人教版2019届高考数学(文)大一轮复习：第6章第1讲不等关系与不等式
2019版高考数学(文)高分计划一轮课件：第6章 不等式 6-1
当 a>0 时，不等式的解集为xx≥a2或x≤－1
；
当－2<a<0 时，不等式的解集为x2a≤x≤－1 ； 当 a＝－2 时，不等式的解集为{－1}；
当 a<－2 时，不等式的解集为x－1≤x≤2a .
方法技巧 1．一元二次不等式的求解策略 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式． (3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式 说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式 的解集．如典例 1，冲关针对训练．
第6章 不等式
6.1 不等关系与不等式的性质及一元二次 不等式
基础知识过关
[知识梳理]
3．必记结论 (1)a>b，ab>0⇒1a<1b. (2)a<0<b⇒1a<1b. (3)a>b>0,0<c<d⇒ac>bd. (4)0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b<1x<1a.
(5)若 a>b>0，m>0，则ba<ba＋＋mm； ba>ba－－mm(b－m>0)；ab>ab＋ ＋mm； ab<ab－－mm(b－m>0)．
{x|α<x<β，α>0，β>0}，求不等式 cx2＋bx＋a<0 的解集是
____x_x_>_α1_或___x<__1β_}____．
采用方程组法先确定 a，b 的值，然后 代入待解不等式求解．
解析 ∵ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|α<x<β}， ∴a<0，α，β 为 ax2＋bx＋c＝0 的两根，0<α<β.
高考数学一轮复习第六章不等式第一讲不等关系与不等式学案含解析新人教版
第六章 不等式第一讲 不等关系与不等式知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 实数的大小与运算性质的关系 (1)a >b ⇔__a －b >0__； (2)a ＝b ⇔__a －b ＝0__； (3)a <b ⇔__a －b <0__.知识点二 比较大小的常用方法 (1)作差法一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论(注意所比较的两个数的符号)．知识点三 不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒__a >c __；(3)同向可加性：a >b ⇔a ＋c __>__b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c __>__b ＋d ；(4)同向同正可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac __<__bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ； (5)可乘方性：a >b >0⇒a n __>__b n (n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方性：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)．归纳拓展1．a >b ，ab >0⇒1a <1b .2．a <0<b ⇒1a <1b .3．a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.4．若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m(b －m >0)．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( √ ) (2)若ab >1，则a >b .( × )(3)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc.( √ )(4)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (5)ab >0，a >b ⇔1a <1b .( √ )题组二 走进教材2．(必修5P 74T3改编)若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[解析]a －b >0⇒a >b ⇒a >b ≥0⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0a －b >0.3．(必修5P 74T3改编)设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是( C ) A ．a －c <b －d B ．ac <bd C ．a ＋c >b ＋dD ．a ＋d >b ＋c[解析] 由同向不等式具有可加性可知C 正确． 题组三 走向高考4．(2016·北京)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( C ) A ．1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C ．⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y<0D ．ln x ＋ln y >0[解析] ∵x ，y ∈R ，且x >y >0，则1x <1y，sin x 与sin y 的大小关系不确定，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y，即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0，ln x ＋ln y 与0的大小关系不确定，故选C ．5．(2019·全国)若a >b ，则( C ) A ．ln(a －b )>0 B ．3a <3b C ．a 3－b 3>0D ．|a |>|b |考点突破·互动探究考点一 比较代数式的大小——自主练透例1 (1)若x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小； (2)设a >0，b >0，且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小； (3)若a >b >0，试比较a －b 与a －b 的大小．[解析] (1)(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )．∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0.∴－2xy (x －y )>0.∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．(2)a a b b a b b a ＝a a －b ·b b －a ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b .当a >b >0时，a b >1，a －b >0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b >1，∴a a b b >a b b a ；当b >a >0时，0<a b<1，a －b <0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b >1，∴a a b b >a b b a. (3)∵a >b >0，∴a －b >0，a －b >0，又(a －b )2－(a －b )2＝a －b －(a ＋b －2ab )＝2ab －2b ，∵a >b >0，∴a >b ，∴ab >b ，∴2ab －2b >0，即(a －b )2>(a －b )2，∴a －b >a－b .[引申]本例(2)的条件下a a b b __>__(ab )a ＋b2.名师点拨比较两实数大小的方法比较两个代数式的大小，常用的方法有两种，一种是作差法，解题步骤是：作差—变形—与0比较，变形的方法主要有通分、因式分解、配方等，变形的目的是为了更有利于判断符号．另一种是作商法，解题步骤是作商—变形—与1比较．作商法通常适用于两代数式同号的情形．注意①若ab >1，b <0，则a <b ；②比较两式大小时可以先赋值判断两式大小关系，以明确比较时变形的方向；③注意函数单调性在比较大小中的应用．考点二 不等式的性质——师生共研例2 (1)已知a >b >0，c >d >0，则下列不等式中一定不成立的是( C ) A ．a ＋c >b ＋d B ．a －d >b －c C ．a c >b dD ．ac >bd(2)(2021·广东华附、省实、广雅、深中期末联考)设a >1>b >－1，b ≠0，则下列不等式中恒成立的是( C )A ．1a <1bB ．1a >1bC ．a >b 2D ．a 2>2b(3)(2021·四省八校质检)若log a b <log a c ，则下列不等式一定成立的是( C ) A ．ab <ac B ．a b >acC ．a b <a cD ．b a >c a[解析] (1)对于A ，因为a >b >0，c >d >0，所以a ＋c >b ＋d 成立． 对于B ，因为a ＋c >b ＋d ，所以a －d >b －c 成立．对于C ，举反例，如a ＝6，b ＝2，c ＝3，d ＝1，可知a c ＝bd ，故C 不成立．对于D ，因为a >b >0，c >d >0，所以ac >bd >0，故ac >bd 成立．故选C ．(2)对于A ，当a 为正数，b 为负数时，1a >1b ，所以，A 错误；对于B ，当a ＝2，b ＝12时，B 不成立，所以错误；对于C,1>b >－1⇒b 2<1，而a >1，所以选项C 正确；对于D ，取反例：a ＝1.1⇒a 2＝1.21，b ＝0.8⇒2b ＝1.6，D 错误．(3)由题意知0<a 且a ≠1，当0<a <1时，b >c >0，∴ab >ac ，且1b <1c ，从而a b <ac ，∴A ，B 错，当a >1时，0<b <c ，∴b a <c a ，∴D 错．故选C ．名师点拨(1)在判断一个关于不等式命题的真假时，先把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并根据性质判断命题的真假，有时还要用到其他知识，如本例中幂函数、对数函数的性质等．(2)在应用不等式的性质时，不可以强化或弱化不等式成立的条件，如“同向不等式”才可以相加，“同向正数不等式”才可以相乘．(3)在不等关系的判断中，赋值法是非常有效的方法． 〔变式训练1〕(1)(2021·四川攀枝花统考改编)设a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列不等式正确的是( D ) A ．1a <1bB ．ac 2<bc 2C ．b a <a bD ．a 2>ab >b 2(2)(2021·山东省枣庄市模拟)已知0<a <1,0<c <b <1，下列不等式成立的是( D ) A ．a b >a c B ．c b >c ＋ab ＋aC ．log b a <log c aD ．b b ＋a >c c ＋a[解析] (1)对于A 显然错误；对于B ，当c ＝0时，不正确；对于C ，b a －a b ＝b 2－a2ab＝(b ＋a )(b －a )ab<0，故不正确，对于D ，⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎬⎫a <b a <0⇒a 2>ab⎭⎬⎫a <b b <0⇒ab >b 2⇒a 2>ab >b 2，故选D ．(2)显然b ＋a >0，c ＋a >0， ∴b b ＋a >c c ＋a⇔bc ＋ab >bc ＋ac ， 即ab >ac ⇔b >c ，故选D ． 另解：不妨取c ＝14，a ＝b ＝12，代入选项A ，B ，C 都错，故选D ． 考点三 不等式性质的应用——多维探究 角度1 应用性质判断不等式是否成立例3 (2018·课标Ⅲ，12)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( B ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b[解析] 本题考查不等式及对数运算．解法一：∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0，排除C ．∵0<log 0.20.3<log 0.20.2＝1，log 20.3<log 20.5＝－1，即0<a <1，b <－1，∴a ＋b <0，排除D ． ∵b a ＝log 20.3log 0.20.3＝lg 0.2lg 2＝log 20.2， ∴b －b a ＝log 20.3－log 20.2＝log 232<1，∴b <1＋ba⇒ab <a ＋b ，排除A ．故选B ．解法二：易知0<a <1，b <－1，∴ab <0，a ＋b <0，∵1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4<1， 即a ＋b ab <1，∴a ＋b >ab ，∴ab <a ＋b <0.故选B ．角度2 利用不等式的性质求范围问题例4 (1)已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是__(－4,2)__,3x ＋2y 的取值范围是__(1,18)__.(2)(2021·河北衡水中学五调)已知1≤a ≤3，－4<b <2，则a ＋|b |的取值范围是__[1,7)__. [解析] (1)∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6, ∴1<3x ＋2y <18.(2)∵－4<b <2，∴0≤|b |<4，又1≤a ≤3， ∴1≤a ＋|b |<7.名师点拨利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2021·广东省清远市期末改编)已知1a <1b <0，下列结论正确的是( B )A ．a 2>b 2B ．b a ＋a b >2C ．lg a 2>lg(ab )D ．2a ＋b >2a －b(2)(角度2)(2021·上海金山中学期中)已知1<a <2,2<b <3，则ab 的取值范围是__⎝⎛⎭⎫13，1__. (3)(角度2)若1<α<3，－4<β<2，则α2－β的取值范围是__⎝⎛⎭⎫－32，112__. [解析] (1)对于A ，a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )<0不正确；对于B ，b a ＋ab≥2b a ·ab＝2，又a >b ，∴b a ＋ab>2，正确；对于C ，a 2－ab ＝a (a －b )<0，∴lg a 2<lg(ab )，不正确；对于D ，(a ＋b )－(a －b )＝2b <0，∴2a ＋b >2a －b 不正确，故选B ．(2)∵2<b <3，∴13<1b <12，又∵1<a <2，∴13<ab <1.(3)由1<α<3得12<α2<32，由－4<β<2得－2<－β<4，所以α2－β的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，112.故填⎝⎛⎭⎫－32，112.名师讲坛·素养提升利用不等式变形求范围例5 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是__[5,10]__. [分析] 用f (1)和f (－1)表示f (－2)，也就是把f (－1)，f (1)看作一个整体求f (－2)，或用待定系数法求解．[解析] ∵y ＝f (x )＝ax 2＋bx ，∴f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b . 解法一：(待定系数法) 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)， 又f (－2)＝4a －2b ，所以4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， 所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10. 故5≤f (－2)≤10. 解法二：(运用方程思想)由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， 所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10. 故5≤f (－2)≤10.名师点拨若题目中所给范围的式子比较复杂，一定要把这样的式子当成一个整体，利用待定系数法求解，在解题过程中还要注意不等式链中的隐含条件，如a <α<β<b 中，千万不要忽略α<β这一条件．本例中若直接求出a ，b 范围，再求f (－2)范围，会因扩大范围而出错．〔变式训练3〕(1)已知1<a ＋b ≤5，－1≤a －b <3，则3a －2b 的取值范围是__(－2,10)__.(2)(2021·云南模拟)已知x >0，y >0，若－1≤lg x y ≤2，1≤lg(xy )≤4，则lg x 2y 的取值范围是__[－1,5]__.[解析] (1)设3a －2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )， 则3a －2b ＝(m ＋n )a ＋(m －n )b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝12，n ＝52.∴3a －2b ＝12(a ＋b )＋52(a －b )．又∵1<a ＋b ≤5，－1≤a －b <3， ∴12<12(a ＋b )≤52，－52≤52(a －b )<152. ∴－2<3a －2b <10.(2)由1≤lg(xy )≤4，－1≤lg xy ≤2，得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2，∴12≤12(lg x ＋lg y )≤2，－32≤32(lg x －lg y )≤3， 则lg x 2y ＝2lg x －lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x 2y ≤5.故填[－1,5]．。
2019高三数学人教A版 文一轮教师用书：第6章 第1节 不
第章 不等式、推理与证明第一节 不等式的性质与一元二次不等式[考纲传真] (教师用书独具)1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．(对应学生用书第78页) [基础知识填充]1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎨⎧a －b ＞0⇔a ＞b (a ，b ∈R )，a －b ＝0⇔a ＝b (a ，b ∈R )，a －b ＜0⇔a ＜b (a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a ＞b (a ∈R ，b ＞0)，ab ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b ＞0)，a b ＜1⇔a ＜b (a ∈R ，b ＞0).2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ；(双向性) (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(单向性)(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性) a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(单向性) (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b ，c <0⇒ac <bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(单向性)(5)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ≥2，n ∈N )；(单向性)(6)开方法则：a >b >0n ≥2，n ∈N )；(单向性)(7)倒数性质：设ab>0，则a<b⇔1a>1b.(双向性)3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系[1．有关分数的性质若a＞b＞0，m＞0，则(1)ba＜b＋ma＋m；ba＞b－ma－m(b－m＞0)(2)ab＞a＋mb＋m；ab＜a－mb－m(b－m＞0)2．一元二次不等式恒成立问题(1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a＞0且Δ＜0；(2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a＜0且Δ＜0. 3．简单的分式不等式(1)f(x)g(x)≥0⇔⎩⎨⎧f(x)·g(x)≥0，g(x)≠0；(2)f(x)g(x)＞0⇔⎩⎨⎧f(x)g(x)＞0，g(x)≠0.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a>b⇔ac2>bc2.()(2)a>b>0，c>d>0⇒ad>bc.()(3)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.()(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．(教材改编)下列四个结论，正确的是()①a>b，c<d⇒a－c>b－d；②a>b>0，c<d<0⇒ac>bd；③a>b>0⇒3a>3b；④a>b>0⇒1a2>1b2.A．①②B．②③C．①④D．①③D[利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知ac<bd，故②不正确；因为函数y＝x 13是单调递增的，所以③正确；对于④，由a>b>0可知a2>b2>0，所以1a2<1b2，所以④不正确．]3．(2018·洛阳模拟)若a，b∈R，且a>b，则下列不等式恒成立的是()A．a2>b2B．a b>1C．2a>2b D．lg(a－b)>0C[取a＝－1，b＝－2，排除A，B，D．故选C．]4．(2015·广东高考)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示) (－4,1)[由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－4<x<1，所以不等式－x2－3x＋4>0的解集为(－4,1)．]5．若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是__________．[0,1)[①当m＝0时，1>0显然成立；②当m ≠0时，由条件知⎩⎨⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1，由①②知0≤m <1.](对应学生用书第79页)A ．1x －1y >0 B ．sin x －sin y >0 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y <0D ．ln x ＋ln y >0(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．(1)C [函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y <0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y <0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x >y >0⇒xy >0 ln(xy )>0 ln x ＋ln y ＞0，故D 错误．(2)由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， f (－2)＝4a －2B ．设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ， 则⎩⎨⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3，∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10，即f (－2)的取值范围为[5,10]．][规律方法] 1.对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．2．判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明． 3．由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d 求F (x ，y )的取值范围，要利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值范围．[变式训练1] (1)(2018·衡阳模拟)若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab <b 2 C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |(2)若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( ) 【导学号：79170185】 A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0(1)D (2)B [由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D ． (2)∵－π2<β<π，∴－π<－β<π2， ∴－3π2<α－β<3π2. 又∵α<β，∴α－β<0， 从而－3π2<α－β<0.](1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0.[解] (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}. 6分(2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0， 当a >1时，原不等式的解集为(1，a )；当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a <1时，原不等式的解集为(a,1).12分[母题探究] 将(2)中不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)，求不等式的解集． [解] 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.3分所以当a >1时，解集为1a <x <1； 当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解集为1<x <1a .10分综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a； 当a ＝1时，不等式的解集为∅； 当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. 12分[规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： (1)使一端为0且把二次项系数化为正数．(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法． (3)写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[变式训练2] (1)(2018·沈阳模拟)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( ) 【导学号：79170186】A ．{x |2<x <3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13<x <12D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >12(2)解不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )(1)B [∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <－13，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.] (2)原不等式可化为12x 2－ax －a 2＞0 即(4x ＋a )(3x －a )＞0 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3＞0当a ＞0时，－a 4＜a3，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－a 4或x ＞a 3； 当a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，－a 4＞a3，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜a 3或x ＞－a 4.综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－a 4或x ＞a3； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜a 3或x ＞－a4.角度1 形如f (x )≥0(x ∈R )求参数的范围(2018·张掖模拟)不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是__________________．(－2,2] [当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立， 当a ≠2时，则有⎩⎨⎧a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0， 即⎩⎨⎧a <2，－2<a <2，∴－2<a <2.综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．]角度2 形如f (x )≥0()x ∈[a ，b ]求参数的范围设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[解] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立. 3分有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67； 7分当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 12分法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.7分因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 12分角度3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])求x 的范围对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是__________．{x |x <1或x >3} [对任意的k ∈[－1,1]，x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0， 在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎨⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.][规律方法] 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．。
2019版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第6章不等式 6.1 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式
第 6章 不等式6．1 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[知识梳理]3．必记结论(1)a >b ，ab >0⇒<.1a 1b(2)a <0<b ⇒<.1a 1b (3)a >b >0,0<c <d ⇒>.a cb d (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒<<.1b 1x 1a (5)若a >b >0，m >0，则<；b a b ＋ma ＋m >(b －m >0)；>；b a b －m a －m a b a ＋mb ＋m <(b －m >0)．a b a －mb －m 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．(2)顶点式：y ＝a 2＋(a ≠0)．(x ＋b 2a )4ac －b 24a (3)两根式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．5．三个二次之间的关系[诊断自测]1．概念思辨(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2．教材衍化(1)(必修A5P74T3)下列四个结论，正确的是( )①a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ＞b －d ；②a ＞b ＞0，c ＜d ＜0⇒ac ＞bd ；③a ＞b ＞0⇒＞；④a ＞b ＞0⇒＞.3a 3b 1a 21b 2A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．①③答案 D解析 利用不等式的性质易知①③正确．故选D.(2)(必修A5P 80A 组T 3)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________．答案 (－∞，－3－2)∪(－3＋2，＋∞)22解析 由题意知Δ＝(m ＋1)2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0，解得m ＞－3＋2或m ＜－3－2.223.小题热身(1)(2014·四川高考)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.＞ B.＜ C.＞ D.＜a c b d a c b d a d b c a d bc答案 D解析 解法一：Error!⇒Error!⇒＞⇒＜.故选D.－a d －b c a d bc 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错，只有D 正确．故选D.(2)已知不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则不等式2x 2＋bx ＋a ＜0的解集为( )A.Error!B.Error!C ．{x |－2＜x ＜1}D ．{x |x ＜－2或x ＞1}答案 A解析 由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由韦达定理Error!⇒Error!∴不等式2x 2＋bx ＋a ＜0，即2x 2＋x －1＜0.可知x ＝－1，x ＝是对应方程的根，故选A.12题型1 不等式性质的应用 若0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，则|log a (1－x )|与|log a (1＋x )| 典例1的大小关系是________．比较两数的大小，应考虑a >b ⇔a －b >0.答案 |log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|解析 (作差法)当a ＞1时，log a (1－x )＜0，log a (1＋x )＞0，∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝－log a (1－x )－log a (1＋x )＝－log a (1－x 2)＞0.当0＜a ＜1时，log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0，∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝log a (1－x )＋log a (1＋x )＝log a (1－x 2)＞0.∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|. 已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)典例2≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．采用方程组法，找出f (－2)的表达式与f (1)，f (－1)的关系，再根据不等式性质求范围．解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以Error!解得Error!所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )．又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10，即f (－2)的取值范围是[6,10]．[条件探究] 将本典例条件变为Error!求的最大值．x 3y 4解 设＝m (xy 2)n ，x 3y 4(x 2y )则x 3y －4＝x 2m ＋n y 2n －m ，所以Error!即Error!又∵16≤2≤81，≤(xy 2)－1≤，(x 2y )1813∴2≤≤27，故的最大值为27.x 3y 4x 3y 4方法技巧不等式的概念与性质问题的常见题型及解题策略1．比较大小的常用方法：作差法与作商法．如典例1.2．不等式的性质及应用解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证(注意前提条件)；二是利用特殊值法排除错误答案．3．求代数式的取值范围(1)先建立待求式子与已知不等式的关系，再利用一次不等式的性质进行运算，求得待求式子的范围．如典例2.(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题中多次使用这种变化，有可能扩大其取值范围．如冲关针对训练．冲关针对训练(2017·长春模拟)若<<0，则下列不等式：1a 1b ①<；②|a |＋b >0；③a －>b －；④ln a 2>ln b 2中，正确的不1a ＋b 1ab 1a 1b 等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④答案 C解析 由<<0，可知b <a <0.1a 1b ①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以<0，>0，1a ＋b 1ab 故有<，即①正确；1a ＋b 1ab ②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0，则－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误；③中，因为b <a <0，又<<0，所以a －>b －，故③正确；1a 1b 1a 1b ④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在其定义域上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确，故选C.题型2 不等式的解法 已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为典例1{x |α<x <β，α>0，β>0}，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集是________．采用方程组法先确定a ，b 的值，然后代入待解不等式求解．答案 x >或x <}{x |1α1β解析 ∵ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |α<x <β}，∴a <0，α，β为ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，0<α<β.∴Error!∴Error!∴不等式cx 2＋bx ＋a <0可转化为aαβx 2－a (α＋β)x ＋a <0，即αβx 2－(α＋β)x ＋1>0.∴(αx －1)(βx －1)>0.∴x >或x <.1α1β∴不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为x >或x <}.{x |1α1β 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．典例2本题采用分类讨论思想．解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.(2)当a >0时，原不等式化为(x ＋1)≥0，(x －2a )解得x ≥或x ≤－1.2a (3)当a <0时，原不等式化为(x ＋1)≤0.(x －2a )当>－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤；2a 2a 当＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；2a 当<－1，即0>a >－2，解得≤x ≤－1.2a 2a 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a>0时，不等式的解集为Error!；当－2<a<0时，不等式的解集为Error!；当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a<－2时，不等式的解集为Error!.方法技巧1．一元二次不等式的求解策略(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．如典例1，冲关针对训练．2．含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．如典例2中对参数a进行分类讨论，在讨论时要明确讨论的依据是什么．冲关针对训练(2013·四川高考)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．答案 (－7,3)解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．又x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴不等式f (x ＋2)＜5⇒f (|x ＋2|)＜5⇒|x ＋2|2－4|x ＋2|＜5⇒(|x ＋2|－5)(|x ＋2|＋1)＜0⇒|x ＋2|－5＜0⇒|x ＋2|＜5⇒－5＜x ＋2＜5⇒－7＜x ＜3.故解集为(－7,3)．题型3 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性 (1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为 典例(－∞，＋∞)，求实数a 的取值范围；(2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，求实数a的取值范围．转化为函数的恒成立和存在性问题．解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．4a ＋a 24(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.4a ＋a 24角度2 给定区间上的任意性问题 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x ) 典例＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________．数形结合思想，分类讨论法．答案 Error!解析 要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m2＋m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．(x －12)34令g (x )＝m2＋m －6，x ∈[1,3]．(x －12)34当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0.所以m ＜，则0＜m ＜.6767当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是Error!.角度3 给定参数范围的恒成立问题 已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成典例立，则x 的取值范围为( )A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)采用主元与次元转化法．将已知a 的范围的次元变为主元．答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组Error!得x ＜1或x ＞3.故选C.方法技巧形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路1．x ∈R 的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解．如角度1典例．2．x ∈[a ，b ]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求范围．如角度2典例．3．已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．如角度3典例．冲关针对训练1．设对任意实数x ∈[－1,1]，不等式x 2＋ax －3a <0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a >0}B.a >}{a |12C.a >} D ．{a |a >0或a <－12}{a |14答案 B解析 设f (x )＝x 2＋ax －3a ，因为对任意实数x ∈[－1,1]，不等式x 2＋ax －3a <0恒成立，所以Error!即Error!解得a >.故选B.122．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈，f －4m 2f (x )[32，＋∞)(xm )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 ∪(－∞，－32][32，＋∞)解析 依据题意得－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x 2m 2x ∈上恒成立，[32，＋∞)即－4m 2≤－－＋1在x ∈上恒成立．1m 23x 22x [32，＋∞)当x ＝时，函数y ＝－－＋1取得最小值－，所以323x 22x 53－4m 2≤－，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，1m 253解得m ≤－或m ≥.32321．(2017·山东高考)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋＜＜log 2(a ＋b )B.＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b b2a b2a 1bC ．a ＋＜log 2(a ＋b )＜D ．log 2(a ＋b )＜a ＋＜1b b 2a 1b b 2a答案 B解析 ∵a ＞b ＞0，ab ＝1，解法一：∴log 2(a ＋b )＞log 2(2)＝1.ab ∵ab ＝1，∴b ＝.1a ∵a >b >0，∴a >>0，∴a >1,0<b <1,2a >2，1a∴<1.b 2a ∵a ＋＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )，1b ∴<log 2(a ＋b )<a ＋.故选B.b 2a 1b ∵a ＞b ＞0，ab ＝1，∴取a ＝2，b ＝，解法二：12此时a ＋＝4，＝，log 2(a ＋b )＝log 25－1≈1.3，1b b2a 18∴＜log 2(a ＋b )＜a ＋.故选B.b 2a 1b 2．(2014·全国卷Ⅰ)不等式组Error!的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2，p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3，p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 1，p 4D ．p 1，p 3答案 B解析 设x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －2y )，则Error!解得Error!∵Error!∴(x ＋y )≥，－(x －2y )≥－，43431343∴x ＋2y ＝(x ＋y )－(x －2y )≥0.4313∴x ＋2y 的取值范围为[0，＋∞)．故命题p 1，p 2正确，p 3，p 4错误．故选B.3．(2018·湖北优质高中联考)已知g (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，g (x )＝－ln(1－x )，且f (x )＝Error!若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2) D ．(－2,1)答案 D解析 若x ＞0，则－x ＜0，所以g (x )＝－g (－x )＝ln (x ＋1)，所以f (x )＝Error!则函数f (x )是R 上的增函数，所以当f (2－x 2)＞f (x )时，2－x 2＞x ，解得－2＜x ＜1，故选D.4．(2018·湖南长沙调研)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－22，0)解析 要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需Error!即Error!解得－＜m ＜0.22[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N *}，则A ∩B ＝( )A ．{2,3}B ．{1,3}C ．{2}D ．{3}答案 C解析 A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N *}＝{1,2,3}，故A ∩B ＝{2}，故选C.2．(2017·河南百校联盟模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当a ≥b 时，(a －b )a 2≥0成立；当(a －b )a 2≥0时，由a 2>0得a －b ≥0，即a ≥b ，由a ＝0不能得到a ≥b ，a <b 也成立，故“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的必要不充分条件．故选B.A ．2b >2a >2cB ．2a >2b >2cC ．2c >2b >2aD ．2c >2a >2b答案 A4．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A. B. C. D.5272154152答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝.故选A.525．(2017·广东清远一中一模)关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案 C解析 关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax ＜b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b ＜0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)＞0可化为(x ＋1)(x －3)＜0，解得－1＜x ＜3，∴所求解集是(－1,3)．故选C.6．(2017·松滋期中)已知p ＝a ＋，q ＝x 2－2，其中1a －2(12)a ＞2，x ∈R ，则p ，q 的大小关系是( )A ．p ≥qB ．p ＞qC ．p ＜qD ．p ≤q 答案 A解析 由a ＞2，故p ＝a ＋＝(a －2)＋＋2≥2＋2＝4，1a －21a －2当且仅当a ＝3时取等号．因为x 2－2≥－2，所以q ＝(12)x 2－2≤－2＝4，当且仅当x ＝0时取等号，所以p ≥q .故选A.(12)7．(2017·河北武邑中学调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－)B ．(－，0)22C ．(－∞，0)∪(，＋∞) D ．(－∞，)∪(，＋∞)222答案 A解析 ∵f (x )在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，∴f (x )在R 上是增函数，结合题意得－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立⇒Error!⇒m ∈(－∞，－)，2故选A.8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间答案 C解析 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件销售价应定为12元到16元之间．故选C.9．(2018·江西八校联考)已知定义域为R 的函数f (x )在(2，＋∞)上单调递减，且y ＝f (x ＋2)为偶函数，则关于x 的不等式f (2x －1)－f (x ＋1)>0的解集为( )A.∪(2，＋∞)(－∞，－43)B.∪(2，＋∞)(－∞，43)C.(－43，2)D.(43，2)答案 D解析 ∵y ＝f (x ＋2)为偶函数，∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．∵f (x )在(2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在(－∞，2)上单调递增，又f (2x －1)－f (x ＋1)>0，∴f (2x －1)>f (x ＋1)．当x >2时，2x －1>x ＋1，要使f (2x －1)>f (x ＋1)成立，则x ＋1<2x －1<2，解得x <1(舍去)；当x <2时，2x －1<x ＋1，要使f (2x －1)>f (x ＋1)成立，则有①若2<2x －1<x ＋1，解得x >，∴<x <2；②若2x －1≤2<x ＋1，3232即1<x ≤，此时2x －1>4－(x ＋1)，即x >，∴<x ≤.综上，32434332<x <2，故选D.4310．(2018·湖南衡阳八中一模)已知函数f (x )＝Error!若关于x 的不等式[f (x )]2＋af (x )－b 2<0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．8答案 D 解析 函数f (x )＝Error!的图象如图所示，①当b ＝0时，原不等式化为[f (x )]2＋af (x )<0，当a >0时，解得－a <f (x )<0，由于不等式[f (x )]2＋af (x )<0恰有1个整数解，因此其整数解为3.又f (3)＝－9＋6＝－3，∴－a <－3，－a ≥f (4)＝－8，则3<a ≤8.易知当a ≤0时不合题意．②当b ≠0时，对于[f (x )]2＋af (x )－b 2<0，Δ＝a 2＋4b 2>0，解得<f (x )<，－a －a 2＋4b 22－a ＋a 2＋4b 22又<0<，－a －a 2＋4b 22－a ＋a 2＋4b 22f (x )＝0有两个整数解，故原不等式至少有两个整数解，不合题意．综上可得a 的最大值为8.故选D.二、填空题11．设a ＞b ＞c ＞0，x ＝，y ＝，z ＝a 2＋(b ＋c )2b 2＋(c ＋a )2，则x ，y ，z 的大小顺序是________．c 2＋(a ＋b )2答案 z ＞y ＞x解析 ∵a >b >c >0，∴y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a )2－a 2－(b ＋c )2＝2c (a －b )＞0，∴y 2>x 2，即y >x .z 2－y 2＝c 2＋(a ＋b )2－b 2－(c ＋a )2＝2a (b －c )>0，故z 2>y 2，即z ＞y ，故z >y >x .12．(2018·汕头模拟)若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤>这五个a y bx 式子中，恒成立的不等式的序号是 ________.答案 ②④解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立．∵＝＝－1，＝＝－1，a y 3－3b x 2－2∴＝，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立．a y bx 13．(2017·西安质检)在R 上定义运算：＝ad －bc .若不等式|a bc d |≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为|x －1 a －2a ＋1 x |________．答案 32解析 原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝2－≥－，(x －12)5454所以－≥a 2－a －2，解得－≤a ≤.54123214．(2017·江苏模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．答案 9解析 解法一：由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b＝2＋b －.(x ＋a 2)a 24∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －＝0，即b ＝，a 24a 24∴f (x )＝2.(x ＋a 2)又∵f (x )<c ，∴2<c ，(x ＋a 2)即－－<x <－＋.a 2c a 2c ∴Error!②－①得2＝6，∴c ＝9.c解法二：由题意知，f (x )＝2＋b －，(x ＋a 2)a 24∵f (x )的值域为[0，＋∞)．∴b ＝.又∵f (x )<c 可化为x 2＋ax ＋－c <0，a 24a 24且f (x )－c <0的解集为(m ，m ＋6)，∴Error!∴c ＝－m (m ＋6)＝－m 2－6m ＝＝9.a 24(2m ＋6)24364三、解答题15．(2017·昆明模拟)设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解 由Error!得Error!∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.16．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0.当x ∈(－3,2)时，f (x )>0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．解 (1)因为当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ∈(－3,2)时，f (x )>0，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，可得Error!所以a ＝－3，b ＝5，所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－32＋18.75，(x ＋12)函数图象关于x ＝－对称，且抛物线开口向下，在区间[0,1]上12f (x )为减函数，函数的最大值为f (0)＝18，最小值为f (1)＝12，故f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]．(2)由(1)知，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，因为二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Error!即25＋12c ≤0⇒c ≤－，所以实数c 的取值范围为2512.(－∞，－2512]。
2019届高考数学一轮总复习冲刺第六篇不等式第1节不等关系与不等式训练理新人教版
第1节不等关系与不等式基础巩固(时间:30分钟)1.下列命题中,正确的是( C )(A)若a>b,c>d,则ac>bd(B)若ac>bc,则a>b(C)若<,则a<b(D)若a>b,c>d,则a-c>b-d解析:A项,取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;B项,当c<0时,ac>bc⇒a<b,B错误;C项,因为<,所以c≠0,又c2>0,所以a<b,C正确;D项,取a=c=2,b=d=1,可知D错误,故选C.2.已知a>0且a≠1,则a b>1是(a-1)b>0的( C )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由a b>1⇒或所以(a-1)b>0;由(a-1)b>0⇒或又a>0且a≠1,所以a b>1.即a b>1是(a-1)b>0的充要条件.3.若a<b<0,则下列不等式一定成立的是( C )(A)> (B)a2<ab(C)<(D)a n>b n解析:(特值法)取a=-2,b=-1,逐个检验,可知A,B,D项均不正确;C项,<⇔|b|(|a|+1)<|a|(|b|+1)⇔|a||b|+|b|<|a||b|+|a|⇔|b|<|a|,因为a<b<0,所以|b|<|a|成立,故选C.4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c.且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则( C )(A)c≤3 (B)3<c≤6(C)6<c≤9 (D)c>9解析:由f(-1)=f(-2)=f(-3)得解得则f(x)=x3+6x2+11x+c,由0<f(-1)≤3,得0<-1+6-11+c≤3,即6<c≤9,故选C.5.已知0<a<,且M=+,N=+,则M,N的大小关系是( A )(A)M>N (B)M<N(C)M=N (D)不能确定解析:因为0<a<,所以1+a>0,1+b>0,1-ab>0,所以M-N=+=>0.故选A.a,b是非零实数,若a<b,则下列不等式成立的是( C )(A)a<b (B)ab<a b(C)<(D) <解析:当a<0时,a2<b2不一定成立,故A错.因为ab2-a2b=ab(b-a),b-a>0,ab符号不确定,所以ab2与a2b的大小不能确定,故B错.因为-=<0,所以<,故C正确.a,b同号时, <⇔b2<a2,a,b异号时, <⇔b2>a2,所以与的大小不能确定,故D错.选C.7.若1<α<3,-4<β<2,则α-|β|的取值范围是.解析:因为-4<β<2,所以0≤|β|<4.所以-4<-|β|≤0.所以-3<α-|β|<3.答案:(-3,3)8.(2017·南京一模)已知a,b为实数,且a≠b,a<0,则a 2b-.(选填“>”“<”或“=”) 解析:因为a≠b,a<0,所以a-(2b-)=<0,所以a<2b-.答案:<能力提升(时间:15分钟)9.已知a,b为实数,则“a>b>1”是“<”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由a>b>1得a-1>b-1>0,所以<,充分性成立,当a=0,b=2时,<,所以<⇒/ a>b>1,必要性不成立,故选A.10.(2017·江西鹰潭二模)若<<0,则下列结论正确的是( D )(A)a2>b2 (B)1>()b>()a(C) +<2 (D)ae b>be a解析:由题意,b<a<0,则a2<b2,()b>()a>1, +>2,因为b<a<0,所以e a>e b>0,-b>-a>0,所以-be a>-ae b,所以ae b>be a,故选D.11.(2017·山东卷)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( B )(A)a+<<log2(a+b)(B)<log2(a+b)<a+(C)a+<log2(a+b) <(D)log2(a+b)<a+<解析:因为a>b>0,且ab=1,所以可取a=2,b=.则a+=4,==,log2(a+b)=log2(2+)=log2∈(1,2),所以<log2(a+b)<a+.故选B.12.若-1<a<b<1,-2<c<3,则(a-b)·c的取值范围是.解析:因为-1<a<b<1,所以-2<a-b<0,所以2>-(a-b)>0.当-2<c<0时,2>-c>0,所以4>(-c)[-(a-b)]>0,即4>c·(a-b)>0;当c=0时,(a-b)·c=0;当0<c<3时,0<c·[-(a-b)]<6,所以-6<(a-b)·c<0.综上得,-6<(a-b)·c<4.答案:(-6,4)13.已知a+b>0,则+与+的大小关系是.解析:+-( +)=+=(a-b)(-)==≥0.所以+≥+.答案:+≥+14.如果c<b<a,且ac<0,那么下列不等式中:①ab>ac;②c(b-a)>0;③cb2<ab2;④ac(a-c)<0,不一定成立的是(填序号).解析:由c<b<a,且ac<0,可得a>0,c<0,故①、②、④一定成立,但当b=0时,不等式③不成立,答案:③f(x)=ax2+bx+c满足f(1)=0,且a>b>c,求的取值范围.解:因为f(1)=0,所以a+b+c=0,所以b=-(a+c).又a>b>c,所以a>-(a+c)>c,且a>0,c<0, 所以1>->,即1>-1->.所以解得-2<<-.即的取值范围为(-2,-).。
【2019-2020】高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第一节不等关系与不等式教师用书理
教学资料范本【2019-2020】高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第一节不等关系与不等式教师用书理编辑：__________________时间：__________________第一节不等关系与不等式☆☆☆20xx考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景。
20xx，北京卷，5,5分(不等式的性质)20xx，浙江卷，8,5分(不等式的综合应用)20xx，天津卷，7,5分(不等式的性质)20xx，山东卷，7,5分(不等式的性质)主要以客观题形式考查不等式性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合。
微知识小题练自|主|排|查1．实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a＞b⇔a－b＞0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a＜b⇔a－b＜0。
2．不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(双向性)(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(单向性)(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；(双向性)(4)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(单向性)(5)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；(6)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(单向性)(7)乘方法则：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)；(单向性)(8)开方法则：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)；(单向性)(9)倒数性质：设ab ＞0，则a ＜b ⇔1a ＞1b ；(双向性)(10)有关分数的性质：若a ＞b ＞0，m ＞0，则 ①b a ＜b＋m a＋m ；b a ＞b－m a－m (b －m ＞0) ②a b ＞a＋m b＋m ；a b ＜a－m b－m(b －m ＞0)。
微点提醒1．在应用不等式性质时，不可强化或弱化成立的条件，如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；“可乘性”中的c 的符号等都需注意。
2．当判断两个式子大小时，对错误的关系式举反例即可，对正确的关系式，则需推理论证。
2019届高考数学一轮复习第六章不等式课堂达标30不等关系与不等式文新人教版
丰富丰富纷纷 课堂达标 ( 三十 ) 不等关系与不等式[A 基础牢固练 ]1．(2018 ·贵阳监测考试 ) 以下命题中，正确的选项是( )A ．若 a >b ， c >d ，则 ac >bdB ．若 ac >bc ，则 a >ba bC ．若 c 2<c 2，则 a <bD ．若 a >b ， c >d ，则 a － c >b － d[剖析](1)A ：取 a ＝ 2， ＝ 1， ＝－ 1， ＝－ 2，可知 A 错误； B ：当 c <0 时，>bcdac bc，因此a b2B 错误； ：因为 2< 2，因此 c ≠0，又c >0，因此 a <b ，C 正确； D ：取 a ＝ c ＝ 2，? a <bCc cb ＝ d ＝ 1，可知 D 错误，应选 C.[答案]C1 12．(2018 ·江西鹰潭二模 ) 若 a ＜ b ＜ 0，则以下结论正确的选项是 ()A ． a 2＞ b 21 b 1 aB ．1＞2＞2b abaC.＋＜2D ． ae ＞ bea b221 b 1 a b a a b[剖析] 由题意， b ＜ a ＜0，则 a ＜b ， 2 ＞2 ＞1， a ＋ b ＞2，∵ b ＜a ＜ 0，∴ e ＞ e ＞0，－ b ＞－ a ＞ 0∴－ be a ＞－ ae b ，∴ ae b ＞ be a ，应选 D.[答案]D3．若 a >b >0，则以下不等式中必然成立的是( )11b b ＋ 1A ． a ＋ b >b ＋ aB. a >a ＋ 11 12 a ＋ b aC ． a － b >b － a D.a ＋2b >b1[ 剖析 ]取 a ＝2，b ＝ 1，消除 B 与 D ；别的，函数 f ( x ) ＝ x － x 是(0 ，＋∞ ) 上的增函数，1但函数 g ( x ) ＝ x ＋ x 在 (0,1]上递减，在 [1 ，＋∞ ) 上递加，因此，当 a >b >0 时， f ( a )> f ( b ) 必1 1 1 1，但 g ( a )> g ( b ) 未必成立，应选 A. 定成立，即 a －>b － ? a ＋ >b ＋ab b a1丰富丰富纷纷A ． ( a － 1)( b － 1)<0B ． ( a － 1)( a － b )>0C ． ( － 1)( b － )<0D ． ( b － 1)( － )>0bab a[ 剖析 ] ∵ a ， b >0 且 a ≠1， b ≠1，∴当 a >1，即 a － 1>0 时，不等式log b >1 可化为abalog a >log a ，即 b >a >1，∴ ( a －1)( － )<0 ，( b － 1)( － 1)>0 ，( － 1)( － )>0. 当 0< <1，即a － 1<0 时，不等a ba b b a aba式 log a b >1 可化为 log a <log a ，即 0<b <a <1，∴ ( a － 1)( a － b )<0 ，( b － 1)( a － 1)>0 ，( b － 1)( b－ a )>0.[答案] D5．若不等式 ( －2) n a － 3n －1－ ( － 3) n <0 对任意正整数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ()41 4A. 1，3B. 2，3 C. 1，7D. 1， 742 4[剖析]n－ a )<3 n － 1当 n 为奇数时， 2 (1 ，13 n1 3 111－ a <3× 2 恒成立，只需 1－a <3× 2 ，∴ a >2.当nn－ 1)<3 n － 11 3 n 恒成立，只需－1 32 ，∴7为偶数 时，2 (，－1< ×21< <2< .aa3a3 a 41 7综上， 2<a <4，应选 D. [答案]D6． ( 黄冈质检 ) 已知 x >y >z ， x ＋ y ＋z ＝ 0，则以下不等式中成立的是 ()A ．>B ．xz >xy yzyz C ． xy >xzD ． x | y |> z | y |[剖析]因为 x >y >z ，x ＋ y ＋ z ＝ 0，因此 3x >x ＋ y ＋ z ＝0,3 z <x ＋y ＋ z ＝ 0，因此 x >0，z <0.x >0> . 因此由可得y >z ，xy xz[答案]C7．用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m ，要求菜园的面积不小于 216 m 2，靠墙的一边长为 x m ，其中的不等关系可用不等式 ( 组 ) 表示为 __________ ．x m ，则另一边长为30－ xx[剖析] 矩形靠墙的一边长为 2 m ，即 15－ 2 m ，丰富丰富纷纷 0<x ≤18，依照题意知xx 15－2 ≥216.0<x ≤18，[ 答案 ]xx 15－ 2 ≥216.a b 1 18．已知 a ＋ b >0，则 b 2＋ a 2与 a ＋ b 的大小关系是 ______．[剖析]a b1 1 a － bb － ab 2＋a 2－a ＋b＝b2＋ a 21 1＋ a － b2＝ ( a －b ) · b 2－ a 2 ＝a b.a 2b 2∵ a ＋ b >0， ( a －b ) 2≥0，a ＋ ba － b2∴a 2b 2≥0.a b 1 1∴ b 2＋ a 2≥a ＋ b .[答案]a b1 1b 2＋ a 2≥ a ＋ b9．已知存在实数 a 满足2> > ，则实数b 的取值范围是 ______．ab a ab[剖析] ∵ ab 2>a >ab ，∴ a ≠0，当 a >0 时， b 2>1>b ，b 2 >1，即解得 b <－ 1；b <1，b 2<1，当 a <0 时， b 2<1<b ，即此式无解．b >1综上可得实数 b 的取值范围 ( －∞，－ 1) ．[答案] ( －∞，－ 1)10． (1) 设 x ＜ y ＜ 0，试比较 ( x 2＋ y 2)( x － y ) 与 ( x 2－ y 2) ·(x ＋ y ) 的大小；1 1(2) 已知 a ， b ，x ， y ∈ (0 ，＋∞ ) 且 a ＞ b ， x ＞ y ，xy求证：x ＋ a ＞y ＋ b.[ 解 ] (1) 法一： ( x 2＋ y 2)( x － y ) － ( x 2－ y 2)( x ＋ y )＝ ( x －y )[ x 2＋ y 2－ ( x ＋ y ) 2] ＝－ 2xy ( x － y ) ，∵ x ＜ y ＜ 0，∴ xy ＞ 0， x － y ＜32 2 22∴ ( x ＋ y )( x － y ) ＞ ( x － y )( x ＋y ) ．法二：∵ x ＜ y ＜0，∴ x －y ＜ 0， x 2 ＞y 2， x ＋ y ＜0.∴ ( x 2＋ y 2)( x － y ) ＜ 0， ( x 2－ y 2)( x ＋ y ) ＜ 0，x 2＋ y 2 x － yx 2＋ y 2∴ 0＜ x 2－ y 2 x ＋ y ＝x 2＋ y 2＋ 2xy ＜1，∴ ( x 2＋ y 2)( x － y ) ＞ ( x 2－ y 2)( x ＋y ) ．xybx － ay (2) 证明： x ＋ a － y ＋ b ＝ x ＋ ay ＋ b.1 1∵ a ＞b 且 a ， b ∈ (0 ，＋∞ ) ，∴ b ＞ a ＞ 0，又∵ x ＞ y ＞ 0，∴ bx ＞ ay ＞ 0，bx － ayxy∴ x ＋ ay ＋ b ＞0，∴x ＋ a ＞y ＋ b.[B 能力提升练 ]c1．(2018 ·合肥质检 ) 已知△ ABC 的三边长分别为 a ，b ， c ，且满足 b ＋ c ≤3a ，则 a 的取 值范围为 ( )A ． (1 ，＋∞ )B ． (0,2)C ． (1,3)D ． (0,3)a <b ＋c ≤3a ，[剖析]由已知及三角形三边关系得＋ > ，a b ca ＋ c >b ，b c1<a ＋ a ≤3，bcb c 1<a ＋ a ≤3， ∴ 1＋ a >a ，∴c bc b－ 1<a － a <1，1＋ a >a ，c c两式相加得， 0<2× a <4，∴ a 的取值范围为 (0,2) ．[答案] Ba ， a ≤b ， b ， a ≤ b ， 2．设 ， ∈ R ，定义运算“ ?”和“⊕”以下： ? ＝⊕ ＝aba bb ，a >b ，a ba ， a >b .若 ?≥2， p ⊕ ≤2，则 ( )m nqA ． mn ≥4且 p ＋q ≤4B ． m ＋n ≥4且 pq ≤4C ． mn ≤4且 p ＋q ≥4D ． m ＋n ≤4且 pq ≤4[剖析]m ≥2， n ≥2， 结合定义及 ? ≥2可得或m nm >n ，m ≤ np ≤2， q ≤2，即 n ≥m ≥2或 m >n ≥2，因此 mn ≥4；结合定义及 p ⊕ q ≤2可得或p >qp ≤ q ，即 q <p ≤2或 p ≤ q ≤2，因此 p ＋ q ≤4.[答案]A3．设 a >b >0， m ≠－ a ，则 b ＋ m b> 时， m 满足的条件是 ______．a ＋ m a[剖析] 由b ＋ m b得 a － b m>a a ＋m >0，a ＋ m amm >0，m <0，因为 a >b >0，因此 m ＋ a >0. 即＋ >0或＋ <0.m a m a∴ m >0 或 m <－ a .即 m 满足的条件是 m >0 或 m <－ a . [答案]m >0 或 m <－ a4．(2018 ·北京东城区统测 ) 某种饮料分两次抬价，抬价方案有两种，方案甲：第一次抬价 %，第二次抬价 %；方案乙：每次都抬价p ＋ q%.若 > >0，则抬价多的方案是 ______． p q 2 p q[剖析]设原价为 a ，方案甲抬价后为 a (1 ＋p %)(1 ＋q %)，方案乙抬价后为 a 1＋ p ＋q % 2， 2p ＋ q 21＋p %＋ 1＋q % 2∵ 1＋ 2 %＝2≥ (＋ p＋ q) 2＝ (1 ＋ p %)(1＋ q %)，又∵ p >q >0，∴等号不成立，则抬价多的为方案乙． [答案]乙5．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“若是领队买一张全票，其余人可享受 7.5 折优惠．”乙车队说： “你们属集体票，按原价的8 折优惠．”这两个车队的原价、车型都是相同的，试依照单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．[ 解 ] 设该单位职工有n 人 ( n ∈ N * ) ，全票价为 x 元，坐甲车需花y 1 元，坐乙车需花 y 2元，31 3 4 1 3 4则 y 1＝ x ＋ 4x ·(n －1) ＝ 4x ＋4xn ， y 2＝5nx . 因此 y 1 －y 2＝ 4x ＋4xn － 5nx111n＝4x－20nx＝4x 1－5.当 n＝5时， y1＝ y2；当 n>5时， y1<y2；当 n<5时， y1>y2.因此当单位去的人数为 5 人时，两车队收费相同；多于 5 人时，甲车队更优惠；少于 5 人时，乙车队更优惠．[C 尖子生专练 ]甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半行程步行，一半行程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，若是两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？[ 剖析 ]设从寝室到教室的行程为s，甲、乙两人的步行速度为v1，跑步速度为v2，且v1＜v2.甲所用的时间t 甲＝s s s v1＋ v2＋＝，2v1 2v2 2v1v2乙所用的时间t 乙＝2s ，v1＋v2t 甲s v1＋ v2 v1＋ v2 2v1＋ v2∴＝×＝4 t 2 2乙 1 2 1 22 2 4v1v2v1＋ v2＋2v1v2＝4v1v2 ＞4v1v2＝1.∵ t 甲＞0，t 乙＞0，∴ t 甲＞ t 乙，即乙先到教室．。
(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 课时达标31 不等关系与不等式
（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 课时达标31 不等关系与不等式[解密考纲]主要考查不等式及其性质，以选择题或填空题的形式出现，位于选择题或填空题的中间位置，难度较易或中等．一、选择题1．设a ，b 为实数，则“a <1b 或b <1a”是“0<ab <1”的( D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 可通过举反例说明，当a ＝b ＝－10时，a ＜1b ，b ＜1a，但ab ＝100＞1，所以不是充分条件；反之，当a ＝－1，b ＝－12时，0＜ab ＜1，但a ＞1b ，b ＞1a ，所以不是必要条件．综上可知“a ＜1b 或b ＜1a”是“0＜ab ＜1”的既不充分也不必要条件．2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( D )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析 令a ＝－1，b ＝－2，代入选项验证可知D 项错误．3．如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( C ) A ．ab >ac B ．bc >ac C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0解析 因为c ＜b ＜a ，且ac ＜0，所以a ＞0，c ＜0，所以ab －ac ＝a (b －c )＞0，bc －ac ＝(b －a )c ＞0，ac (a －c )＜0，所以A ，B ，D 项均正确．因为b 可能等于0，也可能不等于0，所以cb 2＜ab 2不一定成立．4．已知0<a <b <1，则( D ) A ．1b >1aB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b C ．(lg a )2<(lg b )2D ．1lg a >1lg b解析 因为0＜a ＜b ＜1，所以1b －1a ＝a －b ab ＜0，可得1b ＜1a ；⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12b；(lg a )2＞(lg b )2；lg a ＜lg b ＜0，可得1lg a ＞1lg b.综上可知，只有D 项正确．5．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( D )A ．⎝⎛⎭⎪⎫0，5π6 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6C ．(0，π)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π解析 由题设得0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6＜2α－β3＜π.6．(2018·湖北重点高中联考)已知0＜c ＜1,1＞a ＞b ＞0，下列不等式成立的是( D ) A ．c a＞c bB ．aa ＋c ＜bb ＋cC ．ba c＞ab cD ．log a c ＞log b c解析 对于A 项，构造函数y ＝c x，因为0<c <1，故函数是减函数，a >b >0，根据单调性得知c a<c b，故A 项错误；对于B 项，aa ＋c <bb ＋c，两边取倒数得a ＋c a ＝1＋c a ，b ＋c b ＝1＋cb，因为0<c <1,1>a >b >0，故c a <c b ⇒a ＋c a <b ＋c b ，取倒数得a a ＋c >bb ＋c，故B 项错误；对于C 项，ba c >ab c ，两边变形得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c <a b，整理得ba c <ab c ，故C 项错误；对于D 项，由条件和结论知log a c >0，log b c >0，利用对数函数的换底公式，则有1log c a >1log c b⇒log a c >log b c ，故D 项正确．故选D ．二、填空题7．已知a ＋b >0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是__a b2＋b a2≥1a ＋1b__.解析a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2 ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a 2b 2.因为a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， 所以a ＋ba －b2a 2b2≥0，所以a b2＋b a2≥1a ＋1b.8．若－1<a ＋b <3,2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为__⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132__. 解析 设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52＜52(a ＋b )＜152，－2＜－12(a －b )＜－1，所以－92＜52(a ＋b )－12(a －b )＜132，即－92＜2a ＋3b ＜132.9．已知下列结论：①若a >|b |，则a 2>b 2；②若a >b ，则1a <1b；③若 a >b ，则a 3>b 3；④若a <0，－1<b <0，则ab 2>a . 其中所有正确结论的序号是__①③④__.解析 对于①，因为a ＞|b |≥0，所以a 2＞b 2，即①正确； 对于②，当a ＝2，b ＝－1时，显然不正确； 对于③，显然正确；对于④，因为a ＜0，－1＜b ＜0，ab 2－a ＝a (b 2－1)＞0，所以ab 2＞a ，即④正确．三、解答题10．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小．解析 ∵a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1，∴当a ＞1时，a ＋2＞31－a ；当a ＜1时，a ＋2＜31－a.11．已知x ，y 为正实数，满足1≤lg xy ≤2,3≤lg x y≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围． 解析 设a ＝lg x ，b ＝lg y ，则lg xy ＝a ＋b ， lg x y＝a －b ，lg (x 4y 2)＝4a ＋2b . 设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴lg(x 4y 2)＝3lg (xy )＋lg xy. ∵3≤3lg (xy )≤6,3≤lg x y≤4，∴6≤lg(x 4y 2)≤10，即lg(x 4y 2)的取值范围是[6,10]．12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，求c a的取值范围． 解析 ∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0， ∴b ＝－(a ＋c )． 又a ＞b ＞c ，∴a ＞－(a ＋c )＞c ，且a ＞0，c ＜0，∴1＞－a ＋c a ＞c a ，即1＞－1－c a ＞ca ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2ca ＜－1，ca ＞－2，解得－2＜c a ＜－12，即c a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12.。
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课堂达标(三十) 不等关系与不等式[A 基础巩固练]1．(2018·贵阳监测考试)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<b c2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d[解析] (1)A ：取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B ：当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，所以B 错误；C ：因为a c 2<b c2，所以c ≠0，又c 2>0，所以a <b ，C 正确；D ：取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误，故选C.[答案] C2．(2018·江西鹰潭二模)若1a ＜1b＜0，则下列结论正确的是( )A ．a 2＞b 2B ．1＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12aC.b a ＋a b＜2D ．ae b＞be a[解析] 由题意，b ＜a ＜0，则a 2＜b 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞1，b a ＋a b ＞2，∵b ＜a ＜0，∴e a ＞e b＞0，－b ＞－a ＞0∴－be a＞－ae b，∴ae b＞be a，故选D. [答案] D3．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b>b －1aD.2a ＋b a ＋2b >ab[解析] 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立，故选A.[答案] A4．(2016·浙江高考)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( )A ．(a －1)(b －1)<0B ．(a －1)(a －b )>0C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] ∵a ，b >0且a ≠1，b ≠1，∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为log ba >log aa ，即b >a >1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为log ba <log aa ，即0<b <a <1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.[答案] D5．若不等式(－2)na －3n －1－(－3)n<0对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，74 [解析] 当n 为奇数时，2n(1－a )<3n －1，1－a <13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立，只需1－a <13×⎝ ⎛⎭⎪⎫321，∴a >12.当n 为偶数 时，2n(a －1)<3n －1，a －1<13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立，只需a －1<13<⎝ ⎛⎭⎪⎫322，∴a <74.综上，12<a <74，故选D.[答案] D6．(黄冈质检)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |[解析] 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0. 所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0y >z ，可得xy >xz .[答案] C7．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为__________．[解析] 矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x 2 m ，即⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.8．已知a ＋b >0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是______．[解析]a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2 ＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a 2b 2.∵a ＋b >0，(a －b )2≥0， ∴a ＋ba －b2a b ≥0.∴a b2＋b a2≥1a ＋1b.[答案]a b 2＋b a 2≥1a ＋1b9．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是______． [解析] ∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1此式无解．综上可得实数b 的取值范围(－∞，－1)． [答案] (－∞，－1)10．(1)设x ＜y ＜0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小； (2)已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)且1a ＞1b，x ＞y ，求证：xx ＋a ＞yy ＋b.[解] (1)法一： (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )， ∵x ＜y ＜0，∴xy ＞0，x －y ＜0， ∴－2xy (x －y )＞0，∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )．法二：∵x ＜y ＜0，∴x －y ＜0，x 2＞y 2，x ＋y ＜0. ∴(x 2＋y 2)(x －y )＜0，(x 2－y 2)(x ＋y )＜0，∴0＜x 2＋y 2x －y x 2－y2x ＋y ＝x 2＋y 2x 2＋y 2＋2xy＜1， ∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )． (2)证明：xx ＋a －yy ＋b＝bx －ayx ＋a y ＋b.∵1a ＞1b且a ，b ∈(0，＋∞)，∴b ＞a ＞0，又∵x ＞y ＞0，∴bx ＞ay ＞0， ∴bx －ay x ＋a y ＋b ＞0，∴x x ＋a ＞yy ＋b.[B 能力提升练]1．(2018·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3)[解析] 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a≤3，1＋b a >ca ，1＋c a >b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca ≤3，－1<c a －ba <1，两式相加得，0<2×c a<4，∴c a的取值范围为(0,2)．[答案] B2．设a ，b ∈R ，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4[解析] 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p >q或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4.[答案] A3．设a >b >0，m ≠－a ，则b ＋m a ＋m >ba时，m 满足的条件是______． [解析] 由b ＋m a ＋m >b a 得a －b ma a ＋m>0， 因为a >b >0，所以mm ＋a >0.即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m ＋a >0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ＋a <0.∴m >0或m <－a .即m 满足的条件是m >0或m <－a . [答案] m >0或m <－a4．(2018·北京东城区统测)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%.若p >q >0，则提价多的方案是______．[解析] 设原价为a ，方案甲提价后为a (1＋p %)(1＋q %)， 方案乙提价后为a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2， ∵⎝⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋p %＋1＋q %22≥()＋p ＋q2＝(1＋p %)(1＋q %)，又∵p >q >0，∴等号不成立，则提价多的为方案乙． [答案] 乙5．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．[解] 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元， 则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5.当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．[C 尖子生专练]甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？[解析] 设从寝室到教室的路程为s ，甲、乙两人的步行速度为v 1，跑步速度为v 2，且v 1＜v 2.甲所用的时间t 甲＝s 2v 1＋s2v 2＝s v 1＋v 22v 1v 2，乙所用的时间t 乙＝2sv 1＋v 2， ∴t 甲t 乙＝s v 1＋v 22v 1v 2×v 1＋v 22s ＝v 1＋v 224v 1v 2＝v 21＋v 22＋2v 1v 24v 1v 2＞4v 1v 24v 1v 2＝1.∵t 甲＞0，t 乙＞0， ∴t 甲＞t 乙，即乙先到教室．。