空间向量与立体几何(整章教案)

学习必备 欢迎下载 空间向量与立体几何 一、知识网络：

二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教

空间向量与立体几何 空间向量及其运算 立体几何中的向量方法 空间向量的加减运算 空间向量的数乘运算 空间向量的数量积运算 空间向量的坐标运算 共线向量定理 共面向量定理 空间向量基本定理

平行与垂直的条件 向量夹角与距离 直线的方向向量与平面的法向量

用空间向量证平行与垂直问题 求空间角 求空间距离 学习必备 欢迎下载 材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率

baABOAOB

baOBOABA

)(RaOP

加法交换率：.abba 加法结合率：).()(cbacba 数乘分配率：.)(baba 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。a平行于b记作a∥b。 注意：当我们说a、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a、b平行时，也具有同样的意义。

共线向量定理：对空间任意两个向量a（a≠0）、b，a∥b的充要条件是存在实数使b＝a



（1）对于确定的和a，b＝a表示空间与a平行或共线，长度为 |a|，当>0时与

B C b

O a A 学习必备 欢迎下载 a同向，当<0时与a反向的所有向量。

（3）若直线l∥a，lA，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP的表达式。 推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点

P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 OAOPat ①

其中向量a叫做直线l的方向向量。

在l上取aAB，则①式可化为 .)1(OBtOAtOP ② 当21t时，点P是线段AB的中点，则 ).(21OBOAOP ③ ①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。 注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。 4．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在直线与平面平行或a在平面内，我们就说向量a平行于平面，记作a∥。注意：向量a∥与直线a∥的联系与区别。 共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理 如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是

存在实数对x、y，使.byaxp① 注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。 推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使

,MByMAxMP④

或对空间任一定点O，有.MByMAxOMOP⑤ 在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。

又∵.,OMOAMA.,OMOBMB代入⑤，整理得

.)1(OByOAxOMyxOP ⑥ 由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所

以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA、MB（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。 5．空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量，存在

一个唯一的有序实数组x, y, z, 使.czbyaxp 说明：⑴由上述定理知，如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成学习必备 欢迎下载 的集合就是Rzyxczbyaxpp、、,|，这个集合可看作由向量a、b、c生成的，所以我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于0可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0。 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组

zyx、、，使.OCzOByOAxOP 6．数量积 （1）夹角：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作aOA，bOB，则

角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作ba，

说明：⑴规定0≤ba，≤,因而ba，=ab，； b； ⑵如果ba，=2，则称a与b互相垂直，记作a⊥

⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（1）、（2）中的两个向量的夹角不同，

图（1）中∠AOB=OBOA,，

图（2）中∠AOB=OBAO,, 从而有OBOA,=OBOA,=OBOA,. （2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。 （3）向量的数量积：baba,cos叫做向量a、b的数量积，记作ba。

即ba=baba,cos， 向量AB方向上的正射影在e: BAeaABea,cos|| （4）性质与运算率 ⑴eaea,cos。 ⑴()()abab ⑵a⊥bba=0 ⑵ba=ba ⑶2||.aaa ⑶()abcabac （三）．典例解析 题型1：空间向量的概念及性质

A a

B a

O

a（2）

A a

B a

O

a（1）

A B A B e

l 学习必备 欢迎下载 例1、有以下命题：①如果向量,ab与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,ab的关系是不共线；②,,,OABC为空间四点，且向量,,OAOBOC不构成空间的一个基底，那么点,,,OABC一定共面；③已知向量,,abc是空间的一个基底，则向量,,ababc，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）。 ()A①② ()B①③ ()C②③ ()D①②③ 解析：对于①“如果向量,ab与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,ab的关系一定共线”；所以①错误。②③正确。 题型2：空间向量的基本运算

例2、如图：在平行六面体1111DCBAABCD中，M为11CA与

11DB的交点。若ABa，ADb，1AAc，则下列向量中与BM相等的向量是（ ）

()A1122abc ()B1122abc ()C1122abc ()Dcba212

1

解析：显然111)(21AAABADMBBBBM1122abc；答案为A。 点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。

例3、已知：,28)1(,0423pynmxbpnma且pnm,,不共面.若a∥b,求yx,

的值. 解：a∥b,,且,,0aba即.42328)1(pnmpynmx

又pnm,,不共面,.8,13,422831yxyx 点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。 例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD.

证明：记,,,1cAAbACaAB则

cbCCDCDCbaADABDBcaAB21,21,111

∴11ABcaDCDB,∴11,,DCDBAB共面.

∵B1平面C1BD, AB1//平面C1BD.