通过L积分几何意义谈对黎曼积分的认识
黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分和勒贝格积分都是用来求解函数在某一区间上的定积分，但是它们的定义和性质有着很大的区别。
黎曼积分是一种传统的积分方法，它把定积分的计算问题转化
为一个求和问题，即将区间分成若干小段，然后对每一小段的函数
值乘以对应小段的长度求和来逼近定积分的值。
黎曼积分只适用于
满足黎曼可积条件的函数，也就是说，被积函数必须满足有界且在
有限区间上几乎处处连续。
勒贝格积分则是一种广义积分方法，它是将区间上的函数分解
成上下两个函数，然后利用这两个函数的极限逼近来计算定积分的值。
因为勒贝格积分的定义更加宽松，所以相比较于黎曼积分，它
能够处理诸如反常积分这样的更加复杂的积分问题。
此外，黎曼积分和勒贝格积分的性质也有所不同。
例如，黎曼
积分在加积分区间时是可交换的，而勒贝格积分则不具有这种性质。
此外，勒贝格积分对于不满足黎曼可积条件的函数，也有一定的处
理能力，而黎曼积分则无法计算这些函数的积分。
综上所述，黎曼积分和勒贝格积分都是求解定积分问题的方法，但是它们的定义和性质有很大的不同。
黎曼积分只适用于黎曼可积
的函数，而勒贝格积分则更加广泛适用于各种类型的函数。
黎曼积分公式
黎曼积分公式
黎曼积分是一种重要的数学工具，它可以用来解决微分方程的积分问题。
它是
由德国数学家黎曼在1829年提出的，他把它发明出来是为了解决一些复杂的微分
方程积分问题。
黎曼积分的定义是：如果f(x)是一个连续函数，那么它的黎曼积分就是把f(x)从a到b的积分，即：
∫f(x)dx=∫a^b f(x)dx
黎曼积分的应用非常广泛，它可以用来解决微分方程的积分问题，也可以用来
计算曲线的面积，以及计算曲线与曲线之间的距离。
此外，它还可以用来计算曲线的极限，以及求解曲线的极值点。
黎曼积分的计算方法也很简单，可以使用数值积分的方法来计算，也可以使用
解析积分的方法来计算。
数值积分的方法是把积分区间分成若干小区间，然后在每个小区间上求函数的值，最后把这些小区间的积分值加起来就可以得到整个积分的值。
而解析积分的方法则是把积分区间上的函数表示成一个多项式，然后求出多项式的积分，最后得到整个积分的值。
总之，黎曼积分是一种重要的数学工具，它可以用来解决微分方程的积分问题，也可以用来计算曲线的面积，以及计算曲线与曲线之间的距离。
它的计算方法也很简单，可以使用数值积分的方法来计算，也可以使用解析积分的方法来计算。
黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系
黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系数学系1302班第五组07 樊萌12 韩鸿林19 兰星21 李鸿燕45 王堃51 武相伶54 许小亭57 杨莉黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系黎曼积分和勒贝格积分定义的比较1、黎曼积分定义：设()x f 在[]b a ,上有界,对[]b a ,做分割,{}b x x x a T n =<<<== 10,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i ni i x x m s()11-=-=∑i i ni i x x M S ,若有dx s dx S bab a⎰⎰=则称()x f 在[]b a ,上黎曼可积.2、勒贝格积分定义：,0>∀δ,作M y y y m n =<<= 10,,其中δ<--1i i y y ,M ,m 分别为()x f 在E 上的上界和下界,令(){}i i i y x f y x E ≤≤=-1,,()n i ,2,1=若i ni i mE y ∑=-→110lim δ存在,则()x f 勒贝格可积.3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E 上可测,若记()(){}0,m ax x f x f=+，()(){}0,m in x f x f-=-,则有()()()x f x fx f -+-=,若()dx x f E+⎰,()dx x fE_⎰不同时为∞,则()x f 在E 上的积分确定且()()()dx x f dx x f dx x f EEE-+⎰⎰⎰-=.4、 简单函数的勒贝格积分定义:设()x f 是可测集E 上的非负简单函数,于是有对E 的划分i E ,n i 2,1=,()x f 在i E 上的取值为i c ,则()i E ni i c x f χ∑==1,定义()x f 的勒贝格积分为()ini iEmE c dm x f ∑⎰==1,若()∞<⎰dm x f E,则称()x f 在E 上勒贝格可积.5、非负可测函数的勒贝格积分定义:取E 上的非负简单函数列()x f n ,对任意的E x ∈,()x f n 都收敛于()x f ,则()x f 在E 上勒贝格可积其积分为()()dm x f dm x f EEn n ⎰⎰=∞→lim .对一般的函数由于()()()x f x fx f -+-=,则()()()dm x f dm x f dm x f EEE⎰⎰⎰=--+.若左端的两个积分值都有限时,称()x f 在E 上勒贝格可积.勒贝格积分是对黎曼积分的推广,所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积,但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积.黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较黎曼可积的条件㈠黎曼可积的条件必要条件定义在[]b a ,上的()x f 黎曼可积的必要条件是()x f 在[]b a ,上有界.注 任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积. ㈡黎曼可积的充分必要条件1、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即设()x f 在[]b a ,上有界,{}b x x x a T n =<<<== 10为对[]b a ,的任一分割,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i ni i x x m s ,()11-=-=∑i i ni i x x M S ,n i ,2,1=有dx s dx S bab a⎰⎰=.2、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得()i i i ini i m M w xw -=<∆∑=ξ1.3、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得()()ξ<-T s T S 成立.4、定义在[]b a ,上的函数()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的一切间断点构成一个零测度集.注 这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的. 勒贝格可积条件1、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为0>∀ξ,总存在E 的某一分割D ,使得ξ<∑iii mEw .2、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.3、设()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,则()x f 在[]b a ,上勒贝格可积的充要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,且有()[]()⎰⎰=ba ba dx x f dm x f ,. 4、设()x f n 为E 上的可测函数列,()x f n 在E 上的极限函数几乎处处存在,且()M dx x f En <⎰,则()x f 在E 上勒贝格可积.5、设()x f 是是定义在可测集E 上的连续函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.黎曼积分与勒贝格积分的性质比较黎曼积分的性质1、（线性性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ,上黎曼可积函数,则()()x g x f +,()()x g x f -,()()x g x f 也在[]b a ,上黎曼可积.注()()()()dx x g dx x f dx x g x f b ab ab a⎰⎰⎰+=+,但()()()()dx x g dx x f dx x f x g bab ab a⎰⎰⎰≠.2、（区域可加性）设有界函数()x f 在[]c a ,,[]b c ,上都黎曼可积,则()x f 在[]b a ,上也黎曼可积,且有()()()dx x f dx x f dx x f bcc ab a⎰⎰⎰+=.3、（单调性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ,上黎曼可积,且()()x g x f ≤,则()()dx x g dx x f bab a⎰⎰≤.4、（可积必绝对可积）若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,则()x f 在[]b a ,上也黎曼可积,且有()()dx x f dx x f bab a⎰⎰≤.注 其逆命题不成立.5、若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,则在[]b a ,的任意内闭子区间[][]b a ,,⊂βα上也黎曼可积.且其积分值不会超过在[]b a ,上的积分值.6、若()x f 是[]b a ,上非负且连续的函数,若有()010=⎰dx x f ,则()x f 在[]b a ,上恒等于零.7、若()x f ,()x g 是[]b a ,上的黎曼可积函数,则()(){}x g x f M ,m ax = ,()(){}x g x f m ,m in =在[]b a ,上也黎曼可积.8、若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,()x f 1在[]b a ,上有定义且有界,则()x f 1也在[]b a ,上黎曼可积.勒贝格积分的性质1、（有限可加性）设()x f 是有界可测集E 上的可积函数,K nk E E 1==,K E 等均可测且两两互不相交,则有()()()()d x x f dx x f dx x f d x f nEEEE⎰⎰⎰⎰+++=21x . 2、对于给定的可测函数()x f ,()x f 与()x f 的可积性相同且()()dx x f d x f EE⎰⎰≤x . 3、(单调性)若()x f ,()x g 在E 上勒贝格可积,且()()x g x f ≤几乎处处成立,则()()d x x g d x f EE⎰⎰≤x . 4、()x f 是E 上的非负可积函数,则()x f 在E 上是几乎处处有限的.5、()x f 是E 上的非负可测函数,若()x f 在E 上几乎处处等于0,则()0x =⎰d x f E.6、(零测集上的积分)若0=mE ,则()0=⎰dx x f E.7、()x f 是E 上的勒贝格可积函数,()0≥x f 在E 上几乎处处成立,则()0x ≥⎰d x f E.8、设()x f 在E 上可测,若存在非负函数()x g 在可测集E 上勒贝格可积,()()x g x f ≤几乎处处成立,则()x f 在可测集E 上勒贝格可积.9、()x f 在可测集E 上勒贝格可积,A 是E 的可测子集,则()x f 在A 上也勒贝格可积. 且其积分值不会超过在E 上的积分值.10、设()x f 在E 上可测,则()0x =⎰d x f E的充要条件是()0=x f 在E 上几乎处处成立.11、设()x f ,()x g 均在E 上勒贝格可积,则()(){}x g x f M ,m ax =,()(){}x g x f m ,m in =也 在E 上勒贝格可积.12、若()x f 与()x g 在E 上几乎处处相等,则()x g 也可积,且()()d x x g dx x f EE⎰⎰=. 13、设()x f 在可测集E 上勒贝格可积函数,则其不定积分是绝对连续函数14、设()x f 为可测集E 上勒贝格可积函数,则存在绝对连续的函数()x g ,使得()x g 导函数在E 上几乎处处等于()x f .黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较与黎曼积分相关的定理⒈若函数列()x f n 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数()x f 也在I 上连续.⒉（可积性）若函数列()x f n 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,()()dx x f dx x f ban n nb a n ⎰⎰∞→∞→=lim lim .⒊（可微性）设()x f n 为定义在[]b a ,上的函数列,若[]b a x ,0∈为()x f n 的收敛点,且()x f n 的每一项在[]b a ,上都有连续的导数,()x f n '在[]b a ,上一致收敛,则()()()x f dxdx f dx d n n n n ∞→∞→=lim lim . ⒋有界收敛定理设()x f n 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数. ⑴()[]()b a x n M x f n ,,2,1∈=≤ .⑵()x f 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数.且()()x f x f n n =∞→lim .则有()()dx x f dx x f bab an n ⎰⎰=∞→lim .与勒贝格积分相关的定理⒈（勒维定理）设可测集E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件:()() ≤≤≤x f x f 210,()()x f x f n n =∞→lim ,则()x f n 的积分序列收敛于()x f 的积分()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒉（勒贝格控制收敛定理）设可测集E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件: ⑴()x f n 的极限存在,()()x f x f n n =∞→lim .⑵存在可积函数()x g 使得()()()N n E x x g x f n ∈∈≤,,那么()x f 可积,有()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒊设∞<mE ,E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件: ⑴()()()N n E x x g x f n ∈∈≤,,,()x g 可积. ⑵()x f n 依测度收敛于()x f ,那么()x f 可积,有()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒋设()x f n 是[]b a ,上的增函数列,且有()x f n n ∑∞=1在[]b a ,上收敛,则()()x f dxdx f dx d n n n n ∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11.--。
黎曼ζ函数积分
黎曼ζ函数积分黎曼ζ函数是数学中一个重要的特殊函数，它由德国数学家黎曼在19世纪提出。
黎曼ζ函数在数论和解析数论中具有广泛的应用，它的积分形式也是其独特之处。
黎曼ζ函数的定义如下：ζ(s) = 1^(-s) + 2^(-s) + 3^(-s) + 4^(-s) + ...其中s是一个复数，实部大于1。
黎曼ζ函数的积分形式可以通过欧拉变换得到，即将其转化为复变函数的积分形式。
黎曼ζ函数的积分形式可以用来计算ζ函数在复平面上的值。
通过计算积分，我们可以得到ζ函数在特定点的值，从而了解ζ函数的性质。
这在解析数论中非常重要，因为ζ函数与素数密切相关。
黎曼ζ函数积分可以用来证明黎曼猜想。
黎曼猜想是数论中一个重要的未解问题，它与素数的分布有关。
黎曼猜想表明，ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面的临界线上，即实部为1/2。
通过对黎曼ζ函数积分的研究，我们可以深入了解ζ函数的性质，从而进一步探索黎曼猜想。
黎曼ζ函数积分还可以用来计算一些特殊数列的和。
例如，通过计算ζ函数在负整数点的值，我们可以得到著名的黎曼ζ函数值。
这些特殊数列的和在数论和解析数论中有着广泛的应用。
黎曼ζ函数积分的研究不仅有理论上的重要性，还有着实际的应用。
例如，在密码学中，黎曼ζ函数的性质被用来设计加密算法。
通过研究ζ函数在复平面上的性质，可以提高密码算法的安全性。
黎曼ζ函数积分是数学中一个重要的特殊函数积分形式。
它在数论和解析数论中具有广泛的应用，并且有助于解决一些重要的数学问题。
通过研究黎曼ζ函数积分，我们可以深入了解ζ函数的性质，从而不断推动数学的发展和应用。
黎曼积分的历史与发展
黎曼积分的历史与发展
导言
黎曼积分是微积分的一个重要概念，由19世纪德国数学家黎曼引入。
黎曼积分不仅在数学理论中有深远的影响，也在实际问题中具有广泛应用。
本文将探讨黎曼积分的历史渊源，以及它在数学发展中的重要作用。
黎曼积分的发展历程
初期微积分的发展
18世纪，微积分逐渐成为数学研究的一个核心领域。
数学家们研究如何用极限的概念来描述曲线下面积的大小，这启发了后来的积分概念的发展。
黎曼的贡献
在19世纪，黎曼提出了对积分的全新理解，他引入了“黎曼和”这一概念，将导数和积分联系在了一起，创立了现代微积分的理论基础。
黎曼积分的定义
黎曼积分的定义是在一个区间上划分出无数小区间，然后计算在每个小区间上函数值与区间长度的乘积之和，当这个和随着小区间长度的极限趋于零时，就得到了黎曼积分的值。
黎曼积分的应用
物理学中的应用
黎曼积分在物理学中有着广泛的应用，例如用于描述曲线下的面积、求解几何体的体积等。
工程学中的应用
工程学中也经常需要对不规则曲线下的面积进行求解，黎曼积分有效地解决了这一类问题。
结语
总的来说，黎曼积分是微积分理论中的重要概念，它的历史和发展充分展示了人类对数学的不断探索和发展。
不仅如此，黎曼积分在实际应用中也有着重要的作
用，为科学研究和工程实践提供了重要的数学工具。
希望未来能够有更多的数学家在这一领域做出更深入的研究和探索。
黎曼可积的必要条件
黎曼可积的必要条件在数学中，黎曼积分是一种广泛应用的积分方法。
然而，黎曼积分的使用必须满足一定的条件，否则积分的结果可能是不正确的。
本文将讨论黎曼可积的必要条件，以便更好地理解黎曼积分的应用。
1. 黎曼积分的定义首先，我们需要了解黎曼积分的定义。
黎曼积分是将一个函数$f(x)$在区间$[a,b]$上分成若干个小区间，然后将每个小区间内的函数值乘以该小区间的长度，最后将这些结果相加得到的一个数值。
具体来说，设$P={x_0,x_1,cdots,x_n}$是$[a,b]$的一个分割，其中$a=x_0<x_1<cdots<x_n=b$，则$f(x)$在$P$上的黎曼和为：$$S(P,f)=sum_{i=1}^n f(xi_i)(x_i-x_{i-1})$$其中$xi_iin[x_{i-1},x_i]$是$[x_{i-1},x_i]$上的任意一点。
如果当分割$P$的任意一种方式下，当其对应的黎曼和$S(P,f)$的极限存在，且与分割方式无关，则称$f(x)$在$[a,b]$上黎曼可积，其黎曼积分值为：$$int_a^b f(x)dx=lim_{|Delta|rightarrow 0}S(P,f)$$ 其中$|Delta|$表示分割$P$的最大长度。
2. 黎曼可积的必要条件了解了黎曼积分的定义后，我们来讨论黎曼可积的必要条件。
根据黎曼积分的定义，我们可以发现，当分割的数量越来越多，每个小区间的长度越来越小，黎曼和趋近于黎曼积分值。
因此，要使$f(x)$在$[a,b]$上黎曼可积，必须满足以下两个条件：（1）有限性：$f(x)$在$[a,b]$上有限。
这个条件比较显然，因为如果$f(x)$在$[a,b]$上无限大，则无法将其分割成若干个小区间进行计算。
例如，$int_0^1frac{1}{x}dx$就是一个不满足有限性的积分，因为在$x=0$处$f(x)$无限大。
（2）有界性：$f(x)$在$[a,b]$上有界。
勒贝格积分与黎曼积分
从这里，我们也可以看出勒贝格积分“对值域进行划分”的好处。 接下来，我用更直观的证明来说明在常义积分下，两个积分的关系：
（1）若 f (x) 为 (R) 可积，则 f (x) 为（L）可积，且积分值相等； 设 f (x) 是 [a,b] 上的常义 (R) 可积函数，由以上定理 4 知 f (x) 在 [a,b] 上的不连续点集是零测集，因此 f (x) 是 [a,b] 上的有界可测函数， 所以 f ∈ L[a,b] 。 对 [a,b] 的任一分划 T : a = x0 < x1 < … < xn = b ，记号 M i , mi , ∆xi 如前 面所述，则
所以有，
对左端取上确界，右端取下确界，得
再由 f ∈ R[a,b] ，知
（2）若 f (x) 为（L）可积，推不出 f (x) 为 (R) 可积。 1, x ∈[0,1] ∩ Q
考虑定义在 [0,1] 上的函数 f (x) = 0, x ∈[0,1] \ Q 显然，函数 f (x) 在 [0,1] 上为（L）可积，但不是 (R) 可积。
0, x为无理数
子就是狄利克雷函数——
f (x) = 1, x为有理数
，这个函数就不能被黎曼
积分所定义。所以，勒贝格考虑对值域进行划分，这样子，在局部
将值域限制，不让函数剧烈震荡，就可以对它进行积分了。 3. 勒贝格积分的优点 勒贝格积分就是为了弥补黎曼积分不足而创造的，在这里，我
们先详细地叙述一下黎曼积分的缺点： 3.1 黎曼积分的可积函数类很小，而勒贝格积分的可积函数类
需要满足太强的条件。
勒贝格控制收敛定理：设，
，
lim
k →∞
fk (x) =
f (x) ，a.e.
黎曼和与积分的概念
数学领域：黎曼和在数学分析、实分析、复分析等领域中有着广泛的应用，用于求解 各种积分问题。
物理学领域：黎曼和在物理学中有重要应用，例如在量子力学、统计物理等领域中 用于计算各种物理量的数值。
工程学领域：黎曼和在工程学中也有应用，例如在信号处理、图像处理等领域中用于 计算各种数值积分。
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汇报人：XX
01
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02Байду номын сангаас
黎曼和的概念是 由德国数学家黎 曼提出的，用于 解决一些复杂的 数学问题。
黎曼和的定义是 指将一个无穷级 数与一个无穷积 分相联系的数学 工具。
通过黎曼和的定 义，我们可以将 无穷级数转化为 无穷积分，从而 更好地理解和处 理一些数学问题。
黎曼和的定义在 数学分析、复分 析、实分析等领 域有着广泛的应 用。
定义：黎曼和是用来计算无穷级数的一种方法，通过将无穷级数拆分成有限个部分的和来逼近 真实值。
性质：黎曼和具有收敛性，即随着拆分的精细程度增加，计算得到的和值会逐渐接近真实值。
应用：黎曼和在数学分析、积分计算等领域有广泛应用，是研究无穷级数和积分的重要工具。
汇报人：XX
积分区间可加性： ∫(a,b) f(x) dx = ∫(a,c) f(x) dx + ∫(c,b) f(x) dx
积分对区间的可 微性：∫(a,b) f'(x) dx = f(b) - f(a)
积分对被积函数 的可微性：∫(a,b) f'(x) dF(x) = F[b] - F[a]
积分对被积函数 的可积性：∫(a,b) f(x) dx = ∫(a,b) dF(x) = F[b] F[a]
黎曼积分与广义积分的比较分析
黎曼积分与广义积分的比较分析积分是微积分中的重要概念，用于求解函数的面积、体积、平均值等问题。
在积分的研究中，黎曼积分和广义积分是两种常见的方法。
本文将对这两种积分方法进行比较分析，探讨它们的特点和适用范围。
黎曼积分是由德国数学家黎曼在19世纪提出的，它将函数的积分问题转化为求极限的问题。
黎曼积分的基本思想是将被积函数划分为若干个小区间，然后在每个小区间上取一个样本点，通过求和来逼近函数的积分值。
黎曼积分的定义相对简单，容易理解和计算。
它适用于有界函数和在有限闭区间上的连续函数。
然而，黎曼积分也存在一些限制。
首先，黎曼积分要求函数在区间上连续，这对于某些函数来说可能是不满足的。
其次，黎曼积分只适用于有界函数，对于无界函数的积分问题无法解决。
此外，黎曼积分的定义需要满足划分的区间趋近于零的条件，这对于某些函数来说可能是困难的。
为了解决黎曼积分的不足，数学家们提出了广义积分的概念。
广义积分是对无界函数和不连续函数的积分进行定义的一种方法。
它通过将积分区间划分为有限个子区间，然后在每个子区间上进行积分，最后取极限来定义积分的值。
广义积分的定义更加一般化，可以处理更多类型的函数。
广义积分的优势在于它可以处理无界函数和不连续函数的积分问题。
例如，当函数在某个点发散时，黎曼积分无法计算该点的积分值，但广义积分可以通过取极限来得到一个有意义的结果。
此外，广义积分还可以处理无穷区间上的积分问题，这是黎曼积分无法解决的。
然而，广义积分也存在一些问题。
首先，广义积分的计算相对复杂，需要进行极限运算。
这增加了计算的难度和复杂性。
其次，广义积分的定义相对抽象，对于初学者来说可能不太容易理解。
此外，广义积分的收敛性需要进行严格的证明，这对于一些复杂函数来说可能是困难的。
综上所述，黎曼积分和广义积分是两种常见的积分方法。
黎曼积分适用于有界函数和在有限闭区间上的连续函数，计算简单，易于理解。
而广义积分适用于无界函数和不连续函数，可以处理更多类型的积分问题，但计算复杂，理解难度较大。
L积分与R积分的比较
L 积分与R 积分的比较1 引言黎曼积分(R 积分)起源于17世纪牛顿和莱布尼茨创立的微积分，接下来的两个世纪，经过欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、柯西、维尔斯特拉斯、康托等人的努力，积分概念逐步发展，最终成形于黎曼，即R 积分．但由于一个像狄利克雷函数这样简单的函数却不是R 可积，这个发现充分暴露了R 积分在某种程度上的局限性，为使积分学有更广泛的应用，人们期望能将可积函数类加以扩大，这就需要对R 积分进行改造，把积分学推向前进，这个人就是勒贝格，他在1902年成功引入了一种新的积分—勒贝格积分(L 积分)．L 积分是积分发展史上的一次革命，它使得积分论在集合论，测度论的基础上走向现代化，从而有可能在现代水平的层次上向其他现代数学分支渗透，促使了其他学科的发展，特别是三角级数和函数序列方面，概率论、泛函分析等学科也受到了L 积分的积极影响．本文将从以下不同角度系统比较勒贝格积分与黎曼积分．2 黎曼积分与勒贝格积分的不同定义 2.1 R 积分与L 积分的极限式定义定义2.1[]1(9192)P - (黎曼积分的定义) 设)(x f 是定义在[,]a b 上的有界函数,任取一分点组T ，0x = a < 1x < 2x < …< n x b =,将区间[,]a b 分成n 部分,在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ,(1234)i n =⋅⋅⋅、、、、、,作和s = 11()()i i i i f x x ξ∞-=-∑ ,令r = ni ≤≤1max (i x - 1-i x ) ,如果对任意的分法与i ξ 的任意取法,当0r →时, s 趋于有限的极限I ,则称此极限值I 为)(x f 在[,]a b 上的黎曼积分,记为I = （R ）⎰ba)(x f dx ．定义 2.2[]1(9192)P - (勒贝格积分的定义) 设E 是一个勒贝格可测集, ()m E <∞ , )(x f 是定义在E 上的勒贝格可测函数,又设)(x f 是有界的,就是说存在实数1 及u ,使得()f E ⊂(1,u ) ．在[1,u ]中任取一分点组D ，1 = 0l < 1l < …< n l = u ,记)(D δ=nk ≤≤1max (k l -1-k l ) ,k E = E (1()k k l f x l -≤<) 1{()}k k x E l f x l -=∈≤≤ ,并任取k ξ∈k E (我们约定,当k E =Φ时, f (k ξ)()0k m E =) ,作和)()()(1k nk km f D S E =∑=ξ,如果对任意的分法与k ξ的任意取法,当()D δ→0时, ()S D 趋于有限的极限J ,则称J 为)(x f 在E 上关于勒贝格测度的积分,记作J =dx x f E )(⎰．注 1 从定义2.1和定义2.2可以看出，它们的主要区别是：R 积分是将给定函数的定义域划分而产生的，而L 积分是划分函数的值域而产生的．除了上面的定义之外，R 积分与L 积分还有其他形式的定义.2.2 R 积分与L 积分的确界式定义定义2.3[]2(100106)P - （黎曼积分的定义） 设()f x 在[,]a b 上有界，T 表示[,]a b 的任一分划，这里n 为任一自然数，可随Ｔ而不同．设i M ,i m 分别表示()f x 在[1,i i x x -]上的上、下确界,(1234)i n =⋅⋅⋅、、、、、,(,)S T f =1n i i i M x =∆∑,(,)s T f =1ni i i m x =∆∑，分别称为()f x 关于分划T 的大和数与小和数，这里1,()bi i i ax x x f x dx -∆=-⎰=inf (,)TS T f ，()sup baTf x dx =⎰(,)s T f ，分别叫做()f x 在[,]a b 上的达布上积分与下积分．这里上、下确界是对[,]a b 的一切可能分划T 而取的．如果()baf x dx ⎰＝()baf x dx ⎰，（一般只有()baf x dx ⎰≥()baf x dx ⎰),则称()f x 在[,]a b 上Ｒ可积，并称此共同值为()f x 在[,]a b 上的R 积分，记为()b af x dx ⎰．定义 2.4[]2(100106)P - (勒贝格积分的定义) 设()f x 是可测集E （mE <∞）上的有界函数，记sup ()ii x E B f x ∈=，inf ()ii x E b f x ∈=，则1(,)ni ii S D f B mE==∑，1(,)ni ii s D f b mE==∑，()inf (,),EDf x dx S D f =⎰()sup (,)EDf x S D f =⎰，分别称为()f x 在E 上的Ｌ上、下积分，如果()()EEf x dx f x dx =⎰⎰，则称()f x 在E 上Ｌ可积，则称此共同值为()f x 在E 上的Ｌ积分，记为()Ef x dx ⎰．注 2 上述定义中的D 为可测集E 的可测分划，,i i D E E =⋃为可测集.3 L 积分与R 积分的比较3.１ 从可积函数的范围来看，L 积分比R 积分广泛L 可积函数的范围比 R 积分广,主要体现在 L 积分蕴涵了R 积分,有下述定理． 引理 1[]1(91)P 若()f x 是定义在[],a b 上的有界函数,则()f x 在[],a b 上是 R 可积的充要条件是()f x 在[],a b 上的不连续点集是零测度集．定理 1[]1(92)P 定义在有限区间[],a b 上的函数若为 R 可积,则必 L 可积,且积分值相等．即()()()()bbaaR f x dx L f x dx =⎰⎰．证明 由题设及引理 1, ()f x 在[],a b 上几乎处处连续,因此()f x 是[],a b 上的有界可测函数,([,])f L a b ∈． 其次对[],a b 的任意分划T :a = 123n x x x x <<<⋅⋅⋅< = b,根据 L 积分的可加性质有1[,],1()()i i na b i f x dx f x dx x x-⎡⎤⎣⎦==∑⎰⎰．记i M ,i m 分别为()f x 在[]1,i i x x -上的上、下确界,得11,()()i i i i i i m f x dx M x x x x --⎡⎤⎣⎦-≤≤⎰, (1234)i n =⋅⋅⋅、、、、、，从而可知1111()()()()nnii ii i i Ii i m f x d x M x xx x --==-≤≤-∑∑⎰，于是上式两端对一切分划T 各取上下确界立即得到()()bIaf x dx f x dx =⎰⎰，这说明()f x 在[],a b 上的 R 积分与L 积分是相等的.反之L 可积的函数未必 R 可积．例1 2,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩为无理点为有理点，在区间[]0,1上不是R 可积的，却是L 可积的．这是因为除了点1x =外,闭区间[]0,1上的其余点都是间断点,即它在一正测度集上间断,所以它不是 R 可积的．但因为()f x 有界可测,所以这个函数是 L 可积的．3.2 从某些极限交换过程来看，L 积分较R 积分优越对R 积分来说，关于积分列求极限的问题，经常要求函数序列一致收敛（当然，这是充分条件），极限才可以与积分号交换顺序，这从运算的角度看不仅不方便，限制也过强，然而关于L 积分，对函数列的要求就宽得多.定理 2[4](38)P (黎曼积分中的极限交换过程)若函数列{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛,且每一项都连续,则lim ()bn a n f x dx →∞⎰=lim ()bn an f x dx →∞⎰.证 设f 为函数列{()}n f x 在[,]a b 上的极限函数,所以f 在[,]a b 上连续,从而n f ,(1,2,3)n =⋅⋅⋅与f 在[,]a b 上都可积.因为在[,]a b 上()nf f n →→∞→,故对任给正数ε,存在N ,当n N >时,对一切[,]x a b ∈,都有()()n f x f x -ε<.再根据定积分性质,当n N >时,有()()bbn aaf x dx f x dx -⎰⎰=()()bn af x f x dx -⎰()()bn af x f x dx ≤-⎰()b a ε≤-,定理得证.注 3 这个定理意在指出函数列在R 积分意义下必须一致收敛,极限运算与积分运算的顺序才可以交换.在L 积分意义下，函数列的极限运算与积分运算换序要宽的多，体现在以下定理.定理 3[5](138)P (勒维定理)设可测集E 上可测函数列{()}n f x 满足下面的条件120()();f x f x ≤≤≤⋅⋅⋅lim ()().n n f x f x →∞=则()n f x 的积分序列收敛于()f x 的积分;()Ef x dm ⎰=lim ()n En f x dm →∞⎰.证 把序列化为级数的情形,令1()()()n n n u x f x f x -=-,0,()0.n N f x ∈= 有()Ef x dm ⎰=11(()())n n En f x f x dm ∞-=-∑⎰=11lim(()())rn n Er n f x f x dm -→∞=-∑⎰=11lim(()())rnn Er n fx f x dm -→∞=-∑⎰=lim()r Er f x dm →∞⎰.在这里利用积分的线性并需要假设一切()r f x 均可积,但当出现了r f 不可积时,可以直接看出,所要证明的等式两边都成为∞.所以定理得证.注 4 在勒维定理中,并未假设()f x 的可积性,但当极限limn En f dm →∞⎰存在为有限时,可以断定f 可积.(因若f 不可积,将有lim n En f dm →∞⎰=∞.)注 5 从勒维定理可以看出,它的条件与定理2对比简单多了. 定理 4[5](139)P (勒贝格控制收敛定理)设可测函数列{()}n f x 满足下述条件: ()n f x 的极限存在, lim n →∞()n f x =()f x ,且有可积函数()g x 使()n f x ≤()g x , 那么, ()f x 可积且有()lim ()n EEn f x dm f x dm →∞=⎰⎰．说明 控制收敛定理是应用非常广泛，它在函数论、微分方程与概率论中是极为重要的工具．控制收敛定理的创立显示出 L 积分理论的极大优越性．与勒维定理相比它不再要求{()}f x 非负可测.证明 构造()g x +()n f x ≥0 由引理 2得()()lim ()()lim ()()n n E En n g x f x dm g x f x dm →∞→∞+≤+⎰⎰，即()()()n g x f x +dm ≤()lim ()n E En g x dm f x dm →∞+⎰⎰， ()lim ()EEn f x dm f x dm →∞≤⎰⎰． （1）另一方面构造()g x -()n f x ≥0，由引理 2得()()lim ()()lim ()()n n E En n g x f x dm g x f x dm →∞→∞-≤-⎰⎰，左边=()Eg x ⎰ - ()Ef x dm ⎰，右边=()Eg x ⎰+lim ()n En f x dm →∞⎰=()E g x ⎰- lim ()n En f x dm →∞⎰，所以()Ef x dm ⎰=lim ()n En f x dm →∞⎰，即()Ef x dm ⎰=lim ()n En f x dm →∞⎰， （2）由（1）（2）lim ()n En f x dm →∞⎰≤()Ef x dm ⎰≤lim ()n En f x dm →∞⎰，所以()Ef x dm ⎰=lim ()n En f x dm →∞⎰．注 6 在控制收敛定理中()g x 可以取常数M ，这是因为mE <+∞时，EMdm <+∞⎰．例2 求[0,2lim()n R →∞⎰分析()n f x =在[0,2]上不一致收敛,故在R 积分中该题无法计算,而在 L 积分中|()n f x ≤≤3,满足勒贝格控制收敛定理,所以此题可在 L-积分中意义下讨论.解 因为()n f x 在[0,2]上连续,故()n f x 在[0,2]上R 可积,从而L 可积且[0,2()R =⎰[0,2()L ⎰|()n f x |≤≤所以 由控制收敛定理[0,2lim n →∞⎰=[]0,2n ⎰,又[0,2lim n →∞⎰1,01,12x x x ≤≤⎧⎨<≤⎩,所以[0,2lim()n R →∞⎰=[0,2lim()n L →∞⎰=121dx xdx +⎰⎰=35122+=． 定理 5 (法杜定理)设()n f x 是可测集E 上的非负可测函数列,则lim ()lim ()nn E En n f x dm f x dm →∞→∞≤⎰⎰.注 7 法杜定理中对函数列所加的条件比较简单,主要是非负列这一条件,这时函数列的极限与积分列的极限都不一定存在,假如两个极限都存在,定理中的下极限自然应改为极限.注 8 定理2到定理5,从多个方面论述了极限的交换过程必须严格按照函数列的性质进行选择.并可以综合得出结论,即 L 积分要比R 积分的条件宽泛,3.3 从积分的条件上看，L 积分较R 积分广泛 L 积分比R 积分优越的第三方面体现在微积分基本定理()()()baf x dx f b f a '=-⎰这一公式上.数学分析中通常在()f x 有连续导数的假定下牛顿-莱布尼茨公式成立,或者将条件减弱些,但总要求()f x '为 R 可积才行,一般情况下,当()f x '存在时未必有牛顿-莱布尼茨公式．然而在 L 积分中对有界函数来说这一困难是不存在的,在()f x 是有限值但无界的情形只要是L 可积的,基本定理仍是成立的．例32,0;()0,0;2,0;x f x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩在[2,2]-上是R 可积的，但函数()f x 不存在原函数．例4函数221212sin cos ,0()0,0x x f x x x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩存在原函数221sin ,0(),0,0x x F x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩但()f x 在[1,1]-上不是Ｒ可积，因为221cos x x在[1,1]-上无界．除了以上情况下面的几个定理也从不同方面论证了在积分与微分的关系问题上比黎曼积分优越.定理 6[6](100101)P - 设()f x 是[,]a b 上勒贝格可积,则其不定积分是绝对连续函数. 定理 7[6](100101)P - 设()f x 是[,]a b 上勒贝格可积,则存在绝对连续函数()F x ,使得()F x '=()f x 几乎处处于[,]a b 有定义(只需[,]()()a x F x f t dt =⎰).定理 8[6](100101)P - ()F x 是[,]a b 上的绝对连续函数,几乎处处有定义的()F x '在[,]a b 上勒贝格可积,且()F x =[,]()()a x F a F t dt '+⎰.即()F x 总是[,]a b 上勒贝格可积函数的不定积分.由定理7可以得到一个重要事实,即在勒贝格积分范围内积分再微分则还原.由定理6和定理8可以看出绝对连续函数的重要性,完全可以标志不定积分,定理8是牛顿-莱布尼茨公式的推广.注 9 由上可见勒贝格积分在积分与微分的关系问题上比黎曼积分优越.４ L 积分与R 积分的应用R 积分与L 积分各有自己的优势和价值．在计算连续函数的积分,解决古典问题中质量、重心、面积问题时, R 积分要比L 积分简便, 优越．例5[7](254255)p - (在计算面积问题时R 积分简便)计算由内摆线33cos ,sin x a t y a t ==绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积．解 由曲线关于y轴的对称性及公式（as =⎰），得3204sin S a ππ=⎰＝242012sin cos at tdt ππ⎰＝2125a π． L 积分是积分发展史上的一次革命,它使得积分论在集合论、测度论的基础上走向现代化,从而有可能在现代水平的层次上向其它现代数学分支渗透,促进了其它学科的发展,特别是三角级数和函数序列方面．概率论,泛函分析等学科也受到L 积分的积极影响．例6[]10 (级数方面L 积分的应用)求积分10ln(1)x dx x -⎰解 当01x <<时2ln(1)1()2nx x x x x x n -=-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅11n n x n -∞==-∑，于是10ln(1)x dx x -⎰1101()n n x dx n-∞==-∑⎰ (1) 此时,上式右边是R 积分,它可以理解为L 积分,由于1n x n-在[0,1]上非负可测,所以11110011()n n n n x x dx dx n n --∞∞--=∑∑⎰⎰ (2) (2)式右边是L 积分,可理解成R 积分,,由R 积分计算有1120111n n n x dx n n-∞∞-==-∑∑⎰故10ln(1)x dx x -⎰22116n n π∞==-=-∑ 注 10 这里(2)式是用L 积分理论证明的,如果用通常R 积分理论,需验证11n n x n-∞=∑在[0,1]上一致收敛,这里是不可能的,因为在1x =处,此级数发散.此外,L 积分作为纯粹数学研究的产物,后来在热学,统计力学,控制论等自然学科得到深刻而重要的应用．参考文献：[1] 刘晓辉,刘文菡.勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性[J].河北:新余高专报,2006[2] 程其襄等.实变函数与泛函分析基础[M].第二版.北京：高等教育出版， 2003[3] 汪秀荣.从黎曼积分,勒贝格积分看积分理论的发展[J].广西:广西师范学院报,1996[4] 华东师范大学数学系.数学分析[M]. 第三版. 北京：高等教育出版,2004[5] 郑维行.实变函数与泛函分析概要[M].第三版.北京：高等教育出版社， 2005[6] 潘学锋.浅谈黎曼积分与勒贝格积分的区别[J].新疆:自然科学报,2007[7] 张喜堂.实变函数论的典型问题与方法[M].武汉：华中师范大学出版社，2004[8] 夏道衍.实变函数论与泛函分析[M].北京：高等教育出版，1994[9] 周民强.实变函数论[M].北京：北京大学出版社，2007[10] Ssks.Theory of the Integral Warszawa,1933[11] 曹广福.实变函数论[M].北京：高等教育出版社，2000[12] Frank Ayres,Jr.Ph.D.Elliott Mendelson,Ph.D.《CALCULUS》，Higher Education Press,2000。
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通过L积分几何意义谈对黎曼积分的认识徐加兰、吴棋、臧晓宇、闫祺数学与应用数学13-1班摘要:本文研究了黎曼积分的定义和性质，发现在实变函数里引入勒贝格积分可以弥补黎曼积分的不足，由此提出了从测度、可测集、可测函数到勒贝格积分的定义.通过比较两者之间的定义、性质、几何关系等，讨论了勒贝格积分与黎曼积分的联系与区别，加深对黎曼积分的认识.关键词:黎曼积分勒贝格积分外测度可测集可测函数1黎曼积分1.1 背景微积分的萌芽、发生与发展，经历了一个漫长的时期.早在古希腊时期，欧多克索斯就提出了穷竭法.这使得古希腊数学家在所有论证中都不用“无穷小量”这个词，仅仅使用只需有限步可做到的穷竭法就够了.从16世纪中叶开始，微积分正式进入了酝酿阶段.现代数学史家波耶认为在所有微积分的先导工作中，费马和巴罗最接近于分析学.接下来，牛顿和莱布尼茨在17世纪下半叶终于创立了微积分学.牛顿和莱布尼茨得到以下公式：即设F(x)是f(x)的不定积分，则有.牛顿将面积计算与求切线问题的互逆关系，明确地作为一般规律提出来，并将它作为建立微积分普遍算法的基础.20 世纪的分析学仍在大步前进，20 世纪初勒贝格开创了可列可加测度的积分论，即实变函数论，也称实分析.1.2定义函数f(x)在区间[a,b],上有定义,任意用分点a=<<<…<<=b将区间[a,b]划分成n个小区间，每个小区间为[,]，且小区间的长度∆=-，在每个小区间上任取一点，且(≤≤),i=(1,2,…,n),作和式记如果当λ→0时,上述和式的极限存在,则称函数f(x)在区间[a,b],上可积,并称此极限值为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作即其中f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量,记号“∫”称为积分号,区间[a,b],称为积分区间,a与b分别称为积分下限和积分上限,和式称为f(x)的积分和.1.3性质⒈（线性性）若f(x)是定义在[a,b]上的黎曼可积函数，K为常数，则Kf(x)在[a,b]上也黎曼可积，且有⒉若f(x)，g(x)在[a,b]黎曼可积，则f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)g(x)也在[a,b]黎曼可积.注：①②综合以上两条⒊（区域可加性）设有界函数f(x)在[a,c]，[c,b]上都黎曼可积，则f(x)在[a,b]上也黎曼可积，且有⒋（单调性）f(x)，g(x)是定义在[a,b]上黎曼可积，且f(x)≤g(x)，则⒌（可积必绝对可积）若f(x)在[a,b]上黎曼可积，则|f(x)|在[a,b]上也黎曼可积，且有注：其逆命题不成立⒍若f(x)在[a,b]上黎曼可积，则在[a,b]的任意内闭子区间[α，β]⊂[a,b]上也黎曼可积.且其积分值不会超过在[a,b]上的积分值.⒎若f(x)是[a,b]上非负且连续的函数.若有则f(x)在[a,b]上恒等于零.⒏f(x)，g(x)在[a,b]黎曼可积，M=max{f(x)，g(x)}，m=min{f(x)，g(x)}在[a,b]黎曼可积.⒐若f(x)在[a,b]上黎曼可积，在[a,b]上有定义且有界，则也在[a,b]上黎曼可积.引子X2+1=0实数到复数，狄里克莱，P58,80,1002勒贝格积分实变函数论中核心的内容之一是建立在测度理论上的勒贝格积分理论，而测度理论的核心是建立一般集合外测度.因而集合外测度概念是实变函数中的一个基本概念.目前实变函数论的各种教材中定义的集合外测度概念都是用开区间的长度( 面积，体积) 来定义的，因此我们首先给出勒贝格测度的定义.2.1 外测度定设E为中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间做出它的体积总和μ=（μ可以等于+∞，不同的区间列一般有不同的μ），所有这一切的μ组成一个下方有界的数集，他的下确界（完全由E确定）称为E的勒贝格外侧度，简称L外侧度或外侧度，记为m*E，即m*E=2.2.2 可测集定义设E是中的点集,如果对任意一点集T都有：m*T=m*(TE)+m*()则称集E是L可测集.2.2.3可测函数定设f(x)是定义在可测集E实函数，如果对于任意实数α,E[f(x)>α]都是可测集，则称f(x)在E上是可测函数.注：E[f(x)>α]={x|xf(x)>α].2.2.4Lebesgue积分（1）勒贝格积分定定义1 设f(x)是定义在E上的可测函数，α<f(x)<β，对[α,β]的一个分划D：α=<<<…<<=β，记=E{x:≤f(x)≤}(i=0,1,2,…,n),则{；i=1，2，…，n}是两两不相交的可测集，且有E=，mE =．那么：1)称S(D)= ，s(D)=分别为函数f(x)在分划D下的大和与小和；2)称,I=分别为函数f(x)在E上的勒贝格积分与下积分.3)若有界可测函数f(x)在E上的勒贝格上积分与下积分相等，则称函数f(x)在E上勒贝格可积，这个公共值称为f(x)在E上的勒贝格积分．记作(L).注意：1)定义在零测度集上的任何有界函数都是勒贝格可积，且勒贝格积分为零．2)当分划加密时，小和不减，大和不增．3)s(D)≤S(D)；I≤；s(D)≤I≤≤S(D).（2）勒贝格积分性⒈（有限可加性）设f(x)是有界可测集E 上的可积函数E=,等均可测且两两互不相2.对于给定的可测函数f(x)，f(x)与|f(x)| 的可积性相同且3.若f(x)，g(x)在E 上勒贝格可积，且f(x)≤g(x)几乎处处成立，则4.f(x)是E 上的非负可积函数，则f(x)在E 上是几乎处处有限的.5.(零测集上的积分)f(x)是E 上的非负可测函数，若f(x)在E 上几乎处处等于0，则6.f(x)是E 上的勒贝格可积函数，f(x)≥0 在E 上几乎处处成立，则7.设f(x)在E 上可测，若存在非负函数g(x)在可测集E上勒贝格可积，|f(x)|≤g(x)几乎处处成立，则f(x)在可测集E上勒贝格可积.8.f(x)在E 可测集上勒贝格可积，A 是E 的可测子集，则f(x)在A 上也勒贝格可积，且其积分值不会超过在E 上的积分值.9.（线性性）设f(x)，g (x)是E 上的非负可测函数，α，β为非负常数，则αf(x)+βg(x)也在E 上可积，且10.设f(x)在E 上可测，则的充要条件是f(x)=0 在E 上几乎处处成立.11.（绝对连续性）设f(x)在有界可测集E 上勒贝格可积，则对∀ξ>0，有δ>0，使得当me<δ (e⊂E) 时，有12.设f(x)在E 可测集上勒贝格可积，则对∀ξ>0，有连续函数g(x)，使得13.设f(x)，g (x)在E 勒贝格可积，M=max{f(x)，g (x)}，m=min{f(x)，g(x)}在E 勒贝格可积.14.若f(x)与g(x)在E 上几乎处处相等，则g(x)也可积，且15.设f(x)在可测集E 上勒贝格可积函数，则其不定积分是绝对连续函数.16.设f(x)为可测集E 上勒贝格可积函数，则存在绝对连续的函数g(x)，使得g(x)的导函数在E 上几乎处处等于f(x).17.设是可测集E 上的两列非负简单函数，且对所有的x∈E，都单增收敛于相同的极限，则3 比较两者定义，性质，加深对黎曼的理3.1定义比较由以上对黎曼函数和勒贝格的定义可以看出仅从函数分割的角度来说，黎曼积分和勒贝格积分大体上是相似的.f(x)在[a,b]上有界，然后分割T={a=x0<…<xn=b}，将区间分成n部分，每个小区间范围[xi,xi+1]上任取一点ξi,i=1,2,…，并求和.但不同的是，黎曼积分的划分是把函数的定义域分解为有限个小区间，而勒贝格积分是将函数的值域划分而成的.前者是的度量容易给出，但当分割细度充分小时，函数f(x)在此区间上的振幅仍然较大；后者是函数f(x)在上的振幅较小.但不是区间，是可测集.总的来说，对定义域和值域是R积分和L积分的本质区别.简单地说，如果我们去数一堆纸币，黎曼积分就是顺次的将相同面值的纸币分在同一堆，计算出每一堆的值再相加.另外，L积分理论实在勒贝格测度理论的基础上建立的，测度是平面上度量的推广，这一理论把有界和无界的情形都考虑到，而且被积函数可以定义在更一般的点集上，不仅仅限于[a,b].然而就是这个差别，是两种积分的本质区别，勒贝格积分在经过改进后，具有了黎曼积分不具备的良好性质.3.2可积条件的比较黎曼可积的条件：定义在[a,b]上的函数f（x）黎曼可积的充分必要条件为f（x）在[a,b]上的一切间断电构成一个零测度集。
勒贝格的条件：f（x）是定义在可测集E上的有界函数，则f（x）在E上L 可积的充要条件为f（x）在E上勒贝格可测。
我们从函数的黎曼可积和勒贝格可积的充要条件可以看出他们之间的不同，而且黎曼积分相对勒贝格积分有明显的局限性，从而勒贝格积分比黎曼积分的应用更为广泛，使用起来更加方便。
从他们的充要条件可以得到如下结论：勒贝格积分是正常黎曼积分的推广，由此可见，勒贝格积分比黎曼积分向前进了一大步。
3.3性质比较黎曼积分和勒贝格积分的可加性（区域可加性）不同由前面黎曼积分和勒贝格积分的性质知道，黎曼积分具有有限可加性，但没有可列可加性，而对于勒贝格积分，它不仅具有有限可加性，还具有可列可加性克服了黎曼积分的缺陷对于这两种积分的可加性不难理解，我们知道，黎曼积分建立在区间之上，而区间只有有限可加性，勒贝格积分建立在勒贝格测度之上，测度具有可列可加性，由于它们之间的密切联系，区间和勒贝格测度也就反映到相应的积分上来了.参考文献[1]吴亚敏.复合函数的勒贝格可积性研究[J].重庆文理学院学报：自然科学版，2010,29（1）：35-37.[2]胡永模，周其生.实变函数中集合外测度三种等价定义的等价性[J].安庆师范学院学报：自然科学版，2015,21（3）：107-109.[3]魏勇.可测函数的新定义及其优越性[J].西华师范大学数学与信息学院：高等数学研究，2009,12（1）：31-34.[4]曹怀信.Lebesgue积分的新定义[J].安康学院学报，2010,22（6）：1-4.[5] 顾滕.黎曼积分和勒贝格积分的比较[J].天津师范大学数学科学学院：科教文汇，2015,318:57-59.[6] 王昆扬.关于Riemann 积分理论的本质缺陷及以Lebesgue 积分理论取代之的看法[J].数学教育学报，1999,8（3）：95-98.。