【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第9章 第6节 抛物线(含解析)北师大版
高三数学抛物线试题答案及解析
高三数学抛物线试题答案及解析1.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在其准线上的射影为，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，由抛物线定义，．而余弦定理，，再由，得到，所以的最大值为，故选：A．【考点】双曲线的简单性质.2.已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）x2－x＋y2＝4（2）存在，(1，－2)和(1,2)【解析】(1)连接CP、OP，由·＝0，知AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|．由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9．设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，化简，得到x2－x＋y2＝4．(2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x．由方程组，得x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0，故取x＝1，此时y＝±2．故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．3.动直线l的倾斜角为60°，且与抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．【答案】x2＝y【解析】设直线l的方程为y＝x＋b，联立，消去y，得x2＝2p(x＋b)，即x2－2px－2pb＝0，∴x1＋x2＝2p＝3，∴p＝，则抛物线的方程为x2＝y．4.已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于点在抛物线C：的准线上，所以，设直线AB的方程为，将与联立，即，则（负值舍去），将k=2代入得y=8，即可求出x=8，故B（8,8），所以，故选D.【考点】1.直线与抛物线的位置关系；2.斜率公式.5.已知抛物线C：的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】B【解析】由抛物线的方程可知焦点，直线的斜率为，则直线的方程为，设.将直线方程和抛物线方程联立削去并整理可得，解得.所以.故B正确.【考点】1直线与抛物线的位置关系；2数形结合思想.6.设点P是曲线y＝x2上的一个动点，曲线y＝x2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y＝x2的另一交点为Q，则PQ的最小值为________．【答案】【解析】设P(x0，x2)，又y′＝2x，则直线PQ的方程为y＝－＋＋x2.代入y＝x2得x2＋－－x2＝0，即(x－x)＝0，所以点Q的坐标为.从而PQ2＝2＋2，令t＝4x2，则PQ2＝f(t)＝t＋＋＋3(t>0)，则f′(t)＝，即f(t)在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，故当t＝2时，PQ有最小值.7.已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1，0)，C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M(4，0)的直线l与抛物线C2分别相交于A ，B两点．(1)如图所示，若，求直线l的方程；(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．【答案】（1）；（2）长轴长的最小值为.【解析】（1）首先求得抛物线方程为.设直线方程为，并设利用，得到；联立，可得，应用韦达定理得到，从而得到，求得直线方程.（2）可求得对称点，代入抛物线中可得：，直线方程为，考虑到对称性不妨取,椭圆设为联立直线、椭圆方程并消元整理可得，由，可得，即得解.（1）由题知抛物线方程为。
高考理科数学(北师大版)一轮复习课件第九章第6讲抛物线
程是
()
A．y2＝±2 2x
B．y2＝±2x
C．y2＝±4x
D．y2＝±4 2x
解析：选 D.由已知可知双曲线的焦点为(－ 2，0)，( 2，0)．设抛物线方程为 y2＝±2px(p ＞0)，则p2＝ 2，所以 p＝2 2，所以抛物线方程为 y2＝±4 2x.故选 D.
3．设抛物线 y2＝8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则 直线 l 的斜率的取值范围是________． 解析：由已知可得 Q(－2，0)，当直线 l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线 l 的方 程为 y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去 y 整理得 k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当 k＝0 时，
()
C．x2＝8
3
3 y
D．x2＝163
3 y
解析：选 A.因为双曲线 C1：xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，所以ac＝2.因为双曲线 的渐近线方程为 bx±ay＝0，抛物线 C2：x2＝2py(p＞0)的焦点0，p2到双曲线的渐近线的
p 距离为 2，所以 aa2·＋2b2＝p2·ac＝p4＝2，解得 p＝8，所以抛物线 C2 的方程是 x2＝16y.
求抛物线的标准方程应注意以下几点 (1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种． (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系． (3)要注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
1．(2020·重庆调研)已知抛物线 y2＝2px(p＞0)，点 C(－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于
抛物线的性质(师生共研)
已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过 F 的直线与抛物 线的两个交点，求证： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝p42； (2)|A1F|＋|B1F|为定值； (3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
【走向高考】2016届高三数学一轮阶段性测试题9 立体几何(含解析)新人教B版
阶段性测试题九(立体几何)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．(2014·某某二中期中)已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下述命题中真命题的是( )A ．若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b 或a ⊥bB ．若α⊥β，β⊥γ，则α∥βC ．若a ⊂α，b ⊂β，c ⊂β，a ⊥b ，a ⊥c ，则α⊥βD ．若a ⊥α，b ⊂β，a ∥b ，则α⊥β [答案] D[解析] 由a ⊥c ，b ⊥c 知，a 与b 可平行可相交，也可异面，故A 错；由直棱柱相邻两个侧面与底面都垂直知B 错；当α∩β＝l ，a ⊥l ，b ∥c ∥l 时，可满足C 的条件，故C 错；∵a ∥b ，a ⊥α，∴b ⊥α，又b ⊂β，∴α⊥β，∴D 正确． 2．(2015·某某八校联考)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A.16π3 B ．8π3 C ．4 3 D ．23π [答案] A[解析] 由三视图知该几何体为三棱锥，底面是等腰三角形，其底长为2，高为1，棱锥高为3，顶点在底面射影为等腰直角三角形底边的中点D ，直观图如图，BD ⊥AC ，PD ⊥平面ABC ，DA ＝DB ＝DC ＝1，故球心O 在PD 上，设OP ＝R ，则(3－R)2＋12＝R2，∴R ＝233. ∴S 球＝4πR2＝16π3.3．(2015·某某二中统练)已知H 是球O 的直径AB 上的一点，AH HB ＝12，AH ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为( )A.9π4B.9π2C.9π8D.16π3[答案] B[解析] 如图，由题意平面α截球O 所得截面圆的面积为πr2＝π，∴r ＝1，由球的性质知，R2＝12＋(R －2R3)2， ∴R2＝98，∴球O 的表面积S ＝4πR2＝9π2.4．(2015·某某市十一高中阶段测试)如图，正三棱柱ABC －A1B1C1的主视图是边长为4的正方形，则此正三棱柱的左视图的面积为( )A ．16B ．2 3C ．4 3D ．8 3 [答案] D[解析] 依题意知，此正三棱柱底面是边长为4的正三角形，棱柱高为4，其侧视图为矩形，其一边长为23，另一边长为4，故其面积S ＝4×23＝83，故选D. 5．(2015·某某三县联考)平面α与平面β平行的条件可以是( ) A ．α内有无穷多条直线与β平行 B ．直线a ∥α，a ∥βC ．直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥αD ．α内的任何直线都与β平行 [答案] D[解析] 当α∩β＝l 时，α内与l 平行的直线都与β平行，故A 错；当α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β时，满足B 的条件，∴B 错；当α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l 时，有a ∥β，b ∥α，∴C 错，故选D. 6．(文)(2015·某某五校协作体期中)设l 为直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥βC ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β [答案] D[解析] 若l ∥α，l ∥β，则α与β可能平行、可能相交，故A 不正确；若α⊥β，l ∥α，则l ∥β，l ⊂β，l 与β相交都有可能，故B 不正确；若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β，故C 不正确；只有D 正确．所以选 D. (理)(2015·某某宁化一中阶段测试)已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥αC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n [答案] D[解析] 当m ∥α，n ∥α时，m 与n 可能平行，也可能相交或异面，故A 错；m ∥α，m ⊥n 时，n ∥α，n 与α相交，n ⊥α，n ⊂α都有可能，故B 错；m ⊥α，m ⊥n 时，可能有n ∥α，也可能n ⊂α，故C 错；由线面垂直的定义知D 正确． 7．(2014·某某工大附中四模)如下图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )[答案] C[解析] 若俯视图为A ，则该几何体是棱长为1的正方体，体积V ＝1；若俯视图为B ，则该几何体是底半径为12，高为1的圆柱，其体积V ＝π·(12)2·1＝π4；若俯视图为D ，则该几何体是底半径为1，高为1的圆柱的14，其体积V ＝14·π·12·1＝π4；若俯视图为C ，则该几何体是直三棱柱，底面直角三角形两直角边长为1，棱柱高为1，体积为V ＝(12×1×1)×1＝12，因此选C. 8．(2015·某某、某某、某某调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.103 B ．10 C ．30 D ．24＋2 5 [答案] B[解析] 由三视图可知，该几何体为直四棱柱，底面为直角梯形，S 底＝12(2＋3)×2＝5，棱柱高为2，V ＝5×2＝10. 9．(2015·某某揭阳一中期中)下列命题中，错误的是( )A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线 [答案] D[解析] 当直线l 在平面α内时可知D 错误． 10．(2015·某某市五校联考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )A.233 B ．223C ．6D ．7 [答案] A[解析] 由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：V ＝V 正方体－2V 三棱锥＝2×2×2－2×(13×12×1×1×1)＝233.11．(文)(2015·某某某某市长郡中学月考)一个空间几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，则该几何体的体积等于( )A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．6 3 [答案] A[解析] 画出其直观图如图，这是一个四棱锥，底面为直角梯形，AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝2，AB ＝2，AB ⊥BC ，顶点P 在底面射影为AB 的中点E ，高PE ＝3，故体积V ＝13·[12(AD ＋BC)·AB]·PE ＝ 3.(理)(2015·某某某某六检)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A ．2B ．92C.32 D ．3 [答案] D[解析] 由三视图知，该几何体是四棱锥，底面为直角梯形，AB ∥CD ，AD ＝2，AB ＝1，CD ＝2，AB ⊥AD ，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝x ，依题意知13[12(AB ＋CD)·AD]·PD ＝3，∴PD ＝3，即x ＝3，故选D.12．(文)(2014·康杰中学、某某一中、某某一中、某某二中四校联考)已知不重合的两条直线l ，m 和不重合的两个平面α，β，下列命题正确的是( ) A ．l ∥m ，l ∥β，则m ∥β B ．α∩β＝m ，l ⊂α，则l ∥β C ．α⊥β，l ⊥α，则l ∥βD ．l ⊥m ，m ⊥β，l ⊥α，则α⊥β [答案] D[解析] l ⊄β，l ∥m ，m ⊂β时，l ∥β，故A 错；α∩β＝m ，当l ⊂α且l ∥m 时，l ∥β，当l 与m 相交时，l 与β相交，故B 错；α⊥β，当l ⊂β，l 与α和β的交线垂直，l ⊥α时，但l ∥β不成立，故C 错；∵l ⊥m ，l ⊥α，∴m ⊂α或m ∥α，又m ⊥β， ∴α⊥β，故D 正确． (理)(2015·某某某某一中段测)在正方体ABCD －A1B1C1D1中，点E1，F1分别是线段A1B1，A1C1的中点，则直线BE1与AF1所成角的余弦值是( )A.3010 B ．12 C.3015D ．1510[答案] A[解析] 以A 为原点，直线AB 、AD 、AA1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，设棱长为1，则B(1,0,0)，E1(12，0,1)，F1(12，12，1)，∴AF1→＝(12，12，1)，BE1→＝(－12，0,1)．cos 〈AF1→，BE1→〉＝AF1→·BE1→|AF1→||BE1→|＝3452×62＝3010，故选A. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2014·某某市二测)已知球O 内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为________． [答案] 1－π6[解析] 由题意知球的半径为1，其体积为V 球＝4π3，正方体的体积为V 正方体＝23＝8，则这一点不在球内的概率P ＝1－4π38＝1－π6.14．(2015·某某某某一中段测)若某几何体的三视图如下，该几何体的体积为2，则俯视图中的x ＝________.[答案] 2[解析] 由三视图可知，该几何体为四棱锥，高为2，底面为直角梯形，面积S ＝12(1＋x)×2＝1＋x ，因此V ＝13Sh ＝13·(1＋x)·2＝2，解得x ＝2.15．(文)(2014·某某七中模拟)已知正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为1，点M 是BC1的中点，P 是BB1一动点，则(AP ＋MP)2的最小值为________． [答案] 52[解析] 将平面ABB1A1展开到与平面CBB1C1共面，如下图，易知当A 、P 、M 三点共线时(AP ＋MP)2最小．AM2＝AB2＋BM2－2AB×BMcos135°＝12＋(22)2－2×1×22×(－22)＝52.(理)(2014·开滦二中期中)如图，在直三棱柱ABC －A1B1C1中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝3，D 、E 分别是AC1和BB1的中点，则直线DE 与平面BB1C1C 所成的角为________．[答案] π6[解析] 取AC 中点F ，则DF 綊BE ，∴DE ∥BF ， ∴BF 与平面BB1C1C 所成的角为所求，∵AB ＝1，BC ＝3，AC ＝2，∴AB ⊥BC ，又AB ⊥BB1，∴AB ⊥平面BCC1B1，作GF ∥AB 交BC 于G ，则GF ⊥平面BCC1B1，∴∠FBG 为直线BF 与平面BCC1B1所成的角，由条件知BG ＝12BC ＝32，GF ＝12AB ＝12， ∴tan ∠FBG ＝GF BG ＝33，∴∠FBG ＝π6.16．(文)(2014·某某市二诊)如图所示的正三角形是一个圆锥的侧视图，则这个圆锥的侧面积为________．[答案] 2π[解析] 由侧视图知圆锥的母线长l ＝2，底半径r ＝1，∴侧面积S 侧＝πrl ＝2π. (理)(2014·东北三省三校二模) P 为正方体ABCD －A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP ＝λBD1(λ∈(0,1))．下面结论： ①A1D ⊥C1P ；②若BD1⊥平面PAC ，则λ＝13；③若△PAC 为钝角三角形，则λ∈(0，12)； ④若λ∈(23，1)，则△PAC 为锐角三角形．其中正确的结论为________．(写出所有正确结论的序号) [答案] ①②④[解析] 在正方体中，易证A1D ⊥平面AD1C1B ，又C1P ⊂平面AD1C1B ，所以A1D ⊥C1P ，∴①正确；若BD1⊥平面PAC ，则点P 为平面ACB1与体对角线BD1的交点，利用等体积法可得BP ＝13BD1，即λ＝13，②正确；以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD1所在射线分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，又BP ＝λBD1，所以P(1－λ，1－λ，λ)，若△PAC 为钝角三角形，只能是∠APC 是钝角，所以PA →·PC →＝(λ，λ－1，－λ)·(λ－1，λ，－λ)＝3λ2－2λ<0，解得λ∈(0，23)，所以③错误；由③可知若λ∈(23，1)，则△PAC 为锐角三角形，④正确，所以正确的结论序号为①②④.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2015·某某五校协作体期中)如图，四棱柱ABCD －A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AA1＝2.(1)证明：AA1⊥BD ；(2)证明：平面A1BD ∥平面CD1B1； (3)求三棱柱ABD －A1B1D1的体积．[解析] (1)证明：∵底面ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ， 又∵A1O ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴A1O ⊥BD ， 又∵A1O ∩AC ＝O ，A1O ⊂平面A1AC ，AC ⊂平面A1AC ， ∴BD ⊥平面A1AC ，∵AA1⊂平面A1AC ， ∴AA1⊥BD.(2)∵A1B1∥AB ，AB ∥CD ，∴A1B1∥CD ，又A1B1＝CD ，∴四边形A1B1CD 是平行四边形，∴A1D ∥B1C ，同理A1B ∥CD1，∵A1B ⊂平面A1BD ，A1D ⊂平面A1BD ，CD1⊂平面CD1B1，B1C ⊂平面CD1B ， 且A1B ∩A1D ＝A1，CD1∩B1C ＝C ， ∴平面A1BD ∥平面CD1B1.(3)∵A1O ⊥平面ABCD ，∴A1O 是三棱柱A1B1D1－ABD 的高．在正方形ABCD 中，AO ＝1，在Rt △A1OA 中，AA1＝2，AO ＝1，∴A1O ＝3，∴V 三棱柱＝S△ABD·A1O ＝12·(2)2·3＝ 3. 所以，三棱柱ABD －A1B1D1的体积为 3. 18．(本小题满分12分)(2015·石光中学月考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD ，若E ，F 分别为PC ，BD 的中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ；(2)求证：平面PDC ⊥平面PAD ； (3)求四棱锥P －ABCD 的体积． [解析] (1)连接EF ，AC ，∵四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形且点F 为对角线BD 的中点，∴对角线AC 经过F 点，又点E 为PC 的中点， ∴EF 为△PAC 的中位线，∴EF ∥PA.又PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴EF ∥平面PAD. (2)∵底面ABCD 是边长为a 的正方形，∴CD ⊥AD ， 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ， ∴CD ⊥平面PAD.又CD ⊂平面PCD ，∴平面PDC ⊥平面PAD. (3)过点P 作AD 的垂线PG ，垂足为点G ，∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，PG ⊂平面PAD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ， ∴PG ⊥平面ABCD ，即PG 为四棱锥P －ABCD 的高， 又PA ＝PD ＝22AD 且AD ＝a ，∴PG ＝a2.∴V 四棱锥P －ABCD ＝13S 正方形ABCD·PG ＝13×a2×a 2＝16a3.19．(本小题满分12分)(文)(2015·某某三县联考)如图，四边形ABEF 是等腰梯形，AB ∥EF ，AF ＝BE ＝2，EF ＝42，AB ＝22，ABCD 是矩形．AD ⊥平面ABEF ，其中Q ，M 分别是AC ，EF 的中点，P 是BM 中点．(1)求证：PQ ∥平面BCE ；(2)求证：AM ⊥平面BCM ； (3)求点F 到平面BCE 的距离．[解析] (1)因为AB ∥EM ，且AB ＝EM ，所以四边形ABEM 为平行四边形． 连接AE ，则AE 过点P ，且P 为AE 中点，又Q 为AC 中点， 所以PQ 是△ACE 的中位线，于是PQ ∥CE. ∵CE ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE.(2)AD ⊥平面ABEF ⇒BC ⊥平面ABEF ⇒BC ⊥AM.在等腰梯形ABEF 中，由AF ＝BE ＝2，EF ＝42，AB ＝22， 可得∠BEF ＝45°，BM ＝AM ＝2， ∴AB2＝AM2＋BM2，∴AM ⊥BM. 又BC ∩BM ＝B ，∴AM ⊥平面BCM.(3)解法一：点F 到平面BCE 的距离是M 到平面BCE 的距离的2倍， ∵EM2＝BE2＋BM2，∴MB ⊥BE ， ∵MB ⊥BC ，BC ∩BE ＝B ，∴MB ⊥平面BCE ，∴d ＝2MB ＝4. 解法二：VC －BEF ＝13S △BEF·BC ＝43BC ， VF －BCE ＝13S △BCE·d ＝d 3BC.∵VC －BEF ＝VF －BCE ，∴d ＝4. (理)(2014·某某某某实验中学、沙城一中联考)在三棱柱ABC －A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC ＝90°，点D 是棱B1C1的中点． (1)求证：A1D ⊥平面BB1C1C ； (2)求证：AB1∥平面A1DC ；(3)求二面角D －A1C －A 的余弦值．[解析] (1)证明：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形， 所以AA1⊥AC ，AA1⊥AB ，所以AA1⊥平面ABC ， 所以AA1⊥平面A1B1C1.因为A1D ⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥A1D ， 又因为CC1∥AA1，所以CC1⊥A1D ， 又因为A1B1＝A1C1，D 为B1C1中点， 所以A1D ⊥B1C1.因为CC1∩B1C1＝C1，所以A1D ⊥平面BB1C1C. (2)证明：连结AC1，交A1C 于点O ，连结OD ， 因为ACC1A1为正方形，所以O 为AC1中点， 又D 为B1C1中点，所以OD 为△AB1C1中位线， 所以AB1∥OD ，因为OD ⊂平面A1DC ，AB1⊄平面A1DC ， 所以AB1∥平面A1DC.(3)因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC ＝90°，所以AB ，AC ，AA1两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A －xyz. 设AB ＝1，则C(0,1,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,1)，D(12，12，1)．A1D →＝(12，12，0)，A1C →＝(0,1，－1)，设平面A1DC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧n·A1D →＝0，n·A1C →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y －z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，－1，－1)．又因为AB ⊥平面ACC1A1，所以平面ACC1A1的法向量为AB →＝(1,0,0)， 设二面角D －A1C －A 的平面角为θ，则θ＝π－〈n ，AB →〉， ∴cosθ＝cos(π－〈n ，AB →〉) ＝－n·AB →|n|·|AB →|＝－13＝－33， 所以，二面角D －A1C －A 的余弦值为－33.20．(本小题满分12分)(文)(2014·某某二中检测)如图，在直三棱柱ABC －A1B1C1中，AA1＝AC ＝2AB ＝2，且BC1⊥A1C.(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)设D 是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E ，使DE ∥平面ABC1；若存在，求三棱锥E －ABC1的体积．[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC －A1B1C1中，有A1A ⊥平面ABC.∴A1A ⊥AC ，又A1A ＝AC ，∴A1C ⊥AC1.又BC1⊥A1C ，∴A1C ⊥平面ABC1，∵A1C ⊂平面A1ACC1，∴平面ABC1⊥平面A1CC1. (2)存在，E 为BB1的中点．取A1A 的中点F ，连EF ，FD ，当E 为B1B 的中点时，EF ∥AB ，DF ∥AC1， ∴平面EFD ∥平面ABC1，则有ED ∥平面ABC1.当E 为BB1的中点时，VE －ABC1＝VC1－ABE ＝13×2×12×1×1＝13.(理)(2014·某某市八校联考)如图，在底面是直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，∠DAB ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝BC ＝3，梯形上底AD ＝1.(1)求证：BC ⊥平面PAB ；(2)在PC 上是否存在一点E ，使得DE ∥平面PAB ？若存在，请找出；若不存在，说明理由；(3)求平面PCD 与平面PAB 所成锐二面角的正切值． [解析] (1)证明：∵BC ∥AD 且∠DAB ＝90°， ∴BC ⊥AB ，又PA ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥PA ， 而PA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB.(2)延长BA 、CD 相交于Q 点，假若在PC 上存在点E ，满足DE ∥平面PAB ，则由平面PCQ 经过DE 与平面PAB 相交于PQ 知DE ∥PQ ，∵AD ∥BC 且AD ＝1，BC ＝3，∴PE CP ＝QD CQ ＝AD BC ＝13， 故E 为CP 的三等分点，PE ＝12CE.(3)过A 作AH ⊥PQ ，垂足为H ，连DH ， 由(1)及AD ∥BC 知：AD ⊥平面PAQ ，∴AD ⊥PQ ，又AH ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面HAD ，∴PQ ⊥HD.∴∠AHD 是平面PCD 与平面PBA 所成的二面角的平面角． 易知AQ ＝32，PQ ＝352，∴AH ＝AQ·PA PQ ＝355，∴tan ∠AHD ＝AD AH ＝53， 所以平面PCD 与平面PAB 所成二面角的正切值为53.21．(本小题满分12分)(文)(2015·某某市二十中期中)如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝4，AB ＝2，E 、F 分别在BC 、AD 上，EF ∥AB.现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC. (1)当BE ＝1时，是否在折叠后的AD 上存在一点P ，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，指出P 点位置，若不存在，说明理由；(2)设BE ＝x ，问当x 为何值时，三棱锥A －CDF 的体积有最大值？并求出这个最大值．[解析] (1)存在点P 使得满足条件CP ∥平面ABEF ，且此时AP AD ＝35. 证明如下：AP AD ＝35，过点P 作MP ∥FD ，与AF 交于点M ，则有MP FD ＝35，又FD ＝5，故MP ＝3，又因为EC ＝3，MP ∥FD ∥EC ，故有MP 綊EC ，故四边形MPCE 为平行四边形，所以PC ∥ME ，又CP ⊄平面ABEF ，ME ⊂平面ABEF ，故有CP ∥平面ABEF 成立．(2)因为平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF ∩平面EFDC ＝EF ，又AF ⊥EF ，所以AF ⊥平面EFDC. 由已知BE ＝x ，所以AF ＝x(0<x<4)，FD ＝6－x.故VA －CDF ＝13·(12DF·EF)·AF ＝13·12·2·(6－x)·x ＝13(6x －x2)＝13[－(x －3)2＋9]＝－13(x －3)2＋3. 所以，当x ＝3时，VA －CDF 有最大值，最大值为3. (理)(2014·某某某某中学期中)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上，过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(折起后的点A 记作点P)，使得∠PEB ＝60°.(1)求证：EF ⊥PB.(2)试问：当点E 在线段AB 上移动时，二面角P －FC －B 的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．[解析] (1)在Rt △ABC 中，∵EF ∥BC ，∴EF ⊥AB ， ∴EF ⊥EB ，EF ⊥EP ，又∵EB ∩EP ＝E ，∴EF ⊥平面PEB. 又∵PB ⊂平面PEB ，∴EF ⊥PB. (2)解法一：∵EF ⊥平面PEB ，EF ⊂平面BCFE ，∴平面PEB ⊥平面BCFE ，过P 作PQ ⊥BE 于点Q ，垂足为Q ，则PQ ⊥平面BCFE ，过Q 作QH ⊥FC ，垂足为H.则∠PHQ 即为所求二面角的平面角． 设PE ＝x ，则EQ ＝12x ，PQ ＝32x ， QH ＝(PE ＋EQ)sin π4＝324x ， 故tan ∠PHQ ＝PQ QH ＝63，cos ∠PHQ ＝155，即二面角P －FC －B 的平面角的余弦值为定值155.解法二：在平面PEB 内，经P 点作PD ⊥BE 于D ， 由(1)知EF ⊥平面PEB ，∴EF ⊥PD.∴PD ⊥平面BCFE.在平面PEB 内过点B 作直线BH ∥PD ，则BH ⊥平面BCFE.以B 点为坐标原点，BC →，BE →，BH →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系． 设PE ＝x(0＜x ＜4)又∵AB ＝BC ＝4，∴BE ＝4－x ，EF ＝x ，在Rt △PED 中，∠PED ＝60°，∴PD ＝32x ，DE ＝12x ， ∴BD ＝4－x －12x ＝4－32x ，∴C(4,0,0)，F(x,4－x,0)，P(0,4－32x ，32x)． 从而CF →＝(x －4,4－x,0)，CP →＝(－4,4－32x ，32x)． 设n1＝(x0，y0，z0)是平面PCF 的一个法向量，则 n1·CF →＝0，n1·CP →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x0x －4＋y04－x ＝0，－4x0＋4－32x y0＋32xz0＝0，∴⎩⎨⎧x0－y0＝0，3x0－z0＝0，取y0＝1，得，n1＝(1,1，3)．又平面BCF 的一个法向量为n2＝(0,0,1)． 设二面角P －FC －B 的平面角为α，则 cosα＝|cos 〈n1，n2〉|＝155.因此当点E 在线段AB 上移动时，二面角P －FC －B 的平面角的余弦值为定值155.22．(本小题满分14分)(文)(2015·某某省某某市二中月考)已知几何体A －BCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A －BCED 的体积为16. (1)某某数a 的值；(2)将直角三角形△ABD 绕斜边AD 旋转一周，求该旋转体的表面积．[解析] (1)由该几何体的三视图知AC ⊥平面BCED ，且EC ＝BC ＝AC ＝4，BD ＝a ，体积V ＝13×4×a ＋4×42＝16，∴a ＝2. (2)在Rt △ABD 中，AB ＝42，BD ＝2，∴AD ＝6， 过B 作AD 的垂线BH ，垂足为H ，易得BH ＝423，该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为BH ＝423，所以圆锥底面周长为C ＝2π·423＝82π3，两个圆锥的母线长分别为42和2， 故该旋转体的表面积为S ＝12×82π3(2＋42)＝32＋82π3. (理)(2014·某某南开区二模)如图，直四棱柱ABCD －A1B1C1D1的底面为正方形，P 、O 分别是上、下底面的中心，E 是AB 的中点，AB ＝kAA1.(1)求证：A1E ∥平面PBC ；(2)当k ＝2时，求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；(3)当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？[解析] 以点O 为原点，直线OA ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB ＝22，则得A1(2,0，22k )、E(1,1,0)、P(0,0，22k )、B(0,2,0)、C(－2，0,0)、A(2,0,0)， (1)由上得A1E →＝(－1,1，－22k )、BC →＝(－2，－2,0)、PB →＝(0,2，－22k )， 设平面PBC 的法向量为n ＝(1，α，β)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n·BC →＝0，n·PB →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2－2α＝0，2α－22k β＝0， ∴n ＝(1，－1，－22k)， ∵A1E →·n ＝0， 又A1E ⊄平面PBC ， ∴A1E ∥平面PBC.(2)当k ＝2时，由(Ⅰ)知平面PBC 的法向量为n ＝(1，－1，－1)，PA →＝(2,0，－2)， cos 〈PA →，n 〉＝PA →·n |PA →|·|n|＝63，∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为63.(3)由(1)知△PBC 的重心G 为(－23，23，223k )，则OG →＝(－23，23，223k )，若O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心，则有⎩⎪⎨⎪⎧OG →·BC →＝0，OG →·PB →＝0，解得k ＝2，∴当k ＝2时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心．。
【走向高考】年高考数学一轮总复习课件(北师大版)第九章 平面解析几何 9-6
课前自主导学
知识梳理 1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离 ______的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的______， 直线l叫作抛物线的______．
2．抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示) 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
∵3>2，∴点A在抛物线的外部． 3 ∵|PA|＋|PF|≥|AF|＝2 5， 3 ∴A、P、F三点共线时有最小值，最小值为2 5.
已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线 上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取 最小值时P点的坐标． [思路分析] 抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线 l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d的问题，运用 三点共线可使问题得到解决．
[规范解答] 将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，
走向高考· 数学
北师大版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第九章
平面解析几何
第九章
第六节 抛物线
高考目标导航
3
课堂典例讲练
课前自主导学
4
课后强化作业
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考纲要求 1.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简 单几何性质． 2．理解数形结合的思想，了解抛物线的简单应用.
(理)(2013· 新课标Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝ 4 2 x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4 2 ，则△POF的面积 为( ) A．2 C．2 3
[答案] C
B．2 2 D．4
[解析]
设P点坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公
高三数学一轮基础巩固(新人教B版)第8章第6节抛物线(含解析).doc
【走向高考】2016届 高三数学一轮基础巩固 第8章 第6节 抛物线新人教B 版一、选择题1．(2015·石家庄五校联考)若抛物线y ＝ax2的准线的方程是y ＝2，则实数a 的值是( )A.18 B ．－18C ．8D ．－8[答案] B[解析] 由条件知，－14a ＝2，∴a ＝－18.2．(2014·合肥质检)已知点M(1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线[答案] A[解析] P 在BM 的垂直平分线上，故|PB|＝|PM|.又PB ⊥l ，因而点P 到直线l 的距离等于P 到M 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．3．(文)直线y ＝x －3与抛物线y2＝4x 交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为( )A ．48B ．56C ．64D ．72[答案] A[解析] 由题意不妨设A 在第一象限，联立y ＝x －3和y2＝4x 可得A(9,6)，B(1，－2)，而抛物线的准线方程是x ＝－1，所以|AP|＝10，|QB|＝2，|PQ|＝8，故S 梯形APQB ＝12(|AP|＋|QB|)·|PQ|＝48，故选A.(理)(2013·郑州质量预测)过抛物线y2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16[答案] D[解析] 抛物线y2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y2＝8x ，得x2－12x ＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB 的长|AB|＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16.4．(2014·湖北武汉调研)已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4 [答案] C[解析] 设P 点坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋2＝42，x0＝32，代入抛物线的方程，得|y0|＝26，S △POF ＝12|y0|·|OF|＝23，选C.5．(文)(2014·辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y2＝2x 的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2B ．12C.32 D ．52[答案] C[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋1＝4，∴x1＋x2＝3，∴x1＋x22＝32，即AB 中点C 的横坐标是32.(理)(2014·武昌模拟)直线y ＝k(x －2)交抛物线y2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为3，则弦AB 的长为( )A ．6B ．10C ．215D ．16[答案] B[解析] 将y ＝k(x －2)代入y2＝8x 中消去y 得，k2x2－(4k2＋8)x ＋4k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝4k2＋8k2＝6，∴k ＝±2， ∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝5·x1＋x22－4x1x2＝5·36－4×4＝10.6．已知直线l1：4x －3y ＋6＝0和直线l2：x ＝－1，P 是抛物线y2＝4x 上一动点，则点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3C.115 D ．3716[答案] A[解析] 直线l2：x ＝－1为抛物线y2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l2的距离等于P 到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y2＝4x 上找一个点P ，使得P 到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x －3y ＋6＝0的距离，即dmin ＝|4－0＋6|5＝2，故选A.[点评] 与抛物线有关的最值问题常见题型．(1)点在抛物线外，利用两点间线段最短求最小值．①(2013·甘肃天水调研)已知P 为抛物线y ＝14x2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，则|PA|＋|PM|的最小值是________．[答案] 5－1[解析] 如图，抛物线y ＝14x2，即x2＝4y 的焦点F(0,1)，记点P 在抛物线的准线l ：y ＝－1上的射影为P ′，根据抛物线的定义知，|PP ′|＝|PF|，则|PP ′|＋|PA|＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝22＋12＝ 5.所以(|PA|＋|PM|)min＝(|PA|＋|PP ′|－1)min ＝5－1.(2)定点在抛物线内，利用点到直线的垂线段最短求最小值．②(2013·河南洛阳、安阳统考)点P 在抛物线x2＝4y 的图象上，F 为其焦点，点A(－1,3)，若使|PF|＋|PA|最小，则相应P 的坐标为________．[答案] (－1，14)[解析] 由抛物线定义可知PF 的长等于点P 到抛物线准线的距离，所以过点A 作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点(－1，14)即为所求点P 的坐标，此时|PF|＋|PA|最小．③已知抛物线y2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又定点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．[分析] 抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，求|PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d 的问题，运用三点共线可使问题得到解决．[解析] 将x ＝3代入抛物线方程y2＝2x ，得y ＝±6，∵6>2，∴点A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义，知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d ，当PA ⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y2＝2x ，得x ＝2，即点P 的坐标为(2,2)．(3)抛物线上动点到定直线与抛物线准线(或焦点)距离和(或差)的最值转化为点到直线距离最小．④已知P 是抛物线y2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( ) A. 3 B ． 5C ．2D ．5－1[答案] D[解析] 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF|－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF|－1.易知d ＋|PF|的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF|的最小值为|2＋3|22＋－12＝5，所以d ＋|PF|－1的最小值为5－1.(4)利用直角三角形斜边大于直角边求最小值．⑤(2014·陕西质检)已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )A.72 B ．3C.52 D ．2[答案] C[解析] 如图，|MQ ′|－|Q ′F|＝|MQ ′|－|Q ′A ′|＝|MA ′|＝|NA|＝|NQ|－|AQ|≤|MQ|－|AQ|＝|MQ|－|QF|.(其中l 是抛物线的准线，QA ⊥l ，垂足为A ，Q ′M ⊥l 垂足为A ′，MN ⊥QN)，∵抛物线的准线方程为x ＝－12，∴|QM|－|QF|≥|xQ ＋3|－|xQ ＋12|＝3－12＝52，选C.(5)与其他曲线有关的抛物线最值问题．⑥(2014·忻州联考)已知P 为抛物线y2＝4x 上一个动点，Q 为圆x2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是________．[答案] 17－1[解析] 抛物线y2＝4x 的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y －4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF|，∴|PQ|＋d ＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝17－1.(6)与平面向量交汇命题．⑦已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P 在抛物线y2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝⎛⎭⎫－y24，y ，则AP →＝⎝⎛⎭⎫－y24－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y24－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y24－2⎝⎛⎭⎫－y24－4＋y2＝y416＋52y2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．(7)利用三角形两边之和大于第三边．⑧(2013·郑州第一次质量检测)已知抛物线x2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32C ．1D ．2[答案] D[解析] 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA1⊥l 交l 于点A1，过点B 作BB1⊥l交l 于点B1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM1⊥l 交l 于点M1，则|MM1|＝|AA1|＋|BB1|2.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F 为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，当直线AB 过点F 时，等号成立，所以|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M 到x 轴的距离d≥2，选D.(8)转化为二次函数最值或用基本不等式求最值．二、填空题7．若点(3,1)是抛物线y2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.[答案] 2[解析] 设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y21＝2px1，y22＝2px2，两式相减得，y1－y2x1－x2＝2p y1＋y2＝2， ∵y1＋y2＝2，∴p ＝2.8．(2013·福州期末)若抛物线y2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，动点P 在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△PAB 的面积的最小值为________．[答案] 2 2[解析] 由题意得F(1,0)，直线AB 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y2＝4x ，得x2－6x ＋1＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴|AB|＝2·x1＋x22－4x1x2＝8.设P(－y204，y0)，则点P 到直线AB 的距离为|y204＋y0＋1|2， ∴△PAB 的面积S ＝|y20＋4y0＋4|2＝y0＋222≥22，即△PAB 的面积的最小值是2 2. 9．(2014·山东广饶一中期末)抛物线y2＝8x 的顶点为O ，A(1,0)，过焦点且倾斜角为π4的直线l与抛物线交于M ，N 两点，则△AMN 的面积是________．[答案] 4 2[解析] 焦点F(2,0)，直线l ：x ＝y ＋2，代入抛物线y2＝8x ，消去x ，得y2－8y －16＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝8，y1y2＝－16.∴|y1－y2|＝y1＋y22－4y1y2＝8 2.故△AMN的面积S ＝12×1×|y1－y2|＝4 2. 三、解答题10．(2015·豫南九校联考)已知动圆M 过定点F(1,0)且与直线x ＝－1相切，圆心M 的轨迹为H.(1)求曲线H 的方程；(2)一条直线AB 经过点F 交曲线H 于A 、B 两点，点C 为x ＝－1上的动点，是否存在这样的点C ，使得△ABC 是正三角形？若存在，求点C 的坐标；否则，说明理由．[解析] (1)设M(x ，y)，由题意知M 到定点F 的距离等于到定直线x ＝－1的距离，所以M 的轨迹是以F 为焦点的抛物线，p 2＝1，∴p ＝2，∴曲线H 的方程为y2＝4x.(2)设直线AB ：x ＝my ＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－1，n)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y2＝4x ，消去x 得y2－4my －4＝0， ∴y1＋y2＝4m ，y1y2＝－4，∴x1＋x2＝4m2＋2，x1x2＝1.则M 的坐标为(x1＋x22，y1＋y22)，即M(2m2＋1,2m)．由kCM·kAB ＝2m －n 2m2＋2·1m＝－1得n ＝2m3＋4m ，则C(－1，2m3＋4m)． ∵|CM|＝2m2＋22＋2m3＋2m 2＝2(m2＋1)m2＋1，|AB|＝1＋m2|y1－y2|＝4(1＋m2)，∵|CM|＝32|AB|，∴m ＝± 2.∴存在这样的点C(－1，±82)，使△ABC 为正三角形.一、选择题11．已知P ，Q 为抛物线x2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8[答案] C[解析] 由已知可设P(4，y1)，Q(－2，y2)．∵点P ，Q 在抛物线x2＝2y 上，∴42＝2y1，(－2)2＝2y2，∴y1＝8，y2＝2.∴P(4,8)，Q(－2,2)．又∵抛物线方程可化为y ＝12x2，∴y ′＝x.∴过点P 的切线斜率为k1＝4，切线方程为y ＝4x －8，又∵过点Q 的切线斜率为k2＝－2，∴过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4. ∴点A 的纵坐标为－4.12．(文)如图，抛物线C1：y2＝4x 和圆C2：(x －1)2＋y2＝1，直线l 经过C1的焦点F ，依次交C1，C2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →的值为( )A.34 B ．1C ．2D ．4[答案] B[解析] 法一：抛物线C1的焦点F 也是圆C2的圆心(1,0)．可用特殊法：当l 与x 轴垂直时，|AD|＝4，|BC|＝2，|AB|＝|CD|＝1，∴AB →·CD →＝|AB →||CD →|＝1.故选B.法二：由抛物线的定义知，|AB →|＝|AF →|－1＝xA ，|CD →|＝|DF →|－1＝xD ，|AB →||CD →|＝xA·xD ＝p24＝1.∴AB →·CD →＝|AB →||CD →|＝1.故选B.(理)直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x2＝4y 和圆x2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB||CD|的值为( )A ．16B ．116C ．4D ．14[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x2＝4y 得x2－3x －4＝0， ∴xA ＝－1，xD ＝4，yA ＝14，yD ＝4，∵直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)．∴|AF|＝yA ＋1＝54，|DF|＝yD ＋1＝5，∴|AB||CD|＝|AF|－1|DF|－1＝116.故选B.13．(文)(2014·山东淄博一模)过抛物线y2＝4x 焦点F 的直线交其于A ，B 两点，A 在第一象限，B 在第四象限，O 为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB 的面积为( ) A.22 B ． 2 C.322 D ．2 2[答案] C[解析] 设A(x0，y0)，由|AF|＝1＋x0＝3，得x0＝2，∴A(2,22)，直线AB 的方程为y ＝22(x－1)，与y2＝4x 联立，解得B(12，－2)．∴S △AOB ＝12×1×|22－(－2)|＝322.(理)(2014·课标全国Ⅱ理)设F 为抛物线C ：y2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B ．938C.6332 D ．94[答案] D[解析] 由已知得F(34，0)，故直线AB 的方程为y ＝tan30°·(x －34)，即y ＝33x －34.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝33x －34， ①y2＝3x ， ②将①代入②并整理得13x2－72x ＋316＝0，∴x1＋x2＝212，∴线段|AB|＝x1＋x2＋p ＝212＋32＝12.又原点(0,0)到直线AB 的距离为d ＝3413＋1＝38. ∴S △OAB ＝12|AB|d ＝12×12×38＝94.14．(2014·课标全国Ⅰ理)已知抛物线C ：y2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF|＝( )A.72 B ．52C ．3D ．2[答案] C[解析] 抛物线的焦点是F(2,0)，过点Q 作抛物线的准线的垂线，垂足是A ，则|QA|＝|QF|，抛物线的准线与x 轴的交点为G ，因为FP →＝4FQ →，∴|PQ →||PF →|＝34，由于△QAP ∽△FGP ，所以可得|QA||FG|＝|PQ →||PF →|＝34，所以|QA|＝3，所以|QF|＝3.二、填空题15．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．[答案] x ＝－1[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2px ，y ＝x －p 2，消去x 得，y2－2py －p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p ，由条件知，y1＋y2＝4，∴p ＝2，∴抛物线的准线方程为x ＝－1.16．(2014·湖南理)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a 、b(a<b)，原点O 为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C 、F 两点，则b a ＝________.[答案] 2＋1[解析] 由题可得C(a 2，－a)，F(a 2＋b ，b)，∵C 、F 在抛物线y2＝2px 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a2＝pa ，b2＝2p a 2＋b ， ∴b2－2ab －a2＝0，∴b a ＝2＋1，故填2＋1.三、解答题17．(文)(2014·北京西城区期末)已知A ，B 是抛物线W ：y ＝x2上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ，O 为坐标原点．(1)若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；(2)设C 为W 上一点，且AB ⊥AC ，过B ，C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求|OD|的最小值．[解析] (1)抛物线y ＝x2的焦点为(0，14)．由题意，得直线AB 的方程为y －1＝k(x －1)，令x ＝0，得y ＝1－k ，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1－k)．因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，所以1－k>14，解得k<34.(2)由题意，设B(x1，x21)，C(x2，x22)，D(x3，y3)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝k x －1y ＝x2消去y ，得x2－kx ＋k －1＝0，由根与系数的关系，得1＋x1＝k ，所以x1＝k －1.同理，得AC 的方程为y －1＝－1k (x －1)，x2＝－1k －1.对函数y ＝x2求导，得y ′＝2x ，所以抛物线y ＝x2在点B 处的切线斜率为2x1，所以切线BD 的方程为y －x21＝2x1(x －x1)，即y ＝2x1x －x21.同理，抛物线y ＝x2在点C 处的切线CD 的方程为y ＝2x2x －x22.联立两条切线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x1x －x21y ＝2x2x －x22， 解得x3＝x1＋x22＝12(k －1k －2)，y3＝x1x2＝1k －k ，所以点D 的坐标为(12(k －1k －2)，1k －k)．因此点D 在定直线2x ＋y ＋2＝0上．因为点O 到直线2x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|2×0＋0＋2|22＋12＝255， 所以|OD|≥255，当且仅当点D(－45，－25)时等号成立． 由y3＝1k －k ＝－25，得k ＝1±265，验证知符合题意．所以当k ＝1±265时，|OD|有最小值255.(理)(2014·开封摸底考试)已知圆(x －a)2＋(y ＋1－r)2＝r2(r>0)过点F(0,1)，圆心M 的轨迹为C.(1)求轨迹C 的方程；(2)设P 为直线l ：x －y －2＝0上的点，过点P 作曲线C 的两条切线PA ，PB ，当点P(x0，y0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．[解析] (1)依题意，由圆过定点F 可知C 的方程为x2＝4y.(2)抛物线C 的方程为y ＝14x2，求导得y ′＝12x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1＝x214，y2＝x224)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x1，12x2，所以切线PA 的方程为y －y1＝x12(x －x1)，即x1x －2y －2y1＝0.同理可得切线PB 的方程为x2x －2y －2y2＝0.因为切线PA ，PB 均过点P(x0，y0)，所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x －2y0－2y ＝0的两组解．所以直线AB 的方程为x0x －2y －2y0＝0.(3)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x0x －2y －2y0＝0x2＝4y ，消去x 整理得y2＋(2y0－x20)y ＋y20＝0， 由一元二次方程根与系数的关系可得y1＋y2＝x20－2y0，y1y2＝y20，所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y20＋x20－2y0＋1.又点P(x0，y0)在直线l 上，所以x0＝y0＋2，所以y20＋x20－2y0＋1＝2y20＋2y0＋5＝2(y0＋12)2＋92，所以当y0＝－12时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为92.18．(文)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L ：y ＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F(0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ.[解析] (1)依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L ：y ＝－2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x2＝8y.(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直，设AB ：y ＝kx ＋2.A(x1，y1)，B(x2，y2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x2，可得x2－8kx －16＝0， ∴x1＋x2＝8k ，x1x2＝－16.抛物线方程为y ＝18x2，求导得y ′＝14x.所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k1＝14x1，k2＝14x2，k1k2＝14x1·14x2＝116x1·x2＝－1.所以AQ ⊥BQ.(理)(2013·长春三校调研)在直角坐标系xOy 中，点M(2，－12)，点F 为抛物线C ：y ＝mx2(m>0)的焦点，线段MF 恰被抛物线C 平分．(1)求m 的值；(2)过点M 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，设直线FA 、FM 、FB 的斜率分别为k1、k2、k3，问k1、k2、k3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由．[解析] (1)由题得抛物线C 的焦点F 的坐标为(0，14m )，线段MF 的中点N(1，18m －14)在抛物线C 上，∴18m －14＝m,8m2＋2m －1＝0，∴m ＝14(m ＝－12舍去)．(2)由(1)知抛物线C ：x2＝4y ，F(0,1)．设直线l 的方程为y ＋12＝k(x －2)，A(x1，y1)、B(x2，y2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋12＝k x －2，x2＝4y ，得x2－4kx ＋8k ＋2＝0， Δ＝16k2－4(8k ＋2)>0，∴k<2－62或k>2＋62. ⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝4k ，x1x2＝8k ＋2. 假设k1、k2、k3能成公差不为零的等差数列，则k1＋k3＝2k2.而k1＋k3＝y1－1x1＋y2－1x2＝x2y1＋x1y2－x2－x1x1x2＝x2x214＋x1x224－x2－x1x1x2＝x1x24－1x1＋x2x1x2 ＝8k ＋24－1·4k 8k ＋2＝4k2－k 4k ＋1， k2＝－34，∴4k2－k 4k ＋1＝－32，8k2＋10k ＋3＝0， 解得k ＝－12(符合题意)或k ＝－34(不合题意，舍去)． ∴直线l 的方程为y ＋12＝－12(x －2)，即x ＋2y －1＝0.∴k1、k2、k3能成公差不为零的等差数列，此时直线l 的方程为x ＋2y －1＝0.。
高三数学抛物线试题答案及解析
高三数学抛物线试题答案及解析1.过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于、两点，是坐标原点，当时，直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可知，点的横坐标时，满足，此时，故直线（即直线）的斜率的取值范围是.故选D.【考点】抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系.2.抛物线y＝2ax2(a≠0)的焦点是( )A．(，0)B．(，0)或(－，0)C．(0，)D．(0，)或(0，－)【答案】C【解析】将方程改写为，可知2p＝，当a＞0时，焦点为(0，)，即(0，)；当a＜0时，焦点为(0，－)，即(0，)；综合得，焦点为(0，)，选C考点:抛物线的基本概念3.设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为()A．y2＝2x B．y2＝4xC．y2＝x D．y2＝x【答案】B【解析】设M(x0,0)，P(0，y)，N(x，y)，∵⊥，＝(x0，－y)，＝(1，－y0)，∴(x0，－y)·(1，－y)＝0，∴x0＋y2＝0．由＝2，得(x－x0，y)＝2(－x，y)，∴即∴－x＋＝0，即y2＝4x．故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x．故选B．4.已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）x2－x＋y2＝4（2）存在，(1，－2)和(1,2)【解析】(1)连接CP、OP，由·＝0，知AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|．由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9．设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，化简，得到x2－x＋y2＝4．(2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x．由方程组，得x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0，故取x＝1，此时y＝±2．故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．5.设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得：，设A、B，则所求三角形的面积为=，故选D.【考点】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.6.若，则称点在抛物线C：外．已知点在抛物线C：外，则直线与抛物线C的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】A【解析】因为点在抛物线C：外，所以由与联立方程组消得：因此，所以直线与抛物线相交.【考点】直线与抛物线位置关系7.已知直线:与抛物线:交于两点,与轴交于,若,则_______.[【答案】【解析】解方程组得或，由得：.【考点】1、直线与圆锥曲线的关系；2、向量的运算.8.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由抛物线的定义得，，，故，，故，，又，故，从而．【考点】抛物线定义.9.已知直线交抛物线于两点．若该抛物线上存在点，使得为直角，则的取值范围为________．【答案】【解析】根据题意不妨设，则⊥∴∵为直角，点C与点A不同，∴∴∵∴10.如图，设抛物线的顶点为A，与x 轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点P，则点P落在AOB内的概率是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】解：设抛物线与轴正半轴及轴的正半轴所围成的区域的面积为则设事件“随机往M内投一点P，则点P落在AOB内”则,故选:C.【考点】1、定积分；2、几何概型.11.已知抛物线C：，点A、B在抛物线C上.（1）若直线AB过点M（2p，0），且=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（2）设直线OA、OB的倾斜角分别为，且，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）过定点【解析】（1）当直线斜率不存在时方程为，与的交点分别为M，N ，弦长。
人教版高中数学高考一轮复习--抛物线(课件)
由Δ=(4k2-8)2-4k2·
4k2=64(1-k2)≥0,
解得-1≤k≤1.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
抛物线的定义和标准方程
命题角度1 抛物线的定义及应用
例1 (1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标
交于A,B两点,|AB|=12,P为抛物线C的准线上一点,则△ABP的面积为( C )
A.18
B.24
C.36
D.48
依题意,不妨设抛物线 C 的方程为 y2=2px(p>0),
则焦点坐标为
,0
2
,将
x=2代入 y2=2px,可得
y=±p,
所以|AB|=2p=12,所以 p=6.
因为点 P 在准线上,所以点 P 到直线 l 的距离为 p=6,
如图,过点 M 作 MB⊥x 轴于点 B,
1
∵∠AMF=120°,∴∠BMF=30°,|BF|=2 − 2,
1
1
∴2|BF|=|MF|,即 2 2 - 2 = 2 + 2,解得 p=3.
故抛物线方程为 y2=6x.
7
(2)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是点 M,点 A 2 ,4 ,
7
A.2
5
B.2
C.3
∵ =4,∴||=4||.
∴
||
||
=
3
.
4
过点 Q 作 QQ'⊥l,垂足为 Q',
设 l 与 x 轴的交点为 A,
高三数学抛物线试题答案及解析
高三数学抛物线试题答案及解析1.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在其准线上的射影为，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，由抛物线定义，．而余弦定理，，再由，得到，所以的最大值为，故选：A．【考点】双曲线的简单性质.2.已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.（1）证明: 为定值;（2）若△POM的面积为，求向量与的夹角；(3)证明直线PQ恒过一个定点.【答案】（1）见解析； (2) ；(3)直线PQ过定点E（1，－4）.【解析】（1）设点根据、M、A三点共线，得计算得到=5；(2)设∠POM=α，可得结合三角形面积公式可得tanα="1."根据角的范围，即得所求.(3)设点、B、Q三点共线，据此确定进一步确定的方程，化简为得出结论.试题解析：（1）设点、M、A三点共线，2分5分(2)设∠POM=α，则由此可得tanα=1. 8分又 10分(3)设点、B、Q三点共线，即 12分即 13分由（*）式，代入上式，得由此可知直线PQ过定点E（1，－4）. 14分【考点】抛物线及其几何性质，直线方程，直线与抛物线的位置关系，转化与化归思想.3.以抛物线y2＝8x上的任意一点为圆心作圆与直线x＋2＝0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是()A．(0,2)B．(2,0)C．(4,0)D．(0,4)【答案】B【解析】x＋2＝0为抛物线的准线，根据抛物线的定义，圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，故这些圆恒过定点(2,0)．4.（5分）（2011•湖北）将两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（）A．n=0B．n=1C．n=2D．n≥3【答案】C【解析】根据题意和抛物线以及正三角形的对称性，可推断出两个边的斜率，进而表示出这两条直线，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．进而可知这样的三角形有2个．解：y2=2px（P＞0）的焦点F（，0）等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=2px（P＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于x轴轴对称两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x﹣），每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．故n=2，故选C点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．主要是利用抛物线和正三角形的对称性．5.已知圆P：x2+y2=4y及抛物线S：x2=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】圆的方程为，则其直径长圆心为，设的方程为，代入抛物线方程得：设，有∴线段的长按此顺序构成一个等差数列，，即，解得，故选A.【考点】1.抛物线的几何性质；2.直线与抛物线相交问题.6.抛物线上一点到直线的距离与到点的距离之差的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作出抛物线的图象如下图所示，则点为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，过点作垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义的可知，则点到直线的距离与到点的距离之差等于，当、、三点不共线时，由三角形三边之间的关系可知，，当点为射线与抛物线的交点时，，此时点到直线的距离与到点的距离取到最大值，故选D.【考点】1.抛物线的定义；2.数形结合7.（2011•浙江）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心为点M（1）求点M到抛物线C1的准线的距离；（2）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意画出简图为：由于抛物线C1：x2=y准线方程为：y=﹣，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心M（0，4），利用点到直线的距离公式可以得到距离d==．（2）设点P（x0，x2），A（x1，x12），B（x2，x22）；由题意得：x0≠0，x2≠±1，x1≠x2，设过点P的圆c2的切线方程为：y﹣x2=k（x﹣x）即y=kx﹣kx+x2①则，即（x02﹣1）k2+2x（4﹣x2）k+（x2﹣4）2﹣1=0设PA，PB的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2应该为上述方程的两个根，∴，；代入①得：x2﹣kx+kx0﹣x2="0" 则x1，x2应为此方程的两个根，故x1=k1﹣x，x2=k2﹣x∴kAB =x1+x2=k1+k2﹣2x=由于MP⊥AB，∴kAB •KMP=﹣1⇒故P∴．8.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由抛物线的定义得，，，故，，故，，又，故，从而．【考点】抛物线定义.9.抛物线的焦点坐标为．【答案】【解析】由于，焦点在轴的正半轴，所以，抛物线的焦点坐标为．【考点】抛物线的几何性质．10.已知抛物线：和：的焦点分别为，交于两点（为坐标原点），且.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线交的下半部分于点，交的左半部分于点，点坐标为，求△面积的最小值.【答案】（1）；（2）8.【解析】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、向量垂直的充要条件、两点间距离公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用抛物线的标准方程得到焦点的坐标，从而得到向量坐标，联立2个抛物线方程，解方程组，可求出A点坐标，从而得到向量的坐标，由于，所以，利用这个方程解出P的值，从而得到抛物线的方程；第二问，先设出过点O的直线方程，直线和抛物线联立，得到M点坐标，直线和抛物线联立得到N点坐标，由于，利用两点间距离公式得到3个边长，再利用基本不等式求面积的最小值.试题解析：（1）由已知得：，，∴ 1分联立解得或，即，，∴ 3分∵，∴，即，解得，∴的方程为． 5分『法二』设，有①，由题意知，，，∴1分∵，∴，有，解得， 3分将其代入①式解得，从而求得，所以的方程为． 5分（2）设过的直线方程为联立得，联立得 7分在直线上，设点到直线的距离为，点到直线的距离为则 8分10分当且仅当时，“”成立，即当过原点直线为时，11分△面积取得最小值． 12分『法二』联立得，联立得， 7分从而，点到直线的距离，进而9分令，有， 11分当，即时，即当过原点直线为时，△面积取得最小值． 12分【考点】抛物线的标准方程及其几何性质、向量垂直的充要条件、两点间距离公式、三角形面积公式.11.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在准线上的射影为的最大值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设，，由抛物线定义，得．在中，由余弦定理，得,,,,故选B.【考点】1.抛物线的定义；2.基本不等式.12.已知抛物线的焦点为,点为抛物线上的一点，其纵坐标为，.（1）求抛物线的方程；（2）设为抛物线上不同于的两点，且，过两点分别作抛物线的切线，记两切线的交点为，求的最小值.【答案】(1);(2).【解析】(1)对于开口向上的抛物线来说，，代入坐标，解出;(2)设,利用导数的几何意义，利用点斜式方程，分别设出过两点的切线方程，然后求出交点的坐标，结合，所得到的关系式，设，以及的坐标，将点的坐标转化为一个未知量表示的函数，，用未知量表示，转化为函数的最值问题，利用二次函数求最值的方法求出.中档偏难题型. 试题解析：（1）由抛物线定义得： 2分抛物线方程为 4分（2）设且即 6分 又处的切线的斜率为 处的切线方程为和由得8分设，由得10分 当时，12分【考点】1.抛物线的定义；2.导数的几何意义；3.函数的最值.13. 已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线交抛物线于A 、B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点M.(1)求证：A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列；(2)设直线MF 交该抛物线于C 、D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值． 【答案】（1）见解析（2）32【解析】(1)证明：由已知，得F(0，1)，显然直线AB 的斜率存在且不为0, 则可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由消去y ，得x 2－4kx －4＝0，显然Δ＝16k 2＋16>0.所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，由x 2＝4y ，得y ＝x 2，所以y′＝x,所以，直线AM 的斜率为k AM ＝x 1, 所以，直线AM 的方程为y －y 1＝x 1(x －x 1)，又＝4y 1,所以，直线AM 的方程为x 1x ＝2(y ＋y 1)①，同理，直线BM 的方程为x 2x ＝2(y ＋y 2)②，②－①并据x 1≠x 2得点M 的横坐标x ＝，即A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列．(2)解：由①②易得y ＝－1，所以点M 的坐标为(2k ，－1)(k≠0).所以k MF ＝＝－，则直线MF 的方程为y ＝－x ＋1，设C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)由消去y ，得x 2＋x －4＝0，显然Δ＝＋16>0,所以x 3＋x 4＝－，x 3x 4＝－4，又|AB|＝＝＝4(k 2＋1)，|CD|＝＝，因为k MF ·k AB ＝－1，所以AB ⊥CD ， 所以S ACBD ＝|AB|·|CD|＝8≥32,当且仅当k ＝±1时，四边形ACBD 面积取到最小值32.14. 如图，过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．【答案】y 2＝3x【解析】由抛物线定义，|BF|等于B 到准线的距离． 由|BC|＝2|BF|，得∠BCM ＝30°. 又|AF|＝3，从而A.由A 在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝.15. 过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A,B 两点.若|AF|=3,则|BF|= . 【答案】【解析】由题意知,抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知,点A 到准线x=-1的距离为3∴点A 的横坐标为2.将x=2代入y 2=4x 得y 2=8, 由图知点A 的纵坐标y=2, ∴A(2,2),∴直线AF 的方程为y=2(x-1). 由解得或由图知,点B 的坐标为,∴|BF|=-(-1)=.16. 若已知点Q(4,0)和抛物线y=x 2+2上一动点P(x,y),则y+|PQ|最小值为( ) A ．2+2 B ．11 C ．1+2 D ．6【答案】D【解析】抛物线y=+2的准线是y=1,焦点F(0,3).用抛物线的定义:设P 到准线的距离为d, 则y+|PQ|=d+1+|PQ|=|PF|+|PQ|+1≥|FQ|+1=5+1=6(当且仅当F,Q,P 共线时取等号), 故y+|PQ|的最小值是6.17. 设x 1,x 2∈R,常数a>0,定义运算“*”:x 1*x 2=(x 1+x 2)2-(x 1-x 2)2,若x≥0,则动点P(x,)的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【答案】D【解析】∵x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,∴==2. 则P(x,2).设P(x1,y1),即消去x得=4ax1(x1≥0,y1≥0),故点P的轨迹为抛物线的一部分.18.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】作出图形,可知点(0,1)在抛物线y2=4x外.因此,过该点可作抛物线y2=4x的切线有两条,还能作一条与抛物线y2=4x的对称轴平行的直线,因此共有三条直线与抛物线只有一个交点.19.已知M是y=x2上一点,F为抛物线的焦点.A在C:(x-1)2+(y-4)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值为()A．2B．4C．8D．10【答案】B【解析】【思路点拨】利用抛物线的定义,数形结合求解.由题意可知,焦点坐标为F(0,1),准线方程为l:y=-1.过点M作MH⊥l于点H,由抛物线的定义,得|MF|=|MH|.∴|MA|+|MF|=|MH|+|MA|,当C,M,H,A四点共线时,|MA|=|MC|-1,|MH|+|MC|有最小值, 于是,|MA|+|MF|的最小值为4-(-1) -1=4.20.过抛物线焦点的直线交其于，两点，为坐标原点．若，则的面积为（）A．B．C．D．2【答案】C【解析】设直线的倾斜角为及，∵，∴点到准线的距离为，∴，则．∴的面积为．故选C.【考点】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系.21.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A、B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．【答案】（1）y 2＝8x .（2）24【解析】(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M . 由得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m ＞0，∴m ＞－2.y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，∴m ＝8或m ＝0(舍)， ∴l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)，故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝|FM |·|y 1－y 2|＝3＝24.22. 抛物线y ＝x 2上的点到直线x ＋y ＋1＝0的最短距离为________． 【答案】【解析】由于f ′(x )＝2x ，设与直线x ＋y ＋1＝0平行且与抛物线相切的直线与抛物线切于点A (x 0，y 0)，由导数几何意义可知2x 0＝－1，求得切点为.切点A到直线x ＋y ＋1＝0的距离最小，由点到直线距离公式易得最小值为23. O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )A ．2B ．2C ．2D ．4【答案】C【解析】由题意知抛物线的焦点F(，0)，如图，由抛物线定义知|PF|＝|PM|，又|PF|＝4，所以x P ＝3，代入抛物线方程求得y P ＝2，所以S △POF ＝·|OF|·y P ＝2.24. 抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P(x ，y)为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，则的最小值是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】依题意知x≥0，焦点F(1,0)，则|PF|＝x ＋1，|PA|＝＝.当x ＝0时，＝1；当x>0时，1<＝≤＝(当且仅当x ＝1时取等号)．因此当x≥0时，1≤≤，≤≤1，的最小值是.25.设为抛物线的焦点，为抛物线上三点，若为的重心，则的值为( )A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由条件，∵是的重心，则有，即，而.【考点】1.重心公式；2.焦半径公式.26.已知点Ｆ为抛物线的焦点，O为原点，点Ｐ是抛物线准线上一动点，Ａ在抛物线上，且＝４，则＋的最小值是【答案】【解析】∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为-2，又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标A（-2，4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）,则|PA|+|PO|的最小值为：|AB|=,故答案.【考点】抛物线的简单性质.27.已知抛物线，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为-2，则该抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵焦点为，∴设直线为，∵直线交抛物线于两点，∴∴消参得，设，∴，∵线段的中点的纵坐标为-2，∴，∴，∴抛物线的准线方程为.【考点】1.直线的方程；2.韦达定理；3.抛物线的焦点、准线；4.中点坐标公式.28.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则此双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【答案】C．【解析】因为抛物线的焦点的坐标为又抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，．由已知抛物线与双曲线在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则点的横坐标为1，代入得再把代入，与联立得方程组消去得，解这个关于的双二次方程，得．【考点】抛物线与双曲线简单的几何性质（焦点、离心率）．29.某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段，已知跳水板长为2m，跳水板距水面的高为3m，=5m，=6m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点m（）时达到距水面最大高度4m，规定：以为横轴，为纵轴建立直角坐标系.（1）当=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可以将抛物线的方程设为顶点式.由顶点（3,4），然后代入点可将抛物线方程求出；（2）将抛物线的方程设为顶点式，由点得.将用表示.跳水运动员在区域内入水时才能达到压水花的训练要求，所以方程在区间[5,6]内有一解，根据抛物线开口向下，由函数的零点与方程的根的关系，令，由，且可得的取值范围.试题解析：（1）由题意知最高点为，，设抛物线方程为， 4分当时，最高点为（3,4），方程为，将代入，得，解得.当时，跳水曲线所在的抛物线方程. 8分（2）将点代入得，所以.由题意，方程在区间[5,6]内有一解. 10分令，则，且.解得. 14分达到压水花的训练要求时的取值范围. 16分【考点】1.抛物线的顶点式方程；2.函数的零点与方程的根.30.如图，已知抛物线焦点为，直线经过点且与抛物线相交于，两点（Ⅰ）若线段的中点在直线上，求直线的方程；（Ⅱ）若线段，求直线的方程【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)根据已知条件设出未知的点的坐标和斜率，根据两点间的斜率公式和中点坐标公式找等价关系，求出直线的斜率，由已知得的根据斜截式求出直线方程； (Ⅱ)设出直线的方程为，这样避免讨论斜率的存在问题，与抛物线的方程联立方程组，得到根与系数的关系，根据直线与抛物线相交的交点弦的长来求参数的值试题解析：解：(Ⅰ)由已知得交点坐标为， 2分设直线的斜率为，，,中点则，，所以，又，所以4分故直线的方程是：6分(Ⅱ)设直线的方程为，7分与抛物线方程联立得，消元得，9分所以有，，11分所以有，解得，13分所以直线的方程是：，即15分【考点】1、直线的方程；2、直线与圆锥曲线的关系31.抛物线的准线截圆所得弦长为2，则= .【答案】2【解析】抛物线的准线为，而圆化成标准方程为，圆心，，圆心到准线的距离为，所以，即.【考点】1.抛物线的准线方程；2.勾股定理.32.在平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设，是轴上的两点，过点分别作轴的垂线，与曲线分别交于点，直线与x轴交于点，这样就称确定了．同样，可由确定了．现已知，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据抛物线的定义及标准方程求解；（Ⅱ）先由求，再由求.试题解析：（Ⅰ）因为曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，根据抛物线定义知，曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为． 4分（Ⅱ）由题意知，，，则，故． 6分令，得，即． 8分同理，， 9分于是． 10分【考点】抛物线的概念、曲线的交点.33.已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】据已知可得直线的方程为，联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得，由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或.【考点】1.直线与抛物线的位置关系；2.方程组的解法.34.如图所示，设抛物线的焦点为，且其准线与轴交于，以，为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为P.（1）当时，求椭圆的方程；（2）是否存在实数，使得的三条边的边长是连续的自然数？若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）依题意由抛物线方程容易得椭圆的方程，代入既得椭圆方程；（2）假设存在满足条件的实数，由抛物线和椭圆方程求交点P，使得，求得.试题解析：（1）抛物线的焦点为, 1分椭圆的半焦距，离心率，所以椭圆的长半轴长，短半轴长，3分所以椭圆的方程为, 4分当时，椭圆的方程. 6分（2）假设存在满足条件的实数由，解得, 8分，，, 11分所以的三条边的边长分别是，，所以当时使得的三条边的边长是连续的自然数. 13分【考点】1、抛物线和椭圆的方程及性质;2.存在性问题.35.（5分）抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是（）A．B．2C．D．1【答案】D【解析】由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），∴点F（2，0）到直线的距离d==1．故选D．36.过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D。
2016届高考数学文一轮复习(人教版)讲义9.7抛物线
§9.7 抛物线1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质[1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78 D ．0 答案 B解析 M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]答案 C解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.3．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．4 D ．2 5 答案 B解析 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p2＝3，∴p ＝2，∴y 2＝4x .∴y 20＝4×2＝8， ∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3.4．双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为________．答案 4解析 双曲线的左焦点坐标为(－ 3＋p 216，0)，抛物线的准线方程为x ＝－p2. ∴－3＋p 216＝－p2，∴p 2＝16. 又p >0，则p ＝4.题型一 抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标． 思维点拨 |PF |等于P 点到准线的距离．解 将x ＝3代入抛物线方程 y 2＝2x ，得y ＝±6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．(2014·课标全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( ) A.72 B.52C ．3D ．2答案 C解析 ∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|，∴|PQ ||PF |＝34. 如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34，∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C. 题型二 抛物线的标准方程和几何性质例2 抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．思维点拨 先确定方程的形式设出方程，再由已知条件求出参数． 解 由题意，得抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)． 设公共弦MN 交y 轴于A ，N 在y 轴右侧， 则|MA |＝|AN |，而|AN |＝ 5. ∵|ON |＝3，∴|OA |＝32－(5)2＝2，∴N (5，±2)．∵N 点在抛物线上，∴5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，58，准线方程为y ＝－58. 抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－58，准线方程为y ＝58. 思维升华 (1)抛物线有四种不同形式的标准方程，要掌握焦点与准线的距离，顶点与准线、焦点的距离，通径与标准方程中系数2p 的关系．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．(3)焦点到准线的距离，简称焦距，抛物线y 2＝2px (p >0)上的点常设为(y 22p，y )，便于简化计算．(2013·福建)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径． 解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5， 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C (y 204，y 0)，则圆C 的方程为(x －y 204)2＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎨⎧Δ＝4y 20－4(1＋y 202)＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y202＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为(32，6)或(32，－6)，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332. 题型三 抛物线焦点弦的性质例3 设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O . 思维点拨 证明k OC ＝k OA .证明 方法一 设AB ：x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y A y B ＝－p 2，即y B ＝－p 2y A.∵BC ∥x 轴，且C 在准线x ＝－p 2上，∴C (－p2，y B )．则k OC ＝y B －p 2＝2p y A ＝y Ax A ＝k OA .∴直线AC 经过原点O .方法二 如图，记准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为D .则AD ∥EF ∥BC .连接AC 交EF 于点N ， 则|EN ||AD |＝|CN ||AC |＝|BF ||AB |， |NF ||BC |＝|AF ||AB |. ∵|AF |＝|AD |，|BF |＝|BC |， ∴|EN |＝|AD |·|BF ||AB |＝|AF |·|BC ||AB |＝|NF |， 即N 是EF 的中点，从而点N 与点O 重合， 故直线AC 经过原点O .思维升华 解决与抛物线的焦点有关的问题，常用到以下结论： ①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(|AB |为弦长，θ为AB 的倾斜角)．③1|AF |＋1|BF |＝2p. 恰当运用这些结论，就会带来意想不到的效果，特别是在解选择题、填空题时可以直接应用．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M 、N 两点，且|MN |＝8. (1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 是抛物线C 的切线，且l ∥MN ，P 为l 上一点，求PM →·PN →的最小值．解 (1)由题意可知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则该直线方程为：y ＝x －p2，代入y 2＝2px (p >0)， 得：x 2－3px ＋p 24＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝3p . ∵|MN |＝8，∴x 1＋x 2＋p ＝8， 即3p ＋p ＝8，解得p ＝2. ∴抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设l 方程为y ＝x ＋b ，代入y 2＝4x ， 得x 2＋(2b －4)x ＋b 2＝0，∵l 为抛物线C 的切线，∴Δ＝(2b －4)2－4b 2＝0， 解得b ＝1，∴l 方程为y ＝x ＋1. 由(1)可知：x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1.由P (m ，m ＋1)，则PM →＝(x 1－m ，y 1－(m ＋1))， PN →＝(x 2－m ，y 2－(m ＋1))，∴PM →·PN →＝(x 1－m )(x 2－m )＋[y 1－(m ＋1)][y 2－(m ＋1)] ＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2－(m ＋1)(y 1＋y 2)＋(m ＋1)2. ∵x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，y 1y 2＝－4，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴y 1＋y 2＝4x 1－x 2y 1－y 2＝4，∴PM →·PN →＝1－6m ＋m 2－4－4(m ＋1)＋(m ＋1)2 ＝2(m 2－4m －3)＝2[(m －2)2－7]≥－14.当且仅当m ＝2，即点P 的坐标为(2,3)时，PM →·PN →的最小值为－14. 题型四 直线与抛物线的综合性问题例4 已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标．(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值．(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．思维点拨 (3)中证明QA →·QB →＝0.解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m )．(2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14. (3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2m ，x 1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m)．得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m )，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m)， 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m )＝0， 结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞)．∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．(2014·大纲全国)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程． 解 (1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p .所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p .由题设得p 2＋8p ＝54×8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 的中点为E (2m 2＋2m 2＋3，－2m )，|MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4(m 2＋1)2m 2＋1m 2， 由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋(2m ＋2m )2＋(2m 2＋2)2＝4(m 2＋1)2(2m 2＋1)m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.直线与圆锥曲线问题的求解策略典例：(12分)(2014·山东)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形． (1)求C 的方程．(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 思维点拨 (1)应用抛物线的定义求p ；(2)①由直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，求出含参数的直线AE 的方程，分离参数得出直线过定点；②用点A 坐标表示出△ABE 的面积，用基本不等式求最小值． 解 (1)由题意知F (p2，0)．设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为(p ＋2t 4，0)． 因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪t －p 2， 解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)．由p ＋2t 4＝3，解得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .[3分](2)①由(1)知F (1,0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)．因为|F A |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1，由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)，故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02. 因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ， 代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0， 由题意得Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.[5分] 设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20. 当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)．由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)， 直线AE 恒过点F (1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)，所以直线AE 过定点F (1,0)．[7分]②由①知直线AE 过焦点F (1,0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎫1x 0＋1 ＝x 0＋1x 0＋2. 设直线AE 的方程为x ＝my ＋1.因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1，y 1)．直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)， 由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0， 代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0， 所以y 0＋y 1＝－8y 0， 可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4. 所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝⎛⎭⎫y 0＋8y 0－11＋m 2＝4(x 0＋1)x 0＝4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0.[10分] 则△ABE 的面积S ＝12×4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0＋2≥16， 当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立． 所以△ABE 的面积的最小值为16.[12分]答题模板解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．温馨提醒 (1)解决直线与圆锥曲线结合的问题，一般都采用设而不求的方法，联立方程，由根与系数的关系去找适合该问题的等量关系．(2)在解决此类问题时常用到焦半径、弦长公式，对于距离问题，往往通过定义进行转化．(3)利用“点差法”可以将曲线的二次关系转化为一次关系即直线的关系，从而求直线斜率．方法与技巧1．认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．2．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化．抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p 2. 失误与防范1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．2．注意应用抛物线的定义解决问题．3．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．(2014·安徽)抛物线y ＝14x 2的准线方程是( ) A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2答案 A解析 ∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y . ∴准线方程为y ＝－1.2．(2014·辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12 答案 C解析 ∵点A (－2,3)在抛物线C 的准线上，∴p 2＝2，∴p ＝4. ∴抛物线的方程为y 2＝8x ，则焦点F 的坐标为(2,0)．又A (－2,3)，根据斜率公式得k AF ＝0－32＋2＝－34. 3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2 答案 B解析 ∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p 2，0)， ∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2， 即x ＝y ＋p 2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2， 即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 2答案 A解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，所以x 1x 2＝p 24；②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB ：y ＝k (x －p 2)，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.故y 1y 2＝－p 2.故y1y 2x 1x 2＝－4.5.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x答案 C解析 如图，分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则|KF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C. 6．(2013·江西)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案 6解析 由题意知B ⎝⎛⎭⎫p 3，－p 2，代入方程x 23－y 23＝1得p ＝6. 7．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为3，延长PF 交抛物线于Q ，若O 为坐标原点，则S △OPQ ＝______.答案 322解析 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|PF |＝3，由抛物线定义知：点P 到准线x ＝－1的距离为3，∴点P 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点P 的纵坐标y ＝22，∴P (2,22)，∴直线PF 的方程为y ＝22(x －1)．联立直线与抛物线的方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2. 由图知Q ⎝⎛⎭⎫12，－2，∴S △OPQ ＝12|OF |·|y P －y Q | ＝12×1×|22＋2|＝322. 8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝M B →，则p ＝________.答案 2解析 如图，由AB 的斜率为3，知∠α＝60°，又AM →＝M B →，∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ，则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°.∴||BP ＝12||AB ＝||BM . ∴M 为焦点，即p 2＝1，∴p ＝2.9.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．解 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1k x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2p k 2. ∴A 点坐标为⎝⎛⎭⎫2p k 2，2p k ，同理得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )， 由|OA |＝1，|OB |＝8，可得⎩⎨⎧ 4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2(k 2＋1)＝64， ②②÷①解方程组得k 6＝64，即k 2＝4.则p 2＝16k 2(k 2＋1)＝45. 又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x . 10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解 (1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.①因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.②联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24. 所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2| ＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．(2014·课标全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，x 0等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 A解析 由抛物线的定义，可得|AF |＝x 0＋14， ∵|AF |＝54x 0，∴x 0＋14＝54x 0，∴x 0＝1. 12．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为( )A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22)答案 D解析 如图所示，由题意，可得|OF |＝1，由抛物线的定义，得|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴S △AMF S △AOF＝12×|AF |×|AM |×sin ∠MAF 12×|OF |×|AF |×sin (π－∠MAF )＝3， ∴|AF |＝|AM |＝3，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，∴y 204＋1＝3，∴y 204＝2，y 0＝±22， ∴点A 的坐标是(2，±22)．13．(2013·课标全国Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为________．答案 2 3解析 由y 2＝42x 知：焦点F (2，0)，准线x ＝－ 2.设P 点坐标为(x 0，y 0)，则x 0＋2＝42，∴x 0＝32，∴y 20＝42×32＝24，∴|y 0|＝26，∴S △POF ＝12×2×26＝2 3. 14．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________.答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4. 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k， y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2.15．(2014·安徽)如图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2.(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值． (1)证明 设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，得A 1⎝⎛⎭⎫2p 1k 21，2p 1k 1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，得A 2⎝⎛⎭⎫2p 2k 21，2p 2k 1. 同理可得B 1⎝⎛⎭⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝⎛⎭⎫2p 2k 22，2p 2k 2. 所以A 1B 1→＝⎝⎛⎭⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1＝2p 1⎝⎛⎭⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1. A 2B 2→＝(2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1)＝2p 2(1k 22－1k 21，1k 2－1k 1)． 故A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→，所以A 1B 1∥A 2B 2. (2)解 由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2，所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.因此S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|A 1B 1→||A 2B 2→|2. 又由(1)中的A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→知|A 1B 1→||A 2B 2→|＝p 1p 2， 故S 1S 2＝p 21p 22.。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 抛物线及其性质练习 理-人教版高三全册数学试题
§9.6抛物线及其性质考纲解读分析解读 1.熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式.2.会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质,会由几何性质确定抛物线的标准方程.3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主,分值约为12分,属偏难题.五年高考考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2016课标全国Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.8答案 B2.(2016某某,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )A. B.C. D.1答案 C3.(2017课标全国Ⅱ,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M 为FN的中点,则|FN|=.答案 64.(2016某某,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案9教师用书专用(5—8)5.(2015某某,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.答案 26.(2014某某,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则=.答案1+7.(2013某某,20,14分)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.解析(1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy,由题意易知=,且结合c>0,解得c=1.所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=x2,求导得y'=x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,联立方程消去x整理得y2+(2y0-)y+=0.由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=+-2y0+1.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2,所以+-2y0+1=2+2y0+5=2+.所以当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为.8.(2013某某,21,13分)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k1>0,k2>0,证明:·<2p2;(2)若点M到直线l的距离的最小值为,求抛物线E的方程.解析(1)由题意得,抛物线E的焦点为F,直线l1的方程为y=k1x+.由得x2-2pk1x-p2=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实数根.从而x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2p+p.所以点M的坐标为,=(pk1,p).同理可得点N的坐标为,=(pk2,p),于是·=p2(k1k2+).由题设知k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,所以0<k1k2<=1.故·<p2(1+12)=2p2.(2)由抛物线的定义得|FA|=y1+,|FB|=y2+,所以|AB|=y1+y2+p=2p+2p,从而圆M的半径r1=p+p.故圆M的方程为(x-pk1)2+=(p+p)2,化简得x2+y2-2pk1x-p(2+1)y-p2=0.同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2+1)y-p2=0.于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2-k1)x+(-)y=0.又k2-k1≠0,k1+k2=2,则l的方程为x+2y=0.因为p>0,所以点M到直线l的距离d===.故当k1=-时,d取最小值.由题设知=,解得p=8.故所求的抛物线E的方程为x2=16y.考点二抛物线的几何性质1.(2015某某,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B 在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( )A. B.C. D.答案 A2.(2013某某,6,5分)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是( )A. B. C.1 D.答案 B3.(2016某某,14,5分)设抛物线(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3,则p的值为.答案教师用书专用(4—5)4.(2013,7,5分)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于( )A. B.2 C. D.答案 C5.(2013某某,14,5分)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=.答案 6考点三直线与抛物线的位置关系1.(2014课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )A. B. C. D.答案 D2.(2014某某,10,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( )A. B. C. D.答案 D3.(2017,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.解析(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=,x1x2=.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y1+-2x1=====0,所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.教师用书专用(4—5)4.(2016某某,22,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);②求p的取值X围.解析(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为,由点在直线l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4.所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.①由消去x得y2+2py-2pb=0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1≠y2,从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0.方程(*)的两根为y1,2=-p±,从而y0==-p.因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).②因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,所以p<.因此,p的取值X围是.5.(2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.解析(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(5分)(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2++=.化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2018某某某某一模,3)若抛物线y2=2px的焦点与双曲线-=1的右焦点重合,则p的值为( )A.-2B.2C.-4D.4答案 D2.(2018某某某某质检,7)已知点M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p 的值为( )A.1B.2C.3D.4答案 D3.(2017皖北协作区3月联考,3)已知抛物线C:x2=2py(p>0),若直线y=2x被抛物线所截弦长为4,则抛物线C 的方程为( )A.x2=8yB.x2=4yC.x2=2yD.x2=y答案 C4.(2017某某百校联盟质检,4)已知抛物线C:y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4,且|AF|>2,则点A到原点的距离为( )A.3B.4C.4D.4答案 B5.(2017某某某某二模,14)已知点A(1,y1),B(9,y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,y2>y1>0,点F是抛物线的焦点,若|BF|=5|AF|,则+y2的值为.答案10考点二抛物线的几何性质6.(2018某某某某模拟,8)抛物线y2=16x的焦点为F,点A在y轴上,且满足||=||,B是抛物线的准线与x轴的交点,则·=()A.-4B.4C.0D.-4或4答案 C7.(2018某某某某一模,8)过点M作圆x2+y2=1的切线l,l与x轴的交点为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,l与抛物线E交于A、B两点,则AB的中点到抛物线E的准线的距离为( )A. B.3C. D.4答案 D8.(2017某某红色七校一联,7)已知抛物线y=x2和y=-x2+5所围成的封闭曲线如图所示,给定点A(0,a),若在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点A对称,则实数a的取值X围是( )A.(1,3)B.(2,4)C. D.答案 D9.(2017某某九校联考,14)已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|=.答案 2考点三直线与抛物线的位置关系10.(2018某某某某模拟,7)已知点A(-1,-2)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,记C的焦点为F,过点F且与x 轴垂直的直线与抛物线交于M,N两点,则线段MN的长为( )A.4B.2C.2D.1答案 A11.(2018某某某某模拟,7)如图,过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,若|BC|=|BF|,且|AF|=4+2,则p=( )A.1B.2C.D.3答案 B12.(2017某某某某一模,11)过抛物线C:x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若抛物线C在点B处的切线的斜率为1,则|AF|=( )A.1B.2C.3D.4答案 A13.(人教A选2—1,二,2-4A,5,变式)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线与双曲线x2-=1的一条渐近线平行,并交抛物线于A、B两点,若|AF|>|BF|,且|AF|=2,则抛物线的方程为( )A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD.y2=x答案 AB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:40分钟)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018某某某某一模,10)抛物线M:y2=4x的准线与x轴交于点A,点F为焦点,若抛物线M上一点P满足PA⊥PF,则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为(参考数据:≈2.24)()A. B. C. D.答案 D2.(2017某某五校3月联考,11)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点(5,m)到焦点的距离为6,P、Q分别为抛物线C 与圆M:(x-6)2+y2=1上的动点,当|PQ|取得最小值时,向量在x轴正方向上的投影为( )A.2-B.2-1C.1-D.-1答案 A二、填空题(每小题5分,共15分)3.(2017某某某某调研,15)已知抛物线x2=4y与圆C:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0)有公共点P,若抛物线在P点处的切线与圆C也相切,则r=.答案4.(2017某某某某模拟,16)如图所示,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点恰好是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F,且两曲线交点的连线也过焦点F,则该椭圆的离心率为.答案-15.(2017某某某某模拟,16)已知抛物线x2=4py(p>0)的焦点为F,直线y=x+2与该抛物线交于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线,垂足为N,若·+(+)·=-1-5p2,则p的值为.答案三、解答题(共15分)6.(2018某某某某模拟,20)如图,已知过抛物线E:x2=4y的焦点F的直线交抛物线E于A、C两点,经过点A的直线l1分别交y轴、抛物线E于点D、B(B与C不重合),∠FAD=∠FDA,经过点C作抛物线E的切线为l2.(1)求证:l1∥l2;(2)求三角形ABC面积的最小值.解析(1)证明:抛物线E:x2=4y的焦点为F(0,1),且直线AF的斜率一定存在,故设AF的方程为y=kx+1.设A(x1,y1),C(x2,y2)(不妨设x2>0),由得x2-4kx-4=0⇒x1+x2=4k,x1x2=-4,∵∠FAD=∠FDA,∴|AF|=|DF|,y1+=y D-1,∴y D=y1+2.∴直线l1的斜率k1==,∵x1x2=-4,∴k1==x2,又∵y'=x,∴过C(x2,y2)的切线斜率k2=x2.即k1=k2,∴l1∥l2.(2)由(1)得直线l1的斜率为x2,故直线l1的方程为y=x2x++2,联立得x2-2x2x--8=0,∴x1+x B=2x2,x1x B=-(+8).∴|AB|=·=2·,点C到直线l1的距离d=====,三角形ABC的面积S=×|AB|×d=(x2-x1)3.由(1)可得x2-x1=4,∴当k=0时,(x2-x1)min=4,∴当k=0时,三角形ABC的面积S=(x2-x1)3取到最小值,S min=×43=16.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 求抛物线的标准方程的方法1.(2018某某某某模拟,6)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,2)是抛物线C上一点,圆M与y轴相切且与线段MF相交于点A,若=2,则p等于( )A.1B.2C.2D.4答案 B2.(2017某某某某二模,4)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上一点,若A到F的距离是A到y轴距离的两倍,且三角形OAF的面积为1,O为坐标原点,则p的值为( )A.1B.2C.3D.4答案 B3.(2017某某某某模拟,14)函数y=a x-1(a>0且a≠1)的图象恒过点P,则焦点在x轴上且过点P的抛物线的标准方程是.答案y2=x方法2 抛物线定义的应用策略4.(2018某某某某模拟,7)已知点A(3,0),过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B,若|PB|=|PA|,则点P的横坐标为( )A.1B.C.2D.答案 C5.(2018某某某某模拟,7)设抛物线的顶点在原点,其焦点在x轴上,又抛物线上的点A(-1,a)与焦点F的距离为2,则a=( )A.4B.4或-4C.-2D.-2或2答案 D6.(2018某某某某模拟,14)已知F是抛物线y=x2的焦点,M、N是该抛物线上的两点,|MF|+|NF|=3,则线段MN的中点到x轴的距离为.答案7.(2017某某四地六校4月模拟,15)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过点F与抛物线C交于A,B两点,且|AB|=6,若AB的垂直平分线交x轴于P点,则P点的坐标为.答案(4,0)8.(2016某某某某模拟,13)如图,点F是抛物线y2=8x的焦点,点A,B分别在抛物线及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值X围是.答案(8,12)方法3 解决直线与抛物线位置关系问题的方法9.(2018某某某某一模,9)过抛物线C:x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点,若抛物线C在点B处的切线斜率为1,则线段|AF|=( )A.1B.2C.3D.4答案 A10.(2017某某某某长郡中学模拟,20)在平面直角坐标系xOy中,过点C(2,0)的直线与抛物线y2=4x相交于A、B 两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)求证:y1y2为定值;(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在,求出该直线的方程和弦长,如果不存在,说明理由.解析(1)证明:设直线AB的方程为my=x-2.由得y2-4my-8=0,∴y1y2=-8,为定值.(2)存在.设存在直线x=a满足条件.设AC的中点为E,则E,|AC|=,因此以AC为直径的圆的半径r=|AC|==,点E到直线x=a的距离d=,所以所截弦长为2=2==.当1-a=0,即a=1时,弦长为定值2,这时直线方程为x=1.。
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【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第9章 第6节 抛物线 北师大版一、选择题1．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线[答案] D[解析] 把直线x ＝－1向左平移一个单位，两个距离就相等了，符合抛物线的定义． 2．已知抛物线x 2＝ay 的焦点恰好为双曲线y 2－x 2＝2的焦点，则a ＝( ) A ．1 B ．4 C ．8 D ．16[答案] C[解析] 根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a4)，双曲线的焦点为(0,2)，依题意则有a4＝2，解得a ＝8.3．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A ．x 2＝4y B ．x 2＝－4y C ．y 2＝－12x D ．x 2＝±12y[答案] D[解析] 由题意得c ＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)． ∴该抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y .4．(文)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48[答案] C[解析] 本题考查抛物线的相关概念、焦点弦、通径等．设抛物线为y 2＝2px ，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线x ＝－p2，由|AB |＝2p ＝12，知p ＝6，所以F到准线距离为6，所以三角形面积为S ＝12³12³6＝36.(理)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ．若△OAF (O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x[答案] B[解析] 本小题考查抛物线的有关概念以及直线与抛物线关系．由已知得抛物线焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0， ∴AF 所在直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，∴S △OAF ＝12³⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2²|a |4＝a216＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8，∴抛物线的方程为y 2＝±8x .5．(2014²辽宁高考)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12[答案] C[解析] 考查了直线与抛物线的有关知识． 把A (－2,3)代入y 2＝2px 的准线方程，得p ＝4. ∴F 为(2,0)∴k AF ＝0－32＋2＝－34.正确求出焦点F 是关键．6．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，并且满足OA ⊥OB ，则y 1y 2等于( )A ．－4p 2B ．－3p 2C ．－2p 2D ．－p 2[答案] A[解析] ∵OA ⊥OB ，∴OA →²OB →＝0.① ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∵A 、B 都在抛物线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y 212p，x 2＝y222p .代入①得y 212p ²y 222p＋y 1y 2＝0，解得y 1y 2＝－4p 2.二、填空题7．(文)(2013²北京高考)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________．[答案] 2 x ＝－1[解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由p 2＝1知p ＝2，则准线方程为x ＝－p2＝－1.(理)设抛物线的顶点在原点，焦点F 在y 轴上，且抛物线上的点P (k ，－2)到点F 的距离为4，则k 的值为________．[答案] 4或－4[解析] 由题意可设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，则p2＋2＝4，p ＝4，k 2＝－2³4(－2)，∴k ＝4或－4.8．下图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m ，水面宽4m ，水位下降1m 后，水面宽________m.[答案] 2 6[解析] 本题考查了抛物线的标准方程与数学建模能力．如图建立直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py ，代入P (2，－2)得2p ＝2，∴x 2＝－2y ，当y ＝－3时，x 2＝6，∴x ＝±6，则此时水面宽为26m.9．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________[答案] y 2＝4x[解析] 设抛物线的方程为y2＝ax (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝axy ＝x得交点A (0,0)，B (a ，a )，而点P (2,2)是AB 的中点，从而有a ＝4，故所求抛物线的方程为y 2＝4x .三、解答题10．(2014²江西高考)如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值．[解析] (1)∵直线AB 过定点M (0,2)由分析知直线AB 斜率一定存在． ∴可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝－8. 又直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ，BD 的方程为x ＝x 2.解得交点D 的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2y ＝y 1x 1x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2y ＝y 1x 2x 1又∵x 1x 2＝－8，x 21＝4y 1. ∴y ＝y 1² －8 x 1x 1＝－8y 1x 21＝－8y 14y 1＝－2.∴点D 在定直线y ＝－2(x ≠0)上(2)由题意分析可知，切线l 的斜率存在且不为0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)代入x 2＝4y 并化简得x 2－4ax －4b ＝0. ∵l 为切线，∴△＝(4a )2＋16b ＝0，化简得b ＝－a 2. ∴切线方程为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2得N 1、N 2点的坐标为N 1(2a ＋a,2)，N 2(－2a＋a ，－2)，则|MN 2|2－|MN 1|2＝(2a －a )2＋42－(2a＋a )2＝8∴|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.一、选择题1．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16[答案] B[解析] 如图，kAF ＝－3，∴∠AFO ＝60°， ∵|BF |＝4，∴|AB |＝43，即P 点的纵坐标为43， ∴(43)2＝8x ，∴x ＝6，∴|PA |＝8＝|PF |，故选B ．2．(文)已知点M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种情形都有可能[答案] B[解析] 如图，由MF 的中点A 作准线l 的垂线AE ，交直线l 于点E ，交y 轴于点B ；由点M 作准线l 的垂线MD ，垂足为D ，交y 轴于点C ，则MD ＝MF ，ON ＝OF ， ∴AB ＝OF ＋CM 2＝ON ＋CM 2＝DM 2＝MF2，∴这个圆与y 轴相切． (理)(2014²台州模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，F 关于原点的对称点为P ，过F 作x 轴的垂线交抛物线于M 、N 两点，有下列四个命题：①△PMN 必为直角三角形；②△PMN 不一定为直角三角形；③直线PM 必与抛物线相切；④直线PM 不一定与抛物线相切．其中正确的命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④[答案] A[解析] 因为|PF |＝|MF |＝|NF |，故∠FPM ＝∠FMP ，∠FPN ＝∠FNP ，从而可知∠MPN ＝90°，故①正确，②错误；令直线PM 的方程为y ＝x ＋p2，代入抛物线方程可得y 2－2py ＋p 2＝0，Δ＝0，所以直线PM 与抛物线相切，故③正确，④错误．二、填空题3．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足NF ＝32MN ，则∠NMF ＝________.[答案]π6[解析] 过N 作准线的垂线，垂足是P ，则有PN ＝NF ， ∴PN ＝32MN ，∠NMF ＝∠MNP . 又cos ∠MNP ＝32， ∴∠MNP ＝π6，即∠NMF ＝π6.4．设P 是抛物线y ＝x 2上的点，若P 点到直线2x －y －4＝0的距离最小，则P 点的坐标为________．[答案] (1,1)[解析] 解法1：设P 点坐标为(x 0，x 2)，由点到直线的距离公式得d ＝|2x 0－x 20－4|5＝55|x 20－2x 0＋4|＝55|(x 0－1)2＋3|≥355. 由上式可知当x 0＝1时，d min ＝355.∴点P 的坐标为(1,1)．解法2：如图，平移2x －y －4＝0这条直线至过点P 与抛物线相切，则P 点到直线的距离最短．设P (x 0，y 0)，∵y ′＝2x .∴过P 点的切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝2. ∴x 0＝1，y 0＝x 20＝1，故P 点坐标为(1,1)． 三、解答题5．已知直线AB 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，OD ⊥AB 于点D ，点D 的坐标为(2,1)，求抛物线的方程．[解析] 由题意得k OD ＝12，∵AB ⊥OD ，∴k AB ＝－2，又直线AB 过点D (2,1)， ∴直线AB 的方程为y ＝－2x ＋5，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵以AB 为直径的圆过点O ， ∴OA →²OB →＝0， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋5y 2＝2px 得4x 2－(2p ＋20)x ＋25＝0，∴x 1＋x 2＝p ＋102，x 1x 2＝254，∴y 1y 2＝(－2x 1＋5)(－2x 2＋5)＝4x 1x 2－10(x 1＋x 2)＋25＝25－5p －50＋25＝－5p ， ∴254＋(－5p )＝0，∴p ＝54， ∴抛物线方程为y 2＝52x .6．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． [分析] (1)设出抛物线方程，利用待定系数法求解． (2)可考虑“点差法”表示直线AB 的斜率．[解析] (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)． ∵点P (1,2)在抛物线上， ∴22＝2p ³1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ， 准线方程是x ＝－1.(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－1x 2－1(x 2≠1)， ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， ∴k PA ＝－k PB ．由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1① y 22＝4x 2②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1， ∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．[点评] (1)求抛物线的标准方程常采用待定系数法．利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p 的值．(2)对于和抛物线有两个交点的直线问题，“点差法”是常用方法．如若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px 上两点，则直线AB 的斜率k AB 与y 1＋y 2可得如下等式：由y 21＝2px 1① y 22＝2px 2②②－①得y 22－y 21＝2p (x 2－x 1)， ∴y 2－y 1x 2－x 1＝2p y 2＋y 1(x 1≠x 2)，∴k AB ＝2py 2＋y 1.。