2022年上海市长宁区中考数学二模试题及答案解析

2022年上海市长宁区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数3.14、0、√8、π2、22
7、√49
中，无理数有( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
2. 下列各题的运算结果是五次单项式的是( ) A. 2mn 2+3mn 2 B. 3mn 3×2m
C. (3m 2n)2
D. (2m 2)3
3. 如图，已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，P 是直线l 外的一点，BC =2AB ，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，那么PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. −2m ⃗⃗⃗ +3n ⃗ B. −m ⃗⃗⃗ +2n ⃗ C. 2m ⃗⃗⃗ −n ⃗ D. 4m
⃗⃗⃗ −3n ⃗ 4. 小张从外地出差回家，根据当地防疫要求，需进行连续14天体温测量，具体结果如表：
那么这14天小张测量的体温中，体温的众数和中位数分别是( )
A. 36.1℃，36.3℃
B. 36.5℃，36.3℃
C. 36.3℃，36.4℃
D. 36.5℃，36.4℃
5. 一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax 2+bx 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能
是( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，cotA =65，那么以边AC 长的3
2倍为半径的圆A 与以BC 为直
径的圆的位置关系是( )
A. 外切
B. 相交
C. 内切
D. 内含
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
7. 计算：xy 6÷xy 3=______．
8. 分解因式：4a 2−16=______．
9. 方程√7−x=3的解是______．
10. 将直线y=−2x+6向左平移三个单位后，所得直线的表达式为______．
11. 已知在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=12
的图象经过位于x轴上方的点A，点B的
x
坐标为(−4,0)，且△AOB的面积等于8，那么点A的坐标为______．
12. 盒子里只放有2只红球、3只白球，这五只球除颜色外其他都相同．如果从这个盒子里摸出两只球，那么摸出的两只球都是红球的概率等于______．
13. 纳米(nm)是长度单位，1纳米为十亿分之一米，即1nm=10−9m.一根头发的直径约为0.005cm，那么0.005cm=______nm.(用科学记数法表示)
14. 某商店销售A、B两种型号的新能源汽车，销售一辆A型汽车可获利2.4万元，销售一辆B 型汽车可获利2万元．如果该商店销售A、B两种型号汽车的数量如图所示，那么销售一辆汽车平均可获利______万元．
15. 已知一个正多边形的中心角为45°，边长为5，那么这个正多边形的周长等于______．
16. 已知在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD，BD=BC，那么∠A等于______度．
17. 我们知道，两条邻边之比等于黄金分割数√5−1
2
的矩形叫做黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，点E在边BC上，将这个矩形沿直线AE折叠，使点B落在边AD上的点F处，那么EF与CE的比值等于______．
18. 如图，M是Rt△ABC斜边AB上的中点，将Rt△ABC绕点B旋转，使得点C落在射线CM上的点D处，点A落在点E处，边ED的延长线交边AC于点F.如果BC=6，AC=8，那么CF的长等于______．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
19. 计算：512+2−1−|√5−2|+(2022−π)0．
四、解答题（本大题共6小题，共68.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题10.0分)
解不等式组：{2x+3≤5
x
2
+1
3
>x−2
6
，并写出这个不等式组的自然数解．
21. (本小题10.0分)
如图，已知在半圆O中，AB是直径，CD是弦，点E、F在直径AB上，且四边形CDFE是直角梯形，∠C=∠D=90°，AB=34，CD=30.求梯形CDFE的面积．
22. (本小题10.0分)
在同一条公路上，甲车从A地驶往B地，乙车从B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．甲车行驶2小时后，因故停车一段时间，然后按原速继续驶往B地，最后两车同时到达各自的终点．如果甲车的速度比乙车每小时快10千米，如图表示甲车离A地的路程S(千米)与时间t(时)
的函数关系，问：
(1)甲、乙两车行驶时的速度分别为每小时多少千米？
(2)两车在离A地多少千米处相遇？(结果保留三位有效数字)
23. (本小题12.0分)
已知：如图，在△ABC中，D是边BC上一点，G是线段AD上一点，且AG=2GD，联结BG并延长，交边AC于点E．
(1)求证：AE
CE =2BD
BC
；
(2)如果D是边BC的中点，P是边BC延长线上一点，且CP=BC，延长线段BE，交线段AP于点F，联结CF、CG，求证：四边形AGCF是平行四边形．
24. (本小题12.0分)
如图，已知菱形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，点D的坐标为(4,1)，抛物线
y=5
6x2+bx+c经过点A、B、D，对称轴为直线x=23
10
．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求证：菱形ABCD是正方形；
(3)联结OC，如果P是x轴上一点，且它的横坐标大于点D的横坐标，∠PCD=∠BCO，求点P的坐标．
25. (本小题14.0分)
如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，P是边BC上一点，∠APC=45°，PD⊥AB，垂足为点D，AB=4√5，BP=4．
(1)求线段PD的长；
(2)如果∠C的平分线CQ交线段PD的延长线于点Q，求∠CQP的正切值；
(3)过点D作Rt△ABC的直角边的平行线，交直线AP于点E，作射线CE，交直线PD于点F，求
CE
的值．
EF
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：在实数3.14、0、√8、π
2、227
、√49
中，无理数有√8，π
2，共2个，
故选：C ．
根据无理数的定义逐个进行判断即可．
本题考查无理数，理解无理数的定义是正确解答的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A 、2mn 2+3mn 2=5mn 2，5mn 2是三次单项式，不符合题意； B 、3mn 3×2m =6m 2n 3，6m 2n 3是五次单项式，符合题意； C 、(3m 2n)2=9m 4n 2，9m 4n 2是六次单项式，不符合题意； D 、(2m 2)3=8m 6，8m 6是六次单项式，不符合题意； 故选：B ．
根据合并同类项法则、单项式乘单项式的运算法则、积的乘方法则计算，判断即可． 本题考查的是合并同类项、单项式乘单项式、积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ −m ⃗⃗⃗ ， ∵BC =2AB ， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2n ⃗ −2m ⃗⃗⃗ ，
∴PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3n ⃗ −2m ⃗⃗⃗ =−2m ⃗⃗⃗ +3n ⃗ ． 故选：A ．
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ −m ⃗⃗⃗ ，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2n ⃗ −2m ⃗⃗⃗ ，再根据PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得出答案． 本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的计算是解答本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：出现次数最多的数36.5℃，
所以这组数据的众数为36.5℃，
这组数据的中位数是第7、8个数据的平均数，
=36.4(℃)．
所以这组数据的中位数为36.3+36.5
2
故选：D．
根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数求解即可．
本题主要考查中位数和众数，解题的关键是掌握中位数和众数的定义．
5.【答案】B
>0，得b<0，由直线可知，a>0，b>0，【解析】解：A、由抛物线可知，a>0，x=−b
2a
故本选项不符合题意；
>0，得b<0，由直线可知，a>0，b<0，故本选项符合B、由抛物线可知，a>0，x=−b
2a
题意；
>0，得b>0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项不符C、由抛物线可知，a<0，x=−b
2a
合题意；
>0，得b>0，由直线可知，a>0，b<0，故本选项不符D、由抛物线可知，a<0，x=−b
2a
合题意．
故选：B．
本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx的图象相比是否一致．
本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
6.【答案】C
【解析】解：取BC的中点D，连接AD，
在Rt△ABC中，∠C=90°，cotA=AC
BC =6
5
，
设AC=6a，BC=5a，
∴3 2AC=9a，CD=1
2
BC=5
2
a，
∴3 2AC−CD=13
2
a，
∴AD=√AC2+CD2=13
2
a，
∴以边AC长的3
2
倍为半径的圆A与以BC为直径的圆的位置关系是内含，故选：C．
取BC的中点D，连接AD，通过解直角三角形可设AC=6a，BC=5a，则3
2AC=9a，CD=5
2
a，
再根据圆与圆的位置关系判定可求解．
本题主要考查解直角三角形，圆与圆的位置关系，掌握圆与圆的位置关系是解题的关系．
7.【答案】y3
【解析】解：xy6÷xy3=y3，
故答案为：y3．
根据整式的除法法则进行计算，即可解答．
本题考查了整式的除法，熟练掌握整式的除法运算法则是解题的关键．
8.【答案】4(a+2)(a−2)
【解析】解：4a2−16=4(a2−4)=4(a+2)(a−2)．
故答案为：4(a+2)(a−2)．
首先提取公因式4，进而利用平方差公式进行分解即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式形式是解题关键．
9.【答案】x=−2
【解析】解：√7−x=3，
两边平方得：7−x=9，
解得：x=−2，
经检验x=−2是原方程的解，
即原方程的解是x=−2，
故答案为：x=−2．
两边平方得出7−x=9，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．
10.【答案】y=−2x
【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将直线y=−2x+6向左平移三个单位后，所得直线的表达式为y=−2(x+3)+6，即y=−2x．
故答案为：y=−2x．
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
11.【答案】(3,4)
【解析】解：由反比例函数y=12
x
的图象经过位于x轴上方的点A，
设A点的横坐标为a，则其总之能为12
a
，
∵点B的坐标为(−4,0)，
∴OB=4，
∴S△AOB=1
2OB⋅12
a
=8，
即1
2×4⋅12
a
=8，解得：a=3，
则12
a
=4，∴A(3,4)，
故答案为：(3,4)．
设A点的横坐标为a，则其总之能为12
a
，再利用三角形的面积公式得出结论．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
12.【答案】1
10
【解析】解：画树状图如下：
由树状图知，共有20种等可能的结果，其中摸出的两只球都是红球的结果有2种，
∴摸出的两只球都是红球的概率为2
20=1
10
，
故答案为：1
10
．
画树状图，共有20种等可能的结果，其中摸出的两只球都是红球的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】5×104
【解析】解：纳米(nm)是长度单位，1纳米为十亿分之一米，即1nm=10−9m，
一根头发的直径约为0.005cm，0.005cm=5×104nm(用科学记数法表示)．
故答案为：5×104．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14.【答案】2.16
=2.16(万元)，
【解析】解：2.4×6+2×9
6+9
即销售一辆汽车平均可获利2.16万元，
故答案为：2.16．
根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以求得小明的总成绩，本题得以解决．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
15.【答案】40
【解析】解：∵该正多边形的中心角为45°，
∴正多边形的边数为：360°÷45°=8，
∴该正多边形的周长为5×8=40．
故答案为40．
先利用中心角求出正多边形的边数，再利用正多边形的性质求出正多边形的周长．
本题主要考查正多边形的性质，数记正多边形的中心角与边长的关系是解题关键．
16.【答案】108
【解析】解：设∠ADB=x，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=x，
∴∠A=180°−2x，
在梯形ABCD中，AB=CD，
则梯形ABCD为等腰梯形，
∴∠ABC=∠C，
∵AD//BC，
∴∠A+∠ABC=180°，∠DBC=∠ADB=x，
∴∠A+∠C=180°，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=1
2
×(180°−x)，
∴180°−2x+1
2
×(180°−x)=180°，
解得：x=36°，
∴∠A=180°−36°×2=108°，
故答案为：108．
先证明梯形ABCD为等腰梯形，得到∠ABC=∠C，进而证明∠A+∠C=180°，分别用∠ADB表示出∠A和∠C，计算即可．
本题考查的是等腰梯形的判定和性质、平行线的性质、三角形内角和定理，用∠ADB表示出∠A和∠C 是解题的关键．
17.【答案】√5+1
2
【解析】解：根据折叠，可知AB=AF，BE=FE，∠BAE=∠FAE，
在矩形ABCD中，∠BAF=∠B=90°，
∴∠BAE=∠FAE=45°，
∴∠AEB=45°，
∴BA=BE，
∴AB=BE=EF=FA，
又∵∠B=90°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴EF=BE=AB，
∵矩形ABCD是黄金矩形，
∴AB BC =√5−1
2
，
∴EF EC =√5−1
2−(√5−1)
=√5+1
2
，
故答案为：√5+1
2
．
根据折叠的性质以及矩形的性质可证四边形ABEF是正方形，可得EF=BE，进一步即可求出EF与
CE的比值．
本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握黄金分割是解题的关键．
18.【答案】9
2
【解析】解：如图，连接BF．
在Rt△BFC和Rt△BFD中，
{BF=BF
BC=BD，
∴Rt△BFC≌Rt△BFD(HL)，
∴CF=DF，
∵BC=BD，
∴BF垂直平分线段CD，
∴∠MCB+∠CBF=90°，∠ACM+∠BCM=90°，
∴∠ACM=∠CBM，
∵∠ACB=90°，AM=BM，
∴CM=MA=MB，
∴∠ACM=∠A，
∴∠CBF=∠A，
∵∠ACB=∠BCF=90°，
∴△ACB∽△BCF，
∴BC CF =AC
CB
，
∴CF=CB 2
AC =36
8
=9
2
，
故答案为：9
2
．
如图，连接BF.证明Rt△BFC≌Rt△BFD(HL)，推出CF=DF，证明BF垂直平分线段CD，再证明
△ACB∽△BCF，可得BC
CF =AC
CB
，即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
19.【答案】解：原式=√5+1
2
−(√5−2)+1
=√5+1
2−√5+2+1
=7
2
．
【解析】先计算2−1、(2022−π)0，再把512写成二次根式的形式，化简绝对值，最后加减．
本题考查了实数的运算，掌握零指数、负整数指数幂的意义及实数的运算法则是解决本题的关键．
20.【答案】解：{2x+3≤5①x
2
+1
3
>x−2
6
②
，
解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x>−2，
所以不等式组的解集是−2<x≤1，
所以不等式组的自然数解是0，1．
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的自然数解即可．本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
21.【答案】解：过O作OM⊥CD于M，连接OD，
∵OM⊥CD，OM过圆心O，CD=30，
∴DM=CM=15，∠OMD=90°，
∵直径AB=34，
∴半径OA=OD=OB=17，
在Rt△OMD中，由勾股定理得：OM=√OD2−DM2=√172−152=8，
∵∠C=∠D=90°，
∴CE⊥CD，FD⊥CD，
∴CE//OM//FD，
∵DM=CM，
∴OE=OF，
∴CE+DF=2OM=2×8=16，
∴梯形CDFE的面积是1
2×(CE+DF)×CD=1
2
×16×30=240．
【解析】过O作OM⊥CD于M，连接OD，根据垂径定理求出DM=CM=15，根据勾股定理求出OM，求出OM是梯形CDFE的中位线，求出CE+DF=2OM，再根据梯形的面积公式求出答案即可．
本题考查了垂径定理，梯形的性质，勾股定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
22.【答案】解：(1)由两车同时到达各自的终点可知，乙车从B地驶往A地需6小时，
∴乙车的速度为300
6
=50(千米/小时)，
∵甲车的速度比乙车每小时快10千米，
∴甲车速度是50+10=60(千米/小时)，
答：甲车速度是60千米/小时，乙车速度是50千米/小时；
(2)由题意可知，甲车停车时间为6−300
60
=1(小时)，即出发后2小时至3小时，甲车停车，
停车结束时，甲所行路程为2×60=120(千米)，乙车所行路程为3×50=150(千米)，
∴两车再行300−(120+150)=30(千米)即可相遇，
∴相遇处离A地120+30×60
60+50
≈136(千米)，
答：两车在离A地约136千米处相遇．
【解析】(1)用路程除以时间可得乙车的速度，根据甲车的速度比乙车每小时快10千米即得甲车速度；
(2)算出甲车停车结束时两车各自行驶的路程，即知两车再行30千米即可相遇，根据速度比等于路程比可得这30千米中甲车所行驶的路程，即可得到答案．
本题考查乙车函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，求出两车的速度．
23.【答案】(1)证明：如图，过点D作DH//AC，交BE于H，
∵DH//AC，
∴△DHG∽△AEG，
∴DG AG =DH
AE
，
∵AG=2GD，
∴DH=1
2
AE，
∵DH//AC，
∴△BDH∽△BCE，
∴BD BC =DH
CE
=
1
2
AE
CE
，
∴AE CE =2BD
BC
；
(2)证明：如图，
∵D是边BC的中点，∴BC=2BD=2CD，
∴AE CE =2BD
BC
=1，
∴AE=CE，
∵CP=BC=2CD，
∴CD DP =1
3
，
∵AG=2GD，
∴DG AD =1
3
，
∴CD DP =DG
AD
，
又∵∠ADP=∠GDC，∴△DGC∽△DAP，∴∠DGC=∠DAP，∴GC//AP，
∴△GEC∽△FEA，
∴GE EF =CE
AE
=1，
∴GE=EF，
∴四边形AGCF是平行四边形．
【解析】(1)通过证明△DHG∽△AEG，由相似三角形的性质可得DH=1
2
AE，通过证明△BDH∽△BCE，可得结论；
(2)通过证明△DGC∽△DAP，可得∠DGC=∠DAP，证GC//AP，GE=EF，可得结论．
本题考查相似三角形判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
24.【答案】(1)解：∵抛物线y=5
6x2+bx+c对称轴为直线x=23
10
，
∴−b
2×5
6=23
10，
∴b=−23
6
，
∵抛物线经过点D(4,1)，
∴1=5
6×16−23
6
×4+c，
∴c=3
∴y=5
6x2−23
6
x+3；
(2)证明：令x=0，则y=3，∴B(0,3)，
令y=0，则5
6x2−23
6
x+3=0，
解得x=1或x=18
5
(舍)，∴A(1,0)，
∴OA=1，OB=3，
∴AE=3，
∵DE=1，AB=AD，
∴△ABO≌△DAE(SSS)，
∴∠BAO=∠DAE，
∵∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠DAE+∠BAO=90°，
∴∠BAD=90°，
∴菱形ABCD是正方形；
(3)过点C作MN⊥y轴交于M点，过点P作PN⊥MN交于N点，连接DP，∵∠MBC+∠OBA=90°，
∵∠MBC+∠MCB=90°，
∴∠OBA=∠MCB，
∵BC=AB，
∴△MBC≌△OAB(AAS)，
∴MC=OB，MB=OA，
∴C(3,4)，
∵∠PCD=∠BCO，
∴∠BCD=∠OCP=90°，
∴∠MCO+∠NCP=90°，
∵∠MCO+∠MOC=90°，
∴∠NCP=∠MOC，
∴△MCO∽△NPC，
∴MC NP =MO
CN
，
∴3 4=4
CN
，
∴CN=16
3
，
∴MN=3+16
3=25
3
，
∴P(25
3
,0)．
【解析】(1)由对称轴可得b =−236，将点D 的坐标代入y =56
x 2+bx +c 即可求解析式； (2)分别求出A 点、B 点坐标，证明△ABO≌△DAE(SSS)，即可证明菱形ABCD 是正方形；
(3)过点C 作MN ⊥y 轴交于M 点，过点P 作PN ⊥MN 交于N 点，连接DP ，通过证明△MBC≌△OAB(AAS)，求出C 点坐标，再证明△MCO∽△NPC ，求出P 点坐标即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形、正方形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵∠C =90°，∠APC =45°，
∴AC =CP ，
设AC =CP =x ，
在Rt △ACB 中，AC 2+BC 2=AB 2，
∴x 2+(x +4)2=(4√5)2，
解得x =4或−8(舍去)，
∴AC =CP =4，
∵PD ⊥AB ，
∴∠PDB =∠C =90°，
∵∠B =∠B ，
∴△BDP∽△BCA ，
∴PD AC =PB AB ，
∴PD 4=4√5
， ∴PD =4√55；
(2)过点C 作CH ⊥AB 于点H ，设CQ 交AB 于点J ，过点J 作JM ⊥C 于点M ，JN ⊥CB 于点N ．
∵CQ 平分∠ACB ，JM ⊥AC ，JN ⊥CB ，
∴JM =JN ， ∴S △ACJ S △BCJ =AJ BJ =12⋅AC⋅JM 12⋅CB⋅JN =CA CB =34， ∴AJ =37AB =12√57，
∵12⋅AB ⋅CH =12⋅CA ⋅CB ，
∴CH =4×8
4√5=8√55
， ∴AH =√AC 2−CH 2=√42−(8√55)2=4√55，
∴JH =AJ −AH =12√57−4√55=32√535
， ∵DQ ⊥AB ，CH ⊥AB ，
∴CH//DQ ，
∴∠Q =∠HCJ ，
∴tan∠CQP =tan∠HCJ =
HJ CH =32√5358√55=4
7；
(3)如图2中，当DE//BC 时，设DE 交AC 于点K ．
∵tanB =AC CB =PD DB =1
2，
∴BD =2PD =8√55，
∴AD =AB −BD =4√5−8√55=12√55， ∵DK//CB ， ∴AK CA =AD AB =DK CB ， ∴AK
4=12√554√5
=DK 8， ∴AK =125，DK =245，
∵∠AEK =∠CPA =45°，∠AKD =∠ACB =90°，
∴AK =KE =
125，DE =DK −KE =125， ∵DE//CP ， ∴
EF CF =DE CP =1254=35， ∴CE
EF =23；
如图3中，当DE//AC 时，连接CD 交AE 于点R ，DE 交AB 于点T ．
∵DE//AC ，
∴DT AC =BT BC =BD BA ，
∴DT
4=BT
8
=8√554√5， ∴DT =85，BT =165，
∴PT =BP −BT =4−
165=45， ∴ET AC =PT CP ，
∴ET
4=454，
∴ET =4
5，
∴DT ：ET =2：1，
∵DR RC =DE
AC
=
8
5
+4
5
4
=3
5
，
把图3中△CDE提出来，见右图，过点E作EM//CD交DF的延长线于点M，交CT的延长线于点N．设DR=3k，CR=5k，
∵EN CD =ET
DT
=1
2
，
∴EN=4k，
∵MN
CD =NP
PC
=EN
CR
，
∴MN
8k =4k
5k
，
∴MN=32
5
k，
∴EM=MN−EN=32
5k−4k=12
5
k，
∴EF CF =EM
CD
=
12
5
k
8k
=3
10
，
∴CE EF =13
3
．
综上所述，CE
EF 的值为2
3
或13
3
．
【解析】(1)设AC=CP=x，在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，构建方程求出x，再利用相似三角形的性质求出PD；
(2)过点C作CH⊥AB于点H，设CQ交AB于点J，过点J作JM⊥C于点M，JN⊥CB于点N.想办法求出CH，HJ，证明∠Q=∠HCJ，可得结论；
(3)分两种情形：如图2中，当DE//BC时，设DE交AC于点K.求出DE，可得结论．如图3中，当DE//AC 时，连接CD交AE于点R，DE交AB于点T.证明DT：DE=2，CR：RD=5：3，把图3中△CDE提出来，见右图，过点E作EM//CD交DF的延长线于点M，交CT的延长线于点N.利用平行线的性质求解即可．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助线，利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考常考题型．。