黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019届高三9月月考数学(理)试题Word版含答案
黑龙江高三高中数学月考试卷带答案解析
黑龙江高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.（）A．B．C．D．2.已知集合，则中元素的个数是（）A．B．C．D．3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A．B．C．D．4.已知函数是奇函数，当时，（且），且，则的值为（）A．B．C． 3D．95.已知，则（）A．B．C．D．6.函数的图象关于轴对称，且对任意都有，若当时，，则（）A．B．C．D．47.已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的值为（）A．B．C．D．8.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，得到函数的图象，则的图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．9.若函数是上的单调减函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．10.若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，则实数（）A．-2B．C．1D．211.如图，分别是射线上的两点，给出下列向量：①；②；③；④；⑤若这些向量均以为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有（）A．①②B．②④C．①③D．③⑤12.已知函数，对，使得，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题1.曲线与所围成的封闭图形的面积为 .2.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是________.3.若方程在内有解，则的取值范围是________；4.在中，内角的对边分别为，已知，且，则的面积是．三、解答题1.已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调减区间；（Ⅱ）若，，求的值.2.已知点是函数图象上的任意两点，若时，的最小值为，且函数的图象经过点，在中，角的对边分别为，且.(1)求函数的解析式；(2)求的取值范围.3.已知为的内角的对边，满足，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.证明：；（2）若，证明为等边三角形．4.设函数（为自然对数的底数）．（1）当时，求的最大值；（2）当时，恒成立，证明：．5.已知函数.（1）若函数为偶函数，求的值；（2）若，直接写出函数的单调递增区间；（3）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.6.已知函数，其中为常数.（1）当，且时，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；（2）若，对任意的正整数，当时，求证：.黑龙江高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，选A2.已知集合，则中元素的个数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，；当时，；当时，；当时，，所以，所以，故选B.【考点】集合的交集运算.3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，得，解得，故选A．【考点】函数的定义域．4.已知函数是奇函数，当时，（且），且，则的值为（）A．B．C． 3D．9【答案】B【解析】因为，所以，，又，所以，故选B.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的表示与求值.5.已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＝，故选D.【考点】1、倍角公式；2、两角和与差的正切公式.【方法点睛】根据已知单角的三角函数值求和角（或差角）的三角函数，通常将结论角利用条件角来表示，有时还需借助同角三角函数间的基本关系化为相关角的三角函数后，再利用两角和与差的三角函数公式即可求解.6.函数的图象关于轴对称，且对任意都有，若当时，，则（）A．B．C．D．4【答案】A【解析】因为函数对任意都有，所以，函数是周期为的函数，，由可得，因为函数的图象关于轴对称，所以函数是偶函数，，所以，故选A.【考点】1、函数的解析式；2、函数的奇偶性与周期性.7.已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，又因为，所以，同理可求，所以，故选C.【考点】1.向量的线性运算；2.向量数量积的几何运算.【名师点睛】本题考查向量的线性运算、向量数量积的几何运算，属中档题；平面向量的数量积定义涉及到了两向量的夹角与模，是高考的常考内容，题型多为选择填空，主要命题角度为：1.求两向量的夹角；2.两向量垂直的应用；3.已知数量积求模；4.知模求模；5.知模求数量积.8.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，得到函数的图象，则的图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数的图象，再向右平移个单位长度，可得的图象，故，令，得到，则得图象的一条对称轴是，选C【考点】三角函数的图像和性质9.若函数是上的单调减函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数是上的单调减函数,则有：解得，故选B.点睛：本题考查分段函数的单调性，解决本题的关键是熟悉指数函数，一次函数的单调性，确定了两端函数在区间上单调以外，仍需考虑分界点两侧的单调性，需要列出分界点出的不等关系.10.若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，则实数（）A．-2B．C．1D．2【答案】C【解析】根据题意可知：，两曲线在点处由公共的切线，所以即：，代入解得：，所以答案为C．【考点】1．利用求导求切线斜率；2．解方程．11.如图，分别是射线上的两点，给出下列向量：①；②；③；④；⑤若这些向量均以为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有（）A．①②B．②④C．①③D．③⑤【答案】【解析】在上取使，以为邻边作平行四边形，其终点不在阴影区域内，排除选项；取的中点，作，由于,所以的终点在阴影区域内；排除选项，故选．【考点】1．平面向量的线性运算；2．平面向量的几何运算．12.已知函数，对，使得，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令则的最小值，即为的最小值，令，解得∵当时，，当时，故当时，取最小值故选A．【点睛】本题考查的知识点是反函数，利用导数法求函数的最值，其中将求的最小值，转化为求的最小值，是解题的关键．二、填空题1.曲线与所围成的封闭图形的面积为 .【答案】【解析】由题意，知所围成的封闭图形的面积为.【考点】定积分的几何意义.2.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】“”是假命题等价于，即，解之得，即实数的取值范围是.【考点】1.特称命题与全称命题；2.不等式恒成立与一元二次不等式.3.若方程在内有解，则的取值范围是________；【答案】【解析】方程即由于设则问题转化为方程在上有解．又方程对应的二次函数的对称轴为，故有，即解得故答案为：【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中利用转化思想将问题转化为方程在上有解是解题的关键．4.在中，内角的对边分别为，已知，且，则的面积是．【答案】【解析】根据题意由正弦定理得：即：，所以由余弦定理得：又因为：，所以,因为即：即：与联立解得：，所以的面积是：，所以答案为：．【考点】1．正弦定理；2．余弦定理；3．三角形的面积公式．三、解答题1.已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调减区间；（Ⅱ）若，，求的值.【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由二倍角及辅助角公式可得，故最小正周期，由得所以，函数的单调递减区间为；（Ⅱ）因为，所以可得，从而试题解析：（Ⅰ）..4分所以，的最小正周期 ..6分由 ..7分化简得所以，函数的单调递减区间为 ..9分（Ⅱ）因为，所以即 ..12分又因为所以 ..13分则，即 ..14分【考点】三角函数及其性质2.已知点是函数图象上的任意两点，若时，的最小值为，且函数的图象经过点，在中，角的对边分别为，且.(1)求函数的解析式；(2)求的取值范围.【答案】（1）（2） [0,2]【解析】（1）根据三角函数的周期公式，结合题意得到，再根据和，得出即可得到函数的解析式；（Ⅱ）化简题中三角等式，得2，由正弦定理得，再利用余弦定理与基本不等式算出，从而可得，由题，而即可得到的取值范围试题解析：（1）由题意知，，又且，，（2）即由，得＝，即为所求取值范围.【点睛】本题考查求三角函数式的表达式，并由此求的取值范围．其中三角函数的图象与性质、正余弦定理和基本不等式求最值等知识的应用是解题的关键．3.已知为的内角的对边，满足，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.证明：；（2）若，证明为等边三角形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）通过已知表达式，去分母化简，利用两角和与差的三角函数，化简表达式通过正弦定理直接推出（2）利用函数的周期求出，通过求出的值，利用余弦定理说明三角形是正三角形，即可．试题解析：,,所以（2）由题意知：由题意知：，解得：，因为, ,所以由余弦定理知：, 所以因为，所以，即：所以,又，所以为等边三角形.4.设函数（为自然对数的底数）．（1）当时，求的最大值；（2）当时，恒成立，证明：．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．【解析】（1）求出当时，函数的导数，求得增区间和减区间，即可得到极大值，即为最大值；（2）①当时，即②当时，，分别求出右边函数的最值或值域，即可得证a=1．试题解析：（1）当a＝1时，f′(x)＝－e x＋(1－x)e x＝－xe x．当x＞0时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当x＜0时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，0)上单调递增．故f(x)在x＝0处取得最大值．（2）①当x∈(－∞，0)时，＜1⇔(a－x)e x＞x＋1即a＞x＋，令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－＞0，则g(x)在(－∞，0)上是增函数，g(x)＜g(0)＝1，a≥1．②当x∈(0，＋∞)时，＜1⇔(a－x)e x＜x＋1，a＜x＋，由①知g′(x)＝，令h(x)＝e x－x，h′(x)＝e x－1＞0，则h(x)＞h(0)＝1，g′(x)＞0，g(x)＞g(0)＝1，a≤1.故a＝1．【点睛】本题考查导数的运用，求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用，解题时要注意不等式恒成立思想的运用．5.已知函数.（1）若函数为偶函数，求的值；（2）若，直接写出函数的单调递增区间；（3）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 和（3）【解析】（1）因为函数为偶函数，所以可由定义得恒成立，然后化简可得（2）分将绝对值符号去掉，注意结合图象的对称轴和区间的关系，写出单调增区间，注意之间用“和”．（3）先整理的表达式，有绝对值的放到左边，然后分讨论，首先去掉绝对值，然后整理成关于x的一元二次不等式恒成立的问题，利用函数的单调性求出最值，从而求出的范围，最后求它们的交集．试题解析：(1)由于函数为偶函数,则,即恒成立，所以,则平方得恒成立,则(2)若,则,则单调递增区间为和（3）不等式转化为在上恒成立,由于则当时,原式为恒成立,即,即;当时,原式为恒成立,即,解得或当时,原式为恒成立,即,解得或综上6.已知函数，其中为常数.（1）当，且时，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；（2）若，对任意的正整数，当时，求证：.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】试题分析;（1）令，求出的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；（Ⅱ）时，求的导数，通过讨论是奇数，偶数，结合函数的单调性证明结论即可．试题解析：（1）由已知得函数的定义域为，当时，，所以，当时，由得，此时当时，单调递减；当时，单调递增.当时，在处取得极小值，极小值点为.（2）证：因为，所以.当为偶数时，令，则∴所以当时，单调递增，的最小值为.因此所以成立.当为奇数时，要证，由于，所以只需证. 令，则，当时，单调递增，又，所以当时，恒有,命题成立.。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三数学上学期第一次月考试题(理科)含答案
2018-2019年度高三学年上学期第一次月考数学试题(理科)考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}1A x x =<，{}31xB x =<，则（ ）.A {|0}A B x x =< .B A B =R .C {|1}A B x x =>.D A B =∅2.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S =（ ） .11A .5B .11C - .8D -3.下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ）.A y x = .2x B y = .lg C y x =.D y =4.已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-=（ ） 1.3A 4.9B 2.3C 8.9D 5.函数2()ln(43)f x x x =-+的单调递增区间是（ ）.(,1)A -∞ .(,2)B -∞ .(2,)C +∞ .(3,)D +∞6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a （ ）.12A - .10B - .10C.12D7.已知03x π=是函数()sin(2)f x x =+ϕ的一个极大值点，则()f x 的一个单调递减区间是（ ） 2.(,)63A ππ 5.(,)36B ππ .(,)2C ππ 2.(,)3D ππ 8.已知{}n a 为等比数列，472a a +=， 568a a =-，则110a a += （ ）.7A .5B .5C - .7D -9.将函数sin(2)6y x π=-的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ） .12A x π= .6B x π= .3C x π= .12D x π=-10.已知函数(),2x x e e f x x R --=∈，若对(0,]2π∀θ∈，都有(sin )(1)0f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）.(0,1)A .(0,2)B .(,1)C -∞ .(,1]D -∞11.已知()ln x f x x x ae =-（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）1.(0,)A e .(0,)B e 1.(,)C e e.(,)D e -∞12.已知函数()()32ln 3,a f x x x g x x x x =++=-，若()()12121,,2,03x x f x g x ⎡⎤∀∈-≥⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围为（ ）[).0,A +∞ [).1,B +∞ [).2,C +∞ [).3,D +∞二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.已知数列{}n a 满足111n na a +=-，112a =，则2019a =_________14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则n a =_________ 15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =_________ 16.已知函数()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_________三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本题满分12分)在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin c A Bb a A C+=-+. (1)求角B 的大小；(2)若b =3a c +=，求ABC 的面积.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． (1)求ω的值；(2)求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．19.(本题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()nS n n N n*∈均在函数2y x =+的图像上. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m .20. (本题满分12分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 经过点)221(，M ，其离心率为22，设直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于B A 、两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)以线段OA OB ，为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=（O 为坐标原点），求实数λ的取值范围．已知函数()()ln R f x ax x a =-∈. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：12112ln ln x x +>.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22. (本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-. (1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)已知(1,0)P ，若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求11PA PB+的值．23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()22f x x =-+，()()g x m x m R =∈． （1）解关于x 的不等式()5f x >；（2）若不等式()()f x g x ≥对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围．哈师大附中2018-2019年度高三上学期第二次月考数学试卷(理科)答案一． 选择题1-6 ACDCDB 7-12BDADAB 二．填空题13. 1- 14.12n -- 15.211316. 三．解答题 17.（1）c a bb a a c+=-+ 2222cos a c b ac ac B ∴+-=-=1cos 2B ∴=- 120B ∴=︒（2）22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--1ac ∴=1sin 24S ac B ∴==18.（Ⅰ）1cos2()22x f x x ωω-=112cos222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 19.2nS n n=+ 22n S n n ∴=+1(1)2,21n n n n a S S n -≥=-=+1(2)1,3n a ==，适合上式 21n a n ∴=+1111(2)()(21)(23)22123n b n n n n ==-++++11111111111()()23557212323236n T n n n ∴=-+-++-=-<+++ 1102063m m ∴≥∴≥m Z ∈min 4m ∴=20.（1）因为c e a ==222a b c =+ 222a b ∴=∴椭圆方程为222212x y b b ∴+=2(1,)在椭圆上221,2b a ∴== ∴椭圆方程为2212x y +=（2）由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=．设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ， 则122412kmx x k +=-+，21222212m x x k -=+，121222()212my y k x x m k +=++=+(1)0,,m A B =关于原点对称，0λ=，不能形成平行四边形0∴λ≠(2)0m ≠，224(12)2(12)Q Q km x k m y k -⎧=⎪λ+⎪⎨⎪=⎪λ+⎩Q 在椭圆上，222242[]2[]2(12)(12)km m k k -∴+=λ+λ+ 2224(12)m k ∴=λ+222222164(12)(22)8(12)0k m k m k m =-+-=+->2212k m ∴+>2224m m ∴>λ22∴-<λ<且0λ≠21（1）()()110ax f x a x x x-=-=>' 当0a ≤时， ()0f x '<，所以()f x 在()0,+∞上单调递减； 当0a >时， ()0f x '=，得1x a=10,x a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭都有()0f x '<， ()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；1,x a ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭都有()0f x '>， ()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上：当0a ≤时， ()f x 在()0,+∞上单调递减，无单调递增区间； 当0a >时， ()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减， ()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）函数()f x 有两个零点分别为12,x x ，不妨设12x x <则11ln 0x ax -=， 22ln 0x ax -=()2121ln ln x x a x x -=-要证：12112ln ln x x +> 只需证：12112a x x +>只需证： 12122x x a x x +> 只需证：12211221ln ln 2x x x x x x x x +->-只需证： 22212121ln 2x x xx x x ->只需证： 2211121ln2x x x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭令211x t x =>，即证11ln 2t t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭设()11ln 2t t t t φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()222102t t t t φ'--=<， 即函数()t φ在()1,+∞单调递减 则()()10t φφ<= 即得12112ln ln x x +> 22.解：(1)由直线l的参数方程为1()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 消去参数t，可得：10x -= 圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，即24cos ρρθ=-. 所以圆C 的普通坐标方程为2240x y x ++= 则(2,0)C -．所以圆心(2,0)C -到直线l 的距离21322d --== (2)已知(1,0)P ，点P 在直线l 上，直线l 与圆C 交于,A B 两点，将1()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数代入圆C 的普通坐标方程2240x y x ++=得：250t ++=设,A B 对应参数为12,t t，则12t t +=-125t t = 因为120t t >，12,t t 是同号．所以12121211115t t PA PB t t t t ++=+==． 23.（1）由()5f x >，得23x ->, 即23x -<-或23x ->,1x ∴<-或5x >.故原不等式的解集为{}15x x x <->或（2）由()()f x g x ≥，得2+2≥-x m x 对任意恒成立,当时，不等式2+2≥-x m x 成立, 当时，问题等价于22x m x-+≤对任意非零实数恒成立,22221 , 1x x m xx-+-+=∴≥≤，即的取值范围是( , 1]-∞.。
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高三(上)9月月考数学试卷(理科)
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集U ＝R ，集合A ＝{x|1og 2x ≤2}，B ＝{x|(x −3)(x +1)≥0}，则(∁U B)∩A ＝（ ）A.(−∞, −1]B.(−∞, −1]∪(0, 3)C.[0, 3)D.(0, 3) 【答案】 D【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】根据题意，先求出集合A ，B ，进而求出B 的补集，进而根据交集的定义，可得答案． 【解答】∵ 集合A ＝{x|1og 2x ≤2}＝(0, 4]，B ＝{x|(x −3)(x +1)≥0}＝(−∞, −1]∪[3, +∞)， ∴ ∁U B ＝(−1, 3)， ∴ (∁U B)∩A ＝(0, 3)，2. 设a →,b →是非零向量，则a →=2b →是a→|a →|=b→|b →|成立的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【答案】 B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】由已知a →=2b →，得a →,b →共线同向，则a→|a →|=b→|b →|；反之，由a→|a →|=b→|b →|，可得a →,b →共线同向，不一定有a →=2b →，结合充分必要条件的判定得答案． 【解答】对于非零向量a →,b →，由a →=2b →，得a →,b →共线同向，则a→|a →|=b →|b →|；反之，由a →|a →|=b→|b →|，可得a →,b →共线同向，但不一定是a →=2b →．∴ a →=2b →是a →|a →|=b→|b →|成立的充分不必要条件．3. 已知a >0，b >0，a +b =2，则y =1a +4b 的最小值是( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a【答案】 D【考点】对数值大小的比较 【解析】容易得出(13)23<(12)23<1,log 3π>1，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【解答】解：(13)23<(12)23<(12)0=1,log 3π>log 33＝1；∴ c >b >a ． 故选D .4. 已知AB →=(2, 3)，AC →=(3, t)，|BC →|＝1，则AB →⋅BC →=( ) A.−3 B.−2 C.2 D.3【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】由BC →=AC →−AB →先求出BC →的坐标，然后根据|BC →|＝1，可求t ，结合向量数量积定义的坐标表示即可求解． 【解答】∵ AB →=(2, 3)，AC →=(3, t)， ∴ BC →=AC →−AB →=(1, t −3)， ∵ |BC →|＝1，∴ t −3＝0即BC →=(1, 0)， 则AB →⋅BC →=25. 已知函数y ＝lg (x +√x 2+a 2)是定义在R 上的奇函数，且函数g(x)=x 2+a x在(0, +∞)上单调递增，则实数a 的值为（ ） A.−1 B.−2 C.1 D.2【答案】 A【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】根据题意，由偶函数的定义可得lg (x +√x 2+a 2)+lg (−x +√x 2+a 2)＝lg [(x 2+a 2)−x 2]＝lg a 2＝0，解可得a 的值，验证g(x)的单调性即可得答案． 【解答】根据题意，函数y ＝lg (x +√x 2+a 2)是定义在R 上的奇函数，则有lg (x +√x 2+a 2)+lg (−x +√x 2+a 2)＝lg [(x 2+a 2)−x 2]＝lg a 2＝0， 解可得：a ＝±1， 当a ＝1时，g(x)=x 2+1x，在(0, +∞)上不是增函数，不符合题意； 当a ＝−1时，g(x)=x 2+1x=x −1x ，在(0, +∞)上单调递增，符合题意；6. 在△ABC 中，D 为BC 中点，O 为AD 中点，过O 作一直线分别交AB 、AC 于M 、N 两点，若AM →=xAB →,AN →=yAC →(xy ≠0)，则1x +1y =( ) A.3B.2C.4D.14【答案】 C【考点】平面向量的基本定理 【解析】由平面向量基本定理可得：AD →=2λxAB →+2(1−λ)yAC →，又AD →=12AB →+12AC →，即1x =4λ，1y=4(1−λ)，所以1x+1y=4，得解．【解答】因为M ，O ，N 三点共线， 所以AO →=λAM →+(1−λ)AN →， 又AM →=xAB →,AN →=yAC →(xy ≠0)， 所以AO →=λxAB →+(1−λ)yAC →， 又AO →=12AD →，所以AD →=2λxAB →+2(1−λ)yAC →， 又AD →=12AB →+12AC →， 由平面向量基本定理可得： 1x=4λ，1y =4(1−λ)，所以1x +1y =4，7. 函数f(x)＝sin (ωx +φ)(|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 3x 的图象，只需将f(x)的图象（ ）A.向右平移π4个单位长度 B.向左平移π4个单位长度 C.向右平移π12个单位长度D.向左平移π12个单位长度【答案】 C【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】根据图象求出ω 和φ的值，结合三角函数的图象变换关系，进行判断即可． 【解答】由图象知函数的周期T ＝4(5π12−π4)＝4×2π12=2π3，即2πω=2π3，得ω＝3，则f(x)＝sin (3x +φ)， 由f(5π12)＝sin (3×5π12+φ)＝−1，得sin (5π4+φ)＝−1， 即5π4+φ＝2kπ+3π2，得φ＝2kπ+π4，k ∈Z ， ∵ |φ|<π2，∴ 当k ＝0时，φ=π4， 即f(x)＝sin (3x +π4)＝sin 3(x +π12)，为了得到g(x)＝sin 3x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移π12个单位长度，得到y ＝sin 3(x −π12+π12)＝sin 3x ，8. 若非零向量a →，b →满足|a →|＝|b →|，向量2a →+b →与b →垂直，则a →与b →的夹角为（ ）A.150∘B.120∘C.60∘D.30∘【答案】 B【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】利用(2a →+b →)⊥b →⇔(2a →+b →)⋅b →=0，及其数量积运算即可得出． 【解答】设a →与b →的夹角为θ．∵ (2a →+b →)⊥b →，|a →|=|b →|≠0，∴ (2a →+b →)⋅b →=2a →⋅b →+b →2=2|a →||b →|cos θ+|b →|2=|b →|2(2cos θ+1)＝0，∴ cos θ=−12，又θ∈[0∘, 180∘]，∴ θ＝120∘．9. 设A ，B ，C 是半径为1的圆上三点，若AB =√3，则AB →⋅AC →的最大值为（ ） A.3+√3 B.32+√3C.3D.√3【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 数量积表示两个向量的夹角 【解析】先根据余弦定义可求出AB 边所对的圆心角，从而得到角C ，然后根据数量积公式将AB →⋅AC →转化成角B 的三角函数，从而可求出最值． 【解答】∵ A ，B ，C 是半径为1的圆上三点，AB =√3，∴ 根据余弦定理可知AB 边所对的圆心角为120∘则∠C ＝60∘ 根据正弦定理可知AC ＝2sin B∴ AB →⋅AC →=√3×2sin B cos (120∘−B)＝2√3sin B(−12cos B +√32sin B) =−√3sin B cos B +3sin 2B =−√32sin 2B +32(1−cos 2B) =32−√3sin (2B +60∘) 当B ＝60∘时AB →⋅AC →取最大值为32+√310. 已知函数f(x)=ln x4−x ，则（ ）A.y＝f(x)的图象关于点(2, 0)对称B.y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称C.f(x)在(0, 4)上单调递减D.f(x)在(0, 2)上单调递减，在(2, 4)上单调递增【答案】A【考点】奇偶函数图象的对称性【解析】观察函数的特点，求出定义域，在定义域内根据选项代入特殊值判断函数的对称性和单调区间，再进一步证明．【解答】x 4−x >0，则函数定义域为(0, 4)，f(1)＝ln13，f(3)＝ln3，即f(3)＝−f(1)，有关于点(2, 0)对称的可能，进而推测f(x+2)为奇函数，关于原点对称，f(x+2)＝ln x+22−x，定义域为(−2, 2)，奇函数且单调递增，∴f(x)为f(x+2)向右平移两个单位得到，则函数在(0, 4)单调递增，关于点(2, 0)对称，故选：A．11. 已知函数f(x)=a sin x−√3cos x图象的一条对称轴为直线x=5π6，且f(x1)f(x2)=−4，则|x1+x2|的最小值为()A.−π3B.0 C.π3D.2π3【答案】D【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果．【解答】解：函数f(x)=a sin x−√3cos x=√a2+3sin(x+θ)的图象的一条对称轴为直线x=5π6，∴f(5π6)=a2+32=±√a2+3，解得a=1．则f(x)=sin x−√3cos x=2sin(x−π3)，∵f(x1)f(x2)=−4，则f(x1)和f(x2)一个为−2，另一个为2，可设x1=2kπ−π6，x2=2kπ+5π6，则|x1+x2|=|4kπ+2π3|，k∈Z．故当k=0时，|x1+x2|取得最小值为2π3．故选D .12. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，∀x ∈R ，都有f(2−x)＝f(2+x)，且当x ∈[0, 2]时，f(x)＝2x −2，若函数g(x)＝f(x)−log a (x +1)(a >0, a ≠1)在区间(−1, 9]内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.(0, 19)∪(√7, +∞)B.(19,1)∪(1, √3)C.(19, 15)∪(√3, √7) D.(17, 13)∪(√5, 3)【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】由f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(2+x)＝f(2−x)，推出函数f(x)是以4为最小正周期的函数，结合题意画出在区间(−1, 9)内函数f(x)和y ＝log a (x +1)的图象，注意对a 讨论，分a >1，0<a <1，结合图象即可得到a 的取值范围． 【解答】∵ f(x)是定义在R 上的偶函数， ∴ f(2+x)＝f(2−x)＝f(x −2)， 即f(x +4)＝f(x) ∴ f(x +4)＝f(x)，则函数f(x)是以4为最小正周期的函数， ∵ 当x ∈[0, 2]时，f(x)＝2x −2， f(x)是定义在R 上的偶函数，∴ 当x ∈[−2, 0]时，f(x)＝f(−x)＝2−x −1， 结合题意画出函数f(x)在x ∈(−1, 9]上的图象 与函数y ＝log a (x +1)的图象，①若0<a <1，要使f(x)与y ＝log a (x +1)的图象，恰有3个交点， 则{f(4)<g(4)f(8)>g(8) ， 即{−1<log a 5−1>log a 9 ， 解得{a <15a >19即a ∈(19, 15)，②若a >1，要使f(x)与y ＝log a (x +1)的图象，恰有3个交点， 则{f(2)>g(2)f(6)<g(6) ， 即{2>log a 32<log a 7 解得{a >√3a <√7，即a ∈(√3, √7)，综上a 的取值范围是(19, 15)∪(√3, √7)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）已知a →=(3,4)，b →=(t,−6)，且a →，b →共线，则向量a →在b →方向上的投影为________． 【答案】 −5【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】由向量共线及向量数量积的运算得：a →=(3,4)，b →=(t,−6)，且a →，b →共线，所以3×(−6)＝4t ，解得t =−92，则向量a →在b →方向上的投影为|a →|cos θ=a →⋅b →|b →|=3×(−92)+4×(−6)√(−2)+(−6)=−5，得解．【解答】因为a →=(3,4)，b →=(t,−6)，且a →，b →共线， 所以3×(−6)＝4t ， 解得t =−92，则向量a →在b →方向上的投影为|a →|cos θ=a →⋅b →|b →|=3×(−92)+4×(−6)√(−92)+(−6)=−5，已知α∈(0, π)且cos (α−π6)=35．则cos α＝________．【答案】【考点】两角和与差的三角函数 【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin (α−π6) 的值，再利用两角和的余弦公式求得cos α＝cos [(α−π6)+π6]的值． 【解答】已知α∈(0, π)且cos (α−π6)=35，∴ α−π6为锐角，故sin (α−π6)=√1−cos 2(α−π6)=45，则cos α＝cos [(α−π6)+π6]＝cos (α−π6)cos π6−sin (α−π6)sin π6=35⋅√32−45⋅12=3√3−410，如图，已知正方形ABCD 的边长为3，且AE →=2EC →，连接BE 交CD 于F ，则(CA →+2BF →)⋅(13CA →−4BF →)=________【答案】 −69【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】建立坐标系，利用向量的坐标运算以及数量积转化求解即可． 【解答】以B 为坐标原点，建立坐标系如图，正方形ABCD 的边长为3，且AE →=2EC →，连接BE 交CD 于F ，则A(0, 3)，C(3, 0)，D(3, 3)，则E(2, 1)，F(3, 32)，则(CA →+2BF →)=(−3, 3)+2(3, 32) ＝(3, 6)．13CA →−4BF →=13(−3,3)−4(3,32)=(−13, −5)．则(CA →+2BF →)⋅(13CA →−4BF →)=(3, 6)⋅(−13, −5)＝−69．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且a cos C +c cos A ＝b sin B ，A =π6，若点D 是△ABC 外一点，DC ＝2，DA ＝3，则当四边形ABCD 面积最大时，sin D ＝________2√77．【答案】2√77．【考点】 正弦定理 【解析】由已知以及正弦定理可知sin A cos C +sin C cos A ＝sin 2B ，化简可得sin B ＝sin 2B ，结合B 的范围可求B =π2，设BC ＝x ，x >0，可求AC =BC sin A=2x ，AB =BC tan A=√3x ，S △ABC =√32x 2，在△ADC 中，由余弦定理可得x 2=134−3cos D ，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ACD =3√72sin (D −θ)+13√38，其中tan θ=√32，θ∈(0,π2)，由sin (D −θ)＝1，D ∈(0, π)，θ∈(0,π2)，tan θ=√32，可求cos θ，进而根据同角三角函数基本关系式可求sin D 的值． 【解答】由a cos C +c cos A ＝b sin B 以及正弦定理可知，sin A cos C +sin C cos A ＝sin 2B ， 即sin (A +C)＝sin B ＝sin 2B ． 由于：0<B <π，sin B ≠0， 可得：sin B ＝1，B =π2．△ABC 中，由于∠CAB =π6，设BC ＝x ，x >0，则AC =BCsin A =2x ，AB =BCtan A =√3x ，则S △ABC =12AB ⋅BC =√32x 2， 在△ADC 中，由余弦定理可得：AC 2＝AD 2+CD 2−2AD ⋅CD ⋅cos D ， 由于AD ＝3，DC ＝2，则：AC 2＝4x 2＝13−12cos D ，可得：x 2=134−3cos D ，则S △ABC =12AB ⋅BC =√32x 2=13√38−3√32cos D ， 而S △ACD =12AD ⋅CD ⋅sin D ＝3sin D ， 则S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ACD ＝3sin D −3√32cos D +13√38=3√72(2√77sin D −√217cos D)+13√38=3√72sin (D −θ)+13√38，其中tan θ=√32，θ∈(0,π2)，则当sin (D −θ)＝1时，四边形ABCD 的面积有最大值(3√72+13√38)， 由于D ∈(0, π)，θ∈(0,π2)， 则此时D −θ=π2，故D =π2+θ， 则sin D ＝sin (π2+θ)＝cos θ，由于tan θ=√32，θ∈(0,π2)， 则cos θ=√22+(√3)2=2√77． 故四边形ABCD 面积最大时，sin D =2√77． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知函数y ＝f(x)与函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)图象关于y ＝x 对称 (Ⅰ)若当x ∈[0, 2]时，函数f(3−ax)恒有意义，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当a ＝2时，求函数g(x)=f(√x)⋅f(2x)最小值． 【答案】（本大题满分1（1）函数y ＝f(x)与函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)图象关于y ＝x 对称， 可得f(x)＝log a x ，当x ∈[0, 2]时，函数f(3−ax)恒有意义，可得{3−ax >00≤x ≤2，a >0，且a ≠1，可得a <3x ，3x ≥32，所以0<a <1,1<a <32∴ 实数a 的取值范围{a|0<a <1,1<a <32}．(II)f(x)＝log a x ，g(x)＝f(√x)⋅f(2x)=12(1+log 2x)log 2x ， 令log 2x ＝t ，t ∈R ，则y =12t(t +1)=12(t +12)2−18≥−18， 当t =−12时，即x =√22时函数取得最小值． 所以，函数g(x)=f(√x)⋅f(2x)最小值：−18．【考点】函数与方程的综合运用 【解析】(Ⅰ)求出函数f(x)的表达式，通过当x ∈[0, 2]时，函数f(3−ax)恒有意义，列出不等式即可求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当a ＝2时，求化简函数g(x)=f(√x)⋅f(2x)的表达式，利用换元法，结合二次函数的性质求解函数的最小值． 【解答】（本大题满分1（1）函数y ＝f(x)与函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)图象关于y ＝x 对称， 可得f(x)＝log a x ，当x ∈[0, 2]时，函数f(3−ax)恒有意义，可得{3−ax >00≤x ≤2，a >0，且a ≠1，可得a <3x ，3x ≥32，所以0<a <1,1<a <32∴ 实数a 的取值范围{a|0<a <1,1<a <32}．(II)f(x)＝log a x ，g(x)＝f(√x)⋅f(2x)=12(1+log 2x)log 2x ，令log 2x ＝t ，t ∈R ，则y =12t(t +1)=12(t +12)2−18≥−18，当t =−12时，即x =√22时函数取得最小值． 所以，函数g(x)=f(√x)⋅f(2x)最小值：−18．已知△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，且c 2−a 2−b 2=4√33S ． (Ⅰ)若c 2＝5a 2+ab ，求sin Bsin A ；(Ⅱ)若c=√21，S=√3，求a+b的值．【答案】（1）∵c2−a2−b2=4√33S，∴2ab cos C+4√33×12ab sin C＝0，可得cos C+√33sin C＝0，∴tan C=−√3，∵C∈(0, π)，∴C=2π3，∴由余弦定理可得：c2＝a2+b2+ab，又∵c2＝5a2+ab，可得：b2＝4a2，即b＝2a，∴由正弦定理可得：sin Bsin A =ba=2．(II)∵C=2π3，c=√21，∴由余弦定理可得21＝a2+b2+ab，又∵S=√3=12ab sin C=√34ab，∴解得ab＝4，∴21＝a2+b2+ab＝(a+b)2−ab＝(a+b)2−4，∴a+b＝5．【考点】余弦定理【解析】(Ⅰ)由三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan C=−√3，结合范围C∈(0, π)，可求C=2π3，由余弦定理，正弦定理即可解得sin Bsin A的值．(II)由已知利用余弦定理，三角形的面积公式即可解得a+b的值．【解答】（1）∵c2−a2−b2=4√33S，∴2ab cos C+4√33×12ab sin C＝0，可得cos C+√33sin C＝0，∴tan C=−√3，∵C∈(0, π)，∴C=2π3，∴由余弦定理可得：c2＝a2+b2+ab，又∵c2＝5a2+ab，可得：b2＝4a2，即b＝2a，∴由正弦定理可得：sin Bsin A =ba=2．(II)∵C=2π3，c=√21，∴由余弦定理可得21＝a2+b2+ab，又∵S=√3=12ab sin C=√34ab，∴解得ab＝4，∴21＝a2+b2+ab＝(a+b)2−ab＝(a+b)2−4，∴a+b＝5．已知函数f(x)=2cos x(√3sin x+cos x)．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和对称中心坐标；(Ⅱ)讨论f(x)在区间[0,π2]上的单调性．【答案】（1）f(x)=2cos x(√3sin x+cos x)=√3sin2x+2cos2x=√3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π6)+1．∴T=2π2=π，由2x+π6=kπ，得x=−π12+kπ2，k∈Z．∴f(x)的对称中心为(−π12+kπ2, 1)，k∈Z；（2）由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z．解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z．由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z．解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z．取k＝0，可得f(x)在区间[0,π2]上的增区间为[0, π6]，减区间为(π6, π2]．【考点】三角函数的周期性及其求法正弦函数的单调性【解析】(Ⅰ)利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由周期公式直接求得周期，由2x+π6= kπ求得x值，可得对称中心坐标；(Ⅱ)直接利用复合函数的单调性求f(x)在区间[0,π2]上的单调区间．【解答】（1）f(x)=2cos x(√3sin x+cos x)=√3sin2x+2cos2x=√3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π6)+1．∴T=2π2=π，由2x+π6=kπ，得x=−π12+kπ2，k∈Z．∴f(x)的对称中心为(−π12+kπ2, 1)，k∈Z；（2）由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z．解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z．由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z．解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z．取k＝0，可得f(x)在区间[0,π2]上的增区间为[0, π6]，减区间为(π6, π2]．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A+C2=b sin A．(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．【答案】解：(1)由题设及正弦定理得，sin A sin A+C2=sin B sin A,因为sin A≠0，所以sin A+C2=sin B,由A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2，因为cos B2≠0，故sin B2=12，因此B=60∘；(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=√34a，由正弦定理得，a=c sin Asin C =sin(120∘−C)sin C=√32tan C+12，由于△ABC为锐角三角形，故0∘<A<90∘，0∘<C<90∘，由(1)知A+C=120∘,所以30∘<C<90∘，故12<a<2，从而√38<S△ABC<√32，因此，△ABC的面积的取值范围是(√38, √32).【考点】二倍角的正弦公式诱导公式三角形的面积公式解三角形正弦定理【解析】（1）运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；（2）运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2−a+1>1且1+a2−a+1>a2，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．【解答】解：(1)由题设及正弦定理得，sin A sin A+C2=sin B sin A,因为sin A≠0，所以sin A+C2=sin B,由A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2，因为cos B2≠0，故sin B2=12，因此B=60∘；(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=√34a，由正弦定理得，a=c sin Asin C =sin(120∘−C)sin C=√32tan C+12，由于△ABC为锐角三角形，故0∘<A<90∘，0∘<C<90∘，由(1)知A+C=120∘,所以30∘<C<90∘，故12<a<2，从而√38<S△ABC<√32，因此，△ABC的面积的取值范围是(√38, √32).已知函数f(x)＝x−2sin x．(1)求函数f(x)在[−π3,π3]上的最值；(2)若存在x∈(0,π2)，使得不等式f(x)<ax成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)解：∵f(x)＝x−2sin x⇒f′(x)＝1−2cos x≤0，∴f(x)在[−π3,π3]上单调递减.当x=−π3时，最大值为f(−π3)=√3−π3；当x=π3时，最小值为f(π3)=−√3+π3.(2)解：令g(x)＝2sin x−(1−a)x，∴g′(x)＝2cos x−(1−a).①a≤−1时，g′(x)<0，g(x)在(0,π2)递减，g(x)<g(0)＝0，不成立；②a≥1时，g′(x)>0，g(x)在(0, π2)递增，g(x)>g(0)＝0，恒成立；③−1<a<1时，存在x0∈(0,π2),g(x0)=0，在(0, x0)递增，(x0,π2)递减，g(x)>g(0)＝0，恒成立.综上可得，实数a的取值范围为(−1, +∞)．【考点】利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)求出导函数，得出极值点，根据极值点求出闭区间的函数的最值；(Ⅱ)不等式整理得出2sin x−(1−a)x>0，构造新函数，根据导函数进行分类讨论，即最大值大于0即可．【解答】（1）∵f(x)＝x−2sin x⇒f′(x)＝1−2cos x≤0，∴f(x)在[−π3,π3]上单调递减，当x=−π3时，最大值为f(−π3)=√3−π3；当x=π3时，最小值为f(π3)=−√3+π3；（2）解：令g(x)＝2sin x−(1−a)x，∴g′(x)＝2cos x−(1−a).①a≤−1时，g′(x)<0，g(x)在(0,π2)递减，g(x)<g(0)＝0，不成立；②a≥1时，g′(x)>0，g(x)在(0, π2)递增，g(x)>g(0)＝0，恒成立；③−1<a<1时，存在x0∈(0,π2),g(x0)=0，在(0, x0)递增，(x0,π2)递减，g(x)>g(0)＝0，恒成立.综上可得，实数a的取值范围为(−1, +∞)．已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝a(x−1)．(Ⅰ)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的值；(Ⅱ)存在x1，x2∈(0, +∞)，且x1≠x2，f(x1)＝f(x2)，求证：f′(√x1⋅x2)<0．【答案】（1）f(x)≥g(x)即x ln x≥a(x−1)⇔ln x+ax−a≥0；令ℎ(x)=ln x +ax −a ，则ℎ(x)=x−a x，①当a ≤0时，ℎ′(x)>0且ℎ(1)＝0，则x ∈(0, 1)时，ℎ(x)<0，不符合题意，舍去． ②当a >0时，ℎ′(x)＝0，x ＝a ，且ℎ(x)在(0, a)上单调递减，在(a, +∞)上单调递增， 所以，ℎ(x)在x ＝a 处取极小值也是最小值，即ℎ(x)min ＝ℎ(a)＝ln a +a −1， 令F(x)=ln x +x −1,F ′(x)=1−x x，可得F(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减；所以F(x)max ＝F(1)＝0，故F(x)≤0，当x ＝1时取等号，所以a ＝1． (II)因为f′(x)＝1+ln x ，所以f(x)(0,1e),(1e ,+∞)，且f(1)＝0，因为f(x 1)＝f(x 2)，所以0<x 1<1e <x 2<1 令f(x 1)＝f(x 2)＝k ，即x 1ln x 1＝k ，x 2ln x 2＝k ， 所以x 2x 1=ln x 1ln x 2 (∗)要证f ′(√x 1⋅x 2)<0成立，只需证：x 1⋅x 2<1e 2⇔ln x 1+ln x 2<−2 由(∗)可知：即证lnx 2x 1>2x 2x 1−1x 2x 1+1令x2x 1=t ，即证：ln t >2t−1t+1(t >1)令ℎ(t)=ln t −2t−1t+1(t >1)，则ℎ(t)=(t−1)2t(t+1)>0所以，ℎ(t)>ℎ(1)＝0，即有ln t >2t−1t+1(t >1)所以，ln x 1+ln x 2<−2 所以，f ′(√x 1⋅x 2)<0． 【考点】利用导数研究函数的最值 【解析】（1）构造新函数ℎ(x)＝f(x)−g(x)，则条件等价于求ℎ(x)取最小值时a 的值；（2）先求出f(x)的导数，然后将结论变形为ln x 1+ln x 2<−2，再利用转化思想，解决问题 【解答】（1）f(x)≥g(x)即x ln x ≥a(x −1)⇔ln x +ax −a ≥0； 令ℎ(x)=ln x +ax −a ，则ℎ(x)=x−a x，①当a ≤0时，ℎ′(x)>0且ℎ(1)＝0，则x ∈(0, 1)时，ℎ(x)<0，不符合题意，舍去． ②当a >0时，ℎ′(x)＝0，x ＝a ，且ℎ(x)在(0, a)上单调递减，在(a, +∞)上单调递增， 所以，ℎ(x)在x ＝a 处取极小值也是最小值，即ℎ(x)min ＝ℎ(a)＝ln a +a −1， 令F(x)=ln x +x −1,F ′(x)=1−x x，可得F(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减；所以F(x)max ＝F(1)＝0，故F(x)≤0，当x ＝1时取等号，所以a ＝1．(II)因为f′(x)＝1+ln x ，所以f(x)(0,1e),(1e ,+∞)，且f(1)＝0，因为f(x 1)＝f(x 2)，所以0<x 1<1e <x 2<1 令f(x 1)＝f(x 2)＝k ，即x 1ln x 1＝k ，x 2ln x 2＝k ， 所以 x 2x 1=ln x1ln x 2 (∗)要证f ′(√x 1⋅x 2)<0成立，只需证：x 1⋅x 2<1e 2⇔ln x 1+ln x 2<−2 由(∗)可知：即证ln x 2x 1>2x 2x 1−1x 2x 1+1令x 2x 1=t ，即证：ln t >2t−1t+1(t >1)令ℎ(t)=ln t −2t−1t+1(t >1)，则ℎ(t)=(t−1)2t(t+1)>0所以，ℎ(t)>ℎ(1)＝0，即有ln t >2t−1t+1(t >1)所以，ln x 1+ln x 2<−2 所以，f ′(√x 1⋅x 2)<0．。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考数学(理)试题含答案解析
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）A. B. C. D.2.设S n为等比数列{a n}的前n项和，若8a2+a5=0，则等于（）A. 11B.C.D. 53.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是（）A. B. C. D.4.已知，则=（）A. B. C. D.5.函数f（x）=ln（x2-4x+3）的单调递增区间是（）A. B. C. D.6.记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A. B. C. 10 D. 127.已知x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A. B. C. D.8.已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=-8，则a1+a10=（）A. 7B. 5C.D.9.将函数y=sin（2x-）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=，x∈R，若对任意θ∈（0，]，都有f（m sinθ）+f（1-m）＞0成立，则实数m的取值范围（）A. B. C. D.11.已知函数f（x）=x lnx-ae x（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知函数，g（x）=x3-x2，若对，∈，，都有f（x1）-g（x2）≥0，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}满足，，则a2019=______14.若数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n+1，则a n=______．15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b=______．16.已知函数f（x）=2cos x+sin2x，则f（x）的最小值是______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=3，求△ABC的面积．18.已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．19.设数列{a n}的前n项和为S n，点，∈均在函数y=x+2的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n是数列{b n}的前n项和，求使得＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，，其离心率为，设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线l与圆x2+y2=相切，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）；（Ⅲ）以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点Q在椭圆C上，且满足（O为坐标原点），求实数λ的取值范围．21.已知函数f（x）=ax-ln x（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个零点，x1，x2，证明+＞2．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=-4cosθ．（1）求圆C的圆心到直线l的距离；（2）已知P（1，0），若直线l与圆C交于A，B两点，求的值．23.已知函数f（x）=|x-2|+2，g（x）=m|x|（m∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＞5；（2）若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A B，由此能求出结果．本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2.【答案】B【解析】解：设公比为q，由8a2+a5=0，得8a2+a2q3=0，q3=-8，解得q=-2，所以=═-11，故选：B．设公比为q，由8a2+a5=0可求得q值，利用前n项和公式表示出S2，S5即可求得的值．本题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式，考查学生的计算能力，属中档题．3.【答案】D【解析】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；函数y=2x的定义域为R，值域为（0，+∞），不满足要求；函数y=的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；故选：D．分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键．4.【答案】C【解析】解：∵，∴cos（2α-）=，∴cos[2（α-）]=，∴2cos2（α-）-1=，∴cos2（α-）=故选：C．首先，结合诱导公式，然后，根据二倍角公式求解即可．本题重点考查了二倍角的余弦公式、诱导公式等知识，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：令t=x2-4x+3=（x-1）（x-3）=（x-2）2-1＞0，求得x＜1，或x＞3，故函数的定义域为{x|x＜1，或x＞3 }，f（x）=g（t）=lnt，故本题即求函数g（t）在定义域上的增区间．再利用二次函数的性质可得g（t）在定义域上的增区间为（3，+∞），故选：D．令t=x2-4x+3＞0，求得函数的定义域，再由f（x）=lnt，可得本题即求函数t在定义域上的增区间，再利用二次函数的性质可得t在定义域上的增区间．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，∴=a1+a1+d+4a1+d，把a1=2，代入得d=-3∴a5=2+4×（-3）=-10．故选：B．利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，能求出a5的值．本题考查等差数列的第五项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.【答案】B【解析】解：∵x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，∴sin（2×+φ）=1，∴2×+φ=2kπ+，解得φ=2kπ-，k∈Z，不妨取φ=-，此时f（x）=sin（2x-）令2kπ+＜2x-＜2kπ+可得kπ+＜x＜kπ+，∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，），故选：B．由极值点可得φ=-，解2kπ+＜2x-＜2kπ+可得函数f（x）的单调递减区间，结合选项可得．本题考查正弦函数的图象和单调性，数形结合是解决问题的关键，属基础题．8.【答案】D【解析】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=-8∴a4=4，a7=-2或a4=-2，a7=4当a4=4，a7=-2时，，∴a1=-8，a10=1，∴a1+a10=-7当a4=-2，a7=4时，q3=-2，则a10=-8，a1=1∴a1+a10=-7综上可得，a1+a10=-7故选：D．由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=-8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．9.【答案】A【解析】解：将函数y=sin（2x-）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为y=sin[2（x+）-]=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈z，求得x=+，故函数的一条对称轴的方程是x=，故选：A．根据本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin（2x+），再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴的方程．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：∵f（x）=，∴f（-x）==-=-f（x），则函数f（x）为奇函数，且函数f（x）在（-∞，+∞）是为增函数，由f（msinθ）+f（1-m）＞0得f（msinθ）＞-f（1-m）=f（m-1），则msinθ＞m-1，即（1-sinθ）m＜1，当θ=时，sinθ=1，此时不等式等价为0＜1成立，当θ∈（0，），0＜sinθ＜1，∴m＜，∵0＜sinθ＜1，∴-1＜-sinθ＜0，0＜1-sinθ＜1，则＞1，则m≤1，故选：D．根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．11.【答案】A【解析】解：f′（x）=lnx-ae x+1，若函数f（x）=xlnx-ae x有两个极值点，则y=a和g（x）=在（0，+∞）有2个交点，g′（x）=，（x＞0），令h（x）=-lnx-1，则h′（x）=--＜0，h（x）在（0，+∞）递减，而h（1）=0，故x∈（0，1）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）递增，x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）递减，故g（x）max=g（1）=，而x→0时，g（x）→-∞，x→+∞时，g（x）→0，若y=a和g（x）在（0，+∞）有2个交点，只需0＜a＜，故选：A．求出函数的导数，问题转化为y=a和g（x）=在（0，+∞）2个交点，根据函数的单调性求出g （x）的范围，从而求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．12.【答案】C【解析】解：由题意，f（x）在[]上的最小值不小于g（x）在[]上的最大值，g′（x）=3x2-2x=3x（x-），可知，在（为正，，g（2）=4，即g（x）在[]上的最大值为4，∴≥4，在[]上恒成立，得a≥x-x2lnx在[]上恒成立，令h（x）=x-x2lnx，，则h′（x）=1-2xlnx-x，令p（x）=1-2xlnx-x，则p′（x）=-3-2lnx，可知，∴h′（x）在[]上递减，而h′（1）=0，∴，在（1，2]为负，∴h（x）在[]递增，在[1，2]递减，∴h（x）在[]上的最大值为h（1）=1，∴a≥1，故选：C．由题意知f（x）的最小值大于或等于g（x）的最大值，首先找到g（x）的最大值，而后结合f（x）得到关于a的不等式恒成立的问题，再引进新的函数，利用导数寻求最值，最终得解．此题考查了不等式恒成立，导数的综合应用，综合性强，难度较大．13.【答案】-1【解析】解：数列{a n}满足，，a2==2，a3==-1，a4==，所以数列的周期为：3，a2019=a672×3+3=a3=-1．故答案为：-1．利用数列的递推关系式求出数列的周期，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．14.【答案】-2n-1【解析】解：∵S n=2a n+1，∴当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=-1．当n≥2时，a n=S n-S n-1=2a n+1-（2a n-1+1），化为a n=2a n-1，∴数列{a n}是等比数列，首项为-1．公比为2．∴a n=-2n-1．故答案为：-2n-1．利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．本题考查了递推关系与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】【解析】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：函数f（x）=2cosx+sin2x=2cosx+2sinxcosx；显然cosx＜0，sinx＞0，值才最小；由f′（x）=-2sinx+2cos2x=-2sinx+2-4sin2x．令f′（x）=0，可得：sinx=或sinx=-1．当sinx=-1，可得cosx=0；当sinx=，cosx=∴sinx=，cosx=时，函数f（x）取得最小值为-．故答案为：-利用导函数研究其单调性，即可求解最小值．本题考查的知识要点三角函数关系式的恒等式变换，导函数单调性最值的求法，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17.【答案】解：（1）△ABC中，∵，∴=，∴ac+c2=b2-a2，∴c2+a2-b2=-ac，∴cos B==-=-，∴B=；（2）∵b=，a+c=3，∴b2=a2+c2-2ac cos B=a2+c2-2ac cos=（a+c）2-ac=9-ac=8，∴ac=1；∴△ABC的面积为S=ac sin=×1×=．【解析】（1）根据正弦定理化，再根据余弦定理求出B的值；（2）利用余弦定理求出ac的值，再求△ABC的面积．本题考查了正弦、余弦定理和三角形面积公式的应用问题，是基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）==．∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，∴，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．∵，∴，∴．∴，即f（x）的取值范围为，．【解析】（Ⅰ）先根据倍角公式和两角和公式，对函数进行化简，再利用T=，进而求得ω（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性进而求得函数f（x）的范围．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象，三角函数式恒等变形，三角函数的值域．公式的记忆，范围的确定，符号的确定是容易出错的地方．19.【答案】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，点，∈均在函数y=x+2的图象上．∴，∴ ，①n≥2，a n=S n-S n-1=2n+1；②n=1，a1=3，适合上式，∴a n=2n+1，（2），∴＜，∴∴，∵m∈Z，∴m min=4．【解析】（1）通过点在直线上，利用a n=S n-S n-1转化求解通项公式即可．（2）化简通项公式，利用裂项消项法求解数列的和，然后列出不等式求解即可．本题考查数列求和，数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】解：（Ⅰ）∵离心率，，∴a2=2b2，从而椭圆方程为，将点，的坐标代入上式，得b2=1，a2=2，∴椭圆C方程为．（Ⅱ）因为直线l与圆相切，所以，即3m2-2k2-2=0．由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，从而y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==，所以===0，故OA⊥OB．（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，由向量加法的平行四边形法则，得，∵，∴，（i）当m=0时，直线l：y=kx+m过原点，点A与B关于原点对称，不合题意．（ii）当m≠0时，点A，B不关于原点对称，则λ≠0，设Q（x0，y0），则（x1，y1）+（x2，y2）=λ（x0，y0），得，从而．∵点Q在椭圆上，将Q的坐标代入椭圆方程中，得，化简得4m2=λ2（1+2k2）．…①又△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=8（1+2k2-m2），由△＞0，得1+2k2＞m2．…②由①、②得4m2＞λ2m2，∵m≠0，∴0＜λ2＜4．…④因此，实数λ的取值范围是-2＜λ＜0，或0＜λ＜2．【解析】对第（1）问，由离心率及a2=b2+c2，得a与b的关系式，再将点M的坐标代入椭圆方程中，求解关于a，b的二元二次方程组，即得a2，b2，从而得椭圆的标准方程．对第（Ⅱ）问，根据圆心到直线的距离等于圆的半径，得k与m的等量关系，要证明OA⊥OB，只需证明即可，从而将数量积转化为坐标运算，联立直线l与椭圆方程，利用韦达定理消去坐标，得到关于k，m的代数式，再利用前面k与m的等量关系即可达到目的．对第（Ⅲ）问，当m=0时，容易验证不合题意．当m≠0时，设点Q（x0，y0），将坐标化，得到x0，y0的表达式，代入椭圆方程中，得λ与m的等量关系，再由第（Ⅱ）问中k与m的等量关系，得不等关系，又由△＞0，得λ与m的不等关系，联立两不等关系式可得m的取值范围．1．本题考查了椭圆标准的求法，直线与圆的相切关系，直线与椭圆相交的综合问题等，关键是熟练运用各种常见的转换关系，如（1）OA⊥OB⇔⇔⇔x1x2+y1y2=0．（2）直线与圆相切问题的转化：①圆心到直线的距离等于圆的半径；②联立直线与圆的方程，消去x或y，得到一个关于y或x的一元二次方程，此时△=0．2．求椭圆方程时，应设法建立关于a，b的两个方程，再解方程组．3．对于向量与圆锥曲线的综合问题，既要联想到向量的几何特征，又要想到其代数特征．4．对于参数范围的求解，常通过判别式△，椭圆的范围，离心率或等式本身的隐含条件中寻找不等关系．21.【答案】解：（1）f′（x）=a-=（x＞0），①当a≤0时，由于x＞0，故ax-1＜0，f'（x）＜0，所以，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），②当a＞0时，由f'（x）=0，得x=，在区间（0，）上，f'（x）＜0，在区间（，+∞）上，f'（x）＞0．所以，函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞），综上，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）．（2）函数f（x）有两个零点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2，则ln x1-ax1=0，ln x2-ax2=0，ln x2-ln x1=a（x2-x1），要证：+＞2，只需证：+＞2a，只需证：＞a，只需证：＞，只需证：＞ln，只需证：ln＜（-），令t=＞1，即证ln t＜（t-），设φ（t）=ln t-（t-），则φ′（t）=＜0，即函数φ（t）在（1，+∞）单调递减，则φ（t）＜φ（1）=0，即得+＞2．【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）表示出a，要证：+＞2，只需证：ln＜（-），令t=＞1，即证lnt＜（t-），设φ（t）=lnt-（t-），根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，是一道综合题．22.【答案】解：（1）由直线l的参数方程为为参数消去参数t，可得：．圆C的极坐标方程为ρ=-4cosθ，即ρ2=-4ρcosθ．∴圆C的普通坐标方程为x2+y2+4x=0．则圆心C（-2，0）．∴圆心C（-2，0）到直线l的距离；（2）已知P（1，0），点P在直线l上，直线l与圆C交于A，B两点，将为参数代入圆C的普通坐标方程x2+y2+4x=0得：．设A，B对应参数为t1，t2，则，t1t2=5．∵t1t2＞0，t1，t2是同号．∴．【解析】（1）由直线l的参数方程为消去参数t即可得到普通方程；把圆C的极坐标方程两边同时乘以ρ，利用转化公式可得圆C的直角坐标方程，求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式求圆C的圆心到直线l的距离；（2）将代入圆C的普通坐标方程x2+y2+4x=0得：，再由根与系数的关系结合参数t的几何意义求解．本题考查参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】解：（1）由f（x）＞5，得|x-2|＞3，即x-2＜-3或x-2＞3，∴x＜-1或x＞5．故原不等式的解集为{x；x＜-1或x＞5}．（5分）（2）由f（x）≥g（x）得|x-2|≥m|x|-2对任意x∈R恒成立，当x=0时，不等式|x-2|≥m|x|-2成立，当x≠0时，问题等价于m≤对任意非零实数恒成立，∵≥∴m≤1，即m的取值范围是（-∞，1]．（10分）【解析】（1）由f（x）＞5，得|x-2|＞3，即x-2＜-3或x-2＞3，即可；（2）可得|x-2|≥m|x|-2对任意x∈R恒成立，当x=0时，不等式|x-2|≥m|x|-2成立，当x≠0时，由≥，可得m≤1．本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想与综合运算能力，属于中档题．。
黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019届高三数学9月月考试题 文
A．3B．2C．1D．0
10．已知定义在 上的函数 的图像关于 对称，且当 时， 单调递减，若 则 的大小关系是（）
A． B． C． D．
11．已知 且 ，又 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
12．已知函数 ， ，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为( )
20．己知 分别为 三个内角A，B，C的对边，且 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，且 的面积为 ，求a的值．
21．如图，菱形ABCD的边长为6， ， ，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点， ．
（1）求证： 平面 ．
（2）求证：平面 平面 .
（3）求三棱锥 的体积．
其中恰为一男一女的包括，{A,a}{A,b}{B,a}{B,b}{C,a}{C,b}{D,a}{D,b}{E,a}{E,b},
共10种.因此所求概率为 .
20．（12分）（Ⅰ）由正弦定理得， ，∵ ，∴ ，即 ．∵ ∴ ，∴ ∴ ．
（Ⅱ）由： 可得 ．∴ ，∵ ，∴由余弦定理得： ，∴ .
21．（12分）（ ）证明：∵点 是菱形 的对角线交点，∴ 是 的中点，又∵点 是棱 的中点，∴ 是 的中位线， ，∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
A． B． C． D．
4．已知 ,则p是 的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5． 是定义在R上的奇函数，对任意 总有 ，则 的值为（）
A．0B．3C． D．
6．已知 ，则 =( )
A． B． C． D．
7．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内正多边形的边数无限增多时，正多边形的面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出n的值为( )
2019届黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校(哈师附中分部)高三9月月考物理试题(解析版)
2019届黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高三9月月考物理试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本题包括14小题,共计48分。
每小题给出的四个选项中，1-8题只有一个选项正确，每题3分。
9-14题有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
）1.长为的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球A，为使细绳在竖直方向夹30°角且绷紧，小球A处于静止，对小球施加的最小的力等于( )A. B. C. . D.【答案】C【解析】以小球为研究对象，作出受力图如图所示：根据作图法分析得到，当小球施加的力F与细绳垂直时，所用的力最小．根据平衡条件得F的最小值为F min=Gsin30°=0.5mg所以对小球施加的最小力0.5mg，故C正确，ABD错误。
2.为了探究匀变速直线运动，某同学将一小球以一定的初速度射入一粗糙的水平面，如图中的A、B、C、D 为每隔1 s记录的小球所在的位置，AB、BC、CD依次为第1 s、第2 s、第3 s小球通过的位移，经测量可知AB＝8.0 m、CD＝0.5 m。
2019届黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校9高三12月月考数学(理)试题
2019届黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高三12月月考数学（理）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
一、选择题（每小题5分，共计60分）1、若集合{{}2|,|2,M x y N y y x x R ====-∈,则MN = （ ）A.[0,)+∞B.[2,)-+∞C.∅D.[2,0)- 2.如图，执行程序框图后，输出的结果为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．323.复数21ia bi i=+-（i 是虚数单位，a 、b R ∈），则（ ） A ．1a =，1b = B ．1a =-，1b =- C ．1a =-， 1b = D ．1a =，1b =- 4.已知(1,2)a =-，(2,)b m =，若a b ⊥，则||b =（ ）A ．12B ．1CD 5.下面四个条件中，使a>b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a>b ＋1B ．a>b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 36.已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－27. 某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（ ）A ．219cm π+B ．2224cm π+C ．2104cm π++D ．2134cm π+8.已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A ．B ．3C ．D ．9.若函数()()22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线12x π=对称，且当12172123x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，，12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +等于（ ）AB D 10.双曲线mx 2﹣y 2=1（m ＞0）的右顶点为A ，若该双曲线右支上存在两点B ，C 使得△ABC 为等腰直角三角形，则实数m 的值可能为（ ）A ．B ．1C ．2D ．311.已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0，12B. ⎝⎛⎭⎫12，1 C. (1，2) D. (2，＋∞)12．设函数())(2R a a x e x f x ∈-+=，e 为自然对数的底数，若曲线x y sin =上存在点()00,y x ，使得()()00y y f f =，则a 的取值范围是（ ）A 、[]e e ++--1,11 B 、[]e +1,1 C 、[]1,+e e D 、[]e ,1 二、填空题（每小题5分，共计20分）13.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的体积是 cm 3．14.若直线l 1：2x －5y ＋20＝0，l 2：mx －2y －10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为__________。
2019届黑龙江省哈尔滨市高三上学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析
2019届黑龙江省哈尔滨市高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一.选择题1．已知集合M={x|+=1}，N={y|+=1}，M∩N=（）A．∅B．{（3，0），（2，0）} C．{t|﹣3≤t≤3} D．{3，2}2．若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则在复平面内，z的共轭复数的实部与虚部的积为（）A．B．C．D．3．下列叙述中，正确的个数是（）①命题p：“∃x∈[2，+∞），x2﹣2≥0”的否定形式为￢p：“∀x∈（﹣∞，2），x2﹣2＜0”；②O是△ABC所在平面上一点，若•=•=•，则O是△ABC的垂心；③在△ABC中，A＜B是cos2A＞cos2B的充要条件；④函数y=sin（2x+）sin（2x）的最小正周期是π．A．1 B．2 C．3 D．44．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A≠0）满足f（x+a）=f（a﹣x），则f（a+）=（）A．A B．﹣A C．0 D．不确定5．已知函数f（x）=cos（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）的最小正周期为π，且f（﹣x）+f（x）=0，若tanα=2，则f（α）等于（）A．B．C．D．6．若向量，的夹角为，且|=2，||=1，则向量与向量+2的夹角为（）A． B．C．D．7．等差数列{an }的前n项和为Sn，已知a5=8，S3=6，则a9=（）A．8 B．12 C．16 D．248．已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f（log 3），c=f（21.6），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c9．在△ABC中，•=7，|﹣|=6，则△ABC面积的最大值为（）A．24 B．16 C．12 D．810．定义在（0，）上的函数f（x），其导函数是f′（x），且恒有f（x）＜f′（x）•tanx成立，则（）A．f（）＞f（）B．f（）f（）C． f（）＞f（）D． f（）＜f（）11．函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对定义域内的任意x ，均有f （f （x ）﹣lnx ﹣x 3）=2，则f （e ）=（ ）A ．e 3+1B ．e 3+2C ．e 3+e+1D ．e 3+e+212．已知lna ﹣ln3=lnc ，bd=﹣3，则（a ﹣b ）2+（d ﹣c ）2的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置13．己知数列{a n }的前n 项和满足S n =2n+1﹣1，则a n = ．14．如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，点P 是MD 的中点．若||=2，||=1，且∠BAD=60°，则•= ．15．在△ABC 中，E 为AC 上一点，且=4，P 为BE 上一点，且满足=m +n （m ＞0，n ＞0），则取最小值时，向量=（m ，n ）的模为 ．16．在△ABC 中，2sin 2=sinA ，sin （B ﹣C ）=2cosBsinC ，则= ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．已知函数f （x ）=|2x ﹣a|+a ．（1）当a=2时，求不等式f （x ）≤6的解集；（2）设函数g （x ）=|2x ﹣1|，当x ∈R 时，f （x ）+g （x ）≥3，求a 的取值范围．18．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．19．在△ABC中，2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（1）求cosA的值；（2）若a=4，b=5，求在方向上的投影．20．已知函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将y=f（x）的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=g（x）的图象；若函数y=g（x）在区间上的图象与直线y=a有三个交点，求实数a 的取值范围．21．已知函数f（x）=alnx++1．（Ⅰ）当a=﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．22．已知函数f（x）=lnx﹣，曲线y=f（x）在点（，f（））处的切线平行于直线y=10x+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设直线l为函数y=lnx图象上任意一点A（x0，y）处的切线，在区间（1，+∞）上是否存在x，使得直线l与曲线y=e x也相切？若存在，满足条件的x有几个？2019届黑龙江省哈尔滨市高三上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题1．已知集合M={x|+=1}，N={y|+=1}，M∩N=（）A．∅B．{（3，0），（2，0）} C．{t|﹣3≤t≤3} D．{3，2}【考点】交集及其运算．【分析】根据描述法表示集合，判断集合M与集合N的元素，再进行交集运算即可．【解答】解：对集合M，∵x2=9﹣≤9，∴M=[﹣3，3]，对集合N，y=2﹣∈R，∴N=R．∴M∩N=[﹣3，3]．故选C2．若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则在复平面内，z的共轭复数的实部与虚部的积为（）A．B．C．D．【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：（1+i）z=2﹣i，∴（1﹣i）（1+i）z=（2﹣i）（1﹣i），∴2z=1﹣3i，∴z=﹣i，=+i，则在复平面内，z的共轭复数的实部与虚部的积==．故选：A．3．下列叙述中，正确的个数是（）①命题p：“∃x∈[2，+∞），x2﹣2≥0”的否定形式为￢p：“∀x∈（﹣∞，2），x2﹣2＜0”；②O是△ABC所在平面上一点，若•=•=•，则O是△ABC的垂心；③在△ABC中，A＜B是cos2A＞cos2B的充要条件；④函数y=sin（2x+）sin（2x）的最小正周期是π．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】求出命题p的否定形式可判断①，由已知条件得到OB⊥AC，同理可得O是△ABC三条高线的交点可判断②，由二倍角公式和正弦定理可判断③，直接求出函数y=sin（2x+）sin（2x）的最小正周期可判断④．【解答】解：对于①，命题p：“∃x∈[2，+∞），x2﹣2≥0”的否定形式为￢p：“∀x∈[2，+∞），x2﹣2＜0”，故①错误；对于②，由•=•，得到，又，得，可得OB⊥AC，因此，点O在AC边上的高BE上，同理可得：O点在BC边上的高AF和AB边上的高CD上，即点O是△ABC三条高线的交点，因此，点O是△ABC的垂心，故②正确；对于③，在△ABC中，cos2A＞cos2B⇔1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B⇔sin2A＜sin2B⇔sinA＜sinB⇔a＜b⇔A＜B，∴“A＜B”是“cos2A＞cos2B”的充要条件，故③正确；对于④，y=sin（2x+）sin（2x）=，∴T==，故④错误．∴正确的个数是：2．故选：B．4．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A≠0）满足f（x+a）=f（a﹣x），则f（a+）=（）A．A B．﹣A C．0 D．不确定【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意求出函数的对称轴，函数的周期，利用正弦函数的基本性质即可求出f（a+）的值．【解答】解：函数f（x）=Asin（2x+φ）（A≠0）满足f（x+a）=f（a﹣x），∴函数关于x=a对称，x=a时函数取得最值，∴2a+φ=kπ+，k∈Z，∴f（a+）=Asin（2a++φ）=Acos（2a+φ）=Acos（kπ+）=0．故选：C．5．已知函数f（x）=cos（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）的最小正周期为π，且f（﹣x）+f（x）=0，若tanα=2，则f（α）等于（）A．B．C．D．【考点】三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性．【分析】依题意，可求得θ=，f（x）=cos（2x+）=﹣sin2x．tanα=2⇒f（α）=﹣sin2α=，从而可得答案．【解答】解：由=π得：ω=2，又f（﹣x）+f（x）=0，∴f（x）=cos（2x+θ）为奇函数，∴θ=k π+，而0＜θ＜π，∴θ=，∴f （x ）=cos （2x+）=﹣sin2x ， ∵tan α=2，∴f （α）=﹣sin2α===，故选：B ．6．若向量，的夹角为，且|=2，||=1，则向量与向量+2的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】先计算，||，再利用夹角公式cos α=，可得结论．【解答】解：设向量与向量的夹角等于α∵向量，的夹角为，且，，∴==4+2×2×1×cos =6，||===∴cos α===∵α∈[0，π]∴α= 故选D ．7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5=8，S 3=6，则a 9=（ ）A ．8B ．12C ．16D ．24【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和．【分析】由给出的等差数列的第5项和前3项和代入通项公式及前n 项和公式求等差数列的首项和公差，然后直接运用通项公式求a 9．【解答】解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则，解得：a 1=0，d=2，所以a 9=a 1+8d=0+8×2=16．故选C ．8．已知f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f （log 47），b=f （log3），c=f （21.6），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用对数和指数幂的运算性质，结合函数单调性和奇偶性的性质是解决本题的关键．【解答】解：∵f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∴b=f （log 3）=b=f （﹣log 23）=f （log 23），∵log 23=log 49＞log 47，21.6＞2，∴log 47＜log 49＜21.6，∵在（﹣∞，0]上是增函数，∴在[0，+∞）上为减函数，则f （log 47）＞f （log 49）＞f （21.6），即c ＜b ＜a ，故选：B9．在△ABC 中， •=7，|﹣|=6，则△ABC 面积的最大值为（ ）A ．24B ．16C ．12D ．8【考点】平面向量的综合题．【分析】设A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，由•=7，|﹣|=6，得bccosA=7，a=6①，由余弦定理可得b 2+c 2﹣2bccosA=36②，联立①②可得b 2+c 2=50，由不等式可得bc ≤25，即可求出△ABC 面积的最大值．【解答】解：设A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，由•=7，|﹣|=6，得bccosA=7，a=6①，S △ABC =bcsinA=bc =bc =，由余弦定理可得b 2+c 2﹣2bccosA=36②，由①②消掉cosA 得b 2+c 2=50，所以b 2+c 2≥2bc ，所以bc ≤25，当且仅当b=c=5时取等号，所以S △ABC =≤12，故△ABC 的面积的最大值为12，故选：C ．10．定义在（0，）上的函数f （x ），其导函数是f ′（x ），且恒有f （x ）＜f ′（x ）•tanx 成立，则（ ）A ．f （）＞f （） B ．f （）f （） C ． f （）＞f （） D ． f （）＜f （）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】把给出的等式变形得到f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g（x）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则g（）＜g（），整理后即可得到答案．【解答】解：因为x∈（0，），所以sinx＞0，cosx＞0．由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx．即f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0．令g（x）=，x∈（0，），则g′（x）=＞0．所以函数g（x）=在x∈（0，）上为增函数，则g（）＜g（），即＜，所以＜，即f（）＜f（）．故选D．11．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对定义域内的任意x，均有f（f（x）﹣lnx﹣x3）=2，则f（e）=（）A．e3+1 B．e3+2 C．e3+e+1 D．e3+e+2【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意得f（x）﹣lnx﹣x3是定值，令f（x）﹣lnx﹣x3=t，得到lnt+t3+t=2，求出t的值，从而求出f（x）的表达式，求出f（e）即可．【解答】解：∵函数f（x）对定义域内的任意x，均有f（f（x）﹣lnx﹣x3）=2，则f（x）﹣lnx﹣x3是定值，不妨令f（x）﹣lnx﹣x3=t，则f（t）=lnt+t3+t=2，解得：t=1，∴f（x）=lnx+x3+1，∴f（e）=lne+e3+1=e3+2，故选：B12．已知lna﹣ln3=lnc，bd=﹣3，则（a﹣b）2+（d﹣c）2的最小值为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】lna ﹣ln3=lnc ，化为ln =lnc ，即a=3c ．bd=﹣3，令y=3x ，y=，则（a ﹣b ）2+（d ﹣c ）2表示直线y=f （x ）=3x 上的点与曲线y=g （x ）=上的点的最小距离的平方．利用导数的几何意义求出切点，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：lna ﹣ln3=lnc ，化为ln =lnc ，即a=3c ．bd=﹣3，令y=3x ，y=，则（a ﹣b ）2+（d ﹣c ）2表示直线y=f （x ）=3x 上的点与曲线y=g （x ）=上的点的最小距离的平方．设直线y=f （x ）=3x+m 与曲线y=g （x ）=相切于点P （x 0，y 0）．不妨取（x 0＞0）g ′（x ）=，∴=3，解得x 0=1．可得切点P （1，﹣3），∴﹣3=3+m ，解得m=﹣6．∴切点到直线y=3x 的距离d==． ∴（a ﹣b ）2+（d ﹣c ）2的最小值==．故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置13．己知数列{a n }的前n 项和满足S n =2n+1﹣1，则a n = ． 【考点】等比数列的前n 项和；等比数列的通项公式． 【分析】当n=1时，可求a 1=S 1=3，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，验证n=1时是否符合，符合则合并，否则分开写．【解答】解：∵S n =2n+1﹣1，当n=1时，a 1=S 1=3，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（2n+1﹣1）﹣（2n ﹣1）=2n ，显然，n=1时a 1=3≠2，不符合n ≥2的关系式．∴a n =．故答案为：．14．如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，点P 是MD 的中点．若||=2，||=1，且∠BAD=60°，则•= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】通过图形，分别表示，然后进行向量数量积的运算即可．【解答】解：由题意不难求得，则===故答案为：．15．在△ABC中，E为AC上一点，且=4，P为BE上一点，且满足=m+n（m＞0，n＞0），则取最小值时，向量=（m，n）的模为．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据平面向量基本定理求出m，n关系，进而确定+取最小值时m，n的值，代入求的模【解答】解：∵=4，∴=m+n=m+4n又∵P为BE上一点，∴不妨设=λ（0＜λ＜1）∴=+=+λ=+λ（﹣）=（1﹣λ）+λ∴m+4n=（1﹣λ）+λ∵，不共线∴m+4n=1﹣λ+λ=1∴+=（+）×1=（+）×（m+4n）=5+4+≥5+2=9（m＞0，n＞0）当且仅当=即m=2n时等号成立又∵m+4n=1∴m=，n=∴||==故答案为16．在△ABC中，2sin2=sinA，sin（B﹣C）=2cosBsinC，则= ．【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．【分析】利用2sin2=sinA，求出A，由余弦定理，得a2=b2+c2+bc ①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，即可得出结论．【解答】解：∵2sin2=sinA，∴1﹣cosA=sinA，∴sin（A+）=，又0＜A＜π，所以A=．由余弦定理，得a2=b2+c2+bc ①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，得b•=3••c，即2b2﹣2c2=a2②，将①代入②，得b2﹣3c2﹣bc=0，左右两边同除以c2，得﹣﹣3=0，③解③得=，所以=．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时， |a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．18．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l方程与圆C的方程联立方程组，求得A、B两点的坐标，可得|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得3x+y﹣3=0．圆C的方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，即 x2+y2=2y，即 x2+=3．（Ⅱ）由求得，或，故可得A（，﹣）、B（﹣， +）．∵点P（1，0），∴|PA|+|PB|=+=（2﹣）+（2+）=4．19．在△ABC中，2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（1）求cosA的值；（2）若a=4，b=5，求在方向上的投影．【考点】两角和与差的余弦函数；向量数乘的运算及其几何意义；二倍角的正弦；二倍角的余弦；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；（Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小．【解答】解：（Ⅰ）由可得，可得，即，即，（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，由余弦定理可知．解得c=1，c=﹣7（舍去）．向量在方向上的投影： =ccosB=．20．已知函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将y=f（x）的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=g（x）的图象；若函数y=g（x）在区间上的图象与直线y=a有三个交点，求实数a的取值范围．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及倍角公式，辅助角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可．（2）根据三角函数的图象变换关系求出函数g（x）的表达式，结合三角函数的性质进行求解即可．【解答】解：（1），=cos2x+sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx），=cos2x+sin2x+sin2x﹣cos2x，=cos2x+sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）所以时函数单调递增；（2）g（x）=sin[2（x+）﹣]=sin（x﹣）=cosx．根据图象知：．21．已知函数f（x）=alnx++1．（Ⅰ）当a=﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求导f（x）的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；=f（），即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a），（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min由此可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣时，，∴．∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）=0得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f（x）在区间[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，而f（1）=，f（）=，f（e）=，∴f （x ）max =f （e ）=，f （x ）min =f （1）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ），x ∈（0，+∞）．①当a+1≤0，即a ≤﹣1时，f ′（x ）＜0，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a ≥0时，f ′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ③当﹣1＜a ＜0时，由f ′（x ）＞0得，∴或（舍去）∴f （x ）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上，当a ≥0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当﹣1＜a ＜0时，f （x ）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；当a ≤﹣1时，f （x ）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a ＜0时，f （x ）min =f （）即原不等式等价于f （）＞1+ln （﹣a ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即aln+﹣+1＞1+ln （﹣a ）整理得ln （a+1）＞﹣1∴a ＞﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵﹣1＜a ＜0，∴a 的取值范围为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22．已知函数f （x ）=lnx ﹣，曲线y=f （x ）在点（，f （））处的切线平行于直线y=10x+1．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）设直线l 为函数y=lnx 图象上任意一点A （x 0，y 0）处的切线，在区间（1，+∞）上是否存在x 0，使得直线l 与曲线y=e x 也相切？若存在，满足条件的x 0有几个？ 【考点】变化的快慢与变化率．【分析】（1）求导函数，利用曲线y=f （x ）在点（，f （））处的切线平行于直线y=10x+1，求出a ，再确定导数恒大于0，从而可得求函数f （x ）的单调区间；（2）先求直线l 为函数的图象上一点A （x 0，y 0）处的切线方程，再设直线l 与曲线y=g （x ）=e x 相切于点（x 1，），进而可得lnx 0=，再证明在区间（1，+∞）上x 0存在且唯一即可．【解答】解：（1）∵函数f （x ）=lnx ﹣，∴f ′（x ）=+，∵曲线y=f （x ）在点（，f （））处的切线平行于直线y=10x+1， ∴f ′（）=2+8a=10， ∴a=1∴f ′（x ）=∵x ＞0且x ≠1，∴f'（x ）＞0∴函数φ（x ）的单调递增区间为（0，1）和（1，+∞）．（2）证明：∵y=lnx ，∴切线l 的方程为y ﹣lnx 0=（x ﹣x 0）即y=x+lnx 0﹣1，①设直线l 与曲线y=g （x ）相切于点（x 1，），∵g'（x ）=e x ，∴=，∴x 1=﹣lnx 0． ∴直线l 也为y ﹣=（x+lnx 0）， 即y=x++，②由①②得lnx 0﹣1=+，∴lnx 0=．下证：在区间（1，+∞）上x 0存在且唯一．由（1）可知，f （x ）=lnx ﹣在区间（1，+∞）上递增．又f （e ）=﹣＜0，f （e 2）=＞0，结合零点存在性定理，说明方程f （x ）=0必在区间（e ，e 2）上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x 0．。
哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019届高三数学8月月考试题理
黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019届高三数学8月月考试题 理试卷说明：满分：150分 时间：120分钟第Ⅰ卷一、选择题：（每小题5分，共12小题） 1．已知集合{}1,0,1M =-，{}2|10N x x =-<，则M N ⋃=A ． {}1,0,1-B ． {}0C ． {}|1 1 x x -≤≤D ． {}| 1 x x ≤2．若复数z 满足2iz ,其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A 。
2B. 2 C 。
2iD.2i3。
设x R ∈，则“12x >”是“2210x x +->"的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4。
在二项式52)1(xx -的展开式中，含4x 的项的系数是 A ．-10 B ．10 C ．—5 D ． 55．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说:“丙被录用了”;乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”.若这三人中仅有一人说法 错误，则下列结论正确的是A. 丙被录用了 B 。
乙被录用了 C 。
甲被录用了 D 。
无法确定谁被录用了 6。
已知命题p ：存在n R ∈，使得()f x =22n nnx+是幂函数，且在(0,)+∞上单调递增；命题q ：]“2,23x R x x∃∈+>”的否定是“2,23x R xx∀∈+<"．则下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝7．若变量,x y满足约束条件210x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值和最小值分别为 A ．43和 B ．42和 C ．32和D ．20和8．若ln 2a =，125b -=，1sin 4c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<9．一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．1π+ B ．2π+ C ．21π+ D ．3522π++10. 函数21()ln 2f x x x =-的大致图像是11.已知函数()f x 满足：①定义域为R ;②x R ∀∈,都有)()2(x f x f =+；③当[1,1]x ∈-时,()||1f x x =-+,则方程x x f 2log 21)(=在区间[3,5]-内解的个数是A.5B.6 C 。
黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019届高三9月月考——数学理(数学理)
黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019届高三9月月考数学（理）试题一、选择题（每小题5分，共计60分） 1.设集合，，则中整数元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 2.下面是关于复数的四个命题:1p :2z =，2:p 22z i =，3:p z 的共轭复数为，4:p z 的虚部为，其中真命题为 ( ) A ．B ．C ．D ．3．“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知：1tan log ,,1cos log 1cos 2cos 1sin ===c b a π ，则的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．5．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还升，升，升，1斗为10升；则下列判断正确的是（ ） A ．依次成公比为2的等比数列，且 B ．依次成公比为2的等比数列，且 C ．依次成公比为的等比数列，且 D ．依次成公比为的等比数列，且6.执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的值为 ( )A. 16B. 256C.D.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.8．已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点P在△COD的内部（不含边界）．若 ,则实数对（x，y）可以是（）A. B.C. D.9.给定方程：，给出下列4个结论：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在内有且只有一个实数根；④若是方程的实数根，则.其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C． 3 D． 410.在中，2==⋅=，点是所在平面内一点，则当取得最小值时， ( ) AB AC BA BC BA26,A. 9B.C.D.11.已知函数)0()sin(2)(>+=ωϕωx x f 满足下面三个条件：①，②， ③在上具有单调性。
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哈师大青冈实验中学201---2019学年度9月份考试高三学年数学（理科）试题一、选择题（每小题5分，共计60分）1.设集合}7|{2x x x A <=，}1725|{<<=x x B ，则B A 中整数元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 2.下面是关于复数iz -=12的四个命题:1p :2z =，2:p 22z i =，3:p z 的共轭复数为i +-1，4:p z 的虚部为1，其中真命题为 ( ) A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p3．“2)4k k Z παπ=-∈（”是“cos 2α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知：1tan log ,,1cos log 1cos 2cos 1sin ===c b a π ，则c b a ,,的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．c b a <<C ．c a b >>D ．a b c >> 5．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升；则下列判断正确的是（ ）A ．c b a ,,依次成公比为2的等比数列，且750=a B ．cb a ,,依次成公比为2的等比数列，且750=cC ．c b a ,,依次成公比为21的等比数列，且750=aD ．c b a ,,依次成公比为21的等比数列，且750=c 6.执行如图所示的程序框图，如果输入3,2a b ==，那么输出a 的值为 ( )A. 16B. 256C. 3log 626D. 65617．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.8．已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 在△COD 的内部（不含边界）．若AP xAB yAD =+,则实数对（x ，y ）可以是（ ）A. 12,33⎛⎫⎪⎝⎭B. 13,44⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 31,55⎛⎫⎪⎝⎭D. 35,77⎛⎫ ⎪⎝⎭9.给定方程：1()sin 102xx +-=，给出下列4个结论：①该方程没有小于0的实数解； ②该方程有无数个实数解；③该方程在(,0)-∞内有且只有一个实数根； ④若0x 是方程的实数根，则01x >-. 其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ． 3 D ． 410.在ABC ∆中， 226,AB AC BA BC BA ==⋅=，点P 是ABC ∆所在平面内一点，则当222PA PB PC ++ 取得最小值时， AP BC ⋅= ( )A. 9B. 9-C.272 D. 272-11.已知函数)0()si n (2)( >+=ωϕωx x f 满足下面三个条件：①2)4(=πf ，②0)(=πf ，③在)3,4(ππ上具有单调性。
那么ω的取值共有（ ）A ．6 个B ．7 个C ．8 个D ．9个12. 若存在两个正实数x y ，，使得等式()()324ln ln 0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ） A ． ()0-∞，B ．30]2e（， C.3[)2e+∞， D ．()30[)2e-∞+∞ ，， 二、填空题（每小题5分，共计20分） 13.已知函数()tan (0)f x kx k =>的最小正周期为2π，则22sin cos 1212k k ππ-= . 14.已知a ，b 为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()λc +a =c +b ()λ∈R，则|c |的最小值为 ．15.若直线l 是曲线y ＝e x-2的切线，也是曲线y ＝e x－1的切线，则直线l 的方程为________.16.以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”；②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x >－2，a ∈R)有最大值，则f (x )∈B . 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)三、解答题（写出必要的步骤或证明过程，只给出结论不得分）17.（10分）已知直线l的参数方程为4,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点.（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP ∆的面积的最大值.18.（12分）在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且22c o ss i n 212B CA ++=. （1）求A ；（2）设2a =， ABC ∆的面积为2，求b c +的值.19.(12分)已知向量a＝(2sin(ωx＋2π3)，2)，b＝(2cosωx,0) (ω>0)，函数f(x)＝a·b的图象与直线y＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移π12个单位，得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在[0，m](m>0)上至少含有10个零点，求m的最小值．20.某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2.表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[165,180)的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在[165,180)学生的人数，求X的分布列及数学期望.21．（12分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面，，，，. （1）求证：平面平面； （2）是侧棱上一点，记（），是否存在实数，使平面与平面所成的二面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.22. 已知函数()22ln f x x x ax =+-. （1）当5a =时，求()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 有两个极值点1212,,x x x x <且2e x >,若()()12f x f x m ->恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案（理科数学）一、选择题1-5 BCAAD 6-10 DADCB 11--12 DD 二、填空题 13、12-14、22 15.x-2y-1+ln2=0 16. ④ 17.解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.将直线l 的参数方程代入圆:C 22(2)4x y -+=，并整理得20t +=，解得10t =，2t =-所以直线l 被圆C 截得的弦长为12||t t -=（2）直线l 的普通方程为40x y --=.圆C 的参数方程为22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），可设曲线C 上的动点(22cos ,2sin )P θθ+，则点P 到直线l 的距离d =|2cos()4πθ=+-，当cos()14πθ+=-时，d 取最大值，且d 的最大值为2所以1(222ABP S ∆≤⨯+=+即ABP ∆的面积的最大值为218.（12分）解：（1）因为22cossin212B CA ++=， 所以()1cos sin21BC A +++=，所以()cos sin20B C A ++=， 所以cos 2sin cos 0A A A -+=又因为ABC ∆为锐角三角形，所以12sinA =，所以=30A ︒（2）因为1sin 22S bc A ==，所以8bc =又因为2222cos a b c bc A =+-，所以22124b c +-=+-所以2216b c +=，故b c +===19.(12分)解 (1)函数f(x)＝a ·b ＝4sin(ωx ＋2π3)cos ωx ＝ [4×(－12)sin ωx ＋4×32cos ωx]cos ωx＝23cos 2ωx －sin2ωx ＝3(1＋cos2ωx)－sin2ωx ＝2cos(2ωx ＋π6)＋3，.................4分由题意得T ＝π，∴2π2ω＝π，∴ω＝1，故f(x)＝2cos(2x ＋π6)＋ 3. 令2k π－π≤2x ＋π6≤2k π(k ∈Z)，得k π－7π12≤x ≤k π－π12(k ∈Z)， ∴y ＝2cos(2x ＋π6)＋3的单调递增区间为[k π－7π12，k π－π12](k ∈Z)． 当k ＝1时，函数的单调递增区间为[5π12，11π12]． 当k ＝2时，函数的单调递增区间为[17π12，23π12]．∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为[5π12，11π12]，[17π12，23π12]．.............8分(2)将函数f(x)的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g(x)＝2cos2x ＋3的图象． 令g(x)＝0，得x ＝k π＋5π12或x ＝k π＋7π12，k ∈Z ，………………10分∴函数g(x)在每个周期内恰好有两个零点，若y ＝g(x)在[0，m](m>0)上至少含有10个零点，则m 不小于第10个零点的横坐标即可，∴m 的最小值为4π＋7π12＝55π12.........12分20.（12分）解：（1）设高一女学生人数为x ，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则7004030x x -=，解得300x =.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在[165,180)的人数为5141363142+++++=，样本容量为70.所以样本中该校学生身高在[165,180)的概率为423 705=.因此，可估计该校学生身高在[165,180)的概率为35.（3）由题意可得X的可能取值为0，1，2.由表格可知，女生身高在[165,180)的概率为13，男生身高在[165,180)的概率为45.所以412(0)(1)(1)5315P X==-⨯-=，41419(1)(1)(1)535315P X==-+-⨯=，414(2)5315P X==⨯=. 所以X的分布列为：所以9417 ()012151515E X=+⨯+⨯=.21.（12分）（Ⅰ）证明：由已知，得，∵，，又，∴．又底面，平面，则，∵平面，平面，且，∴平面．∵平面，∴平面平面．（Ⅱ）解：以为坐标原点，过点作垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图3所示． 则， 因为在平行四边形中，， 则，∴．又，知． 设平面的法向量为， 则即 取，则． 设平面的法向量为， 则即 取，则． 若平面与平面所成的二面角为， 则，即， 化简得，即， 解得（舍去）或． 于是，存在，使平面与平面所成的二面角为． 22.（12分） 解：（1）()()()()22122252'250x x x x f x x x x x x---+=+-==>， 令()'0,2f x x >∴>或102x <<， ()f x ∴ 的单调增区间为()10,,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；单调减区间为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）()2222'2x ax f x x a x x-+=+-=，因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是方程()'0f x =的两个根，即，所以是12,x x 方程2220x ax -+=的两个根，所以有()121212211,1,2,2a x x x x a x x x x +===+= ， ∴()()()()22121112222ln 2ln f x f x x ax x x ax x -=-+--+ ()()()221212122ln ln x x a x x x x =---+- ()()2222222221121221111221122ln 2ln 2ln x x x x x x x x x x x x =---+=-+=-+ 令21x x =，则210x e <<，设()2112ln 0g x x x x x e ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭， ∴()()2222211221'10x x x g x x x x x--+-=--+==-<， ∴()g x 在210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单减，∴()222114g x g e e e ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭， 故2214m e e ≤--.。