空间向量的数量积运算练习题
空间向量的数量积运算
练习题
Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
课时作业(十五)
一、选择题
1．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②④ 【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确．
【答案】 D
2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．以上都不对
【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2
＋2a ·b ＝|c |2
，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1
4
.
【答案】 D
3．已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连结AC ，BD ，
PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )
A.PC →与BD →
B.DA →与PB →
C.PD →与AB →
D.PA →与CD →
【解析】 用排除法，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，故PA →·CD →
＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，PA ⊥AD ，又PA ∩AB ＝A ，所以AD
⊥平面PAB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →
＝0，排除C.
【答案】 A
4. 如图3-1-21，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点
E ，
F ，
G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的
是( )
图3-1-21
A ．2BA →·AC →
B ．2AD →·DB →
C ．2FG →·AC →
D ．2EF →·CB →
【解析】 2BA →·AC →＝－a 2
，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12
a 2
，故D 错；2FG →·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确．
【答案】 C 二、填空题
5．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝________.
【解析】 |2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2 ＝4×|a |2＋9×|b |2－12×|a |·|b |·cos 60°＝61， ∴|2a －3b |＝61. 【答案】
61
6．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．
【解析】 由题意知???
??
?a ＋λb ?·?λa －2b ?<0，
cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1.
即?????
?a ＋λb ?·?λa －2b ?<0，
?a ＋λb ?·?λa －2b ?≠－|a ＋λb ||λa －2b |
?λ2＋2λ
－2<0.
∴－1－3<λ<－1＋ 3. 【答案】 (－1－3，－1＋3)
7. 如图3-1-22，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，
M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是
________．
图3-1-22
【解析】 不妨设棱长为2，则|AB →1|＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋
12
BB 1→
，
cos 〈AB 1→，BM →〉＝?BB 1→
－BA →?·?BC →＋12BB 1→?
22×5＝0－2＋2－022×5＝0，故
填90°.
【答案】 90° 三、解答题
8．如图3-1-23在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面GBD .
图3-1-23
【证明】 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →
＝c . 则a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0.
而A 1O →
＝A 1A →
＋AO →＝A 1A →＋12(AB →＋AD →)＝c ＋1
2(a ＋b )，
BD →＝AD →－AB →
＝b －a ，
OG →
＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→＝12(a ＋b )－12c .
∴A 1O →·BD →＝? ????
c ＋12a ＋12b ·(b －a )
＝c ·(b －a )＋1
2(a ＋b )·(b －a )
＝c ·b －c ·a ＋12(b 2
－a 2)
＝1
2(|b |2－|a |2)＝0. ∴A 1O →⊥BD →
. ∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O →⊥OG →
. ∴A 1O ⊥OG .
又OG ∩BD ＝O 且A 1O ?面BDG ， ∴A 1O ⊥面GBD .
9．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点，试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→
；(3)EF →·FC 1→.
【解】 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. (1)BC →·ED 1→＝AD →·(EA 1→＋A 1D 1→)
＝AD →·???????
?12?AA 1→－AB →?＋AD →＝b ·??????12?c －a ?＋b
＝|b |2＝42＝16.
(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋BB 1→
)
＝? ????
?AA 1→－AB →＋12AD →·(AB →＋AA 1→)
＝?
????
c －a ＋12b ·(a ＋c )
＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.
(3)EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→
)
＝????????12?AA 1→－AB →?＋12AD →·? ?????12AD →＋AB →
＝??????12?c －a ?＋12b ·? ????1
2b ＋a
＝1
2(－a ＋b ＋c )·? ??
??12b ＋a ＝－12|a |2
＋14
|b |2＝2.
1．(2014·中山高二检测)已知边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1
的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，则AO 1→
·AC →
的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
【解析】 AO 1→＝AA 1→＋A 1O 1→＝AA 1→
＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→
)＝AA 1→＋12(AB →＋
AD →)，而AC →＝AB →＋AD →，则AO 1→·AC →＝12
(AB →2＋AD →2
)＝1，故选C.
【答案】 C
2．已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥
b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )
A ．30° B．60° C．90° D．45°
【解析】 由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →·CD →＝(AC →＋CD →
＋DB →)·CD →＝CD →2
＝1.
cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →
|AB →|·|CD →|＝12?〈AB →，CD →〉＝60°.
【答案】 B
3．(2014·长沙高二月考)已知正三棱柱ABC -DEF 的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，若直线CF 上有一点N ，使MN ⊥
AE ，则CN
CF
＝________.
【解析】 设CN
CF ＝m ，由于AE →＝AB →＋BE →，
MN →
＝12BC →
＋mAD →，
又AE →·MN →
＝0，
得12×1×1×? ??
??－12＋4m ＝0，解得m ＝116.
【答案】 1
16
4．如图3-1-24，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，
AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．
图3-1-24
【解】 ∵AC 1→
＝AB →＋AD →＋AA 1→
， ∴|AC 1→
|＝?AB →＋AD →＋AA 1→?2 ＝
AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2?AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→?
. ∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，
∴〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→
〉＝60°， ∴|AC 1→
|＝1＋4＋9＋2?1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°? ＝23.
空间向量及其运算
§8.5 空间向量及其运算 1． 空间向量的概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量． (2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB → ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2． 共线向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理 如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律 (1)定义 空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，
数学选修空间向量及其运算教案
第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：
①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和 方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
3.1.3-空间向量的数量积运算教案。
3.1.3-空间向量的数量积运算教案。
高二年级数学学 科 课题§3.1.3空间向量的数量积运算 授课时间2012 年 12月 24日第 1 课时授课类型新授课 教学目标知识与技能：①掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式； ②运用公式解决立体几何中的有关问题。 过程与方法：①比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转 化的能力； ②探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、 解决问题的能力。 情感态度与价值观：①通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主 体的教学模式； ②通过空间向量在立体几何中的应用， 提高学生的空间想象力，培养学生探索 精神和创新意识，让学生感受数学，体 会数学美的魅力，激发学生学数学、用 数学的热情。 教学重点空间向量数量积公式及其应用 教学难点 如何将立体几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决立体几何问题。 板书设计§3.1.3空间向量的数量积运算 1. 两个向量 的夹角 3.数量积的 性质 例 题解答2. 两个向量 的数量积 4.数量积满 足的运算律
教学反思 教学 环节及时间分配 教学过程 （教学内容的呈现及教学方法） 学生活动 （学习活动的设 计） 设计意 图
复习引入3分 合作探究8分 一、回顾平面向量数量积的相关内容： ①平面向量的夹角； ②空间向量的数量积； 二、讲授新课 1）两个向量的夹角的定义 2）两个向量的数量积 > < = ? ? > < b,a cos b a b a .b a b,a b,a cos b a ,b,a 即： 记作 的数量积， 叫做 则 已知两个非零向量 注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量； ②零向量与任意向量的数量积等于零； 思考：类比平面向量的几何意义，空间中 的几何意思是什么？ 答：空间中的几何意义是a的长度|a|与 在b的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 学生 口答 类比 平面 向量 的数 量积 的有 关概 念、 计算 方法 和运 算律 推导 出空 间向 以问 题的 形式 引导 学生 回顾 复习 前面 所学 的平 面向 量的 相关 知 识， 为学 习好 空间 向量 做好 铺 垫。 明确 空间 向量 O A B a a b b ? ? ∠ = = b a b a AOB b OB a OA O b a , , , . , 记作： 的夹角， 与 叫做向量 则角 作 ， 在空间任取一点 量 如图，已知两个非零向 ? ? ? ? ≤ ? ? ≤ a b b a b a , , , ＝ 被唯一确定了，并且 的夹角就 在这个规定下，两向量 范围：π b a b a b a⊥ = ? ?互相垂直，并记作： 与 则称 如果, 2 , π b a? b a? b a?
《空间向量数量积的运算》的教学反思
《空间向量数量积的运算》教学反思 本节课我讲了选修2-1第三章《空间向量的数量积运算》这个节，这是本章第三节的内容，主要学习的是空间向量的数量积的运算及应用。根据大纲，要求学生能熟练应用空间向量的运算解决简单的立体几何问题，这也是本节课的难点。突破难点的方法是让学生会用已知向量表示相关向量，就是利用三角形法则或多边形法则把未知向量表示出来，进而再求两个向量的数量积、夹角、距离等。 三方面实行整体设计，注重与学生已有知识的联系及相关学科知识的联系（物理学：功），因为本节知识是向量由二维向三维的推广，所以预习平面向量的运算起了一定的作用，使学生体会知识的形成过程和数学中的类比学习方法。在整个教学过程中，我还是沿用知识复习、学生探究、教师例题分析、师生合作归纳小结的主线实行教学，符合学生的认知规律，也易于学生对知识的掌握，在教学方法上，我注重多媒体演示和传统板书教学有效结合，较好地辅助了教学。同时，结合新高考的要求，我注重了数学核心素养的培养，在教学中例题分析与归纳时，我注重了数学思想方法的渗透，如本节课我就渗透了数形结合思想、类比思想等，本节课的核心理念是体现学生在学习中的主体性。但我注重调动学生的主观能动性，最大限度的发挥学生的主体作用，在教学过程中，学生的思维活跃，积极讨论问题，自主解决相关例题。精彩处在于学生积极参与互动，学生评判，教师引导，学生积极归纳知识点，整个课堂热烈有序，张而有驰，整体课多次出现教学高潮，博得了学生与听课专家的热烈掌声，从课后反馈来看，本堂课普片反应学懂了，掌握了知识和解决问题的水平，正在学有所用。 不足之处：在创设情境时，我用的是知识性引课，不够引人入胜，要是能想出更好的引课方式或动画设计，在一开始就抓住学生的眼球，调动起学生学习的积极性，应该效果会更好。其次，在课堂中没有充分发挥学生的主体性，老师由引导者又逐步变成了主导者。另外，难点突破应该在两个例题上，不过前边耽误了时间，导致重点地方没有充足的时间解决，没达到最初的意图。对问题的探究需要时间，课上让学生放开去探究，减少了课堂容量，影响到了例题的分析讲解。应
2021年高中数学3.1.3空间向量的数量积运算学案含解析人教A版选修2_1
3.1.3 空间向量的数量积运算 [目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题． [重点] 空间向量的数量积运算． [难点] 利用空间向量解决夹角、距离等问题． 知识点一 空间向量的夹角 [填一填] 1．定义： (1)条件：a ，b 是空间的两个非零向量． (2)作法：在空间任取一点O ，作OA → ＝a ，OB → ＝b . (3)结论：∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作a ，b ． 2．范围： a ，b ∈[0，π]，其中， (1)当a ，b ＝0时，a 与b 的方向相同． (2)当a ，b ＝π时，a 与b 的方向相反． (3)当 a ，b ＝π 2 时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . [答一答] 1．若a ，b 是空间的两个非零向量，则－a ，b ＝ a ，－ b ＝a ，b ，对吗？ 提示：不对．∵－a 与a ，－b 与b 分别是互为相反向量， ∴ －a ，b ＝ a ，－ b ＝π－a ，b ． 知识点二 空间向量的数量积 [填一填] 1．空间向量的数量积 (1)定义： 已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos a ，b 叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b ＝|a ||b |cos a ， b ． (2)运算律： ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 2．空间向量数量积的性质
[答一答] 2．类比平面向量，你能说出a ·b 的几何意义吗？ 提示：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |·cos θ的乘积． 3．对于向量a ，b ，c ，由a ·b ＝a ·c ，能得到b ＝c 吗？ 提示：不能，若a ，b ，c 是非零向量，则a ·b ＝a ·c 得到a ·(b －c )＝0，即可能有a ⊥(b －c )成立． 4．对于向量a ，b ，若a ·b ＝k ，能不能写成a ＝k b ？ 提示：不能，向量没有除法，k b 无意义． 5．为什么(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立？ 提示：由定义得(a ·b )c ＝(|a ||b |cos a ， b ) c ，即(a ·b )c ＝λ1c ；a (b ·c )＝ a (| b || c |cos b ，c )，即a (b ·c )＝λ2a ， 因此，(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立． 1.求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量间的夹角，在求两个向量间的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到另一个向量的起点． 2.利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可． 3.利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算．
3.1.3 空间向量的数量积运算
3.1.3 空间向量的数量积运算 课时目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹角及距离问题． 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫 做向量a ，b 的夹角 记法 范围 ,想一想：〈a ，b 〉与〈b ，a 〉相等吗？〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉呢？ 2．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b . (2)数量积的运算律 (3) 一、选择题 1．设a 、b 、c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题： ①(a·b )·c －(c·a )·b ＝0； ②|a |－|b |<|a －b |； ③(b ·a )·c －(c ·a )·b 不与c 垂直； ④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 2．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于( )
A.7 B.10 C.13 D ．4 4.在棱长为1的正四面体ABCD 中，E,F 分别是BC,AD 的中点，则AE ·CF →等于( ) A ．0 B.12 C ．－34 D ．－12 5. 如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2 B ．6 C ．12 D ．144 6．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λ、μ≠0)，则( ) A ．m ∥n B ．m ⊥n C ．m 不平行于n ，m 也不垂直于n D ．以上三种情况都有可能 二、填空题 7．已知a ，b 是空间两向量，若|a |＝3，|b |＝2，|a －b |＝7，则a 与b 的夹角为________． 8．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3 ，则|a ＋b |＝________. 9．在△ABC 中，有下列命题： ①AB →－AC →＝BC →； ②AB →＋BC →＋CA ＝0； ③(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AC →·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形． 其中正确的是________．(填写正确的序号) 三、解答题 10. 如图，已知在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC .求证：OA ⊥BC .
《空间向量的数量积运算》示范教案
3.1.3空间向量的数量积运算 整体设计 教材分析 本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上，引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律，并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法． 通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高．课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法； 2．掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律； 3．掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题． 过程与方法 1．运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程； 2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义． 情感、态度与价值观 1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力； 2．培养学生空间向量的应用意识． 重点难点 教学重点： 1．空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义； 2．空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用． 教学难点： 1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用； 2．空间向量的数量积运算及其几何应用和理解． 教学过程 引入新课 提出问题：已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为AA′的中点，点F在线段 D′C′上，D′F＝1 2FC′，如何确定BE → ，FD → 的夹角？
空间向量及其运算和空间位置关系(含解析)
归纳与技巧：空间向量及其运算和空间位置关系 基础知识归纳 一、空间向量及其有关概念 二、数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； (2)a⊥b?a·b＝0(a，b为非零向量)； (3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2. 2．向量的坐标运算
三、平面的法向量 (1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量． (2)在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一的． 基础题必做 1．(课本习题改编)已知a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是( ) A ．a ∥c ，b ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对 解析：选C ∵c ＝(－4，－6,2)＝2a ，∴a ∥c .又a ·b ＝0，故a ⊥b . 2． 若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( ) A ．{a ，a ＋b ，a －b } B ．{b ，a ＋b ，a －b } C ．{c ，a ＋b ，a －b } D ．{a ＋b ，a －b ，a ＋2b } 解析：选C 若c 、a ＋b 、a －b 共面， 则c ＝λ(a ＋b )＋m (a －b )＝(λ＋m )a ＋(λ－m )b ，则a 、b 、c 为共面向量，与{a ，b ，c }为空间向量的一组基底矛盾，故c ，a ＋b ，a －b 可构成空间向量的一组基底． 3．(教材习题改编)下列命题： ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB u u u r ＋BC u u u r ＋CD u u u r ＋DA u u u r ＝0； ②若MB u u u r ＝x MA u u u r ＋y MB u u u r ，则M 、P 、A 、B 共面； ③若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面． 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选D 可判断①②③正确． 4．在四面体O －ABC 中，OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的 中点，则OE u u u r ＝________(用a ，b ，c 表示)． 解析：如图，OE u u u r ＝12OA u u u r ＋12 OD u u u r
空间向量的数量积运算练习题
课时作业(十五) [学业水平层次] 一、选择题 1．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确． 【答案】 D 2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14. 【答案】 D 3．已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连结AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( ) A.PC →与BD → B.DA →与PB → C.PD →与AB → D.P A →与CD →
【解析】 用排除法，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，故P A →·CD → ＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，P A ⊥AD ，又P A ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面P AB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →＝0，排除C. 【答案】 A 4. 如图3-1-21，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( ) 图3-1-21 A ．2BA →·AC → B ．2AD →·DB → C ．2FG →·AC → D ．2EF →·CB → 【解析】 2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2 ，故D 错；2FG →·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确．
空间向量及其运算
空间向量及其运算 1.空间向量的有关概念 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝x a＋y b，其中x，y∈R，a，b为不共线向量. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p ＝x a＋y b＋z c，{a，b，c}叫作空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂直， 记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫作向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). 概念方法微思考 1.共线向量与共面向量相同吗？ 提示 不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量. 2.零向量能作为基向量吗？ 提示 不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量. 3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？ 提示 无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.
空间向量的数量积运算练习题
课时作业(十五) 一、选择题 1．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确． 【答案】 D 2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2 ，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14. 【答案】 D 3．已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连结AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( ) 与BD → 与PB → 与AB → 与CD →
【解析】 用排除法，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，故PA →·CD →＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，PA ⊥AD ，又PA ∩AB ＝A ，所 以AD ⊥平面PAB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →＝0，排除C. 【答案】 A 4. 如图3-1-21，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( ) 图3-1-21 A ．2BA →·AC → B ．2AD →·DB → C ．2FG →·AC → D ．2EF →·CB → 【解析】 2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错； 2EF →·CB →＝－12a 2，故D 错；2FG →·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确． 【答案】 C 二、填空题 5．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝________. 【解析】 |2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2 ＝4×|a |2＋9×|b |2－12×|a |·|b |·cos 60°＝61，
3.1空间向量及其运算测试题(答案)
精心整理 新课标高二数学同步测试（2－1第三章3.1） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填 在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ， 11D A =，A A 1=.则下列向量中与M B 1相等的向量是（） A ．++-2121 B ．++2 121 C 2 A C 3∠ A 4 ．与向量 A 3，1，1） C 5 A 6．则MN = （） A ．c b a 213221+- B ．c b a 21 2132++- C ．2 12121-+ D ．2 13232-+ 7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=?=?=?，， ，则?BCD 是（） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 8．空间四边形OABC 中，OB=OC ，?AOB=?AOC=600，则cos = （ ）
A ． 2 1 B ． 22 C ．?2 1 D ．0 9．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则?ABC 的面积为（） A ．3 B ．32 C ．6 D ． 2 6 10．已知),,2(),,1,1(t t t t t =--=，则||-的最小值为（） A ． 5 5 B ． 5 55 C ． 5 5 3 D ． 5 11 11．若12MN x 、y 、z 13、14三、解15．（''上， 且| 16．（分）如图在空间直角坐标系中中点，点A ,21,23(（1（217．（18．（={2，－1，－4}，AD ={4，2，0}，AP ={－1，2，－1}. （1）求证：PA ⊥底面ABCD ； （2）求四棱锥P —ABCD 的体积； 19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点. （1）求的长；（2）求cos<11,CB BA >的值； （3）求证：A 1B ⊥C 1M . 20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是 菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.
空间向量数量积算
《空间向量的数量积运算》说课案 今天我说课的课题《两个向量的数量积》，本节课是数学选修2-1第三章第三节的第一课时的内容，现我就教材分析、教学目标分析、教学重难点、教法与学法设计、教学过程、五个方面进行说明。恳请在座的各位评委批评指正。一、教材分析 本节课是人教A版选修2-1第三章第1.3节的内容，是在学生学习了空间向量的线性运算和空间向量基本定理的基础上进一步学习的内容，是平面向量数量积及其研究方法的推广和拓展。它丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点、新的方法，并且是本章和今后学习的重要基础1教材的地位与作用： 空间两个向量的夹角、数量积是高中数学向量的重要内容，也是高考的重要考查内容。从知识的网络结构上看，空间向量夹角、数量积既是平面向量夹角、数量积概念的延续和拓展，又是后续空间向量数量积的计算坐标化和空间向量在立体几何中应用的教学基础。 学生已经学习了立体几何，通常都按照传统方法解立体几何题，这就要求我们的学生需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高。 整体来看，本节课在整个高中数学中占有重要的地位。 2、学情分析 本节课授课对象是高二年级的学生，他们已熟知了实数的运算体系，学习了平面向量的一些内容，理解了向量的概念，对向量的加法、减法及数乘运算都应该较熟练，具备了功等物理知识，并且通过前面的学习初步体会了研究向量运算的一般方法。 （二）根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知心理特征、及本节课在整个高中数学中的地位，对本节课我设置了如下的三维目标： 知识与技能：（1）掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法； （2）掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律； （3）掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。
空间向量的数量积运算练习题
空间向量的数量积运算 练习题 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
课时作业(十五) 一、选择题 1．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确． 【答案】 D 2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2 ＋2a ·b ＝|c |2 ，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1 4 . 【答案】 D 3．已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连结AC ，BD ， PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( ) A.PC →与BD → B.DA →与PB → C.PD →与AB → D.PA →与CD → 【解析】 用排除法，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，故PA →·CD → ＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，PA ⊥AD ，又PA ∩AB ＝A ，所以AD
3-1-3 空间向量的数量积运算
基础巩固强化 一、选择题 1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，则 ①(a·b)c－(c·a)b＝0； ②|a|－|b|<|a－b|； ③(b·a)c－(c·a)b不与c垂直； ④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2. 其中正确的是() A．①②B．②③C．③④D．②④ [答案] D [解析]根据数量积的定义及性质可知：①③错误，②④正确．故选D. 2．已知向量a、b是与平面α平行的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] B [解析]当a与b不共线 ．．．时，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；当a与b为共线向量时，由c·a＝0，c·b＝0，不能够推出l⊥α；l⊥α一定有c·a＝0且c·b＝0，故选B. 3．如图，正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么()
A.AE →·BC →
空间向量的数量积运算
空间向量的数量积运算 （45分钟 100分） 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知空间向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= ( ) A.0 B.2错误!未找到引用源。 C.4 D.8 3.(2013·天水高二检测)已知四边形ABCD满足:错误!未找到引用源。·错误!未 找到引用源。>0,错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。>0, 错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。>0,错误!未找到引用源。·错误!未 找到引用源。>0,则该四边形为( ) A.平行四边形 B.梯形 C.平面四边形 D.空间四边形 4.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正 方形,则B,D两点间的距离是( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.1 D.错误!未找到引用源。 5.(2013·杭州高二检测)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC=
A.45° B.60° C.90° D.120° 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.(2013·安阳高二检测)已知向量a与b的夹角是120°,且|a|=|b|=4,则b·(2a+b)= . 7.如图所示,在几何体A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=1,CD=2,点E为CD的中点,则AE的长为. 8.如图∠BAC=90°,等腰直角三角形ABC所在的平面与正方形ABDE所在的平面互相垂直,则异面直线AD与BC所成角的大小是. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,
1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算
人教A 版（2019）选择性必修第一册必杀技第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运 算 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、多选题 1．设a ，b 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）． A ．22||a a = B ． 2a b b a a ?= C ．222()a b a b ?=? D ．222()2a b a a b b -=-?+ 2．（多选）设a ，b ，c 是任意的非零空间向量，且两两不共线，则下列结论中正确的有（ ）． A ．()()0a b c c a b ?-?= B ．||||||a b a b -<- C ．()()b a c c a b ?-?不与c 垂直 D ．22(32)(32)9||4||a b a b a b +?-=- 二、单选题 3．已知向量i ，j ，k 是一组单位向量，且两两垂直．若83m j k =+，54n i j k =-+-，则m n ?的值为（ ）． A ．7 B ．20- C ．28 D ．11 4．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的上底面1111D C B A 的中心为1O ，则 1AO AC ?的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 5．在棱长为2的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则(AE CF ?= ) A ．0 B ．2- C ．2 D ．3- 6．如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，
空间向量及其运算
2021年新高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》 空间向量及其运算 1．空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a ＝b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a 的相反向量为－a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a ∥ b 共面向量 平行于同一个平面的向量 2．空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量． (3)空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂直， 记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．
(2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0) a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 模 |a | a 21＋a 22＋a 2 3 夹角 〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0) cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 21＋a 22＋a 23· b 21＋b 22＋b 2 3 概念方法微思考 1．共线向量与共面向量相同吗？ 提示 不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量． 2．零向量能作为基向量吗？ 提示 不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量． 3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？ 提示 无关．这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( × ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( × ) (5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA → ＝0.( √ ) (6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角．( × ) 题组二 教材改编
3.1.3空间向量的数量积运算(优秀经典公开课比赛教案)
3.1.3空间向量的数量积运算 一、教材分析：“3.1空间向量及其运算”包括空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示等内容。 在学生掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难。教科书在本小节首先类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律。进而分别给出了空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。 二、教学目标： 1、掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法； 2、掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律； 3、掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题. 三、教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用． 四、教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 五、教学准备 1、课时安排：1课时 2、学情分析： 3、教具选择： 六、教学方法： 七、教学过程 1、自主导学： 2、合作探究 （一）、复习引入 1.复习平面向量数量积定义： 2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.
（二）、新课讲授 1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向 量a 与b ，在空间中任取一点O ，作OA ＝a ，OB ＝b ， 则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作＜a ,b ＞． 说明：⑴规定：0≤＜a ，b ＞π≤． 当＜a 、b ＞ ＝０时，a 与b 同向； 当＜a 、b ＞＝π时，a 与b 反向； 当＜a 、b ＞＝2π时，称a 与b 垂直，记a ⊥b ． ⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜a ,b ＞＝＜b ,a ＞． ⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的． ②＜a ,b ＞≠(a ,b ) 2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a 与b ，|a ||b |cos ＜a 、b ＞叫做向量a 、b 的数量积，记作a ·b ，即 a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞. 说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝０； ⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. 几何意义：已知向量AB ＝a 和轴l ，e 是l 上和l 同方向的单位向量．作点A 在l 上的射影A ′，点B 在l 上的射影B ′，则''A B 叫做向量AB 在轴l 上或在e 方向上的正射影，简称射影．可以证明：''A B ＝｜AB ｜cos ＜a ,e ＞＝a ·e ．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a ·e 的几何意义． 3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质： ⑴a ·e ＝｜a ｜·cos ＜a ,e ＞； ⑵a ⊥b ?a ·b ＝０ ⑶当a 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜. 特别地，a ·a ＝｜a ｜2或｜a = ⑷cos ＜a ,b ＞＝a b a b ??; ⑸｜a ·b ｜≤｜a ｜·｜b ｜. 4. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律： ⑴(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ) (数乘结合律)； ⑵ a ·b ＝b ·a (交换律)； ⑶a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律) 说明：⑴(a ·b )c ≠a （b ·с）；⑵有如下常用性质：a 2＝｜a ｜2，(a ＋b )2＝a 2＋２a ·b ＋b 2 例题讲解：课本91页：例2、例3