会引起讨论，因而要注意检验是否符合全部条件，合理取舍，谨防增解．例３ 设集合()()(){}1212124,1,1A f x f x f x x x x x =-≤-≤≤，又()221g x x x =+-，试判断()g x 与A 的关系．分析 本题属于研究元素与集合的关系，关键在于转化为当121,1x x ≤≤时，判断()g x 是否满足条件()()12124g x g x x x -≤-．解 121,1x x ≤≤， 1212224x x x x ∴+-≤++≤()()()()()2222121122121221212g x g x x x x x x x x x ∴-=+--+-=-+-()()1212121222x x x x x x x x =-+-=-+-124x x ≤-，()g x A ∴∈．例４ 关于x 的等式22(1)(1)22a a x +--≤与23(1)2(31)0x a x a -+++≤（其中a R ∈）的解集依次记为A 与B ．求使A B ⊆的a 的取值范围．分析 先求出两不等式的解集，也就是化简集合A 和B ，然后对字母参数a 进行讨论，再结合数轴求出使A B ⊆的a 的取值范围．解 由2211(1)(1)22x a a -+≤-，得222111(1)(1)(1),222a x a a --≤-+≤- 2222(1)(1)(1)(1)22a a a a x +--++-≤≤, ∴{}221A x a x a =≤≤+．由23(1)2(31)0x a x a -+++≤，得(2)[(31)]0x x a --+≤， 当312,a +≥即13a ≥时，得{}|231B x x a =≤≤+． 当312,a +<即13a <，得{}|312B x a x =+≤≤． 当13a ≥时，若使A B ⊆，只要222131a a a ≤⎧⎨+≤+⎩，得13a ≤≤． 当13a <时，若使A B ⊆，只要231212a a a +≤⎧⎨+≤⎩，得a ＝－1． 综上，使A B ⊆的a 的范围是{}|131a a a ≤≤=-或．点评 （１） a ＝－1容易漏掉，由312a a +≤，得1a ≤-，由212a +≤，得11a -≤≤，那么1a ≥-又要1a ≤-，只有a ＝－1．（２）利用条件A B ⊆时，借助数轴进行数形对照转化有助于增强解题的直观性．变题 设集合A={}2<-a x x ，B ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-1212x x x ，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 提示 A={}22+<<-a x a x ，B={}32<<-x ． 由A ⊆B ，得⎩⎨⎧≤+-≥-3222a a ，从而0≤a ≤1 ． 【知能集成】1．集合的基本概念、分类及其表示某些指定的对象集在一起就形成一个集合，其中每个对象就是这个集合的元素．集合的元素有三个重要特性：确定性、互异性、无序性.集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类可分为：数集、点集等．应当特别注意空集∅是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视∅的情形．集合的常用表示方法有：列举法、描述法、图示法、区间表示法．2．元素与集合、集合与集合之间的关系（1） 元素与集合的关系包括属于（∈）和不属于（∉），反映了个体与整体之间的从属关系，但应注意元素与集合的关系是相对的．（2） 集合与集合之间的关系有：包含关系（子集、全集）、真包含关系、相等关系.应当理解与熟记以下结论：①空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集；A B ⊆是ＡＢ的必要而非充分条件．②含有n 个元素的集合的子集共有n 2个，真子集共有12-n 个，非空真子集共有22()n n N +-∈个．【训练反馈】１．已知集合A ⊂≠{2，3，7}，且A 中至多有一个奇数，则这样的集合 （ ） A ．2个 B ．4个 C ．5个 D ．6个２．已知集合Ａ＝{}{}0,2,3,,,,B x x a b a b A ==⋅∈则Ｂ的子集的个数是 （ ）A ．16B ．14C ．12D ．10３．设集合1,,,,22n A x x n Z B x x n n Z ⎧⎫⎧⎫==∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则下列图形中能表示Ａ与Ｂ的关系的是 （ ）４．设有集合A={2≤∈x R x }，B={022<+-∈a x x R x }，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ( )A ．a>0B ．a ≥0C ．a ≤1D ．0≤a ≤1A A AB B A B B A ．B ．C ．D ．５．已知集合{}{}2230,10A x x x B x mx =--==-=，若B ⊂≠A ，则m 的值为 .６．含有三个实数的集合可表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,a b a ，又可表示为{}0,,2b a a +，则20032004a b -= . ７．已知集合,,,2m n A a a m n N b A c A +⎧⎫==∈∈∈⎨⎬⎩⎭、，试证b+c 与bc 均属于A. 8．已知关于x 的不等式052<--ax ax 的解集为M ． （Ⅰ）当4=a 时，求集合M ；（Ⅱ）若3∈M 且5M ∉，求实数a 的取值范围．9．已知集合{}{},,lg(),0,,,x xy xy B x y =且A=B,求x,y的值.１０．设函数()()(){}{}2,,,[()],f x x px q p q R A x x f x x R B x f f x x x R =++∈==∈==∈、（1）证明 A B ⊆； （2）当{}1,3A =-时，求B .第2课 集合的运算【考点指津】掌握集合的“交”、“并”、“补”运算的法则，强化运用集合语言、集合思想解决数学问题的意识．【知识在线】 １．集合=∈==∈-==N M R y x y x N R y x x y y x M 则},,1|),{(},,,1|),{(2（ ）A ．{（1，0）}B ．{y|0≤y ≤1}C ．{1，0}D ．φ２．设全集I=R ，A=｛x | f(x)＜0}，B=｛x|g(x)＞0｝，则集合M=｛x|f(x)≥0且g(x)≤0｝等于 （ ）A ．（)()AB B ．()A BC ．)()A BD ．()A B３．已知集合A 、B 、C 满足A B A C =，那么下列各式中一定成立的是（ ）A ． AB AC = B ． B = CC ． ()()R R AB AC =D ． ()()R R A B A C =4．全集I=R ，集合}12|{-==x y x A ，)}22lg(|{2+-==x x y y B ，则I A B = ．5．已知集合{}2(,)|247,25P x y y x x x ==++-≤≤，{}(,)|,Q x y x a y R ==∈，则P Q 中所含元素的个数为 ．【讲练平台】例１(1)设集合P 、Q 都是全集{}1,2,3,4I =的子集，若(){}{}()(){}1,3,2I I I P Q P Q P Q ===，则P=___________,Q=____________.(２)设有两个命题：①不等式|x|+|x-1|＞m 的解集是R ；②函数x m x f )37()(--=是减函数．如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m 的取值范围是 ． (３)已知三个不等式2430x x -+<①，2680x x -+<②，2290x x a -+<③ ，要使同时满足①和②的所有x 的值都满足③，则实数a 的取值范围是 ．解 （１）法一 推理分析（较繁）可得{}{}3,4,1,3P Q ==.法二 利用“韦恩图”直观分析易得{}{}3,4,1,3P Q ==.（２） 由①为真，得m <1；由②为真，得7-3m >1，即m <2．于是当①、②同为真时，m<1．故要使①、②有且只有一个为真，则12m ≤<． 注 实质是以集合(),2I =-∞为全集，求集合(,1)A =-∞的补集．（３）设不等式①、②、③的解集分别为Ａ、Ｂ、Ｃ，则本题转化为求满足A B C ⊆的实数a 的范围．而{}{}{}132423,A B x x x x x x =<<<<=<<设2()29,f x x x a =-+则a 应满足(2)0,(3)0f f ≤⎧⎨≤⎩即10,9a a ≤⎧⎨≤⎩于是所求范围是(,9].-∞ 例２ 设{}{}220,1,A x x x B x x y y A =--<==+∈，求：R B ，A B ，()R A B ，()R A B ，()()R R A B ．简解 ()1,2A =-； 对于B ，由12013y y -<<<+<得，即()()03,0,3x <<故B=-3,0． 结合数轴可知(]{}[),303,R B =-∞-∞； ()3,3AB =-； (){}0R A B =； ()()()(][),33,R R R A B A B ==-∞-+∞．点评 研究不等式的解集之间的包含关系或“交”、“并”、 “补”运算时，充分利用数轴的直观性，往往更便于分析与转化．变题 已知全集Ｕ＝Ｒ，集合{}260,A x x x =--<{}{}222280,430.B x x x C x x ax a =+->=-+< （１）试求实数a 的取值范围，使();C A B ⊇（２）试求实数a 的取值范围，使()().U U C A B ⊇提示 Ｕ＝Ｒ，(2,3),(,4)(2,),A B =-=-∞-+∞故(2,3),(,2][3,),(4,2),()()(4,2).U U U U A B A B A B ==-∞-+∞=-=--22430x ax a -+<即(3)()0,x a x a --<∴当0a <时，(3,)C a a =；当0a =时，C =∅ ； 当0a >时，(,3)C a a =．（1） 要使(),C A B ⊇结合数轴知0,2,33,a a a >⎧⎪≤⎨⎪≥⎩解得12a ≤≤；（2） 类似地，要使()(),U U C A B ⊇必有0,34,2,a a a <⎧⎪≤-⎨⎪≥-⎩解得423a -≤≤-． 例３ 已知集合()()(){}22,234P x y x y =++-≤，()()()221,1,4Q x y x y m P Q Q ⎧⎫=++-<=⎨⎬⎩⎭且，求m 的取值范围. 分析 集合Ｐ、Ｑ都表示点集，且分别对应着圆面，故可利用平面几何知识与数形结合思想求解．解 点集P 表示平面上以（-2，3）为圆心，2为半径的圆面，记为1C ，点集Q 表示以（-1，m ）为圆心，12为半径的圆面（不含圆周），记为2C ，由P Q Q =得Q P ⊆,此表明2C 在1C122-， 即2424310m m -+≤，得3322m -≤≤+， 所以，所求m的范围是3322m -≤≤+． 点评 本题关键在于理解集合的意义，将集合语言化为平几语言，再转化为代数语言．例４ 已知集合I ＝｛不超过5的正整数｝，集合{}2|50A x x x q =-+=，{}2|120B x x px =++=，且{}()1,3,4,5.A B =求,p q 的值，并求()()I I A B ．解 I ＝｛1,2,3,4,5｝，设方程250x x q --=的二根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝5，x 1•x 2＝q . 设方程2120x px ++=的根为x 3、x 4，则x 3＋x 4＝－p ，x 1•x 2＝12．∵34,,12,A I B I x x ⊆⊆=且∴34{3,4},()(34)7.B p x x ==-+=-+=-从而又(){1,3,4,5},1,5A B A A =∴∉∉．而A 仅有两个元素，且x 1＋x 2＝5，∴A ＝{2,3}，126q x x ==．从而p ＝－7，q ＝6，A ＝｛2,3｝，B ＝｛3,4｝，()(){1,5}I I A B =．变题 已知全集S={x|x|<8,x ∈N}，A 、B 是S 的子集，若①C S A ⋃C S B={0,1,2,4,5,6,7}；②C S A ⋂B={2,6}；③C S B ⋂A={1,7}．求满足上述条件的集合A 、B.解 由 ①知{}{}()0,1,2,4,5,6,7,3,S A B A B =∴=即3,A ∈且3;B ∈由②知,2,6,B B ∈∈但2,6;A A ∉∉ 由③知，1,7,A A ∈∈但1,7.B B ∉∉{}{}1,3,7,2,3,6.A B ∴==说明 另可借助韦恩图直观推理分析．【知能集成】 １．集合的运算有交集（）、并集（）、补集（U ）三种．集合的运算结果仍然是集合．进行集合的运算时应当注意：（1）勿忘对空集情形的讨论；（2）勿忘集合中元素的互异性；（3）对于集合A 的补集运算，勿忘A 必须是全集的子集；（4）对于含参数（或待定系数）的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍．２．与集合运算相关的几个重要关系式：（1）B A A B A ⊆⇔= ；（2）A B A B A ⊆⇔= ；（３）若)(,,C B A C A B A ⊆⊆⊆则；（4）()U U U A B A B =； （5）()U U UA B A B =． ３．在集合运算过程中应力求做到“三化”：（1） 意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形？是表示函数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集？（2） 具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．（3） 直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题．【训练反馈】１．设},2|{},,|{2R x y y Q R x x y y P x∈==∈==，则 （ ）A ．Q=PB ．P Q ⊂C ．{2,4}P Q =D ．{(2,4)}P Q =２．设集合2{|0},{|(1)1,},M x x m N y y x x R M N =-≤==--∈=∅若,则实数m 的取值范 围是 ( )A ．m ≥ -1B ．m ＞ –1C ．m ≤ -1D ．m ＜ -1 ３．已知集合M={0|=-a x x }，N={01|=-ax x }，若M ∩N=N ，则实数a 的值是（ ） A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D ．0或1或－1 ４．已知a ＞b ＞0，全集I=R ，集合M={b x |＜x ＜2b a + ，N={ab x |＜x ＜a ， P={b x |＜}x ≤，则P 与M 、N 的关系为 （ ） A ．P=M ()I N B ．P=()I M N C ．P=N M D ．P=N M５．已知M={x| |x|≤1}，N={x| x - p>0},要使得M ∩N=∅，则p 的取值范围是 ．6．已知A=｛（x ，y ）∣x 2+y 2=4，x ≥0｝，B=｛（x ，y ）∣y=x+m ｝，A ∩B ≠φ，则m 的取值范围是 ．７．设R +表示正实数集，集合{}2(2)10,,A x x p x x R A R φ+=+++=∈=且，实数p 的取值范围是_____________________________.８．已知I ＝R ，{}2|4A x x =≥，{}60,||1|31x B x C x x x -⎧⎫=≥=-<⎨⎬+⎩⎭，求： （1）,A B A C ； （2）()I A B C ．９．已知2{|0,,0},{0,2,3,5,9},A x x px q p q R q B =++=∈<=、且{3,0,2,3,5,7}C =-，又,A B A C A =∅=，试求p 、q 的值．第3课 逻辑联结词和四种命题【考点指津】理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；正确区分简单命题与复合命题，会判断简单命题与复合命题的真假；掌握四种命题的构成及其内在关系，会用反证法证明简单的数学问题．【知识在线】} }１．下列命题中为简单命题的是 （ ）A ．8或6是30的约数B ．菱形的对角线垂直平分CD ．方程210x x -+=没有实数根２．有下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy=0，则0||||=+y x ”的逆命题；③“若a>b ，则a+c>b+c ”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中真命题共有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个３．已知命题p ：若实数x 、y 满足,022=+y x 则x 、y 全为0；命题q ：若11,.a b a b><则 给出下列四个复合命题：①p 且q ，②p 或q ，③ ⌝ p ，④ ⌝ q .其中真命题的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4４．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以是（ ）（A ）1或2或3或4 （B ）0或2或4（C ）1或3 （D ）0或4５．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥；命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且______________的三棱锥是正三棱锥．【讲练平台】例 1 已知命题p ：方程012=++mx x 有两个不等的负实根, 命题q ：方程01)2(442=+-+x m x 无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．分析 先分别求满足命题p 和q 的m 的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．解 由已知p ，q 中有且仅有一为真，一为假．⎪⎩⎪⎨⎧>=⋅>⇒<-=+>∆01200:2121x x m m x x p ． 310:<<⇒<∆m q ．（1）若p 假q 真，则21213m m m ≤⎧⇒<≤⎨<<⎩；（２）若p 真q 假，则2313m m m m >⎧⇒≥⎨≤≥⎩或． 综上所述：(][)+∞⋃∈,32,1m ．点评 本题在利用复合命题的真假条件时，实质上涉及到化归思想、分类讨论思想和集合的“交”、“并”、“补”运算．例２ 分别写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的复合命题，并判断其真假：（1）p ：3是9的约数，q ：3是18的约数；（2）p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相垂直．解 （1）p 或q ：3是9的约数或18的约数．此为真命题；p 且q ：3是9的约数且是18的约数．此为真命题；非p ：3不是9的约数．此为假命题．（2）p 或q ：矩形的对角线相等或互相垂直．此为真命题；p 且q ：矩形的对角线相等且互相垂直．此为假命题；非p ：矩形的对角线不相等．此为真命题．点评 由p ，q 的真假，判断“p 或q ”的真值时，可简称为“有真即真”；判断“p 且q ”的真值时，可简称为“有假则假”．例３ 已知命题p ：无穷数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若｛a n ｝是等差数列，则点列｛（n ，S n ）｝在一条抛物线上；命题q ：若实数m ＞1，则mx 2+(2m ―2)x ―1＞0的解集为（―∞，+∞），对于命题p 的逆否命题s 与命题q 的逆命题r ，下列判断正确的是 （ ）A ．s 是假命题，r 是真命题B ．s 是真命题，r 是假命题C ．s 是假命题，r 是假命题D ．s 是真命题，r 是真命题分析 对于命题p ，当｛a n ｝为常数数列时为假命题，从而其逆否命题s 也是假命题；由于使mx 2+(2m ―2)x ―1＞0的解集为（―∞，+∞）的m 不存在，故命题命题q 的逆命题r 是假命题，于是应选（Ｃ）．例４．已知函数f (x )满足下列条件：（1）1()12f =；（2）f (xy )= f (x ) +f (y )；（3）f (x )的值域为［－1,1］．试证：14不在f (x )的定义域内． 分析 用反证法．证明 假设14在f (x )的定义域内，则1()4f 有意义，且1()[1,1]4f ∈-． 又由题设，得1()4f ＝[]1111()()()21,12222f f f ⋅=+=∉-，此与1()[1,1]4f ∈-矛盾． 故假设不成立，从而14不在f (x )的定义域内． 点评 运用反证法时常见词语的否定方式有：“在”⇒“不在”；“是”⇒“不是”；“都是”⇒“不都是”；“大于”⇒“不大于”；“所有的…”⇒“至少有一个不…”；“至少一个” ⇒“一个也没有”；“任意一个”⇒“存在某个不…”，等等． 变题 若三条抛物线()2222443,1,22y x ax a y x a x a y x ax a =+-+=+-+=+-中至少有一条与x 轴有公共点，求a 的取值范围.分析 若按一般思维习惯，对三条抛物线与x 轴公共点情况一一分类讨论，则较为繁琐，若从其反面思考，先求“三抛物线均与x 轴无公共点的a 的范围”则很简单.由 ()()()()2122223444301404420a a a a a a ⎧∆=--+<⎪⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎪⎩解之，得312a -<<-，记3,,12I R A ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，则所求a 的范围是 [)3,1,2R A ⎛⎤=-∞--+∞ ⎥⎝⎦.【知能集成】１．领会逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，是正确判断复合命题的真假的前提，应结合语境仔细阅读、推敲，反复咀嚼有关逻辑联结词．２．判断复合命题真假的基本程序是：（1）确定复合命题的构成形式（先找出逻辑联结词，后确定被联结的简单命题）；（2）判断各个简单命题的真假；（3）结合真值表推断复合命题的真假．３．四种命题反映了命题之间的内在联系 ，应结合具体问题理解其关系产生的过程，尤其是两个等价关系．在判定四种命题形式的真假时，应熟记以下结论：（1） 原命题为真，其逆命题可真可假；（2） 原命题为真，其否命题可真可假；（3） 原命题为真，其逆否命题必为真；（４）互为逆否命题同真同假，同一命题的逆命题与否命题也同真同假．具体判断所给命题真假时，除可直接判定外，也可等价转化为互为逆否的命题的等价性进行判断．４．反证法是一种常用的数学方法，属于一种间接证法．当待证命题中出现“不可能”、“一定”、“至多”、“唯一”等词语时，常可考虑运用反证法．【训练反馈】1．设方程（x －1）（y +2）= 0的实数解集为M ，方程（x －2）2 +（y +2）2 = 0的实数解集为N ，则下列各式中正确的是（ ）A ．M = NB ．M ∩N = {1，－2}C ．N = {1，－2}D ．M ∩N =∅ ２．有以下5个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；（5）所有男生都爱踢足球．其中命题（5）的否命题是（ ） A ．（1） B ．（2） C ．（3） D ．（4）３．若命题p 的逆命题是q ，命题q 的否命题是r ，则q 是r 的 （ ）A ．逆命题B ．逆否命题C ．否命题D ．以上判断都不对 ４．下面三个命题：（1）“若3=b ，则92=b ”的逆命题；（2）“全等三角形的面积相等”的否命题；（3）“若1≤c ，则022=++c x x 有实根”的逆否命题．其中真命题的个数是 （ ）A ． 0B ． 1C ． 2 D.．3５． 已知直线l 1 ,l 2与平面α，有下列命题：①若1l ∥α，1l ∥l 2 ，则l 2∥α；②若2121,,,l l A l l 则=⋂⊂αα为异面直线；③若1l ⊥l 2 ，1l ∥α，则l 2∥α；④若1l ⊥α，l 2⊥α，则1l ∥l 2其中真命题有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个６．（2001年高考新课程卷）在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是 (把符合要求的命题序号都填上).7．命题{}{}{}{}:21,2,3,:21,2,3,p q ∈⊆则对复合命题的下述判断：①p 或q 为真；②p 或q 为假；③p 且q 为真；④p 且q 为假；⑤非p 为真；⑥非q 为假．其中判断正确的序号是 （填上你认为正确的所有序号）．８．关于x 的不等式22:(1)0p x a x a +-+>与指数函数2()(2),x f x a a =-若命题“p 的解集为(,)-∞+∞　或()f x 在(,)-∞+∞　内是增函数”是真命题，求实数a 的取值范围． ９．若a 、b 、c 均为实数，且2222,2,2236a x y b y z c z x πππ=-+=-+=-+，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0．第4课 充分条件和必要条件【考点指津】掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义极其判定方法，并会证明简单的充要命题，进一步增强逻辑思维能力．【知识在线】１．直线1+=kx y 的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是（ ） A ．k ＜0 B ．k ＜－1 C ．k ＜1 D ．k ＞－2２． 直线1l ，2l 互相平行的一个充分条件是 （ ）A ． 1l ，2l 都平行于同一个平面B ． 1l ，2l 与同一个平面所成的角相等C ． 1l 平行于2l 所在的平面D ． 1l ，2l 都垂直于同一个平面３．函数y = x 2 + bx + c ([0,))x ∈+∞是单调函数的充要条件是 （ ）A ．0≥bB ．0≤bC ．b > 0D ．b < 0４．已知a 1，a 2，a 3，a 4是非零实数，则a 1a 4=a 2a 3是a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件５．在ΔABC 中，条件甲：A<B ，条件乙：cos 2A> cos 2B,则甲是乙的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件６． 1-=a 是直线03301)12(=++=+-+ay x y a ax 和直线垂直的 条件.【讲练平台】例１ （１）设p ：;:A B A q = A B ，则p 是q 的 条件；q 是p 的 条件．（2）设A 是C 的充分条件，B 是C 的充分条件，D 是C 的必要条件，D 是B 的充分条件，那么D 是C 的 条件，A 是B 的_______________条件．分析 弄清概念、理清关系后再加以判断．（１）必要非充分；充分非必要．（２） 根据右边的示意图，易知D 是C 的充要条件；A 是B 的充分条件． 点评 对于相关因素较复杂的充要性判断问题，有时画出并利用“关系图”，可以更为形象、直观、简便地加以判断．变题 设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的__________条件．提示 由已知得甲⇒乙⇔丙⇒丁，且乙⇒甲，丁⇒丙，易知答案为：充分不必要．例２ （１）给出下面四个命题：①“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件是“直线a 、b 不相交”； ②“直线l 垂直于平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a ⊥b ”的充分非必要条件是“a 垂直于b 在平面α内的射影”；④“直线a//平面β”的必要非充分条件是“直线a 至少平行于平面β内的一条直线”．其中错误命题的序号是 （把你认为错误命题的序号都填上）．（2）（2002年上海春季高考试题）设曲线C 1和C 2的方程分别为F 1(x,y)＝0或F 2(x,y)＝0，则点P(a ，b )12C C ∉的一个充分条件为 ．分析 （１）根据充要条件的相关概念判断，可知①、③错，②、④正确 ．注意到题目的要求，应填写①、③．（２）由P(a ，b )12C C ∉知，可能点P 不在曲线C 1上；可能点P 不在曲线C 2上；可能点P 既不在曲线C 1，也不在曲线C 2上；可能曲线C 1与2C 不存在交点．故答案可以为：()1,0F a b ≠；()2,0F a b ≠；()()12,0,0F a b F a b ≠≠且；12C C φ=；1P C ∉等．点评 对于题（１），除了概念清晰、基础知识扎实外，还应注意审清题目的要求，防止意外失误；题（２）则有较强的开放性与灵活性，利于考查思维的深刻性．例３ 已知p ：2311≤--x ； q ：)0(01222>≤-+-m m x x ，若p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．≠⊂分析 先通过解不等式将p 、q 具体化，然后写出p ⌝和q ⌝，再根据⎩⎨⎧⌝⇒⌝⌝⇒⌝p q q p 进行推理分析，求出m 的范围．解 由2311≤--x 解得：102≤≤-x ，则p ⌝：{}102>-<=x x x A 或． 又当m>0时，由22210x x m -+-≤得m x m +≤≤-11，则q ⌝：{}0,11>+>-<=m m x m x x B 或．p ⌝是q ⌝的充分非必要条件， ∴A ⊂≠B ，结合数轴应有0,12,110.m m m >⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩解得 03m <≤为所求．点评 （1）应注意m>0的条件及区间端点值能否取到；（2）本题亦可先化为等价命题：q 是p 的充分而非必要条件，然后再分析、列式、转化．例４ 试寻求使二次函数()2f x ax bx c =++为偶函数的充要条件，并加以证明． 分析 若()f x 为偶函数，据偶函数的定义知，0b =；反之，若0b =，则()f x 为偶函数．故所求充要条件的为0b =．解 使()f x 为偶函数充要条件的为0b =．证明如下：①充分性 若b=0，则()2(0)f x ax c a =+≠． 对于任意x R ∈，都有()()()2f x a x c f x -=-+=， ()f x ∴为偶函数．②必要性 若二次函数()2f x ax bx c =++为偶函数， 则对于任意x R ∈，都有()()f x f x -=，即()()22a x b x c ax bx c -+-+=++对x R ∈都成立，亦即0bx =对任意x R ∈都成立，从而b=0．综合①、②，命题得证．点评 探求或证明充要命题时，一般应从充分性与必要性两方面验证，但有时在证明过程中若能保持每步之间的等价性，则可不必分开论证．变题（2002年高考压轴题）已知a>0，函数()2f x ax bx =-． （Ⅰ）当b>0时，若对任意x R ∈都有()1f x ≤，证明a ≤（Ⅱ）当b>1时，证明：对任意[]0,1x ∈，()1f x ≤的充要条件是1b a -≤≤ （Ⅲ）当01b <≤时，讨论：对任意[]0,1x ∈，()1f x ≤的充要条件．证明 （Ⅰ）依题设，对任意x R ∈，都有()1f x ≤，()222,12424a a a a f x b x f b b b b ⎛⎫⎛⎫=--+∴=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.0,0,a b a >>∴≤． （Ⅱ）①必要性 对任意[]0,1x ∈，()1f x ≤()11f x ⇒-≤≤，据此可以推出()11f -≤，即1a b -≥-，1a b ∴≥-；对任意[]0,1x ∈，()1f x ≤⇒()1f x ≤，因为b>1，可以推出1f≤，即11,1a a b a -≤∴≤∴-≤≤ ②充分性 因为1,1b a b >≥-，对任意[]0,1x ∈，可以推出()221ax bx b x x x x -≥--≥-≥-，即21ax bx -≥-；因为1,b a >≤，对任意[]0,1x ∈，可以推出221ax bx bx -≤-≤，即()21,11ax bx f x -≤∴-≤≤．综上，当b>1时，对任意[]0,1x ∈，()1f x ≤的充要条件是1b a -≤≤（Ⅲ）因为0,1a o b ><≤时，对任意[]0,1x ∈，()21,f x ax bx b =-≥-≥-即()1f x ≥-；()()1111,f x f a b ≤⇒≤⇒-≤即1a b ≤+； ()()2,111a b f x b x bx ≤+⇒≤+-≤反之，即()1f x ≤．所以，当0,01a b ><≤时，对任意[]0,1x ∈，()1f x ≤的充要条件是1a b ≤+．【知能集成】1．充分条件与必要条件是四种命题关系的深化．应当深刻领会充分条件、必要条件、充要条件的内涵，防止概念混淆．尤其是“必要条件”这一概念较难理解，可借助“逆否命题”的概念来帮助理解．当p 为q 的必要条件时，应有q p ⇒，等价于p q ⌝⇒⌝，意即“若p 不成立，则q 不成立”，或“没有p ，就没有q ”，这就足见得p 的“必要性”了．２．一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个．３．寻求或证明充要命题时，通常分充分性与必要性两步验证，但若在证明过程中能保持每步之间的等价性，则可不必分开论证．４．当直接判定命题条件的充要性较困难时，可等价地转化为对该命题的逆否命题进行判断．【训练反馈】１．αβ=是tan tan αβ=的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件２．如果x 、y 是实数，那么xy>0是|x+y|=|x|+|y|的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件３．（2000年上海春季高考题）“a ＝1”是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件也非必要条件４．“三条侧棱两两垂直且与底面所成的角都相等”是“三棱锥为正三棱锥”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件５．已知a, b 为任意向量，下列三个条件：①|a |＝|b |；② a 2 = b 2；③a 2=a •b ．其中可以作为a =b 的必要非充分条件的是 （ ）A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①６．（1）“p 且q 是真命题”是“p 或q 为真命题”的 条件；（2）“非p 是真命题”是“p 或 q 为真命题”的 条件；（3）“p 或q 为假命题”是“非p 为真命题”的 条件；７．（１）已知两条直线0:1=++c by ax l ，直线2:0,l mx ny p an bm ++==则是直线21//l l条件．（２）已知数列{}n a 的前n 项和(0,1)n n S p q p p =+≠≠,使数列{}n a 是等比数列的充要条件是 ．８．（1）设集合{}|2M x x =>，{}|3P x x =<，则“x M ∈或x P ∈”是“()x MP ∈”的什么条件？（2）求使不等式24210mx mx --<恒成立的充要条件．９． 已知集合(){}()(){}222,2,,9M x y y x N x y x a y ===-+=。