2017对数与对数函数学案.doc
2.7对数与对数函数导学案
§2.7 对数与对数函数课时:2课时 主备课人：马富强导学目标1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y ＝ax 与对数函数y ＝logax 互为反函数(a>0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型1.对数的概念 (1)对数的定义如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中______叫做对数的底数，______叫做真数. (2)几种常见对数对数形式 特点 记法一般对数 底数为a (a >0且a ≠1)常用对数 底数为______自然对数 底数为____2.(1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝____________；②log a MN＝__________；③log a M n＝__________ (n ∈R )；④log a m M n ＝__________. (2)对数的性质①log a Na ＝______；②log a a N ＝______(a >0且a ≠1). (3)对数的重要公式①换底公式：____________ (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝________.3.对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性质(1)定义域：________(2)值域：______(3)过点__________，即x ＝______时，y ＝______(4)当x >1时，________ 当0<x <1时，________ (5)当x >1时，________当0<x <1时，________ (6)在(0，＋∞)上是_____(7)在(0，＋∞)上是_____4.反函数x __________互为反函数，它们的图象关于直线________对称.从对数的实质看：如果a b ＝N (a >0且a ≠1)，那么b 叫做以a 为底N 的对数，即b ＝log a N .它是知道底数和幂求指数的过程.底数a 从定义中已知其大于0且不等于1；N 在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的. 2.对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}.对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论. 3.关于对数值的大小比较(1)化同底后利用函数的单调性； (2)作差或作商法； (3)利用中间量(0或1)； (4)化同真数后利用图象比较.1.写出下列各式的值：(1)log 26－log 23＝________；(2)lg 5＋lg 20＝________；(3)log 53＋log 513＝______；(4)log 35－log 315＝________.2.(2011·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是__________.3.已知函数f (x )＝log a (x ＋b ) (a >0且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________.4.函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中mn >0)，则1m ＋2n 的最小值为________. 5.(2011·安徽)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A.⎝⎛⎭⎫1a ，bB.(10a,1－b )C.⎝⎛⎭⎫10a ，b ＋1 D.(a 2,2b )题型一 对数式的化简与求值例1 计算下列各式. (1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；(2)(lg 3)2－lg 9＋1·(lg 27＋lg 8－lg 1 000)lg 0.3·lg 1.2；(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83).探究提高 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化. (2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.(1)化简lg 37＋lg 70－lg 3－lg 23－lg 9＋1；(2)已知f (3x)＝4x log 23＋233，求f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)的值.题型二 对数函数的图象与性质例2 作出函数y ＝log 2|x ＋1|的图象，由图象指出函数的单调区间，并说明它的图象可由函数y ＝log 2x 的图象经过怎样的变换而得到. 探究提高 作一些复杂函数的图象，首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来.一般是先作出基本函数的图象，通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图象.(2010·课标全国)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |， 0<x ≤10，－12x ＋6， x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是 ( )A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)题型三 对数函数的综合应用例3 已知函数f (x )＝log a (8－2x ) (a >0且a ≠1). (1)若f (2)＝2，求a 的值；(2)当a >1时，求函数y ＝f (x )＋f (－x )的最大值.探究提高 本题的求解体现了方程思想和函数思想的应用，主要涉及对数式的求值，对数函数的图象和性质的综合运用以及与其他知识的结合(如不等式、指数函数等).已知函数f (x )＝log a (x ＋1) (a >1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象. (1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围.4.数形结合思想在对数函数中的应用试题：(12分)已知函数f (x )＝log a (a x －1) (a >0且a ≠1). 求证：(1)函数f (x )的图象总在y 轴的一侧；(2)函数f (x )图象上任意两点连线的斜率都大于0.审题视角 (1)要证明f (x )的图象总在y 轴的一侧，说明f (x )的自变量只能在(0，＋∞)或(－∞，0)内取值.(2)可以在f (x )上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，证明k ＝y 2－y 1x 2－x 1>0即可.规范解答证明 (1)由a x －1>0，得a x >1， [1分] ∴当a >1时，x >0，即函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 此时函数f (x )的图象在y 轴的右侧；[3分] 当0<a <1时，x <0，即函数f (x )的定义域为(－∞，0)， 此时函数f (x )的图象总在y 轴的左侧. [5分] ∴函数f (x )的图象总在y 轴的一侧.[6分](2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是函数f (x )图象上的任意两点，且x 1<x 2，则直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2.[7分] y 1－y 2＝log a (a x 1－1)－log a (a x 2－1)＝log a 1211x x a a --，[8分]当a >1时，由(1)知0<x 1<x 2，∴1<a x 1<a x 2，∴0<a x 1－1<a x 2－1.∴0<1211x x a a --<1，∴y 1－y 2<0.又x 1－x 2<0，∴k >0. [9分] 当0<a <1时，由(1)知x 1<x 2<0，∴a x 1>a x 2>1，∴a x 1－1>a x 2－1>0.[10分]∴1211x x a a -->1，∴y 1－y 2<0.又x 1－x 2<0，∴k >0.∴函数f (x )图象上任意两点连线的斜率都大于0. [12分] 批阅笔记 说到数形结合思想，我们更多的会想到以“形”助“数”来解决问题.事实上，本题是以“数”来说明“形”的问题，同样体现着数形结合的思想.本题的易错点是：①找不到证明问题的切入口.如第(1)问，很多考生不知道求其定义域.②不能正确进行分类讨论.若对数或指数的底数中含有参数，一般要进行分类讨论.方法与技巧1.指数式a b ＝N 与对数式log a N ＝b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键.2.指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积.3.注意对数恒等式、对数换底公式及等式log am b n ＝n m ·log a b ，log a b ＝1log b a在解题中的灵活应用.失误与防范1.在运算性质log a M n ＝n log a M 时，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n ＝n log a |M |(n ∈N *，且n 为偶数).2.指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.3.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象.因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象.A 组 专项基础训练题组一、选择题1.(2011·天津)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则 ( ) A.a >b >c B.a >c >b C.b >a >cD.c >a >b2.(2010·天津)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log (－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A.(－1,0)∪(0,1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1,0)∪(1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(0,1)3.设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有 ( ) A.f (13)<f (2)<f (12)B.f (12)<f (2)<f (13)C.f (12)<f (13)<f (2)D.f (2)<f (12)<f (13)二、填空题4.(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝________.5.若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3) (a >0且a ≠1)满足对任意的x 1、x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0，则实数a 的取值范围为__________.6.函数f (x )＝12log (x 2－2x －3)的单调递增区间是__________.三、解答题7.已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)若a >1时，求使f (x )>0的x 的解集. 8.已知函数f (x )＝12log (a 2－3a ＋3)x .(1)判断函数的奇偶性； (2)若y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围.12B 组 专项能力提升题组一、选择题1.已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )A.12B.14C.2D.42.已知函数f (x )＝||lg x ，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是 ( ) A.(1，＋∞) B.[)1，＋∞ C.(2，＋∞)D.[)2，＋∞3.设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，若g ⎝⎛⎭⎫1a －1＝14，则a 等于( )A.－2B.－12C.12D.2二、填空题4.设函数的集合P ＝{f (x )＝log 2(x ＋a )＋b |a ＝－12，0，12，1；b ＝－1,0,1}，平面上点的集合Q ＝{(x ，y )|x ＝－12，0，12，1；y ＝－1,0,1}，则在同一直角坐标系中，P 中函数f (x )的图象恰好经过Q 中两个点的函数的个数是________.5.若log 2a 1＋a 21＋a<0，则a 的取值范围是____________.6.设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 013)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 013)＝________.7.(2011·山东)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1).当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________. 三、解答题8.已知函数f (x )＝lg(a x －b x )(a >1>b >0). (1)求y ＝f (x )的定义域；(2)在函数y ＝f (x )的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴； (3)当a ，b 满足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值.。
【小初高学习]2017-2018版高中数学 第三章 指数函数和对数函数 4 第1课时 对数学案 北师
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第1课时对数学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一对数的概念思考解指数方程：3x＝ 3.可化为3x＝123，所以x＝12.那么你会解3x＝2吗？梳理(1)对数的概念一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么数b叫作________________________，记作__________________．其中a叫作__________________，N叫作________．(2)常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫作______________，N的常用对数log10N简记作____________．以e为底的对数称为____________，N的自然对数log e N简记作ln N.知识点二对数与指数的关系思考log a1(a>0，且a≠1)等于多少？梳理一般地，对数与指数的关系如下：若a>0，且a≠1，则a x＝N⇔log a N＝________.对数恒等式：a log a N＝________；log a a x＝________(a>0，且a≠1)．对数的性质：(1)1的对数为________．(2)底的对数为________．(3)零和负数____________．类型一对数的概念例1 在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )A．b<2或b>5 B．2<b<5C．4<b<5 D．2<b<5且b≠4反思与感悟由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中a x＝N，而a x>0，所以N>0.跟踪训练1 求f(x)＝log x 1－x1＋x的定义域．类型二应用对数的基本性质求值例2 求下列各式中x的值．(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1.反思与感悟本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N＝1；log a N＝1⇒N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．跟踪训练2 若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为( ) A．9 B．8 C．7 D．6类型三 对数式与指数式的互化 命题角度1 指数式化为对数式 例3 将下列指数式写成对数式．(1)54＝625；(2)2－6＝164；(3)3a＝27；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＝5.73.反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：跟踪训练3 (1)如果a ＝b 2(b >0，b ≠1)，则有( ) A ．log 2a ＝b B ．log 2b ＝a C ．log b a ＝2D ．log b 2＝a(2)将3－2＝19，⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164化为对数式．(3)解方程：⎝ ⎛⎭⎪⎫13m＝5.命题角度2 对数式化为指数式 例4 求下列各式中x 的值．(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x ；(4)－ln e 2＝x ；(5)log (2－1)13＋22＝x .反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．跟踪训练4 计算：(1)log 927；(2)log 4381；625.命题角度3 对数恒等式a log a N ＝N 的应用 例5 (1)求33log 32x=＋中的x ；(2)求log log log a b c b c Na ⋅⋅的值(a ，b ，c 为正实数且不等于1，N ＞0)．反思与感悟 应用对数恒等式时应注意： (1)底数相同．(2)当N >0时才成立，例如y ＝x 与y ＝a log a x 并非相等的函数． 跟踪训练5 设5log (21)259,x =－则x ＝________.1．log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是( ) A ．a b＝N B ．b a＝N C ．a N ＝bD ．b N＝a2．若log a x ＝1，则( ) A ．x ＝1 B ．a ＝1 C ．x ＝a D ．x ＝103．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A．e0＝1与ln 1＝0B．138-＝12与log812＝－13C．log39＝2与1293=D．log77＝1与71＝74．已知log x16＝2，则x等于( )A．±4 B．4 C．256 D．25．设10lg x＝100，则x的值等于( )A．10 B．0.01 C．100 D．1 0001．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N⇔log a N＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b＝b；(2)a log a N＝N.2．在关系式a x＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．答案精析问题导学 知识点一思考 不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念． 梳理 (1)以a 为底N 的对数 log a N ＝b 对数的底数 真数 (2)常用对数 lg N 自然对数 知识点二思考 设log a 1＝t ，化为指数式a t＝1，则不难求得t ＝0，即log a 1＝0. 梳理 x N x (1)零 (2)1 (3)没有对数 题型探究例1 D [∵⎩⎪⎨⎪⎧b －2>0，5－b >0，5－b ≠1，∴2<b <5且b ≠4.]跟踪训练1 解 要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ≠1，1－x 1＋x >0，解得0<x <1.∴f (x )＝log x 1－x 1＋x 的定义域为(0,1)．例2 解 (1)∵log 2(log 5x )＝0， ∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3， ∴x ＝103＝1 000.跟踪训练2 A [∵log 2(log 3x )＝0， ∴log 3x ＝1，∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2. ∴x ＋y ＋z ＝9.]例3 解 (1)log 5625＝4；(2)log 2164＝－6；(3)log 327＝a ；(4)log 135.73＝m .跟踪训练3 (1)C [log b a ＝2，故选C.] 解 (2)3－2＝19可化为log 319＝－2；⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164可化为log 12164＝6.(3)m ＝log 135.例4 解 (1)x ＝()22333644－－＝＝4－2＝116.(2)因为x 6＝8，所以()1111636626822x x ==()＝＝＝(3)10x＝100＝102，于是x ＝2.(4)由－ln e 2＝x ，得－x ＝ln e 2，即e －x ＝e 2. 所以x ＝－2. (5)因为log (2－1)13＋22＝x ，所以(2－1)x＝13＋22＝12＋2＝12＋1＝2－1，所以x ＝1.跟踪训练4 解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，∴x ＝32.(2)设x ＝log 4381，则⎝⎛⎭⎫43x ＝81,34x＝34，∴x＝16.(3)令x ＝625，则⎝⎛⎭⎫354x ＝625, 435x＝54，∴x ＝3. 例5 解 (1)∵33log 3x＋＝33·3log 3x＝27x ＝2，∴x ＝227.(2) log log log log log log log ().a b c a b c c b c Nb c N N aa c N ⋅⋅⋅===跟踪训练5 2 解析 ∵555log (21)log (21)log (21)2225(5)(5)x x x ==－－－＝(2x －1)2＝9.∴2x －1＝±3，又∵2x －1>0，∴2x －1＝3.∴x＝2.当堂训练1．B 2.C 3.C 4.B 5.C。
对数函数学案
对数一、对数的概念1．对数的概念一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记N．a叫做对数的底数，N叫做真数．作x＝loga2．常用对数与自然对数(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为lg N.(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，记为ln N.3．对数恒等式alogN＝N(a＞0，且a≠1)．a二、对数式与指数式之间的关系N当a＞0且a≠1时，a x＝N⇔x＝loga三、对数的基本性质x＝3，则x＝( )1．若log3A．1 B．3 C．9 D．27(5－a)中，实数a的取值范围是( )2．在b＝log(a－2)A．a＞5或a＜2 B．2＜a＜3或3＜a＜5C．2＜a＜5 D．3＜a＜43．ln e＝________，lg 10＝________．典型题型一、对数的概念求下列各式中x的取值范围：(1)log(x－10)；2(x＋2)；(2)log(x－1)(x－1)2.(3)log(x＋1)二、对数式与指数式的互化(1)将下列对数式化成指数式或将指数式化为对数式：①34＝81；②log 128＝－3；③⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16；④lg 0.01＝－2；⑤ln 10＝2.303；⑥⎝ ⎛⎭⎪⎫13m＝5.73. (2)设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n .三、对数的基本性质(1)(2014·朝阳高一检测)设5log 5(2x －1)＝25，则x 的值等于( )A ．10B ．13C ．100D ．±100 (2)求x 的值：①log (2x2－1)(3x 2＋2x －1)＝1；课堂小结1．对数概念的理解(1)对数是一种数，对数式log a N 是一种运算，即已知底数a(a ＞0，a ≠1)，幂值N ，求幂指数的运算，是幂运算的逆运算．(2)在对数式log a N 中，底数a 满足a ＞0且a ≠1，真数N 满足N ＞0. (3)对数式与指数式是同一数量关系的两种不同表达形式，其关系如下：2．指数式与对数式的互化作为同一数量关系的两种不同表达形式，对数式与指数式可以相互转化，互化关系为：a b ＝N ⇔b ＝log a N(a ＞0，且a ≠1)，据此可得对数恒等式alog a N ＝N.对数的运算一、对数的运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0.那么： 1．log a (M ·N)＝log a M ＋log a N ． 2．log a MN＝log a M －log a N ．3．loga M n＝nlogaM(n∈R)．二、对数换底公式loga b＝logcblogca(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1，b＞0)．特别地：loga b·log ab＝1(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)．1．计算：log62＋log63＝( )A．1 B．0 C．－1 D．22．log29·log34＝( )A.14B.12C．2 D．43.log29log23＝________．典型题型一、对数运算性质的应用(1)lg 2＋lg 5；(2)log345－log35；(3)log2(23×45)；(4)4lg 2＋3lg 5－lg 1 5；(5)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2；(6)log2(6＋42－6－42)．二、对数换底公式的应用(1)已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值为________．(2)已知3a＝5b＝c，且1a＋1b＝2，则c的值为________．三、对数运算的应用(2014·襄阳高一检测)方程log3(3x－1)＝log3(x－1)＋log3(x＋3)的解为( )A．x＝2或x＝－1 B．x＝2C．x＝－2或x＝1 D．x＝－1 易错题型1.已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则xy的值为________．2.若lg(x＋1)＋lg x＝lg 6，则x＝( )A．－3 B．2C．－3或2 D．3或－2对数函数及其性质一、对数函数的概念一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．二、对数函数的图象和性质(0，＋∞)1．下列函数是对数函数的是( )A．y＝loga (2x) B．y＝log22xC．y＝log2x＋1 D．y＝lgx3．(2013·江西高考)函数y＝xln(1－x)的定义域为( )A．(0，1) B．[0，1)C．(0，1] D．[0，1]4．(1)函数y＝loga(x－1)＋1(a>0，且a≠1)恒过定点________．(2)若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________．典型题型一、对数函数的概念(1)指出下列函数中哪些是对数函数．①y＝logax2(a>0，且a≠1)；②y＝log2x－1；③y＝2log7x；④y＝logx3(x>0，且x≠1)；⑤y＝log2(x＋1)；⑥y＝log 13 x.(2)若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为( )A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定(3)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________．二、对数函数的定义域求下列函数的定义域：(1)y＝lg（2－x）；(2)y＝1log3（3x－2）；(3)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．规律方法总结1．求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负．(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.2．求函数定义域的步骤(1)列出使函数有意义的不等式(组)．(2)化简并解出自变量的取值范围．(3)确定函数的定义域．三、对数函数的图象已知函数y＝loga x，若a取四个值1.1，2.2，110，12，且画出它们的图象如图221所示，则C1，C2，C3，C4对应的a值依次是多少？图22 1规律方法总结对数函数的图象随底数变化的规律：(1)由于对数函数y＝logax的图象与直线y＝1交于点(a，1)，所以在x轴上方，对数函数y＝logax的图象从左到右对应的底数由小到大依次递增．(2)由于函数y＝loga x的图象与直线y＝－1交于点⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1，所以在x轴下方，函数y＝logax的图象从左到右对应的底数由大到小依次排列．变式训练(2014·福建高考)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图222所示，则下列函数图象正确的是( )图22 2重难疑点一、对数值大小的比较(1)(2014·辽宁高考)已知a＝2－13，b＝log213，c＝log1213，则( )A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a(2)比较下列各组中两个值的大小：①ln0.3，ln2；②loga 3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)；③log30.2，log40.2；④log3π，logπ3.规律方法总结对数值比较大小的常用方法．(1)如果同底，则可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论．(2)如果不同底，一种方法是化为同底，另一种方法是寻找中间量．(3)如果不同底但同真，可利用图象的高低与底数的大小解决或利用换底公式化为同底后再进行比较．(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1，0，－1等进行比较．二、解对数不等式(1)已知loga 12＞1，求a的取值范围；(2)已知log0.72x＜log0.7(x－1)，求x的取值范围．三、对数函数性质的综合应用(1)(2014·重庆高考)函数f(x)＝log2x·log2(2x)的最小值为________．(2)函数y＝log 12(1－x)＋log12(x＋3)的值域为________．。
学案4：4.4.1 对数函数的概念~4.4.2 对数函数的图象和性质(一)
4.4.1对数函数的概念~4.4.2对数函数的图象和性质(一)学习目标核心素养1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．(重点、难点)2．能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．(重点)1.通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养．2．借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算的素养.新知初探1．对数函数的概念函数y＝(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？2．对数函数的图象及性质a的范围0<a<1a>1图象定义域(0，＋∞)值域R性质定点，即x＝时，y＝单调性在(0，＋∞)上是在(0，＋∞)上是思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？3．反函数指数函数(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．初试身手1．函数y＝log a x的图象如图所示，则实数a的可能取值为()A ．5 B.15 C.1e D.122．若对数函数过点(4,2)，则其解析式为________． 3．函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域为________．合作探究类型1 对数函数的概念及应用例1 (1)下列给出的函数：①y ＝log 5x ＋1； ②y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)；③y ＝log (3－1)x ；④y ＝13log 3x ；⑤y ＝log x 3(x >0，且x ≠1)；⑥y ＝log 2πx .其中是对数函数的为( )A ．③④⑤B ．②④⑥C ．①③⑤⑥D ．③⑥(2)若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________. (3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ⎝⎛⎭⎫12＝__________. 规律方法判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练1．若函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 是对数函数，则a ＝________. 类型2 对数函数的定义域 例2 求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1log 12x ＋1； (2)f (x )＝12－x＋ln(x ＋1)； (3)f (x )＝log (2x －1)(－4x ＋8)． 规律方法求对数型函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负.(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.跟踪训练2．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝lg(x－2)＋1x－3；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．类型3 对数函数的图象问题探究问题1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝log a1x，y＝log a2x，y＝log a3x，y＝log a4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？2．函数y＝a x与y＝log a x(a>0且a≠1)的图象有何特点？例3(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的图象为()(2)已知f(x)＝log a|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．母题探究1．把本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝log a x”改为“y＝log a(－x)”，则函数y＝a－x与y＝log a(－x)的图象可能是()log2(x＋1)＋2，试作出其图象．2．把本例(2)改为f(x)＝||函数图象的变换规律(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称.课堂小结1．判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝log a x(a>0且a≠1)这种形式．2．在对数函数y ＝log a x 中，底数a 对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.当堂达标1．思考辨析(1)对数函数的定义域为R .( )(2)函数y ＝log a (x ＋2)恒过定点(－1,0)．( ) (3)对数函数的图象一定在y 轴右侧．( ) (4)函数y ＝log 2x 与y ＝x 2互为反函数．( ) 2．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a (2a )(a >0，且a ≠1)C ．y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)D ．y ＝ln x3．函数f (x )＝lg x ＋lg(5－3x )的定义域是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，53 B.⎣⎡⎦⎤0，53 C.⎣⎡⎭⎫1，53 D.⎣⎡⎦⎤1，53 4．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )<f (2)，利用图象求a 的取值范围．参考答案新知初探1．log a x x (0，＋∞)思考1：提示：不是，其不符合对数函数的形式． 2．(1,0) 1 0 减函数 增函数思考2：提示：底数a 与1的关系决定了对数函数的升降．当a >1时，对数函数的图象“上升”；当0<a <1时，对数函数的图象“下降”． 3．y ＝a x初试身手1．【答案】A【解析】由图可知，a >1，故选A. 2．【答案】f (x )＝log 2x【解析】设对数函数的解析式为f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)．由f (4)＝2得log a 4＝2，∴a ＝2，即f (x )＝log 2x .3．【答案】(－1，＋∞)【解析】由x ＋1>0得x >－1，故f (x )的定义域为(－1，＋∞)．合作探究类型1 对数函数的概念及应用 例1 【答案】(1)D (2)4 (3)－1【解析】(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D. (2)因为函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝4.(3)设对数函数为f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)， 由f (16)＝4可知log a 16＝4，∴a ＝2， ∴f (x )＝log 2x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＝－1. 跟踪训练 1．【答案】2【解析】由a 2＋a －5＝1得a ＝－3或a ＝2. 又a >0且a ≠1，所以a ＝2. 类型2 对数函数的定义域例2 解：(1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2， 故函数的定义域为(－1,2)． (3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >12，x ≠1.故函数y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，且x ≠1. 跟踪训练2．解：(1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x <4，所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)． 类型3 对数函数的图象问题 探究问题1．提示：作直线y ＝1，它与各曲线C 1，C 2，C 3，C 4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a 4>a 3>1>a 2>a 1>0. 2．提示：两函数的图象关于直线y ＝x 对称． 例3 (1)【答案】C【解析】∵a >1，∴0<1a <1，∴y ＝a －x 是减函数，y ＝log a x 是增函数，故选C.(2)解：∵f (x )＝log a |x |，∴f (－5)＝log a 5＝1，即a ＝5， ∴f (x )＝log 5|x |，∴f (x )是偶函数，其图象如图所示．母题探究1．【答案】C【解析】∵在y ＝log a (－x )中，－x ＞0，∴x ＜0， ∴图象只能在y 轴的左侧，故排除A ，D ； 当a ＞1时，y ＝log a (－x )是减函数，y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x是减函数，故排除B ； 当0＜a ＜1时，y ＝log a (－x )是增函数，y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x是增函数，∴C 满足条件，故选C.] 2．解：第一步：作y ＝log 2x 的图象，如图(1)所示．(1) (2)第二步：将y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图(2)所示．第三步：将y ＝log 2(x ＋1)的图象在x 轴下方的部分作关于x 轴的对称变换，得y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图(3)所示．第四步：将y ＝|log 2(x ＋1)|的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．(3) (4) 1．【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．【答案】D【解析】结合对数函数的形式y ＝log a x (a >0且a ≠1)可知D 正确． 3．【答案】C【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥0，5－3x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x <53，即1≤x <53.4．解：(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．所以所求a的取值范围为0<a<2.。
2017年高考数学(理)一轮复习 专题10 对数函数(教学案) 含解析
专题10 对数函数（教学案）2017年高考数学（理）一轮复习精品资料1.考查对数函数的图象、性质；2.考查对数方程或不等式的求解；3.考查和对数函数有关的复合函数问题．1．对数的概念一般地，对于指数式a b＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a >0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”．2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①l og a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图 象性 质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．高频考点一对数式的运算例1、(1)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m等于( )A.10B．10C．20D．100(2)lg5＋lg20的值是．答案(1)A (2)1【感悟提升】在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．【变式探究】(1)计算：1－log632＋log62·log618log64＝.(2)已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝.答案(1)1 (2)12解析(1)原式＝1－2log63＋log632＋log663·log66×3log64＝1－2log63＋log632＋1－log631＋log63log64＝1－2log63＋log632＋1－log632log64＝21－log632log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.(2)∵loga2＝m ，loga3＝n ，∴am＝2，an ＝3， ∴a2m＋n ＝(am)2·an＝22×3＝12. 高频考点二 对数函数的图象及应用例2、(1)函数y ＝2log4(1－x)的图象大致是( )(2)当0<x≤12时，4x<logax ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)答案 (1)C (2)B解析 (1)函数y ＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；又函数y ＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.选C.(2)方法一 构造函数f(x)＝4x 和g(x)＝logax ，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 即2<loga 12，则a>22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.方法二 ∵0<x≤12，∴1<4x≤2，∴logax>4x>1，∴0<a<1，排除选项C ，D ；取a ＝12，x ＝12，则有412＝2，log 1212＝1， 显然4x<logax 不成立，排除选项A.【感悟提升】应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【变式探究】(1)已知lga ＋lgb ＝0，则函数f(x)＝ax 与函数g(x)＝－logbx 的图象可能是( )(2)设方程10x ＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( ) A ．x1x2<0 B ．x1x2＝1 C ．x1x2>1 D ．0<x1x2<1 答案 (1)B (2)D解析 (1)∵lga＋lgb ＝0，∴ab＝1，∵g(x)＝－logbx 的定义域是(0，＋∞)，故排除A. 若a>1，则0<b<1，此时f(x)＝ax 是增函数，g(x)＝－logbx 是增函数． 故选B.(2)构造函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x)|， 并作出它们的图象，如图所示．因为x1，x2是10x ＝|lg(－x)|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x2<－1，－1<x1<0，则10x1＝－lg(－x1)，10x2＝lg(－x2)，因此10x2－10x1＝lg(x1x2)，因为10x2－10x1<0，所以lg(x1x2)<0，即0<x1x2<1，故选D. 高频考点三 对数函数的性质及应用例3、设a ＝log36，b ＝log510，c ＝log714，则( ) A ．c>b>a B ．b>c>a C ．a>c>b D ．a>b>c答案 D【变式探究】若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0，12)C ．(12，1) D ．(0,1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由题意得a>0，故必有a2＋1>2a ， 又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1， 同时2a>1，∴a>12.综上，a∈(12，1)．高频考点四 和对数函数有关的复合函数 例4、已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈时，函数f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax ， 则t(x)＝3－ax 为减函数， x∈时，t(x)的最小值为3－2a ， 当x∈时，f(x)恒有意义， 即x∈时，3－ax>0恒成立． ∴3－2a>0.∴a<32.又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.【感悟提升】在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【变式探究】(1)设a ＝log32，b ＝log52，c ＝log23，则( ) A ．a>c>b B ．b>c>a C ．c>b>aD ．c>a>b(2)若f(x)＝lg(x2－2ax ＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．C ． 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c 【答案】D【解析】a －b ＝log 36－log 510＝(1＋log 32)－(1＋log 52)＝log 32－log 52>0， b －c ＝log 510－log 714＝(1＋log 52)－(1＋log 72)＝log 52－log 72>0， 所以a>b>c ，选D.（2013·浙江卷）已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y)＝2lg x·2lg yC ．2lg x·lg y ＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy)＝2lg x·2lg y【答案】D【解析】∵lg(xy)＝lg x ＋lg y ，∴2lg(xy)＝2lg x ＋lg y＝2lgx 2lgy，故选择D.1．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1D.72解析：选A 由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝3123log －＋1＝33log 2＋1＝2＋1＝3， 所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝5.3．设a ＝log 323，b ＝log 525，c ＝log 727，则( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >c >bD ．a >b >c解析：选D 因为log 323＝log 32－1，log 525＝log 52－1，log 727＝log 72－1，log 32>log 52>log 72，故a >b >c .4．已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1 B ．0<b <a －1<1 C ．0<b －1<a <1 D ．0<a －1<b －1<1解析：选A 令g (x )＝2x＋b －1，这是一个增函数， 而由图象可知函数y ＝log a g (x )是单调递增的， 所以必有a >1.又由图象知函数图象与y 轴交点的纵坐标介于－1和0之间， 即－1<f (0)<0，所以－1<log a b <0， 故a －1<b <1，因此0<a －1<b <1.5．若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞6．计算：log 2.56.25＋lg 0.001＋ln e ＋2－1＋log 23＝______. 解析：解析：原式＝log 2.5(2.5)2＋lg 10－3＋ln e 12＋2322log log 232 ＝2－3＋12＋32＝1.答案：17．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是______．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)8．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为______．9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集． 解：(1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)．。
高考数学总复习 对数与对数函数学案 理 北师大版
学案8对数与对数函数导学目标： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，a≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．自主梳理1．对数的定义如果________________，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，______叫做真数．2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a>0且a ≠1)①Na a log ＝____； ②1log a ＝____；③Na a log ＝____；④a a log ＝____.(2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝________________(a ，b 均大于零且不等于1)； ②b a log ＝ab log 1，推广d c b c b a log log log ••＝________.(3)对数的运算法则如果a>0且a ≠1，M>0，N>0，那么①log a (MN)＝___________________________；②log a MN＝______________________；③log a M n ＝__________(n ∈R )；④na M m log ＝n mlog a M .34.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数____________互为反函数，它们的图象关于直线______对称．自我检测1．(2010·四川)2log 510＋log 50.25的值为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．42．(2010·辽宁)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 的值为 ( )A.10 B ．10 C ．20 D ．1003．(2009·辽宁)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)的值为 ( )A.124B.112C.18D.384．(2010·安庆模拟)定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (13)＝0，则满足)(log 81x f >0的x 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0，12)∪(2，＋∞)C ．(0，18)∪(12，2)D ．(0，12)5．(2011·台州期末)已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系是______.探究点一 对数式的化简与求值例1计算：(1))32(log 32--；(2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (3)已知2lg x －y2＝lg x ＋lg y ，求yx )223(log -.变式迁移1 计算：(1)log 2748＋log 212－12log 242－1；(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.探究点二 含对数式的大小比较例2 (1)比较下列各组数的大小．①log 323与log 565；②log 1.10.7与log 1.20.7.(2)已知log 12b <log 12a <log 12c ，比较2b,2a,2c 的大小关系．变式迁移2 (1)(2009·全国Ⅱ)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则 ( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a(2)设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝a 21log ，(12)b ＝b 21log ，(12)c ＝log 2c ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <a0C ．c <a <bD ．b <a <c探究点三 对数函数的图象与性质例3 已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．变式迁移3 (2010·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 ( )A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)分类讨论思想的应用例(12分)已知函数f (x )＝log a (1－a x )(a >0，a≠1)．(1)解关于x 的不等式：log a (1－a x )>f (1)；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)是f (x )图象上的两点，求证：直线AB 的斜率小于0. 【答题模板】(1)解 ∵f (x )＝log a (1－a x )，∴f (1)＝log a (1－a )．∴1－a >0.∴0<a <1. ∴不等式可化为log a (1－a x )>log a (1－a )．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a x>0，1－a x <1－a .，即⎩⎨⎧a x <1，a x >a .∴0<x <1.∴不等式的解集为(0,1)．[4分](2)证明 设x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝)1(log 2x a a -－)1(log 1x a a -＝1211log x x a a a --.∵1－a x >0，∴a x <1.∴a >1时，f (x )的定义域为(－∞，0)；[6分] 0<a <1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)．当0<a <1时，∵x 2>x 1>0，∴2xa <1xa .∴1211x x a a -->1.∴1211log x x a aa --<0. ∴f (x 2)<f (x 1)，即y 2<y 1.同理可证，当a >1时，也有y 2<y 1.[10分] 综上：y 2<y 1，即y 2－y 1<0.∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1<0.∴直线AB 的斜率小于0.[12分] 【突破思维障碍】解决含参数的对数问题，不可忽视对底数a 的分类讨论，即a >1或0<a <1，其次要看定义域，如果将函数变换，务必保证等价性．1．求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤： (1)确定定义域；(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y ＝f (u )，u ＝g (x )；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝f (g (x ))为增函数，若一增一减，则y ＝f (g (x ))为减函数，即“同增异减”．2．用对数函数的性质比较大小 (1)同底数的两个对数值的大小比较 例如，比较log a f (x )与log a g (x )的大小， 其中a >0且a ≠1.①若a >1，则log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )>0. ②若0<a <1，则log a f (x )>log a g (x )⇔0<f (x )<g (x )． (2)同真数的对数值大小关系如图：图象在x 轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0<c <d <1<a <b . 3．常见对数方程式或对数不等式的解法(1)形如log a f (x )＝log a g (x )(a >0且a ≠1)等价于f (x )＝g (x )，但要注意验根．对于log a f (x )>log a g (x )等价于0<a <1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>>);()(,0)(,0)(x g x f x g x f a >1时，⎪⎩⎪⎨⎧>>>).()(,0)(,0)(x g x f x g x f(2)形如F (log a x )＝0、F (log a x )>0或F (log a x )<0，一般采用换元法求解．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·北京市丰台区高三一调)设M ＝{y |y ＝(12)x ，x ∈[0，＋∞)}，N ＝{y |y ＝log 2x ，x∈(0,1]}，则集合M ∪N 等于( )A ．(－∞，0)∪[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0)∪(0,1)2．(2010·全国Ⅰ)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a3．(2010·天津)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 4．(2011·济南模拟)设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有 ( )A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13)5．(2011·青岛模拟)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为 ( )A.12B.14 C ．2 D ．46．2lg 5＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝________.7．(2011·湖南师大附中检测)已知函数f (x )＝lg ax ＋a －2x在区间[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围是____________．8．已知f (3x )＝4x log 23＋233，则f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝________. 三、解答题(共38分)9．(12分)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．10．(12分)(2011·北京东城1月检测)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)若a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．11．(14分)(2011·郑州模拟)已知函数f(x)＝lg(a x－b x)(a>1>b>0)．(1)求y＝f(x)的定义域；(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．答案自主梳理1．a x＝N(a>0，且a≠1)x＝log a N a N 2.(1)①N②0③N④1(2)①log a N log a b②log a d(3)①log a M＋log a N②log a M－log a N③nlog a M 3.(1)(0，＋∞)(2)R(3)(1,0) 10(4)y>0y<0(5)y<0y>0 (6)增(7)减 4.y＝log a x y＝x自我检测1．C 2.A3．A[因为3<2＋log23<4，故f(2＋log23)＝f(2＋log23＋1)＝f(3＋log23)．又3＋log23>4，故f(3＋log23)＝⎝⎛⎭⎫123＋log23＝⎝⎛⎭⎫123·13＝124.]4．B[由题意可得：f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，f(|log 18x|)>f(13)，f(x)在[0，＋∞)上递增，于是|log18x|>13，解得x的取值范围是(0，12)∪(2，＋∞)．]5．m>n解析∵m<0，n<0，∵mn＝log a c·log c b＝log a b<log a a＝1，∴m>n.课堂活动区例1 解题导引 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．解 (1)方法一 利用对数定义求值： 设)32(log )32(-+＝x ，则(2＋3)x ＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1，∴x ＝－1.方法二 利用对数的运算性质求解：)32(log )32(-+＝)32(1log )32(++＝1)32()32(log -++＝－1. (2)原式＝12(lg 32－lg 49)－43lg 812＋12lg 245＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12lg (2×5)＝12lg 10＝12. (3)由已知得lg(x －y 2)2＝lg xy ，∴(x －y 2)2＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0.∴(x y )2－6(x y )＋1＝0.∴xy＝3±2 2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，x >0，y >0，∴x y >1，∴xy＝3＋22， ∴log (3－22)xy＝log (3－22)(3＋22) ＝log (3－22)13－22＝－1. 变式迁移1 解 (1)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22 ＝log 27×1248×42×2＝log 2122＝log 22－32＝－32.(2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25 ＝21g 2＋lg 25＝lg 100＝2. 例2 解题导引 比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较．解 (1)①∵log 323<log 31＝0，而log 565>log 51＝0，∴log 323<log 565.②方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2， ∴0>log 0.71.1>log 0.71.2.∴1log 0.71.1<1log 0.71.2， 由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.方法二 作出y ＝log 1.1x 与y ＝log 1.2x 的图象，如图所示，两图象与x ＝0.7相交可知log 1.10.7<log 1.20.7.(2)∵y ＝log 12x 为减函数，且log 12b <log 12a <log 12c ，∴b >a >c .而y ＝2x是增函数，∴2b >2a >2c .变式迁移2 (1)A [a ＝log 3π>1，b ＝12log 23，则12<b <1，c ＝12log 32<12，∴a >b >c .](2)A [∵a ，b ，c 均为正，∴log 12a ＝2a >1，log 12b ＝(12)b ∈(0,1)，log 2c ＝(12)c ∈(0,1)．∴0<a <12，12<b <1,1<c <2.故a <b <c .]例3解题导引本题属于函数恒成立问题，，2]时，|f(x)|恒小于等于1，恒成立问题一般有两种思路：一是利用图象转化为即对于x∈[13最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于本题底数a为参数，需对a分类讨论．解∵f(x)＝log a x，则y ＝|f (x )|的图象如右图．由图示，可使x ∈[13，2]时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a <1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞)．变式迁移3 C[画出函数f (x )＝|lg x |的图象如图所示．∵0<a <b ，f (a )＝f (b )，∴0<a <1，b >1，∴lg a <0，lg b >0.由f (a )＝f (b )，∴－lg a ＝lg b ，ab ＝1.∴b ＝1a ，∴a ＋2b ＝a ＋2a，又0<a <1，函数t ＝a ＋2a在(0,1)上是减函数，∴a ＋2a >1＋21＝3，即a ＋2b >3.]课后练习区1．C [∵x ≥0，∴y ＝(12)x ∈(0,1]，∴M ＝(0,1]．当0<x ≤1时，y ＝log 2x ∈(－∞，0]，即N ＝(－∞，0]． ∴M ∪N ＝(－∞，1]．]2．C [∵1a ＝log 23>1，1b＝log 2e>1，log 23>log 2e.∴1a >1b>1，∴0<a <b <1. ∵a ＝log 32>log 33＝12，∴a >12.b ＝ln 2>ln e ＝12，∴b >12.c ＝5－12＝15<12，∴c <a <b .]3．C [①当a >0时，f (a )＝log 2a ，f (－a )＝a 21log ，f (a )>f (－a )，即log 2a >a 21log ＝log 21a，∴a >1a，解得a >1.②当a <0时，f (a )＝)(log 21a -，f (－a )＝log 2(－a )，f (a )>f (－a )，即)(log 21a ->log 2(－a )＝a-1log 21， ∴－a <1－a ，解得－1<a <0，由①②得－1<a <0或a >1.]4．C [由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)．] 5．C [当x >0时，函数a x ，log a x 的单调性相同，因此函数f (x )＝a x ＋log a x 是(0，＋∞)上的单调函数，f (x )在[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝a 2＋a ＋log a 2，由题意得a 2＋a ＋log a 2＝6＋log a 2.即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．] 6．3 7．(1,2)解析 因为f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋a －2x 在区间[1,2]上是增函数，所以g (x )＝a ＋a －2x 在区间[1,2]上是增函数，且g (1)>0，于是a －2<0，且2a －2>0，即1<a <2.8．2 008解析 令3x ＝t ，f (t )＝4log 2t ＋233，∴f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1 864＝2 008. 9．解 ∵f (x )＝2＋log 3x ，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝log 23x ＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.……(4分)∵函数f (x )的定义域为[1,9]，∴要使函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9，∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，(8分)∴6≤(log 3x ＋3)2－3≤13.当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.∴当x ＝3时，函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)取最大值13.………………………………………(12分)10．解 (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．………………………………………………(4分) (2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．………………………………………………………………(8分) (3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x >1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．…………………………………(12分)11．解 (1)由a x －b x >0，得(a b )x >1，且a >1>b >0，得ab >1，所以x >0，即f (x )的定义域为(0，＋∞)．…………………………………………………………………………………………(4分)(2)任取x 1>x 2>0，a >1>b >0，则1x a >2xa >0，21x x b b <，所以11x x b a ->22x x b a ->0，即)lg(11x x b a->)lg(22x x b a -．故f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．………………………………………………………(8分) 假设函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，使直线平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f (x )是增函数矛盾．故函数y ＝f (x )的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x 轴．…………(10分) (3)因为f (x )是增函数，所以当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)．这样只需f (1)＝lg(a －b )≥0，即当a ≥b ＋1时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．……………………………………………(14分)。
对数与对数函数学案
学科教师辅导教案学员编号： 年 级：新高一 课 时 数：3学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师：授课类型T- 对数的概念与运算性质 C- 对数的换底公式及对数恒等式 T- 对数函数的图像与性质 星 级 ★★★ ★★★ ★★★★教学目的 (1)理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数。
(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。
(3)掌握对数函数这类重要的函数模型。
授课日期及时段教学内容某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，…现有2个这样的细胞，分裂x 次后得到的细胞个数y=2x ，请问分裂多少次可以得到一万个细胞?知识结构1. 对数(1)对数：如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的 ，记作x ＝ .其中a 叫做对数的 ，N 叫做 .(2)两类重要的对数①常用对数：以 为底的对数叫做常用对数，记作 ；②自然对数：以 为底的对数称为自然对数，记作 .注：(i)无理数e ＝2.718 28…；(ii)负数和零没有对数；(iii)log a 1＝ ，log a a ＝ .(3)对数与指数之间的关系当a ＞0，a ≠1时，a x ＝N x ＝log a N .(4)对数运算的性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：① log a (MN )＝ ； ②log a M N＝ ；② log a M n ＝ ； ④n a M m log ＝ ；例1、求下列各式的值：(1) log 535＋2log 212－log 5150－log 514；(2)cb b a a log ·log (a ，b 是不为1的正数，c >0)；(3)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52).例2、设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c方法回顾对数式的化简、求值问题，要注意对数运算性质的逆向运用，但无论是正向还是逆向运用都要注意对数的底数须相同。
对数与对数运算学案.doc
2.2.1对数与对数运算教学目的：(1)理解对数的概念；(2)能够说明对数与指数的关系；(3)掌握对数式与指数式的相互转化.教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化教学难点：对数概念的理解.教学过程：一、引入课题1.1.庄子：一尺之極，日取其半，万世不竭.(1)取4次，还有多长？(2)取多少次，还有0.125 尺？2.假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？抽象出：l.(-)4=? (-)x=0.125=>x=?2 22.(l+8%)x=2=>x=?都是已知底数和幕的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子，已知底数和幕的值，求指数,这就是我们这节课所要学习的对数二、新课教学1.对数的概念一般地，如果a* (a〉0,aHl),那么数x叫做纠a为原N的对数(Logarithm),记作：x = log a Na一底数，N一真数，loga N—对数式说明：①注意底数的限制。
>0,且a^l；© a x = N o loga N = x ；®注意对数的书写格式. :提出问题------------为什么在对数定义中规定a>0,a#l?根据对数定义求logal和log a a(a>0,a#l)的值.负数与零有没有对数？a 呃“ =N与log a a b=b(a>0,a#l)是否成立？讨论结果：①这是因为若aVO,则N为某些值时,b不存在，如log (-2)|;若a=0,N不为0时.b不存在，如log03,N为0时,b可为任意正数，是不唯一的，即log。
有无数个值；若a=l,N不为1时,b不存在，如logi2,N为1时,b可为任意数，是不唯一的，即lo gl l有无数个值. 综之，就规定了a>0且洋1.log a l=0,log a a=l.因为对任意a>0且洋1,都有a°=l,所以log a l=0.同样易知：1 og a a=l.即1的对数等于0,底的对数等于1.因为底数a>0且時1,由指数函数的性质可知，对任意的b£R,a b>0恒成立，即只有正数才有对数，零和负数没有对数.因为ab=N，所以b=log a N,a b=a log<,A，=N，即a°ia N =N.因为aJ?,所以logaab=b.故两个式子都成立(«10g^=N叫对数恒等式)对数的性质(1)负数和零没有对数；(2)1的对数是零：log。
对数函数图像性质(1)导学案
g ( x) log 1 x
2
的图象。
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二，体会指 数函数和 对数函数 的关系，图 像的关系。 图
O (1,0) x
O
3、类比指数函数的研究思路，分析总结对数函数的图象和性质：
a 1
y
y
0 a 1
(1,0) x
象
性 当 x 1 时， y 当 0 x 1 时， y 质 增区间
课堂因展示更精彩
高一年级（必修 1）导学案
姓名 课 题 主备人 累 计 课 时 学习 目标 重难点 学法指导 一、自主学习 认真做好 自学，和知 识梳理。
x 1、复习：画出 y 2 、 指数函数的性质。
班级
小组
小组评价 课 型 审 核
教师评价 课 时 审 批 2017 年 月 日星期 第 课时
对数函数 y loga x 的图像性质
是自变量，
g ( x) log1 x
2
，完成下列填空
1 f( ) （1） 4 =
1 g( ) （2） 4 =
1 f( ) 、 2 = 1 g( ) 、 2 =
、 f (1) =
；
、g (1) =
、g (2) =
、 g (4) =
。
2、在坐标纸上画出函数 f ( x) log2 x 和 认真阅读 92 页 方 法
1 log2 x
(3)y= log 7
1 1 3x
(4) y log3 x
收获体会
-2-
执教者 总第 课时
使用时间
1、理解对数函数的概念。 2、掌握掌握对数函数的图像和性质。 重点：对数函数的概念、图像和性质； 难点：对数函数的图像和性质与其底数的关系。 学习流程及内容 课堂随笔
对数函数学案
2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第一课时对数Q 情景引入ing jing yin ru“对数”(logarithm)一词是纳皮尔首先创造的，意思是“比数”．他最早用“人造的数”来表示对数．俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥思苦想没法解决，睡觉时做了一个梦，梦中一位老人提示他解答的方法，醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来，大家一看竟是数学家纳皮尔，这个传说告诉我们：纳皮尔在人们心目中的地位是多么地高！那么，“对数”到底是什么呢？学完本节内容就明白了！X 新知导学in zhi dao xue1．对数的概念若a x＝N(a＞0，且a≠1)，则数x叫做以a为底N的对数，a叫做对数的__底数__，N 叫做__真数__，记作x＝__log a N__.[知识点拨]对数式log a N可看作一种记号，表示关于x的方程a x＝N(a＞0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，且a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式log a N又可看作幂运算的逆运算．2．常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以__10__为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为__lg N__.(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把log e N记为__ln N__.3．对数与指数的关系当a＞0，且a≠1时，a x＝N⇔x＝__log a N__.4．对数的基本性质(1)__零__和__负数__没有对数．(2)log a1＝__0__(a＞0，且a≠1)．(3)log a a＝__1__(a＞0，且a≠1)．Y 预习自测u xi zi ce1．将a b ＝N 化为对数式是( B ) A ．log b a ＝N B ．log a N ＝b C ．log N b ＝aD ．log N a ＝b[解析] 根据对数定义知a b ＝N ⇔b ＝log a N ，故选B. 2．若log 8x ＝－23，则x 的值为( A )A.14 B ．4 C ．2D ．12[解析] ∵log 8x ＝－23，∴x ＝8－23 ＝2－2＝14，故选A.3．对数式log a 8＝3改写成指数式为( D ) A ．a 8＝3 B ．3a ＝8 C ．83＝aD ．a 3＝8[解析] 根据指数式与对数式的互化可知，把log a 8＝3化为指数式为a 3＝8，故选D. 4．若log 2x －12＝1，则x ＝__5__.[解析] ∵log 2x －12＝1，∴x －12＝2，∴x ＝5.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨指数式与对数式的互化典例1 完成以下指数式、对数式的互化.(1)log 515＝－1；(2)log 12 16＝－4；(3)log 5125＝6；(4)26＝64；(5)10－3＝0.001；(6)(12)－3＝8.[思路分析] 先判断出是指数式还是对数式，再利用指对数的关系转化求解． [解析] (1)∵log 515＝－1，∴5－1＝15.(2)∵log 12 16＝－4，∴(12)－4＝16.(3)∵log 5125＝6，∴(5)6＝125. (4)∵26＝64，∴log 264＝6.(5)∵10－3＝0.001，∴lg0.001＝－3. (6)∵(12)－3＝8，∴log 128＝－3.『规律方法』 对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值，而对数值b 是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a ＞0且a ≠1，N ＞0时，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N .〔跟踪练习1〕将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)42＝16； (2)102＝100；(3)412＝2；(4)log 1232＝－5. [解析] (1)log 416＝2. (2)lg100＝2. (3)log 42＝12.(4)(12)－5＝32. 命题方向2 ⇨对数定义与性质的应用典例2 求下列各式中的x ：(1)log 3(log 2x )＝0； (2)log 3(log 7x )＝1； (3)lg(ln x )＝1; (4)lg(ln x )＝0.[思路分析] 利用指数式与对数式的互化进行解答． [解析] (1)由log 3(log 2x )＝0得log 2x ＝1，∴x ＝2； (2)log 3(log 7x )＝1，log 7x ＝31＝3， ∴x ＝73＝343； (3)lg(ln x )＝1，ln x ＝10， ∴x ＝e 10；(4)lg(ln x )＝0，ln x ＝1， ∴x ＝e.『规律方法』 对数性质在计算中的应用 (1)对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．〔跟踪练习2〕 求下列各式中x 的值：(1)x ＝log 12 16； (2)log 8x ＝－13；(3)log 2(log 4x )＝0； (4)log (2－1)13＋22＝x .[解析] (1)∵x ＝log 12 16，∴(12)x ＝16，即2－x ＝24.∴－x ＝4，即x ＝－4.(2)∵log 8x ＝－13，∴x ＝8－13 ＝1 38＝12.(3)∵log 2(log 4x )＝0，∴log 4x ＝1，∴x ＝4. (4)∵log (2－1)13＋22＝x ，∴(2－1)x ＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1，∴x ＝1.命题方向3 ⇨对数恒等式的应用典例3 计算：(1)71－log 75；(2)412 (log 29－log 25)；(3)a log a b ·log b c (a 、b 均为不等于1的正数，c ＞0)． [解析] (1)原式＝77log 75＝75.(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95. (3)原式＝(a log a b )log b c ＝b log b c ＝c .『规律方法』 运用对数恒等式时注意事项 (1)对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．〔跟踪练习3〕求31＋log 36－24＋log 23＋103lg3＋(19)log 34的值．[解析] 原式＝3·3log 36－24·2log 23＋(10lg3)3＋(3log 34)－2 ＝3×6－16×3＋33＋4－2 ＝18－48＋27＋116＝－4716.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi因忽视对数式的底数和真数的取值范围致误典例4 对数式log (a －2)(5－a )＝b 中，实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，5)B ．(2,5)C ．(2，＋∞)D ．(2,3)∪(3,5)[错解] A由题意，得5－a >0，∴a <5.[错因分析] 该解法忽视了对数的底数和真数都有范围限制，只考虑了真数而忽视了底数．[正解] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，a －2>0，a －2≠1，∴2<a <3或3<a <5.故选D.[警示] 对数的真数与底数都有范围限制，不可顾此失彼． X 学科核心素养ue ke he xin su yang再谈等价转化指数式与对数式可以相互转化，利用这种转化关系可以求解指对方程与不等式及指数对数运算．将等式两端取同底的对数，是指数对数转化的另一种表现形式．典例5 若log 12 x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y 的值.[思路分析] 14＝(12)2，两个对数式可以通过指数对数互化化为指数式，于是可以运用幂的运算法则求x 2y.[解析] ∵log 12x ＝m ，∴(12)m ＝x ，x 2＝(12)2m .∵log 14 y ＝m ＋2，∴(14)m ＋2＝y ，y ＝(12)2m ＋4.∴x 2y ＝(12)2m (12)2m ＋4＝(12)2m －(2m ＋4)＝(12)－4＝16.K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．下列说法： ①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成为对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] ①正确；②当底数小于0的指数式不可以化成对数式；③④叫法正确，故选C.2．若b ＝a 3(a >0且a ≠1)，则有( B ) A ．log a 3＝b B ．log a b ＝3 C ．log b 3＝aD ．log b a ＝3[解析] ∵b ＝a 3，∴log a b ＝3，故选B.3．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B ) A ．100＝1与lg1＝0 B ．27－13＝13与log 2713＝－3 C ．log 39＝2与32＝9 D ．log 55＝1与51＝5 [解析] 对B 选项27－13＝13化为对数式为log 2713＝－13. 4．若对数log (x －1)(4x －5)有意义，则x 的取值范围是__(54，2)∪(2，＋∞)__.[解析] 要使对数log (x －1)(4x －5)有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －5>0x －1>0x －1≠1，∴x >54且x ≠2.5．将下列指数式与对数式互化： (1)log 216＝4； (2)log 1327＝－3；(3)log 3x ＝6；(4)43＝64； (5)3－2＝19；(6)(14)－2＝16. [解析] (1)∵log 216＝4，∴24＝16. (2)∵log 13 27＝－3，∴(13)－3＝27.(3)∵log3x ＝6，∴(3)6＝x .(4)∵43＝64，∴log 464＝3. (5)∵3－2＝19，∴log 319＝－2.(6)∵(14)－2＝16，∴log 1416＝－2.A 级 基础巩固一、选择题1．(2015·盘锦高一检测)下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B ) A ．e 0＝1与ln1＝0 B ．log 39＝2与912＝3C ．8－13＝12与log 812＝－13D ．log 77＝1与71＝7[解析] log 39＝2化为指数式为32＝9，故选B. 2．把对数式x ＝lg2化成指数式为( A ) A ．10x ＝2 B ．x 10＝2 C ．x 2＝10D ．2x ＝10[解析] 由指数、对数的互化可得x ＝lg2⇔10x ＝2，故选A. 3．log x 3y ＝4，则x 、y 之间的关系正确的是( A ) A ．x 4＝3y B ．y ＝64x C ．y ＝3x 4D ．x ＝3y 2[解析] 将对数式log x 3y ＝4化为指数式为x 4＝3y ，故选A. 4．(12)－1＋log 0.54的值为( C )A ．6B ．72C ．8D ．37[解析] (12)－1＋log 0.54＝(12)·(12)log 0.54＝(12)－1·(12)log 12 4＝2×4＝8.5．方程2log 3x ＝14的解是( A )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝3D ．x ＝9[解析] ∵2log 3x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.6．已知f (e x )＝x ，则f (3)＝( B ) A ．log 3e B ．ln3 C ．e 3D ．3e[解析] 令e x ＝3，∴x ＝ln3，∴f (3)＝ln3，故选B. 二、填空题7．若log π[log 3(ln x )]＝0，则x ＝__e 3__. [解析] 由题意，得log 3(ln x )＝1， ∴ln x ＝3，∴x ＝e 3. 8．log2－1(2＋1)＋ln1－lg1100＝__1__. [解析] 设log 2－1(2＋1)＝x ，则(2－1)x ＝2＋1＝12－1＝(2－1)－1，∴x ＝－1；设lg 1100＝y ，则10y ＝1100＝10－2，∴y ＝－2；又ln1＝0，∴原式＝－1＋0－(－2)＝1. 三、解答题9．求下列各式的值：(1)log 464； (2)log 31； (3)log 927； (4)2log 2π. [解析] (1)设log 464＝x ，则4x ＝64， ∵64＝43，∴x ＝3，∴log 464＝3. (2)设log 31＝x ，则3x ＝1， ∵1＝30，∴x ＝0，∴log 31＝0. (3)设log 927＝x ，则9x ＝27即32x ＝33， ∴2x ＝3即x ＝32，∴log 927＝32.(4)设2log 2π＝x ，则log 2π＝log 2x ＝u ， ∴π＝2u ，x ＝2u ，∴x ＝π，即2log 2π＝π.B 级 素养提升一、选择题1．在b ＝log (3a －1)(3－2a )中，实数a 的取值范围是( B ) A ．a ＞32或a ＜13B.13＜a ＜23或23＜a ＜32 C.13＜a ＜32D.23＜a ＜32[解析] 要使式子b ＝log (3a －1)(3－2a )有意义，则 ⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＞0，3a －1≠1，3－2a ＞0即13＜a ＜23或23＜a ＜32，故选B. 2．log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x －12等于( C )A.66 B ．39C.24D ．23[解析] ∵log 5[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴x ＝23＝8， ∴x－12＝8－12＝18＝122＝24，故选C. 3．若log a 3＝2log 230，则a 的值为( B ) A ．2 B ．3 C ．8D ．9[解析] ∵log a 3＝2log 230＝20＝1，∴a ＝3，故选B. 4．已知lg a ＝2.31，lg b ＝1.31，则ba 等于( B )A.1100 B ．110C ．10D ．100[解析] ∵lg a ＝2.31，lg b ＝1.31， ∴a ＝102.31，b ＝101.31， ∴b a ＝101.31102.31＝10－1＝110. 二、填空题5．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝__12__. [解析] ∵log a 2＝m ，∴a m ＝2，∴a 2m ＝4， 又∵log a 3＝n ，∴a n ＝3，∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝4×3＝12.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x ＞1，若f (x )＝2，则x ＝__log 32__.[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3x ＝2⇒x ＝log 32，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1－x ＝2⇒x ＝－2无解． 三、解答题7．求下列各式中的x ： (1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)log x (3＋22)＝－2； (4)log 5(log 2x )＝0； (5)x ＝log 2719；(6)x ＝log 1216.[解析] (1)由log x 27＝32，得x 32 ＝27， ∴x ＝2723＝9.(2)由log 2x ＝－23，得x ＝2－23 ＝322.(3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2， ∴x ＝(3＋22)－12＝2－1.(4)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1， ∴x ＝21＝2.(5)由log 2719＝x ，得27x ＝19，33x ＝3－2，∴3x ＝－2，∴x ＝－23.(6)由log 12 16＝x ，得(12)x ＝16，即2－x ＝24，∴x ＝－4.C 级 能力拔高1．求下列各式中x 的值： (1)x ＝log 224；(2)x ＝log 93； (3)log x 8＝－3；(4)log 12x ＝4.[解析] (1)由已知得(22)x＝4， ∴2－x 2＝22，－x2＝2，x ＝－4.(2)由已知得9x ＝3，即32x ＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)由已知得x －3＝8， 即(1x )3＝23，1x ＝2，x ＝12. (4)由已知得x ＝(12)4＝116.2．设x ＝log 23，求23x －2－3x2x －2－x的值.[解析] 由x ＝log 23，得2－x ＝13，2x ＝3，∴23x －2－3x 2x －2－x ＝(2x )3－(2－x )32x －2－x＝(2x )2＋1＋(2－x )2＝32＋1＋(13)2＝919. 第二课时 对数的运算性质Q 情景引入ing jing yin ru已知对数log 864，log 264，log 28，log 464，log 48.对数log 864的值与对数log 264和log 28的值有什么关系？ 对数log 864的值与对数log 464和log 48的值有什么关系？ 由上面的问题你能得出什么结论？ X 新知导学in zhi dao xue1．对数的运算性质[知识点拨]a a M )(log a N )，log a (M ＋N )≠log a M ＋log a N ，log a M N ≠log a M log a N.2．换底公式log a b ＝__log c blog c a __(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．[知识拓展] (1)可用换底公式证明以下结论：①log a b ＝1log b a ；②log a b ·log b c ·log c a ＝1；③log an b n ＝log a b ；④log an b m ＝m n log a b ；⑤log 1a b＝－log a b .(2)对换底公式的理解：换底公式真神奇，换成新底可任意， 原底加底变分母，真数加底变分子． Y 预习自测u xi zi ce1．若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数是( A ) ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )； ③log a xy ＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y . A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] 由对数运算法则知，均不正确．故选A. 2．lg20＋lg50的值为( C ) A ．70 B ．1 000 C ．3D ．52[解析] lg20＋lg50＝lg1 000＝3.故选C. 3．log 62＋log 63等于( A ) A ．1 B ．2 C ．5D ．6 [解析] log 62＋log 63＝log 62×3＝log 66＝1. 4．log 23·log 34＝__2__.[解析] log 23·log 34＝lg3lg2·lg4lg3＝lg3lg2·2lg2lg3＝2.5．计算下列各式的值： (1)2lg5＋lg4＋e ln2＋log222；(2)(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)．[解析] (1)原式＝2lg5＋2lg2＋2＋3＝2(lg5＋lg2)＋5＝7. (2)原式＝(log 23＋log 29log 28)(log 322＋log 38log 39＋log 32)＝(log 23＋23log 23)(2log 32＋32log 32＋log 32)＝(53log 23)(92log 32)＝152.H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi典例1 用log a x ，log a y ，log a z 表示：(1)log a(xy 2)；(2)loga (x y )；(3)log a3x yz 2. [解析] (1)log a (xy 2)＝log a x ＋log a y 2＝log a x ＋2log a y . (2)log a (x y )＝log a x ＋log a y ＝log a x ＋12log a y .(3)log a3x yz 2＝13log a x yz 2＝13(log a x －log a (yz 2))＝13(log a x －log a y －2log a z )． 『规律方法』 对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．〔跟踪练习1〕用log a x 、log a y 、log a z 表示下列各式： (1)log a (x 3y 5)； (2)log axyz. [解析] (1)log a (x 3y 5)＝log a x 3＋log a y 5 ＝3log a x ＋5log a y . (2)log axyz＝log a x －log a (yz ) ＝log a x 12－(log a y ＋log a z )＝12log a x －log a y －log a z . 命题方向2 ⇨运用对数的运算性质化简求值典例2 计算下列各式的值：(1)lg 27＋lg8－3lg 10lg1.2；(2)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(3)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1. [思路分析] 利用对数的运算性质计算．[解析] (1)原式＝lg (33)12 ＋lg23－3lg1012lg 3×2210＝32(lg3＋2lg2－1)lg3＋2lg2－1＝32.(2)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55 ＝2log 55＝2.(3)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2 ＝lg 2(lg2＋lg5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2 ＝1.『规律方法』 灵活运用对数运算法则进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案进行对数运算．〔跟踪练习2〕 求下列各式的值： (1)log 318－log 36； (2)log 1123＋2log 1122；(3)lg 28＋43＋log 28－43； (4)lg3＋2lg2－1lg1.2.[解析] (1)原式＝log 3186＝log 33＝1.(2)原式＝log 1123＋log 1124＝log 11212＝－1.(3)原式＝log 2[8＋438－43]＝log 282－(43)2＝log 264－48)＝log 24＝2. (4)原式＝lg3＋lg4－1lg1.2＝lg1.2lg1.2＝1.命题方向3 ⇨换底公式的应用典例3 (1)计算log 2125·log 318·log 519；(2)若log 34·log 48·log 8m ＝log 42，求m 的值.[思路分析] (1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m 的值．[解析] (1)原式＝lg 125lg2·lg 18lg3·lg 19lg5＝(－2lg5)·(－3lg2)·(－2lg3)lg2·lg3·lg5＝－12.(2)由题意，得lg4lg3·lg8lg4·lg m lg8＝lg m lg3＝12，∴lg m ＝12lg3，即lg m ＝lg312 ， ∴m ＝ 3.『规律方法』 关于换底公式的用途和本质：(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ＝1log b a ；log a a n ＝n ，log am b n ＝nmlog a b ；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．〔跟踪练习3〕 计算下列各式的值： (1)log 89·log 2732； (2)log 927； (3)log 21125·log 3132·log 513. [解析] (1)log 89·log 2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.(2)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32.(3)log 21125·log 3132·log 513＝log 25－3·log 32－5·log 53－1＝－3log 25·(－5log 32)·(－log 53)＝－15·lg5lg2·lg2lg3·lg3lg5＝－15.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi因忽视对数的真数大于零而致误典例4 解方程lg(x ＋1)＋lg x ＝lg6.[错解] ∵lg(x ＋1)＋lg x ＝lg[x (x ＋1)]＝lg(x 2＋x )， ∴lg(x 2＋x )＝lg6，∴x 2＋x ＝6，解得x ＝2或x ＝－3.[错因分析] 错解中，去掉对数符号后方程x 2＋x ＝6与原方程不等价，产生了增根，其原因是在x 2＋x ＝6中x ∈R ，而在原方程中，应有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x >0.求解之后再验根即可．[正解] ∵lg(x ＋1)＋lg x ＝lg[x (x ＋1)]＝lg6，∴x (x ＋1)＝6，解得x ＝2或x ＝－3，经检验x ＝－3不符合题意，∴x ＝2. X 学科核心素养ue ke he xin su yang转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力典例5 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值；(2)已知log 23＝a,3b ＝7，求log 1256.[思路分析] (1)欲求2x ＋1y 的值，已知3x ＝36,4y ＝36，由此两式怎样得到x ，y ，容易想到对数的定义——故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决；(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式3b ＝7化为对数式解决．观察所给数字特征、条件式中为2、3、7，又12＝3×22,56＝7×23，故还可以利用换底公式的推论log an b m ＝mnlog a b ，将条件中的对数式log 23＝a 化为指数式解答．[解析] (1)由已知分别求出x 和y ， ∵3x ＝36,4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364，∴1x ＝log 363，1y ＝log 364，∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1. (2)解法一：因为log 23＝a ，所以2a ＝3.又3b ＝7，故7＝(2a )b ＝2ab ，故56＝23＋ab，又12＝3×4＝2a ×4＝2a ＋2，从而log 1256＝log 2a ＋223＋ab＝3＋aba ＋2. 解法二：因为log 23＝a ，所以log 32＝1a .又3b ＝7，所以log 37＝b .从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a ＝ab ＋3a ＋2.『规律方法』 1.应用换底公式应注意的事项 (1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数． 思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值． K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．若lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12lg15等于( D )A.2a ＋b 1＋a ＋b B ．2a ＋2b 1＋a ＋bC.2a ＋b 2－a ＋b D ．2a ＋b1－a ＋b[解析]lg12lg15＝lg3＋2lg2lg3＋(1－lg2)＝2a ＋b 1－a ＋b. 2．计算log 89·log 932的结果为( B ) A ．4 B ．53C.14D ．35[解析] log 89·log 932＝lg9lg8·lg32lg9＝5lg23lg2＝53，故选B.3．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( A ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1[解析] log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33) ＝3log 32－2(log 32＋1) ＝3a －2(a ＋1)＝a －2.故选A. 4.12log 612－log 62＝__12__. [解析] 原式＝12log 612－12log 62＝12log 6122＝12log 66＝12. 5．计算：(1)lg14－2lg 73＋lg7－lg18；(2)2lg2＋lg32＋lg0.36＋2lg2； (3)lg 25＋lg2·lg50.[解析] (1)解法一：原式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2 ＝0.解法二：原式＝lg14－lg(73)2＋lg7－lg18＝lg 14×7(73)2×18＝lg1＝0.(2)原式＝2lg2＋lg32＋lg36－2＋2lg2＝2lg2＋lg34lg2＋2lg3＝12.(3)原式＝lg 25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg 25＋1－lg 25＝1.A 级 基础巩固一、选择题1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( B ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c2．如果lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x 等于( C ) A ．a ＋2b －3c B ．a ＋b 2－c 3 C.ab 2c3 D ．2ab 3c[解析] lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ＝lg ab 2c 3，∴x ＝ab 2c3，故选C.3．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为( A )A ．3B ．8C ．4D ．log 48 [解析] x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 49＋log 4(83)2＝log 4(9×649)＝log 464＝3，故选A.4．若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于( D ) A ．3 B ．9 C ．18D ．27[解析] 原式可化为：log 8m ＝2log 34，∴13log 2m ＝2log 43，∴m 13＝3，m ＝27，故选D.5．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于( C )A.13 B ．123C.122D ．133[解析] log 7[log 3(log 2x )]＝0，则log 3(log 2x )＝1，log 2x ＝3，x ＝8，因此x －12＝122.故选C.6．已知2a ＝5b ＝M ，且2a ＋1b ＝2，则M 的值是( B )A ．20B ．25C ．±25D ．400[解析] ∵2a ＝5b ＝M ，∴a ＝log 2M ＝lg Mlg2，b ＝log 5M ＝lg Mlg5，∴1a ＝lg2lg M， 1b ＝lg5lg M ，∴2a ＋1b ＝2lg2lg M ＋lg5lg M ＝lg4＋lg5lg M ＝lg20lg M ＝2， ∴2lg M ＝lg20，∴lg M 2＝lg20， ∴M 2＝20， ∵M >0，∴M ＝2 5. 二、填空题7．2log 525＋3log 264－8ln1＝__22__.[解析] 原式＝2×2＋3log 226－8·ln1＝4＋3×6－0＝22. 8．化简log 2(2＋3)＋log 2(2－3)＝__0__. [解析] log 2(2＋3)＋log 2(2－3) ＝log 2(2＋3)·(2－3)＝log 21＝0. 三、解答题9．计算：(1)(log 3312 )2＋log 0.2514＋9log 55－log 31；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[解析](1)(log 3312 )2＋log 0.2514＋9log 55－log 31＝(12)2＋1＋9×12－0＝14＋1＋92＝234.(2)原式＝lg25＋lg823＋lg102·lg(10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝lg(25×4)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.B 级 素养提升一、选择题1．若x log 34＝1，则4x ＋4－x 的值为( B ) A.83 B ．103C ．2D ．1[解析] 由x log 34＝1得x ＝log 43，所以4x ＋4－x ＝3＋13＝103，故选B.2．lg8＋3lg5的值为( D ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3[解析] lg8＋3lg5＝3lg2＋3lg5＝3(lg2＋lg5)＝3lg10＝3，故选D. 3．已知lg a ＝1.63，lg b ＝1.15，lg c ＝4.11，则a 2bc 的值为( D )A ．－2B ．2C ．100D ．1100[解析] ∵lg a 2bc ＝2lg a －lg b －lg c＝2×1.63－1.15－4.11＝－2. ∴a 2bc ＝10－2， ∴a 2bc ＝1100.故选D. 4.log 2716log 34＝( D ) A ．2 B ．32C ．1D ．23[解析] 由公式log a n b m ＝mn log a b ，得原式＝log 3342log 34＝23log 34log 34＝23.二、填空题5．lg 52＋2lg2－(12)－1＝__－1__.[解析] lg 52＋2lg2－(12)－1＝lg 52＋lg4－2＝－1.6．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log (abc )x ＝__1__. [解析] ∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12.同理log x c ＝16，log x b ＝13. ∴log abc x ＝1log x (abc )＝1log x a ＋log x b ＋log x c ＝1.三、解答题7．已知log a 2＝m ，log a 3＝n . (1)求a 2m－n的值；(2)求log a 18.[解析] (1)因为log a 2＝m ，log a 3＝m ， 所以a m ＝2，a n ＝3.所以a 2m －n ＝a 2m ÷a n ＝22÷3＝43.(2)log a 18＝log a (2×32)＝log a 2＋log a 32＝log a 2＋2log a 3＝m ＋2n .C 级 能力拔高1．若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值. [解析] 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0，设t ＝lg x ， 则原方程化为2t 2－4t ＋1＝0. 所以t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝12.由已知a ，b 是原方程的两个实根，则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，所以lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.所以lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )(lg b lg a ＋lg alg b )＝(lg a ＋lg b )[(lg b )2＋(lg a )2]lg a lg b＝(lg a ＋lg b )·(lg b ＋lg a )2－2lg a lg blg a lg b＝2×22－2×1212＝12.2．已知3x ＝4y ＝6z .(1)若z ＝1，求(x －1)(2y －1)的值； (2)若x ，y ，z 为正数，求证：2x ＋1y ＝2z.[解析] (1)由3x ＝4y ＝6得x ＝log 36，y ＝log 46， 所以(x －1)(2y －1)＝(log 36－1)(2log 46－1) ＝log 32·log 49＝lg2lg3·2lg32lg2＝1.(2)证明：设3x ＝4y ＝6z ＝m (m >1)， 则x ＝log 3m ，y ＝log 4m ，z ＝log 6m . 所以1x ＝log m 3，1y ＝log m 4，1z＝log m 6.又因为2log m 3＋log m 4＝log m 36＝2log m 6，所以2x ＋1y ＝2z.2.2.2 对数函数及其性质 第一课时 对数函数及其性质Q 情景引入ing jing yin ru我们所处的地球正当壮年，地壳运动还非常频繁，每年用地震仪可以测出的地震大约有500万次，平均每隔几秒钟就有一次，其中3级以上的大约只有5万次，仅占1%,7级以上的大震每年平均约有18次，8级以上的地震每年平均仅1次，那么地震的震级是怎么定义的呢？这里面就要用到对数函数．X 新知导学in zhi dao xue1．对数函数的定义一般地，我们把函数y ＝__log a x __(a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中__x __是自变量，函数的定义域是__(0，＋∞)__.[知识点拨] (1)由于指数函数y ＝a x 中的底数a 满足a ＞0，且a ≠1，则对数函数y ＝log a x 中的底数a 也必须满足a ＞0，且a ≠1.(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x .2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象和性质如下表所示：定义域：__(0，＋∞)__对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．Y预习自测u xi zi ce1．下列函数是对数函数的是(D)A．y＝2＋log3xB．y＝log a(2a)(a＞0，且a≠1)C．y＝log a x2(a＞0，且a≠1)D．y＝ln x[解析]判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝log a x”的形式，A，B，C全错，D正确．2．函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为(C)A．(－∞，－1)B．[－1，＋∞)C．(－1，＋∞)D．(1，＋∞)[解析]要使函数有意义，应满足x＋1>0，∴x>－1，故选C.3．函数y＝log a x的图象如图所示，则实数a的可能取值为(A)A．5B．15C.1e D．12[解析]∵函数y＝log a x的图象一直上升，∴函数y＝log a x为单调增函数，∴a＞1，故选A.4．对数函数的图象过点P(9,2)，则此对数函数的解析式为__y＝log3x__. [解析]设对数函数为y＝log a x，∴2＝log a9，∴a＝3，∴解析式为y＝log3x.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1⇨对数函数概念典例1 下列函数表达式中，是对数函数的有(B)①y＝log x2；②y＝log a x(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝log x(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．A．1个B．2个C．3个D．4个[思路分析](1)对数概念对底数、真数、系数的要求是什么？[解析]根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0且a≠1，∴②不是对数函数；由于⑤、⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤、⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x系数为2，∴⑥不是对数函数；只有③、④符合对数函数的定义．『规律方法』对于对数概念要注意以下两点：(1)在函数的定义中，a>0且a≠1.(2)在解析式y＝log a x中，log a x的系数必须为1，真数必须为x，底数a必须是大于0且不等于1的常数．〔跟踪练习1〕指出下列函数中，哪些是对数函数？①y＝5x；②y＝－log3x；③y＝log0.5x；④y＝log32x；⑤y＝log2(x＋1)．[解析]①是指数函数；②中log3x的系数为－1，∴②不是对数函数；③中的真数为x，∴③不是对数函数；⑤中的真数是(x＋1)，∴⑤不是对数函数；∴只有④是对数函数．命题方向2⇨对数函数的定义域典例2 求下列函数的定义域：(1)f (x )＝log (2x －1)(2－x )；(2)f (x )＝2－ln (3－x )；(3)f (x )＝3log 0.5(x －1).[思路分析] 依据使函数有意义的条件列出不等式组→解不等式组→写出函数的定义域．[解析] (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，且2x －1≠1，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >12，且x ≠1，x <2，∴12<x <2，且x ≠1，故函数的定义域为{x |12<x <2，且x ≠1}． (2)要使函数有意义，需使2－ln(3－x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≤e 2，3－x >0，解得3－e 2≤x <3，故函数的定义域为{x |3－e 2≤x <3}． (3)要使函数有意义，需使log 0.5(x －1)>0， 即log 12(x －1)>0，∴0<x －1<1，即1<x <2.故函数的定义域为{x |1<x <2}．『规律方法』 定义域是研究函数的基础，若已知函数解析式求定义域，常规为：①分母不能为零，②0的零次幂与负指数次幂无意义，③偶次方根的被开方式(数)非负，④求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性．〔跟踪练习2〕 (1)函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( C )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)(2)函数y ＝f (x )的定义域为(－1,1)，则函数y ＝f (lg x )的定义域为__(110，10)__.[解析] (1)使函数有意义应满足log 2x －1>0， 即log 2x >1，∴x >2，故选C. (2)由y ＝f (x )定义域为(－1,1)知 －1＜lg x ＜1 解得110＜x ＜1，故y ＝f (lg x )定义域为(110，10)．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi忽略对数函数的定义域致错典例3 已知函数y ＝f (x )，x ，y 满足关系式lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )，求函数y＝f (x )的解析式、定义域及值域.[错解] 因为lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )＝lg[3x (3－x )]，① 所以lg y ＝3x (3－x )，即y ＝103x (3－x )．所以定义域为R ，值域为(0，＋∞)．以上解题过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？你如何改正？如何防范？ [错因分析] 错解中没有注意到对数函数的定义域，即表达式①成立的前提为⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，3－x >0. [正解] ∵lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，3－x >0，lg y >0，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <3，y >1. 又lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )＝lg[3x (3－x )]，∴lg y ＝3x (3－x )，所以y ＝103x (3－x )．∵0<x <3，∴3x (3－x )＝－3(x －32)2＋274∈(0，274]，∴y ＝103x (3－x )∈(1,10274]，满足x >1.∴函数y ＝f (x )的解析式为y ＝103x (3－x )，定义域为(0,3)，值域为(1,10274]．X 学科核心素养ue ke he xin su yang观察下列对数函数图象，分析底数a 的变化对函数图象的影响，你发现了什么规律？(1)不管a >1还是0<a <1，底大图低；(2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a 逐渐变小，即a 的值越小，图象越靠近y 轴．典例4 已知图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，则a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是( B )A ．a 4<a 3<a 2<a 1B ．a 3<a 4<a 1<a 2C ．a 2<a 1<a 3<a 4D ．a 3<a 4<a 2<a 1[思路分析] 由图象来判断参数的大小情况，需要抓住图象的本质特征和关键点．根据图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，利用log a a ＝1，结合图象判断．[解析] 在图中作一条直线y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝log a 3x ，得log a 3x ＝1，所以x ＝a 3. 所以直线y ＝1与曲线C 3：y ＝log a 3x 的交点坐标为(a 3,1)．同理可得直线y ＝1与曲线C 4，C 1，C 2的交点坐标分别为(a 4,1)，(a 1,1)，(a 2,1)． 由图象可知a 3<a 4<a 1<a 2，故选B.『规律方法』 1.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决．2．对数值log a x 的符号(x >0，a >0且a ≠1)规律：“同正异负”．(1)当0<x <1,0<a <1或x >1，a >1时，log a x >0，即当真数x 和底数a 同大于(或小于)1时，对数log a x >0，即对数值为正数，简称为“同正”；(2)当0<x <1，a >1或x >1,0<a <1时，log a x <0，即当真数x 和底数a 中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x 和底数a 的取值范围“相异”时，对数log a x <0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”．3．指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题．K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．已知对数函数的图象过点M (16,4)，则此对数函数的解析式为( D ) A ．y ＝log 4x B ．y ＝log 14xC ．y ＝log 12xD ．y ＝log 2x[解析] 由于对数函数的图象过点M (16,4)，所以4＝log a 16，得a ＝2，所以对数函数的解析式为y ＝log 2x ，故选D.2．y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于( B ) A ．x 轴对称 B ．直线y ＝x 对称 C ．原点对称D ．y 轴对称[解析] 函数y ＝2x 与函数y ＝log 2x 是互为反函数，故它们的图象关于直线y ＝x 对称． 3．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是( D )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b[解析] 由图可知a ＞1，而0＜b ＜1,0＜c ＜1，取y ＝1，则可知c ＞b .∴a ＞c ＞b ，故选D.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，10x ，x ≤0，则f [f (－2)]＝__－2__.[解析] f (－2)＝10－2，f [f (－2)]＝lg10－2＝－2. 5．已知对数函数f (x )＝(m 2－m －1)log (m ＋1)x ，求f (27). [解析] ∵f (x )是对数函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，m ＋1＞0，m ＋1≠1，解得m ＝2.∴f (x )＝log 3x ，∴f (27)＝log 327＝3.A 级 基础巩固一、选择题 1．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( C )A ．{x |x ＞－1}B ．{x |x ＜1}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．∅[解析] 由题意各M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |x ＞－1}，则M ∩N ＝{x |－1＜x ＜1}，故选C. 2．函数y ＝log 2x 在[1,2]上的值域是( D ) A ．RB ．[0，＋∞)C．(－∞，1]D．[0,1][解析]∵1≤x≤2，∴log21≤log2x≤log22，即0≤y≤1，故选D.3．函数f(x)＝log2(3x＋3－x)是(B)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数[解析]∵3x＋3－x＞0恒成立，∴f(x)的定义域为R.又∵f(－x)＝log2(3－x＋3x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故选B.4．下列各组函数中，定义域相同的一组是(C)A．y＝a x与y＝log a x(a＞0，且a≠1)B．y＝2ln x与y＝ln x2C．y＝lg x与y＝lg xD．y＝x2与y＝lg x2[解析]A项中，函数y＝a x的定义域为R，y＝log a x(a＞0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)；B项中，y＝2ln x的定义域是(0，＋∞)，y＝ln x2的定义域是{x|x∈R，x≠0}；C项中，两个函数的定义域均为(0，＋∞)；D项中y＝x2的定义域为R，y＝lg x2的定义域是{x|x∈R，x≠0}，故选C.5．函数y＝log a(x－3)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(C)A．(3,0)B．(3,2)C．(4,2)D．(4,0)[解析]令x－3＝1，即x＝4，此时y＝log a1＋2＝2，故函数y＝log a(x－3)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(4,2)．6．已知a>0，且a≠1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象只能是图中的(B)[解析]可以从图象所在的位置及单调性来判别．也可以利用函数的性质识别图象，特别注意底数a对图象的影响．注意到y＝log a(－x)的图象关于y轴的对称图象为y＝log a x，又y＝log a x与y＝a x互为反函数(图象关于直线y＝x对称)，则可直接确定选B.二、填空题7．已知f (x )＝log 9x ，则f (3)＝__12__.[解析]f (3)＝log 93＝log 9912＝12. 8．函数y ＝log 12x －1的定义域为__(0，12]__.[解析] 要使函数有意义，须log 12x －1≥0， ∴log 12 x ≥1，∴0<x ≤12.∴定义域为⎝⎛⎦⎤0，12. 三、解答题9．求下列函数定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3；(2)f (x )＝log x ＋1(16－4x )．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x －3≠0，得x ＞2且x ≠3，∴定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＜16，x ＞－1，x ≠0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜4. ∴定义域为(－1,0)∪(0,4)．10．已知f (x )＝lg 1＋x 1－x .x ∈(－1,1)若f (a )＝12，求f (－a ).[解析] 解法一：∵f (－x )＝lg 1＋x1－x＝lg(1－x 1＋x )－1＝－f (x )，∴f (－a )＝－f (a )＝－12.解法二：f (a )＝lg 1＋a1－a ，f (－a )＝lg 1－a1＋a＝lg(1＋a 1－a )－1＝－lg 1＋a 1－a＝－12.B 级 素养提升一、选择题1．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )等于( A )A ．log 12xB ．log 2xC ．12xD ．x 2[解析] 由题意知f (x )＝log a x ，又f (a )＝a ，∴log a a ＝a ，∴a ＝12，∴f (x )＝log 12 x ，故选A.2．已知函数f (x )＝log a (x ＋2)，若图象过点(6,3)，则f (2)的值为( B ) A ．－2 B ．2 C.12D ．－12[解析] 由条件知，f (6)＝3，即log a 8＝3，∴a ＝2，∴f (x )＝log 2(x ＋2)， ∴f (2)＝log 2(2＋2)＝2.故选B.3．(2017·全国卷Ⅱ文，8)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( D ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)[解析] 由x 2－2x －8>0，得x <－2或x >4.令g (x )＝x 2－2x －8，函数g (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ≤1，log a x ，x ＞1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( C )A ．(0,1)B ．(0，13)C ．[17，13)D ．[17，1)[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，(3a －1)＋4a ≥0，∴17≤a ＜13.二、填空题5．函数f (x )＝3x 21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是__{x |－13＜x ＜1}__.[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，解得－13＜x ＜1，故函数的定义域为{x |－13＜x ＜1}．6．函数y ＝log a 2x ＋1x －1的图象恒过定点P ，则P 点坐标为__(－2,0)__.[解析] 对一切a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x ＝－2时，log a2(－2)＋1(－2)－1＝0，∴P 点坐标为(－2,0)．三、解答题7．求下列函数的反函数.(1)y ＝10x ；(2)y ＝(45)x ；(3)y ＝log 13x ；(4)y ＝log 7x .[解析] (1)指数函数y ＝10x ，它的底数是10，它的反函数是对数函数y ＝lg x (x >0)． (2)指数函数y ＝(45)x ，它的底数是45，它的反函数是对数函数y ＝log 45 x (x >0)．(3)对函数y ＝log 13 x ，它底数是13，它的反函数是指数函数y ＝(13)x .(4)对函数y ＝log 7x ，它的底数是7，它的反函数是指数函数y ＝7x .C 级 能力拔高1．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象.[解析] ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x )．又∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)，x ＞0，0，x ＝0，－lg (1－x )，x ＜0.∴f (x )的大致图象如图所示： 2．已知函数f (x )＝lg(x －1). (1)求函数f (x )的定义域和值域； (2)证明f (x )在定义域上是增函数．。
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2.5对数与对数函数
考情分析
1．考查对数函数的定义域与值域．
2．考查对数函数的图象与性质的应用．
3．考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质．
4．考查对数函数与指数函数互为反函数的关系．
基础知识
1．对数的概念
(1)对数的定义
如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其
中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)几种常见对数
对数形式 特点 记法
一般对数 底数为a(a＞0且a≠1)
logaN
常用对数 底数为10
lg N
自然对数 底数为e
ln_N
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
①alogaN＝N；②logaaN＝N(a＞0且a≠1)．
(2)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b均大于零且不等于1)；
②logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝logad.
(3)对数的运算法则
如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④log amMn＝nmlogaM.
3．对数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过点(1,0)
当x＞1时，y＞0当0＜x＜1，y＜0 当x＞1时，y＜0当0＜x
＜1时，y＞0
是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数
4.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
注意事项
1.对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过
对数式与指数式的互化进行证明．
2.解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取
值范围．
3.画对数函数
4.对数值的大小比较方法
(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)．
(4)化同真数后利用图象比较．
典型例题
题型一 对数式的化简与求值
【例1】
计算：（1）121316324(124223)27162(8)；
（2）2(lg2)lg2lg50lg25；
（3）3948(log2log2)(log3log3)
解：（1）原式12133(1)246324(113)3228
213332113322211338811
（2）原式22(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5
(11)lg22lg52(lg2lg5)2
（3）原式lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg3()()()()lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg2
3lg25lg352lg36lg24
【变式1】
已知11223xx，求22332223xxxx的值
解：∵11223xx，∴11222()9xx，∴129xx，∴17xx，
∴12()49xx，∴2247xx，
又∵331112222()(1)3(71)18xxxxxx，
∴223322247231833xxxx
题型二 对数值的大小比较
【例2】►已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，
设a＝f(log47)，b＝f(log123)，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，c的大小关系是( )．
A．c＜a＜b B．c＜b＜a
C．b＜c＜a D．a＜b＜c
解析 log123＝－log23＝－log49，b＝f(log123)＝f(－log49)＝f(log49)，log47＜
log49,0.2－0.6＝15－35＝5125＞532＝2＞log49，
又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，
＋∞)上是单调递减的，
∴f(0.2－0.6)＜f(log123)＜f(log47)，即c＜b＜a，故选B.
答案 B
【变式2】设a＝log32，b＝ln 2，c＝5－12，则( )．
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
解析 法一 a＝log32＝1log23，b＝ln 2＝1log2e，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，
c＝5－12＝15，而5＞2＝log24＞log23，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选C.
法二 a＝log32＝1log23，b＝ln 2＝1log2e，1＜log2e＜log23＜2，∴12＜1log23＜
1
log2e
＜1；c＝5－12＝15＜14＝12，所以c＜a＜b，故选C.
答案 C
题型三 对数函数性质的应用
【例3】►已知函数f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在[0,1]上是关
于x的减函数，若存在，求a的取值范围．.
解 ∵a＞0，且a≠1，
∴u＝2－ax在[0,1]上是关于x的减函数．
又f(x)＝loga(2－ax)在[0, 1]上是关于x的减函数，
∴函数y＝logau是关于u的增函数，且对x∈[0,1]时，u＝2－ax恒为正数．
其充要条件是 a＞12－a＞0，即1＜a＜2.
∴a的取值范围是(1,2)．
【变式3】 已知f(x)＝log4(4x－1)
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间12，2上的值域．
解 (1)由4x－1>0解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)设0
又f12＝0，f(2)＝log415，
因此f(x)在12，2上的值域为[0，log415]．
重难点突破
【例1】设f(x)＝ lg x，x＞0，x＋0a3t2dt，x≤0，
若f(f(1))＝1，则a＝________.
【例2】► (2013辽宁改编)设函数f(x)＝ 21－x，x≤1，1－log2x，x＞1，则满足f(x)≤2的x
的取值范围是________．
巩固提高
1． 2 log510＋log50.25＝( )．
A．0 B．1 C．2 D．4
解析 原式＝log5100＋log50.25＝log525＝2.
答案 C
2．(人教A版教材习题改编)已知a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，
c的大小关系是( )．
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．c＜a＜b
解析 将三个数都和中间量1相比较：0＜a＝log0.70.8＜1，b＝log1.10.9＜0，c＝
1.10.9＞1.
答案 C
3．(2012·黄冈中学月考)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )．
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析 设y＝f(x)，t＝3x＋1.
则y＝log2t，t＝3x＋1，x∈R.
由y＝log2t，t>1知函数f(x)的值域为(0，＋∞)．
答案 A
4．(2013汕尾模拟)下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是
( )．
A．(－∞，1] B.－1，43
C.0，32 D．[1,2)
解析 法一 当2－x≥1，即x≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)
在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x≤1，即1≤x＜2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2
－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增，故选D.
法二 f(x)＝|ln(2－x)|的图象如图所示．
由图象可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，故选D.
答案 D
5．若loga23>1，则a的取值范围是________．
答案23，1