对数函数习题与答案

习题课——对数函数及其性质的应用

一、A组

1.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,且a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是()

A.a>1,c>1

B.a>1,0

C.01

D.0

解析:由题意可知y=log a(x+c)的图象是由y=log a x的图象向左平移c个单位长度得到的,结合题图知0

答案:D

2.已知a=,b=log2,c=lo,则()

A.a>b>c

B.a>c>b

C.c>b>a

D.c>a>b

解析:∵0lo=1,∴c>a>b.故选D.

答案:D

3.函数f(x)=的定义域为()

A.(3,5]

B.[-3,5]

C.[-5,3)

D.[-5,-3]

解析:要使函数有意义,则3-log2(3-x)≥0,

即log2(3-x)≤3,

∴0<3-x≤8,∴-5≤x<3.

答案:C

4.函数f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间为()

A.(0,+∞)

B.(-∞,0)

C.(2,+∞)

D.(-∞,-2)

解析:令t=x2-4>0,可得x>2或x<-2.

故函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),

当x∈(-∞,-2)时,t随x的增大而减小,y=lo t随t的减小而增大,所以

y=lo(x2-4)随x的增大而增大,即f(x)在(-∞,-2)上单调递增.故选D.

答案:D

5.已知y=log a(2-ax)在区间[0,1]上为减函数,则a的取值范围为()

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(0,2)

D.[2,+∞)

解析:由题设知a>0,则t=2-ax在区间[0,1]上是减函数.

因为y=log a(2-ax)在区间[0,1]上是减函数,

所以y=log a t在定义域内是增函数,且t min>0.

因此故1

答案:B

6f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是.

解析:函数f(x)的图象如图所示,要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点,则0

答案:(0,1]

7.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,且f=0,则不等式f(log4x)<0的解集是.

解析:由题意可知,f(log4x)<0?-

答案:

8.已知函数f(x)=log a(x+1)(a>0,且a≠1),g(x)=log a(4-2x).

(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;

(2)求使函数f(x)-g(x)的值为正数时x的取值范围.

解:(1)由题意可知,f(x)-g(x)=log a(x+1)-log a(4-2x),要使函数f(x)-g(x)有意义,

则解得-1

故函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,2).

(2)令f(x)-g(x)>0,得f(x)>g(x),

即log a(x+1)>log a(4-2x).

当a>1时,可得x+1>4-2x,解得x>1.

由(1)知-1

当0

由(1)知-1

综上所述,当a>1时,x的取值范围是(1,2);

当0

9-3≤lo x≤-,求f(x)=的最值.

解:f(x)=

=(log2x-1)(log2x-2)=(log2x)2-3log2x+2.

令log2x=t,∵-3≤lo x≤-,

∴-3≤-log2x≤-,

∴≤log2x≤3.∴t∈.

∴f(x)=g(t)=t2-3t+2=.

∴当t=时,g(t)取最小值-;

此时,log2x=,x=2;

当t=3时,g(t)取最大值2,此时,log2x=3,x=8.

综上,当x=2时,f(x)取最小值-;

当x=8时,f(x)取最大值2.

二、B组

1.(2016·江西南昌二中高一期中)函数y=x·ln |x|的大致图象是()

解析:函数f(x)=x·ln |x|的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,且f(-x)=-x·ln |-x|=-x·ln

|x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,排除选项B;当0

答案:D

2.(2016·河南许昌四校高一联考)若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是()

A.a≤4

B.a≤2

C.-4

D.-2≤a≤4

解析:∵函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,∴y=x2-ax+3a在[2,+∞)上大于

零且单调递增,故有解得-4

答案:C

3.已知函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,g(x)=-f(|x|),若g(lg x)>g(1),则x的取值范围是()

A.

B.(0,10)

C.(10,+∞)

D.∪(10,+∞)

解析:因为g(lg x)>g(1),

所以f(|lg x|)

又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,

所以0≤|lg x|<1,

解得

答案:A

4.已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则a,b,c的大小关系为.

解析:∵b=log23.2=log2,

c=log23.6=log2,

又函数y=log2x在区间(0,+∞)上是增函数,3.6>,

∴log23.6>log2>log2,

∴a>c>b.

答案:a>c>b

5.已知函数y=log a x,当x>2时恒有|y|≥1,则a的取值范围是.

解析:当a>1时,y=log a x在区间(2,+∞)上是增函数,由log a2≥1,得1

当0

故a的取值范围是∪(1,2].

答案:∪(1,2]

6f(x)=log a x(a>0,且a≠1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a的值为.

解析:当0

∴f(x)在区间[a,2a]上的最小值为log a(2a),最大值为log a a,∴log a a=3log a(2a),∴

log a(2a)=,

即=2a,a=8a3,

∴a2=,a=.

当a>1时,f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,

∴f(x)在区间[a,2a]上的最小值为log a a,最大值为log a(2a),

∴log a(2a)=3log a a,∴log a(2a)=3,

即a3=2a,∴a2=2,a=.

故a的值为.

答案:

7.已知函数f(x)=lg(3x-3).

(1)求函数f(x)的定义域和值域;

(2)设函数h(x)=f(x)-lg(3x+3),若不等式h(x)>t无实数解,求实数t的取值范围.解:(1)由3x-3>0,得x>1,所以f(x)的定义域为(1,+∞).

因为(3x-3)∈(0,+∞),所以函数f(x)的值域为R.

(2)因为h(x)=lg(3x-3)-lg(3x+3)=lg

=lg的定义域为(1,+∞),且h(x)在区间(1,+∞)上是增函数, 所以函数h(x)的值域为(-∞,0).

若不等式h(x)>t无实数解,则t的取值范围为t≥0.

8f(x-1)=lg.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x+1).

解:(1)令t=x-1,则x=t+1.

由题意知>0,

即0

所以f(t)=lg=lg.

故f(x)=lg(-1

(2)lg≥lg(3x+1)?≥3x+1>0.

由3x+1>0,得x>-.

因为-10.

由≥3x+1,得x+1≥(3x+1)(1-x),

即3x2-x≥0,x(3x-1)≥0,

解得x≥或x≤0.

又x>-,-1

所以-

故不等式的解集为.