数据采样法圆弧插补的新算法(1)
轮廓插补原理——其他插补方法
第五节 其他插补方法前面已经介绍了几种较常用的插补方法，但数控技术经过数十年的发展，特别是微处理器的应用，在原有的脉冲增量法插补原理基础上又派生出许多改进或新型的插补算法，例如：比较积分法、时差法、矢量判别法、最小偏差法、脉冲增量式的直接函数法等。
针对复杂曲线轮廓或列表曲线轮廓，在数据采样法中又提出了一些新的插补算法，例如：样条插补、螺纹插补等。
为此，下面继续简单介绍比较积分法插补、样条插补以及螺纹插补的基本思路。
一、比较积分法前面己经介绍，逐点比较法速度平稳，调整方便，但不容易实现多坐标轴的联动；而DDA 法便于坐标轴的扩展，但速度控制不太方便。
现若将这两种算法结合在一起，就能够扬长避短，集两者优点于一身，实现各种函数和多坐标轴联动插补，且插补精度较高，运算简单，易于调整，是一种比较理想的脉冲增量式插补方法。
（一）比较积分法直线插补设将要插补的第一象限直线起点在坐标原点O （0，0），终点为E （X e ，Y e ），则直线上的所有动点N （X i ，Y i ）必然满足下面等式i ee i X X Y Y =（3-97） 现对式（3-97）求微分得 ee i i X Y dX dY = （3-98） 如果在此基础上引入时间变量t ，分别对两坐标变量进行积分，就可得到前面介绍的DDA 直线插补算法。
显然，如此处理不是目的，下面必须另辟新径，寻找一种更理想的解决方案。
为此引入比较判别的思想，建立两个被积函数之间的内在联系，将式（3-98）改写为增量形式，即有Y e ∆X i =X e ∆Y i （3-99）由于式中X e 、Y e 均是以脉冲当量为单位的数字量，设∆X i 、∆Y i 均为单位位移增量，在数值上为“1”。
现对式（3-99）两边进行积分，并利用矩形法求其积分值，可得∑∑===ii Y j e X i e X Y 11 或 Y e ＋Y e ＋……＋Y e =X e ＋X e ＋……＋X e （3-100）（X i 项） （Y i 项）在这里要指出的是，式（3-100）等号两边求和的项数不一定相等，等式左边是X i 项，而右边是Y i 项。
8-数据采样插补
上式反应了A点与B点的位置关系，只要坐标满足上式，则
A点与B点必在同一圆弧上。由于式中和都是未知数，难以求 解，这里采用近似算法。取α≈45°，即
f cos f co f sin f sin 45 (Yi ) (Yi ) 2 2
采样周期的选择
采用数据采样插补算法，首先需要解决的问题是选择合适 的插补周期。对于位置采样控制系统，确定插补周期时，主 要考虑如何满足采样定理(香农定理)，以保证采集到的实际 位移数据不失真。CNC系统位置环的典型带宽为20Hz左右。 根据采样定理，采样频率应该等于或大于信号最高频率的2倍。 取信号最高频率的5倍作为采样频率，即100Hz。因此典型的 采样周期(或插补周期)取为10ms左右。美国A-B公司生产的 一些CNC系统，其插补周期和采样周期均取10.24ms，日本 FANUC公司生产的一些CNC系统，其采样周期取4ms，插补 周期取8ms(采样周期的2倍)。对于后一种情况，插补程序每 8ms调用一次，为下一个周期算出各坐标轴的增量值；而位 置反馈采样程序每4ms调用一次，将插补程序算好的坐标位 置增量值除以2后再与坐标位置采样值进行比较。
FTs X e2 Ye2 FTs X e2 Ye2 Ye
Xe
2. 数据采样圆弧插补
圆弧插补的基本思想是在满足精度要求的前提下，用弦进 给代替弧进给，即用直线逼近圆弧。 图1-15所示为一逆圆弧，圆心在坐标原点，起点A(Xe， Ye)，终点(Xe，Ye)。圆弧插补的要求是在已知刀具移动速度F 的条件下，计算出圆弧段上的若干个插补点，并使相邻两个插 补点之间的弦长满足下式：
令K=FT/R
Xi K(Yi - 1 - KXi - 1/2) Yi K(Xi - 1 - KYi - 1/2)
一、插补及其算法 插补：是指在一条已知起点和终点的曲线上进行数
插补： 插补：是指在一条已知起点和终点的曲线上进行 数据点的密化。 数据点的密化。 CNC系统插补功能：直线插补功能 系统插补功能： 系统插补功能 圆弧插补功能 抛物线插补功能 螺旋线插补功能
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8.1
插补原理
直线和圆弧插补功能插补算法： 直线和圆弧插补功能插补算法：
⑴逐点比较法直线插补的象限与坐标变换 线 G01 型 偏 差 判 别 F≥0 F＜0 象 2 限 3
1
4
+X +Y
+Y - X
-X -Y
-Y +X
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8.1
插补原理
（2）逐点比较法圆弧插补象限与坐标变换 ）
象 线 型 偏差判别 F≥0 G02 G03 F<0 F≥0 F<0 1 -Y +X -X +Y 2 +X +Y -Y -X 3 +Y -X +X -Y 限 4 -X -Y +Y +X
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或半闭环)CNC系统的加减速控制 二、闭环(或半闭环 闭环 或半闭环 系统的加减速控制
前加减速控制： 前加减速控制 （1）稳定速度和瞬时速度 ） （2）线性加减速处理 ①加速处理 ）
②减速处理 ③终点判别处理
8.1
插补原理
图8－2 逐点比较法直线插补轨迹
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8.1
插补原理
2.逐点比较法圆弧插补 逐点比较法圆弧插补
（1）判别函数及判别条件 ） （2）进给方向判别 ） （3）迭代法偏差函数F的推导 ）迭代法偏差函数 的推导 （4）逐点比较法圆弧插补终点判别 ）
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8.1
插补原理
⒊ 坐标变换及自动过象限处理
数控技术2
x3=5 y3=1＋1=2
x4=5 y4=2＋1=3 x5=5 y5=3＋1=4 x6=5－1=4 y6=4 x7=4 y7=4＋1=5 x8=4－1=3 y8=5
E=10－1=9
E=9－1=8 E=8－1=7 E=7－1=6 E=6－1=5 E=5－1=4
9 10 11
12
F3，5＜0 F3，6＞0 F4，6＞0
3
4 5
F1，1＞0
F2，1＜0 F2，2＞0
＋X
＋Y ＋X
F2，1= F1，1－ye=2－4=－2
F2，2= F2，1＋xe=－2＋6=4 F3，2= F2，2－ye=4－1=5
6
7 8 9 10
F3，2=0
F4，2＜0 F4，3＞0 F5，3＜0 F5，4＞0
2.2.2 逐点比较法圆弧插补
• 例3 设加工第一象限逆圆弧AB，起点A（6,0）， 终点B（0,6）。试用逐点比较法对其进行插补并画 出插补轨迹图。
Y
B（0, 6）
O
A（6,0） 图2.7
X
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逐点比较法第一象限逆圆弧插补
2.2.2 逐点比较法圆弧插补
步数 起点 1 2 F0，0=0 F1，0＜0 －X ＋Y 偏差判别 坐标进给 偏差计算 F0，0=0 F1，0= F0，0－2x0＋1=0－12＋1=－11 F1，1= F1，0＋2y1＋1=－11＋0＋1=－ 10 坐标计算 x0=6 y0=0 x1=6－1=5 y1=0 x2=5 y2=0＋1=1 终点判断 E=12 E=12－1=11 E=11－1=10
3
4 5 6 7 8
F1，1＜0
F1，2＜0 F1，3＜0 F1，4＞0 F2，4＜0 F2，5＞0
数控加工中两种插补原理及对应算法
数控加工中两种插补原理及对应算法数控机床上进行加工的各种工件，大部分由直线和圆弧构成。
因此，大多数数控装置都具有直线和圆弧的插补功能。
对于非圆弧曲线轮廓轨迹，可以用微小的直线段或圆弧段来拟合。
插补的任务就是要按照进给速度的要求，在轮廓起点和终点之间计算出若干中间控制点的坐标值。
由于每个中间点计算的时间直接影响数控装置的控制速度，而插补中间点的计算精度又影响整个数控系统的精度，所以插补算法对整个数控系统的性能至关重要，也就是说数控装置控制软件的核心是插补。
插补的方法和原理很多，根据数控系统输出到伺服驱动装置的信号的不同，插补方法可归纳为脉冲增量插补和数据采样插补两种类型。
一、脉冲增量插补这类插补算法是以脉冲形式输出，每次插补运算一次，最多给每一轴一个进给脉冲。
把每次插补运算产生的指令脉冲输出到伺服系统，以驱动工作台运动。
一个脉冲产生的进给轴移动量叫脉冲当量，用δ表示。
脉冲当量是脉冲分配计算的基本单位，根据加工的精度选择，普通机床取δ＝0.01mm，较为精密的机床取δ＝1μm或0.1μm。
插补误差不得大于一个脉冲当量。
这种方法控制精度和进给速度低，主要运用于以步进电动机为驱动装置的开环控制系统中。
二、数据采样插补数据采样插补又称时间标量插补或数字增量插补。
这类插补算法的特点是数控装置产生的不是单个脉冲，而是数字量。
插补运算分两步完成。
第一步为粗插补，它是在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点，即用若干条微小直线段来拟合给定曲线，每一微小直线段的长度△L都相等，且与给定进给速度有关。
粗插补时每一微小直线段的长度△L与进给速度F和插补T周期有关，即△L＝FT。
实训报告(数据采样插补)
数字化实训报告一数据采样差补简介所谓数据采样插补法，或称为时间分割法。
它尤其适合于闭环和半闭环以直流或交流电机为执行机构的位置采样控制系统。
这种方法是把加工一段直线或圆弧的整段时间细分为许多相等的时间间隔，称为单位时间间隔（或插补周期）。
每经过一个单位时间间隔就进行一次插补计算，算出在这一时间间隔内各坐标轴的进给量，边计算，边加工，直至加工终点。
与基准脉冲插补法不同，采用数据采样法插补时，在加工某一直线段或圆弧段的加工指令中必须给出加工进给速度F，先通过速度计算，将进给速度分割成单位时间间隔的插补进给量L（或称为轮廓步长），又称为一次插补进给量。
这类算法的核心问题是如何计算各坐标轴的增长数∆x和∆y（而不是单个脉冲），有了前一插补周期末的动点位置值和本次插补周期内的坐标增长段，就很容易计算出本插补周期末的动点命令位置坐标值。
对于直线插补来讲，插补所形成的轮廓步长子线段（即增长段）与给定的直线重合，不会造成轨迹误差。
而在圆弧插补中，因要用切线或弦线来逼近圆弧，因而不可避免地会带来轮廓误差。
其中切线近似具有较大的轮廓误差而不大采用，常用的是弦线逼近法。
有时，数据采样插补是分两步完成的，即粗插补和精插补。
第一步为粗插补，它是在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点，即用若干条微小直线段来逼近给定曲线，粗插补在每个插补计算周期中计算一次。
第二步为精插补，它是在粗插补计算出的每一条微小直线段上再做“数据点的密化”工作，这一步相当于对直线的脉冲增量插补。
二直线插补直线插补的情况如右图所示。
要求刀具在XY 平面中作所示的直线运动。
在这一程序段中,每一小段的长度为L=KFT（K进给倍率，F进给速度，T插补周期）。
只要求出∆x和∆y即可。
tanα=X E Y Ecosα=1√1+（tanα）2∆X=L∗cosα∆Y=∆X∗tanα三顺圆圆弧插补3.1公式推导圆弧插补的情况如下。
顺圆弧AB为待加工曲线，可以依据几何知识推导出关系式：∆Y ∆X =X I+0.5∗L∗COSαY I−0.5∗L∗SINα无法求解出∆x和∆y，取α=45°.如此会引起的误差就是下一点可能不在圆弧上面，所以修正关系式为：∆X′=L*COS45X I2+Y I2=(X I+∆X)2+(Y I−∆Y)2AB3.2流程图3.3程序CLOSE&1#1->2500X#2->2500YOPEN PROG 28CLEARINC;增量模式P0=1；每个周期的步长P1=100；半径P2=0；x0P3=100；y0P4=100；x1P5=0；y1P11=0.7071；sin45，cos45P6=SQRT((P4-P2)*(P4-P2)+(P5-P3)*(P5-P3))；始末点距离P7=INT(2*(ASIN(P6/2/P1))*P1/P0)+1；步数WHILE(P7>0)；由步数控制循环P8=ATAN((P2+0.5*P0*P12)/(P3-0.5*P12*P0))；计算新的角度P9=P0*COS(P8)；dxP10=-(P2+0.5*P9)*P9/(P3-0.5*P9)；dyP2=P2+P9；新的x0P3=P3+P10；新的y0X(P9)；电机动作Y(P10)P7=P7-1；步数减一ENDWHILECLOSE四逆圆圆弧插补4.1公式推导圆弧插补的情况如下。
数控技术 第三章 插补
3.逐点比较法圆弧插补 3.逐点比较法圆弧插补
（1）偏差函数 任意加工点P ），偏差函数 偏差函数F 任意加工点Pi（Xi，Yi），偏差函数Fi可表示为
Fi = X i2 + Yi 2 − R 2
=0，表示加工点位于圆上； 若Fi=0，表示加工点位于圆上； Y >0，表示加工点位于圆外； 若Fi>0，表示加工点位于圆外； <0， 若Fi<0，表示加工点位于圆内
Y Ae (Xe,Ye) F>0 Pi (Xi,Yi) F<0 X
为便于计算机计算) （2）偏差函数字的递推计算 (为便于计算机计算 为便于计算机计算 >=0，规定向+ 方向走一步（若坐标单位用脉冲当量表示） 若Fi>=0，规定向+X方向走一步（若坐标单位用脉冲当量表示）
Xi+1 = Xi +1 Fi+1 = XeYi −Ye (Xi +1) = Fi −Ye
2.逐点比较法直线插补 2.逐点比较法直线插补
（1）偏差函数构造 对于第一象限直线OA上任一点( OA上任一点 对于第一象限直线OA上任一点(X,Y) YX e − XYe = 0 若刀具加工点为Pi（ ），则该点的偏差 若刀具加工点为Pi（Xi，Yi），则该点的偏差 Pi 函数F 函数Fi可表示为 Fi = Yi X e − X i Ye 若Fi=0，表示加工点位于直线上； 表示加工点位于直线上； 表示加工点位于直线上方； 若Fi>0，表示加工点位于直线上方； 表示加工点位于直线下方。 若Fi<0，表示加工点位于直线下方。
F=0 F<0 F>0 F<0 F>0 F=0 F<0 F>0 F<0 F>0
5.3数字增量插补
将A、B两组计算公式设计成子程序，在程序的输入输出部分
进行引导坐标、实际坐标、进给方向的相互转换
§5.3 数字增量插补（三）时间分割圆弧插补算法
顺圆插补（G02）和逆圆插补（G03）在各象限采用公 式的情况如图所示：
BA
A
B
B A
A B
G02
AB
B
A
A
B
BA
G03
§5.3 数字增量插补（三）时间分割圆弧插补算法
dxi
xi1 yi1
d
xi
若 yi1 xi1，则dyi dxi
此时算法①对误差有收敛作用
若 xi1 yi1，则dyi dxi
此时算法①对误差有放大作用 ②
同理, 若 yi1 xi1，则dxi dyi
FT 2 4
4!
∴ FT2
8
F、 ρ一定时， T越小， δ越小 δ、ρ 一定时， T越小， F 越大
希望T越 小越好
T受插补运算时间、位置控制周期限制，不可能无限制小
在实际的 T是固定的，而F是用户给的
δ 有可能超差
CNC系统中： 为保证δ 在允许范围内 限制 F
§5.3 数字增量插补 （一）插补周期的选择
若 xe ye d(xi ) d(yi ) 此时算法②对误差有收敛作用
实质： 插补时总是先计算大的坐标增量
§5.3 数字增量插补 (二）时间分割直线插补算法
在第一象限，就有两组计算公式 再考虑不同的象限，插补公式一共有8组 为方便计算，引入“引导坐标”
在采样周期内，进给增量大的坐标定义为引导坐标G
δ ΔL
L1
ΔL= FT 插补周期内的合成进给量
3.5.2 直线和圆弧DDA法插补原理
JY-1 JY 5
5 5 5 5-1=4 4-1=3 3-1=2 2-1=1
终点判 别 NX NY
+Y +Y +Y -X,+Y 10-8=2 -X,+Y 10-8=2 -X -X 12-8=4 9-8=1
10-8=2 12-8=4 9-8=1 11-8=3 11-8=3
2012-5-30
数字积分法直线插补运算过程（前五步）
累加 次数 X积分器 Y积分器 终点计 数 器 JE 000
JRX+JVX
1 0+101=101
溢出 △X 0 1
0 1 1
JRY+JVY
0+010=010
溢 出 △Y 0 0
0 1 0
2
3 4 5
101+101=010
010+101=111 111+101=100 100+101=001
一 插补的基本概念； 二 插补方法的分类； 三 逐点比较法； 四 数字积分法； 五 数据采样法（时间分割法）； 六 插补算法中的速度处理。
2012-5-30
四 数字积分法插补
特点：
易于实现多坐标联动插补 Y 1 数字积分法的工作原理 如右图，函数在[t0 , tn ]的定 积分，即为函数在该区间 的面积： O t0 t1 t2 如果从t=0开始，取自变量 t的一系列等间隔值为△t， 当△t足够小时，可得
2 设圆弧AB为第一象限逆圆弧，起点A (3,0),终点为B(0,3)，用DDA法加工圆弧 AB。
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1--插补的基本概念、脉冲增量插补与数据采样插补的特点和区别、逐点比较法的基本原理、直线插补和圆弧插补
E（Xe，Ye）
N（Xi，Yi） X
Yi Ye Xi Xe
使用一个正数XeXi乘以该式，最后得
Fi X eYi X iYe
（3-1）
很显然，偏差值Fi的符号反映了动点N相对于直线OE的位置偏离情况。 ① Fi = 0 时，动点N在直线上； ② Fi ≻ 0 时，动点N在直线的上方区域； ③ Fi ≺ 0 时，动点N在直线的下方区域。
② 直线和圆弧是构成零件轮廓的基本线型，所以绝大多数数控系统都 具有直线插补和圆弧插补功能。 本课程将重点介绍直线插补和圆弧插补的计算方法。
③ 插补运算速度是影响刀具进给速度的重要因素。为减少插补运算时 间，在插补运算过程中，应该尽量避免三角函数、乘、除以及开方等复杂运 算。因此插补运算一般都采用迭代算法。 ④ 插补运算速度直接影响数控系统的运行速度；插补运算精度又直接 影响数控系统的运行精度。 插补速度和插补精度之间是相互制约、互相矛盾的，因此只能折中选择。
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
(a)
(b)
所谓插补，就是根据零件轮廓的几何形状、几何尺寸以及轮廓加工的 精度要求和工艺要求，在零件轮廓的起点和终点之间插入一系列中间点 （折线端点）的过程，即所谓“数据点的密化过程”，其对应的算法称为 插补算法。
刀具进给 逐点比较法刀具进给方向的选择原则： ① 平行于某个坐标轴； ② 减小动点相对于零件轮廓的位置偏差。 根据这个原则可以判断出直线插补的刀具进给方向为： ① 当动点在直线上方区域时， 应 +X 方向进给一步； ② 当动点在直线下方区域时，应 +Y 方向进给一步； ③ 动点在直线上时， 既可以+X方向也可以+Y方向进给一步，在此约定 取+X方向。
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数据采样法圆弧插补的新算法周慧湖南工程学院机械电子工程系,湖南湘潭 411101
摘要:介绍了数据采样圆弧插补的一种新型算法,阐述了这一算法的基本原理和特点,揭示了该算法的内在规律,给出了不同类型圆弧插补的计算公式,总结归纳了圆弧插补的处理方法。据此,设计的圆弧插补计算软件具有覆盖面更广、计算更方便快捷等特点。关键词:数据采样法;圆弧插补;内接弦线中图分类号:TP301.6 文献标识码:A 文章编号:1001-2265(2004)02-0038-03
ThenewcalculationwayoncircularinterpolationofthedatasamplingkindmethodZHOUHuiAbstract:Thispaperintroducethenewcalculationwayonthedatasamplingcircularinterpolation,andexpounditsbaseprincipleanddifferentfromcharacteristics,revealintrinsiclawoftheinterpolatingcalculation,givedifferentcalculationformulaofcircularinterpolation,andsummarizeit.Onthebasisofthecircularinterpolationprinciple,designingputtorepairtocomputethesoft2waretohavecovermorewide,thecalculationismoreconvenientandfastetc.Keywords:thedatasamplingkindmethod;circularinterpolation;theinsideconnectingcord
图1 数据采样法圆弧插补1 引言随着计算机与伺服控制技术的发展,闭环数控系统已得到广泛的应用,数据采样法就是一种适合闭环数控系统的插补算法。所谓数据采样法,就是用一系列首尾相连的微小直线段,逼近给定曲线的数学处理方法。由于逼近直线段是按加工约定时间来分割轮廓的。因此,该算法又称为时间分割法。对于数控系统的精度而言,将微小逼近直线段作为进给量赋给坐标轴显得过分粗大,仍需对微小逼近直线段作进一步分割,即在逼近直线段上插入若干个数据点进行密化。由此可见,用数据采样法插补曲线需按两步进行:第一,确定微小逼近直线段,这一步称为粗插补。粗插补分割的对象是整个曲线,所涉及的计算比较复杂,一般需要采用高级语言编程来实现。第二,对微小逼近直线段进行数据点的密化,这一步称为精插补。精插补分割的对象是微小直线段,所涉及的算法相对简单,一般采用脉冲增量法插补即可。在实际应用中,可采用硬件来完成,也可采用汇编语言编写的软件来实现。本文将探讨数据采样法圆弧插补(粗插补)的基本原理,及相关的插补计算公式。
2 数据采样法圆弧插补数据采样法圆弧插补的基本思路是在满足加工精度的前提条件下,用直线代替弧线实现进给,即用直线逼近圆弧。这种逼近直线可以是圆的内接弦线,也可以是圆的切线或等误差割线。这里仅对圆的内接弦线算法加以讨论。211 插补原理插补计算就其实质而言是在一个插补周期内,如何快捷准确地计算出下一个插补点的进给量以及动点坐标。现以插补第一象限顺圆弧为例,如图1所示,说明插补顺圆弧时进给量ΔXi、ΔYi以及动点坐标Xi+1、Y
i+1
的产生与计算关系。
设圆弧方程为:X
2+Y2=R2
,顺圆上点E为点S之后的插
补瞬时点,其坐标分别为S(X
i,Yi)、E(Xi+1,Yi+1)。弦线
SE
为步距,其值为ΔL=FTS(F———进给速度,TS———插补周期)
,
弦线SE对应的中心角δ为步距角。M为弦线SE的中点,P
为直线SXi与Yi+1E的交点。由圆的基本知识可知:OM
垂直弦线SE,且平分该圆弧所对应的中心角∠SOE,故∠SOM=
∠MOE=
1
2δ
在RtΔSPE
与RtΔMY
MO
中,由于SE⊥OM,SP⊥MYM,EP的延长线EYi+1⊥OYM
。
因此,RtΔSPE∽RtΔMY
MO
故∠SEP=∠MOY
M
=∠YMOS+∠SOM=φi+12δ
在RtΔSPE中,有ΔX
i=ΔL×cos(∠SEP)
=ΔL×cos(φi+12δ)(1)
ΔY
i=ΔL×sin(∠SEP)
=ΔL×sin(φi+12δ)(2)
在RtΔMY
MO中,
有
cos(φi+12δ)=OYMOM=Yi-12ΔYiR2-(ΔL2)2(3)
sin(φi+12δ)=MYMOM=Xi+12ΔXiR2-(ΔL2)2(4)83
组合机床与自动化加工技术联立上述式(1)～(4)并解之,得进给量ΔXi=ΔL4R2-ΔL22R2Yi-ΔL22R2XiΔYi=ΔL4R2-ΔL22R2Xi-ΔL22R2Yi(5)(6)令:m=ΔL4R2-ΔL22R2、n=ΔL22R2,则式(5)、(6)可以简化为:ΔXi=mYi-nXiΔYi=mXi+nYi(7)(8)由图1可得插补点E的坐标Xi+1=Xi+ΔXiYi+1=Yi-ΔYi(9)(10)212 讨论在上述式(7)～(10)中,有几点值得注意:
(1)在计算ΔX
i、ΔYi
时,由于不考虑步距矢量与坐标轴夹
角的正负,故ΔXi、ΔYi始终为正值。(2)插补点的计算必须兼顾圆弧走向,即在计算时需给ΔXi、ΔYi赋方向数。编写计算程序时,一般约定“0”表示“正
向”,“1”表示“负向”。(3)因圆弧半径R、步距ΔL均为已知量,故系数m、n均
为常数。在编写插补计算程序时,可将m、n放在插补准备阶段进行计算,以便准确快捷地计算进给量。213 任意象限圆弧的插补前面推导的插补计算公式,仅仅适合第一象限顺圆弧的插补。对于其它走向与象限的圆弧而言,其插补计算公式有所不同。因此,可以按同样的方法一一推导。在这里将已导出的各类型圆弧插补公式进行汇总,参见表1所示。
表1 圆弧插补计算公式汇总
走向象限与方向数第Ⅰ象限第Ⅱ象限第Ⅲ象限第Ⅳ象限ΔX
i=0、ΔYi=0ΔXi=0、ΔYi=1ΔXi=1、ΔYi=1ΔXi=1、ΔYi=0
顺时针ΔXi=mYi-nXiΔYi=mXi+nYiXi+1=Xi+ΔXiYi+1=Yi-ΔYiΔXi=mYi-nXiΔYi=-(mXi+nYi)Xi+1=Xi+ΔXiYi+1=Yi+ΔYiΔXi=-(mYi-nXi)ΔYi=-(mXi+nYi)Xi+1=Xi-ΔXiYi+1=Yi+ΔYiΔX
i=-(mYi-nXi)
ΔY
i=mXi+nYi
Xi+1=Xi-ΔXi
Yi+1=Yi-ΔYi
逆时针ΔXi=mYi+nXiΔYi=mXi-nYiXi+1=Xi-ΔXiYi+1=Yi+ΔYiΔXi=mYi+nXiΔYi=-(mXi-nYi)Xi+1=Xi-ΔXiYi+1=Yi-ΔYiΔXi=-(mYi+nXi)ΔYi=-(mXi-nYi)Xi+1=Xi+ΔXiYi+1=Yi-ΔYiΔX
i=-(mYi+nXi)
ΔY
i=mXi-nYi
Xi+1=Xi+ΔXi
Yi+1=Yi+ΔYi
表1展示了各类型圆弧插补公式之间的内在联系,它们的变化有明显的规律:
(1)所有的顺圆弧插补计算公式都是SR1的变形公式,只
要对该象限的ΔXi、ΔYi赋方向数,该象限的插补计算公式就转变为SR1型计算公式。(2)所有的逆圆弧插补计算公式都是NR1的变形公式,当给出该象限的ΔXi、ΔYi赋方向数时,该象限的插补计算公式就转变为NR1型计算公式。(3)当X与Y坐标交换后再赋方向数时,顺圆与逆圆的插补
计算公式就可以互换。由此可得,圆弧插补计算仅用SR1型计算公式即可。在使用时根据需要作方向数及交换X、Y坐标的处理。注意:ΔXi、ΔYi的初值始终为绝对值。粗插补可分为两步进行:第一,计算常量,第二,计算进给量与动点坐标。据此,可设计数据采样圆弧插补的计算程序,其流程框图如图2所示。214 误差分析由图1可推出半径R、步距ΔL以及径向最大许用误差e
r
之间的关系
(ΔL2)2=R2-(R-er)2(11)由于径向最大许用误差er很小,即er<<1,因此,e2r→0,故ΔL=22Rer-e2r≤8
Re
r(12)
若假设插补周期T
S=8ms,进给速度F的单位为mm/min
,
径向最大许用误差er≤1μm,将其代入式(12)
,
整理得
图2 数据采样圆弧插补计算程序流程图(下转第42页)F=ΔLTs≤8RerTs=4.5×105R(mm/min)(13)
932004年第2期