§7.2 刚体的动量和质心运动定理
2 质心 质心运动定理
将质心的位置矢量 rC 对时间t求导，可得出
质心运动的速度为
dri m drC i dt vC dt m
mi v i m
由此可得
mvC mi vi
上式等号右边就是质点系的总动量
p mv C
即：质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动 速度的乘积。
质心、质心运动定理
质心 质心运动定理
一．质心
当我们把一匀质薄三角板斜 向抛出时，它的空间运动很 复杂，但实际观测表明，在 薄板上有一点C仍然在作抛 物线运动。C点的运动规律 就象把薄板的质量都集中在 C点，全部的外力也象时作 用在C点一样。这个特殊点C 就是质点系统的质心。
2
质心运动定理 证明： 质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的动速度的乘积。
根据牛顿第二定律的微分形式
dp dv C F m ma C dt dt
上式表明无论质点怎样运动，质点系的总质量与质心加速 度的乘积总等于质点系所受全部外力的矢量和，这就是质 心运动定理。它对刚体同样适用。
4
物理竞赛-刚体
t
0
fR2dt
1 2
m2 R22 (2
20
)
—
—（2）
稳定后两轮边缘线速度大小相等：1R1 2R2 — —（3）
1
m1R110 m2 R220
(m1 m2 )R1
,2
m2 R220 m1R110
(m1 m2 )R2
例、有一长为l、质量为m的匀质细杆，置于光滑 水平面上，可绕过中点O的光滑固定竖直轴转动，
5、车轮（圆柱体）的无滑滚动
若滚动车轮边缘上各点与支 撑面接触的瞬时，与支撑面 无相对滑动，则称车轮作无 滑滚动（纯滚动）。
车轮（中心）前进的距离与
转过的角度的关系：
x r dx r d
dt dt
则
vC
r
dvC dt
r d
dt
或 aC r
——无滑滚动的条件
C vC
r
x
车轮上任一点的速度： v vC r
vC
v 2
同时，对C轴合外力矩为0，故角动量守恒：
mv
l 4
( J C杆
J C球
)
y
J C杆
1 12
ml2
m( l )2 4
7 48
m l（2 平行轴定理）
ml
J C球
m( l )2 4
6v
5l
碰且后 系系 统统 以质心 将6v以绕v质C 心v2轴向转右动运。动，
5l
C vC
m O
例12、光滑水平桌面上有一半径为R、质量为M的
（r— —该点相对质心C的位矢）
例1、求图示纯滚动中G、B、A相对支撑面的速度。
G点：vG vC rGC 0
▲对无滑滚动，车轮边缘在与支撑面接触
第十一章 质心运动定理动量定理
第十一章 质心运动定理 动量定理一、目的要求1．质点系（刚体、刚体系）是动力学的主要力学模型，解决质点系（刚体、刚体系）动力学问题的主要方法有三类：（1）达朗伯原理；（2）动力学基本定理；（3）动力学普遍方程和拉格朗日方程。
2．对质点系（刚体、刚体系）的质心、动量有清晰的理解，能熟练地计算质点系（刚体、刚体系）的动量，能熟练地应用质点系的动量定理、质心运动定理（包括相应的守恒定律）求解动力学问题。
二、基本内容1．基本概念质点系的质心、质点系（刚体、刚体系）的动量、2．主要公式（1）质点系（刚体、刚体系）质心的计算 1）矢径形式 M r m r i i c 或 Mr m r ic i c 2）直角坐标形式Mx m x i i c ，M y m y i i c ，M z m z i i c 其中 k z j y i x r i i i i 为第i 个质点到固定点O 的矢径。
k z j y i x r c c c c 为质点系的质心到固定点O 的矢径。
ic r 为第i 个刚体的质心到固定点O 的矢径。
m i 为第i 个质点的质量，i m M 为质点系（刚体、刚体系）的质量。
（2）质点系（刚体、刚体系）动量的计算1）矢径形式 c i i v M v m P2）投影形式ix i x v m p ，iy i y v m p ，iz i z v m p ，222z y x P P P P注意：动量是矢量，需要时还要计算动量的方向。
（3）动量定理（质心运动定理）n i (e)i F dt p d 1 )(1n i (e)i c F a M 式中 n i c i i v M v M p 1 ，是质点系某瞬时的动量， n i e i F 1)( 是质点系所受外力的主矢量。
c a 为质点系心的加速度。
三、重点和难点1．重点：（1）质点系（刚体、刚体系）质心、动量的计算。
（2）质点系动量定理、质心运动定理。
2．难点：质点系动量定理、质心运动定理的应用。
质心 质心运动定理 动量守恒定律32页PPT
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
质心 质心运动定理 动量守恒定律
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
第七章 刚体
29
（3）经某段时间后，有
2 v 0, 0 v0 0 R 3 3v0 该阶段的末态为 1 0 , v1 0 2R
vB
R
平面平行运动 在每一个点部位对应的运动平面上 瞬心是一个点 由两点速度确定瞬心的位置
B
A
vA
刚体的任意运动 瞬心是一条线----瞬时转动轴 平动刚体的瞬心
23
例 两个质量同为m、半径同为R匀质实心滑轮，用不可伸长轻绳
连接，定滑轮可无摩擦的转动。将系统从静止释放，求下面滑 轮的平动加速度。
支持力
3 cos 2 6 cos 4 3(cos 1) 2 1 N mg mac mg mg 0 2 2 2 2 (1 3 sin ) (1 3 sin )
杆的下端不会跳离地面
33
例 物体落地为什么会翻转？
设刚体落地速度v0 与光滑地面的碰撞是弹性的 质心运动 刚体转动
P2
P0
d
vc
Nt m(v0 vc )
C
Nt d I
c
N
1 2 1 1 2 2 mvc I c mv0 机械能守恒 2 2 2
2
P1
I c md 2md vc v , v 2 0 2 0 I c md I c md
P0点速度反向
v vc d v0
34
思考题
两个质量比为 4：1 的小球用长 l 的轻质细杆相连， 重球在上，与竖直方向成300的夹角自由落下，下端 轻球触地前的速度为v0，碰撞为弹性碰撞。试求细杆 落地前能翻转成竖直的条件。
最新《力学》漆安慎(第二版)答案07章
力学（第二版）漆安慎习题解答第七章刚体力学第七章 刚体力学 一、基本知识小结⒈刚体的质心定义：∑⎰⎰==dm dm r r mr m r c i i c //求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。
⒉刚体对轴的转动惯量定义：∑⎰==dm r I r m I ii 22平行轴定理 I o = I c +md 2 正交轴定理 I z = I x +I y.常见刚体的转动惯量：（略） ⒊刚体的动量和质心运动定理∑==c c a m F v m p⒋刚体对轴的角动量和转动定理∑==βτωI I L⒌刚体的转动动能和重力势能c p k mgy E I E ==221ω⒍刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动动力学方程：∑∑==c c c c I a m F βτ（不必考虑惯性力矩）动能：221221cc c k I mv E ω+= ⒎刚体的平衡方程∑=0F， 对任意轴∑=0τ二、思考题解答7.1 火车在拐弯时所作的运动是不是平动？答：刚体作平动时固联其上的任一一条直线，在各时刻的位置（方位）始终彼此平行。
若将火车的车厢看作一个刚体，当火车作直线运行时，车厢上各部分具有平行运动的轨迹、相同的运动速度和加速度，选取车厢上的任一点都可代替车厢整体的运动，这就是火车的平动。
但当火车拐弯时，车厢上各部分的速度和加速度都不相同，即固联在刚体上任一条直线，在各时刻的位置不能保持彼此平行，所以火车拐弯时的运动不是平动。
7.2 对静止的刚体施以外力作用，如果合外力为零，刚体会不会运动？答：对静止的刚体施以外力作用，当合外力为了零，即0i c F ma ==∑时，刚体的质心将保持静止，但合外力为零并不表明所有的外力都作用于刚体的同一点。
所以，对某一确定点刚体所受合外力的力矩i i iM M r F ==⨯∑∑不一定为零。
由刚体的转动定律M J α=可知，刚体将发生转动。
比如，置于光滑水平面上的匀质杆，对其两端施以大小相同、方向相反，沿水平面且垂直于杆的两个作用力时，杆所受的外力的合力为零，其质心虽然保持静止，但由于所受合外力矩不为零，将作绕质心轴的转动。
7-2动量矩定理解析
O
v A vB
vA
A B
vB
设绳子移动的速率为u
v A u1 u v B u2 u
u (u1 u2 ) / 2
解
动量矩守恒
dLA (e) MA dt (e) MA 0
LA C
当外力系对某固定点的主矩等于零时，质系对于该 点的动量矩保持不变。
7.2 动量矩定理
质系的动量矩
质系中各质点对点O（矩心）的动量矩的矢量和 称为质系对点O的动量矩，也称角动量 （Angular Momentum）
LO ri mi vi
i
动量矩是一个向量，它与矩心O的选择有关。
例1
质量均为m的两小球C和D用长为2l的无质量刚性杆连 接，并以其中点固定在铅垂轴AB上，杆与AB轴之间的 夹角为 ，轴AB转动角速度为 ，角加速度为 ，A、 B轴承间的距离为h，求系统对O点的动量矩。
m l ( cos 2 sin ) X A 2 m l ( sin 2 cos ) YB mg 2 1 ml 2 Y l sin X l cos B A 12 2 2
(a) (b) (c)
3 g 将式(a)和(b)代入(c)： sin 2l d d 3g 2 d dt (1 cos ) l X A 3 mg sin (3cos 2) 4
dLCz (e) M Cz dt
(e) M Cz 0
LCz const
当外力系对质心平动系某轴的合力矩等于零时， 质系对于该轴的动量矩保持不变。
实例分析
花样滑冰：起旋、加速
实例分析
卫星姿态控制：动量矩交换
大学物理-质心质心运动定律
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
刚体定轴转动的角动量定理和转动定理
是，
dt
ω 的方向则由右手螺旋法则确定。角速度矢量的概念不仅适用
于刚体转动，也适用于质点的运动。在定轴转动下，可利用 ω
将刚体上任一质点 P 的速度 v 表示为 v ω r 。
ω
ω
v
v
r
r
圆周运动中 ω与 的v 关系
原点不在圆心的情况
作为角速度对时间的变化率，角加速度也是矢量：
β dω dt
令t 0，刚体在一瞬刻的运动情况可以这样来描述：刚
体随着基点 A 以速度 v A 平动（v A 即基点A的速度），并以角 速 ω绕基点 A 转动，平动的速度 v即基点的速度，与基点的选
取有关，转动的角速度ω则与基点的选取无关。
基于以上论述，可将刚体平面运动视为随基点的平动与绕 基点的转动的合成，事实上，平动与转动是同时进行的。
§3 刚体定轴转动的角动量 • 转动动能 与转动惯量
一、刚体定轴转动对轴上一点的角动量
请大家现在阅读教材201-203页！
动量总沿速度方向，而上例表明，当刚体绕固定轴转动时， 刚体的角动量矢量并不一定沿角速度方向，它可能和角速度
成某ω一角度。从这两个最简单的例子推而广之，不难想到质量
分布与几何形状有共同对称轴的刚体，当绕该对称轴转动时刚 体对轴上任一点的角动量与角速度方向相同。但就一般情况，
的位移 不d同C 于它随 A 点平动的位移 ，d刚A 体绕 C 转动的角
度则同于刚体绕A转动的角度。就图而言，不论取 A 点或取 C 点为基点，刚体都是逆时针转90°。这是毫不奇怪的，不论随 A点平动或随 C 点平动，刚体都保持着原来的方位，将它从这 种方位转到新的方位所需要转过的角度自然是一定的。
轴（即 z 轴）上的投影。今后为明确起见，凡涉及角速度投影，
质心运动课件
一.质心动能定理 (科尼希定理)
一个质点组的质心在C，如图．
z S
ric C
mi
rc
对某参照系S， 定义：
O
ri
EC
1 2
MvC2
——质心动能
x
y
是否相等？
Ek
i
1 2
mi
vi2——质点组总动能
可以证明：
对 质某点参组照 总系 动， 能：Ek EC ErC
——质心动能定理 (科尼希定理)
质点组总动能 = 质心动能 + 质点组相对质心的动能
ErC
vrriiCC
i
1 2
mi
vi2C
是质点组相对质心的总动能
是第i个质点相对于质心C的位 速率矢
18
科尼希定理: Ek EC ErC 证明如下： z
r riC
是第i
个质点相对于质心C的位矢
如图：对某参照系S，
ri
v
2 i
rC
i
1 2
mi vi2C
i
1 2
mi
2vC
viC
19
Ek
i
1 2
mi vC2
i
1 2
mi vi2C
i
rr mivC viC
r r r mivC viC vC
r mi viC
vC
0
0
i
i
质心系中质点组总动量
＝质心系中的质心动量
Ek
i
1 2
dLrC dt
M rC
质点组对质心的 角动量变化定理
质点组的角动
质点组相对于质心的角动量的时间 量变化定理在
变化率 = 各外力对质心的总力矩
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据牛顿第三定律，飞轮对轴的压力 ：
2 2 ˆ 5.0 ( 400 ˆ 227n ˆ F ' m 2d n n 60 ) 0.001
• 转轴偏离质心会产生较大附加压力，使机座产生有害 振动或使轴承变形，因此要尽量使质心位于转轴上
3 R 1 xc R2 R2 R 4 2 4 0 xc 2 R 6
O x
例2
求：半径为R的匀质半圆环的质心。
[解] 建立如图所示的坐标系， 1、对称性，质心一定在 y 轴上，即 xc 0 2、dm=dl= Rd
yc ydm dm
§7.2 刚体的动量和质心运动定理
刚体的动量
质心运动定理
p mi vi mvC
dvC Fi m maC dt i
i
刚体的动量守恒定律
若 Fi 0，则 p C。
i
刚体的质心
质点系质心为
rc mi ri
i
m
i
心就归结为这一质点组的质心；
3、积分法：选取合适的质元、坐标，通过做 积分求出质心 。
例1 已知：在半径为R的均质等厚度的大圆板的一 侧挖掉半径为 R/2 的小圆板，大小圆板相切， 求：余下部分的质心。 [解] 建立如图所示的坐标系，
1、对称性，余下部分质心 一定在 x 轴上，即 yc 0
2、整体=阴影+小圆，得：
2 2 2
z z o r
a
y
ห้องสมุดไป่ตู้
据计算质心的积分公式：
zC
x
3 3 (a 2 z 2 ) zdz 2a 0
a
zdm dm
a
2 2 ( a z ) zdz 3 4 1 a 2 3
3 1 3 1 2 2 2 0 3 2 2 2 2 3 ( ) ( a z ) d ( a z ) 3 ( a z ) |a a 2a 2 0 4a 2 8
例4
求:偏心飞轮对轴承的压力：已知匀质 飞轮质量m=5.0kg，半径r=0.15m，转速 n=400rev/min，质心C距转轴O距离 d=0.001m，飞轮所受重力忽略不计
C
d O
解: 以飞轮为研究对象，设轴对其压力为F
据质心运动定理： F ma C 2 ˆ , F m 2d n ˆ 0, aC an d n
i
刚体质心为
(质量连续分布 的不变质点系)
rc
r dm
dm
c
xc
xdV ,y dV
c
ydV ,z dV
zdV dV
质心的求法： 1、对称法:对称刚体具有对称中心，
对称中心就是质心；
2、分割法：若刚体无对称中心，但可以根据 刚体的形状划分为几部分，而每一部分都有 对称中心，各部分的中心就是各部分的质心， 这些质心形成为分立的质点组，则刚体的质
0
R sin Rd
R
R 2R (cos cos 0)
例3：求半径为a的匀质半球的质心
解：建立图示坐标系o-xyz，由对 称性分析，质心必在 z 轴上，即 xc= 0 , yc= 0 ，在坐标 z 处，取高 dz 为 dz 的薄圆盘状质元
dm r dz (a z )dz