高一数学指数函数、对数函数、幂函数知识归纳
指、对、幂函数知识点
（1指、对、幂函数知识点）指数函数轴对称 比较指数式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较（2）对数函数(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.（3）幂函数=叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数．一般地，函数y xα幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)； 幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)； 幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性： 当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈）， 若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数； 若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数； 若p 为偶数q 为奇数时，则qp y x =是非奇非偶函数．幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点(0,0),(1,1)； （2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，α>1时，图象是“抛物线”型的；α<<01时，图象是“眉毛”型的； （4）在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展。
指数对数幂函数知识点总结9篇
指数对数幂函数知识点总结9篇第1篇示例：指数对数幂函数是高中数学中非常重要的内容之一，它在实际生活中有着广泛的应用。
指数对数幂函数是一种特殊的函数形式，通过指数、对数、以及幂运算的组合，可以描述各种复杂的变化关系。
在本文中，我们将对指数对数幂函数的相关知识点进行总结，帮助大家更好地理解和掌握这一重要内容。
一、指数函数指数函数是以自然常数e为底的幂函数，一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数的特点是底数a是一个固定的正数，指数x可以是任意实数。
指数函数的图像通常表现为一条逐渐增长或逐渐减小的曲线，其增长趋势取决于底数a的大小。
指数函数的性质有：1. 当底数a大于1时，函数呈现增长趋势；当底数a小于1且大于0时，函数呈现下降趋势。
2. 指数函数在x轴上的水平渐近线为y=0，在y轴上的垂直渐近线为x=0。
3. 在0<a<1时，指数函数是单调递减的；在a>1时，指数函数是单调递增的。
4. 指数函数的导数为f'(x)=a^x * ln(a)，导数的值等于函数在该点的斜率。
1. 对数函数的图像是一条左开右闭的单调增函数。
2. ln(x)函数在x=1处的值为0，log(x)函数在x=1处的值也为0。
4. 对数函数的反函数是指数函数，即对数函数与指数函数是互为反函数的关系。
三、幂函数幂函数是指形如f(x) = x^n的函数，其中n为一个实数。
幂函数可以是单项式函数、分式函数以及多项式函数的基础函数形式。
幂函数的性质有：1. 当n为偶数时，幂函数呈现奇次函数的特点，曲线两侧对称于y 轴；当n为奇数时，幂函数呈现偶次函数的特点。
四、指数对数幂函数的综合应用指数对数幂函数在自然科学、工程技术、经济管理等领域有着广泛的应用。
在生态学中，人口增长规律可以用指数函数来描述；在物理学中，无阻射下的自由落体运动可以用幂函数来描述；在金融领域中，复利计算和收益增长也可以用指数函数和对数函数来分析。
指数与对数函数幂函数知识点总结
指数与对数函数幂函数知识点总结指数函数、对数函数和幂函数是高中数学中的重要内容，是数学中常见的数学函数类型。
下面将对这三种函数进行详细介绍和总结。
1.指数函数指数函数是以底数为常数，指数为自变量的函数。
通常表示为f(x)=a^x，其中a>0且不等于1、指数函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。
-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。
-当x=0时，f(0)=1，即指数为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。
指数函数的应用广泛，例如在金融领域中的复利计算、生物学中的生长模型、物理学中的放射性衰变等都可以使用指数函数模型来描述。
2.对数函数对数函数是指输出的指数与给定的底数相等的函数，常用的对数函数有以e为底的自然对数函数ln(x)和以10为底的通用对数函数log(x)。
对数函数的特点有：-对数函数的定义域为正实数。
- 对数函数的基本性质是函数值等于对应的指数值，即log_a(a^x) = x。
- 自然对数函数ln(x)与指数函数e^x互为反函数。
-对数函数可以帮助解决指数方程和指数不等式等问题。
对数函数在数学中广泛应用，例如在科学计算、数据压缩、信号传输和信息论等领域都有应用。
3.幂函数幂函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数且大于0。
幂函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。
-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。
-当x=0时，f(0)=1，即幂为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。
幂函数与指数函数相似，但是幂函数的底数是常数。
幂函数在自然科学领域中经常出现，例如在物理学中的速度、加速度和质量等计算中经常使用幂函数模型。
指数函数、对数函数和幂函数是数学中的基本函数类型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
在学习指数函数、对数函数和幂函数时，需要熟练掌握其定义、性质和应用。
高一数学指数函数、对数函数、幂函数知识归纳
叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域为
.
指数
图象 定义域
值域 过定点 奇偶性 单调性
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图象过定点 在 上是增函数
，即当 非奇非偶
时，
.
在 上是减函数
函数值的变化情况
变化对图象的影 响
在第一象限内，从逆时针方向看图象， 看图象， 逐渐减小 .
知识点三：对数与对数运算
式子 叫做根式， 叫做根指数， 叫做被开方数 . 2.n 次方根的性质：
(1) 当 为奇数时，
；当 为偶数时，
(2)
3. 分数指数幂的意义：
； 注意： 0 的正分数指数幂等与 0，负分数指数幂没有意义 . 4. 有理数指数幂的运算性质：
(1)
(2)
(3)
知识点二：指数函数及其性质
1. 指数函数概念 ：一般地，函数 2. 指数函数函数性质：
在
上是增函数
在
上是减函数
函数值的 变化情况
变化对图
象的影响
知识点五：反函数
1. 反函数的概念
在第一象限内，从顺时针方向看图象， 看图象， 逐渐减小 .
设函数
的定义域为 ，值域为 ，从式子
逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向
中解出 ，得式子
. 如果对于 在 中
的任何一个值，通过式子
， 在 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子
①
其中成立的是 ( ) A ．①与③
② B．①与④
C．②与③
③
④
D ．②与④
4．设函数
，则
的值为 ( )
A．1
B． -1
C．10
D．
5．定义在 上的任意函数
指数函数幂函数对数函数知识点总结
指数函数幂函数对数函数知识点总结一.指数函数指数函数是一种特殊的函数形式，其中自变量位于指数的上方。
指数函数的一般形式为：$y=a^x$。
在指数函数中，底数$a$是一个正实数，且$a\ne q1$。
1.指数函数的性质指数函数的增长特性-：当底数$a$大于1时，指数函数呈现增长趋势，随着自变量$x$的增大，函数值$y$也随之增大。
当底数$a$在0和1之间时，指数函数则呈现递减趋势。
指数函数的定义域和值域-：指数函数的定义域为所有实数，即$(-\i nf ty,+\i nf ty)$。
根据底数$a$的不同，指数函数的值域也有所不同。
若底数$a>1$，则值域为$(0,+\in ft y)$；若底数$0<a<1$，则值域为$(-\in ft y,+\in fty)$。
指数函数的奇偶性-：当底数$a>0$且$a\n eq1$时，指数函数为奇数函数。
2.指数函数的图像指数函数的图像特点也与底数$a$的取值有关：-当底数$a>1$时，指数函数的图像呈现增长趋势，在原点左侧逐渐接近$y=0$轴，右侧逐渐趋近于正无穷。
-当底数$0<a<1$时，指数函数的图像呈现递减趋势，在原点左侧呈现正无穷，右侧逐渐接近$y=0$轴。
二.幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其中底数固定为正整数。
幂函数的一般形式为：$y=x^n$。
1.幂函数的性质幂函数的增长特性-：当指数$n$为正整数时，幂函数呈现增长趋势。
若$n$为奇数，则幂函数随自变量$x$的增大而增加；若$n$为偶数，则幂函数随着自变量$x$的增大或减小而增加。
幂函数的定义域和值域-：幂函数的定义域为所有实数，即$(-\i nf ty,+\i nf ty)$。
幂函数的值域则根据指数$n$的奇偶性而定。
若$n$为奇数，则值域为$(-\i nf ty,+\i nf t y)$；若$n$为偶数，则值域为$[0,+\in ft y)$。
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结.docx
(一)指数与指数函数1.根式(1)根式的概念根式的It念3符号表示a备注3如果x n=a，那么x叫做a的〃次方根a n > lfin e AT P 当«为奇数时,正数的«次方根是一个正数,负数的川次方根是一个负数3零的兀次方根是零3当n为偶数时,正数的n次方根有两个，它们互为相反数"土嚅(° >0)3负数没有偶次方根卩(2).两个重要公式*a①> 0)\a\=<[-a{ci < 0)②=a (注意a必须使砺有意义)。
2.有理数指数幕(1)幕的有关概念①正数的正分数指数幕:a"= 奸(d > (),m. n w AT,且〃〉1);豐 1 1②正数的负分数指数幕：a n = —=-=(^7>0,/?K /?G N\JBL H>1)a n③0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义.注：分数指数幕与根式可以互化，通常利用分数指数幕进行根式的运算。
(2)有理数指数幕的性质①a I a'=a H'"(a>0,r、s G Q)；②(a r)s=a re(a>0,r> sEQ)；③(ab)'=a r b s(a>0,b>0,r E Q);.3.指数函数的图象与性质y=a x a>l 0<a<l图象~d 1 *定义域 R 值域 (0, +oo) 性质(1)过定点(0, 1)(2)当 x>0 时,y>l; x<0 时,0<y<l(2)当 x>0 时，0<y<l; x<0 时，y>l(3)在(-oo, +oo)上是增函数(3)在 (-00 , 4-00 )上是减函数注：如图所示，是指数函数(1) y=a x , (2) y=b x ' (3) ,y=c x (4) ,y=d x 的图象，如何确 定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图屮作直线x=l,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即 ci>』>l>ai>bi,・・・c>d>l>a>b 。
必修一指数函数对数函数及幂函数
指对函数及幂函数指对函数及幂函数三个全然函数的考察一直是高考必考重点，关于指对函数考察要紧集中在图像性质〔如定点、概念域、运算性质、单调性、复合函数单调性和比拟大小等热点考点〕，对幂函数要紧考察五中全然类型的的幂函数，另该知识点也常和不等式、解三角形、导数、三角函数等知识点结合在一路考察，故在高一时期应该打好根底，学好三种全然函数的全然性质及其运用. 一、根底知识回忆 〔1〕含零的指数幂运算：○101(0)a a =≠ ○201(0)xx =>〔2〕根式与分数指数幂的转化运算：1(0)n a ⇒≥当， ○21(0)nn aa a-=≠ ○301)n m a a n =>>， ○41(0)nmn ma a a -=> 〔3〕指数幂的运算性质 ○1(0)mnm na a aa m n R +=>∈，， ○2()(0)m n mna a a m n R =>∈，，○3()(00)n n nab a b a b n R =>>∈，， 练习1 求以下函数的概念域：〔1〕20()(23)f x x x =+- 〔2〕223()0x x f x --= 〔3〕()f x =4〕324()(2)f x x x =--练习2 求以下式子的值：〔1〕314422 〔2〕78472⎛⎫ ⎪⎝⎭〔3〕22- 〔4〕1216二、指数函数概念：一样形如(01)xy a a a x R =>≠∈且，的函数叫做指数函数，其中x 自变量是，a 是底数重要性质：2()01(01)10x x x f x a a ma na k t a a ⎧<<⇒⎫⇒∞⎪⎬>⇒⎭⎪⎪⎨⎪++==⎪⎪⎩单调递减均过定点，，值域为（0，+）,定义域为R 单调递增比较大小的方法：化成同底数或同指数方程思想：形如解方程可以将设将其转化为一元二次方程复合函数性质综合：（单调性：“同增异减”）题型1：考察图像例1：2231()2x x f x +-⎛⎫=⎪⎝⎭，求使()1f x >的x 的取值范围.解析：此题考察指数函数全然性质，因为()f x 的图像必过〔0，1〕且为减函数，故只需解2230x x +-< 解：()223031x x x +-<⇒∈-，练习1 求以下各式知足条件的x 的解集：〔1〕2()21xf x =< 〔2〕3()39x f x -=< 〔3〕223()0.51xx f x +-=<题型2：比拟大小例2：232343112223a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，比拟a b c ，，的大小 解析：能够发觉a b 与同底且结合1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减，故有a b >，又a c 与同指数，能够由草图得知a c <解：b a c <<练习1 有23a m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，34bn ⎛⎫= ⎪⎝⎭，试在以下条件下比拟m n ，的大小〔1〕a b = 〔2〕00a b >>， 〔3〕00a b <<， 〔4〕00a b ><，〔5〕00a b <>，题型3：判定单调性求值域例3：函数22()2xx f x -+=，求函数()f x 在[]12，上的值域.解析：()()2g x f x =，依照复合函数“同增异减〞取得()f x 在区间[]12，上为增函数，故()f x 值域为[](1)(2)f f ， 解：由题意2min ()(1)24f x f ===，5max ()(2)232f x f ===，故()f x 在区间[]12，上的值域为[]432，练习1 函数221()2x x f x --⎛⎫=⎪⎝⎭，求函数()f x 在[]12，上的最大值.练习2 函数223()2x x f x -+=，求函数()f x 在[]21--，上的最大值.题型4：综合方程考察例4： 关于x 的方程211()32533xxf x ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0)x ≥，求()f x 的最值.解析：此类形式可先将方程进展转化，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭〔01t <≤〕，原方程转化为2()325f t t t =-+，由于t 的取值范围，故进一步可求()f x 的最值.解：令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭〔01t <≤〕，原方程转化为2()325f t t t =-+当13t =，即1x =时，方程()f x 取得最小值，14(1)3f =； 当1t =，即0x =时，方程()f x 取得最大值，(0)6f =.练习1 关于x 的方程1()428x x f x +=--(0)x <，求()f x 的最值三、对数函数概念：一样假设有(01)xa N a a =>≠，，那么x 叫做以为a 底N 的对数，记作log a x N =，其中称a 为底，N为真数.重要性质：1001(10)1=2.71828log ln 10log lg log 10log 1(01)log ()log log ;log log log ;log log ea a ba a a a a a a a a a e N NN a a a M MN M N M N M b M N <<⇒⎫⇒∞⎬>⇒⎭==>≠=+=-=单调递减均过定点，，值域为R,定义域为（0，+）单调递增自然对数：以无理数为底的对数,将记作常用对数：以为底的对数，将N 记作常用性质：，且运算性质：恒等式：log log ;log log a N a M a N a N N M ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪==⎪⎩换底公式： 题型1：考察对数函数概念域例1 函数22()log (34)f x x x =+-，求函数的概念域解析：此题复合函数考察定有类型，2()340u x x x =+->解集即为函数()f x 的概念域 解：令2()340u x x x =+->解得41x x <->•或，故()f x 的概念域为()4(1)-∞-+∞，，练习1 函数22()log (34)f x x x =--，求函数的概念域.练习2 函数2()lg(23)f x x x =-++，求(2)(1)f x f x ++的概念域.题型2：考察单调区间且求最值例2 求函数()ln(35)f x x =+的单调区间解析：由题可求出函数()f x 的概念域为53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，，令35t x =+()0t >在53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上为增函数，且()ln f t t =在()0+∞，上为增函数，“同增异减〞，故()f x 在53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增解：()f x 的单调增区间为53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，.练习1 求函数23()log (6)f x x x =--的单调减区间题型3：考察对数运算 例3 求lg 25lg 4+的值解析：能够发觉直接求值是行不通的，能够将原式运用对数运算性质进展化简 解：lg 25lg 4lg(254)lg1002+=⨯==练习1 计算以下各式的值〔1〕22log 24log 3- 〔2〕816log 16log 8+ 〔3〕44log 92log 3-题型4：考察奇偶性 例4 函数1()log (1)1axf x a x+=>-，试判定函数()f x 奇偶性 解析：判定函数的奇偶性第一要判定概念域是不是关于原点对称，再运用其奇偶性判定方式构造()f x -，比拟()()f x f x -与的关系解： 由101xx+>-得11x -<<〔关于原点对称〕 又()1111()log log log 111a a a x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭因此()f x 是奇函数练习1 函数122()log 2x f x x +=-，试判定函数()f x 的奇偶性，假设12()log 3f x a >恒成立，求实数a 的值题型5：比拟大小例5：设a b c d ，，，均为非负数，且有21122211log 2log log 2log 22a cb da b c d ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，试比拟a b c d ，，，的大小四、幂函数概念：一样形如()ay x a R =∈的函数称为幂函数，x 为自变量，a 为常数重要性质：11231232123a a y x y x y x y x y x y x y x --⎧⎪⎪⎨⎪⎪=======⎩判断：、指数为常数；、底数为自变量； 、幂系数为1比较大小：与指数函数一样化为同底或同指数奇偶性：当为奇数时，幂函数奇函数；当为偶函数时，幂函数为偶函数单调性：熟记，，，，，，图像题型：幂函数判定例1 假设122(3)3m m xn --+-是幂函数，求m n +的值解析：因为122(4)3m m xn --+-为幂函数，那么必需符合幂函数的几个判定条件，由判定条件解出m n ，的值，那么能够求出m n +的值解：由题意2312201330m m m m n n n ⎧-==-⎧⎪-≠⇒⇒+=⎨⎨=⎩⎪-=⎩练习1 判定以下函数是不是为幂函数：〔1〕2y x = 〔2〕33y x =⨯ 〔3〕2y x -=〔4〕1y x =+ 〔5〕y x = 〔6〕13x y +=〔7〕2xy = 〔8〕12y x = 〔9〕32x y =练习2 假设13()(2)mf x m x+=+为幂函数，求(4)f 的值.题型2：性质结合图像综合运用 规律：关于ay x =〔a R ∈〕由图像先判定a 的正负，图像过原点且在第一象限为增函数那么0a >，假设图像只是原点且在第一象限为减函数那么0a <；第二判定奇偶性，假设图像关于y 轴对称，那么a 为偶数且幂函数为偶数，假设图像关于原点对称，那么a 为奇数且幂函数为奇函数；当1a >时，图像曲线在第一象限下凹，当01a <<时，图像曲线在第一象限上凸，当0a <时，图像曲线在第一象限下凹.经典稳固练习2. 〔2006福建〕()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =那么( )A.a b c <<B.b a c <<C.c b a <<D.c a b <<3. 〔2006湖北〕设2()lg2x f x x +=-，那么)2()2(xf x f +的概念域为〔 〕 A. ），（），（－4004 B.(－4，－1) (1，4) C. (－2，－1) (1，2) D. (－4，－2) (2，4)4. 〔2006湖南〕函数x y 2log =的概念域是〔 〕A ．(0，1］ B. (0，+∞) C. (1，+∞) D . ［1，+∞)5. 〔2006湖南〕函数y =( )A.(3，+∞)B.[3， +∞)C.(4，, +∞) D .[4，+∞) 7. 〔2006天津〕设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，那么〔 〕A ．R Q P <<B ．P R Q <<C ．Q R P <<D ．R P Q <<8. 〔2006浙江〕1122log log 0m n <<，那么〔 〕A. n ＜m ＜ 1 ＜n ＜ 1 ＜ m ＜n ＜n ＜m 10. 〔2006全国〕假设ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，那么〔 〕A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c11. 〔2005上海〕假设函数121)(+=x x f ，那么该函数在(),-∞+∞上是〔 〕A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值12. 〔2005北京〕函数2log y x =的图象是〔 〕13. 〔2005〕函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的概念域为〔 〕 A ．〔1，2〕∪〔2，3〕 B ．),3()1,(+∞⋃-∞ C ．〔1，3〕 D ．[1，3]16. 〔2021北京〕为了取得函数的图像，只需把函数的图像上所有的点〔 〕 A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度3lg10x y +=lg y x =A1xy O B1 xy O C1 xy O D1 xyO18. 〔2021全国〕设2lg (lg )a e b e c ===，， 〕A. B . C. D. 19. 〔2021广东〕假设函数()33xxf x -=+与()33xxg x -=-的概念域均为R ，那么〔 〕A ．f 〔x 〕与g 〔x 〕均为偶函数 B. f 〔x 〕为偶函数，g 〔x 〕为奇函数 C ．f 〔x 〕与g 〔x 〕均为奇函数 D. f 〔x 〕为奇函数，g 〔x 〕为偶函数22. 〔2005湖北〕函数x x x x f ---=4lg 32)(的概念域是 ． 27. 〔2021四川〕计算 .28. 〔2021江苏〕函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________.29. 〔2021陕西〕设lg 0()100xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，， 那么((2))f f - =__ ____.a b c >>a c b >>c a b >>c b a >>121(lg lg 25)100=4--÷。
幂函数指数函数和对数函数知识点梳理
幂函数指数函数和对数函数知识点梳理一、幂函数1.定义：幂函数是形如f(x)=x^n的函数，其中n为常数，x为自变量，n可以是整数、分数或实数。
2.性质：-当n为正偶数时，幂函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的抛物线形状。
-当n为正奇数时，幂函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的直线形状。
-当n为负偶数时，幂函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的抛物线形状。
-当n为负奇数时，幂函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的直线形状。
-当n=0时，幂函数f(x)=x^0恒等于1，所有x轴上的点对应于y=1，即图像是一条水平直线。
3.应用：-幂函数常用于描述成比例关系，如面积和边长的关系、体积和边长的关系等。
-幂函数还用于经济学、物理学、化学等学科中的一些数学模型。
二、指数函数1.定义：指数函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a为正实数且不等于1，x为自变量。
2.性质：-指数函数的值域为正实数，图像始终位于y轴的上方。
-当a>1时，指数函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的曲线形状。
-当0<a<1时，指数函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的曲线形状。
-当a=1时，指数函数f(x)=1^x恒等于1，所有x轴上的点对应于y=1，即图像是一条水平直线。
3.应用：-指数函数常用于描述指数增长或指数衰减的情况，如人口增长、放射性物质衰变等。
-指数函数还用于描述复利、投资和经济增长等问题。
三、对数函数1. 定义：对数函数是形如f(x)=loga(x)的函数，其中a为正实数且不等于1，x为自变量。
2.性质：-对数函数的定义域为正实数，值域为实数。
-对数函数的图像呈现开口向右的曲线形状。
-对数函数关于直线y=x对称。
-对数函数的导数为1/x。
3.应用：-对数函数常用于解决指数方程和指数不等式，将复杂的指数问题转化为相对简单的对数问题。
-对数函数还广泛应用于科学、工程、经济等领域的数据处理和模型建立。
综上所述，幂函数、指数函数和对数函数是高中数学中的重要函数类型。
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指数、对数、幂函数知识归纳
知识要点梳理
知识点一：指数及指数幂的运算
1.根式的概念
的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的
次方根，其中
当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根
有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.
式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.
2次方根的性质：
(1)当为奇数时，；当为偶数时， (2)
3.分数指数幂的意义：
；
注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.
4.有理数指数幂的运算性质：
(1) (2) (3)
知识点二：指数函数及其性质
1.指数函数概念
：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，
函数的定义域为.
2.指数函数函数性质：
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且
，即当时，
在
变化对图象逐渐增大；在第
逐渐减小
知识点三：对数与对数运算
1.对数的定义
(1)若，则叫做以为底的对数，记作，叫做底数，叫做真数.
(2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：
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.
2.几个重要的对数恒等式：
，
，
. 3.常用对数与自然对数：常用对数：，即
；自然对数：
，即
(其
中
…).
4.对数的运算性质 如果，那么 ①加法：
②减法：
③数乘： ④
⑤
⑥换底公式：
知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义
一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定
义域.
2.对数函数性质：
且
图象过定点，即当时，
在上是增函数在上是减函数变化对
在第一象限内，从顺时针方向看图象，
知识点五：反函数
1.反函数的概念
设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成.
2.反函数的性质
(1)原函数与反函数的图象关于直线对称.
(2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.
(3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上.
(4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数.
3.反函数的求法
(1)确定反函数的定义域，即原函数的值域；
(2)从原函数式中反解出；
(3)将
改写成，并注明反函数的定义域.
知识点六：幂函数
1.幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.
2.幂函数的性质
(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，
第四象限无图象.幂函
数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关
于轴对称)；是奇函数
时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；
是非奇非偶函数时，
图象只分布在第一象限.
(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.
(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在
上为增函
数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，
图象无限接近轴与轴.
(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和
)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为
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偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.
(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图
象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下
方.
综合训练
一、选择题
1．若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则的
值为( )
A． B．C． D．
2．若函数的图象过两点和，则( ) A．B． C．D．3．已知，那么等于( )
A．B．8 C．18 D．
4．函数( )
A．是偶函数，在区间上单调递增 B．是偶函数，在区间上单调递减
C．是奇函数，在区间上单调递增D．是奇函数，在区间上单调递减
5．（2011 辽宁理9）设函数f(x)＝则满足的的取值范围是（）
A ．
B ．
C ．D．
6．函数在上递减，那么在上( )
A．递增且无最大值 B．递减且无最小值 C．递增且有最大值D．递减且有最小值
二、填空题
8．函数的值域是.
9．已知则用表示.
10．设, ,且，则；.
11．计算：.
12．函数的值域是.
三、解答题
(1)和； (2)和； (3).
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14．解方程：(1)； (2).
15．已知当其值域为时，求的取值范围.
16．已知函数，求的定义域和值域.
能力提升
一、选择题
1．函数上的最大值和最小值之和为，则的值为( ) A．B．C．2 D．4
2．已知在上是的减函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．对于，给出下列四个不等式
①②③④
其中成立的是( )
A．①与③ B．①与④C．②与③ D．②与④4．设函数，则的值为( )
A．1 B．-1 C．10 D ．
5．定义在上的任意函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和，如果
，那么( )
A ．，
B ．，
C ．，
D ．，
6．若,则( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
8．若函数的值域为，则的范围为.
9．函数的定义域是；值域是.
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10．若函数是奇函数，则为.
11．求值：.
三、解答题
12．解方程：(1)
(2)
13．求函数在上的值域.
14．已知，,试比较与的大小.
15．已知，⑴判断的奇偶性；⑵证明．
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