用代数法解平面几何问题
解析几何知识点总结
解析几何知识点总结解析几何是数学的一个分支，它是通过代数方法研究几何问题的一种数学分支。
它通过将几何问题转化为数学问题，利用代数方法进行求解。
解析几何是数学中的一个重要部分，它涉及到坐标系、直线、曲线等概念。
在这篇文章中，我将对解析几何的一些重要知识点进行总结和解析。
一、平面坐标系在解析几何中，平面坐标系是一种重要的工具。
平面坐标系是由两个相互垂直的坐标轴组成，它们交于一个点，这个点被称为坐标原点。
我们可以通过在坐标轴上选择一个单位长度，来与某个点之间的距离进行比较。
平面上的点可以用有序数对表示，其中第一个数表示点在水平方向上的位置，第二个数表示点在垂直方向上的位置。
利用平面坐标系，我们可以更加直观地描述几何问题。
二、直线方程直线是解析几何中的重要概念，它可以用方程进行表示。
直线方程有多种形式，最常见的是斜截式方程和点斜式方程。
斜截式方程是一种常见的表示直线的方法，它的形式为y=mx+b，其中m是直线的斜率，b是直线与y轴的交点。
点斜式方程是另一种表示直线的方法，它的形式为y-y₁=m(x-x₁)，其中m是直线的斜率，(x₁,y₁)是直线上的一点。
通过直线方程，我们可以很方便地求解直线与坐标轴的交点、直线之间的夹角等问题。
三、曲线方程解析几何中的曲线方程是一种用代数方法描述曲线的方程。
曲线方程可以分为参数方程和一般方程两种形式。
参数方程是一种表示曲线上的点的方法，它的形式为x=f(t)，y=g(t)，其中t是参数，f(t)和g(t)是关于t的函数。
一般方程是另一种表示曲线的方法，它的形式为F(x,y)=0，其中F(x,y)是关于x和y的多项式函数。
通过曲线方程，我们可以研究曲线的形状、性质等问题。
四、圆的方程在解析几何中，圆是一个重要的曲线，它可以通过方程进行表示。
圆的方程有多种形式，最常见的是标准方程和一般方程。
标准方程是一种常见的表示圆的方法，它的形式为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
破解解析几何问题常见的技巧
4
所以△ F 1 MN 内切圆半径 r 最大，即 △1 最大.
设直线 l 的方程为 x ＝ my ＋ 3 （ m ≠0），
＝＋ 3，
2＋4） y 2＋2 3 my －1＝0，Δ＞0显然
由ቐ 2
得（
m
＋ 2 = 1，
4
−2 3
−1
成立，则 y 1＋ y 2＝ 2 ， y 1 y 2＝ 2 ，
消去
y
，得63
x
2
4
4
2
− =1
9
193＝0，∵Δ＝1262－4×63×（－193）＞0，且 x 1 x 2＜0，∴直线 AB
与双曲线的两支分别相交，∴D满足题意.故选D.
高中总复习·数学
解法分析
解析几何是高中数学中用代数方法研究几何问题的重要分支，解题的
第一步通常是把几何条件转化为代数语言，即转化为方程或函数问
值域容易确定的另一函数，求得其值域，从而求得原函数的值域，形
如 y ＝ ax ＋ b ± ＋ （ a ， b ， c ， d 均为常数，且 ac ≠0）的函数
常用此法求解，但在换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价
转化，这样目标函数的值域才不会发生变化.
高中总复习·数学
技巧5
妙借向量，更换思路
12
12
则 2 ＋ 2 ＝1，
22
22
＋ 2 ＝1，
2
②
①
.
高中总复习·数学
①－②得
（1 ＋2 )(1 −2 ）
1 −2
当
＝－1时
1 −2
2
＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
2
代数与图形的综合运用
利用代数方法研 究几何图形的性 质和关系
利用几何图形解 释代数方程的意 义和作用
代数与几何的综合 运用在数学教育和 科学研究中的应用
代数与三角形的综合运用
代数方程与三 角形的边长关
系
代数表达式与 三角形的角度
关系
代数方程与三 角形的面积和
周长的计算
代数方程与三 角形的中线、 高线和角平分 线的长度关系
代数与立体图形的解题技巧
代数与立体图形的关系：理解代数与立体图形的内在联系，掌握将立体图形问题转化为代数问题的 技巧。
代数表达式的几何意义：掌握代数表达式的几何意义，能够根据几何意义求解代数问题。
代数与立体图形的综合运用：掌握代数与立体图形综合运用的方法，能够运用代数知识解决立体图 形问题。
代数与三角形的解题技巧
利用代数方程表示三角形边长和角度关系 利用三角形的性质简化代数方程 利用代数方法求解三角形面积和周长 结合代数与三角函数解决实际问题
代数与平面图形的解题技巧
代数与平面图形结合：理解几何意义，将代数问题转化为几何问题 建立代数方程：利用已知条件，建立代数方程求解
运用平面几何知识：利用平面几何知识，如勾股定理、相似三角形等，解决代数问题 代数与平面图形综合运用的解题步骤：先分析问题，再选择合适的方法，最后进行验证
题目：已知直角三角形ABC的两条 直角边长分别为a、b，求斜边c的 长度。
题目：已知等腰三角形ABC的底边 长为a，腰长为b，求等腰三角形 ABC的面积。
题目：已知等腰三角形ABC的面积 为S，底边长为a，求腰长b。
代数与平面图形的综合运用练习题
添加标题
题目：已知直线l经过点A(2,3)和点B(-1,-3)，求直线l的方程，并判断点 P(1,1)是否在直线l上。
高中数学中的平面解析几何知识点总结
高中数学中的平面解析几何知识点总结高中数学中的平面解析几何是一个重要的知识板块，它将代数与几何巧妙地结合在一起，为我们解决几何问题提供了全新的思路和方法。
下面就让我们一起来详细梳理一下平面解析几何的相关知识点。
一、直线1、直线的方程点斜式：若直线过点\（（x_0,y_0)＼），斜率为\（k\），则直线方程为\（y y_0 ＝ k(x x_0)＼）。
斜截式：若直线斜率为\（k\），在\（y\）轴上的截距为\（b\），则直线方程为\（y ＝ kx ＋ b\）。
两点式：若直线过点\（（x_1,y_1)＼）和\（（x_2,y_2)＼），则直线方程为\（＼frac{y y_1}｛y_2 y_1} ＝＼frac{x x_1}｛x_2 x_1}＼）。
截距式：若直线在\（x\）轴、＼（y\）轴上的截距分别为\（a\）、＼（b\）（＼（a\neq 0\），＼（b\neq 0\）），则直线方程为\（＼frac{x}｛a} ＋＼frac{y}｛b} ＝ 1\）。
一般式：＼（Ax ＋ By ＋ C ＝ 0\）（＼（A\）、＼（B\）不同时为\（0\））。
2、直线的位置关系平行：两条直线\（y_1 ＝ k_1x ＋ b_1\）和\（y_2 ＝ k_2x ＋ b_2\）平行，当且仅当\（k_1 ＝ k_2\）且\（b_1 ＼neq b_2\）；对于一般式直线\（A_1x ＋ B_1y ＋ C_1 ＝ 0\）和\（A_2x ＋ B_2y ＋ C_2 ＝ 0\）平行，当且仅当\（A_1B_2 A_2B_1 ＝ 0\）且\（A_1C_2 A_2C_1 ＼neq0\）。
垂直：两条直线\（y_1 ＝ k_1x ＋ b_1\）和\（y_2 ＝ k_2x ＋ b_2\）垂直，当且仅当\（k_1k_2 ＝－1\）；对于一般式直线\（A_1x ＋ B_1y ＋ C_1 ＝ 0\）和\（A_2x ＋ B_2y ＋ C_2 ＝ 0\）垂直，当且仅当\（A_1A_2 ＋ B_1B_2 ＝ 0\）。
解析几何求解技巧
解析几何求解技巧解析几何是高等数学的重要分支之一，它主要研究几何图形的性质和相关问题的解法。
解析几何的求解技巧是解决几何问题的关键，下面将介绍几种常用的解析几何求解技巧。
一、坐标法：坐标法是解析几何中最常见的求解技巧。
它利用坐标系和坐标代数的方法，通过确定几何图形上的点的坐标，将几何问题转化为代数方程的求解问题。
具体的求解步骤可以概括为：1. 建立坐标系。
根据题目所给条件，确定适当的坐标系，并选择合适的单位长度。
2. 确定几何图形上的点的坐标。
根据题目所给条件，推导出几何图形上点的坐标关系。
可以运用平面几何中的基本性质和定理，通过代数方法求解。
3. 转化为代数方程。
根据几何图形的性质和定理，将几何问题转化为代数方程的求解问题。
这一步骤需要灵活应用代数方程的解法技巧。
4. 求解代数方程。
根据所得的代数方程，运用代数解法将方程求解。
5. 检验结果。
将求得的解代入原方程中，验证是否满足题目所给条件。
如果满足，即为几何问题的解；如果不满足，需重新检查求解过程。
二、向量法：向量法是解析几何中另一种常用的求解技巧。
它运用向量的概念和运算，通过向量的相等、垂直、平行等性质，推导出几何图形和问题的解法。
具体的求解步骤可以概括为：1. 确定坐标系和向量的表示。
建立适当的坐标系，确定向量的表示方法。
常用的表示方法有坐标表示法、定点表示法和参数表示法等。
2. 利用向量的性质和运算推导条件。
根据题目所给条件，利用向量的性质和运算，推导出几何图形上的条件和关系。
3. 利用向量之间的关系求解。
根据所得的几何图形上的条件，利用向量的关系，运用向量的加减、数量积、向量积等运算进行求解。
4. 检验结果。
将求得的解代入原方程中，验证是否满足题目所给条件。
如果满足，即为几何问题的解；如果不满足，需重新检查求解过程。
三、分析法：分析法是解析几何中辅助性的求解技巧。
它通过对几何图形的分析，将几何问题转化为具有明确几何意义的问题，并通过几何性质和定理的应用，求解问题。
《解析几何初步》教材分析
教材分析：平面解析几何初步解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究几何图形的性质，即建立直角坐标系，通过点与坐标、曲线与方程之间的对应关系，将几何问题转化为代数问题，充分体现了数形结合的数学思想。
1．本章教学目标通过本章的学习，学生初步学会在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，体会与感悟运用代数方法研究直线和圆几何性质的思想，了解空间直角坐标系。
体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；2.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式以及直线方程的几种形式转化(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系；3.掌握利用斜率判定两条直线平行或垂直的方法；能用解方程的方法求两直线的交点坐标；4.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；6.通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；理解空间两点间的距离公式；7.通过平面解析几何初步的学习，使学生体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“形”和“数”的对立和统一，渗透数学中普遍存在的动静变化、相互联系、相互转化的辩证观点，提高学生的数学素养，培养学生良好的思维品质。
2．本章设计意图本章包含了直线与方程、圆与方程、空间直角坐标系三部分内容。
本章的编写强化了解析几何研究问题的思维和方法：本章在直线和圆的方程处理上，以学生熟悉的问题(生活实例、数学问题等)为背景，按照“问题情境—数学活动—意义建构—数学理论—数学应用—反思”的顺序结构，引导学生主动参与探索，通过师生共同对问题的分析，使学生感受用坐标、方程刻画点、直线、圆等图形的一般方法，逐步体会解析几何的基本思想。
两次相遇求距离的解题方法
两次相遇求距离的解题方法
在数学中，我们可以使用几何方法或代数方法来解决两次相遇求距离的问题。
下面将介绍常见的解题方法：
1. 几何方法：
-连线法：在平面上绘制两个运动物体的运动轨迹，然后找到它们的相交点。
通过测量相交点与起始位置的距离，可以得到两次相遇的距离。
-三角法：如果你知道两次相遇的时间和两个物体的速度，可以使用三角关系来计算两次相遇的距离。
假设两个物体的速度分别为v1和v2，两次相遇的时间间隔为t，那么相遇的距离为d = v1 * t = v2 * t。
2. 代数方法：
-方程法：设两个物体的起始位置分别为x1和x2，速度分别为v1和v2。
分别写出两个物体的位置方程：x1 + v1 * t = x2 + v2 * t。
通过解这个方程，找到相遇的时间t，然后代入其中一个位置方程，可以求得相遇的距离。
-比例法：假设两个物体的速度比为k（即v1/v2=k），两次相遇的
时间分别为t1和t2。
根据速度距离的关系，我们可以得到比例方程：v1 * t1 = v2 * t2。
通过解这个方程，可以求得t1和t2。
然后，计算一个物体在t1时间内所走的距离，就是两次相遇的距离。
无论使用几何方法还是代数方法，都可以解决两次相遇求距离的问题。
具体选择哪种方法取决于题目的要求和提供的信息。
平面向量问题的两个求解思路
平面向量问题的两个求解思路平面向量问题是高中数学中的重要内容，涉及到向量的加减、数量积、向量积等多个概念和运算。
在解决平面向量问题时，有两个常用的求解思路，分别是几何法和代数法。
一、几何法几何法是指通过图形直观地理解向量的性质和运算规律，从而解决平面向量问题的方法。
几何法的优点是能够帮助学生形成直观的几何感，加深对向量概念的理解，同时也能够提高学生的空间想象能力。
几何法的主要思路是通过图形构造和几何推理，确定向量的方向、大小和运算结果。
1. 向量的加减向量的加减可以通过平移法和三角形法进行求解。
平移法是指将一个向量平移至另一个向量的起点，然后连接两个向量的终点，所得的向量即为它们的和。
三角形法是指将两个向量的起点和终点连接成一个三角形，所得的第三条边即为它们的和，而两个向量的差则是以其中一个向量为底边，以另一个向量的负向量为高的平行四边形的对角线。
2. 向量的数量积向量的数量积可以通过向量投影和余弦定理进行求解。
向量投影是指将一个向量在另一个向量上的投影长度乘以另一个向量的模长，所得的结果即为它们的数量积。
余弦定理是指将两个向量的夹角余弦值乘以它们的模长之积，所得的结果即为它们的数量积。
3. 向量的向量积向量的向量积可以通过平行四边形法和行列式法进行求解。
平行四边形法是指将两个向量的起点相连，然后以它们为邻边构造一个平行四边形，所得的向量即为它们的向量积。
行列式法是指将两个向量的坐标表示成行列式的形式，然后按照行列式的定义进行计算，所得的结果即为它们的向量积。
二、代数法代数法是指通过向量的坐标表示和代数运算，从而解决平面向量问题的方法。
代数法的优点是能够提高学生的代数运算能力，同时也能够简化向量运算的复杂度。
代数法的主要思路是将向量的坐标表示成列向量或行向量的形式，然后按照向量的代数运算规律进行计算。
1. 向量的加减向量的加减可以通过向量的坐标表示和矩阵运算进行求解。
向量的坐标表示可以将向量表示成列向量或行向量的形式，然后按照矩阵加减法的规律进行计算。
“新教材解读”之(5)——平面解析几何初步读书笔记
数学通讯（2008年第23期）“新教材解读”之（5）——平面解析几何初步刘运新（湖北省武汉市华中科技大学附中，430074）平面解析几何是高中数学的经典内容，其所含知识点及教学要求在课程标准中均有很清楚的叙述。
下面摘抄的是刘老师对“平面解析几何初步”一章的认识及教学建议。
1.课程标准与大纲要求的比较第一，基本理念的差异：大纲对该内容更强调科学性、系统性，教材编写时遵循连续性，要求一步到位。
课标分阶段地给出平面解析几何的内容遵循螺旋式上升的原则。
第二，所含知识点的差异：本章增加了“空间直角坐标系”这一内容，删减了“二元一次不等式表示的平面区域”、“简单的线性规划及其应用”、“两条直线所成的角”、“圆的参数方程”等内容，移到其他模块或系列中去学习。
第三，知识点处理上的差异：由于课标与大纲在知识体系上发生了很大的变化，因此有些内容的处理相应地应该发生改变。
如：直线的倾斜角和斜率的处理、两条直线平行与垂直的判定等。
根据课标的要求，关于直线与圆增加了一些新内容，加强了信息技术的应用部分，知识的引入更注重了与实际的联系，更注重了知识的形成过程。
2.“平面解析几何初步”的教学建议第一，注意对知识“断层”的适当补充：由于高中新的课程标准处于试用阶段，有些章节的衔接尚有“断层”之处，在教学中要适时作出适当的补充。
第二，注重与初中知识的衔接：本章是直接建立在直角坐标系、一次函数、三角函数、圆等初中已学过的数学知识的基础上，教学时要注意在学生熟知的知识上引入新的知识。
第三，引入概念时，注重结合实际：解析几何与实际结合非常紧密，有些概念本身就是从实际问题中直接归纳得出的。
教学时，要引导学生多举一些实际生活中学生熟知的例子，增强学生应用数学知识的能力与意识，并加深对引入该数学概念的必要性的认识。
第四，应将数形结合的思想贯穿始末：在本章教学中，教师应帮助学生经历如下过程，首先将几何问题代数化，即用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，然后用代数方法求解，这种思想应贯穿平面解析几何教学的始末，帮助学生不断地加深对数形结合思想方法的体会。
高等数学 第七章 空间解析几何与向量代数 第五节 平面及其方程
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二,指出下列各平面的特殊位置,并画出各平面: 1, 2 x 3 y 6 = 0 ; 2, y + z = 1; 3,6 x + 5 y z = 0 . 三,求过点( 1 , 1 ,1 ) , ( 2 ,2 , 2 ) 和( 1 ,1 , 2 ) 三点的 平面方程 . 四,点( 1 , 0 ,1 ) 且平行于向量a = { 2 , 1 , 1 }和 b = { 1 ,1 , 0 }的平面方程 . 五 , 求 通过 Z 轴 和 点 ( 3 , 1 , 2 ) 的 平面方 程 . 六 ,求 与 已 知 平 面 2 x + y + 2 z + 5 = 0 平 行 且 与 三 坐 标面 所构 成的 四面体 体积 为 1 的平 面方程 .
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D D D 将A = , B = , C = , a b c
代入所设方程得
x
z
c
y
o
a
b
x y z + + = 1 平面的截距式方程 a b c
x 轴上截距
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y 轴上截距
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z 轴上截距
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例 5 求平行于平面6 x + y + 6 z + 5 = 0 而与三个坐 标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
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例 1 求过三点 A( 2,1,4), B( 1,3,2) 和
C (0,2,3)的平面方程.
解
AB = { 3, 4,6} AC = {2, 3,1}
取 n = AB × AC = {14, 9,1}, 所求平面方程为 14( x 2) + 9( y + 1) ( z 4) = 0, 化简得 14 x + 9 y z 15 = 0.
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１０
中等数学
用代数法解平面几何问题
李建泉
（天津师范大学数学教育科学与数学奥林匹克研究所，嬲）
ｔ，用代数法解某些平面几何问题，既可以
避免添加过多的辅助线，又为我们提供了更
为灵活的解题途径．本文结合例题作一介绍．
、首先给出本文涉及到的一些公式．
＋？
设△仰Ｃ的外接圆、内切圆半径分别为
尺、ｒｊ三边长分别为口、６、ｃ，半周长为Ｐ，面
积为ｓ．
（１）欧拉（Ｅｕｌｅｒ）公式
若△ＡＢＣ的外心、内心分别为Ｄ、，，则
Ｄ，＝／葡面雨；。
（２）ｒ：４Ｒｓｉｎ辱．ｓｉｎ导．ｓｉｎ导；
‘二●
（３）斯特瓦尔特（溉）定理
若Ｄ为△Ａ船的边ＢＣ上一点，则
ＡＤ２＝塑尘与掣一掣·霉；“毋
（４汹号＝√｝罐掣；ｊ．‘
（５）．ｓ；ｐｒ＝篆·２Ｒ２８ｉｎ
Ａ．ｓｉｎ曰．ｓｉｎｃ
＝√ｐ（ｐ一口）（ｐ一６）（ｐ—ｃ），
其中，最后一个公式为海伦（Ｈｅ咖）公式；
（６）角平分线长公式
么Ａ的角平分线长：
＋铲熹硐＝燕ｃ毒害．
。下面举例说明．
例１设锐角△Ａ朋的内切圆、外接圆
分别为∞、ｎ，外接圆半径为Ｒ．圆嘶与ｎ内
切于点Ａ且与ｃｃ，外切；圆仍与ｎ内切于点
Ａ且与ｃｃ，内切．设Ｐ＾、Ｑ＾分别是叫一、哦的圆
心．同理定义点心、仉，＆、仉．证明：
收稿日期：２０嘴一１０一１４
。＿８ＰＡＱ＾·ＰＢＱＢ·ＰｃＱｃ≤搿，
当且仅当△ＡＢｃ是正三角形时，上式等号
成立．
。（２００７，美国数学奥林匹克）
证明：如图ｌ，设△彻ｃ的内切圆半径为
ｒ，内心为，，外心为Ｄ，圆∞。、力。的半径分
别为Ｈ、ｔ，．
图ｌ
。则Ａ尸ｊ＝ｕ，一Ｄ＝Ｒ一“，峨＝ｒ＋Ⅱ·’
’，注意到Ｐ＾是仝ＡＤ，Ｉ哆边似上的点，由
斯特瓦尔特定理得。｜。
（ｒ＋“）２：ｊ￡』！兰＿＝；掣一Ⅱ（Ｒ：ｎ）．
将０，＝／丽琢雨代入得
一’
（髓２一ｒ２）冠
。。
Ⅱ２
１，面一一
又伪＝＿与亍４Ｒｓｉｒｉ罢．ｓｉｎ导，痢
ｓ１‘÷ｉ
—ｉ４尺）２秆詈·秆导·ｏ季７：、
¨丽丐葫弓辱习Ｒ
万方数据
２００８年第１２期
Ｒ．
同理，因为ＡＱ＾＝ｔ，，仉Ｄ＝月一口，叼一＝
＂一ｒ，所以，
１（…）２＝业丛笋巡“Ｒ二：掣！．
于如专学＝哼扣．，
故只ＱＡ＝ｔ，一ｕ＝＿＿ｒ』■面气皇
‘
。洫鲁·耐吾
融ｎ了＋趴ｎ万。８ｌｎ万一
同理，岛仉＝
ＰｃＱｃ＝
Ｒ．
。ｉｎ昙．甜导
８ｍ虿。ｃｏｓ虿
—■Ｆ１
ｃｏｓ万。ｃｏｓ万
Ｃ
２
Ｃ
ｓｍ可‘ｃｏｓ可
＿
一
—■ｒ１
ｃ０８虿。．ｃ０８虿
尺．
Ｒ．
放８ＰＡＱＡ‘ＪＰｓＱＢ’ＲＱｃ。
＝８熊ｉｎ扣ｎ争ｓｉｎ导．，
由均值不等式和琴生不等式得
８１ｎ虿Ⅶｎ虿蚀ｎ虿
≤Ｉ生学垡）３
叫兰孚）３
如掣问‘
≤（ｓｉｒＩ立字卜吾．‘
故８只Ｑ一’ＰＢＱＢ·ＪＰｃＱｃ
＝８矾ｉｎ知ｎ知ｎ导蜊．
当且仅当△Ａ曰ｃ是正三角形时，上式等
号成立．
注：ｓｉｎ号？ｉｎ詈．Ｓｉｎ导≤吉也可哆由欧
拉不等式Ｒ≥２ｒ得到．实际上，只要将ｒ＝
４尺ｓｉｎ罢．ｓｉｎ詈．ｓｉｎ导代人欧拉不等式即可．
例２设△彻Ｃ的半周长为ｐ，内切圆半
径为ｒ，内心到三个顶点Ａ、曰、ｃ的距离分别
为‘、ｋ、ｚｃ·证明：号＋云＋毒＋云≤刍·
ｊ（２００６，泰国数学奥林匹克）
证明：设△ＡＢＣ的三边长分别为口、６、
ｃ，面积为．ｓ．注意到
和ｉｎ孚＝√止警＿
≤血＝．盟塑趔：之
２￣／６ｃ２￣／６ｃ
口￣／６ｃ，口２（６＋ｃ）
２百每—瓦瓦一’
则寻，云＋毒＋云
≤弓＋毪≯＋毪≯＋毪≯
一（璺±！±￡２
１尘±丝±竺！
一
４幽
又（口牟６＋ｃ）２≥３（０６＋厶ｃ＋ｃ口），贝０‘
寻＋云＋考＋毒≤垒拦．
因此，只要证明鱼掣≤番，即
只要证８ｐ
ｒ２≤出．
注意到
８ｐ
ｒ２≤幽铮８ｒｓ≤４冗ｓ铮２ｒ≤Ｒ，
由欧拉不等式可得原不等式成立．
例３在△ＡＢＣ中，么Ａ的角平分线与
曰ｃ交于点Ｄ，Ｄ在ＡＢ、Ａｃ上的投影分别为
Ｅ、Ｆ．设朋的长等于ｆ＾，同理定义ｂ、Ｚ。．若
△ＡＢｃ的周长为ｚ，证明：笔当≤刍．
（２００７，韩国数学奥林匹克）
Ａ一２一ｃ一２
一一曰一２
渤～．星
一
＋
洒一
ｎ
ｓ
一．龇
一一一一一曰一２
咖一啷
＝
万方数据
，。证明：设△船Ｃ的三边长分别为口、６、
ｃ，面积为ｓ，半周长为ｐ，三条角平分线长分
别为ｔ。、“、ｋ．
因为Ａ、Ｅ、Ｄ、Ｆ四点共圆。且加为直
径，所以，
‘厶＝秘ｉｎ
Ａ＝焘√却（ｐ—Ｄ）ｓｉｎ
Ａ
≤￣／ｐ（ｐ一口）ｓｉｎ
Ａ．．
‘…
故‰ｆｃ≤ｐｓｓｉｎ
Ａ．ｓｉｎ肌ｉｎ
ｃ＝褰
因此，只要证萌筹≤岳．…。．
因为丢＝譬，所以，只要证丢≤Ｌ．：
注意到
丢≤等仁圮ｓ≤ｐ尺营２ｐｒ≤ｐＲ铮２ｒ≤Ｒ，
由欧拉不等式可得原不等式成立．．…
托勒密定理往往能够解决一些与圆内接
四边形有关的问题．下面以２００８年全国高中
数学联赛加试第一题为例，说明托勒密定理
的意义．
例４如图２，给定凸四边形脚，么曰
＋．么Ｄ＜１８００，Ｐ是
平面上的动点，令，
八Ｐ）＝ＰＡ·嬲＋
ＰＤ·ｃ４＋
‘Ｐｃ·ＡＢ．
（１）求证：当
八Ｐ）达到最小值
图２
Ｄ
时，Ｐ、Ａ、口、Ｃ四点共圆；
（２）设Ｅ是△仙Ｃ外接圆ＯＤ的船上·
点，弗足筹＝雩，器＝朽一ｊ，２Ｅｃ８等
去么删，又删、们是０Ｄ的切线，Ａｃ＝
厶
ｊ
√２，求以Ｐ）的最小值．一
（１）证明：在四边形麟（含凹四边形
中等数学
和广义四边形）中，由广义托勒密定理得
ＰＡ·Ｂｃ＋ＰＣ‘ＡＢ≥ＰＢ·ＡＣ．‘
故八Ｐ）≥咫·Ａｃ＋肋·“
。＝ＡＣ（ＢＰ＋尸Ｄ）≥ＡＣ·ＢＤ．１
当且仅当Ｐ为△Ａ嬲的外接圆与肋的
交点时，上式等号成立，故．厂（Ｐ）取得最小值
ＡＣ‘ＢＤ．
。（２）解：如图３，
－。
设舾＝历菇，佃＝
２戈，嬲＝砺一１），，，
＾。
们＝，，，肛的中点
为Ｆ．鼬ＢＦ＝ＡＥ＝
以菇．舾：职：尉．
’图３
在四边形ＡＢ髓中，由托勒密定理得
ＡＦ‘ＢＥ＋ＥＦ’ＡＢ＝ＡＥ。ＢＦ．
于是，明２＋ＢＥ·２戈＝（、压戈）２，
（日Ｅ一菇）（ＢＥ＋３菇）＝０．
因此，船＝茗．
因为ＡＥ２＋明２＝４石２＝佃２，所以，
么Ａ皿＝９００，ＡＢ为直径．
在四边形Ａ凹Ｅ中，由托勒密定理得
ＡＥ·Ｂｃ＋ＢＥ·ＡＣ＝ＥＣ·ＡＢ．
即√３石（√３一１）ｙ＋菇√２＝，，·２石．．，
因此，，，：坚学．．，，
，ｏ．
因为船＝“３—１）ｙ＝√２＝Ａｃ，么Ａｃ８
＝９００，所以，△加Ｃ是等腰直角三角形，且
佃：压ＡＣ＝２．‘
又么Ｄ甜＝么ＤＡＣ＝么Ａ嬲＝４５０，因此，
△ＡＣＤ也是等腰直角三角形．‘
‘所以，ＡＤ：篑：１．
吖二
因为蹦是切线，Ａ曰是直径，所以，
么Ｄ衄＝９００．。
于是，肋＝￣／ＡＤ２＋仰２＝朽．
，‘故以Ｐ）的最小值Ａｃ·肋：轭×朽＝厂面．
万方数据
用代数法解平面几何问题
作者：李建泉， LI Jian-quan
作者单位：天津师范大学教学教育科学与数学奥林匹克研究所,300387
刊名：
中等数学
英文刊名：HIGH-SCHOOL MATHEMATICS
年，卷(期)：2008，(12)
引用次数：1次
1.苏化明 一道美国数学奥林匹克试题的注记[期刊论文]-中等数学 2009(9)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdsx200812004.aspx
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