精品解析：2017-2018学年九年级数学北师大版下册同步测试题 1.1锐角三角函数(原卷版)
北师大版九年级数学下同步课时练习1.1锐角三角函数(含答案)
北师大版数学九年级下册1.1锐角三角函数课时练习一、单选题（共15题）1．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tanB 的值是（ ）A ．13B ．3C ．4D ．答案：D解析：解答：设BC =x ，则AB =3x ，由勾股定理得，，tanB=AC BC ==故选：D ． 分析: 设BC =x ，则AB=3x ，由勾股定理求出AC ，根据三角函数的概念求出tanB 。
2. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，则cosA 的值是（ ）∴AC=4，∴cosA=45AC AB =故选D ． 分析: 根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可3. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ）A ．2BCD ．12 答案：D解析：解答:如图，由勾股定理，得tan∠B=12 ACAB=故选：D．分析: 根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案。
4. 如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．BDBCB．BCABC．ADACD．CDAC答案：C解析：解答: ∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD，∴∠α=∠ACD，∴cosα=cos∠ACD=BD BC DC BC AB AC==，只有选项C错误，符合题意．分析: 利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．5. 已知sin6°=a，sin36°=b，则sin26°=（）A．a2 B．2a C．b2 D．b答案：A解析：解答: ∵sin6°=a，∴sin26°=a2．故选：A．分析: 根据一个数的平方的含义和求法，由sin6°=a，可得sin26°=a2，据此解答即可．6. 在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（）A．都扩大两倍B．都缩小两倍C．不变D．都扩大四倍答案：C解析：解答: ∵各边的长度都扩大两倍，∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，∴锐角A的各三角函数值都不变．故选C．分析: 根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．7. △ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（）A．b cosB=c B．c sinA=a C．a tanA=b D．tanB＝b c答案：B解析：解答：∵a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，∴sinA=ac即csinA=a，∴B选项正确．故选B．分析: 由于a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项．8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（）A．b=a tanB B．a=c cosB C．c＝asinAD．a=b cosA答案：D解析：解答: ∵∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∴A.tanB=ba，则b=a tanB，故本选项正确，B.cosB=ac，故本选项正确，C.sinA=ac，故本选项正确，D.cosA=bc，故本选项错误，故选D ．分析: 根据三角函数的定义就可以解决.9. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosA=（ ）A ．513B ．512C ．1213D ．125答案：C解析：解答: ∵Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=12，∴cosA=1213AC AB 故选C ．分析: 直接根据余弦的定义即可得到答案．10. 如果∠A 为锐角，且sinA=0.6，那么（ ）A ．0°＜A≤30°B ．30°＜A ＜45°C ．45°＜A ＜60°D ．60°＜A≤90°答案：B解析：解答: ∵sin30°=12 =0.5，sin45°=2≈0.707，sinA=0.6，且sin α随α的增大而增大，∴30°＜A ＜45°．故选B ．分析:此题考查了正弦函数的增减性与特殊角的三角函数值．此题难度不大，注意掌握sin α随α的增大而增大.11. 在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ）A.扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．扩大4倍 D ．没有变化答案：D解析：解答: 根据锐角三角函数的概念，知若各边长都扩大2倍，则sinA 的值不变． 故选D ．分析: 理解锐角三角函数的概念：锐角A 的各个三角函数值等于直角三角形的边的比值．12. 如图，梯子跟地面的夹角为∠A ，关于∠A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）A ．sinA 的值越小，梯子越陡B ．cosA 的值越小，梯子越陡C．tanA的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与上A的函数值无关答案：B解析：解答: sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓；cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡；tanA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，所以B正确．故选B．分析: 根据锐角三角函数的增减性即可得到答案13. sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（）A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°答案：D解析：解答：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1．又cos70°=sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°=sin20°．故选D．分析: 首先根据锐角三角函数的概念，知：sin70°和cos70°都小于1，tan70°大于1，故tan70°最大；只需比较sin70°和cos70°，又cos70°=sin20°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较14. 随着锐角α的增大，cosα的值（）A．增大B．减小C．不变D．增大还是减小不确定答案：B解析：解答：随着锐角α的增大，cosα的值减小．故选B．分析: 当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，依此求解即可．15. 当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是（）A．正弦和余弦B．正弦和正切C．余弦和正切D．正弦、余弦和正切答案：B解析：解答：当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是正弦和正切．故选B．分析: 当角度在0°到90°之间变化时，正弦和正切函数值随着角度的增大而增大．二、填空题（共5题）1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，则sinB=____________答案：7 13解析：解答: ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，∴sinB=ACAB=713故答案是：7 13分析:根据锐角三角函数定义直接进行解答。
北师大版数学九年级下《1.1锐角三角函数》同步练习含答案
第一章 直角三角形的边角关系博士寄语亲爱的同学，前面我们已经探索过直角三角形的边与边之间的关系、角与角之间的关系，并利用它们之间的这种关系解决了有关直角三角形的实际问题，但是在生话中有许多关于直角三角形的应用问题，仅仅用前面学到的知识来解决是不够的.因此，学习本章知识，将会更好地帮助你了解、掌握直角三角形的边角关系，并利用它们更好地认识、观察社会．为更有效地学好本章内容，博士还想告诉你：本章学习目标1.通过生活中的实例认识锐角三角函数(sin A 、cos A 、tan A )，探索30︒，45︒，60︒角的三角函数值，并会计算．2.会用计算器由已知的锐角求它的三角函数值，或由已知的三角函数值求它对应的锐角．3.会运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题，体会数形之间的联系，会将实际问题抽象为数学问题并加以解决．本章重点难点本章重点：1.锐角三角函数的概念和直角三角形的解法.2.会利用计算器求所给出锐角的三角函数值及由已知的三角函数值求它对应的锐角；特别应牢记30︒，45︒，60︒角的三角函数值.3.适当地选择锐角三角函数解决实际问题.本章难点：如何理解锐角三角函数的概念，运用三角函数解决相关的实际问题，养成运用数学知识的思想意识.本章学习建议解直角三角彤达一章的学习关键是锐角三角函数的概念，只有正确理解锐角三角函数的概念，才能正确理解直角三角形中边、角之间的关系，并利用它们的这些关系解直角三角形．因此学习本章应注意以下几点：1.数形结合的思想．通过本章的学习，会使你进一步体会数形结合这一重要数学思想方法．2.解直角三角形的知识有较多的实际应用价值，应注意解直角三角形在实际问题中的应用.3.将直角三角形的判定、性质、作图与直角三角形中边、角之间的数量关系统一起来，才能对直角三角形的概念有较为完整的认识，因此应当循序渐进.4.树立数学来源于生活，又为实际生活服务的思想意识.1.锐角三角函数学习目标1.通过对生活中实例的分析，经历探索直角三角形中边角关系的过程，初步掌握锐角三角函数正切的意义；2.在具体情境中体会正切值与倾斜程度（或坡度）的关系，能够运用tan A 表示直角三角形中两边的比：3.经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展抽象思维能力.第一课时同步练习1.如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，12AC =，13AB =，则tan B 等于_______.C BA2.已知Rt ABC △中，90C ∠=︒，4AC =，1tan 2A =，则BC 的长是_______. 3.河堤横断面如图所示，堤高6BC =米，迎水坡AB的坡比为AB 的长为（ ）A.12米B.米C.D.米4.如图，在等腰ABC △中，25AB AC ==，14BC =，求tan B.观察与思考5.小明从黄山百步云梯脚下的点A 约走了1000m 后，到达山顶的点B .已知山顶B 到山脚下的垂直距离约是600m ，求山坡的坡度.6.某建筑物的楼顶是“人”字型，并铺上红瓦装饰.现知道楼顶的坡度超过0.5时，瓦片会滑落下来.请你根据图中数据说明这个楼顶铺设的瓦片是否会搬落面来.走进生活7.如图，某公园人口处原有点级台阶，每级台阶高为18cm ，宽为30cm .为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度1:5i =，求AC 的长度.第二课时学习目标1.在了解正切的概念的基础上，进一步探索和掌握正弦和余弦的意义，并能够举例说明；2.在具体情境中体会正弦值、余弦值与倾斜程度的关系，能够运用sin A 、cos A 表示直角三角形中两边的比；3.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.同步练习1.在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，则sin A 等于（ ） A.43 B.34 C.35D.45 2.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α的值是（ ）A.12D.1 3.如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向点C 处测得AC a =，ACB α∠=，那么AB 等于（ ）A.sin a α⋅B.tan a α⋅C.cos a α⋅D.tan a α4.如图，梯子（长度不变）与地面所成的角为α，下面关于α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是_______.（只填序号）①sin α越大，梯子越陡②cos α越大，梯子越陡③tan α越大，梯子越陡. α5.在ABC △中，4AB AC ==，2BC =，则sin B =_______.6.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5cos 13B =，10BC =，求AB 和sin A.拓展与延伸7.如图，在平行四边形ABCD 中，AB a =，BC b =，ABC β∠=，试用a ，b ，β表示平行四边形ABCD 的面积.βDCB A走进生活8.如图，沿AC 方向开山修一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E 同时施工，从AC 上的一点B 处取127ABD ∠=︒，沿BD 方向前进，取37BDE ∠=︒，测得520m BD =，并且AC 、BD 和DE 在同一平面内.问：施工点E 离D 多远正好能使A 、C 、E 成一直线？（结果保留整数；参考数据：sin 370.60≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈）答案第一课时同步练习 1.1252.23.A4.247观察与思考 5.346.瓦片不会滑落下来，说明过程略. 走进生活7.作BD AC ⊥于D ，54cm BD = 270cm CD =∴，210cm AC =∴.第二课时同步练习1.D2.C3.B4.①③6.26AB =，5sin 13A = 拓展与延伸7.sin ABCD S ab β=平行四边形 走进生活8.若A 、C 、E 共线，则90E ∠=︒，由cos ED D BD=，得()416m ED ≈.。
北师大版九年级数学下册第一章1 锐角三角函数 1.1正切练习题(含答案)
北师大版九年级数学下第一章1 锐角三角函数 1.1正切练习题（含答案）一、选择题1．如图1，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，则tanA 的值为( )图1A ．3B.13C.1010D.3 10102．如图2，已知山坡AB 的坡度为1∶2，坡高BC ＝1 m ，则坡长AB 为( )图2A. 3 mB. 5 mC ．2 mD ．4 m3．如图3，点A(t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tanα＝32，则t 的值是( )图3A ．1B ．1.5C ．2D ．34．如图4，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC 的值为( )图4A.12B.55C.53D.2 555．如图5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，tanA ＝34，则AC 的长是( )图5A ．3B ．4C ．6D ．86．如图6所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝5，AC ＝6，则tanB 的值为( )图6A.45B.35C.34D.437．直角三角形纸片ABC 的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按图7中所示的方式折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是( )图7A.247B.73C.724D.13二、填空题8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若△ABC 各边的长度同时扩大为原来的10倍，则tanA 的值________．(填“变大”“不变”或“变小”)9．如图8，一座公路桥离地面的高度AC 为6米，引桥AB 的水平宽度BC 为24米，为降低坡度，现决定将引桥坡面改为AD ，使其坡度为1∶6，则BD 的长是________．图8三、解答题10．如图9，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，CD ⊥AB 于点D ，求tan ∠BCD 的值．图911．如图10所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，宽为30 cm.为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C.现设计斜坡BC的坡度为1∶5，求AC的长．图1012．如图11所示，全全和品品分别将两根木棒AB，CD斜立在竖直的墙AE上，其中AB＝10 cm，CD＝6 cm，BE＝6 cm，DE＝2 cm，你能判断谁的木棒更陡吗？请说明理由．图11附加题1.如图12，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，顶点A ，B 分别在反比例函数y ＝1x (x ＞0)与y ＝－5x (x ＜0)的图象上，则tan ∠BAO 的值为________．图122．数学老师布置了这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tanα＝13，tanβ＝12，求α＋β的度数．甲、乙两名同学想利用正方形网格图来解决这个问题，他们分别设计了图13①和②. (1)请你分别利用图①、图②求出α＋β的度数；(2)请参考以上解决问题的方法，选择一种方法解决下面的问题：如果α，β都为锐角，当tanα＝5，tanβ＝23时，在图③的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON ，使得∠MON ＝α－β，并求出α－β的度数．图13参考答案1．[答案] A2．[解析] B ∵山坡AB 的坡度为i ＝1∶2，坡高BC ＝1 m ，∴BC AC ＝12，∴AC ＝2 m ．根据勾股定理，得AB＝AC 2＋BC 2＝22＋12＝5(m)．故选B.3．[解析] C 过点A 作AB ⊥x 轴于点B . ∵点A (t ，3)在第一象限，∴AB ＝3，OB ＝t . 又∵tan α＝AB OB ＝32，∴t ＝2.4．[答案] A5．[解析] D 因为tan A ＝34＝BCAC，所以设BC ＝3x ，AC ＝4x (x >0)．由勾股定理，得BC 2＋AC 2＝AB 2，即(3x )2＋(4x )2＝100，解得x ＝2，所以AC ＝4x ＝4×2＝8.故选D.6．[解析] C ∵CD 是斜边AB 上的中线，CD ＝5，∴AB ＝2CD ＝10. 在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得BC ＝AB 2－AC 2＝102－62＝8， ∴tan B ＝AC BC ＝68＝34.故选C.7．[解析] C 设CE ＝x ，根据折叠的性质，得BE ＝AE ＝8－x .在Rt △BCE 中，根据勾股定理列出关于x 的方程，得x 2＋62＝(8－x )2，解得x ＝74(负值已舍去)，即可计算出tan ∠CBE ＝724.8．[答案] 不变 9．[答案] 12米10．解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3， ∴AC ＝52－32＝4. ∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠BCD ＋∠B ＝90°，∠A ＋∠B ＝90°， ∴∠A ＝∠BCD ，∴tan ∠BCD ＝tan A ＝BC AC ＝34.11．解：如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D .依题意可求得AD ＝60 cm ，BD ＝54 cm.因为斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，所以BD CD ＝15，所以CD ＝270 cm ，故AC ＝CD －AD ＝270－60＝210(cm)．12．解：能．品品的木棒CD 更陡．理由：∵AB ＝10 cm ，BE ＝6 cm ，∠AEB ＝90°， ∴AE ＝AB 2－BE 2＝8 cm ， ∴tan B ＝AE BE ＝43.∵CD ＝6 cm ，DE ＝2 cm ，∠CED ＝90°， ∴CE ＝CD 2－DE 2＝4 2 cm ， ∴tan D ＝CE DE ＝4 22＝2 2.∵43＜2 2，即tan B <tan D ， ∴品品的木棒CD 更陡． 附加题 1．[答案] 5[解析] 过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ， 则∠BDO ＝∠ACO ＝90°.∵顶点A ，B 分别在反比例函数y ＝1x (x >0)与y ＝－5x (x <0)的图象上，∴S △BDO ＝52，S △OCA ＝12.∵∠BDO ＝∠AOB ＝90°，∴∠BOD ＋∠DBO ＝∠BOD ＋∠AOC ＝90°， ∴∠DBO ＝∠AOC ，∴△BDO ∽△OCA ， ∴S BDO S △OCA ＝(OBOA)2＝5212＝5，∴OB OA ＝5，∴tan ∠BAO ＝OBOA＝ 5. 故答案为 5. 2．解：(1)如图①. 在△AMC 和△CNB 中，∵AM ＝CN ，∠AMC ＝∠CNB ＝90°，MC ＝NB ， ∴△AMC ≌△CNB ， ∴AC ＝CB ，∠ACM ＝∠CBN . ∵∠BCN ＋∠CBN ＝90°，∴∠ACM＋∠BCN＝90°，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，即α＋β＝45°.如图②，连接BE.设每个小正方形的边长均为1，则CE＝1，AE＝2，BE＝2，∴CEBE＝12＝22，BEAE＝22，∴CEBE＝BEAE.又∵∠CEB＝∠BEA，∴△CEB∽△BEA，∴∠CBE＝∠BAE＝α，∴∠BED＝∠CBE＋∠ECB＝α＋β.∵DE＝DB，∠D＝90°，∴∠BED＝45°，∴α＋β＝45°.(2)如图③，∠MOE＝α，∠NOH＝β，∠MON＝α－β.在△MFN和△NHO中，∵MF＝NH，∠MFN＝∠NHO＝90°，FN＝HO，∴△MFN≌△NHO，∴MN＝NO，∠MNF＝∠NOH.∵∠NOH＋∠ONH＝90°，∴∠ONH＋∠MNF＝90°，∴∠MNO＝90°，∴∠MON＝∠NMO＝45°，即α－β＝45°.。
北师大版九年级数学下册《第一章直角三角形的边角关系》单元检测试题（有答案
北师⼤版九年级数学下册《第⼀章直⾓三⾓形的边⾓关系》单元检测试题（有答案2017-2018学年度第⼆学期北师⼤版九年级数学下册第⼀章直⾓三⾓形的边⾓关系单元检测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________⼀、选择题（共 10 ⼩题，每⼩题 3 分，共 30 分）1.计算2sin45°的值等于（）A.2B.22C.1 D.122.在Rt△ABC中，如果⼀条直⾓边和斜边的长度都缩⼩⾄原来的15，那么锐⾓A 的各个三⾓函数值（）A.都缩⼩15B.都不变C.都扩⼤5倍D.⽆法确定3.如图，某渔船在海⾯上朝正东⽅向匀速航⾏，在A处观测到灯塔M在北偏东60°⽅向上，航⾏半⼩时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°⽅向上，那么该船继续航⾏到达离灯塔距离最近的位置所需时间是（）A.10分钟B.15分钟C.20分钟D.25分钟4.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，且3a=4b，则∠A的度数为（）A.53.48°B.53.13°C.53.13′D.53.48′5.已知：sinα=13则cosα=()A.1 3B.23C.89D.2326.若∠B是Rt△ABC的⼀个内⾓，sin B=32，则cos B2的值是（）A.1 2B.22C.33D.327.某⼈沿着有⼀定坡度的坡⾯前进了10⽶，此时他与⽔平地⾯的垂直距离为25⽶，则这个坡⾯的坡度为（）A.1:2B.1:3C.1:5D.5:18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别⽤a、b、c表⽰，我们定义：锐⾓∠A的对边a与斜边c的⽐值a c叫做∠A的正弦值，记为：sin A=ac ．如果某个直⾓三⾓形中，a=4，c=5，则∠A的正弦值为45，记为：sin A=45．如果某直⾓三⾓形中，∠A=60°，则sin A是（）A.1B.0C.12D.329.如图，⼩阳发现电线杆AB的影⼦落在⼟坡的坡⾯CD和地⾯BC上．量得CD=8⽶，BC=20⽶，CD与地⾯成30°⾓，且此时测得1⽶杆的影长为2⽶，则电线杆的⾼度为（）A.9⽶B.28⽶C.(7+3)⽶D.(14+23)⽶10.如图，要在宽为22⽶的九州⼤道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2⽶，且与灯柱BC成120°⾓，路灯采⽤圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路⾯的中⼼线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC⾼度应该设计为（）A.(11?22)⽶B.(113?22)⽶C.(11?23)⽶D.(113?4)⽶⼆、填空题（共 10 ⼩题，每⼩题 3 分，共 30 分）11.某飞机的飞⾏⾼度为1500m，从飞机上测得地⾯控制点的俯⾓为60°，此时飞机与这地⾯控制点的距离为________m．12.在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=35，BC=6，则AB=________．13.如图，在⼀笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C 在北偏东45°的⽅向，从B测得船C在北偏东22.5°的⽅向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为________．14.某中学要修建⼀座图书楼，为改善安全性能，把楼梯的倾斜⾓由原来设计的45°改为30°．已知原来设计的楼梯长为4.5m，在楼梯⾼度不变的情况下，调整后的楼梯多占地⾯________m．15.如图，⼀架梯⼦AB斜靠在⼀⾯墙上，底端B与墙⾓C的距离BC为1⽶，梯⼦AB与地⾯BC的夹⾓为θ，则梯⼦的长度为________⽶（结果⽤含θ的三⾓⽐表⽰）．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cos B=2，则BC的长为________．317.某楼梯的侧⾯视图如图所⽰，其中AB=4⽶，∠BAC=30°，∠C=90°，因某种活动要求铺设红⾊地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为________⽶．18.如图，从楼顶A点测得电视塔CD的仰⾓为α，俯⾓为β，若楼房与电视塔之间的⽔平距离为m，求电视塔的⾼度．将这个实际问题写成数学形式：已知在△ADC中，AB________CD于B，∠________=α，∠________=β，m=________，求________．19.如图，⼀艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中⼼紧急通知：在指挥中⼼北偏西60°⽅向的C地有⼀艘渔船遇险，要求马上前去救援，要求马上前去救援．此时C地位于A地北偏西30°⽅向上，A地位于B地北偏西75°⽅向上，A、B两地之间的距离为12海⾥，则A、C两地之间的距离为________．20.如图所⽰，⼩明在家⾥楼顶上的点A处，测量建在与⼩明家楼房同⼀⽔平线上相邻的电梯楼的⾼，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰⾓为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯⾓为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的⾼BC 为________⽶（精确到0.1）．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）．三、解答题（共 6 ⼩题，每⼩题 10 分，共 60 分）21.如图，B、C是河岸边两点，A是对岸边上的⼀点，测得∠ABC=30°，∠ACB=45°，BC的长是30⽶，求河的宽度．（结果保留根号）22.如图，皋兰⼭某处有⼀座信号塔AB，⼭坡BC的坡度为1:3，现为了测量塔⾼AB，测量⼈员选择⼭坡C处为⼀测量点，测得∠DCA=45°，然后他顺⼭坡向上⾏⾛100⽶到达E处，再测得∠FEA=60°．(1)求出⼭坡BC的坡⾓∠BCD的⼤⼩；(2)求塔顶A到CD的铅直⾼度AD．（结果保留整数：3≈1.73,2≈1.41）23.如图，益阳市梓⼭湖中有⼀孤⽴⼩岛，湖边有⼀条笔直的观光⼩道AB，现决定从⼩岛架⼀座与观光⼩道垂直的⼩桥PD，⼩张在⼩道上测得如下数据：AB=80.0⽶，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5°．请帮助⼩张求出⼩桥PD的长并确定⼩桥在⼩道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1⽶）（参考数据：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°= 0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50）24.在⼀次数学活动课上，⽼师带领学⽣去测⼀条南北流向的河宽，如图所⽰，某学⽣在河东岸点A处观测到河对岸⽔边有⼀点C，测得C在A北偏西31°的⽅向上，沿河岸向北前⾏20⽶到达B处，测得C在B北偏西45°的⽅向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈35，sin31°≈12）25.九年级1班的同学为了了解教学楼前⼀棵树⽣长情况，去年在教学楼前点A处测得树顶点C的仰⾓为30°，树⾼5⽶，今年他们仍在原地A处测得⼤树D的仰⾓为37°，问这棵树⼀年⽣长了多少⽶？（精确到0.01）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，3≈1.732）26.为保护渔民的⽣命财产安全，我国政府在南海海域新建了⼀批观测点和避风港．某⽇在观测点A处发现在其北偏西36.9°的C处有⼀艘渔船正在作业，同时检测到在渔船的正西B处有⼀股强台风正以每⼩时40海⾥的速度向正东⽅向移动，于是马上通知渔船到位于其正东⽅向的避风港D处进⾏躲避．已知避风港D在观测点A的正北⽅向，台风中⼼B在观测点A的北偏西67.5°的⽅向，渔船C与观测点A相距350海⾥，台风中⼼的影响半径为200海⾥，渔船的速度为每⼩时18海⾥，问渔船能否顺利躲避本次台风的影响？(sin36.9°≈0.6,?tan36.9≈0.75,?sin67.5≈0.92,?tan67.5≈2.4)答案1.C2.B3.B4.B5.D6.D7.A8.D9.D10.D11.1000312.1013.(2+2)km14.96?92415.1cosθ16.417.(2+23)18.⊥BACBADABCD19.(66?62)（海⾥）20.82.021.河的宽度为15(3?1)⽶．22.塔顶A到CD的铅直⾼度AD约为137⽶．⽅法2：∵∠ACD=45°，∴∠ACE=15°．∵∠AEF=60°，∴∠EAF=30°．∵∠DAC=45°，∴∠EAC=∠DAC?∠EAF=15°，∴∠ACE=∠EAC．∴AE=CE=100．在Rt△AEF中，∠AEF=60°，∴AF=AE?sin60°=503(m)，在Rt△CEG中，CE=100m，∠ECG=30°，∴EG=CE?sin30°=50m．∴AD=AF+FD=AF+EG=503+50≈136.5（⽶）．答：塔顶A到CD的铅直⾼度AD约为137⽶．23.⼩桥PD的长度约为24.6⽶，位于AB之间距B点约49.2⽶．24.这条河的宽度为30⽶．25.这棵树⼀年约⽣长了1.50m．26.解：由题意可知∠BAD=67.5°，∠CAD=36.9°，AC=350海⾥．在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，∠DAC=36.9°，AC=350海⾥，∴CD=AC?sin∠DAC≈350×0.6=210海⾥，AD= AC2?CD2=280海⾥．∴渔船到的避风港D处所⽤时间：210÷18=112 3⼩时．在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=67.5°，∴BD=AD?tan∠BAD≈280×2.4=672海⾥，∴BC=BD?CD≈672?210=462海⾥．设强台风移动到渔船C后⾯200海⾥时所需时间为x⼩时，根据题意得(40?18)x=462?200，解得x=111011，∵1123<111011，∴渔船能顺利躲避本次台风的影响．。
北师大版九年级下册 第一章 1.1 锐角三角函数(2)同步练习(包含答案)
2019~2020学年北师大版九年级（下）第一章1、锐角三角函数（2）（含答案）一、选择题：1、在△ABC 中，∠C=90°，则AB BC =（ ） A 、sinA B 、sinB C 、tanA D 、tanB2、在Rt △ABC 中，若∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinA=（ ）A 、53B 、54C 、43D 、34 3、在Rt △ABC 中，若∠C=90°，BC=12，AB=13，则下列三角函数值正确的是（ ）A 、512sin =AB 、135cos =AC 、1312tan =AD 、512tan =B 4、在Rt △ABC 中，若∠C=90°，AB=4，AC=1，则cosB=（ ）A 、415B 、41 C 、1515 D 、17174 5、如图，在Rt △ABC 中，若∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，则下列结论不正确的是（ ）A 、12mB 、34mC 、35mD 、366、梯子（长度不变）跟地面所成的角为锐角A ，关于∠A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）A 、sinA 的值越大，梯子越陡B 、cosA 的值越大，梯子越陡C 、tanA 的值越小，梯子越陡D 、陡缓程度与∠A 的函数值无关7、在Rt △ABC 中，∠C=90°，若sinA=53，则cosB=（ ） A 、34 B 、43 C 、53 D 、54 8、如图，电线杆CD 的高度为h ，两根控线AC 与BC 互相垂直，∠CAB=α，则拉线BC 的长度为（A 、D 、B 在同一直线上）（ ）A 、αsin hB 、αcos hC 、αtan h D 、αcos ⋅h二、填空题：9、若等腰三角形的底边长是10cm ，周长为36cm ，那么底角的余弦值为______；10、在Rt △ABC 中，若∠C=90°，AC=4，cosA=52，则BC=______；11、在Rt △ABC 中，若∠C=90°，若21sin A ，则sinB 的值为_______； 12、如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则sin ∠BAC=______；三、解答题：13、在Rt △ABC 中，若∠C=90°，AB=10，AC=8，求sinB ，cosB ，tanB 的值；14、如图，在Rt △ABC 中，若∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD ⊥AB 于D ，求sin ∠BCD ；15、如图，在△ABC 中，若∠B=45°，AC=12，sinC=53，求△ABC 的面积；B AC ACB D16、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，tanB=cos ∠DAC;(1)求证：AC=BD ；(2)若BC=12，sinC=1312，求AD 的长；参考答案：1~8 ABBAC ABB9、135；10、212；11、552；12、55；13、sinB=54，cosB=53，tanB=34；14、53；15、221；16、（1）略；（2）324； B A C D。
2017-2018学年北师大版数学九年级下册第一章直角三角形的边角关系测试题及答案
第一章检测卷一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项1. sin30的值为()A.1B.f 詔D532. 如图，已知Rt△ ABC 中，/ C= 90° AC = 8, BC = 15,贝U tanA 的值为(A . 6cmB . 7cmC . 8cmD . 9cm 4.如图是拦水坝的横断面，斜坡 AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1 : 2, AB 的长为( )A . 4 ,3 米B . 6 ,5米C . 12.5米D . 24 米5.如图，过点 C( — 2, 5)的直线 AB 分别交坐标轴于 A(0, 2), B 两点，贝U tan /OAB 的 )2 5B.3C.2则斜坡值为( 2 A.2 第5题图 6 .如图①为折叠椅， 相等，0是它们的中点.为使折叠椅既舒适又牢固， / DOB = 100°那么椅腿 AB 的长应设计为 (结果精确到 cos40 ° 0.77, sin40 = cos50 ° 0.64, tan40 独 0.84, tan50第6题图图②是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB 和CD 的长度厂家将撑开后的折叠椅高度设计为 32cm , 0.1cm ，参考数据： sin50 °= 1.19)()A .38.1cm B . 49.8cm&如图，将/ AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan / AOB = __________)39. 若a B均为锐角，且 _________________________ s in a—2 + (tan 3- 1)2= 0，贝V a+ 3=L A10. __________________________________________________________ 在Rt△ ABC 中，/ C= 90° AB= 2, BC =羽，贝U sinq = _____________________________________ .第11题图11. 如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横截面O O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB = 150cm, / BAC=30°另一根辅助支架DE = 76cm,/ CED = 60°.则水箱的半径为_______________ cm(结果保留根号).212. 已知△ ABC中，tanB= 3，BC = 6,过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD : CD = 2 : 1，则△ ABC 的面积为____________ .三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13. 计算：2 2(1)3tan30 +°cos 45 °—2sin60 ；(2)tan 60 —2sin45 牛cos60 :14. 在Rt△ ABC 中，/ C= 90°，AC = 15，/ B = 60°，解这个直角三角形.15. 如图，已知AC= 4,求AB的长.16. 王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示.已知AC= 20cm ,BC = 18cm,/ ACB = 50 °王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽 AB 内？请说明你的理由 （参考数据：sin50* 0.8, cos50°~ 0.6, tan50仏1.2）.17. 如图，已知钝角△ ABC.（1）过点A 作BC 边的垂线，交 CB 的延长线于点 D （尺规作图，保留作图痕迹，不要求 写作法）；⑵在⑴的条件下，若/ ABC = 122 °, BC = 5, AD = 4，求CD 的长（结果精确到 0.1, 参考数据：sin32 * 0.53, cos32°* 0.85, tan32 ° 0.62).四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）318. 如图，在△ ABC 中，AD 丄 BC ,垂足是 D ,若 BC = 14, AD = 12, tan / BAD = 4,求sinC 的值.(1) BC 的长；(2) sin / ADC 的值.20.如图，四边形 ABCD 是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：/A19 .如图，AD tanB = 1,COsC達AC = ,2.求:A=90°,/ ABD = 60°,/ CBD = 54°, AB = 200m , BC= 300m.请你计算出这片水田的面积（参考数据：sin54 * 0.809, cos54°* 0.588, .3* 1.732）.五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，展开小桌板使桌 面保持水平.连接 OA ，此时 OA = 75cm , CB 丄AO ,/ AOB = Z ACB = 37° 且桌面宽 0B 与BC 的长度之和等于 0A 的长度.求支架BC 的长度（参考数据：sin370.6, cos37°~0.8,tan370.75）.22. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫作底角的邻对 （can ）.如图①，在△ ABC边 BCAB = AC ,底角/ B 的邻对记作canB ,这时canB = ■腰=忑.容易知道一个角的大小与 这个角的邻对值是 --- 对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）ca n30 = _____ ;8⑵如图②，已知在厶 ABC 中，AB = AC , canB = 5，S ^ABC = 24,求厶ABC 的周长.六、（本大题共12分）23. 如图①是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图②所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边 AO 与键盘所在面的侧边 BO 长均为24cm ，点P 为眼睛所在中,位置，D为AO的中点，连接PD，当PD丄AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC丄OB, 垂足C 在OB的延长线上，且BC = 12cm.⑴当PA= 45cm时，求PC的长；(2)当/ AOC= 120时，“最佳视角点” P在直线PC上的位置会发生什么变化？此时PC 的长是多少？请通过计算说明(结果精确到0.1cm，参考数据：2疋1.414, 3〜1.732).参考答案与解析1. A2.D3.C4.B5.B6.C 解析：连接BD,由题意得OA= OB = OC = OD.vZ DOB = 100 ° /-Z DAO = Z ADO=50° / OBD = / ODB = 40° ADB = 90° 又•: BD = 32cm ,二 AB =2（2）如图②所示，•/ BC = 6, BD : CD = 2 : 1, A BD = 12. v AD 丄 BC , tanB = 3，二 • AD=2BD= 8，AS ^ABC = tBC A D = 2X 6X 8= 24.综上所述，△ ABC 的面积为 8 或 24.13.解：（1）原式=3X^+ -2 - 2 X~23= 3 + 扌—3=寸.（3 分）AC 15 解：•••/ C = 90° / B = 60° •••/ A = 30°2 分）又v AC = 15,A AB =而=15.1CD = ?AC = 2, AD = AC c osA = 2 3.（3 分）在 Rt △ CDB 中，vZ DCB = / ACB -Z ACD = 45° • BD = CD = 2, （5 分）• AB = AD + BD = 2 . 3+ 2.（6 分）16.解:王浩同学能将手机放入卡槽 AB 内.（1分）理由如下：作AD 丄BC 于点D , v/ C =50° AC = 20cm , • AD = AC sin50 豪 20 X 0.8 = 16（cm ） , CD = AC cos50°^ 20 X 0.6 = 12（cm ） . （3 分）v BC = 18cm , • DB = BC — CD ~ 18 — 12 = 6（cm ） , • AB = . AD 2+B^疋.162+ 62= .192（cm ）. （5分）v 17 = . 289< 292, •王浩同学能将手机放入卡槽 AB 内.（6 分）17. 解：（1）如图所示.（3分）（2） vZ ABC = 122 ° / ADB = 90° DAB = 32 °在 Rt △ ADB 中，v tan /DAB =器,• DB = DA tan Z DAB 〜4 X 0.62 = 2.48.（5 分）• DC = DB + BC 〜2.48 + 5~ 7.5.（6 分）BD 32 sin / DAO0.77 ~ 41.6（cm ）.故选 C.7.乎3 8.1 9.75 ° 10.1 11.（150- 76,3）12. 8或24 解析：△ ABC 有两种情况：（1）如图①所示，v BC = 6,2 8 1• AD = 3BD = 3，- S ABC = 2BC AD = 2X 6X 3 =A BD = 4. v AD 丄 BC , tanB = |,・ AD = 2 BD = 3, BD : CD =2 : 1 ,1 ___ 8 3' 8；BAD = 2BD = 3,14. 爲=质=5回6分） 解：作 CD 丄AB 于点 D.在 Rt △ ACD 中，v/ A = 30°ACD = 90°-Z A = 60°=10 ,3,（4 分）BC =图①图② 2= 3- 2+ 1=7- ,2.（6 分） ⑵原式=（,3）2- 2 XBD 3 八18. 解：•••在 Rt △ ABD 中，tan / BAD =忑,二 BD = AD tan / BAD = 12X 4 = 9, （3 分）/• CD=BC - BD = 14-9 = 5•在 Rt △ ACD 中,AC = AD 2+ CD 2= 122+ 52= 13,（6 分）/• sinC = =石.（8分） 19. 解：⑴过点 A 作 AE 丄 BC 于点 E.T cosC = ¥，二/ C = 45°在 Rt △ ACE 中，CE =%/2 1AE 1 AC cosC = 2X = 1, （2 分）••• AE = CE = 1.在 Rt △ ABE 中，T tanB = -,^ =-,^ BE = T 2 3BE 3 3AE = 3, • BC = BE + CE = 4.（4 分）1（2）由⑴可知 BC = 4, CE = 1. T AD 是厶 ABC 的中线，• CD = -BC = 2, • DE = CD - CE =1.（6 分）T AE 丄 BC , DE = AE ，• / ADC = 45° • sin / ADC = ^.（8 分）20. 解：作 CM 丄 BD 于 M.（1 分）T / A = 90 ° / ABD = 60 ° •/ ADB = 30 ° • BD =1 12AB = 400m , AD = .3AB = 200.3m , （3 分）•△ ABD 的面积为 AB AD =200X 200 ,3 = 20000 逅（m 2） . （4 分）T / CMB = 90 ° / CBD = 54 °• CM = BC s in 54 ^300 X 0.809 =1 1 2242.7（m ）, （6 分）BCD 的面积为 2 BD CM 〜寸 400X 242.7 = 48540（m ）, （7 分）.••这片水 田的面积约为 20000^3 + 48540〜83180（m 2）. （8 分）21. 解：延长 CB 交 AO 于点 D ,「. CD 丄OA.设 BC = xcm ，贝U OB = （75-x ）cm.（2 分）在 Rt △ OBD 中,T / DOB = 37° • OD = OB c os / DOB 沁0.8（75- x ）= （60- 0.8x ）（cm ） , BD = OB sin / DOB ~ 0.6（75 — x ） = （45 — 0.6x ）（cm ） . （5 分）• DC = BD + BC ~ （45 + 0.4x ）cm.在 Rt △ ACD 中，T / ACD = 37 ° • AD = DC ta n / ACD 〜0.75（0.4X + 45）= （0.3x + 33.75）cm.（7 分）T OA = AD + OD = 75cm , • 0.3X + 33.75 + 60- 0.8x = 75,解得 x ~ 37.5,「. BC ~ 37.5cm , 故支架BC 的长度约为37.5cm.（9分）22 .解：（1） 3（2 分）8 1（2）过点 A 作 AE 丄 BC 于点 E ,T canB = 5，可设 BC = 8x , AB = 5x ,则 BE = ?BC = 4x , • AE = AB 2- BE 2 = 3X .T S»BC = 24, • *BC AE = 12x 2= 24,解得 x = 2，故 AB = AC = 5 2, BC = 8 2 ,•••△ ABC 的周长为 AB + AC + BC = 5 .2+ 5 .2+ 8,2 = 18 一 2.（9 分）23.解：（1）当PA = 45cm 时，连接PO ,如图.（1分）T D 为AO 的中点，PD 丄AO , • PO =PA = 45cm.（2 分）T BO = 24cm , BC = 12cm , • OC = OB + BC = 36cm. T PC _L OB ，•/ C = 90° • PC = ,PO 2-OC 2= 452- 362= 27（cm ） . （4 分） PFEO a cAD AC（2）过D作DE丄OC交BO延长线于E,过D作DF丄PC于F,则四边形DECF是矩形，如图.（6 分）•/ ADF =/ AOC = 120° 则/ PDF = 120°- 90°= 30° 在Rt A DOE 中，T/ DOE1 1=180°—/AOC= 60° DO = ?AO= 12cm DE = DO •i n60 = 6^3cm , EO=2DO = 6cm, FC = DE = 6 3cm, DF = EC= EO + OB + BC = 6 + 24 + 12 = 42(cm). (9 分)在Rt△ PDF 中,•// PDF = 30° . PF = DF t an30 = 42X^= 14^3(cm)PC= PF + FC = 14眉+ 6贾= 320 3^ 34.64(cm) > 27cm, (11分)•••点P在直线PC上的位置上升了. (12分)。
精品试卷北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系同步测评试题(含详细解析)
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系同步测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在ABC中，(2+-=，则ABC一定是（）A B2cos1tan0A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形2、小金将一块正方形纸板按图1方式裁剪，去掉4号小正方形，拼成图2所示的矩形，若已知AB＝9，BC＝16，则3号图形周长为（）A．2233++C．2333+B．2234+D．23343、△ABC中，tan A＝1，cos B ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．锐角三角形4、tan 45︒的值为（ ）A ．1B ．2CD ．5、如图，在ABC 中，135ABC ∠=︒，点P 为AC 上一点，且90PBA ∠=︒，12CP PA =，则tan APB ∠的值为（ ）A ．3B ．2C ．13 D 6、如图①，5AB =，射线AM BN ∥，点C 在射线BN 上，将△ABC 沿AC 所在直线翻折，点B 的对应点D 落在射线BN 上，点P ，Q 分别在射线AM 、BN 上，PQ AB ∥．设AP x =，QD y =．若y 关于x 的函数图象（如图②）经过点()9,2E ，则cos B 的值等于（ ）A ．25 B ．12 C ．35 D ．7107、如图，小王在高台上的点A 处测得塔底点C 的俯角为α，塔顶点D 的仰角为β，已知塔的水平距离AB ＝a ，则此时塔高CD 的长为（ ）A ．a sin α+a sin βB ．a tan α+a tan βC ．tan tan a a β+D ．tan tan tan a a ββ8、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC =BC ＝1，以下正确的是（ ）A ．1cos 2A =B ．sin A =C ．tan A =D ．cos B =9、如图，等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，D 是AC 上一点，若tan∠DBA ＝14，则AD ＝（ ）A ．1B ．2CD ．10、如图，在平面直角坐标系系中，直线12y k x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数2k y x =在第一象限内的图象交于点B ，连接BO ．若1OBC S =△，1tan 3BOC ∠=，则2k 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了10cm ，此时小球距离桌面的高度为5cm ，则这个斜坡的坡度为______．2、如图，在正方形ABCD 中，点E 为CD 边中点，连接AE ，AE 与对角线BD 交于点F ，连接CF ，BE ，且CF 与BE 交于点H ，连接DH ，则下列结论：①BE CF ⊥；②43FH EH =；③2DH CH BH =⋅；④EHD FDC △△∽；其中正确的是______．（填序号即可）3、如图，是拦水坝的横断面，堤高BC 为6米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB 的长为_______米．4、如图，等边ABC 的边长为2，点O 是ABC 的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段,AB BC 于D ，E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②四边形ODBE 的面积始终ODE BDE S S =；④BDE 周长的最小值为3．其中正确的结论是________（填序号）．5、如图①为折叠椅，图②是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB 和CD 的长度相等，O 是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm ，∠DOB ＝100°，那么椅腿AB 的长应设计为 ___cm ．（结果精确到0.1cm ，参考数据：sin 50°＝cos 40°≈0.77，sin 40°＝cos 50°≈0.64，tan 40°≈0.84，tan 50°≈1.19）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：020*******( 3.14)60(2)()2π︒---⋅ 2、如图, 在 ABC 中，90,3C AC BC ∠===， 点 D E 、 分别在 AC 边和 AB 边上，沿着直线 DE 翻折 ADE ，点 A 落在 BC 边上，记为点 F ，如果 1CF =，则 BE =_______．3、计算：()()012020sin 60tan 30--+︒-︒4、某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高80m BC =，点C 、A 与河岸E 、F 在同一水平线上，从山顶B 处测得河岸E 和对岸F 的俯角分别为45DBE ∠=︒，31DBF ∠=︒．若在此处建桥，求河宽EF 的长．（结果精确到1m ）[参考数据：sin310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan310.60︒≈]5、如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒．（1）在线段AC 上求作一点D ，使得2BDC A ∠=∠；（用尺规作图，不写作法，但应保留作图痕迹）（2）若22.5A ∠=︒，利用上述作图，求1tan A 的值．-参考答案-一、单选题1、D【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得(32cos 0A =，1tan 0B -=，从而得cos A =tan 1B =，根据特殊角度三角函数的性质，得45A ∠=︒，45B ∠=︒；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案．【详解】解：∵(32cos 1tan 0A B +-=∴(32cos 0A =，1tan 0B -=∴02cos A =，1tan 0B -=∴cos A tan 1B = ∴45A ∠=︒，45B ∠=︒∴18090C A B ∠=︒-∠-∠=︒，BC AC =∴ABC 一定是等腰直角三角形故选：D ．【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解．2、B【分析】设,CE x = 而AB ＝9，BC ＝16，如图，由（图1）是正方形，（图2）是矩形，4号图形为小正方形，得到16,BE x 7,9,FG x DF AF x 再证明tan tan ,FAG AEB 再建立方程求解x ，延长FG 交BC 于,M 则,FG BC ⊥ 再利用勾股定理求解,GE 从而可得答案.【详解】解：如图，由题意得：（图1）是正方形，（图2）是矩形，4号图形为小正方形，,,,90,AB CD AD BC AD BC ABC AFG ∥设,CE x = 而AB ＝9，BC ＝16，16,BE x结合（图1），（图2）的关联信息可得：7,9,FG x DF AF x,AD BC ∥,tan tan ,FAGAEB FAG AEB 97,169x x x整理得：232310,x x解得：121,31,x x经检验：31x =不符合题意，取1,x =716,1,9110FG DF CE AF延长FG 交BC 于,M 则,FG BC ⊥ 四边形ABMF 是矩形，9,10,963,161105,FM AB BM AF GM FM FG ME 2234,GE GM ME 所以3号图形的周长为：6341962234,FG GE CE CD DF故选B【点睛】 本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的应用，从（图形1）与（图形2）中的关联信息中得出图形中边的相等是解本题的关键.3、C【分析】先根据△ABC 中，tanA =1，cosB A 及∠B 的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵△ABC 中，tanA =1，cosB ∴∠A =45°，∠B =45°，∴∠C =90°，∴△ABC 是等腰直角三角形．故选：C ．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．4、A【分析】直接求解即可．【详解】解：tan 45︒=1，故选：A ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．5、A【分析】过点P 作PD∥AB 交BC 于点D ，因为135ABC ∠=︒，且90PBA ∠=︒，则tan∠PBD =tan45°=1，得出PB =PD ，再有12CP PA =，进而得出tan∠APB 的值． 【详解】 解：如图，过点P 作PD AB ∥交BC 于点D ，∴CPD CAB △∽△， ∴AC AB PC PD =,∵135ABC ∠=︒，且90PBA ∠=︒，∴∠PBD =45°，∴tan tan 451PBD ∠=︒=，∴PB PD =， 又∵12CP PA =， ∴3AC PC=， ∴tan 3AB AB AC APB PB PD PC∠====． 故选A ．【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解．6、D【分析】由题意可得四边形ABQP 是平行四边形，可得AP ＝BQ ＝x ，由图象②可得当x ＝9时，y ＝2，此时点Q 在点D 下方，且BQ ＝x ＝9时，y ＝2，如图①所示，可求BD ＝7，由折叠的性质可求BC 的长，由锐角三角函数可求解．【详解】解：∵AM ∥BN ，PQ ∥AB ，∴四边形ABQP 是平行四边形，∴AP＝BQ＝x，由图②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，QD=y＝2，如图①所示，∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，∴AC⊥BN，∴BC＝CD＝12BD＝72，∴cos B＝BCAB＝725＝710，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识．理解函数图象上的点的具体含义是解题的关键．7、B【分析】根据直角三角形锐角三角函数即可求解．解：在Rt ABC 中，tan tan BC AB a αα==，在Rt ABD △中，tan tan BD AB a ββ==，tan tan CD BC BD a a αβ∴=+=+．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是掌握直角三角形锐角三角函数．8、C【分析】根据勾股定理求出AB ，三角函数的定义求相应锐角三角函数值即可判断．【详解】解：∵在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC =BC ＝1，根据勾股定理AB 2==，∴cos A =AC AB =A 不正确； sin A ＝12BC AB =，选项B 不正确；tan A ＝3BC AC =，选项C 正确； cos B ＝12BC AB =，选项D 不正确．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角三角函数定义是解题的关键．9、B【分析】过点D 作DE AB ⊥，根据已知正切的定义得到4BE DE =，再根据等腰直角三角形的性质得到4BE AE =，再根据勾股定理计算即可；【详解】过点D 作DE AB ⊥，∵tan∠DBA ＝14DE BE=， ∴4BE DE =，∵ABC 是等腰直角三角形，∴45A ∠=︒，∴AE DE =，∴4BE AE =，∵AC ＝5，∴AB ==∴4AE BE AE AE +=+=∴在等腰直角ADE 中，由勾股定理得2AD =．故选B ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰直角三角形，勾股定理，准确计算是解题的关键．10、B【分析】首先根据直线求得点C 的坐标，然后根据△BOC 的面积求得BD 的长，然后利用正切函数的定义求得OD 的长，从而求得点B 的坐标，求得结论．【详解】解：∵直线y ＝k 1x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为（0，2），∴OC ＝2，∵S △OBC ＝1，∴BD ＝1，∵tan∠BOC 13=， ∴13BD OD =， ∴OD ＝3，∴点B 的坐标为（1，3），∵反比例函数y 2k x=在第一象限内的图象交于点B ， ∴k 2＝1×3＝3．故答案为：B【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，能够求得点B的坐标．二、填空题1【分析】过B作BC⊥桌面于C，由题意得AB=10cm，BC=5cm，再由勾股定理求出AC的长度，然后由坡度的定义即可得出答案．【详解】如图，过B作BC⊥桌面于C，由题意得：AB=10cm，BC=5cm，∴2253AC AB BC=-=，∴这个斜坡的坡度53353BCiAC===，故答案为：33．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及勾股定理；熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键．2、①②③【分析】证△ADE≌△BCE和△ADF≌△CDF导角可知①正确，利用三角函数表示出线段长，可得②正确；证△DCH∽△BDH，可得③正确，根据∠DCH≠∠HDC，可得④错误．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，点E是DC的中点，∴AB＝AD＝BC＝CD，DE＝CE，∠BCE＝∠ADE＝90°，∴△ADE≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠DAE，BE＝AE，∵AD＝DC，∠ADF＝∠CDF＝45°，DF＝DF，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DAE＝∠DCF，∴∠DCF＝∠CBE，∵∠CBE+∠CEB＝90°，∴∠DCF+∠CEB＝90°，∴∠CHE＝90°，∴CF⊥BE，故①正确；∵点E为CD边中点，∴1 tan2DAE∠=，∵∠DAE＝∠DCF＝∠CBE，∴12 EH CHHC BH==，设3EH a =，FH x =，则6CH a =，12BH a =，则15BE AE a ==，∵△ADF ≌△CDF （SAS ），∴FA ＝CF ＝6a x +，9FE a x =-，222(9)(3)a x x a -=+，解得，4x a =， ∴43FH EH =，故②正确；CE =，∵DE EH ==BE DE ==， ∴DE BE EH DE =， ∵∠DEH ＝∠DEB ，∴△DEH ∽△BED ，∵∠EDH ＝∠DBE ，∵∠DBE +∠CBE ＝45°，∴∠EDH +∠HDB ＝45°，∵∠HDB ＝∠EBC ＝∠ECH ，∴△DCH ∽△BDH ， ∴DH CH BH DH=，即2DH CH BH =⋅，故③正确； ∵1tan 2DAE ∠=，41tan 123a DBH a ∠==，∴∠DAE≠∠DBH，∴∠DCH≠∠HDC，故④错误，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了解直角三角形和相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的性质进行推理证明．3、【分析】由斜面坡度为1:2有12BCAC=，解得AC=12，再由勾股定理求得AB即可．【详解】∵斜面坡度为1:2∴12 BCAC=∴212AC BC==∵ACB△是直角三角形，故有AB====故答案为：【点睛】本题考察了直角三角形应用题，解直角三角形应用题的一般步骤（1）弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；（2）将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形；（3）寻找直角三角形，并解这个三角形．4、①③④【分析】如图：连接OB 、OC ，利用等边三角形的性质得∠ABO =∠OBC =∠OCB =30°，再证明∠BOD =∠COE ，可证△BOD ≌△COE ，即BD =CE 、OD =OE ，则可对①进行判断；利用 △△=BOD COE S S 得到四边形ODBE 的面积13ABC S ==OH ⊥DE ，则DH =EH ，计算出S △DOE 2,=利用S △DOE 随OE的变化而变化和四边形ODBE 的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE 的周长=BC +DE =4+DE OE ，根据垂线段最短，当OE ⊥BC 时，OE 最小，△BDE 的周长最小，计算出此时OE 的长则可对④进行判断．【详解】解：连接OB 、OC ，如图，∵等边ABC∴∠ABC =∠ACB =60°,∵点O 是△ABC 的中心，∴OB =OC ，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠ABO =∠OBC =∠OCB =30°∵∠BOC =120°，即∠BOE +∠COE =120°，而∠DOE =120°，即∠BOE +∠BOD =120°，∴∠BOD =∠COE ,在△BOD 和△COE 中BOD COE BO COOBD OCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BOD ≌△COE ,∴BD =CE ，OD =OE ，所以①正确；∴△△=BOD COE S S∴四边形ODBE 的面积=211233OBC ABCS S ==⨯=，故②正确； 如图：作OH ⊥DE ，则DH =EH ，∵∠DOE =120°,∴∠ODE=_OEH =30°,12OH OE ∴=，HE,==,DE ∴=211,22ODE S OE ∴=⋅= 即S △DOE 随OE 的变化而变化，而四边形ODBE 的面积为定值，;ODE BDES S ∴≠所以③错误； ∵BD =CE ,∴△BDE 的周长=BD +BE+DE =CE +BE +DE =BC +DE =2+DE当OE ⊥BC 时，OE 最小，△BDE 的周长最小，此时 OE =∴△BDE 周长的最小值=2+1=3,所以④止确．故填①③④．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键5、41.6【分析】连接BD ，过点O 作OH ⊥BD 于点H ，从而得到OB =OD ，进而得到∠BOH =50°，在Rt BOH 中，可求出OB ，即可求解．【详解】解：如图，连接BD ，过点O 作OH ⊥BD 于点H ，∵AB =CD ，点O 是AB 、CD 的中点，∴OB =OD ，∵∠DOB ＝100°，∴∠BOH =50°，113216cm 22BH BD ==⨯= ， 在Rt BOH 中，1620.8cm sin 0.77BH OB BOH =≈≈∠ ，∴241.6cm AB OB == ．故答案为：41.6【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．三、解答题1、7【分析】根据01(0a a =≠），立方根的求法，特殊三角函数的值，积的乘方，计算即可得答案．【详解】解：020*******-3.14tan 60(2)()2π︒--（）=()2020112222⎡⎤+-+-⨯⨯-⎢⎥⎣⎦（）（）=1-2+6-（-2）=7【点睛】本题考查了二次根式、零指数幂、特殊三角函数的值、积的乘方的相关计算，做题的关键是掌握相关法则，特别积的乘方的逆运算，认真计算．2【分析】过点F 作FG AB ⊥于点G ，设BE x =，则AE x =，EG BE BG x =-=EGF △即可求得x ，即BE 的值【详解】解：如图，过点F 作FG AB ⊥于点G在 ABC 中，90,3C AC BC ∠===，AB ∴=tan 1AC B BC == 45A B ∠FGB ∴是等腰直角三角形BG FG ∴==sin FB B ⋅=设BE x =，则AE x =，EG BE BG x =-=沿着直线DE 翻折ADE ，点A 落在BC 边上，记为点F ，EA EF ∴=x在Rt EFG 中，222EF EG FG =+即()(222x x =+解得x =【点睛】 本题考查了勾股定理，轴对称的性质，解直角三角形，根据题意构造直角三角形是解题的关键． 3、3【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质，特殊角锐角三角函数值化简，再合并，即可求解．【详解】解：()()012020sin 60tan 30--+︒-︒112-=++⎝⎭12=+3= ．【点睛】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质，特殊角锐角三角函数值等知识，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质，特殊角锐角三角函数值是解题的关键．4、河宽EF 的长约为53m【分析】根据等腰三角形的判定可得80m CE BC ==，在Rt BCF 中，由三角函数的定义求出CF 的长，根据线段的和差即可求出EF 的长度．【详解】解：在Rt BCE 中，80m BC =，45BEC DBE ∠=∠=︒，∴45CBE ∠=︒，∴45BEC CBE ∠=∠=︒，∴80m CE BC ==.在Rt BCF 中，80m BC =，31BFC DBF ∠=∠=︒，tan BC BFC CF ∠=， ∴800.60CF ≈， ∴133.3CF ≈，∴133.38053.353(m)EF CF CE =-=-=≈.答：河宽EF 的长约为53m ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用---仰角俯角问题，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．5、（1）见解析；（2【分析】（1）作BC 的垂直平分线，交AC 于点D ，则点D 即为所求；（2）根据（1）的结论可得BC CD =，设BC a =，则,CD a BD ==，进而根据正切的定义即可求得答案．【详解】解：（1）如图，作BC 的垂直平分线，交AC 于点D ，则点D 即为所求，连接BDDB DA =DAB DBA ∴∠=∠2BDC A ABD A ∴∠=∠+∠=∠（2）22.5A ∠=︒245BDC A ∴∠=∠=︒90ACB ∠=︒BC CD ∴=设BC a =，则,CD a BD ==)1AC AD CD BD CD a ∴=+=+= ∴1tanA 11AC BC BC AC=== 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，垂直平分线的性质，正切的定义，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．。
北师大九年级数学下册《1.1锐角三角函数》同步训练含参考答案
4
22. 如图，在 cos㼀 的值．
㼀௭ 中， ௭ 㾠
，
是直角边 ௭ 上一点，
㼀 于点 ，
㾠 3，
㾠 4，求
23. 如图，在
㼀௭ 中， ௭ 㾠 1
， ௭ 㾠 4，tan㼀 㾠 8．
1
௭1 求 㼀௭ 的长； ௭2 利用此图形求 tan1 的值（精确到 .1，参考数据： 2 㾠 1.4， 3 㾠 1.7，
㾠 ， ∴ ∴ 㾠2 ． 21. 解：在 ∵tan㼀 㾠
௭ 㼀௭ ௭
，
3
4 3
㼀௭ 中， 㾠 ， 4
௭㼀 㾠
， ௭ 㾠 3，tan㼀 㾠 3，
4
∴㼀௭ 㾠 tan㼀 㾠 则 㼀㾠
倍， （ 是大于 1 的自然数） ，则两个锐角的三角函数值（ ） B.都缩小为原来的
1
B.cot㼀 㾠 3
D.cos㼀 㾠 3
2
2
A.1
8. 如图，在
㼀௭ 中，点
B.2
1
在 ௭ 上，
㼀௭，垂足为 ，若
C. 3
㾠 2 ௭， 㼀 㾠 4
D.
3
3
，则 sin㼀 等于（ ）
A.2
二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计 24 分 ， ） . cos3 ________ cos4 （填大小关系） 㼀௭ 中， ௭ 㾠 1 . 在 ，如果 ௭ 㾠 ， 㼀 㾠 13，那么 sin 㾠________． 㼀௭ 中， ௭ 㾠 11. 在 ，当已知 和 时，求 ，则 、 、 关系式是 㾠________． 㼀௭ 中， ௭ 为直角， ௭ 㾠 4 晦，㼀௭ 㾠 3 晦，sin 㾠________． 12. 已知在
4 2
北师大九年级数学下册《1.1锐角三角函数》同步训练含参考答案
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计 24 分 ， ） 1. 如图， △ ������������������的三个顶点都在方格纸的格点上，则������������������������ = ( )
1
7
3 7
3
A.2 D.4 B. 3 C. 7 二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计 24 分 ， ） ∘ ∘ 9. ������������������30 ________ ������������������40 （填大小关系） ∘ 10. 在������������ △ ������������������中，∠������ = 90 ，如果������������ = 5，������������ = 13，那么������������������������ = ________． ∘ 11. 在������������ △ ������������������中，∠������ = 90 ，当已知∠������和������时，求������，则∠������、������、������关系式是������ = ________． 12. 已知在������������ △ ������������������中，∠������为直角，������������ = 4������������，������������ = 3������������，������������������∠������ = ________．
������ = ������ ⋅ ������������������������，③������ = ������ ⋅ ������������������������，④������ = ������������������������，必定成立的是________． 15. 如图，������是∠������的边������������上一点，且������点坐标为(3, 4)，则������������������������ = ________������������������������ = ________．
九年级数学下册第一章1锐角三角函数1.1.2正弦和余弦同步练习新版北师大版9.doc
课时作业(二)[第一章 1 第2课时 正弦和余弦]一、选择题1．2018·黄浦区一模在△ABC 中，∠C ＝90°，则下列等式成立的是( ) A ．sin A ＝AC AB B ．sin A ＝BC AB C ．sin A ＝AC BCD ．sin A ＝BC AC2．2018·孝感如图K －2－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sin A 等于( )图K －2－1A.35B.45C.34D.433．如图K －2－2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cos B ＝23，则BC 的长为( )图K －2－2A ．4B ．2 5 C.181313 D.1213134．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，则cos A 的值为链接听课例4归纳总结( )A.35B.45C.34D.555．等腰三角形的底边长为10 cm ，周长为36 cm ，那么底角的余弦值是链接听课例1归纳总结( )A.513 B.1213 C.1013 D.5126．直角三角形纸片ABC 的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按图K －2－3所示方式折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则cos ∠CBE 的值为( )图K －2－3A.257 B.724 C.2425 D.725二、填空题7．如图K －2－4，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC 的顶点都在方格的格点上，则cos A ＝________．图K －2－48．如图K －2－5，点A (t ，4)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，sin α＝23，则t 的值为________．图K －2－59．如图K －2－6所示，AE ，CF 是锐角三角形ABC 的两条高，若AE ∶CF ＝3∶2，则sin ∠BAC ∶sin ∠ACB ＝________．图K －2－610．2017·哈尔滨七十二中月考在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于点D ，若cos ∠BAD ＝23，BD ＝5，则CD 的长为________.链接听课例3归纳总结11．如图K －2－7，在▱ABCD 中，BC ＝10，sin B ＝910，AC ＝BC ，则▱ABCD 的面积是________．图K －2－7三、解答题12．如图K －2－8，在Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，cos B ＝45，求∠BAD 的正弦值和余弦值及AC 的长度.链接听课例3归纳总结图K －2－813．如图K －2－9，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点N 的坐标为(20，0)，点M 在第一象限内，且OM ＝10，sin ∠MON ＝35.求：(1)点M 的坐标； (2)cos ∠MNO 的值．图K －2－914．如图K －2－10，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，垂足为E .已知AC ＝15，cos A ＝35.(1)求线段CD 的长； (2)求sin ∠DBE 的值.链接听课例3归纳总结图K －2－1015．已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7∶5，α为其最小的锐角，求角α的正弦值和余弦值．探究题如图K－2－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.(1)求sin2A＋cos2A的值；(2)比较sin A和cos B的大小；(3)想一想，对于任意直角三角形中的锐角，是否都有与上述两问题相同的结果？若有，请说明理由．图K－2－11详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] B 如图所示，sin A ＝BC AB.故选B.2．[解析] A 在Rt △ABC 中， ∵AB ＝10，AC ＝8，∴BC ＝AB 2－AC 2＝102－82＝6，∴sin A ＝BC AB ＝610＝35.故选A.3．[解析] A 由余弦的定义可得cos B ＝BC AB ＝23.又∵AB ＝6，∴BC ＝4.故选A.4．[解析] B 在Rt △ABC 中，∵sin A ＝BC AB，∴可设BC ＝3k ，AB ＝5k (k >0)，由勾股定理可求得AC ＝4k ，∴cos A ＝AC AB ＝45.故选B. 5．[解析] A 等腰三角形的腰长为12×(36－10)＝13(cm)，所以易得底角的余弦值为513.6．[解析] C 设CE ＝x ，则AE ＝8－x ，根据折叠的性质可知BE ＝AE ＝8－x .在Rt △BCE 中，根据勾股定理，得 BE 2＝BC 2＋CE 2，即(8－x )2＝62＋x 2， 解得x ＝74，即BE ＝254，所以cos ∠CBE ＝BC BE ＝2425.7．[答案] 2 55[解析] 如图，在Rt △ACD 中，由勾股定理得AC ＝22＋42＝2 5，AD ＝4， ∴cos A ＝AD AC ＝42 5＝2 55.8．[答案] 2 5[解析] 如图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ， ∴sin α＝AB OA. ∵sin α＝23，∴AB OA ＝23.∵A (t ，4)，∴AB ＝4，∴OA ＝6，∴t ＝2 5.9．[答案] 2∶3[解析] 由锐角三角函数的定义可知， sin ∠BAC ＝CF AC ，sin ∠ACB ＝AE AC， ∴sin ∠BAC ∶sin ∠ACB ＝CF AC ∶AEAC＝CF ∶AE ＝2∶3. 故答案为2∶3. 10．[答案] 1或5[解析] (1)如图①，若△ABC 为锐角三角形，∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝90°.∵cos ∠BAD ＝AD AB ＝23，∴设AD ＝2x ，则AB ＝3x .∵AB 2＝AD 2＋BD 2，∴9x 2＝4x 2＋(5)2，解得x ＝1或x ＝－1(舍去)， ∴AB ＝AC ＝3x ＝3，AD ＝2x ＝2， ∴CD ＝AC －AD ＝1.(2)如图②，若△ABC 为钝角三角形，由(1)知，AD ＝2，AB ＝AC ＝3， ∴CD ＝AC ＋AD ＝5. 故答案为1或5.11．[答案] 18 19[解析] 如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E .在Rt △BCE 中，sin B ＝CE BC，∴CE ＝BC ·sin B ＝10×910＝9，∴BE ＝BC 2－CE 2＝102－92＝19. ∵AC ＝BC ，CE ⊥AB ，∴AB ＝2BE ＝2 19.则▱ABCD 的面积是2 19×9＝18 19.12．解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠BAC ＝90°，∴∠B ＋∠BAD ＝90°，∠BAD ＋∠CAD ＝90°，∴∠B ＝∠CAD .∵cos B ＝BD AB ＝45，∴sin ∠BAD ＝BD AB ＝45，∴cos ∠BAD ＝1－sin 2∠BAD ＝35，∴tan ∠BAD ＝sin ∠BAD cos ∠BAD ＝43.∵cos ∠CAD ＝AD AC ＝cos B ＝45，AD ＝4，∴AC ＝5.13．解：(1)如图，过点M 作MP ⊥ON ，垂足为P .在Rt △MOP 中，由sin ∠MON ＝35，OM ＝10，得MP 10＝35，即MP ＝6，由勾股定理，得OP ＝102－62＝8，∴点M 的坐标是(8，6)．(2)由(1)知MP ＝6，PN ＝20－8＝12， ∴MN ＝62＋122＝6 5，∴cos ∠MNO ＝PN MN ＝126 5＝2 55.14．解：(1)因为AC ＝15，cos A ＝35，∠ACB ＝90°，所以AC AB ＝35，所以AB ＝25.又因为D 为AB 的中点，所以CD ＝252.(2)由D 是AB 的中点，得DC ＝DB ， 从而sin ∠ECB ＝sin ∠ABC ＝35，又BC ＝AB 2－AC 2＝20，所以BE ＝12.由勾股定理得CE ＝16，所以DE ＝16－252＝72，而DB ＝252，所以sin ∠DBE ＝DE DB ＝72×225＝725.15．[解析] 要求最小锐角α的正弦值和余弦值，需先确定哪一个角是最小的锐角．因为在三角形中，最短的边所对的角最小，因此首先要求出哪条边最短．解：在直角三角形中，∵斜边与一直角边的比为7∶5， ∴可设这一直角边的长为5k (k ＞0)， 则斜边的长为7k .设第三边长为a ，由勾股定理，得a ＝（7k ）2－（5k ）2＝24k 2＝2 6k . ∵2 6k ＜5k ＜7k ，∴最短的边长为2 6k ，∴长为2 6k 的边所对的角为最小的锐角α， ∴sin α＝2 6k 7k ＝2 67，cos α＝5k 7k ＝57，∴角α的正弦值为2 67，余弦值为57.[素养提升]解：∵∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝122＋52＝13，∴sin A ＝BC AB ＝513，cos A ＝AC AB ＝1213，cos B ＝BC AB ＝513.(1)∵sin 2A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝25169，cos 2A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝144169，∴sin 2A ＋cos 2A ＝25169＋144169＝1.(2)sin A ＝cos B .(3)由这个特例的解答过程可猜想，对于任意直角三角形中的锐角，都有与上述两问题相同的结果，即：对于任意直角三角形中的锐角A ，都有sin 2A ＋cos 2A ＝1；在Rt △ABC 中，若∠C 为直角，则必有sin A ＝cosB .理由如下：设在任意Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则sin 2A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC AB 2，cos 2A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC AB 2，∴sin 2A ＋cos 2A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AC AB 2＝BC 2＋AC 2AB 2＝AB 2AB 2＝1.∵sin A ＝BC AB ，cos B ＝BC AB， ∴sin A ＝cos B .。
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1.1锐角三角函数
一、选择题
1. 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=8，CD=4，DA=3，则sinB的值是（）
A. B. C. D.
2. 如图．EO 的直径垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）
A. 2
B.
C. 4
D. 8
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA的值等于（）
A. B. C. D.
4. 下列各数：，π，，cos60°，0，，其中无理数的个数是（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
5. 2 sin 60°的值等于（）
A. 1
B.
C.
D.
6. 在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，那么△ABC的形状是（）
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 无法确定
7. 正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB=（）
A. B. C. D. 2
8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值为（）
A. B. C. D.
9. 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（）
A. 15m
B. 20m
C. 20m
D. 10m
10. 在△ABC中，若，则∠C的度数是（）
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 105°
11. 如图，已知一商场自动扶梯的长l为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值等于
A. B. C. D.
二、填空题
12. 如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B 的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC=75°，∠BPD=30°，则河流的宽度约为____米．
13. 一山坡的坡度为i=1：，那么该山坡的坡角为______度．
14. 网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= __．
15. 等腰三角形的面积为24,底边长4,则底角的正切值为__。
16. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a ∶b ＝2∶1，则tan A＝________，cosA＝________，sinB＝______．
17. 如图，点B，C是河岸边的两点，A是河对岸岸边的一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝200米，则点A到岸边BC的距离是_________米．
三、解答题
18. “马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止）．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？
（结果保留整数，参考数值：≈1.7）
19. 如右图在某建筑物AC上，挂着“和谐广东”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰
角为，条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为，求宣传条幅再往BC的长，（小明的身高不计，结果精确到0.1米）
20. 先化简，再求值：，其中x=4cos60°+1．
21. 已知α和α－15°均为锐角，且3tan(α－15°)＝，求α的值．。