人教版高中数学课件 第三册：抛物线的简单几何性质2
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选择必修 第三章 3.3.2 抛物线的简单几何性质(第1课时) 课件(共24张PPT)
知新探究
1.焦点弦长
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB
为抛物线的焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，|AF|＝x1＋ ，
2
x1+x2+p
2 + .
|BF|＝_________，故|AB|＝_____________.
y
2
A
⑷写出方程:将求出的p值代入设出的方程中,确定抛物线方程.
Байду номын сангаас
初试身手
1.求与抛物线y2＝－16x共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x－2y－4＝0上的
抛物线的标准方程．
解： ∵抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，
∴直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点即抛物线的焦点．令x＝0，得y＝－2；
令y＝0，得x＝4，
由抛物线的定义可知，|AF|=dA=x1+1,|BF|=dB=x2+1,
于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2.
∵直线l的斜率为1，且过焦点F(1, 0)，
∴直线l的方程为y-0=x-1，即y=x-1． ①
将方程①代入抛物线方程y2=4x ，得 x2-6x+1=0．
∴x1+x2=6，
∴|AB|=x1+x2+2=8.
如果直线l不经过焦
点F，|AB|还等于
x1+x2+2吗？
知新探究
【例3】斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交与A，B两点，
求线段AB的长.
分析：线段AB的长就等于直线l与抛物线y2=4x的相交弦的长，类比椭圆、双曲线，
抛物线的性质ppt课件
x
p
2
P1
l
p
p
端点为
(
, p )
特别地, 当x1 x2 时, AB 2 p, 此时 AB 为抛物线的通径.
2
2
y
y
设P ( x0 , y0 )，
l
P
P1
F
P
O
l
则由抛物线的定义，
|PF| | P1 P | x0
p
2
设P ( x0 , y0 )，
P1
x
O
则由抛物线的定义，
p
y k ( x 1)
联立 2
得k 2 x 2 (2k 2 4) x k 2 0(k 0).
y 4x
4
4
x1 x2 2 2 . PQ PF QF x1 x2 2 4 2 8.
k
k 2 1. k tan [1,0) (0,1].
(1)若直线l的倾斜角为60, 求 AB 的值.
(2)若 AB 9, 求线段AB的中点M到准线的距离.
3
3
解 : (1) F ( ,0), l : y 3 ( x )
2
2
3
9
y 3( x ) 2
联立
2 得x 5 x 0. 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).
F
B
p
AF AA' p AF cos AF (1 cos ) p AF
1 cos
p
BF p BF cos BF
1 cos
上－下+
为直线的倾斜角.
3.3.2抛物线的简单几何性质第1课时PPT课件(人教版)
（2）关于y轴对称，准线经过点E(5,-5)；
（3）准线在y轴右侧，顶点到准线的距离是4；
（4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16 的点P，且FP平行于准线.
例2 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点，与抛物线 相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．
解：方法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为 F (1，0)， 所以直线 AB 的方程为 y 0 1 ( x 1) ，即 y x 1 ， ①
p y＝ 2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1.范围
y
由抛物线y2 =2px（p>0）
有 2 px y2 0 x 0
p0
所以抛物线的范围为 x 0
o F ( p ,0) x
2
2.对称性 视察图象，不难发现，抛物线 y2 = 2px (p＞0)
x（p>0）
2
y p 2
y ≤0 x∈R
y轴
作业：课本136页练习1,2,3,4
2.4.2抛物线的简单几 何性质(1)
1.掌握抛物线的简单几何性质. 2.归纳、对照四种方程所表示的抛物线的几何性质.
1.数学抽象：抛物线的几何性质 2.逻辑推理：运用抛物线的方程推导其几何性质 3.数学运算：抛物线几何性质的简单应用
1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫 做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点 ，直线l叫做抛物线的准线 .
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
（3）准线在y轴右侧，顶点到准线的距离是4；
（4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16 的点P，且FP平行于准线.
例2 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点，与抛物线 相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．
解：方法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为 F (1，0)， 所以直线 AB 的方程为 y 0 1 ( x 1) ，即 y x 1 ， ①
p y＝ 2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1.范围
y
由抛物线y2 =2px（p>0）
有 2 px y2 0 x 0
p0
所以抛物线的范围为 x 0
o F ( p ,0) x
2
2.对称性 视察图象，不难发现，抛物线 y2 = 2px (p＞0)
x（p>0）
2
y p 2
y ≤0 x∈R
y轴
作业：课本136页练习1,2,3,4
2.4.2抛物线的简单几 何性质(1)
1.掌握抛物线的简单几何性质. 2.归纳、对照四种方程所表示的抛物线的几何性质.
1.数学抽象：抛物线的几何性质 2.逻辑推理：运用抛物线的方程推导其几何性质 3.数学运算：抛物线几何性质的简单应用
1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫 做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点 ，直线l叫做抛物线的准线 .
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
课件13：2.4.2 抛物线的简单几何性质
x2＝2py
x2＝－2py
方程 (p＞0)
(p＞0)
(p＞0)
(p＞0)
焦半径 |PF|＝x0＋p2 |PF|＝p2－ |PF| x0
|PF|＝y0＋p2 |PF|＝p2－y0
焦点弦 |AB|＝x1＋ |AB|＝ |AB|＝y1＋y2＋ |AB|＝
|AB|
x2＋p p－(x1＋x2)
p
p－(y1＋y2)
(5)A，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值， 即 x1·x2＝p42，y1·y2＝－p2. (6)|A1F|＋|B1F|为定值p2.
变式训练 过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线 于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点． (1)如果x1＋x2＝7，求线段AB的长； (2)若点A，B是倾斜角为60°的直线与抛物线的交点， 则|AB|等于多少？
4．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则 其方程为________． 【答案】y2＝8x或y2＝－8x
5．已知点(－2，3)与抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点的距离 是 5，则 p＝________．
【解析】因为抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点坐标是p2，0，
类型 3 抛物线几何性质的简单应用
典例 3 已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，
P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若F→P＝
4F→Q，则|QF|＝( )
7
5
A.2
B.2
C.3
D.2
【解析】因为F→P＝4F→Q，所以|F→P|＝4|F→Q|，所以||PPQF||＝43. 示意图如图所示，过点 Q 作 QQ′⊥l，垂足为 Q′，设 l 与 x 轴的交点为 A， 则|AF|＝4，所以||PPQF||＝|Q|AQF|′|＝43. 所以|QQ′|＝3.根据抛物线的定义可知|QQ′|＝|QF|＝3. 【答案】C
抛物线的简单几何性质-高中数学课件
把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程 得到一元二次方程
直线与抛物线 相交(一个交点)
此方法适用于 其他各种曲线
计算判别式 △> 0 ，相交 △= 0 ，相切 △< 0 ，相离
小 结:
抛物线的简单几何性质 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系的判断方法
动画 圆锥曲线的得来
A`
A
把直线方程代入抛物线方程
焦点 F1,0,准线 l:x1.如 判别式为△=-16(2k2+k-1)
②由△>0,即 2k2 + k -1<0 直线l与抛物线只有一个公共点
OF
从而方程组(І)只有一个解，
图2.34,设Ax,y ,Bx,y , 方程(П) 没有实数解,
方程(П)只有一个解，
11
4 离心率
抛 物 线 上 的M点到 焦 点 的 距 离 和 它 到 准 线 的 距 离 的, 叫 比做抛 物 线 的 离 心 率 .用e表示.由定义可,知e 1.
图形
y
oF x
y F ox
y
F ox y o Fx
范围 x≥0 x≤0 y≥0
y≤0
顶点坐标 对称轴
(0,0)
y=0
( 0 , 0 ) y=0
( 0 , 0 ) x=0
( 0 , 0 ) x=0
例1 已知抛物x线 轴关 对,它 于 称的顶点在
原点 ,并且经M 过2,点 2 2,求它的标.准方
解 因为抛物线x轴 关对 于,称 它的顶点在 , 原
并且经过 M2点 ,2 2 ,所以 ,可设它的标准
程为y2 2pxp0.
因为M 点 在抛物,线 所上 以 ,
数 形 结 合 的 方 法.
2.3.2抛物线的简单几何性质
x≤0
y∈ R y≥0 (0,0) 1
x∈ R y ≤0
x∈R
y
O F
y轴
l 2 x = -2py F (0, p ) x
（p>0）
2
p y 2
例3 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点,并且过点 M(2, 2 2 ),求它的标准方程. 例4 斜率为1的直线l经过抛物线 y2 = 4x的焦点F，且与抛物 线相交于A,B两点,求线段AB的长. 方法1：求出A,B两点坐标，用两点间距离公式求|AB|. 方法2：利用|AF|=dA到准线， |BF|=dB到准线，表示|AB|. 例5 已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k, 当k为何值时，直线l与抛物线:只有一个公共点；有两个公共 点；没有公共点.
o
p 2
p 2.o xy源自p 0, 2 . o
y2=2px
y
x
.o
y
x
o
.
y x
.
o
y x
y2= -2px
x2=2py
x2= -2py
方 程 特 点
（1）方程的左边是二次项，等号的右边是一次项；
（2）焦点在一次项的那个轴上，坐标是一次项系数的
（3）抛物线的准线的方程是一次项系数的— （4）焦点到准线的距离为p
2.3.2 抛物线的简单几何性质
y2=2px 1.范围： x≥0,y∈R 抛物线关于x轴对称。 2.对称性： 对称轴叫做抛物线的轴。 3.顶点: （0，0) 叫做抛物线的顶点。 4.离心率:
K
d
o
﹒ F x
M
抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距 离之比，叫做抛物线的离心率。e=1
3.3.2 抛物线的简单几何性质 课件(64张)
y＝p2
课 时 分
层
释 疑
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R _y_≥_0_，__x_∈_R___ _y_≤_0_，__x∈__R___
作 业
难
·
返 首 页
·
情 景
y2＝2px 标准方程
y2＝－2px x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py
课 堂
导
(p＞0) (p＞0)
(p＞0)
小
学
结
·
探 新
对称
课
时
( )分
层
释
作
疑
难
[提示] (1)√ (2)√ (3)×
业
·
返 首 页
情 景
2．顶点在原点，对称轴为 y 轴，顶点到准线的距离为 4 的抛物
课 堂
导
小
学 线的标准方程是( )
·
结
探
提
新 知
A．x2＝16y
B．x2＝8y
素 养
·
合
C．x2＝±8y
作
D．x2＝±16y
课
探
时
究 释
D
[顶点到准线的距离为p2，则p2＝4.解得 p＝8，又因对称轴为 y
层 作
疑
业
难
·
返 首 页
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新
素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
为了解决这个问题，我们先来研究一下抛物线的简单几何性质． 层
释
作
疑
业
难
·
抛物线的简单几何性质 课件
变量y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程,考虑该一元二次方程的
判别式,则有:
Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.
2.运用抛物线的定义解决问题
剖析:抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等
于它到准线的距离,因此,涉及抛物线的焦点、过焦点的弦的问题,
求抛物线的方程.
分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解.
=
解法一:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴,
则可设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为5,
∴ = 5, ∴ = 10.
2
∴所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x.
解法二:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴.
=
2
, 1·y2=p·(-p)=-p2(定值).
4
(4)当 AB 与 x 轴不垂直时,由抛物线的定义,知
|AF|=x1+ , || = 2 + ,
2
2
2 + + 1 +
2
2
1 +
+
2 2 2
1
1
1
1
故
+
=
+
=
|| || +
+
1
2 2 2
1 + 2 +
1
+
|| ||
2
=
2
1
1
判别式,则有:
Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.
2.运用抛物线的定义解决问题
剖析:抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等
于它到准线的距离,因此,涉及抛物线的焦点、过焦点的弦的问题,
求抛物线的方程.
分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解.
=
解法一:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴,
则可设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为5,
∴ = 5, ∴ = 10.
2
∴所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x.
解法二:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴.
=
2
, 1·y2=p·(-p)=-p2(定值).
4
(4)当 AB 与 x 轴不垂直时,由抛物线的定义,知
|AF|=x1+ , || = 2 + ,
2
2
2 + + 1 +
2
2
1 +
+
2 2 2
1
1
1
1
故
+
=
+
=
|| || +
+
1
2 2 2
1 + 2 +
1
+
|| ||
2
=
2
1
1
抛物线的简单几何性质 课件
程形式是否是标准方程形式，否则容易出错．由 y＝－18x2 得 x2＝－8y，故其准线方程是 y＝2.
答案：C
3．设抛物线 y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，
PA⊥l，A 为垂足．如果直线 AF 的斜率为－ 3，那么|PF|＝( B )
A．4 3 B．8 C．8 3 D．16
基础 梳理
如下表：
标准方程 y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p ＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p ＞0)
焦半径 |PF|
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0
焦点弦 |AB|＝x1＋x2 |AB|＝p－x1 |AB|＝y1＋y2 |AB|＝p－y1
|AB|
隐含的条件．另外，抛物线方程中变量x，y的范围也是常
用的几何性质．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
其准线方程为y＝－1或y＝－2.
点评：求抛物线的标准方程的一般步骤：①根据条 件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向；②根 据焦点位置和开口方向设出标准方程；③根据条件列出
关于p的方程；④解方程，将所求得的p值代入所设方程，
即可得抛物线方程．
题型二 焦点弦问题
斜边长为8，求抛物线的方程．
解析：如图，设等腰直角三角形OAB的顶点A，B在抛
物线上．
根据抛物线的性质知A，B关于x轴对称． 由题意得 A(4,4)在抛物线y2＝2px上， 所以42＝2p×4，所以p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.
点评：抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题 时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些
点评：解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题 时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再 结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公 式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．
答案：C
3．设抛物线 y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，
PA⊥l，A 为垂足．如果直线 AF 的斜率为－ 3，那么|PF|＝( B )
A．4 3 B．8 C．8 3 D．16
基础 梳理
如下表：
标准方程 y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p ＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p ＞0)
焦半径 |PF|
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0
焦点弦 |AB|＝x1＋x2 |AB|＝p－x1 |AB|＝y1＋y2 |AB|＝p－y1
|AB|
隐含的条件．另外，抛物线方程中变量x，y的范围也是常
用的几何性质．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
其准线方程为y＝－1或y＝－2.
点评：求抛物线的标准方程的一般步骤：①根据条 件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向；②根 据焦点位置和开口方向设出标准方程；③根据条件列出
关于p的方程；④解方程，将所求得的p值代入所设方程，
即可得抛物线方程．
题型二 焦点弦问题
斜边长为8，求抛物线的方程．
解析：如图，设等腰直角三角形OAB的顶点A，B在抛
物线上．
根据抛物线的性质知A，B关于x轴对称． 由题意得 A(4,4)在抛物线y2＝2px上， 所以42＝2p×4，所以p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.
点评：抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题 时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些
点评：解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题 时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再 结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公 式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．
2.3.2抛物线的简单几何性质(第3课时)课件人教新课标
要复杂的代数运算.
例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解法一:由已知得抛物线的焦点
y
为F(1,0),所以直线AB的方程为 A’
A
y=x-1
代入方程y2 4x, 得( x 1)2 4x,
化简得x2 6x 1 0.
x1 x1
B' B
还可以如何 求x1+x2?
利用根与系数的关系可以 直接求出x1 x2 6.
例2.斜率为1的直线 l经过抛物线
y2 4焦x的点焦弦点的F长,且的与求抛法物: 线相交
于A,B两到点焦, 点求的线y距段离Al转B为的到长.
抛物线上准线y2 的 距2Ap离x p 的0点
P(x0A,yB0)与 焦AF点的B连F线通d1常称d2为 焦半径px1,焦x半2 O径Bp的F 长等x于
焦点弦公式： p x1 x2
下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦点弦公式。
方程 图形 范围
y2 = 2px （p＞0）
y
l
OF x
y2 = -2px
（p＞0） yl
x2 = 2py
（p＞0） y
F
x2 = -2py
（p＞0） y
l
FO
x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
方程为 y k x 1 设 A x1, y1 , B x2 , y2
A，B到准线的距离分别为 d A , dB
则由抛物线的定义，得|AF|= dA x1 1
|BF|= dB x2 1 ∴|AB|=|AF|+|BF|=
例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解法一:由已知得抛物线的焦点
y
为F(1,0),所以直线AB的方程为 A’
A
y=x-1
代入方程y2 4x, 得( x 1)2 4x,
化简得x2 6x 1 0.
x1 x1
B' B
还可以如何 求x1+x2?
利用根与系数的关系可以 直接求出x1 x2 6.
例2.斜率为1的直线 l经过抛物线
y2 4焦x的点焦弦点的F长,且的与求抛法物: 线相交
于A,B两到点焦, 点求的线y距段离Al转B为的到长.
抛物线上准线y2 的 距2Ap离x p 的0点
P(x0A,yB0)与 焦AF点的B连F线通d1常称d2为 焦半径px1,焦x半2 O径Bp的F 长等x于
焦点弦公式： p x1 x2
下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦点弦公式。
方程 图形 范围
y2 = 2px （p＞0）
y
l
OF x
y2 = -2px
（p＞0） yl
x2 = 2py
（p＞0） y
F
x2 = -2py
（p＞0） y
l
FO
x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
方程为 y k x 1 设 A x1, y1 , B x2 , y2
A，B到准线的距离分别为 d A , dB
则由抛物线的定义，得|AF|= dA x1 1
|BF|= dB x2 1 ∴|AB|=|AF|+|BF|=