高二第一学期数学-矩阵和行列式初步

矩阵与行列式习题

本试卷共18题，时间60分钟，满分100分）

班级：姓名：一、填空选择题：（每题3分，共36分）

1、已知46x A y ??= ???，13u B v ??

= ???

，且A B =，那么A+AB= 。

2、设231001252437A B -????

==- ?

? ? ?-??

，则3A –4B 为。

3、设A 为二阶矩阵，其元素满足，0a a ji ij =+，i=1，2，j=1，2，且2a a 2112=-，那

么矩阵 A= .

4、设2442,1221A B -????

== ? ?-???? 則32A B - = ,=AB ，

=BA

5、若点A 在矩阵1222-????-??

对应的变换作用下得到的点为（3，- 4），那么点A 的坐标

为 .

6、若202137x y -??????

??? ?-??????

，则x y +=___________. 7、

1212a a b b =1,则1212

2233b b a a =-- _____ 。 8、（1）行列式z kc c y kb b x

ka a = ；（2）211

1__________11

-= 9、已知1

21342

D -=---，则21a 的代数余子式21A = 。 10、已知2

4132

01x x 的代数余子式012=A ，则代数余子式=21A

11、设A 为3阶方阵，且3A =，则2A -=______________

12、如果方程组???=++=++010

1dy cx by ax 的系数行列式1=d c b a ，那么它的解为

二、简答题（每题8分，共64分）

1、已知?

???

??-=533201A ?

???

??-=013164245B 求()AB .

已知1011A ??= ???

，分别计算23

A A 、，猜测*(2)n A n n ≥∈N ，；

3. 将下列线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解:

⑴ 32110250x y x y --=??+-=?

；

⑵111612102113x y z ??????

??? ?-= ??? ? ??? ?-??????

4、已知函数f(x)=x

a x

+1111

1 ，其中a 是实数，求函数f(x)在区间[2,5]上的

最小值。

5、计算D=a

a a a a -----11

01的值

6. 用行列式解下列方程组：

（1）???=++=+-0162032y x y x ；（2）?

??=+=++5lg 4lg 30

1lg 5lg 2y x x y ．

7. 若关于x 、y 、z 的方程组：??

??=+=++=++m z x m z m y x z y x 21

2有唯一解，求m 所满足的条件，并求出唯

一解．

8. 解关于x 、y 、z 的三元一次方程组??

??=+-=++=++31z y x a z ay x az y x ，并讨论解的情况．

1． (上海 3) 若行列式

417 5 x x 3 8 9

中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是______

2．（2010年高考上海市理科4）行列式的值是。

3．（2010年上海市春季高考11) 方程的解集为。

4.(2011·上海)行列式??????a b c d (a ，b ，c ，d ∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________．

5．(2012年高考上海卷理科3)函数1

sin cos 2)(-= x x x f 的值域是 .

6．【上海市青浦区2013届高三上学期期末文】若=6

222

c b a 222222C c B b A a ++，则

2C 化简后的最后结果等于____ _______．

7．【上海市松江区2013届高三上学期期末文】若行列式

,02

=-x 则=x ．

矩阵与行列式(20131220)课后作业答案

本试卷共18题，时间60分钟，满分100分）

班级：姓名：一、填空选择题：（每题3分，共36分）

1、已知46x A y ??= ???，13u B v ??

= ???

，且A B =，那么A+AB=

???

??36302026 。 2、设231001252437A B -???? ? ?==- ?

? ? ?

-??

??，则3A –4B 为 ????

? ??----402396810

。

3、设A 为二阶矩阵，其元素满足，0a a ji ij =+，i=1，2，j=1，2，且2a a 2112=-，那

么矩阵 A= ?

??-0110 . 4、设2442,1221A B -????== ? ?-???? 則32A B - = ????

??---47162 ,

AB 00 ，=BA ???

? ??--63126

5、若点A 在矩阵1222-????-??对应的变换作用下下得到的点为（3，- 4），那么点A 的坐标为

(7,5) .

6、若202137x y -??????

??? ?-??????

，则x y +=1_. 7、

1212a a b b =1,则1212

2233b b a a =-- ____6_ 。

8、（1）行列式z kc c y kb b x ka a = 0；（2）211

1__________11

-= 6. 9、已知1

21342

D -=---，则21a 的代数余子式21A = -12 。 10、已知24132

01x x 的代数余子式012=A ，则代数余子式=21A 4

11、设A 为3阶方阵，且3A =，则2A -=__-24___

12、如果方程组???=++=++010

1dy cx by ax 的系数行列式1=d c b a ，那么它的解为

?-=-=a c y d

b x __其中ad-bc=1_

二、简答题（每题8分，共64分）

1、已知????

??-=533201A ?

???

? ??-=013164245B 求()AB .

解：AB=?

??---32354221 2.

已知1011A ??= ???

，分别计算23A A 、，猜测*

(2)n A n n ≥∈N ，；

解：A 2=???? ??101n ;A 3=???? ??1301;A n =???

??101n 3. 将下列线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解:

⑴ 32110

250x y x y --=??+-=?

；

⑵111612102113x y z ??????

??? ?-= ??? ? ??? ?-??????

解：（1）?

??-5111223?????

??-

????→?+-?25311211321)2()1()1(???? ???→????

???→? X=3,y=-1;

(2)x=1,y=2,z=3.

4、已知函数f(x)=x

a x

+1111

1 ，其中a 是实数，求函数f(x)在区间[2,5]上的

最小值。

解：f(x)=x 2-x;x ?[2,5]? f(x)在[2,5]上↑?f min =f(2)=2。

5、计算D=a

a a a a

-----11

01的值

解：D=1-a+a 2-a 3

6. 用行列式解下列方程组：

（1）??

?=++=+-0162032y x y x ；（2）???=+=++5

lg 4lg 30

1lg 5lg 2y x x y ．

解：(1)D=10,D x =-20,D y =5,x=-2,y=1/2; (2)x=1/10,y=100.

7. 若关于x 、y 、z 的方程组：??

??=+=++=++m z x m z m y x z y x 212有唯一解，求m 所满足的条件，并求出唯

一解．

解：唯一解?D=m 2-1≠0 ? m ≠ ±1;

m m m x +-+=11222,y=1-2m,z=1

1+m .

8. 解关于x 、y 、z 的三元一次方程组??

??=+-=++=++31

z y x a z ay x az y x ，并讨论解的情况．

解：D=1-a 2, D x =4-4a 2,D y =-a 2+4a-3, D z =4a-4, (1)若a ≠ ±1,则D ≠ 0，方程有唯一解：x=4, 13

+-=

a a y .1

4+-=a z . (2)若a=1,则D=D x =D y =D z =0，方程有无穷多组解；

(3) 若a=-1,则D=0,但D y ≠0，方程无解。

2． (上海 3) 若行列式9

8731

中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是

___43

≠>

x x 且___； 2．（2010年高考上海市理科4）行列式的值是 0 。

3．（2010年上海市春季高考11) 方程的解集为 {-3，2} 。

4.(2011·上海)行列式??????a b c d (a ，b ，c ，d ∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是_6_______．

5．(2012年高考上海卷理科3)函数1

sin cos 2)(-= x x x f 的值域是 ??

???--

23,25 .

6．【上海市青浦区2013届高三上学期期末文】若=6

222

c b a 222222C c B b A a ++，则2C 化简后的最后结果等于_2____．

8．【上海市松江区2013届高三上学期期末文】若行列式

,02

21=-x 则=x 2 ．

行列式跟矩阵的关系

行列式跟矩阵的关系行列式是若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。矩阵由数组成，或更一般的，由某元素组成。就是m×n 矩阵就是mn个数排成m个横行n个竖列的阵式。n×n矩阵的行列式是通过一个定义，得到跟这个矩阵对应的一个数，具体定义可以去看书。注意，矩阵是一个阵式，方阵的行列式是跟一个方阵对应一个数。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。也可以这样解释：行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和，和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定：若逆序数之和为偶数，则该项为正；若逆序数之和为奇数，则该项为负。行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练：复数与行列式

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练复数与行列式一、复数 1、（2018上海高考）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 2、（2017上海高考）已知复数z 满足3 0z z +=，则||z = 3、（2016上海高考）设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =__________________ 4、（宝山区2018高三上期末）若i z i 23-+= （其中i 为虚数单位），则Imz = ． 5、（崇明区2018高三上期末（一模））若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= ． 6、（奉贤区2018高三上期末）复数 i +12 的虚部是________. 7、（静安区2018高三二模）若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z = 8、（普陀区2018高三二模）已知i 为虚数单位，若复数2(i)i a +为正实数，则实数a 的值为……………………………（） )A (2 ()B 1 ()C 0 ()D 1- 9、（青浦区2018高三二模）若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 10、（青浦区2018高三上期末）已知复数i 2i z =+（i 为虚数单位），则z z ?= ． 11、（松江、闵行区2018高三二模）设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = ． 12、（松江区2018高三上期末）若i -2是关于x 的方程02 =++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q p ∈,），则q 的值为 A. 5- B. 5 C. 3- D. 3 13、（杨浦区2018高三上期末）在复平面内，复数2i z i -= 对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14、（浦东新区2018高三二模）已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ，若12||1x x -=，则实数p 的值为（） A. 3± B. 5± C. 3，5 D. 3±，5± 15、（浦东新区2018高三二模）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212||||||z z z z +≤+；（2）1212||||||z z z z ?=?；（3）123123()()z z z z z z ??=??，相应的在向量运算中，下列式子：（1）

矩阵行列式的概念与运算

知识点总结：一、矩阵的概念与运算 1、矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、如：1112131112111221222321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ??????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、矩阵乘法不满足交换率，如111 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解二元一次方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记 2 211b a b a 叫做方程组的系数

高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析

高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析 1．定义运算?? ????++=?????????????df ce bf ae f e d c b a ，如??? ???=?????????????1514543021.已知πβα=+， 2 π βα=-，则=? ? ? ???????? ??ββααααsin cos sin cos cos sin （）. A. 00?? ???? B. 01?????? C. 10?????? D. 11?????? 2．定义运算 a b ad bc c d =-,则符合条件 120 121z i i i +=--的复数z 对应的点在 ( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 3．矩阵E =??? ? ??1001的特征值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意实数 4．若行列式21 24 1 013 9x x =-，则=x ． 5．若2021310x y -??????= ??? ?-?????? ，则x y += ． 6．已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-?? ??? ，则 x y -=_______． 7．矩阵1141?? ???? 的特征值为． 8．已知变换100M b ?? =? ??? ，点(2,1)A -在变换M 下变换为点(,1)A a '，则a b += 9．配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10ml 到110ml 之间，用0.618 法寻找最佳加入量时，若第一试点是差点，第二试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量可以是； 10．已知，，则y= ． 11．若2211 x x x y y y =--，则______x y +=

上海版教材矩阵与行列式习题(有问题详解)

矩阵、行列式和算法（20131224）成绩一、填空题 1.行列式 cos sin 3 6 sin cos 3 6 π π π π 的值是 . 2.行列式 a b c d （,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 . 3.将方程组203253x y z x y =?? +=??+=? 写成系数矩阵形式为 . 4.若由命题A :“ 2 2031x x ”能推出命题B :“x a >”，则a 的取值围是． 5.若方程组111 222a x b y c a x b y c +=??+=?的解为2,1==y x ，则方程组 ?? ?=++=++03520 352222 111c y a x b c y a x b 的解为x = ，y = . 6.方程21 24 1 013 9 x x ≤-的解集为 . 7.把 22111133 33 22 2 4 x y x y x y x y x y x y +- 表示成一个三阶行列式为 . 8.若ABC ?的三个顶点坐标为(1,2),(2,3),(4,5)A B C ----，其面积为 .

9.在函数()211 1 2 x f x x x x x -=--中3x 的系数是 . 10.若执行如图1所示的框图，输入12341,2,4,8,x x x x ====则输出的数等于 . 11.矩阵的一种运算,???? ??++=???? ??????? ??dy cx by ax y x d c b a 该运算的几何意义为平面上的点),(y x 在矩阵??? ? ??d c b a 的作用下变换成点(,)ax by cx dy ++，若曲线10x y +-=在矩阵??? ? ??11b a 的作用下变换成曲线10x y --=，则a b +的值为 . 12.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和奇数b 构成以原点为起点的向量(),a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则m n = 二.选择题 13.系数行列式0D =是三元一次方程组无解的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 14.下列选项中错误的是（）. A. b d a c d b c a - = B. a b c d d b c a = C. d c d b c a 33++ d c b a = D. d c b a d b c a ----- =

2018-2019学年上海市华师大二附中高二上学期期末数学试题(解析版)

上海市华师大二附中高二上学期期末数学试题一、单选题 1．关于x 、y 的二次一次方程组50 234 x y x y +=??+=?，其中行列式x D 为（） A. 0543 - B. 1024 C. 0543 D. 05 43 - 【答案】C 【解析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．【详解】解：关于x 、y 的二元一次方程组50 234 x y x y +=?? +=?的系数行列式： 453 0x D = ．故选：C ．【点睛】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用． 2．使复数z 为实数的充分而不必要条件的是（） A.2z 为实数 B.z z +为实数 C.z z = D.z z = 【答案】D 【解析】一个复数为实数的充分必要条件是它的虚部为0，根据这个充要条件对各个项加以判别，发现A 、B 都没有充分性，而C 是充分必要条件，由此不难得出正确的选项．【详解】解：设复数z a bi =+（i 是虚数单位），则复数z 为实数的充分必要条件为0b = 由此可看出：对于A ，2z 为实数，可能z i =是纯虚数，没有充分性，故不符合题意；对于B ，同样若z 是纯虚数，则0z z +=为实数，没有充分性，故不符合题意；对于C ，若,,z a bi z a bi z z =+=-=等价0b =，故是充分必要条件，故不符合题意；

对于D ，若0z z =≥，说明z 是实数，反之若z 是负实数，则z z =不成立，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了复数的分类，共轭复数和充分必要条件的判断，属于基础题．熟练掌握复数有关概念，是解决本题的关键． 3．下列动点M 的轨迹不在某一直线上的是（） A.动点M 到直线4350x y +-=和43100x y ++=的距离和为3 B.动点M 到直线()1,0和()1,0-的距离和为2 C.动点M 到直线()0,2和()0,2-的距离差为4 D.动点M 到点()2,3和到210x y --=的距离相等4 【答案】A 【解析】利用平行线之间的距离，判断选项A 的正误；利用两点间距离个数判断B 的正误；轨迹方程判断C ，D 的正误；【详解】解：直线4350x y +-=和43100x y ++= 3=，所以动点M 到直线4350x y +-=和43100x y ++=的距离和为3，动点的轨迹是平行线之间的区域．满足题意．动点M 到直线（1，0）和（?1，0）的距离和为2，是两点之间的线段，轨迹在一条直线上，所以B 不正确；动点M 到直线（0，2）和（0，?2）的距离差为4，是两条射线，在一条直线上，所以C 不正确；动点M 到点（2，3）和到210x y --=的距离相等，动点M 的轨迹是经过（2，3）与直线垂直的直线，所以D 不正确；故选：A ．【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆221:12C x y +=和22 2:14C x y +=，又点A

9.4.2 三阶行列式(含答案)

【课堂例题】例1.解关于,,x y z 的方程组：13x y mz x my z m x y z ++=?? ++=??-+=? 例2.已知行列式2 40 2 101 01 D -=--，写出第一列元素的代数余子式.

【知识再现】 1.设关于,,x y z 的三元线性方程组111122223 333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=?? ++=??++=?，其中a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3、c 1、 c 2、c 3不全为零. 若记1 11 2 223 3 3 a b c D a b c a b c =， x D = ， y D = ， z D = 当D ，方程组有唯一解：x = ，y = ，z = . 当0D =且,,x y z D D D 至少有一个不为零时，方程组 . 当0x y z D D D D ====时，方程组 . 【基础训练】 1.方程组273514223x y z x y x y -+=?? -=??-=? 的系数行列式为，系数行列式的值为 . 2.已知方程组10x my z x my z m mx y z ++=-?? -+=??++=? ， (1)该方程组有唯一解，则实数m 的取值范围是 . (2)若0m =，则该方程组解的情况为 . 3.关于,,x y z 的方程组1111 22223 333(1)a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=?? ++=??++=?中，若记111 2 2233 3 a b c D a b c a b c =，则“0D =” 是“方程组(1)有无穷多组解”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 4.任写两个关于,,x y z 的线性方程组，要求满足0x y z D D D D ====，但第一个方程组要求无解，第二个方程组要求有无穷多解. ， .

高中数学沪教版(上海)高二第一学期9.3二阶行列式_导学案

二阶行列式【学习目标】 1．理解二阶矩阵的概念。 2．会利用对角线写出二阶行列式的展开式。【学习重难点】 1．熟练掌握二元一次方程与二阶矩阵之间的转化。 2．会化简二阶矩阵。【学习过程】一、新课的概念 1．称为______________，算式_____________叫做此行列式的展开式，其计算结果叫做_____________，_____________叫做行列式的元素。 2．利用对角线可把二阶行列式写成它的展开式，这种方法叫做二阶行列式展开的_____________； 3．二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a （其中x ，y 未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数且不全为零，21,c c 是常数项）的系数行列式是D ＝________，Dx ＝________，Dy ＝________，当0≠D 时，方程组的解可用二阶行列式表示为???==y x ________。二、例题讲解展开并化简下列行列式：（1）43 75；（2）3475 ；（3） cos sin sin cos θθθθ-。

2．若236 031x x -=+，求x 的值。 4．用行列式解下列二元一次方程组：（1）???=+=+-61548 115y x y x ；（2）???=+=01-20 5--3y x y x 。三、练习： 1．二元一次方程组???=+=+37 23y x y x 的系数行列式是D ＝________， Dx ＝________，Dy ＝ ________，则x ＝________，y ＝_______。 2．展开并化简下列行列式：（1）12 34--；（2 ；

矩阵与行列式的相似与不同

矩阵与行列式的相似与不同学校：长江大学院系：信息与数学学院专业：信息与计算科学姓名：郑洲辅导老师：谢老师

【摘要】:本文中主要讨论了高等代数中矩阵和行列式的概念，并且从概念，性质以及运算几个方面阐述了行列式与矩阵的相似与不同。【关键词】:矩阵.行列式.相似与区别矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。数学上,一个m×n的矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列.矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。其重要的作用是解线性方程组和表示线性变换。行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式，是由若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵。行列式是一个函数，值是一个标量。其值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负取决于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是基数。我们先看看矩阵和行列式有哪些相似。 1.形式上比较相似：矩阵和行列式看上去比较相似，主要表现在：它们中的元素都有顺序的排成行列表，表面上看起来很相似，导致很多初学者容易把行列式和矩阵弄混淆；其次，它们中的表示方法一致，比如说行列式和矩阵中第i行第j列的元素都用a ij表示；并且，它们对行列的称呼一致，从上到下依次称作第一行，第二行…第n行，记作r1，r2，…r n；从左到右依次称为第一列，第二列，…第n列，记作c1，c2…c n。 2.性质上有相同点：在一个不等于0的数乘行列式或矩阵的某一行或某一列时，等于该数乘以此行或此列的每一个元素；行列式和矩阵中把一个不为0的数乘行列式或矩阵的某一行或列后可以加到另一行或列对应的元素上，即某一行（列）的k倍可以加到另一行（列）上。 3.运算上具有相同点：（1）行列式和矩阵都满足叫法交换率和结合律。可以表示为 D1+D2=D2+D1（D1+D2）+D3=D1+(D2+D3) A+B = B+A (A+B)+C = A+(B+C) (2)行列式和矩阵满足乘法结合律，即 D1D2D3=(D1D2)D3 A（BC）=（AB）C (3)行列式适合乘法分配率，矩阵适合乘法左分配率和右分配率，也就是说 D1（D2+D3）=D1D2+D1D3（D2+D3）D1=D2D1+D3D1 A(B + C) = AB + AC (B + C)A=BA + CA 矩阵和行列式虽然说有很多相同点，但它们始终是两个不同的概念，那么矩阵和行列式有什么区别呢。 1.先从概念上可以看出:（1）n阶行列式D n是n2个数按一定顺序排列成的n行n列的方阵，其实际上是一个数，行列式在数表两端加||；而矩阵是m ×n个数按一定方式排列的m行n列数表，归根结底是一个数表，矩阵在数表两端加（）或[]。行列式是方形数表中定义，对不上方形的数表，不能讨论任何行列式的问题，而矩阵无此限制（2）行列式和矩阵行列之间存在差

沪教版(上海) 高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行列式初步本章复习题(wd无答案)

沪教版(上海) 高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行列式初步本章复习题一、填空题 (★) 1. 二元一次方程组的增广矩阵是___________． (★) 2. 方程的实数解是________． (★★) 3. 若的三个顶点坐标为，其面积为________． (★★) 4. 设，计算：________． (★★) 5. 若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则 ______ ． (★★) 6. 将表示成一个三阶行列式为________． (★★) 7. 函数的最大值是_________． (★★) 8. 计算：__________．二、双空题 (★★) 9. 若，，，，则______，______． (★★)10. 已知矩阵，矩阵，向量经过矩阵A变换为向量_______，变换后的向量与原向量关于直线__________对称．三、单选题 (★★★) 11. 三阶行列式的两行成比例的是这个行列式的值为零的（） A．充分条件B．充要条件C．必要条件D．非充分非必要条件(★★) 12. 若，则 x的值是（）． A．1B．C．D．

(★) 13. 已知，则（）． A．B．C．D． (★) 14. 已知是阶矩阵，，则下列结论中错误的是（）． A．B． C．D．四、解答题 (★★) 15. 已知矩阵，，，计算：（1）；（2）；（3）． (★★★) 16. 关于的二元一次方程组有唯一一组正解，求实数 a的取值范围．(★★) 17. 用矩阵变换的方法解方程组：. (★★) 18. 已知矩阵，定义其转置矩阵．若，写出 A的转置矩阵，并求行列式与．说明两者有什么关系． (★★★) 19. 已知．求证：三点共线的充要条件是．

2020-2021年高二数学二阶行列式教案上教版

2019-2020年高二数学二阶行列式教案上教版【学习目标】 1.通过加减消元法解二元一次方程组理解行列式的定义 2.掌握二元一次方程组的行列式解法【学习重点与难点】用行列式解二元一次方程组【教学过程】 1．自学指导（1）回忆初中知识，想想我们是如何来解一个二元一次方程组的？（2）对于一个二元一次方程组（A）它的解是什么？（3）观察（A）的解你能发现其中的特征吗？（4）课本中行列式是怎么定义的？又是怎么引入的？它的本质是什么？什么是二阶行列式？（5）你能把方程组（A）的解用行列式的形式表示出来吗？通过这一步骤，你能体会到二元一次方程组的行列式解法吗？用行列式解二元一次方程组的时候，你觉得应该注意一些什么问题？（6）用行列式求二元一次方程组有哪些优越性？ 2．自学效果检验、点评及拓展

（1）一次方程称之为线性方程，一元方程组称之为线性方程组，则二元一次方程组即二元线性方程组。（2）我们以前所学解二元线性方程组普遍应用的都是加减消元法，用加减消元法解得二元一次方程组（A ）的解为??? ????--=--=12212 12112211221b a b a a c c a y b a b a b c b c x ，通过观察可以发现，它的解的分子、分母都是两数的乘积差。（3）为了简化，我们用记号（B ）来表示算式，他的运算法则就是用主对角线两数乘积减去副对角线两数乘积，即对角线法则。（B ）就是行列式。（4）方程组（A ）的解的分子部分用行列式（）的表示方法、方程组（A ）的解整体用行列式的表示方法，要求学生给出。（5）行列式的实质是数（或式）的特定算式的一种记号。（6）附带介绍二阶行列式、展开式、行列式的值、行列式的元素、系数行列式的概念。（7）提示学生观察，行列式分别是由行列式D 做怎样的变化而来，便于学生记忆。 3．例题自学检查学生用行列式解二元线性方程组的能力。提示学生解题过程中应该注意的问题。 4．学习效果检验 I ．必做题 ① 课本P7练习9.1（1）

矩阵与行列式知识梳理

矩阵与行列式知识梳理一、矩阵的概念 1 将mn 个实数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成m 行n 列的矩形数表(通常用圆括号把数表括起来)： ?? ? ? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211称为一个m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵，用______表示. 简记为_____.数ij a 称为矩阵的元素. 几种特殊类型的矩阵：行矩阵、列矩阵、方阵、单位矩阵、零矩阵. 2 对于关于y x ,的线性方程组?? ?=+=+222111c y b x a c y b x a ，则矩阵??? ? ??2211 b a b a 称为该线性方程组的系数矩阵. 矩阵??? ? ??22 2 111 c b a c b a 称为该线性方程组的增广矩阵. 3 矩阵的三种变换： (1) (2) (3) 4 矩阵变换的目的是将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，其增广矩阵的最后一列就是方程组的解. 二、二阶行列式 1 定义：我们用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -，即 12212 2 11b a b a b a b a -=，记号 2 2 11b a b a 叫做行列式，因为它只有两行两列，所以把它叫做二阶行列式. 1221b a b a -叫做行列式 2 2 11b a b a 的展开式，其计算结果叫做 2 2 11b a b a 的值.1a 、2a 、1b 、2b 都叫做行列式 2 2 11b a b a 的元素. 2 对角线法则：二阶行列式的展开式是主对角线上的两个数的乘积减去副对角线上的两个数的乘积. 3作为判别式的二阶行列式：关于x 、y 的二元一次方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a ①其中1a 、2a 、 1b 、2b 不全为零，行列式2 2 11b a b a D = 叫做方程组①的系数行列式. 设2 2 11b c b c D x = ，

沪教版(上海)高二上学期数学第九章矩阵和行列式初步

第九章矩阵和行列式初步格致中学王国伟第一课时 9.1 矩阵的概念（1） [教学目标] 1、了解矩阵的产生背景，并会用矩阵形式表示一些实际问题； 2、了解矩阵、行向量、列向量、方矩阵、零矩阵、单位矩阵等概念； 3、理解同阶矩阵、相等的矩阵等概念； 4、理解线性方程组与系数矩阵及其增广矩阵之间的转化。 [教学重点] 1、与矩阵有关的概念； 2、线性方程组的系数矩阵及增广矩阵的概念。 [教学难点] 学习矩阵的目的。 [教学过程] 一、情境设置、引入：引例1：已知向量()1,3OP =，如果把的坐标排成一列，可简记为13?? ??? ；引例2：2008 我们可将上表奖牌数简记为：512128363836232128?? ? ? ??? ；引例3：将方程组231 324244x y mz x y z x y nz ++=?? -+=??+-=? 中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为 2332441m n ?? ?- ? ? -?? ；若将常数项增加进去，则可简记为：2313242414m n ?? ? - ? ?-??。二、概念讲解：

1、上述形如13?? ???、512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-??、2313242414m n ?? ? - ? ? -? ?这样的矩形数表叫做矩阵。 2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ???称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量12 n b b b ?? ? ? ???? ??? 称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ?阶矩阵， m n ?阶矩阵可记做m n A ?，如矩阵13?? ???为21?阶矩阵，可记做21A ?；矩阵512128363836232128?? ? ? ? ?? 为33?阶矩阵，可记做33A ?。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ?阶矩阵m n A ?中的第i （i m ≤）行第 j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128?? ? ? ??? 第3行第2个数为3221a =。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000?? ??? 为一个23 ?阶零矩阵。 5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列），可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ? - ? ?-?? 均为三阶方阵。在一个 n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001?? ???为2阶单位矩阵，矩阵100010001?? ? ? ? ?? 为 3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。

高二数学基本概念——第9章矩阵和行列式初步

第9章矩阵和行列式初步一、矩阵 9.1 矩阵的概念矩阵及其相关的概念 1、矩形数表叫做矩阵矩阵中的每个数叫做矩阵的元素由个数排成的行列的数表 n m ?m n ()n j m i a ij ,,2,1;,,2,1 ==mn m m n n a a a a a a a a a 21 2222111211称为矩阵. n m ?记作?? ?? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2122221 11211n m ij a ?=)( 2、矩阵叫做方程组的系数矩阵。? ?? ? ??-1321它是2行2列的矩阵，记为 2 2?A ，矩阵可简记为A n m A ?注意: 矩阵的符号，是“（）”，不能是“| |”. 列元素。行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。。等，或者必要时可记为n m ij n m n m a B A ???)(,

说明：通过对线性方程组的增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解，这里所用的矩阵变换有下列三种：（1）互换矩阵的两行（2）把某一行同乘以（除以）一个非零常数（3）某行乘以一个数加到另一行通过上述三种矩阵变换，使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时，其增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。

9.2 矩阵的运算矩阵列的矩形表，称为一个行排列成一个个数由n m n m n j m i a n m ij ?==?) ,,2,1;,2,1( 11 12121 2221 2 .....................n n m m mn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ??? 记为列元素。行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。 ,()m n m n ij A B a ??必要时可记为等，或者A=。 0m n O O ?所有元素均为的矩阵，称为零矩阵，记作或定义1一、复习定义2若两个矩阵A ，B 有相同的行数与相同的列数，并且对应的位置上的元素相等，则称矩阵A 与矩阵B 相等。记为：A=B n m ij n m ij b B a A ??==)(,)(即如果,(1,2,...,;1,2,...,) ij ij a b i m j n ===且则A=B 。 ...)3,2,1,...;3,2,1(===j i b a ij ij 二、矩阵的运算（一）矩阵的加（减）法和数与矩阵的乘法 3(),()ij ij m n A a B b m n A B ==定义两个行列矩阵对应位置元素相加(或相减）得到的行列矩阵，称为矩阵与矩阵的和（差）。A-B A B +记为或（）。 A B ±即 ()()ij m n ij m n a b ??=±()ij ij m n a b ?=± 定义4以实数乘矩阵A 中的每一个元素所得到的矩阵，称为实数与矩阵A 的乘积矩阵．记做A A α即 ()ij m n a α?=()ij m n a α?=的负矩阵的元素变号，称为的乘积使与A A A 1-A -记作n m ij a A ?-=-)(即 α)(ij a =αα1A 1A A 2A B A B αααααα=+=+注意：（）矩阵与实数相乘满足如下交换率和分配律：（）（）（）

高考数学《矩阵与行列式》专题复习

高考数学《矩阵与行列式》专题复习 1.矩阵：n m ?个实数n j m i a ij ,,2,1;,,2,1, ==排成m 行n 列的矩形数表 ?? ?? ? ? ? ??=mn n m n n a a a a a a a a a A 2122212 11211叫做矩阵。记作n m A ?，n m ?叫做矩阵的维数。矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。 2.线性方程组的系数矩阵、方程组的增广矩阵、行向量、列向量、单位矩阵。 ?? ?=+=+222 1 11c y b x a c y b x a 3.线性方程组矩阵的三种变换： ①互换矩阵的两行； ②把某一行同乘（除）以一个非零的数； ③某一行乘以一个数加到另一行。变换的目的是将线性方程阻系数矩阵变为单位矩阵，其扩充矩阵的最后一列就是方程组的解。 4.矩阵运算：加法、减法及乘法（1）矩阵的和（差）：记作：A+B （A-B ）. 运算律：加法交换律：A+B=B+A ；加法结合律：（A+B ）+C=A+（B+C ）（2）矩阵与实数的积：设α为任意实数，把矩阵A 的所有元素与α相乘得到的矩阵叫做矩阵A 与实数α的乘积矩阵，记作：α A.

运算律：分配律：()B A B A γγγ+=+；A A A λγλγ+=+)(；结合律：()()()A A A γλλγγλ==；（3）矩阵的乘积：设A 是k m ?阶矩阵，B 是n k ?阶矩阵，设C 为n m ?矩阵。如果矩阵C 中第i 行第j 列元素ij C 是矩阵A 第i 个行向量与矩阵B 的第j 个列向量的数量积，那么C 矩阵叫做A 与B 的乘积，记作：C m ×n =A m ×k B k ×n . 运算律：分配律：AC AB C B A +=+)(，CA BA A C B +=+)(；结合律：()()()B A B A AB γγγ==，()()BC A C AB =；注意：矩阵的乘积不满足交换律，即BA AB ≠. 5.二阶行列式的有关概念及二元一次方程组的解法：设二元一次方程组（*）?? ?=+=+2 221 11c y b x a c y b x a （其中y x ,是未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数且不全为零，21,c c 是常数项）用加减消元法解方程组（*）: 当01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解：??? ? ???--=--=1221122112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，引入记号 21a a 2 1b b 表示算式1221b a b a -，即 21a a 2 1b b 1221b a b a -=．从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等。记= D 21a a 2 1b b ，= x D 21c c 2 1b b ，= y D 21a a 2 1c c ，则： ①当= D 21a a 2 1b b =01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解，可用二阶行列式表示为??? ? ?? ? ==D D y D D x y x . ②当D =0时，0x y D D ==方程组（*）无穷组解； ③当D =0时，0≠x D 或0≠y D ，方程组（*）无解。系数行列式11 22 a b D a b =也为二元一次方程组解的判别式。

高二数学上册 9.3《二阶行列式》教案(2) 沪教版

二阶行列式与二元一次方程组教学目的：理解二阶行列式的定义；掌握用二阶行列式解二元一次方程组；用行列式判断二元一次方程组解的情况。教学过程：一、设问：什么叫二阶行列式？（一）定义： 1、我们用记号1 122a b a b 表示算式1221,a b a b - 即1 122a b a b = 1221,a b a b - 其中记号1 122a b a b 叫做行列式，因为它只有两行、两列，所以把它叫做二阶行列式。 2、 1221,a b a b -叫做行列式1 12 2a b a b 的展开式，其计算结果叫做行列式的值。 3、 1221,,,,a b a b 叫做行列式1 122a b a b 的元素。（二）二阶行列式的展开满足：对角线法则 1 122a b a b 实线表示的对角线叫主对角线，虚线表示的对角线叫副对角线。二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．（三）例和练习：例1、判断以下几项中哪些是二阶行列式？是的，求出值。（1）1 11222 a b c a b c （2）sin cos cos sin α ααα

（3）12 3456 （4）sin cos sin cos sin cos a a a a a a -+ （5 ）1212 3434 12242 363 -- 例2：将下列各式用行列式表示：——解唯一吗？（1）22 14;(2)5;(3)422b ac x y x x ---+ 二、用二阶行列式解二元一次方程组 (四)设有二元一次方程组 111222,(1) ().(2)a x b y c A a x b y c +=??+=? 用加减消元法得 1221122112211221(); ().a b a b x c b c b a b a b y a c a c -=--=- (1)当 12210a b a b -≠ 时，有（A ）有唯一解，

上海高二数学行列式初步(有详细答案)绝对精品

2013年暑期高二数学行列式初步 § 二阶行列式(1)——二阶行列式一．引入观察二元一次方程组的解法，设二元一次方程组() () 111222 12a x b y c a x b y c +=???+=?? 用加减消元法来解， ()()()211221122112b b a b a b x c b c b ?-??-=-; ; ()()()121221122121a a a b a b y a c a c ?-??-=- 当12210a b a b -≠时，有122112212 21122c b c b x a b a b a c a c y a b a b -?=?-? ?-?=?-? . 二. 定义二阶行列式及展开用记号112 2 a b a b 来表示算式122a b a b -,即 111222 2 a b a b a b a b =-. 说明:二阶行列式表示的是四个数的一种特定的算式 | 思考与运用 1. 解方程:3 621 x x =-. 解: ()23 1661204321 x x x x x x orx x =?--=?--=?==-. 2. 求函数()2 2 1 2sin 2 2cos 1 2 x f x x = 的值域. 解: ()[]22 222 1 2sin 212sin cos 1sin cos 0,1 222cos 1 2 x x x f x x x x ??= =-=-=∈ ? ??. 3．行列式???? ?? a b c d (a ，b ，c ，d ∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________．解析：? ?? ?? a b c d ＝ad －bc ，则a ＝d ＝2，bc ＝－2时，取最大值为6.

《三阶行列式》

9.4（1）三阶行列式一、教学内容分析三阶行列式是二阶行列式的后继学习，也是后续教材学习中一个有力的工具．本节课的教学内容主要围绕三阶行列式展开的对角线法则进行，如何理解三阶行列式展开的对角线法则和该法则的应用是本节课的重点内容．二、教学目标设计经历观察、比较、分析、归纳的数学类比研究，从二阶行列式的符号特征逐步形成三阶行列式的符号特征，从二阶行列式展开的对角线法则逐步内化形成三阶行列式展开的对角线法则，感悟类比思想方法在数学研究中的应用．三、教学重点及难点三阶行列式展开的对角线法则、三阶行列式展开的对角线法则形成的过程．四、教学用具准备可以计算三阶行列式值的计算器五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入 1．观察三阶行列式的概念三阶行列式的应用

(1)观察二阶行列式的符号特征： 13 25 02 31 - 612 711 - a b c d (2)观察二阶行列式的展开式特征： 13 112321 =?-? 02 013(2)31 -=?-?- 612 6(11)712711 =?--?- a b a d c b c d =?-? 2．思考 (1)二阶行列式算式的符号有哪些特征？ (2)你能总结一下二阶行列式的展开式有哪些特征吗？ [说明] (1)请学生观察二阶行列式的符号特征，主要是观察二阶行列式有几个元素，这几个元素怎么分布？从而可以类比得到三阶行列式的符号特征． (2)请学生观察和总结二阶行列式的展开式特征，可以提示学生主要着力于以下几个方面： ① 观察二阶行列式的展开式有几项？ ② 二阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘；这几个元素在行列式中的位置有什么要求吗？ ③ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了几次？每个元素出现的次数一样吗？二、学习新课 1．新课解析【问题探讨】结合情景引入的两个思考问题，教师可以设计一些更加细化的问题引导学生发现二阶行列式的符号特征以及二阶行列式的展开式特征，从而类比得到三阶行列式相应特征．比如教师可以设计如下几个问题：问题一，通过学习和观察，我们发现二阶行列式就是表示四个数(或式)的特定算式，这四个数分布成两行两列的方阵，那么三阶行列式符号应该有怎么样的特征呢？问题二，说出二阶行列式的展开式有哪些特征？ (① 二阶行列式的展开式共有两项；② 二阶行列式的展开式中每一项有两个元素相乘；③ 相乘的两个元素在行列式位于不同行不同列；④ 二阶行列式的元素在其展开式中出