高中数学 第2章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 直接证明讲义(含解析)苏教版选

直接证明

[对应学生用书P26]

1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥4 2.

证明：因为2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b，

又a＋b＝3，所以2a＋2b≥223＝4 2.

故2a＋2b≥42成立．

问题1：本题利用什么公式？

提示：基本不等式．

问题2：本题证明顺序是什么？

提示：从已知到结论．

2．求证：3＋22<2＋7.

证明：要证明3＋22<2＋7，

由于3＋22>0,2＋7>0，

只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，

展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．

所以3＋22<2＋7成立．

问题1：本题证明从哪里开始？

提示：从结论开始．

问题2：证题思路是什么？

提示：寻求上一步成立的充分条件．

1．直接证明

(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．

(2)直接证明的一般形式

⎭

⎪⎬⎪

⎫本题条件已知定义

已知公理

已知定理⇒…⇒本题结论．

2．综合法和分析法

直接证明 定义

推证过程

综合法 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法

已知条件⇒…⇒…⇒结论

分析法

从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法 结论⇐…⇐…⇐已知条件

1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．

2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．

[对应学生用书P27]

综合法的应用

[例1] 已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2

≥13.

[思路点拨]从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论． [精解详析]∵a 2

＋19≥2a 3，

b 2＋19

≥2b 3

，c 2＋19

≥2c 3

，

∴⎝

⎛⎭⎪⎫a 2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋19≥23a ＋23b ＋23c

＝23(a ＋b ＋c )＝2

3. ∴a 2＋b 2＋c 2

≥13

.

[一点通]综合法证明问题的步骤

第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．

第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．

第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．

1．设a ，b ，c 为不全相等的正数，且abc ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1

c

>a ＋b ＋c .

证明：∵a >0，b >0，c >0，且abc ＝1， ∴1a ＋1b ＋1

c

＝bc ＋ca ＋ab .

又bc ＋ca ≥2bc ·ca ＝2abc 2

＝2c ， 同理bc ＋ab ≥2b ，ca ＋ab ≥2a . ∵a 、b 、c 不全相等．

∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立． ∴2(bc ＋ca ＋ab )>2(c ＋a ＋b )， 即bc ＋ca ＋ab >a ＋b ＋c ， 故1a ＋1b ＋1

c

>a ＋b ＋c .

2.(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真；

(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．

解：(1)证明：法一：如图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线a ，b ，c ，n 的方向向量分别是a ，b ，c ，n ，则b ，c ，n 共面．根

据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c ＝λb ＋μn ，则a·c ＝a·(λb ＋μn )＝λ(a·b )＋μ(a·n )，

因为a ⊥b ，所以a·b ＝0， 又因为a

π，n ⊥π，所以a·n ＝0，

故a·c ＝0，从而a ⊥c .

法二：如图，记c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO ⊥π，垂足为O ，

则O ∈c . ∵PO ⊥π，a π，

∴直线PO ⊥a . 又a ⊥b ，b

平面PAO ，PO ∩b ＝P ，

∴a ⊥平面PAO .又c

平面PAO ，∴a ⊥c .

(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .

逆命题为真命题．

分析法的应用

[例2] 已知a >b >0，求证：(a －b )2

8a

2

8b

.

[思路点拨]本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法．

[精解详析]要证明(a －b )2

8a

2

8b 成立，

只需证(a －b )2

4a

2

4b 成立，

即证(a －b )2

4a <(a －b )2<(a －b )

2

4b 成立．

只需证

a －

b 2a

2b

成立．