高考数学选修-统计案例-回归分析的基本思想及其初步应用

高考数学选修-统计案例

3.1回归分析的基本思想及其初步应用

知识点

1.回归分析：对于具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析，即回归分析就是寻找相关关系中这种非确定关系的某种确定性．

2.线性回归方程：如果散点图中的各点都大致分布在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，其方程称为线性回归方程.

记回归直线方程为：a bx y +=，称为变量Y 对变量x 的回归直线方程，其中a b ，叫做回归系数．未知参数

b 和a 的最小二乘法估计分别为b

?和a ?，给定一组数据()()()n n y x y x y x ,,........,,,2211，则a ?与b ?的计算公式为：()()()

∑∑∑∑====--=

---=n

i i n

i i

i n

i i

n

i i

i

x

n x y

x n y x x x y

y

x x b

1

2

2

1

1

2

1

?，x b y a

??-=，其中∑∑====n

i i n i i y n

y x n

x 1

1

1,1，从而a bx +的估计表示为a x b y

???+=. 3.相关关系的强弱：

（1）相关系数：给定一组数据()()()n n y x y x y x ,,........,,,2211，则变量间线性相关系数r 的计算公式为：

()()

()()

∑∑∑∑∑∑======---=

----=

n

i n

i i i n

i i

i n

i i

n

i i

n

i i

i

y n y x n x y

x n y

x y

y

x x y

y

x x r 1

1

2

22

21

1

2

1

2

1)

)((

（2）相关系数和相关程度：

r

两个变量的变化趋势 线性相关关系

10≤

0?>b 01<≤-r

一个变量增，另一个变量减

负相关(

)

0?

0=r

无规律

不相关

当75.0≥r 时，通常认为两个变量有较强的线性关系. 4. 随机误差

线性回归模型?

??

??

y ＝bx ＋a ＋e ，

E e ＝0，D e ＝σ2

，其中a ，b 为模型的未知参数，通常e 为随机变量，称为随机误

差．x 称为解释变量，y 称为预报变量．

3．残差分析

(1)残差：对于样本点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，它们的随机误差为e i ＝y i －bx i －a ，i ＝1,2，…，n ，其估计值为e ^i ＝y i －y ^i ＝y i －b ^x i －a ^，i ＝1,2，…，n ，e ^

i 称为相应于点(x i ，y i )的残差．残差平方和()∑=-n

i i

y

y

1

2

?越小，模型拟合效果越好

（2）残差图：作图时纵坐标为残差，横坐标为样本编号，或i x 的数据，或i y 的数据，这样做出的图形称为残差图

4.相关指数：R 2＝1－∑n

i ＝1 (y i －y ^

i )2

∑n i ＝1 (y i －y )2

.，相关指数的值越大，模型的拟合效果越好.

注 建立回归模型的基本步骤

1．确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量．

2．画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)． 3．由经验确定回归方程的类型(如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程)． 4．按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数．

5．得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等)．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．

题型一 求线性回归方程

【例1】某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据：

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^

＝b ^

x ＋a ^

； (3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．

? ??

???

相关公式：b ^

＝∑i ＝1

n

x i y i

－n x ·y ∑i ＝1

n

x 2

i

－n x 2

，a ^

＝y －b ^

x

【过关练习】

1.假设关于某设备的使用年限x (年)和所支出的维修费用y (万元)有如下的统计数据：

由此资料可知y 对x 呈线性相关关系． (1)求线性回归方程；

(2)求使用年限为10年时，该设备的维修费用为多少？

题型二 线性回归分析

【例1】在一段时间内，某种商品的价格x 元和需求量y 件之间的一组数据为：

求出y 对x 的线性回归方程，并说明拟合效果的程度．

【过关练习】

1.关于x 与y 有如下数据：

有如下的两个线性模型：(1)y ^

＝6.5x ＋17.5；(2)y ^

＝7x ＋17.试比较哪一个拟合效果更好．

题型二 非线性回归分析

【例1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝

1

8

w i .

(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为

β^

＝

∑i ＝1

n

(u i －u )(v i －v )

∑i ＝1

n

(u i －u )2

，α^＝v －β^

u .

【过关练习】

在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：

试建立y与x之间的回归方程．

课后练习

【补救练习】

1．设有一个回归方程为y ^

＝2－2.5x ，则变量x 增加一个单位时，( ) A ．y 平均增加2.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少2.5个单位

D ．y 平均减少2个单位

2．对变量x ，y 进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )

3．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如表所示：

则y 对x A.y ^

＝x －1 B.y ^

＝x ＋1 C.y ^

＝88＋12

x

D.y ^

＝176 4．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )

A ．r 2＜r 1＜0

B ．0＜r 2＜r 1

C ．r 2＜0＜r 1

D ．r 2＝r 1

5．关于残差图的描述错误的是( ) A ．残差图的横坐标可以是样本编号

B ．残差图的横坐标也可以是解释变量或预报变量

C ．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小

D ．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小

6．如图3-1-1四个散点图中，适合用线性回归模型拟合的两个变量的是________(填序号)．

图3-1-1

. 【巩固练习】

7．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^

＝0.67x ＋54.9.

8．若一个样本的总偏差平方和为80，残差平方和为60，则相关指数R 2为________．

9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；

(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)

10．在一段时间内，某淘宝网店一种商品的销售价格x 元和日销售量y 件之间的一组数据为：

求出y 关于x 参考数据：∑i ＝1

5

x i y i ＝3 992，∑i ＝1

5

x 2i ＝1 660.

【拔高练习】

1．如图3-1-2,5个(x ，y )数据，去掉D (3,10)后，下列说法错误的是( )

图3-1-2

A ．相关系数r 变大

B ．残差平方和变大

C ．相关指数R 2变大

D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强 2．已知x 与y 之间的几组数据如下表：

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ′＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )

A.b ^＞b ′，a ^

＞a ′ B.b ^＞b ′，a ^

＜a ′ C.b ^＜b ′，a ^

＞a ′

D.b ^＜b ′，a ^

＜a ′

3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两变量的线性相关性进行分析，并用回归分析的方法分别求得相关指数R 2与残差平方和Q (a ^，b ^

)如下表：

则能体现A ，B

4．某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y(件)与平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表：

由表中数据算出线性回归方程y＝b x＋a中的b＝－2，样本中心点为(10,38)．

(1)表中数据m＝__________.

(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22 ℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为__________件.

5．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

图3-1-3

表中w i ＝x i ，w ]＝1

8

∑8

i ＝1w i .

(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分

别为β^＝

∑n

i ＝1 (u i －u )(v i －v )

∑n

i ＝1 (u i －u )2

，α^＝v －β^

u