中考数学自主招生考试试卷(2)(含解析)
2015年湖南省长沙市南雅中学自主招生考试数学试卷（2）
一、选择题（本大题共8题，每小题4分，共32分）
1．计算（a2）3÷（a2）2的结果是（）
A．a B．a2C．a3D．a4
2．向如图所示的正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于（）
A．B．C．D．
3．已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（）
A．9 B．±3 C．3 D．5
4．在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：
情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；
情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．则情境a，b所对应的函数图象分别是（）
A．③、②B．②、③C．①、③D．③、①
5．如果，，那么等于（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若关于x的方程无解，则a的值为（）
A．或﹣2 B．或﹣1 C．或﹣2或﹣1 D．﹣2或﹣1
7．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
8．已知，在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连结AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．则△PEF 面积的最大值是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
9．计算： = ．
10．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定的值为．
11．定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即
ctanα=，根据上述角的余切概念，则ctan30°=．
12．如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是．
13．已知关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，若m，n为整数，则代数式
的值是．
14．若一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为．15．如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动
点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为．
16．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM= ．
三、解答题（本大题共4道题，共48分）
17．某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．（1）求两人学习桌和三人学习桌的单价；
（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生的需求，设购买两人学习桌x张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，求出W与x的函数关系式；求出所有的购买方案．
18．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．
（1）函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上的最小值是
（2）求函数在区间上的最小值．
（3）求函数y=x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上的最小值y min的解析式．
19．如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC的长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5的实数，满m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，求△ABC的面积．
20．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E 与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t 之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
2015年湖南省长沙市南雅中学高中自主招生考试数学试卷（2）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8题，每小题4分，共32分）
1．计算（a2）3÷（a2）2的结果是（）
A．a B．a2C．a3D．a4
【考点】整式的除法．
【分析】根据幂的乘方首先进行化简，再利用同底数幂的除法的运算法则计算后直接选取答案．【解答】解：（a2）3÷（a2）2
=a6÷a4
=a2．
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．
2．向如图所示的正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于（）
A．B．C．D．
【考点】几何概率．
【分析】求出阴影部分的面积与三角形的面积的比值即可解答．
【解答】解：因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是=，
所以扔沙包1次击中阴影区域的概率等于．
故选C．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概
率．
3．已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（）
A．9 B．±3 C．3 D．5
【考点】根与系数的关系；二次根式的化简求值．
【专题】整体思想．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形
得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．
【解答】解：∵m、n是方程x2+2x+1=0的两根，
∴m+n=﹣2，mn=1，
∴====3．
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x1，
x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．也考查了二次根式的化简求值．
4．在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：
情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；
情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．则情境a，b所对应的函数图象分别是（）
A．③、②B．②、③C．①、③D．③、①
【考点】函数的图象．
【分析】根据图象，一段一段的分析，再一个一个的排除，即可得出答案；
【解答】解：∵情境a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时①②③都符合，
发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家的距离是0，此时②③
又去学校，即离家越来越远，此时只有③返回，
∴只有③符合情境a；
∵情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，即离家越来越远，且没有停留，
∴只有①符合，
故选D
【点评】此题考查函数图象问题，主要考查学生的观察图象的能力，同时也考查了学生的叙述能力，用了数形结合思想，题型比较好，但是一道比较容易出错的题目．
5．如果，，那么等于（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】分式的化简求值．
【分析】所求分式涉及字母a、c，故要消除b，根据两个已知等式中b的倒数关系消除b，再把所得等式变形即可．
【解答】解：由已知得=1﹣a，b=1﹣，
两式相乘，得（1﹣a）（1﹣）=1，
展开，得1﹣﹣a+=1
去分母，得ac+2=2a
两边同除以a，得c+=2．
故选B．
【点评】本题考查了分式等式的变形，消元法的数学思想，需要灵活运用这种变形方法．
6．若关于x的方程无解，则a的值为（）
A．或﹣2 B．或﹣1 C．或﹣2或﹣1 D．﹣2或﹣1
【考点】分式方程的解．
【分析】先去分母得到关于x的整式方程，然后根据分式方程无解得到关于a的方程，从而求得a
【解答】解：去分母得：x﹣2+a（x﹣1）=2a+2．
整理得：（a+1）x=3a+4．
当a+1=0时，解得：a=﹣1，此时分式方程无解；
当a+1≠0时，x=．
当x=1时， =1．解得：a=﹣，此时分式方程无解；
当x=2时， =2，解得：a=﹣2，此时分式方程无解．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是分式方程的解，掌握分式方程无解的条件是解题的关键．
7．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【考点】实数大小比较．
【分析】利用作差法比较a和b、b和c、a和c的大小，再比较a、b、c三者的大小．
【解答】解：∵a﹣b=﹣1﹣（2﹣）
=﹣（1+）
≈2.449﹣2.414＞0，
∴a＞b；
∵a﹣c=﹣1﹣（﹣2）=+1﹣≈2.414﹣2.449＜0，
∴a＜c；
于是b＜a＜c，
故选B．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．
实数大小比较法则：
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
（2）两个负数，绝对值大的反而小．
8．已知，在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，
Q是边BC上的任意一点，连结AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．则△PEF 面积的最大值是（）
A．B．C．D．
【考点】面积及等积变换．
【分析】设PD=x，S△PEF=y．根据平行线的性质、全等三角形的判定及相似三角形的判定，证明△PEF ≌△QFE、△AEP∽△AQD、△PDF∽△ADQ，相似三角形的面积比是相似比的平方，再由三角形AQD与梯形ABCD的面积公式求得梯形的高，代入S△PEF=（S△AQD﹣S△DPF﹣S△APE）÷2，得出关于x的二次函数方程，根据顶点坐标公式，求得则△PEF面积最大值．
【解答】解：设PD=x，S△PEF=y，S△AQD=z，梯形ABCD的高为h，
∵AD=3，BC=4，梯形ABCD面积为7，
∴，
解得：，
∵PE∥DQ，
∴∠PEF=∠QFE，∠EPF=∠PFD，
又∵PF∥AQ，
∴∠PFD=∠EQF，
∴∠EPF=∠EQF，
∵EF=FE，
∴△PEF≌△QFE（AAS），
∵PE∥DQ，
∴△AEP∽△AQD，
同理，△DPF∽△DAQ，
∴=（）2， =（）2，
∵S△AQD=3，
∴S△DPF=x2，S△APE=（3﹣x）2，
∴S△PEF=（S△AQD﹣S△DPF﹣S△APE）÷2，
∴y=[3﹣x2﹣（3﹣x）2]×=﹣x2+x，
∵y最大值==，即y最大值=．
∴△PEF面积最大值是，
故选：D．
【点评】本题综合考查了二次函数的最值、三角形的面积、梯形的面积以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质及用含x的代数式表示出三角形的面积是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
9．计算： = 2﹣2 ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】先利用二次根式的除法法则和分母有理化计算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式=2﹣2（+1）
=4﹣2﹣2
=2﹣2．
故答案为．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
10．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定的值为 3 ．
【考点】估算无理数的大小．
【分析】先据算出的大小，然后求得7﹣的范围，从而可求得的值．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3．
∴﹣3＞﹣4．
∴4＞7﹣＞3．
故的值为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查的是无算无理数的大小，估算出的范围是解题的关键．
11．定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即
ctanα=，根据上述角的余切概念，则ctan30°=．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】新定义．
【分析】根据在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，可得答案．
【解答】解：ctan30°=，
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切．
12．如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是x＜0或1＜x＜4 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】根据图形，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可．
【解答】解：根据图形，当x＜0或1＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y1＞y2．
故答案为：x＜0或1＜x＜4．
【点评】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，要注意y轴左边的部分，一次函数图象在第二象限，反比例函数图象在第三象限，这也是本题容易忽视而导致出错的地方．
13．已知关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，若m，n为整数，则代数式
的值是．
【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．
【专题】计算题；分式．
【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组的整数解确定出m与n的值，原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把m与n的值代入计算即可求出值．
【解答】解：不等式整理得：，即n≤x＜m，
由不等式组的整数解仅有1，2，3，得到m=4，n=1，
则原式=1﹣?=1﹣==，
当m=4，n=1时，原式=．
故答案为：．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．若一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为y=2x+7或y=﹣2x+3 ．
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【分析】根据一次函数是单调函数，因为知道函数定义域为﹣3≤x≤1，值域为1≤y≤9，进行分类讨论k大于0还是小于0，列出二元一次方程组求出k和b的值．
【解答】解：（Ⅰ）当k＞0时，，
解得：，
此时y=2x+7，
（Ⅱ）当k＜0时，，
解得：，
此时y=﹣2x+3，
综上，所求的函数解析式为：y=2x+7或y=﹣2x+3．
【点评】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式的知识，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质：在定义域上是单调函数，本题难度不大．
15．如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）．
【考点】利用轴对称设计图案．
【专题】压轴题．
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，把A进行移动可得到点的坐标，注意考虑全面．【解答】解：如图所示：
A1（﹣1，1），A2（﹣2，﹣2），A3（0，2），A4（﹣2，﹣3），（﹣3，2）（此时不是四边形，舍去），
故答案为：（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义，根据3个定点所在位置，找出A的位置．
16．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM= ．
【考点】解直角三角形；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】根据∠NMB=∠MBC，延长MN，BC相交于T，得到等腰△TBM，连接点T和MB的中点，得到相似三角形，然后由相似三角形的性质进行计算，求出∠ABM的正切．
【解答】解：如图：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则OT⊥BM，
∵∠ABM+∠MBT=90°，
∠OTB+∠MBT=90°，
∴∠ABM=∠OTB，则△BAM∽△TOB，
∴=，即=，即MB2=2AM?BT ①
令DN=1，CT=MD=K，则：AM=2﹣K，BM=，BT=2+K，
代入①中得：4+（2﹣K）2=2（2﹣K）（2+K），
解方程得：K1=0（舍去），K2=．
∴AM=2﹣=．
tan∠ABM===．
故答案是：．
【点评】本题考查的是解直角三角形，运用正方形的性质，根据题目中角的关系，判断两个三角形相似，然后用相似三角形的性质进行计算，求出直角三角形中边的长度，再用正切的定义求出角的正切值．
三、解答题（本大题共4道题，共48分）
17．某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．（1）求两人学习桌和三人学习桌的单价；
（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生的需求，设购买两人学习桌x张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，求出W与x的函数关系式；求出所有的购买方案．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元，根据如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元分别得出等式方程，组成方程组求出即可；
（2）根据购买两种学习桌共98张，设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，根据以至少满足248名学生的需求，以及学校欲投入资金不超过6000元得出不等式，进而求出即可．【解答】解：（1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元，根据题意得出：
，
解得：，
答：两人学习桌和三人学习桌的单价分别为50元，70元；
（2）设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，
购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，
则W与x的函数关系式为：W=50x+70（98﹣x）=﹣20x+6860；
根据题意得出：
，
由50x+70（98﹣x）≤6000，
解得：x≥43，
由2x+3（98﹣x）≥248，
解得：x≤46，
故不等式组的解集为：43≤x≤46，
故所有购买方案为：当购买两人桌43张时，购买三人桌55张，
当购买两人桌44张时，购买三人桌54张，
当购买两人桌45张时，购买三人桌53张，
当购买两人桌46张时，购买三人桌52张．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
18．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．
（1）函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上的最小值是﹣7
（2）求函数在区间上的最小值．
（3）求函数y=x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上的最小值y min的解析式．
【考点】二次函数的最值．
【专题】新定义．
【分析】（1）先求得抛物线的对称轴、顶点坐标，然后画出抛物线的大致图象，根据函数图象可知当x=﹣5时，函数值最小；
（2）先画出函数的大致图象，然后根据函数图象可知当x=0时，函数值最小；
（3）先求得抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称轴在区间[t﹣2，t﹣1]的左侧、区间内、区间
右侧分类讨论即可．
【解答】解：（1）y=﹣x2+4x﹣2其对称轴为直线为x=2，顶点坐标为（2，2），函数图象开口向下．函数图大致象如图1所示：
当x=5时，函数有最小值，最小值为﹣7．
故答案为：﹣7．
（2），其对称轴为直线，顶点坐标，且图象开口向上．
其顶点横坐标不在区间内，
如图2所示．
当x=0时，函数y有最小值．
（3）将二次函数配方得：y=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8
其对称轴为直线：x=2，顶点坐标为（2，﹣8），图象开口向上
若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]左侧，则2＜t﹣2，即t＞4．
当x=t﹣2时，函数取得最小值：
若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]上，则t﹣2≤2≤t﹣1，即3≤t≤4．
当x=2时，函数取得最小值：y min=﹣8
若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]右侧，则t﹣1＜2，即t＜3．
当x=t﹣1时，函数取得最小值：
综上讨论，得．
【点评】本题主要考查的是二次函数的最值，根据函数解析式画出函数的图象，然后根据对称轴是否在区间内进行分类讨论是解题的关键．
19．（10分）（2015?长沙校级自主招生）如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC的长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5的实数，满m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，求△ABC的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；因式分解﹣提公因式法；解一元二次方程﹣公式法；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】由已知求出PA、PB、PC的长度，设∠PAB=Q，等边三角形的边长是a，∠PAC=60°﹣Q，根据锐角三角函数（余弦定理）求出cosQ和cos（60°﹣Q）的值，即可求出a的长度，过A作AD⊥BC于D，求出AD的长度，根据三角形的面积公式即可求出答案．
【解答】解：m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，
∴分解因式得：（n﹣5）（m﹣3）2≤0，
∵n为大于5的实数，
∴m﹣3=0，∵即：PA=m=3，
∵PA2+PB2=PC2，PA、PB、PC的长为正整数，
∴PB=4，PC=5，
设∠PAB=Q，等边三角形的边长是a，
则∠PAC=60°﹣Q，
由余弦定理得：cosQ==，（1）
cos（60°﹣Q）==，（2）
而cos（60°﹣Q）=cos60°cosQ﹣sin60°sinQ，
=﹣=，（3）
将（1）代入（3）得：﹣=，
解得：sinQ=，
∵（sinQ）2+（cosQ）2=1，
∴+=1，
令a2=t，
∴+=1，
解得：t1=25+12，t2=25﹣12，
由（1）知a＞0，cosQ＞0，
即＞0，a2＞7，
∴t2=25﹣12＜7，不合题意舍去，
∴t=25+12，
即a2=25﹣12，
过A作AD⊥BC于D，
∵等边△ABC，
∴BD=CD=a，
由勾股定理得：AD=，
∴S△ABC=?a?==9+．
答：△ABC的面积是9+．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，用公式法解一元二次方程，用提取公因式法分解因式，余弦定理等知识点，运用余弦定理求等边三角形的边长是解此题的关键．题型较好但难度较大．
20．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E 与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t 之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角梯形．
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【分析】（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；
（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；
（3）分别从当0≤t≤时，当＜t≤2时，当2＜t≤时，当＜t≤4时去分析求解即可求得答案．
【解答】解：（1）如图①，
设正方形BEFG的边长为x，
则BE=FG=BG=x，
∵AB=3，BC=6，
∴AG=AB﹣BG=3﹣x，
∵GF∥BE，
∴△AGF∽△ABC，
∴，
中考自主招生数学试卷(含解析)
2018年山东省枣庄实验高中自主招生数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的选项填到二卷答题纸的指定位置处） 1．如图，数轴上点A表示数a，则|a﹣1|是（） A．1B．2C．3D．﹣2 2．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜﹣1D．k＜﹣1或k＝0 3．在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为（） A．84株B．88株C．92株D．121株 4．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（） A．﹣＝4B．﹣＝4 C．﹣＝4D．﹣＝4 5．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（）
A．B． C．D． 6．如图在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树稍的仰角分别是45°与60°，∠DCA＝90°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°，若房屋的高BC＝5米，则高DE的长度是（） A．6米B．6米C．5米D．12米 7．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（） A．参加本次植树活动共有30人 B．每人植树量的众数是4棵 C．每人植树量的中位数是5棵 D．每人植树量的平均数是5棵
中学自主招生考试数学试卷试题
2010年科学素养测试 数学试题 【卷首语】亲爱的同学们，欢迎参加一六八中学自主招生考试，希望你们凝神静气，考出水平！开放的一六八中学热忱欢迎你们！本学科满分为120分，共17题；建议用时90分钟。 一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、计算= . 2、分解因式：= . 3、函数中，自变量x的取值范围是. 4、已知样本数据x1，x2，…，x n的方差为1，则数据10x1＋5，10x2＋5，…，10x n＋5的方 差为. 5、函数的图像与坐标轴的三个交点分别为（a, 0）(b, 0)（0, c)，则a+b+c的值等 于. 6、在同一平面上，⊙、⊙的半径分别为2和1，＝5，则半径为9且与⊙、⊙都相切的圆有 个． 7、一个直角三角形斜边上的两个三等分点与直角顶点的两条连线段长分别为3 cm和4 cm， 则斜边长为cm . 8、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：
则第10个图案中有白色地面砖块. 9、将函数的图像平移，使平移后的图像过C（0，-2），交x轴于A、B两点，并且△ABC 的面积等于4，则平移后的图像顶点坐标是. 10、如图，平行四边形ABCD中，P点是形内一点，且△P AB的面积等于8 cm2，△P AD的 面积等于7 cm2，，△PCB的面积等于12 cm2，则△PCD的面积是cm2. （第10题图）（第11题图） 11、一个由若干个相同大小的小正方体组成的几何组合体，其主视图与左视图均为如图所 示的3 × 3的方格，问该几何组合体至少需要的小正方体个数是. 12、正△ABC内接于⊙O，D、E分别是AB、AC的中点，延长DE交⊙O与F, 连接BF交 AC于点P,则. 二、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分） 13、已知（a+b）∶(b+c)∶(c+a)=7∶14∶9 求：①a∶b∶c②
襄阳市九年级数学中考调研试卷
襄阳市九年级数学中考调研试卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共10题；共20分) 1. （2分）(2019·惠安模拟) 下列各数是无理数的是（） A . 0 B . C . 1.010010001… D . ﹣ 2. （2分）(2018·柘城模拟) 据统计，2013年河南省旅游业总收入达到约亿元若将亿用科学记数法表示为，则n等于（） A . 10 B . 11 C . 12 D . 13 3. （2分）(2018·柘城模拟) 如图所示的几何体的俯视图是（） A . B . C . D . 4. （2分）(2018·柘城模拟) 方程的根为（） A . 或3 B . C . 3 D . 1或 5. （2分）(2018·柘城模拟) 在一次体育测试中，小芳所在小组8人的成绩分别是： ，则这8人体育成绩的中位数和众数分别是（）
A . B . C . D . 6. （2分）(2018·柘城模拟) 方程是关于x的一元二次方程的是（） A . B . C . D . 7. （2分）(2018·柘城模拟) 所示，有一张一个角为的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（） A . 邻边不等的矩形 B . 等腰梯形 C . 有一个角是锐角的菱形 D . 正方形 8. （2分）(2018·柘城模拟) 外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（） A . B . C . D . 9. （2分）(2018·柘城模拟) 在中，，点P从点A出发，以 的速度沿折线运动，最终回到点A，设点P的运动时间为，线段AP的长度为，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）
中考数学模拟试题(附答案)
中考数学模拟试题（附答案） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1x 需满足的条件是（ ） A ．x ＞4 B ．x≥4 C ．x ＜4 D ．x≤4 2．(32)(32)( )a b a b ---= A ．2269b ab a -- B ．2269b ab a -- C ．2294a b - D ．2249b a - 3．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4，DC ＝3，将△ADC 绕点A 按逆时针旋转到△AEF(A 、B 、E 在同一直线上)，连接CF ，则CF 的长为( ) A ．5 B ． C ． D ． 4．在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1为半径作圆，点P 在直线y = +运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为( ) A ．3 B ．2 C D 5．多项式225a -与25a a -的公因式是( ) A ．5a + B ．5a - C ．25a + D ．25a - 6．为了响应中央号召，2012年某市加大财政支农力度，全市农业支出累计约达到53000万元，其中53000万元（保留三位有效数字）用科学记数法可表示为（ ） A ．5.3×107元 B ．5.30×107元 C ．530×108元 D ．5.30×108元 7．甲、乙两地相距600km ，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用4h ，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的3倍，设特快列车的平均行驶速度为xkm/h ，根据题意可列方
程为（ ） A ．600x 6003x +=4 B ． 6003x 600x -=4 C ．600x 6003x -=4 D ．600x 6003x -=4×2 8．一个形如圆锥的冰淇淋纸筒（无盖其底面半径为3cm ，母线长为12cm ，围成这样的冰淇淋纸筒所需扇形纸片的面积为（ ）2cm ． A ．36π B ．72π C ．90π D ．144π 9．下列说法正确的是（ ） A ．若甲、乙两组数据的平均数相同，S 甲2＝0.1，S 乙2＝0.04，则乙组数据较稳定 B ．如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨 C ．了解全国中学生的节水意识应选用普查方式 D ．早上的太阳从西方升起是必然事件 10．下列说法正确的是（ ） A ．弦是直径 B ．平分弦的直径垂直于弦 C ．等弧所对的圆周角相等 D ．相等的圆周角所对的弧是等弧 二、填空题 11．如图，一次函数y ＝k 1x +b 的图象过点A （0，3），且与反比例函数y ＝ 2(0)k x x f 的图象相交于B 、C 两点．若AB ＝BC ，则k 1?k 2的值为_____． 12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠DBC ＝_____度． 13．在平面直角坐标系中，已知()()()2,0,2,2,0,2A B C ，动点E 从点C 出发，以每秒1个单位的速度向下运动，动点F 从点A 出发，以每秒1个单位的速度向右运动，过点A 作BF
自主招生数学试卷(含答案)
中学自主招生数学试卷 一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分） 1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（） A．B．D． 2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（） A．2πB．4πC．2D．4 3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（） A．15 B．20 C．25 D．30 5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（） A．B．2C．3D．6 二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分） 6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是． 7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为． 8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两
点，且=m，=n，则+=． 9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果 将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个． 10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=． 11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是． 三、简答题（共4小题，满分50分） 12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分． 请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由： 班级内环中环外环
重点高中自主招生考试数学试卷集大全集)
6.如图，点A 在函数=y x 6 -)0( 则使等式{}[]4 2=-x x 成立的整数．．=x ． 16.如图，E 、F ABCD 的边AB 、CD 上 的点，AF 与DE 相交于点 P ，BF 与CE 相交于 点Q ，若S △APD 15 =2cm ，S △BQC 25=2cm ， 则阴影部分的面积为 2cm ． . 19.将背面相同，正面分别标有数字 1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上. （1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率； （2）先从中随机抽取一张卡片（不放回．．． ），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则 组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明. 20.为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳 动．若每处安排10人，则还剩15人；若每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不少于10人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数. 21.如图，四边形ABCD 是正方形，点N 是CD 的中点，M 是AD 边上不同于点A 、 D 的点， 若10 10 sin = ∠ABM ，求证:MBC NMB ∠=∠. 22.如图，抛物线的顶点坐标是?? ? ??892 5，－，且经过点) 14 , 8 (A . (1)求该抛物线的解析式； (2)设该抛物线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于C 、D 两点（点C 在点D 的左边）， 试求点B 、C 、D 的坐标； (3)设点P 是x 轴上的任意一点，分别连结AC 、BC ．试判断：PB PA +与BC AC +23.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，点(第21题图) N (第22题图) C D F （第16题图） 海南省2007年中考数学试题 数 学 科 试 卷 （含超量题全卷满分 110分，考试时间100分钟） 注意： 1、答案务必答在答题卡上规定的范围内，答在试题卷上无效. 2、涂写答案前请认真阅读答题卡上的注意事项. 一、选择题（本大题满分20分，每小题2分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的 字母代号按要求．．．用2B 铅笔涂黑. 1．下列运算结果等于1的是 A ．-2+1 B ．-12 C ．-（-1） D ． -|-1| 2．小明在下面的计算中，有一道题做错了，则他做错的题目是 A ．523x x x =? B. 623)(x x = C. 426x x x =÷ D. 422x x x =+ 3．将一圆形纸片对折后再对折得图1，然后沿着图中的虚线剪开，得①、②两部分，将②展开后的平面图形可以是图2中的 4．把不等式组?? ?≥->+0 101x x 的解集表示在数轴上，正确的是 5．下列调查，不适合采用抽样方式的是 A ．要了解一批灯泡的使用寿命 B ．要了解海南电视台“直播海南”栏目的收视率 B D C A 图2 图1 ① ② A B C D 图3 C ．要保证“神舟六号”载人飞船成功发射，对重要零部件的检查 D ．要了解外地游客对海南旅游服务行业的满意度 6．代数式1 1+-x x 有意义时，x 的取值范围是 A ．1-≠x B ．0≠x C ．1≠x D ．1±≠x 7. 由6个大小相同的正方形搭成的几何体如图3所示，则关于它的视图说法正确的是 A. 正视图的面积最大 B. 左视图的面积最大 C. 俯视图的面积最大 D. 三个视图的面积最大 8．如图4，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ∥BC ，∠0AC=20°，则∠AOB 的度数是 A ．10° B ．25° C ．30° D ．40° 9．将一矩形纸片按图5的方式折叠，BC 、BD 为折痕，折叠后A / B 与E / B 在同一条直线上，则下列结论中，不一定正确的是 A. ∠CBD=90° B.DE / ⊥A / B C. △A / BC ≌△E / DB D. △ABC ≌△EDB 10. 一个面积等于3的三角形被平行于一边的直线截成一个小三角形和梯形，若小三角形和梯形的面积分别是y 和x ，则y 关于x 的函数图象大致是图6中的 二、填空题（本大题满分24分，每小题3分） 11.计算: =+-2)2 1 (313 12 ． 12．某工厂原计划x 天生产50件产品，若现在需要比原计划提前1天完成，则现在每天要生产产品 件. 13．观察下列等式：(1+2)2-4×1=12+4，(2+2)2-4×2=22+4，(3+2)2-4×3=32+4，(4+2)2 -4×4=42 +4，…，则第n 个等式可以是 . C O 图4 A B A B D C 图6 A E B D C A / E / 图5 2020年中考数学模拟试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的. 1．下列各数中，倒数最小的是（ ） A ．﹣5 B ．51 - C ．5 D ．15 2．2020年3月12日，中科院宣布国内学者已经掌握了用“纳米”画笔“绘制”各种需要 的芯片，针对于此，厚度仅为0.3nm 的低维材料应运而生. 已知1nm ＝10﹣9m ，则0.3nm 用科 学记数法表示为（ ） A ．0.3×10﹣10 m B ．3×10﹣10m C ．0.3×10﹣11m D ．30×10﹣11m 3．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD，过点O 作OF ⊥OE ，若∠AOC ＝42°，则∠BOF 的度数为（ ） A ．48° B ．52° C ．64° D ．69° 4．下列运算正确的是（ ） A ．426a a a +＝ B ．()32826a a --＝ C ．65a a -＝ D ．325?a a a ＝ 5．如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A ． B ． C ． D ． 6．关于x 的一元二次方程()()132x x x --=--，下面说法正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个实数根 D ．没有实数根 7．若一组数据4， 9，5，m ，3的平均数是5，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A ．9，3 B ．4，5 C ．4，4 D ．5，3 8．某车间接了生产12000只口罩的订单，加工4800个口罩后，采用了的新的工艺，效率是原来的1.5倍，任务完成后发现比原计划少用了2个小时.设采用新工艺之前每小时可生产口罩x 个，依据题意可得方程（） A ．480012000480021.5x x --= B ．1200012000480021.5 1.5x x --= 2018上海中学数学自主招生试卷及答案 1. 因式分解：326114x x x -++= 【答案】(1)(34)(21)x x x --+ 【解析】有理根法，有理根p c q = ，分子是常数项的因数，分母是首项系数的因数。 2. 设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- 【答案】3 【解析】左右同除以ab ，然后采用换元法；或者采用下面的方式 3. 若210x x +-=，则3223x x ++= 【答案】4 【解析】采用降幂来完成； 4. 已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a += 【答案】2 【解析】同除以a ，然后采用换元法 ()2 2 440b c b c a a ++-+= 5. 一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜 色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 【答案】 4 9 【解析】难度简单，直接为2/3的平方 6. 直线:33l y x =-+与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ?关于直线AB 对称得到ACB ?， 则点C 的坐标是 【答案】33 (, )2 【解析】采用画图的方法解决 7. 一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是 【答案】 454 【解析】 8. 任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2 n ），如果n 是奇数，则将它乘以3 加1（即31n ），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上 述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为 【答案】128、2、16、20、3、21 【解析】 东营市2017年三轮复习模拟试题演练（第一套） 一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，满分60分） 1．﹣的相反数是（） A．﹣B．C．﹣5 D．5 2．下列运算正确的是（） A．3﹣1=﹣3 B．=±3 C．（ab2）3=a3b6D．a6÷a2=a3 3．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（） A．B．C．D． 4．第六次全国人口普查数据显示，德州市常驻人口约为556.82万人，此数用科学记数法表示正确的是（） A．556.82×104B．5.5682×102C．5.5682×106D．5.5682×105 5．如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不同的几何体是（） A．①②B．②③C．②④D．③④ 6．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（） A．45°B．54°C．40°D．50° 7．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长） 为（） A．4km B．2km C．2km D．（+1）km 8．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（） A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60° 9．对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表： 年龄14 15 16 17 18 人数 5 6 6 7 2 则这些学生年龄的众数和中位数分别是（） A．17，15.5 B．17，16 C．15，15.5 D．16，16 10．如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=2，则MF的长是（） A．B．C．1 D． 11．函数y=mx+n与y=，其中m≠0，n≠0，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（） 2021中考数学信息试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1．6-的绝对值等于（ ） A ．6 B ．1 6 C ．1 6 - D ．6- 2．下列计算正确的是( ) A ．2 x x x += B. 2x x x ?= C.235()x x = D.32 x x x ÷= 3． 一个几何体的主视图和左视图都是正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体是（ ） A ．长方体 B ．正方体 C ．圆锥 D ．圆柱 4．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，且∠ABC =50°，∠ACB =80°， 则∠BOC 是（ ） A. 110° B. 115° C. 120° D. 125° 第4题 第7题 第8题 5．下列说法正确的是（ ） A ．要了解人们对“低碳生活”的了解程度，宜采用普查方式 B ．一组数据3、4、5、5、6、7的众数和中位数都是5 C ．随机事件的概率为50%，必然事件的概率为100% D ．若甲组数据的方差是0.168，乙组数据的方差是0.034，则甲组数据比乙组数据稳定 6．圆锥的侧面积为8π ，母线长为4，则它的底面半径为（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．4 7．如图，将宽为1cm 的纸条沿BC 折叠，使∠CAB ＝45°，则折叠后重叠部分的面积为（ ） A ． 2cm 2 B ． 22cm 2 C ．3 2 cm 2 D ． 3cm 2 8．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线 l 将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l 的解析式为 （ ） A ．y=x 53 B ．y=x 43 C ．y=x 10 9 D ．y=x 二、填空题（每题3分，共30分） 45° C B A 高中自主招生考试数学试卷 亲爱的同学： 欢迎你参加萧山中学自主招生考试。萧山中学是省一级重点中学，有雄厚的师资，优秀的学生，先进的育人理念，还有美丽的校园，相信你的加盟将使她更加星光灿烂。为了你能顺利地参加本次考试，请你仔细阅读下面的话： 1、试卷分试题卷和答题卷两部分。满分为100分，考试时间为70分钟。 2、答题时，应该在答题卷密封区内写明姓名、学校和准考证号码。 3、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应。 一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1．计算tan602sin 452cos30?+?-?的结果是（ ） A ．2 B ．2 C ．1 D ．3 2．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30?到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ） A ．313 - B ． 33 C ．314 - D ． 12 3．已知b a ,为实数，且1=ab ，设11+++= b b a a M ，1 1 11++ +=b a N ，则N M ,的大小关系是（ ） A ．N M > B ．N M = C ．N M < D ．无法确定 4. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的 4 1 ，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( ) A ．20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D ．26分钟 5.二次函数1422 ++-=x x y 的图象如何移动就得到2 2x y -=的图象（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。 B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。 C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。 D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。 6．下列名人中：①比尔?盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ） A ．①④⑦ B ．②④⑧ C ．②⑥⑧ D ．②⑤⑥ 7．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方 式如下表所示： 欲购买的 商品 原价（元） 优惠方式 A B C D B ' D C ' 上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题（每小题５分，共50分) １．设函数 () f x 满足 2(3)(23)61 f x f x x +-=+,则 ()f x = . 2.设,,a b c 均为实数，且364a b ==,则11a b -= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ． 4．设扇形的周长为６,则其面积的最大值为 . 5．11!22!33!!n n ?+?+?++?= . ６.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ?，则k 的最小值为 . ７ . 设 函 数 ()x f x x = ,则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= ． 8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ,则a = ． 9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10.已知函数121 ()1 x f x x -= +,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若 355()()f x f x =，则28()f x = . 二、计算与证明题(每小题10分，共50分) １1.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当 10,4r mm h mm ==时，R 的值． 1２.设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像． １３．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标. 参考答案: 江苏省无锡市滨湖区2018届数学调研考试试卷 一、单选题 1.下列运算正确的是（） A. (a3)2＝a6 B. 2a＋3a＝5a2 C. a8÷a4＝a2 D. a2·a3＝a6 【答案】A 【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项法则及应用 【解析】【解答】A、(a3)2＝a6，原式计算正确，符合题意； B、2a+3a=5a，原式计算错误，不符合题意； C、a8÷a4＝a4，原式计算错误，不符合题意； D、a2·a3＝a5，原式计算错误，不符合题意. 故答案为：A. 【分析】（1）幂的乘方法则;底数不变，指数相乘； （2）合并同类项：系数相加，字母和字母的指数不变； （3）同底数的幂相除，底数不变，指数相减； （4）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形 【解析】【解答】A选项中的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B选项中的图案不是轴对称图形，而是中心对称图形，不符合题意； C选项中的图案是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D选项中的图案是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故答案为：A. 【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，这个图形的两部分能完全重合，那么这个图形是轴对称图形。中心对称图形是指:在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形是中心对称图形。根据定义即可判断结果。 3.如图，一个由6个大小相同、棱长为1的正方体搭成的几何体，下列关于这个几何体的说法正确的是（） A. 主视图的面积为6 B. 左视图的面积为2 C. 俯视图的面积为4 D. 俯视图的面积为3 【答案】C 【考点】简单几何体的三视图 【解析】【解答】A. 从主视图看，可以看到5个面，不符合题意； B. 从左视图看，可以看到3个面，不符合题意； C. 从俯视图看，可以看到4个面，符合题意； 中考数学全真模拟试题 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中唯一的正确选项） 1．－5的相反数是（ ） A. －5 B. 5 C. 1 5 D. 1 5- 2．下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） 3．如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的俯视图是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．要使分式 3 2x x --有意义，则x 的取值应满足（ ） A ．x 3≠ B ．x 2≠ C ．2x < D ．x>2 5．某校7名初中男生参加引体向上体育测试的成绩分别为：8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A ．6，7 B ．8，6 C ． 5，7 D ． 8，7 6．下列运算正确的是（ ） A. 632a a a =? B.222)(b a b a +=+ C. 236()a a -=- D. 235a a a += 7．将二次函数3)2(2---=x y 的图象先向右平移2个单位，再向上平移2单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A ．2y 1x =-- B ．2y 5x =-- C ．()2y x 41=--- D ．()2y x 45=--- 8AB O C D D=20BAC ∠∠o e 、如图，是直径，，是圆上的点，若，则的值是（ ） A ．20o B ．60o C ．70o D ．80o 9．某校组织1080名学生去外地参观，现有A 、B 两种不同型号的客车可供选择。在每辆 （第 3题图） 主视方向 第8题 A 车刚好满座的前提下，每辆B 型客车比每辆A 型客车多坐15人，单独选择B 型客车比单独选择A 型客车少租12辆，设A 型客车每辆坐x 人，根据题意列方程为（ ） A 、 108010801215x x =+- B 、108010801215x x =-- C 、108010801215x x =++ D 、10801080 1215 x x =-+ () 6 y S S A 10.OAD BCD A AO x B AB ABC C AC x D =V V V 点在反比例函数= 在第一象限的图象上，连结并延长交另一分支于点，以为斜边作等腰直角，顶点在第四象限，与轴交于点。若，则点的横 坐标为 A ．2 B ． C D ．1 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．分解因式： 2484x x -+=_____________． 12．在一个不透明的盒子中装有1个白球和2个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同， 则从中随机摸出两个球是一白一黄的概率是_________ ． 13．抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点的坐标为（﹣3，0），则 与x 轴另一个交点坐标为_______． 14.关于x 的一元二次方程210mx x -+=总有实数根，则m 应满足的条件是__________． 15．如图用两个完全相同的1cm ×4cm 长方形纸片，其中心用细铁丝串起来，使纸片交叉 叠合，旋转纸片，保持重叠部分形状为菱形，则菱形的最大面积是_______2 cm ． 2017高中自主招生考试数学模拟试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）． 1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（） A ． m＞3 B．m≥3C．m≤3D． m＜3 2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（） （2）（3）A．B．C．D． 3．（3分）（2011?南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（） A．到CD的距离保持不变B．位置不变 C． 等分 D．随C点移动而移动 4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（） A． 2﹣1 B． 4﹣2 C． 3﹣2 D． 2﹣2 5．（3分）（2010?泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（） A．B．C．D． 6．（3分）如图（6），已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（） A． 6圈B．圈C． 7圈D． 8圈 7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图（7），则以下结论正确的有：①abc＞0； ②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（） （6）（7）（8）A． 2个B． 3个C． 4个D． 5个 8．（3分）如图8，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，如果，那么△ABC的内切圆半径为（） A． 1 B．C． 2 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）与是相反数，计算=_________． 10．（3分）若[x]表示不超过x的最大整数，，则[A]=_________． 11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则= _________． （11）（12） 12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为_________． 实用文档 2019-2020年中考数学调研测试题答案 一BDBCB ABDCD 二、11.2.84×106 12.x ≥2 13.5 14.a(a+1)2 15.2≥x ＞-1 16. 17.22只 18. 19. 或 20. 4 三．21.x+1 22.（1）（-1,0） (2) （3）5 23.(1)380 (2)xx (3)中学生20800 小学生10400 24.（1）先证△ADE ≌△ABE 可得∠DEF =∠BEF ∵DE=DF ∴∠DEF =∠BEF=∠DFE ∴BE ∥DF, BE=DF, ∴四边形DEBF 是菱形 (2)平行四边形BGEN 和平行四边形MEHD, 平行四边形AMNB 和平行四边形AGHD 平行四边形BGHC 和平行四边形MNCD 25．(1)50人，70人 （2）11xx 元 26.（1）∠C+∠BDE=180°，∠ADE+∠BDE=180°∴∠C=∠ADE ∵AB ∥OE ∴∠DEO=∠ADE ∵OE=OC ∴∠C=∠OEC ∴∠DEO =∠OEC ∴ OE 平分∠DEC; （2）连接OD ，△ADE ∽△ABC ，=cosA= 所以2DE=BC,△ODE 为等边三角形，∠ADE=∠ACB=∠OEC=∠EOF ，∠ADE+∠ODG=∠EOF+∠DOG=120°，ODG =∠DOG=∠DBO ，OG=DG （3）连接CD ，△OBD ∽△ODG （角角），OD=，tan ∠ABC=tan ∠AED=,AE=3,AD=4 CE=5, △OEF ∽△OEC ，CF= F E D O B C 图2 实用文档 27.解（1）y=-x 2 +4x+5 （2）∵D 为抛物线的顶点，DE ⊥x 轴，∴D （2，9），E （2，0），∴OE=2, 由题意可知DE ∥y 轴，∴∠FEC=∠COE ，∵OC=5∴tan ∠OCE=tan ∠FEC=，CE=∵tan ∠FCE=,解三角形CEF 得EF=4 ∴F （2，4） （3）过P 作PK ⊥y 轴于点K ，PK 交DF 于点R ，过F 作FL ⊥QH 于点L ，DF 交PC 于M, 设点P 坐标为（t ，-t 2+4t+5），则DR=9-（-t 2+4t+5）=t 2-4t+4=(t-2)2，PR=t-2 ∴PK=t ，CK=-t 2+4t+5-5=-t 2+4t ，∴tan ∠KCP= ∵D （2，9），∴直线DP 的解析式为y=-（t-2）x+2t+5 ∵点Q 的横坐标为， ∴Q （，） ∴QL=-4=，LF= ∴tan ∠FQL=t t QL LF -=+-=41102525=tan ∠KCP ，∴∠FQL=∠KCP ∵DE ⊥x 轴，QH ⊥x 轴，∴y 轴∥DE ∥QH ，∴∠CMF=∠KCP ，∠RFQ=∠FQL ∴∠CMF=∠RFQ ，∴CP ∥FQ ∴∠CPQ+∠FQP=180°，∵∠CPQ=∠FQP ，∴∠CPQ=∠FQP=90° ∴∠DPR+∠KPC=90°，∵∠KCP+∠KPC=90°，∴∠DPR=∠KCP ∴tan ∠DPR=tan ∠KCP= 解得t 1=t 2=3，∴P （3，8）可求DP= 29764 7444 瑄;22258 56F2 囲A,29318 7286 犆27085 69CD 槍22343 5747 均33867 844B 葋a26361 66F9 曹hl25746 6492 撒31188 79D4 秔 2019-2020年中考数学模拟考试试题（五四制） 第I 卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）下列各题所给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确选项的字母代号填入第Ⅱ卷的表格中. 1、下列各式：①②③④ ⑤其中计算正确的有（）个。 A．1 B.2 C. 3 D. 4 2、为了美化城市，建设中的某小广场准备用边长相等的正方形和正八边形两种地砖镶嵌地面，在每一个顶点周围，正方形、正八边形地砖的块数分别是（）A．1，2 B．2，1 C．2，3 D．3，2 3、如图，在等边中，为边上一点，为边上 一点，且则的边长为（） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 4、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC 的长为（） A、1 B、2 C、D、 5、如图所示的工件的主视 图是（） 6、如图，扇形DOE的半径为3，边长为的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为（） A． B． C D． 7、若与|x－y－3|互为相反数，则x＋y的值为( ) A．3 B．9 C．12 D．27 8、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠O)的图象如图所示，现有下列结 论： ①ab c>0 ②b2-4ac<0 ⑤c<4b ④a+b>0，则其中正确结论的 个数是 ( ) A．1个 B．2个 C．3个D．4个 9、已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点 ．．．在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是( ) 10、如图，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在x轴上，边 OC在y轴上．若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似，且 矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC 面积的 1 4 ，则点B1的坐标是（） A．(3，2) B．(－2，－3) C．(2，3)或(－2，－3) D．(3，2)或(－3，－2) 11、如图，点A是反比例函数y=(x＞0)的图象上任意一点，AB∥x 轴交反比例函数y=－的图象于点B，以AB为边作□ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 12、如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（） A．（10π﹣）米2 B.（π﹣）米2 C.（6π﹣）米2 D．（6π﹣）米 第I 卷选择题答案表 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 得分 评卷人 答案 第 II 卷（非选择题，共84分）中考数学考试试卷
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