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专题复习：二次函数综合压轴题型讲练

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中考数学总复习《二次函数压轴题(面积问题)》专题训练-附含答案

中考数学总复习《二次函数压轴题(面积问题)》专题训练-附含答案

中考数学总复习《二次函数压轴题（面积问题）》专题训练-附含答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x c =-+与y 轴交于点()0,4A -，与x 轴交于点()4,0B ，连接AB .(1)求抛物线的解析式．(2)P 是AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．①求PC PD +的最大值．①连接PA ，PB ，是否存在点P ，使得线段PC 把PAB 的面积分成3:5两部分？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．综合与探究如图1，抛物线212y x bx c =-++经过点(4,0)B 和(0,2)C ，与x 轴的另一个交点为A ，连接AC ，BC ．(1)求该抛物线的解析式及点A 的坐标；(2)如图1，点D 是线段AC 的中点，连接BD ．点E 是抛物线上一点，若ABE BCD S S =△△，设点E 的横坐标为x ，请求出x 的值；(3)试探究在抛物线上是否存在一点P ，使得45PBO OBC ∠+∠=︒？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0A -，点()0,3C ，且OB OC =．(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)点D 、E 是直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．(3)点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．4．已知二次函数23y ax bx a =+-经过点()1,0A -和()0,3C ，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．(1)求此二次函数解析式；(2)连接DC 、BC 和DB ，判断BCD △的形状并说明理由；(3)在对称轴右侧抛物线上找一点P ，使得P 、D 、C 构成以PC 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标及此时四边形PBCD 的面积．5．如图，抛物线214y x bx c =-++与x 轴交于点,A B 两点（点A 在点B 的右侧），点()()8,02,0A B -、，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式； (2)点D 为抛物线的顶点，过点D 作DE AC ∥交抛物线于点E ，点P 为抛物线上点,D E 之间的一动点，连接,,,,AC AE AP CE CP ，线段,AP CE 交于点G ，记CPG △的面积为1,S AEG △的面积为2S ，且12S S S =-，求S 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将拋物线沿射线AC 方向平移5个单位长度后得到新抛物线，点Q 是新拋物线对称轴上一动点，在平面内确定一点R ，使得以点P Q B R 、、、为顶点的四边形是矩形．直接写出所有符合条件的点R 的坐标．6．如图，有一个长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度18a =米）围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽AB 为x 米，面积为y 平方米．(1)求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；(2)如何设计才能使长方形花圃面积最大；并求其最大面积．7．如图，过原点的抛物线212y x bx c =-++与x 轴的另一个交点为A ，且抛物线的对称轴为直线2x =，点B 为顶点(1)求抛物线的解析式(2)如图（1），点C 为直线OB 上方抛物线上一动点，连接AB，BC 和AC ，线段AC 交直线OB 于点E ，若CBE △的面积为1S ，ABE 的面积为2S ，求12S S 的最大值 (3)如图（2），设直线()20y kx k k =-≠与抛物线交于D ，F 两点，点D 关于直线2x =的对称点为D ，直线D F '与直线2x =交于点P ，求证：BP 的长是定值．8．抛物线2y x bx c =-++经过点A ，B ，C ，已知()1,0A -和()0,3C ．(1)求抛物线的解析式及顶点E 的坐标；(2)点D 在BC 上方的抛物线上．①如图1，若CAB ABD ∠=∠，求点D 的坐标；①如图2，直线BD 交y 轴于点N ，过点B 作AD 的平行线交y 轴于点M ，当点D 运动时，求CBD AMNS S △△的最大值及此时点D 的坐标． 9．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线244y ax ax =-+交x 轴于点A 、B （A 左B右），交y 轴于点C ，直线123y x =-+，经过B 点，交y 轴于点D ．(1)如图1，求a 的值；(2)如图2，点P 在第一象限内的抛物线上，过点A 、B 作x 轴的垂线，分别交直线PD 于点E 和F ，若PF DE =，求点P 的坐标；(3)如图3，在（2）的条件下，点Q 在第一象限内的抛物线上，过点Q 作QH DP ⊥于点H ，交直线BD 于点R ，连接EQ 和ER ，当QE ER =时，求ERQ △的面积．10．已知抛物线213222y x x =-++与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点A ．(1)判断ABC 的形状，并说明理由．(2)设点(,)P m n 是抛物线在第一象限部分上的点，过点P 作PH x ⊥轴于H ，交AC 于点Q ，设四边形OAPC 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求使S 最大时点P 的坐标和QHC △的面积；(3)在（2）的条件下，点N 是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以P 、C 和M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，写出点M 的坐标，并选择一个点写出过程，若不存在，请说明理由．11．已知，如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线6y x =+与x 轴相交于点B ，与y 轴交于点C ，点A 是x 轴正半轴上一点，且满足2tan 3ACO ∠=．(1)若抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 和C 三点，求抛物线的解析式；(2)若点M 是第二象限内抛物线上的一个动点，过点M 作MP y ∥轴，交BC 于点P ，连接OP ，在第一象限内找一点Q ，过点Q 作⊥OQ OP 且OQ OP =，连接PQ ，MQ ，设MPQ 的面积为S ，点P 的横坐标为t ，求S 与t 的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；(3)在（2）的条件下，设PQ 与y 轴相交于点R ，若53=PR PC 时，求点P 的坐标． 12．已知抛物线22y ax ax c =-+过点()10A -，和()03C ，，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上方抛物线上有一点P （与D 不重合），BCP 面积与BCD △面积相等，求点P 的坐标；(3)若点E 为抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点F ，使得以E 、F 和B 、C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线过点()08D ，，与x 轴交于()20A -，，()40B ，两点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点C 为二次函数的顶点，求BCD S △．14．如图，O 为平面直角坐标系坐标原点，抛物线22y ax ax c =-+经过点()6,0B ，点()0,6C 与x 轴交于另一点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)D 点为第一象限抛物线上一点，连接AD 和BD ，设点D 的横坐标为t ，ABD △的面积为S ，求S 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；(3)在（2）的条件下，P 为第四象限抛物线上一点，连接PA 交y 轴于点E ，点F 在线段BC 上，点G 在直线AD 上，若1tan 2DAO ∠=，四边形BEFG 为菱形，求点P 的坐标． 15．已知抛物线2()20y ax x c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，与直线3y x =-+交于点B 和点C ，M 为抛物线的顶点，直线ME 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式及点M 的坐标；(2)点P 为直线BC 上方抛物线上一点，连接PB ，PC ，当PBC 的面积取最大值时，求点P 的坐标．参考答案：1．(1)2142y x x =-- (2)① PC PD +取得最大值254 ① 53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或 316,2⎛⎫+- ⎪⎝⎭2．(1)213222y x x =-++ (1,0)-； (2)3172+或3172-或3332+或3332- (3)存在，517(,)39--或113(,)39-3．(1)故抛物线的表达式为：223y x x =-++，函数的对称轴为：1x =；(2)10113++(3)()4,5-或()8,45-4．(1)223y x x =-++(2)BCD △为直角三角形(3)点P 的坐标为()2,3，四边形PBCD 的面积为45．(1)213442y x x =-++ (2)S 的最大值为1，()4,6P(3)()7,3或()5,3-6．(1)2330S x x =-+ 410x ≤＜；(2)当宽AB 为5米，长15BC =米时，长方形花圃的最大面积为75平方米.7．(1)2122y x x =-+ (2)188．(1)()1,4(2)①()2,3D ；①CBD AMN S S △△的最大值为916，此时315,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭9．(1)13a =- (2)()4,4P(3)1010．(1)直角三角形(2)244S m m =-++ (2,3)P 1QHC S =(3)存在，点M 坐标为3651(,)22+或3651(,)22-或333(,)22或333(,)22-或31(,)22，理由见解析11．(1)211642=--+y x x (2)()2396042S t t t =---<< (3)()()124,2,2,4P P --12．(1)223y x x =-++(2)()23P ，(3)存在，点F 的坐标为()417，或()417-，或()2314-+，或()2314--，13．(1)228y x x =-++(2)614．(1)211642y x x =-++ (2)2553042S t t =-++ (3)()8,6P -15．(1)抛物线的解析式为223y x x =-++，点M 的坐标为(1,4)(2)315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

2020-2021中考数学二次函数的综合压轴题专题复习含答案

2020-2021中考数学二次函数的综合压轴题专题复习含答案

2020-2021中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习含答案一、二次函数1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x x y x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得03x y =⎧⎨=⎩或73209x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P 点坐标为（73，209）； 过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，直线PC 的解析式可设为y=﹣x+b ， 把A （﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13， ∴直线PC 的解析式为y=﹣13x ﹣13， 解方程组2231133y x x y x ⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得10x y =-⎧⎨=⎩或103139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P 点坐标为（103，﹣139）. 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139）. 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．2．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2＝0有两个实数根． （1）求k 的取值范围； （2）设x 1，x 2是方程两根，且121111x x k +=-，求k 的值． 【答案】（1）k ≥﹣14；（2）k 1+5 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k 的值即可. 【详解】解：（1）△＝（2k +1）2﹣4k 2＝4k 2+4k +1﹣4k 2＝4k +1 ∵△≥0 ∴4k +1≥0 ∴k ≥﹣14；（2）∵x 1，x 2是方程两根， ∴x 1+x 2＝2k +1 x 1x 2＝k 2， 又∵121111x x k +=-， ∴121211x x x x k +=⋅-， 即22111k k k +=+ ， 解得：121515,22k k +-==， 又∵k ≥﹣14， 即：k ＝152-． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于ca”是解题的关键.3．如图1，二次函数234y ax ax a =--的图像与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点()0,3C-.（1）求二次函数的表达式及点A 、点B 的坐标;（2）若点D 在二次函数图像上，且45DBC ABC S S =△△，求点D 的横坐标;（3）将直线BC 向下平移，与二次函数图像交于,M N 两点(M 在N 左侧)，如图2，过M 作ME y ∥轴，与直线BC 交于点E ，过N 作NF y ∥轴，与直线BC 交于点F ，当MN ME +的值最大时，求点M 的坐标.【答案】（1）y ＝239344x x --，A （﹣1，0），B （4，0）；（2）D 点的横坐标为2﹣，2；（3）M （13，﹣113）【解析】 【分析】（1）求出a ，即可求解；（2）求出直线BC 的解析式，过点D 作DH ∥y 轴，与直线BC 交于点H ，根据三角形面积的关系求解；（3）过点M 作MG ∥x 轴，交FN 的延长线于点G ，设M （m ，34m 2﹣94m ﹣3），N（n ，34n 2﹣94n ﹣3），判断四边形MNFE 是平行四边形，根据ME ＝NF ，求出m +n ＝4，再确定ME +MN ＝﹣34m 2+3m +5﹣52m ＝﹣34（m ﹣13）2+6112，即可求M ；【详解】（1）y ＝ax 2﹣3ax ﹣4a 与y 轴交于点C （0，﹣3），∴a ＝34， ∴y ＝34x 2﹣94x ﹣3，与x 轴交点A （﹣1，0），B （4，0）； （2）设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ， ∴403k b b +=⎧⎨=-⎩，∴343k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴y ＝34x ﹣3； 过点D 作DH ∥y 轴，与直线BC 交于点H ， 设H （x ，34x ﹣3），D （x ，34x 2﹣94x ﹣3），∴DH ＝|34x 2﹣3x |， ∵S △ABC ＝1155323⨯⨯=，∴S △DBC ＝41552⨯＝6，∴S△DBC＝2×|34x2﹣3x|＝6，∴x＝2+22，x＝2﹣22，x＝2；∴D点的横坐标为2+22，2﹣22，2；（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，设M（m，34m2﹣94m﹣3），N（n，34n2﹣94n﹣3），则E（m，34m﹣3），F（n，34n﹣3），∴ME＝﹣34m2+3m，NF＝﹣34n2+3n，∵EF∥MN，ME∥NF，∴四边形MNFE是平行四边形，∴ME＝NF，∴﹣34m2+3m＝﹣34n2+3n，∴m+n＝4，∴MG＝n﹣m＝4﹣2m，∴∠NMG＝∠OBC，∴cos∠NMG＝cos∠OBC＝MG OBMN BC,∵B（4，0），C（0，﹣3），∴OB＝4，OC＝3，在Rt△BOC中，BC＝5，∴MN＝54（n﹣m）＝54（4﹣2m）＝5﹣52m，∴ME+MN＝﹣34m2+3m+5﹣52m＝﹣34（m﹣13）2+6112，∵﹣34＜0，∴当m＝13时，ME+MN有最大值，∴M（13，﹣113）【点睛】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合三角形的性质解题.4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；（2）点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；（3）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，﹣1）；（3）42【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如图1，设D（2，y），利用两点间的距离公式得到BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，然后讨论：当BD为斜边时得到18+4+（y﹣3）2=1+y2；当CD 为斜边时得到4+（y﹣3）2=1+y2+18，再分别解方程即可得到对应D的坐标；（3）先证明∠CEF=90°得到△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，则PE=22PG，PF2，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），接着利用t表示PF、PE，这样PE+EF=2PE+PF=﹣2t22，然后利用二次函数的性质解决问题．试题解析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得：9303b cc++=⎧⎨=⎩，解得：43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=x2﹣4x+3；（2）如图1，抛物线的对称轴为直线x=﹣42-=2，设D（2，y），B（3，0），C（0，3），∴BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y﹣3）2=1+y2，解得：y=5，此时D 点坐标为（2，5）；当△BCD 是以BC 为直角边，CD 为斜边的直角三角形时，BC 2+DB 2=DC 2，即4+（y ﹣3）2=1+y 2+18，解得：y =﹣1，此时D 点坐标为（2，﹣1）；（3）易得BC 的解析式为y =﹣x +3．∵直线y =x +m 与直线y =x 平行，∴直线y =﹣x +3与直线y =x +m 垂直，∴∠CEF =90°，∴△ECF 为等腰直角三角形，作PH ⊥y 轴于H ，PG ∥y 轴交BC 于G ，如图2，△EPG 、△PHF 都为等腰直角三角形，PE =22PG ，PF =2PH ，设P （t ，t 2﹣4t +3）（1＜t ＜3），则G （t ，﹣t +3），∴PF =2PH =2t ，PG =﹣t +3﹣（t 2﹣4t +3）=﹣t 2+3t ，∴PE =22PG =﹣22t 2+322t ，∴PE +EF =PE +PE +PF =2PE +PF =﹣2t 2+32t +2t =﹣2t 2+42t =﹣2（t ﹣2）2+42，当t =2时，PE +EF 的最大值为42．点睛：本题考查了二次函数的综合题．熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．5．如图1，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =++经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点， ①连接BC 、CD 、BD ，设BD 交直线AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2．求：12S S 的最大值；②如图2，是否存在点D ，使得∠DCA ＝2∠BAC ？若存在，直接写出点D 的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）213222y x x =--+；（2）①当2a =-时，12S S 的最大值是45；②点D的坐标是(2,3)- 【解析】 【分析】（1）根据题意得到A （-4，0），C （0，2）代入y=-12x 2+bx+c ，于是得到结论； （2）①如图，令y=0，解方程得到x 1=-4，x 2=1，求得B （1，0），过D 作DM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴交于AC 于N ，根据相似三角形的性质即可得到结论；②根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，求得P （-32，0），得到PA=PC=PB=52，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延线于G ，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG ，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：（1）根据题意得A （-4，0），C （0，2），∵抛物线y=-12x 2+bx+c 经过A ．C 两点， ∴1016422b c c ⎧-⨯-+⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴3b=-2c=2⎧⎪⎨⎪⎩， 抛物线解析式为：213222y x x =--+ ; （2）①令0y =， ∴2132022x x --+= 解得：14x =- ,21x = ∴B （1，0）过点D 作DM x ⊥轴交AC 于M ，过点B 作BN x ⊥轴交AC 于点N ，∴DM ∥BN ∴DME BNE ∆∆∽∴12S DE DM S BE BN == 设：213222D a a a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，∴122M a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵()10B ， ∴51,2N ⎛⎫⎪⎝⎭∴()22121214225552a aS DM a S BN --===-++ ∴当2a =-时，12S S 的最大值是45;②∵A （-4，0），B （1，0），C （0，2）， ∴55AB=5， ∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形， 取AB 的中点P ， ∴P （-32，0）， ∴PA=PC=PB=52， ∴∠CPO=2∠BAC ， ∴tan ∠CPO=tan （2∠BAC ）=43， 过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ，如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC=12，即RC：DR=12，令D（a，-12a2-32a+2），∴DR=-a，RC=-12a2-32a，∴（-12a2-32a）：（-a）=1：2，∴a1=0（舍去），a2=-2，∴x D=-2，∴-12a2-32a+2=3,∴点D的坐标是()2,3-【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键，难度较大．6．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB 的面积有最大值；（3）点P （4，6）．【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM ，先求出直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6），则N （t ，﹣t+6），由S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB 列出关于t 的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH ⊥OB 知DH ∥AO ，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE 为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E 与点A 重合，求出y=6时x 的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B （6，0）、C （﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a （x ﹣6）（x+2），将点A （0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12， 所以抛物线解析式为y=﹣12（x ﹣6）（x+2）=﹣12x 2+2x+6； （2）如图1，过点P 作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩，解得：16kb=-⎧⎨=⎩，则直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6）其中0＜t＜6，则N（t，﹣t+6），∴PN=PM﹣MN=﹣12t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t2+2t+6+t﹣6=﹣12t2+3t，∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•（AG+BM）=12 PN•OB=12×（﹣12t2+3t）×6=﹣32t2+9t=﹣32（t﹣3）2+272，∴当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）如图2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x轴、PD⊥x轴，∴∠DPE=90°，若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，则当y=6时，﹣12x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即点P（4，6）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.7．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为：P13+515-），P2（352，1+5P35+51+5P455-15-.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=12×3×3+12PG•AE，=92+12×3×（-m2+5m-3），=-32m2+152m，=32（m-52）2+758，∵-32＜0，∴当m=52时，S有最大值是758；（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P（m，m2-4m+3），则-m2+4m-3=2-m，解得：m=5+52或552-，∴P的坐标为（5+52，1+52）或（552-，152-）；如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，则-m 2+4m-3=m-2，解得：x=3+52或352； P 的坐标为（3+52，152-）或（352，1+52）； 综上所述，点P 的坐标是：（5+52，1+52）或（552-，152-）或（3+52，152-）或（352，1+52）． 点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．8．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A ，与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为(1,0)-．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P ，使PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++ （2）最大值为10（3）故点P 坐标为：315(,)24或332362+--或332362--+． 【解析】【分析】（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式，即可求解； （2）矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，即可求解；（3）2711sin4532822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯，解得：94PH HG ==，即可求解．【详解】 （1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式得：044a =+，解得：1a =-，故函数表达式为：223y x x =-++…①；（2）设点M 的坐标为()2,23x x x -++，则点()22,23N x x x --++，则222MN x x x =-+=-，223GM x x =-++，矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++， ∵20-<，故当22b x a=-=，C 有最大值，最大值为10， 此时2x =，点()0,3N 与点D 重合； （3）PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916， 则99272316168PNC S MN GM ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 连接DC ，在CD 得上下方等距离处作CD 的平行线m 、n ，过点P 作y 轴的平行线交CD 、直线n 于点H 、G ，即PH GH =，过点P 作PK CD ⊥于点K ，将()3,0C 、()0,3D 坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD 的表达式为：3y x =-+，OC OD =，∴45OCD ODC PHK ∠=∠=︒=∠，32CD =设点()2,23P x x x -++，则点(),3H x x -+， 2711sin4532822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯ 解得：94PH HG ==，则292334PH x x x =-+++-=， 解得：32x =， 故点315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线n 的表达式为：93344y x x =-+-=-+…②， 联立①②并解得：3322x ±=， 即点'P 、''P 的坐标分别为332362,24⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭、332362,24⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭； 故点P 坐标为：315,24⎛⎫⎪⎝⎭或332362,24⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭或332362,24⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．9．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P 为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞ 【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵，∴QF=1．①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=12PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t ＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12（23t t -）=21322t t -． 综上所述，S=2213 (03)22{13 (03)22t t t t t t t 或-+<<-．考点：二次函数综合题；分类讨论．10．如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是 ______；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______．【答案】（1）()2,9；（2）①95DP =②92155n <<. 【解析】【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点C （2，95），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n=275时，N （2，275），可求DA=2，DN=185，CD=365，当PQ ∥AB 时，△DPQ ∽△DAB ，；当PQ 与AB 不平行时，②当PQ ∥AB ，DB=DP 时，DN=245，所以N （2，215），则有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，95＜n ＜215. 【详解】（1）顶点为()2,9D ；故答案为()2,9；（2）对称轴2x =， 9(2,)5C ∴， 由已知可求5(,0)2A -， 点A 关于2x =对称点为13(,0)2， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+， (5,3)B ∴，①当275n =时，27(2,)5N ，2DA ∴=，182DN =，365CD = 当PQ AB ∥时，PDQDAB ∆∆， DAC DPN ∆∆，DP DN DA DC∴=，DP ∴=当PQ 与AB 不平行时，DPQ DBA ∆∆，DNQ DCA ∴∆∆，DP DN DB DC∴=，DP ∴=综上所述DP =②当PQ AB ∥，DB DP =时，DB =DP DN DA DC∴=，245DN ∴=， 21(2,)5N ∴， ∴有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，92155n <<； 故答案为92155n <<； 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．11．已知：二次函数2432y x x a =-++(a 为常数)．(1)请写出该二次函数图象的三条性质；(2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，求a 的取值范围．【答案】(1)见解析；(2)523a ≤<． 【解析】【分析】(1)可从开口方向、对称轴、最值等角度来研究即可；(2) 先由二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，即关于x 的一元二次方程26330x x a -++=有两个不相等的实数根，由此可得2a <，再根据二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，也就是说二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出函数2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，将x=4代入求得a 的取值范围，由此即可求得答案.【详解】(1)①图象开口向上；②图象的对称轴为直线2x =；③当2x >时，y 随x 的增大而增大；④当2x <时，y 随x 的增大而减小；⑤当2x =时，函数有最小值；(2)∵二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，∴243221x x a x -++=-，即26330x x a -++=，364(33)12240a a ∆=-+=-+>，解得2a <，∵二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，∴二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出二次函数2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，∴当4x =时，2633350x x a a -++=-≥，得53a ≥， ∴当二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点时， a 的取值范围为523a ≤<． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合题，涉及了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，二次函数的图象与x 轴交点问题，正确进行分析并运用数形结合思想、灵活运用相关知识是解题的关键.12．已知矩形ABCD 中，AB =5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP =25cm .如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动(不包含点C ).设动点M 的运动时间为t (s )，APM ∆的面积为S (cm ²)，S 与t 的函数关系如图②所示：(1)直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;(2)如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇(不包含点C )，动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm . ①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2，10；(2)①2/6/3cm s v cm s ≤＜；②当154x =时，12S S ⋅取最大值2254. 【解析】【分析】（1）由题意可知图像中0~2.5s 时，M 在AB 上运动，求出速度，2.5~7.5s 时，M 在BC 上运动，求出BC 长度；（2）①分别求出在C 点相遇和在B 点相遇时的速度，取中间速度，注意C 点相遇时的速度不能取等于；②过M 点做MH ⊥AC ，则125MH CM == 得到S 1，同时利用12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形=15，得到S 2，再得到12S S ⋅关于x 的二次函数，利用二次函数性质求得最大值【详解】(1)5÷2.5=2/cm s ；（7.5-2.5）×2=10cm(2)①解：在C 点相遇得到方程57.5v = 在B 点相遇得到方程15 2.5v= ∴5=7.515=2.5v v⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 解得 23=5v v ⎧=⎪⎨⎪⎩ ∵在边BC 上相遇，且不包含C 点∴2/6/3cm s v cm s ≤＜ ②如下图12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形()()5152525751022x x ⨯-⨯-=---=15过M 点做MH ⊥AC ，则125MH CM == ∴112152S MH AP x =⋅=-+ ∴22S x =()122152S S x x ⋅=-+⋅=2430x x -+ =215225444x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ 因为152.57.54＜＜，所以当154x =时，12S S ⋅取最大值2254. 【点睛】本题重点考查动点问题，二次函数的应用，求不规则图形的面积等知识点，第一问关键能够从图像中得到信息，第二问第一小问关键在理清楚运动过程，第二小问关键在能够用x 表示出S 1和S 213．如图，抛物线y=ax 2+6x+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y=x ﹣5经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标； ②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或412或5-41②点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．【解析】分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以2，接着根据平行四边形的性质得到2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到2PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（12，-52），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-15x+b，把E（12，-52）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-15x-125，则解方程组511255y xy x-⎧⎪⎨--⎪⎩＝＝得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=13+62x，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．详解：（1）当x=0时，y=x ﹣5=﹣5，则C （0，﹣5），当y=0时，x ﹣5=0，解得x=5，则B （5，0），把B （5，0），C （0，﹣5）代入y=ax 2+6x+c 得253005a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得15a b =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；（2）①解方程﹣x 2+6x ﹣5=0得x 1=1，x 2=5，则A （1，0），∵B （5，0），C （0，﹣5），∴△OCB 为等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵AM ⊥BC ，∴△AMB 为等腰直角三角形，∴AM=22AB=22×4=22， ∵以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，AM ∥PQ ，∴PQ=AM=22，PQ ⊥BC ，作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，则∠PDQ=45°，∴222=4，设P （m ，﹣m 2+6m ﹣5），则D （m ，m ﹣5），当P 点在直线BC 上方时，PD=﹣m 2+6m ﹣5﹣（m ﹣5）=﹣m 2+5m=4，解得m 1=1，m 2=4，当P 点在直线BC 下方时，PD=m ﹣5﹣（﹣m 2+6m ﹣5）=m 2﹣5m=4，解得m 15+41，m 25-41， 综上所述，P 点的横坐标为4或5+412或5-412； ②作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如图2，∵M1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1，∴∠AM1B=2∠ACB，∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，∴N（3，﹣2），易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（12，﹣52，设直线EM1的解析式为y=﹣15x+b，把E（12，﹣52）代入得﹣110+b=﹣52，解得b=﹣125，∴直线EM1的解析式为y=﹣15x﹣125解方程组511255y xy x=-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则M1（136，﹣176）；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），∵3=13+ 62x∴x=236，∴M2（236，﹣76）.综上所述，点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．14．如图， 已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右侧）与y 轴交于C 点 ．（1）求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标； （2）若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），则是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN=3时，求M 点的坐标 ．【答案】（1）213442y x x =-++，点A 的坐标为(-2，0)，点B 的坐标为(8，0)；（2）存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M 的坐标为(4-771)、(2，6)、(6，4)或7，71)．【解析】【分析】（1） 由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a 值， 进而可得出抛物线的解析式， 再利用二次函数图象上点的坐标特征， 即可求出点A 、B 的坐标；（2） 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标， 由点B 、C 的坐标， 利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式， 假设存在， 设点P 的坐标为（x,213-442x x ++），过点P 作PD//y 轴， 交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x,1-42x +），PD=-14x 2+2x ，利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC 的面积关于x 的函数关系式， 再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3） 设点M 的坐标为（m,213-442m m ++），则点N 的坐标为（m,1-42m +），进而可得出MN 2124m m =-+，结合MN=3即可得出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程， 解之即可得出结论 ．【详解】（1）抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线3x =， 3232a∴-=，解得：14a =-， ∴抛物线的解析式为213442y x x =-++． 当0y =时，2134042x x -++=， 解得：12x =-，28x =，∴点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()8,0．（2） 当0x =时，2134442y x x =-++=， ∴点C 的坐标为()0,4．设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠．将()8,0B 、()0,4C 代入y kx b =+，804k b b +=⎧⎨=⎩，解得：124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为142y x =-+． 假设存在， 设点P 的坐标为213,442x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，过点P 作//PD y 轴， 交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为1,42x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，如图所示 ． 2213114424224PD x x x x x ⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪⎝⎭， ()222111·8?28416224PBC S PD OB x x x x x ∆⎛⎫∴==⨯-+=-+=--+ ⎪⎝⎭． 10-<，∴当4x =时，PBC ∆的面积最大， 最大面积是 16 ．08x <<，∴存在点P ，使PBC ∆的面积最大， 最大面积是 16 ．（3） 设点M 的坐标为213,442m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则点N 的坐标为1,42m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，2213114424224MN m m m m m ⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪⎝⎭． 又3MN =，21234m m ∴-+=． 当08m <<时， 有212304m m -+-=， 解得：12m =，26m =，∴点M 的坐标为()2,6或()6,4；当0m <或8m >时， 有212304m m -++=， 解得：3427m =-，4427m =+，∴点M 的坐标为(427-，71)-或(427+，71)--．综上所述：M 点的坐标为(427-，71)-、()2,6、()6,4或(427+，71)--．【点睛】本题考查了二次函数的性质、 二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积， 解题的关键是： （1） 利用二次函数的性质求出a 的值； （2） 根据三角形的面积公式找出关于x 的函数关系式； （3） 根据MN 的长度， 找出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程 ．15．如图，已知二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点．（1）求二次函数的解析式；（2）将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，直线y=m（m＞0）交于M、N两点，求线段MN的长度（用含m的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，、交于A、B两点，如果直线y=m与、的图象形成的封闭曲线交于C、D两点（C在左侧），直线y=﹣m与、的图象形成的封闭曲线交于E、F两点（E在左侧），求证：四边形CEFD是平行四边形．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）根据待定系数法即可解决问题．（2）先求出抛物线y2的顶点坐标，再求出其解析式，利用方程组以及根与系数关系即可求出MN．（3）用类似（2）的方法，分别求出CD、EF即可解决问题．试题解析：（1）∵二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点，∴，解得：，∴二次函数的解析式．（2）∵=，∴顶点坐标（﹣3，），∵将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，∴抛物线的顶点坐标（﹣1，），∴抛物线为，由，消去y整理得到，设，是它的两个根，则MN===；（3）由，消去y整理得到，设两个根为，，则。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(面积问题)(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(面积问题)(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问题）1．如图，二次函数25y ax bx =++的图象经过点(1,8)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点(1,0)A -，M 为抛物线的顶点．(1)求二次函数的解析式； (2)求MCB △的面积；(3)在坐标轴上是否存在点N ，使得BCN △为直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线212y x bx c =-++（b 、c 为常数）经过()4,0A 和()0,4B 两点，其顶点为C ．(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)若点M 是拋物线上第一象限的一个动点．设ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； (3)若抛物线222y mx mx m =-++与线段AB 有两个交点，直接写出m 的取值范围． 3．如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二？若存在，求出此时OP 的长；若不存在，请说明理由．(3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ，直线l 与抛物线的交点为M （异于点C ），求M 点坐标．4．如图1，抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，，()04C ，两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，是否存在使四边形PBOC 面积最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，若抛物线的对称轴EF （E 为抛物线顶点）与直线BC 相交于点F ，M 为直线BC 上的任意一点，过点M 作MN EF ∥交抛物线于点N ，以E ，F ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点N 的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)动点P ，Q 以相同的速度从点O 同时出发，分别在线段,OB OC 上向点B ，C 方向运动，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ． ①当四边形OQEP 为矩形时，求点E 的坐标；①过点E 作EM BC ⊥于点M ，连接,PM QM ，设BPM △的面积为1S ，CQM 的面积为2S ，当PE 将BCE 的面积分成1:3两部分时，请直接写出12S S 的值． 6．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于A ，B 两点，抛物线的对称轴为直线=1x -，其中点A 的坐标为(3,0)-．(1)求点B 的坐标；(2)已知1a =，C 为抛物线与y 轴的交点，求抛物线的解析式； (3)若点P 在抛物线上，且4POCBOCSS=，求点P 的坐标；(4)设点Q 是线段AC 上的动点，过点Q 作QD y 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)Q 是x 轴上一动点，M 是第二象限内抛物线上一点，若以A ，C ，M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q 的坐标．8．如图，直线132y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c =-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．9．如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A - 、()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式； (2)求直线BC 的函数解析式；(3)在抛物线上，是否存在一点P ，使PAB 的面积等于ABC 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -，与y 轴交于点A ，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，PAB 的面积最大？(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE x ∥轴交抛物线于点E ，连接DE ．是否存在点P ，使PDE △为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线l ：112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，经过B ，C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作PD ①x 轴交l 于点D ，PE ①y 轴交l 于点E ，求PD PE +的最大值；(3)若点P 在直线l 下方的抛物线上，F 为直线l 上的点，以A ，B ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F 的坐标；若不能，请说明理由． 12．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B ，(1)求抛物线的解析式；(2)设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点．①当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹并直接写出直线CD 的解析式；①点()(),>0P m n m 是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR △．在①的条件下，记PQR 与COD △的公共部分的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值．13．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ， 与x 轴交于另一点A ， 顶点为D ．(1)填空： 点B 的坐标为___________， 点D 的坐标为___________．(2)如图1 ， 连结OD P ，为x 轴上的动点， 当以O D P ，，为顶点的三角形是等腰三角形时， 请直接写出点P 的坐标；(3)如图2， M 是点B 关于拋物线对称轴的对称点， Q 是拋物线上的动点， 它的横坐标为 (05)m m <<， 连结MQ BQ MQ ，，与直线OB 交于点E ． 设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ， 设12S t s =， 试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值． 14．如图，二次函数的图象经过点()10A -，，()30B ，，()03C -，，直线22y x =-与x 轴、y 轴交于点D ，E ．(1)求该二次函数的解析式(2)点M 为该二次函数图象上一动点．①若点M 在图象上的B ，C 两点之间，求DME 的面积的最大值． ①若MED EDB ∠∠=，求点M 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，B 两点，其对称轴直线2x =与x 轴交于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式为______；(2)如图1，点P 为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD ，PB ，PC ，求四边形BDCP 面积最大值和点P 此时的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y '，当抛物线y '经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E ，点F 为抛物线y '对称轴上的一点，点M 是平面内一点，若以点A ，E ，F ，M 为顶点的四边形是以AE 为边的菱形，请直接写出满足条件的点M 的坐标______．16．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()21,0A m -和点()2,0B m +，与y 轴交于点C ，对称轴轴为直线=1x -．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 上一动点，过点P 作PQ y ∥轴，交抛物线于点Q ，以P 为圆心，PQ 为半径作P ，当P 与坐标轴相切时，求P 的半径；(3)直线()340y kx k k =++≠与抛物线交于M ，N 两点，求AMN 面积的最小值．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于两点()1,0A -和()3,0B ，与y 轴交于点C ，抛物线上有一动点P ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连接EC ，作直线BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点时，连接,PB PC ，当23EBC PBC S S =△△时，求点P 坐标；(3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q ，x 轴上有一动点N ，是否存在四边形PQCN 是矩形？若存在，在横线上直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．如图，直线122y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c=-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求三角形ACM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90︒得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围（直接写出结果即可）．参考答案：1．(1)245y x x =-++； (2)15(3)存在，点N 的坐标为(5,0)-或(0,5)-或(0,0)．2．(1)2142y x x =-++，91,2⎛⎫⎪⎝⎭(2)S 的最大值为4 (3)2m ≥或1249m -<≤-3．(1)抛物线的解析式为2=23y x x -- (2)不存在这样的点P ， (3)M 点坐标是(45)，或315()24-，4．(1)抛物线的解析式：234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；(2)当()26P ，时，四边形PBOC 面积最大； (3)能，点N 的坐标为52124⎛⎫ ⎪⎝⎭，或724⎛- ⎝或724⎛- ⎝．5．(1)2142y x x =--，91,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)①(-；①1215S S =或1279S S =6．(1)(1,0) (2)223y x x =+- (3)(4,21)或()4,5- (4)947．(1)224233y x x =--+(2)3(2P -，5)2(3)(5,0)-或(1,0)-8．(1)03A （，），20B -（，），60C （，），抛物线解析式为：2134y x x =-++； (2)3a =时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为754，此时M 的坐标为153,4⎛⎫⎪⎝⎭；(3)当3m -≤≤-33m ≤≤时，线段O A ''与抛物线只有一个公共点．9．(1)239344y x x =-++(2)334y x =-+(3)存在，点P 的坐标为：()13,3P ，23P ⎫-⎪⎪⎝⎭，33P ⎫-⎪⎪⎝⎭10．(1)21262y x x =-++(2)153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 坐标为()46，或()55．11．(1)2512y x x =-+ (2)3(3)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1(1,)212．(1)21119424y x x =-++(2)①4y x =-+；①当02m <≤时，218PQRSm =；当823m <≤时，27448S m m =-+-；当843m ≤≤时，21244S m m =-+；S 的最大值为：47答案第3页，共3页 13．(1)()5,5；()2,4-；(2)点P的坐标为()或()-或()4,0或()5,0； (3)()2150566t m m m =-+<<，当52m =时，t 的最大值为2524．14．(1)该二次函数的解析式是()()21323y x x x x =+-=--；(2)①DME 的面积的最大值为52；①点M的坐标为⎝⎭或()12--．15．(1)214433y x x =-- (2)PBDC S 四边形的最大值为17，此时点P 的坐标为()3,5-(3)⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或⎛- ⎝⎭或8,⎛- ⎝⎭16．(1)223y x x =+-(2)2或4(3)817．(1)2=23y x x --(2)⎝⎭或⎝⎭ (3)存在，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭18．(1)()0,2A ，()2,0B -，()4,0C ，211242y x x =-++ (2)2，()2,2(3)34m -≤≤-或32m -+≤。

专题05 二次函数函数综合的压轴真题训练(解析版)--2023 年中考数学压轴真题汇编

专题05 二次函数函数综合的压轴真题训练(解析版)--2023 年中考数学压轴真题汇编

挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编专题05二次函数函数综合的压轴真题训练一．二次函数的图象1．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵c＞0，∴﹣c＜0，故A，D选项不符合题意；当a＞0时，∵b＞0，∴对称轴x＝＜0，故B选项不符合题意；当a＜0时，b＞0，∴对称轴x＝＞0，故C选项符合题意，故选：C二．二次函数的性质2．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3【答案】D【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，故选：D．3．（2022•岳阳）已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（x p，y p）是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤﹣3，则m的取值范围是（）A．m≥1或m＜0B．m≥1C．m≤﹣1或m＞0D．m≤﹣1【答案】A【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3，∴对称轴为x＝2m，抛物线与y轴的交点为（0，﹣3），∵点P（x p，y p）是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤﹣3，∴①当m＞0时，对称轴x＝2m＞0，此时，当x＝4时，y≤﹣3，即m•42﹣4m2•4﹣3≤﹣3，解得m≥1；②当m＜0时，对称轴x＝2m＜0，当0≤x≤4时，y随x增大而减小，则当0≤x p≤4时，y p≤﹣3恒成立；综上，m的取值范围是：m≥1或m＜0．故选：A．4．（2022•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（）A．或4B．或﹣C．﹣或4D．﹣或4【答案】D【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣a），当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，∵y的最小值为﹣4，∴﹣a＝﹣4，∴a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，∴9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣；综上所述：a的值为4或﹣，故选：D．5．（2022•荆门）如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是．【答案】＜t＜1【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2，由一次函数y＝﹣x+（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝，∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C （x3，y3）（x1＜x2＜x3），∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3，∴2＜x3＜，∴t＝＝，∴＜t＜1．故答案为：＜t＜1．三．二次函数图象与系数的关系6．（2022•南充）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝mx2﹣2m2x+n （m≠0）上，当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，则m的取值范围为（）A．0＜m≤2B．﹣2≤m＜0C．m＞2D．m＜﹣2【答案】A【解答】解：方法一：∵抛物线y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0），∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m，∵当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，∴当m＞0时，0＜2m≤4，解得0＜m≤2；当m＜0时，2m＞4，此时m无解；由上可得，m的取值范围为0＜m≤2，故选：A．方法二：由y1＜y2可得，（mx22﹣2m2x2+n）﹣（mx12﹣2m2x1+n）＞0，整理，得：m（x2﹣x1）（x2+x1﹣2m）＞0，∵x1+x2＞4且x1＜x2，∴当m＞0时，则x2+x1﹣2m＞0，即2m≤4，解得m≤2，∴0＜m≤2；当m＜0时，则x2+x1﹣2m＜0，此时无解；由上可得，0＜m≤2，故选：A．7．（2022•凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（）A．a＞0B．a+b＝3C．抛物线经过点（﹣1，0）D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根【答案】C【解答】解：由题意作图如下：由图知，a＞0，故A选项说法正确，不符合题意，∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），∴a+b+c＝0，c＝﹣3，∴a+b＝3，故B选项说法正确，不符合题意，∵对称轴在y轴的左侧，∴抛物线不经过（﹣1，0），故C选项说法错误，符合题意，由图知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个交点，故关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，故D选项说法正确，不符合题意，故选：C．8．（2022•广安）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2c﹣3b＜0；③5a+b+2c＝0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1＜y2＜y3．其中正确结论的个数有（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴1＝﹣，∴b＝﹣2a，∴b＜0，∵抛物线交y轴于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确，∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过（3，0），∴9a﹣6a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴2c﹣3b＝﹣6a+6a＝0，故②错误，5a+b+2c＝5a﹣2a﹣6a＝﹣3a＜0，故③错误，观察图象可知，y1＜y2＜y3，故④正确，故选：B．9．（2022•恩施州）已知抛物线y＝x2﹣bx+c，当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0．下列判断：①b2＞2c；②若c＞1，则b＞；③已知点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线y＝x2﹣bx+c上，当m1＜m2＜b时，n1＞n2；④若方程x2﹣bx+c＝0的两实数根为x1，x2，则x1+x2＞3．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：∵a＝＞0，∴抛物线开口向上，当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0，∴抛物线与x轴有两个不同的交点，∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣2c＞0，故①正确；∵当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0，∴﹣b+c＜0；∴b＞+c，当c＞1时，则b＞，故②正确；抛物线的对称轴为直线x＝b，且开口向上，当x＜b时，y的值随x的增大而减小，∴当m1＜m2＜b时，n1＞n2，故③正确；∵方程x2﹣bx+c＝0的两实数根为x1，x2，∴x1+x2＝2b，由②可知，当c＞1时，则b＞，∴x1+x2不一定大于3，故④错误；综上，正确的有①②③，共3个，故选：C．10．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是．【答案】m＝3或﹣1＜m≤﹣【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，当x＝0时，y＝2，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD 的表达式y＝﹣1，当m＞0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣（不符合题意，舍去），当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1（不符合题意，舍去），当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，2﹣m＝﹣1，解得：m＝3，当m＜0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣，当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1，综上，m的取值范围为m＝3或﹣1＜m≤﹣，故答案为：m＝3或﹣1＜m≤﹣．11．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是．【答案】﹣4＜m＜0【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＞0，∵抛物线经过（0，﹣2），∴c＝﹣2，∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，∴a+b＝2，b＝2﹣a，∴m＝a﹣b+c＝a﹣（2﹣a）+（﹣2）＝2a﹣4，∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，∵b＝2﹣a＞0，∴0＜a＜2，∴﹣4＜2a﹣4＜0，故答案为：﹣4＜m＜0．12．（2022•随州）如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．则下列结论正确的有（）①abc＞0；②2a+b＝0；③函数y＝ax2+bx+c的最大值为﹣4a；④若关于x的方程ax2+bx+c＝a+1无实数根，则﹣＜a＜0．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线交y轴于正半轴，∴c＞0，∵﹣＞0，∴abc＜0，故①错误．∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0，故②正确．∵抛物线交x轴于点（﹣1，0），（3，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），当x＝1时，y的值最大，最大值为﹣4a，故③正确．∵ax2+bx+c＝a+1无实数根，∴a（x+1）（x﹣3）＝a+1无实数根，∴ax2﹣2ax﹣4a﹣1＝0，Δ＜0，∴4a2﹣4a（﹣4a﹣1）＜0，∴a（5a+1）＜0，∴﹣＜a＜0，故④正确，故选：C．13．（2022•广元）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＞0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，所以（1）正确；∵对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴b+4a＝0，∴b＝﹣4a，∵经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a＝﹣4a﹣a＝﹣5a，∴4a+c﹣2b＝4a﹣5a+8a＝7a，∵a＜0，∴4a+c﹣2b＜0，∴4a+c＜2b，故（2）不正确；∵3b﹣2c＝﹣12a+10a＝﹣2a＞0，故（3）正确；∵|﹣2﹣2|＝4，|﹣﹣2|＝，|﹣2|＝，∴y1＜y2＜y3，故（4）错误；当x＝2时，函数有最大值4a+2b+c，∴4a+2b+c≥am2+bm+c，4a+2b≥m（am+b）（m为常数），故（5）正确；综上所述：正确的结论有（1）（3）（5），共3个，故选：C．14．（2022•巴中）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y ＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）①2a+b＝0；②c＝3；③abc＞0；④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．A．①②B．①③C．②③④D．①③④【答案】D【解答】解：∵图象经过（﹣1，0），（3，0），∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，①正确．由图象可得抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，②错误．由抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上可得a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，③正确．设抛物线y＝ax2+bx+c的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，3）得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4），∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），∴将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点，故④正确；故选：D．15．（2022•黄石）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图象经过点（1，3）时，方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+3x2＝0，其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵x＝﹣1时，y有最小值，∴a﹣b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），即a﹣bt≤at2+b，所以②正确；∵图象经过点（1，3）时，得ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的一个交点为（1，3），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的另一个交点为（﹣3，3），即x1＝﹣3，x2＝1，∴x1+3x2＝﹣3+3＝0，所以③正确．故选：D．16．（2022•济南）抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y1），N（m+1，y2）为图形G上两点，若y1＜y2，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1或m＞0B．＜m＜C．0≤m＜D．﹣1＜m＜1【答案】D【解答】解：在y＝﹣x2+2mx﹣m2+2中，令x＝m﹣1，得y＝﹣（m﹣1）2+2m （m﹣1）﹣m2+2＝1，令x＝m+1，得y＝﹣（m+1）2+2m（m+1）﹣m2+2＝1，∴（m﹣1，1）和（m+1，1）是关于抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2对称轴对称的两点，①若m﹣1≥0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴右侧（包括（m﹣1，1）在y轴上），则点（m﹣1，1）经过翻折得M（m﹣1，y1），点（m+1，1）经过翻折得N （m+1，y2），如图：由对称性可知，y1＝y2，∴此时不满足y1＜y2；②当m+1≤0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴左侧（包括（m+1，1）在y轴上），则点（m﹣1，1）即为M（m﹣1，y1），点（m+1，1）即为N（m+1，y2），∴y1＝y2，∴此时不满足y1＜y2；③当m﹣1＜0＜m+1，即（m﹣1，1）在y轴左侧，（m+1，1）在y轴右侧时，如图：此时M（m﹣1，1），（m+1，1）翻折后得N，满足y1＜y2；由m﹣1＜0＜m+1得：﹣1＜m＜1，故选：D．17．（2022•荆门）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c＞0，∴抛物线开口向下，则a＜0，故①正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，∴函数的最大值为4a﹣2b+c，∴对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②错误；∵对称轴为x＝﹣2，c＞0．∴当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0，∴16a+c＞4b，故③正确；∵对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），∵抛物线开口向下，∴若﹣4＜x0＜0，则y0＞c，故④错误；故选：B．四．二次函数图象上点的坐标特征18．（2022•常德）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：将（4，12）代入＝4，＝4，＝4，…，∴（4，12）是完美方根数对；故①正确；将（9，91）代入＝10≠9，＝，∴（9，91）不是完美方根数对，故②错误；③∵（a，380）是完美方根数对，∴将（a，380）代入公式，＝a，＝a，解得a＝20或a＝﹣19（舍去），故③正确；④若（x，y）是完美方根数对，则＝x，＝x，整理得y＝x2﹣x，∴点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，故④正确；故选：C．19．（2022•成都）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（）A．a＞0B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大C．点B的坐标为（4，0）D．4a+2b+c＞0【答案】D【解答】解：A、由图可知：抛物线开口向下，a＜0，故选项A错误，不符合题意；B、∵抛物线对称轴是直线x＝1，开口向下，∴当x＞1时y随x的增大而减小，x＜1时y随x的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；C、由A（﹣1，0），抛物线对称轴是直线x＝1可知，B坐标为（3，0），故选项C错误，不符合题意；D、抛物线y＝ax2+bx+c过点（2，4a+2b+c），由B（3，0）可知：抛物线上横坐标为2的点在第一象限，∴4a+2b+c＞0，故选项D正确，符合题意；故选：D．20．（2022•贵港）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝﹣．对于下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④am2+bm＜（a﹣2b）（其中m≠﹣）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有个．【答案】3【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），把（﹣2，0）（1，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），可得：，解得，∴a+b+c＝a+a﹣2a＝0，故③正确；∵抛物线开口方向向下，∴a＜0，∴b＝a＜0，c＝﹣2a＞0，∴abc＞0，故①错误；∵抛物线与x轴两个交点，∴当y＝0时，方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；∵am2+bm＝am2+am＝a（m+）2﹣a，（a﹣2b）＝（a﹣2a）＝﹣a，∴am2+bm﹣（a﹣2b）＝a（m+）2，又∵a＜0，m≠﹣，∴a（m+）2＜0，即am2+bm＜（a﹣2b）（其中m≠﹣），故④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线开口朝下，∴可知二次函数，在x＞﹣时，y随x的增大而减小，∵x1＞x2＞1＞﹣，∴y1＜y2，故⑤错误，正确的有②③④，共3个，故答案为：3．21．（2022•达州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②a＞；③对于任意实数m，都有m（am+b）＞a+b成立；④若（﹣2，y1），（，y2），（2，y3）在该函数图象上，则y3＜y2＜y1；⑤方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（）个．A．2B．3C．4D．5【答案】A【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴抛物线与y轴交于点（0，﹣1），∴c＝﹣1，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①正确，∵y＝ax2﹣2ax﹣1，当x＝﹣1时，y＞0，∴a+2a﹣1＞0，∴a＞，故②正确，当m＝1时，m（am+b）＝a+b，故③错误，∵点（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（2，y3）到对称轴的距离，∴y1＞y3，∵点（，y2）到对称轴的距离小于点（2，y3）到对称轴的距离，∴y3＞y2，∴y2＜y3＜y1，故④错误，∵方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的解，是抛物线与直线y＝±k的交点，当有3个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为3，当有4个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4，当有2个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为2，故⑤错误，故选：A．22．（2022•徐州）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为．【答案】4【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），∴顶点到x轴的距离为4，∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，∴m＝4，故答案为：4．五．二次函数的最值23．（2022•舟山）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k ≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（）A．B．2C．D．1【答案】B【解答】解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3上，∴，由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，∵ab的最大值为9，∴k＜0，﹣＝9，解得k＝﹣，把k＝﹣代入②得：4×（﹣）+3＝c，∴c＝2，故选：B．24．（2022•嘉兴）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k ≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（）A．1B．C．2D．【答案】C【解答】解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3上，∴，由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，∵ab的最大值为9，∴k＜0，﹣＝9，解得k＝﹣，把k＝﹣代入②得：4×（﹣）+3＝c，∴c＝2，故选：C六．二次函数图象与几何变换25．（2022•湘西州）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是．【答案】﹣＜b＜﹣1【解答】解：如图，当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A （﹣1，0），B（5，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2﹣4x﹣5＝﹣x+b有相等的实数解，解得b＝﹣，所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为﹣＜b＜﹣1．故答案为：﹣＜b＜﹣1．26．（2022•荆州）规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为．【答案】y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4【解答】解：∵函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，∴函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，当k＝0时，函数解析式为y＝﹣2x﹣3，它的“Y函数”解析式为y＝2x﹣3，它们的图象与x轴只有一个交点，当k≠0时，此函数是二次函数，∵它们的图象与x轴都只有一个交点，∴它们的顶点分别在x轴上，∴＝0，解得：k＝﹣1，∴原函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣4＝﹣（x+2）2，∴它的“Y函数”解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，综上，“Y函数”的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4，故答案为：y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．七．抛物线与x轴的交点27．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②3a+c ＝0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；④点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2.其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为（3，0）；①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c已经修改＞0，故abc＜0，故①正确，符合题意；②∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴②正确，符合题意；③由图象知，当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，∴③错误，不符合题意；④从图象看，当x＝﹣2时，y1＜0，当x＝2时，y2＞0，∴有y1＜0＜y2，故④正确，符合题意；故选：C．28．（2022•枣庄）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c ＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有.（填序号，多选、少选、错选都不得分）【答案】①②③【解答】解：∵抛物线对称轴在y轴的左侧，∴ab＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，①正确；∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，②正确．∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴另一个交点为（﹣3，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，∴y2＞y1＞y3，④错误．∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴a+b+c＝0，∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴3a+c＝0，⑤错误．故答案为：①②③．29．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为．【答案】8【解答】方法1、解：针对于抛物线y＝x2+2x﹣n，令y＝0，则x2+2x﹣n＝0，∴x＝﹣1±，针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣n，令y＝0，则x2﹣2x﹣n＝0，∴x＝1±，∵抛物线y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2+2x﹣n的顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），∵抛物线y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的顶点坐标为（1，﹣n﹣1），∴抛物线y＝x2+2x﹣n与抛物线y＝x2﹣2x﹣n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，顶点到x轴的距离相等，∴AB＝CD，∵AD＝2BC，∴抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y＝x2﹣2x ﹣n与x轴的交点C在左侧，D在右侧，∴A（﹣1﹣，0），B（﹣1+，0），C（1﹣，0），D（1+，0），∴AD＝1+﹣（﹣1﹣）＝2+2，BC＝﹣1+﹣（1﹣）＝﹣2+2，∴2+2＝2（﹣2+2），∴n＝8，故答案为：8．方法2、∵y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2+2x﹣n的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），∵y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣n﹣1），∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的图象可由y＝x2+2x﹣n的图象向右平移两个单位得到，∵n＞0，∴﹣n﹣1＜﹣1，两函数的图象如图所示：由平移得，AC＝BD＝2，∵AB＝CD，AD＝2BC，∴BC＝2AC＝4，∴CD＝BC+BD＝6，∵点C，D关于直线x＝1对称，∴C（﹣2，0），∵点C在抛物线y＝x2﹣2x﹣n上，∴4+4﹣n＝0，∴n＝8，故答案为：8．八．二次函数综合题30．（2022•丹东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴是直线x＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4a＜0∵抛物线交y轴的负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确，∵b＝﹣4a，a＞0，∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确，观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，∵b＜0，∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确．∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．∵AM⊥CM，∴∠AMC＝∠KMH＝90°，∴∠CMH＝∠KMA，∵∠MHC＝∠MKA＝90°，∴△MHC∽△MKA，∴＝，∴＝，∴a2＝，∵a＞0，∴a＝，故⑤正确，故选：D．31．（2022•自贡）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a ＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥﹣2；②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．其中正确的是（）A．①③B．②③C．①④D．①③④【答案】D【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，﹣2），又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），∴c≥﹣2，（顶点在y轴上时取“＝”），故①正确；∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；若点D的横坐标最小值为﹣5，则此时对称轴为直线x＝﹣3，C点的横坐标为﹣1，则CD＝4，∵抛物线形状不变，当对称轴为直线x＝1时，C点的横坐标为3，∴点C的横坐标最大值为3，故③正确；令y＝0，则ax2+bx+c＝0，CD2＝（﹣）2﹣4×＝，根据顶点坐标公式，＝﹣2，∴＝﹣8，即＝8，∴CD2＝×8＝，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，∴＝42＝16，解得a＝，故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选：D．。

2023年中考数学复习《二次函数综合压轴题》培优提升专题训练(含解析)

2023年中考数学复习《二次函数综合压轴题》培优提升专题训练(含解析)

2023年春九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》培优提升专题训练（附答案）1．已知：抛物线y＝x2+x+m交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中点B在点A的右侧，且AB＝7．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D在第一象限内抛物线上，连接CD，AD，AD交y轴于点E．设点D 的横坐标为d，△CDE的面积为S，求S与d之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DH⊥CE于点H，点P在DH上，连接CP，若∠OCP＝2∠DAB，且HE：CP＝3：5，求点D的坐标及相应S的值．2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B，C，D的坐标分别（1，0），（3，0），（3，4），以A为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D匀速运动，过点P作PE⊥x轴，交对角线AC于点N．设点P运动的时间为t（秒）．（1）求抛物线的解析式；（2）若PN分△ACD的面积为1：2的两部分，求t的值；（3）若动点P从A出发的同时，点Q从C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D匀速运动，点H为线段PE上一点．若以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形，求t的值．3．如图1，过原点的抛物线与x轴交于另一点A，抛物线顶点C的坐标为，其对称轴交x轴于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使△ACD 面积最大时点D的坐标；（3）在对称轴上是否存在点P，使得点A关于直线OP的对称点A'满足以点O、A、C、A'为顶点的四边形为菱形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．综合与探究如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点D坐标；（2）在直线l上是否存在一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在x轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线，AD，AC于点E，F，G．①判断线段FP与FG的数量关系，并说明理由②连接EA，ED，CD，当m为何值时，四边形AEDC的面积最大？最大值为多少？5．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）与双曲线y＝相交于点A、B，已知点A坐标（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．（1）求实数a、b、k的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P使得△POB为等腰三角形？若存在请求出所有的P点的坐标，若不存在请说明理由．（3）在坐标系内有一个点M，恰使得MA＝MB＝MO，现要求在y轴上找出点Q使得△BQM的周长最小，请求出M的坐标和△BQM周长的最小值．6．如图，已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，过点A的直线y＝kx+k与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若k＝﹣1，当PE＝2DE时，求点P坐标；（3）当（2）中直线PD为x＝1时，是否存在实数k，使△ADE与△PCE相似？若存在请求出k的值；若不存在，请说明你的理由．7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交BC于点H．当点P 运动到何处时满足PC＝CH？求出此时点P的坐标；（3）若m≤x≤m+1时，二次函数y＝ax2+bx+3的最大值为m，求m的值．9．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（2，0），点C在y轴上，其坐标为（0，﹣3），抛物线经过点A，B，C．P为第三象限内抛物线上一动点．（1）求该抛物线的解析式．（2）连接AC，过点P作PD⊥AC，PE∥y轴交AC于点E，当△PDE的周长最大时，求P点的坐标和△PDE周长的最大值．（3）若点M为x轴上一动点，点F为平面直角坐标系内一点．当点M，B，C，F构成菱形时，请直接写出点F的坐标．10．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，CA＝4，将∠ABC对折，使点C 的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（1）求过A，B，O三点的抛物线解析式；（2）若在线段AB上有一动点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于M，连接MB，MA，求△MAB的面积的最大值；（3）若点E在抛物线上，点F在对称轴上，且以O，A，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．11．如图，矩形AOBC放置在平面直角坐标系xOy中，边OA在y轴的正半轴上，边OB在x轴的正半轴上，抛物线的顶点为F，对称轴交AC于点E，且抛物线经过点A（0，2），点C，点D（3，0）．∠AOB的平分线是OE，交抛物线对称轴左侧于点H，连接HF．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上有动点M，线段BC上有动点N，求四边形EAMN的周长的最小值；（3）该抛物线上是否存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式，并指出抛物线的顶点坐标．（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△P AC的周长；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△P AM＝S△P AC，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点．（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．15．如图，已知直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+3经过B、C两点并与x轴的另一个交点为A，且OC＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）点R为直线BC上方对称轴右侧抛物线上一点，当△RBC的面积为时，求R点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接CR，作RH⊥x轴于H，连接CH、AC，点P为线段CR上一点，点Q为线段CH上一点，满足QH＝CP，过点P作PE∥AC交x轴于点E，连接EQ，当∠PEQ＝45°时，求CP的长．16．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A和点C，抛物线y ＝ax2﹣3x+c经过A，C两点，并且与x轴交于另一点B．点D为第四象限抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，连接BE．设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当∠ECD＝∠EDC时，求出此时m的值；（3）点D在运动的过程中，△EBF的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（4，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形P AOC的周长最小？若存在，求出四边形P AOC的周长最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图②，点Q是OB上的一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点A（﹣3，0），与y轴交于点B（0，4），在第一象限内有一点P（m，n），且满足4m+3n＝12．（1）求二次函数解析式．（2）若以点P为圆心的圆与直线AB、x轴相切，求点P的坐标．（3）若点A关于y轴的对称点为点A′，点C在对称轴上，且2∠CBA+∠P A′O＝90◦．求点C的坐标．19．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式．（2）在抛物线上是否存在点D，使得△ABD的面积等于△ABC的面积的倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF的最大值和最小值．20．如图，抛物线y＝ax2+6x﹣5交x轴于A，B两点，交y轴于C点，点B的坐标为（5，0），直线y＝x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，求△BCP面积S的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）过点A的直线交直线BC于点M，连接AC当直线AM与直线BC的一个夹角等于∠ACB的3倍时，请直接写出点M的坐标．21．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出当x满足什么值时y＜0？（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），顶点为C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点C的坐标；（2）点A关于抛物线对称轴的对应点为点D，联结OD、BD，求∠ODB的正切值；（3）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，使顶点C落在点E处，点B落在点F处，如果BE＝BF，求t的值．24．如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2+bx+c过点B，并且顶点D的坐标为（﹣2，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线与直线AB的另一个交点为F，点C是线段BF的中点，过点C作BF的垂线交抛物线于点P，Q，求线段PQ的长度；（3）在（2）的条件下，点M是直线AB上一点，点N是线段PQ的中点，若PQ＝2MN，直接写出点M的坐标．25．如图，直线y＝﹣x+m与抛物线y＝ax2+bx都经过点A（6，0），点B，过B作BH垂直x轴于H，OA＝3OH．直线OC与抛物线AB段交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点C的纵坐标是时，求直线OC与直线AB的交点D的坐标；（3）在（2）的条件下将△OBH沿BA方向平移到△MPN，顶点P始终在线段AB上，求△MPN与△OAC公共部分面积的最大值．26．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+（a+）x+c（a≠0）经过点A （﹣3，﹣2），与y轴交于点B（0，﹣2），抛物线的顶点为点C，对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点E是x轴正半轴上的一点，如果∠AED＝∠BCD，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是位于y轴左侧抛物线上的一点，如果△P AE是以AE为直角边的直角三角形，求点P的坐标．27．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、C（3，0），点B为抛物线顶点，直线BD为抛物线的对称轴，点D在x轴上，连接AB、BC，∠ABC＝90°，AB与y轴交于点E，连接CE．（1）求顶点B的坐标并求出这条抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC的面积为S，点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．28．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x＝2．点G是抛物线y ＝ax2+bx+c位于直线y＝﹣x+3下方的任意一点，连接PB、GB、GC、AC．（1）求该抛物线的解析式；（2）求△GBC面积的最大值；（3）连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．（1）由y＝x2+x+m，令y＝0，则（x+2）（x﹣m）＝0，∴AO＝2，BO＝m，∴A（﹣2，0），B（m，0），∵AB＝7，∴m﹣（﹣2）＝7，m＝5，∴y＝；（2）过点D作DK⊥x轴于点K，设∠DAB＝α，则D（d，﹣），∴＝．∴EO＝AO•tanα＝5﹣d，CE＝5﹣（5﹣d）＝d，∴；（3）过点E作CE的垂线，过C作∠OCP的平分线交DE于点J，交CE的垂线于点F，过点F作ED的平行线交HD于点N．∴∠ECF＝∠HDE＝α，HE＝3k，CP＝5k，CE＝HD＝d，∵CE＝HD，∠CEF＝∠CHD＝90°，∴△CEF≌△DHE（ASA），∵EF∥DN，NF∥DE，∴四边形EDNF为平行四边形，∴EF＝HE＝DN＝3k，CF＝DE＝FN，∴△CFN为等腰直角三角形，∴∠PCN＝∠FNC＝45°，∴∠PCN＝∠PNC＝45°﹣α，∴PC＝PN＝5k，∴PD＝2k，∴CH＝d﹣3k，PH＝d﹣2k，∴（d﹣3k）2+（d﹣2k）2＝（5k）2，∴（d﹣6k）（d+k）＝0，∴d＝6k，∴在Rt△DHE中，tan，由（2）知，∴．∴d＝4，∴D（4，3），∴＝＝8．2．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，且B（1，0），C（3，0），D（3，4），∴A（1，4），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将C（3，0）代入y＝a（x﹣1）2+4，得0＝4a+4，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（2）∵PE⊥x轴，DC⊥x轴，∴PE∥DC，∴△APN∽△ADC，∵PN分△ACD的面积为1：2的两部分，∴＝或，当＝时，＝＝，∵AD＝2，∴AP＝，∴t的值为×2＝；当＝时，＝＝，∵AD＝2，∴AP＝，∴t的值为×2＝，综上所述，t的值为或；（3）如图2﹣1，当CN为菱形的对角线时，点P，N的横坐标均为，设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（1，4），C（3，0）代入y＝kx+b，得，解得，∴直线AC的表达式为y＝﹣2x+6，将点N的横坐标代入y＝﹣2x+6，得，即EN＝4﹣t，由菱形CQNH可得，CQ＝NH＝t＝CH，可得EH＝（4﹣t）﹣t＝4﹣2t，∵，∴，在Rt△CHE中，∵CE2+EH2＝CH2，∴，解得，t1＝，t2＝4（舍）；如图2﹣2，当CN为菱形的边时，由菱形CQHN可得，CQ＝CN＝t，在Rt△CNE中，∵NE2+CE2＝CN2，∴（4﹣t）2+（2﹣t）2＝t2，解得，t1＝20﹣8，t2＝20+8（舍）；综上所述，t的值为或．3．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，（a≠0）∵顶点，∴，又∵图象过原点，∴，解出：，∴，即；（2）令y＝0，即，解得：x1＝0，x2＝4，∴A（4，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A（4，0），代入，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，过点D作DF∥y轴交AC于点F，设，则，∴，∴＝，∴当m＝3时，S△ACD有最大值，当m＝3时，，∴；（3）∵∠CBO＝∠CBA＝90°，OB＝AB＝2，，∴，∴OA＝OC＝AC＝4，∴△AOC为等边三角形，①如图3﹣1，当点P在C时，OA＝AC＝CA'＝OA'，∴四边形ACA'O是菱形，∴；②作点C关于x轴的对称点C'，当点A'与点C'重合时，OC＝AC＝AA'＝OA'，∴四边形OCAA'是菱形，∴点P是∠AOA'的角平分线与对称轴的交点，记为P2，∴，∵∠OBP2＝90°，OB＝2，∴OP2＝2BP2，设BP2＝x，∴OP2＝2x，又∵，∴（2x）2＝22+x2，解得或，∴；综上所述，点P的坐标为或．4．解：（1）由抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；由y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，得，点D坐标为（﹣1，4）；（2）在直线l上存在一点M，到点B的距离与到点C的距离之和最小，根据抛物线对称性MA＝MB，∴MB+MC＝MA+MC，∴使MB+MC的值最小的点M应为直线AC与对称轴l：x＝﹣1的交点，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），设直线AC解析式为直线y＝kx+b，把A（﹣3，0）、C（0，3）分别代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线AC解析式为y＝x+3，把x＝﹣1代入y＝x+3得，y＝2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）①PF＝2FG，理由如下，设直线AD解析式为y＝k'x+b'，把A（﹣3，0）、D（﹣1，4）分别代入直线y＝k'x+b'，得，，解得，∴直线AD解析式为y＝2x+6，则点F的坐标为（m，2m+6），同理G的坐标为（m，m+3），则FG＝（2m+6）﹣（m+3）＝m+3，FP＝2m+6＝2（m+3），∴FP＝2FG；②根据题意得点E的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），设直线l与x轴交于点N，EF＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（2m+6）＝﹣m2﹣4m﹣3＝﹣（m+2）2+1∴S△AED＝S△AEF+S△EFD＝＝，∴当m为﹣2时，S△AED的最大值为1，如图，过点D作DH∥x轴，交y轴于点H，在△DHC中，∠DHC＝180°﹣∠AOB＝90°，，在Rt△AOC中，，在Rt△ADN中，，∵，∴DC2+AC2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴，∴，∴当m为﹣2时，四边形AEDC的面积最大，最大值为4．5．解：（1）将A（1，4）代入y＝，得，k＝4，∴双曲线解析式为y＝，设B（m，）（m＜0），连接AB，交x轴于点C，设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（1，4），B（m，）代入，得，解得，，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，当y＝0时，x＝m+1，∴C（m+1，0），OC＝﹣m﹣1，∴S△AOB＝OC•（y A﹣y B）＝（﹣m﹣1）（4﹣），∵△AOB的面积为3，∴（﹣m﹣1）（4﹣）＝3，整理，得2m2+3m﹣2＝0，解得，m1＝（舍去），m2＝﹣2，∴B（﹣2，﹣2），将A（1，4），B（﹣2，﹣2）代入y＝ax2+bx，得，，解得，，∴抛物线的解析式为y＝x2+3x，∴a＝1，b＝3，k＝4；（2）在抛物线y＝x2+3x中，对称轴为x＝﹣，设P（﹣，y），∵O（0，0），B（﹣2，﹣2），∴PO2＝+y2，OB2＝8，PB2＝+（y+2）2，∵△POB为等腰三角形，∴①PO2＝OB2时，+y2＝8，解得，y＝±，∴P1（﹣，﹣），P2（﹣，）；②PB2＝OB2时，+（y+2）2＝8，解得，y＝﹣2±，∴P3（﹣，﹣2﹣），P4（﹣，﹣2+）；③PB2＝OP2时，+（y+2）2＝+y2，解得，y＝﹣，∴P5（﹣，﹣）；综上所述，点P的坐标为P1（﹣，﹣），P2（﹣，），P3（﹣，﹣2﹣），P4（﹣，﹣2+），P5（﹣，﹣）；（3）设M（x，y），∵A（1，4），B（﹣2，﹣2），O（0，0），∴MO2＝x2+y2，MA2＝（x﹣1）2+（y﹣4）2，MB2＝（x+2）2+（y+2）2，又∵MO＝MA＝MB，∴，解得，，∴M（﹣，），作B关于y轴的对称点B'（2，﹣2），连接B'M交y轴于Q，则此时MQ+BQ的值最小，理由是两点之间，线段最短，又∵MB的长度为定值，∴此时△BQM的周长最小，C△BQM＝MB+MQ+BQ＝MB+MB'＝＝，∴M的坐标为（﹣，），△BQM周长的最小值为．6．解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c，得，，解得，，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）当k＝﹣1时，直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，设P（x，x2﹣3x﹣4），则E（x，﹣x﹣1），D（x，0），则PE＝|x2﹣3x﹣4﹣（﹣x﹣1）|＝|x2﹣2x﹣3|，DE＝|x+1|，∵PE＝2ED，∴|x2﹣2x﹣3|＝2|x+1|，当x2﹣2x﹣3＝2（x+1）时，解得，x1＝﹣1（舍去），x2＝5，∴P（5，6）；当x2﹣2x﹣3＝﹣2（x+1）时，解得，x1＝﹣1（舍去），x2＝1，∴P（1，﹣6）；综上所述，点P的坐标为（5，6）或（1，﹣6）；（3）存在，理由如下；∵∠AED＝∠PEC，∴要使△ADE与△PCE相似，必有∠EPC＝∠ADE＝90°或∠ECP＝∠ADE＝90°，①当∠EPC＝∠ADE＝90°时，如图1，CP∥x轴，∵P（1，﹣6），根据对称性可得C（2，﹣6），将C（2，﹣6），代入直线AC解析式中，得2k+k＝﹣6，解得，k＝﹣2；②当∠ECP＝∠ADE＝90°时，如图2，过C点作CF⊥PD于点F，则有∠FCP＝∠PEC＝∠AED，则△PCF∽△AED，∴＝，在直线y＝kx+k上，当x＝1时，y＝2k，∴E（1，2k），∴DE＝﹣2k，由，得或，∴C（k+4，k2+5k），∴F（1，k2+5k），∴CF＝k+3，FP＝k2+5k+6，∴＝，解得，k1＝k2＝﹣1，k3＝﹣3（此时C与P重合，舍去），综上，当k＝﹣2或﹣1时，△ADE与△PCE相似．7．（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，∴，∴，∴抛物线解析式为；（2）如图1，过点A作AH∥y轴交BC于H，交BE于G，由（1），C（0，﹣2），将B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线BC的解析式为，∵H（1，y）在直线BC上，∴，∴，将点B（3，0），E（0，﹣1）代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线BE的解析式为y＝x﹣1，∴G（1，﹣），∴GH＝，∵直线BE：y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+x﹣2相交于F，B，∴F（，﹣），∴S△FHB＝GH×（x B﹣x F）＝××（3﹣）＝；（3）如图2，由（1）y＝﹣x2+x﹣2＝﹣（x﹣2）2+，∴顶点D（2，），∵动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，∴设M（2，m），m＞，∴OM2＝m2+4，BM2＝m2+1，OB2＝9，∵∠OMB＝90°，∴OM2+BM2＝OB2，∴m2+4+m2+1＝9，∴m1＝，m2＝﹣（舍），∴M（2，），∴MD＝﹣，∴，∴当时，∠OMB＝90°．8．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入y＝kx+3，得，k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），过点C作CM⊥PH于点M，则CM＝x，PH＝﹣x2+3x，当CP＝CH时，PM＝MH，∠MCH＝∠MCP，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∵CM∥OB，∴∠MCH＝∠OBC＝45°，∴∠PCH＝90°，∴MC＝PH＝（﹣x2+3x），即x＝（﹣x2+3x），解得，x1＝0（舍去），x2＝1，∴P（1，4）；（3）在y＝﹣x2+2x+3中，对称轴为x＝1，若m+1≤1，即m≤0时，当x＝m+1时，函数有最大值m，∴﹣（m+1）2+2（m+1）+3＝m，解得，m1＝（舍去），m2＝；若m＜1＜m+1，即0＜m＜1时，当x＝1时，函数有最大值为m＝4（舍）；若m＞1，当x＝m时，函数有最大值为m，∴﹣m2+2m+3＝m，解得，m1＝（舍去），m2＝，综上所述，m的值为或．9．解：（1）∵抛物线经过点A，B，它们的坐标分别为（﹣4，0）、（2，0），∴设其解析式为y＝a（x+4）（x﹣2），将点C（0，﹣3）代入y＝a（x+4）（x﹣2），解得，，∴抛物线的解析式为；（2）∵OA＝4，OC＝3，∠AOC＝90°，∴AC＝＝5，∵PD⊥AC，∠PDE＝∠AOC＝90°，又∵PE∥y轴，∴∠PED＝∠ACO，∴△PDE∽△AOC，∴PD：AO＝DE：OC＝PE：AC，即PD：4＝DE：3＝PE：5，∴，∴△PDE的周长＝，则要使△PDE周长最大，PE取最大值即可，设直线AC的解析式为y＝kx﹣3，将点A（﹣4，0）代入y＝kx﹣3，得，k＝﹣，∴直线AC的解析式为，设点，则，∴当a＝﹣2时，取得最PE大值，最大值为，则，∴P（﹣2，﹣3），△PDE周长的最大值为；（3）如右图，①当BM为对角线时，显然，点F在y轴上，根据对称性得到点F的坐标为（0，3）；②当BM为边时，∵，则有以下几种情况：（I）BC为边时，BM＝BC＝，点M在x轴负半轴上时，点M是点B向左平移个单位长度得到的，∴M（2﹣，0），∴点C（0，﹣3）向左平移个单位长度得到点F；点M在x轴正半轴上时，点M是点B向平右移个单位长度得到的，∴M（2+，0），∴点C（0，﹣3）向右平移个单位长度得到点F；（II）BC为对角线时，设OM＝x，在直角三角形OMC中，由勾股定理可得OM2+OC2＝MC2，即x2+32＝（x+2）2，解得，x＝，∴菱形的边长为2+＝，∴CF＝，∴F（，﹣3），综上所述，点F的坐标为（0，3）或或或．10．解：（1）在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，由翻折知，△BCO≌△BHO，∴BH＝BC＝3，∴AH＝AB﹣BH＝2，∵∠HAO＝∠CAB，∠OHA＝∠BCA＝90°，∴△AHO∽△ACB，∴＝，即＝，∴AO＝，∴A（，0），B（﹣，3），∵抛物线经过原点O，∴可设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，将点A（，0），B（﹣，3）代入，得，解得，，∴过A，B，O三点的抛物线解析式为y＝x2﹣x；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（，0），B（﹣，3）代入，得，解得∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，∴可设P（x，﹣x+），则M（x，x2﹣x），∴PM＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2+x+，∴S△MAB＝PM（x A﹣x B）＝（﹣x2+x+）×4＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+4，∴当x＝时，△MAB的面积取最大值4；（3）在y＝x2﹣x中，对称轴为x＝，①如图3﹣1，当OA为平行四边形的一边时，OA平行且等于EF，∵OA＝，∴EF＝，∵x F＝，∴x E＝±＝或﹣，当x E＝或﹣，时y E＝，∴点E的坐标为（，）或（﹣，）；②如图3﹣2，当OA为平行四边形的对角线时，OA与EF互相平分，则点E在抛物线顶点处，∵当x＝时，y＝﹣，∴点E的坐标为（，﹣），综上所述，点E的坐标为（，）或（﹣，）或（，﹣）．11．解：（1）∵AE∥x轴，OE平分∠AOB，∴∠AEO＝∠EOB＝∠AOE，∴AO＝AE，∵A（0，2），∴E（2，2），∴点C（4，2），设二次函数解析式为y＝ax2+bx+2，∵C（4，2）和D（3，0）在该函数图象上，∴，得，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2；（2）作点A关于x轴的对称点A1，作点E关于直线BC的对称点E1，连接A1E1，交x 轴于点M，交线段BC于点N．根据对称与最短路径原理，此时，四边形AMNE周长最小．易知A1（0，﹣2），E1（6，2）．设直线A1E1的解析式为y＝kx+b，，得，∴直线A1E1的解析式为．当y＝0时，x＝3，∴点M的坐标为（3，0）．∴由勾股定理得AM＝，ME1＝，∴四边形EAMN周长的最小值为AM+MN+NE+AE＝AM+ME1+AE＝；（3）不存在．理由：过点F作EH的平行线，交抛物线于点P．易得直线OE的解析式为y＝x，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2＝，∴抛物线的顶点F的坐标为（2，﹣），设直线FP的解析式为y＝x+b，将点F代入，得，∴直线FP的解析式为．，解得或，∴点P的坐标为（，），FP＝×（﹣2）＝，，解得，或，∵点H是直线y＝x与抛物线左侧的交点，∴点H的坐标为（，），∴OH＝×＝，易得，OE＝2，EH＝OE﹣OH＝2﹣＝，∵EH≠FP，∴点P不符合要求，∴不存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形．12．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴，得，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，4），即该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）点A关于对称轴的对称点是点B，连接CB与对称轴的交点为P，此时点P即为所求，设过点B（3，0），点C（0，3）的直线解析式为y＝kx+m，，得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴点P的坐标为（1，2），∵点A（﹣1，0），点C（0，3），点B（3，0），∴AC＝，BC＝3，∴△P AC的周长是：AC+CP+P A＝AC+CB＝，即点P的坐标为（1，2），△P AC的周长是；（3）存在点M（不与C点重合），使得S△P AM＝S△P AC，∵S△P AM＝S△P AC，∴当以P A为底边时，只要两个三角形等高即可，即点M和点C到P A的距离相等，当点M在点C的上方时，则CM∥P A时，点M和点C到P A的距离相等，设过点A（﹣1，0），点P（1，2）的直线l1解析式为：y＝kx+m，，得，∴直线AP的解析式为y＝x+1，∴直线CM的解析式为y＝x+3，由得，，，∴点M的坐标为（1，4）；当点M在点C的下方时，则点M所在的直线l2与AP平行，且直线l2与直线AP之间的距离与直线l1与直线AP 之间的距离相等，∴直线l2的的解析式为y＝x﹣1，由得，，，∴M的坐标为（，）或（，）；由上可得，点M的坐标为（1，4），（，）或（，）．13．（1）证明：△＝b2﹣4ac＝[﹣3（a﹣1）]2﹣4a（2a﹣6）＝a2+6a+9＝（a+3）2，∵a＞0，∴（a+3）2＞0，∴抛物线与x轴有两个交点；（2）解：令y＝0，则ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6＝0，∴或，∵a＞0，∴且x1＞x2，∴x1＝2，，∴，∴t＝a﹣5；（3）解：当a＝1时，则y＝x2﹣4，向上平移一个单位得y＝x2﹣3，令y＝0，则x2﹣3＝0，得，∴，，∵OP＝1，∴直线，联立：，解得，，，即，，∴AO＝，在Rt△AOP中，AP＝＝2，过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，∵CN∥x轴，∴∠GCM＝∠P AO，又∵∠AOP＝∠CGM＝90°，∴△AOP∽△CGM，∴＝＝，∴，∵B到CN最小距离为CH，∴MB+GM的最小值为CH的长度，∴2MB+MC的最小值为．14．解：（1）令x＝0，得y＝x﹣2＝﹣2，则B（0，﹣2），令y＝0，得0＝x﹣2，解得x＝4，则A（4，0），把A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c（a≠0）中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）∵PM∥y轴，∴∠ADC＝90°，∵∠ACD＝∠BCP，∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：①当∠CBP＝90°时，如图1，过P作PN⊥y轴于N，设P（x，x2﹣x﹣2），则C（x，x﹣2），∵∠ABO+∠PBN＝∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠PBN＝∠OAB，∵∠AOB＝∠BNP＝90°，∴△AOB∽△BNP，∴，即＝，解得：x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣5）；②当∠CPB＝90°时，如图2，则B和P是对称点，当y＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝﹣2，∴x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣2）；综上，点P的坐标是（，﹣5）或（，﹣2）；（3）∵OA＝4，OB＝2，∠AOB＝90°，∴∠BOA≠45°，∴∠BQP≠2∠BOA，∴分两种情况：①当∠PBQ＝2∠OAB时，如图3，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，∴OE＝AE，∴∠OAB＝∠AOE，∴∠OEB＝2∠OAB＝∠PBQ，∵OB∥PG，∴∠OBE＝∠PHB，∴△BOE∽△HPB，∴，由勾股定理得：AB＝＝2，∴BE＝，∵GH∥OB，∴，即，∴BH＝x，设P（x，x2﹣x﹣2），则H（x，x﹣2），∴PH＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+4x，∴，解得：x1＝0，x2＝3，∴点P的横坐标是3；②当∠BPQ＝2∠OAB时，如图4，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，过O作OF⊥AB于F，连接AP，则∠BPQ＝∠OEF，设点P（t，t2﹣t﹣2），则H（t，t﹣2），∴PH＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+4t，∵OB＝2，OA＝4，∴AB＝2，∴OE＝BE＝AE＝，OF＝＝＝，∴EF＝＝＝，S△ABP＝＝，∴2PQ＝4（﹣t2+4t），PQ＝，∵∠OFE＝∠PQB＝90°，∴△PBQ∽△EOF，∴，即，∴BQ＝，∵BQ2+PQ2＝PB2，∴＝，化简得，44t2﹣388t+803＝0，即：（2t﹣11）（22t﹣73）＝0，解得：t1＝5.5（舍），t2＝；综上，存在点P，使得△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，其P点的横坐标为3或．15．解：（1）在直线y＝﹣x+3中，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝4，∴C（0，3），B（4，0），∴OC＝3，∵OC＝3OA，∴OA＝1，∴A（﹣1，0），把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3，得，，解得，a＝﹣，b＝，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）如图1，连接RO，RC，RB，设R（t，﹣t2+t+3），则S△RBC＝S△OCR+S△OBR﹣S△OBC＝×3t+×4（﹣t2+t+3）﹣×3×4＝﹣t2+6t，∵S△RBC＝，∴﹣t2+6t＝，解得，t1＝1，t2＝3，∵点R为直线BC上方对称轴右侧，∴R（3，3）；（3）如图2﹣1，在RH上截取RM＝OA，连接CM、AM，AM交PE于G，作QF⊥OB 于H，∵CR＝CO，∠CRM＝∠COA，∴△CRM≌△COA（SAS），∴CM＝CA，∠RCM＝∠OCA，∴∠ACM＝∠OCR＝90°，∴∠CAM＝∠CMA＝45°，∵AC∥PE，∴∠CAM＝∠AGE＝45°，∴∠PEQ＝45°，∴∠AGE＝∠PEQ，∴AM∥QE，∴∠MAH＝∠QEF，∵∠QFE＝MHA＝90°，∴△QEF∽△MAH，∴＝，∴EF＝2QF，设CP＝m，∴QH＝CP＝m，∵OC＝OH，∴∠OHC＝45°，∴QF＝FH＝m，∴EF＝2m，∴EH＝3m，∵四边形ACPE为平行四边形，∴AE＝CP＝m，∵EH＝AH﹣AE＝4﹣m，∴3m＝4﹣m，∴m＝1，∴CP＝1；如图2﹣2，在RH上截取RM＝OA，连接CM、AM，AM交PE于G，交QE于N，作QF ⊥OB于H，∵CR＝CO，∠CRM＝∠COA，∴△CRM≌△COA（SAS），∴CM＝CA，∠RCM＝∠OCA，∴∠ACM＝∠OCR＝90°，∴∠CAM＝∠CMA＝45°，∵AC∥PE，∴∠CAM＝∠AGE＝45°，∴∠PEQ＝45°，∴∠AGE＝∠PEQ＝45°，∴∠ENG＝∠ENA＝90°，∵∠EQF+∠QEF＝90°，∠EAN+∠QEF＝90°，∴∠EQF＝∠MAB，∵∠QFE＝∠AHM＝90°，∴△QEF∽△AMH，∴＝，∴QF＝2EF，设CP＝m，∴QH＝CP＝m，∵OC＝OH，∴∠OHC＝45°，∴QF＝FH＝m，∴EF＝m，∴EH＝m，∵四边形ACPE为平行四边形，∴AE＝CP＝m，∵EH＝AH﹣AE＝4﹣m，∴4﹣m＝m，∴m＝，∴CP＝，综上所述，CP的长度为1或．16．解：（1）在y＝x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4；当y＝0时，x＝4．∴A（4，0），C（0，﹣4）把A（4，0），C（0，﹣4）代入y＝ax2﹣3x+c中，得，解得，∴抛物线的解析式是y＝x2﹣3x﹣4．（2）如图1，过点E作EH⊥y轴，垂足为H．∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠ACO＝45°，∴∠HEC＝∠HCE＝45°．∵点D（m，m2﹣3m﹣4），E（m，m﹣4），∴EH＝HC＝m，ED＝（m﹣4）﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+4m．∴，∴当∠ECD＝∠EDC时，EC＝ED．∴，解得m＝0（舍去）或；（3）存在．∴点D为第四象限抛物线上一动点（不与点A，C重合），∴0＜m＜4，在抛物线y＝x2﹣3x﹣4中，当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴点B坐标为（﹣1，0）．∵∠F AE＝∠FEA＝45°，∴EF＝AF．设△BFE的周长为n，则n＝BF+FE+BE＝BF+AF+BE＝AB+BE，∵AB的值不变，∴当BE最小，即BE⊥AC时，△BFE的周长最小．∵当BE⊥AC时，∠EBA＝∠BAE＝45°，∴BE＝AE，∴BF＝AF＝2.5．∴m＝4﹣2.5＝1.5时，△BEF的周长最小．17．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）、B（4，0），∴，解得，∴该抛物线的解析式：y＝x+3；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（4，0），∴A、B关于对称轴对称，。

2024成都中考数学一轮复习专题 二次函数解答压轴题 (含解析)

2024成都中考数学一轮复习专题 二次函数解答压轴题 (含解析)

2024成都中考数学一轮复习专题二次函数解答压轴题一、解答题1．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知二次函数2y x bx c =-++．(1)当4,3b c ==时，①求该函数图象的顶点坐标．②当13x -≤≤时，求y 的取值范围．(2)当0x ≤时，y 的最大值为2；当0x >时，y 的最大值为3，求二次函数的表达式．2．（2023·浙江·统考中考真题）已知点(),0m -和()3,0m 在二次函数23,(y ax bx a b =++是常数，0)a ≠的图像上．(1)当1m =-时，求a 和b 的值；(2)若二次函数的图像经过点(),3A n 且点A 不在坐标轴上，当21m -<<-时，求n 的取值范围；(3)求证：240b a +=．5(1)求二次函数的表达式；(2)求四边形ACDB 的面积；(3)P 是抛物线上的一点，且在第一象限内，若ACO PBC ∠=∠6．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线2y ax =+(1)求直线AD 及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M ，使得ADM △是以若不存在，请说明理由；(3)以点B 为圆心，画半径为2的圆，点P 为7．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，二次函数268y x x =-+的图像与x 轴分别交于点,A B （点A 在点B 的左侧），直线l 是对称轴．点P 在函数图像上，其横坐标大于4，连接,PA PB ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ，以点M 为圆心，作半径为r 的圆，PT 与M 相切，切点为T ．(1)求点,A B 的坐标；(2)若以M 的切线长PT 为边长的正方形的面积与PAB 的面积相等，且M 不经过点()3,2，求PM 长的取值范围．8．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点()0,0O ，()10,0E ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点B 在点A 的左侧），点C ，D 在抛物线上，设(),0B t ，当2t =时，4BC =．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持2t =时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时，求抛物线平移的距离．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P 是抛物线上一动点（不与点A ，B ，C 重合），作①如图，若点P 在第三象限，且tan 2CPD ∠=，求点②直线PD 交直线BC 于点E ，当点E 关于直线PC 周长．10．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，抛物线(1)求抛物线解析式及B ，(2)以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，求点(3)该抛物线对称轴上是否存在点11．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()()()1,0,3,,00,3A B C -．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax 2x c =++与坐标轴分别相交于点A ，B ，()0,6C 三点，其对称轴为2x =．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF 分别与y 轴，直线BC 交于点D ，E ．①当CD CE =时，求CD 的长；②若CAD ，CDE ，CEF △的面积分别为1S ，2S ，3S ，且满足1322S S S +=，求点F 的坐标．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．∠的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．(3)当PAQ(4)设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以Q15．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A 和()5,0B -两点，与y 轴交于点C ．直线33y x =-+过抛物线的顶点P ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ．①当EF 取得最大值时，求m 的值和EF 的最大值；②当EFC 是等腰三角形时，求点E 的坐标．16．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax c =+经过点3(4,)P -，与y 轴交于点(0,1)A ，直线(0)y kx k =≠与抛物线交于B ，C 两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，求点B 的坐标；(3)过点(0,)M m 作y 轴的垂线，交直线AB 于点D ，交直线AC 于点E ．试探究：是否存在常数m ，使得OD OE ⊥始终成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．(1)如图2，若抛物线经过原点O ．①求该抛物线的函数表达式；②求BE EC的值．(2)连接,PC CPE ∠与BAO ∠能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P ，使得由；(3)点Q 是对称轴l 上一点，且点Q 的纵坐标为(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当:3:5BM MQ =时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线1l 下方的抛物线上一动点，连接设OQE 的面积为1S ，PQE 的面积为2S ．求21S S 的最大值．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC标及PDDB的最大值；(3)过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连接PC，将好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．33(1)求点,,D E C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点()OF EF <，连接①求证：DFC △是直角三角形；②DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点K 坐标．28．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在y 轴正半轴上．(1)如果四个点()()()()0,00,21,11,1-、、、中恰有三个点在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a ≠）的图象上．①=a ________；②如图1，已知菱形ABCD 的顶点B 、C 、D 在该二次函数的图象上，且AD y ⊥轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在该二次函数的图象上，点B 、D 在y 轴的同侧，且点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，试探究n m -是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a >）的图象上，点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，直接写出m 、n 满足的等量关系式．(1)请求出抛物线1Q 的表达式．(2)如图1，在y 轴上有一点()0,1D -，点E 在抛物线1Q 上，点F 为坐标平面内一点，是否存在点边形DAEF 为正方形？若存在，请求出点,E F 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，将抛物线1Q 向右平移2个单位，得到抛物线2Q ，抛物线2Q 的顶点为(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线11:y OP y x x =交BF 于点G ，求BPG BOGS S △△的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于求点P 的横坐标．31．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线2y x bx c =-++经过(1,0),(0,3)A C -两点，并交x 轴于另一点B ，点M 是抛物线的顶点，直线AM 与轴交于点D ．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH ，DH ，求MH DH +的最小值；(3)若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q ，使得以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接．．写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．32．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(2,0)B 和(0,2)C ，连接BC ，点(,)P m n (0)m >为抛物线上一动点，过点P 作PN x ⊥轴交直线BC 于点M ，交x 轴于点N ．(1)直接写出．．．．抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，连接OM ，当OCM 为等腰三角形时，求m 的值；(3)当P 点在运动过程中，在y 轴上是否存在点Q ，使得以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以B ，C ，N 为顶点的三角形相似（其中点P 与点C 相对应），若存在，直接写出．．．．点P 和点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点交x轴于点D，求与12PK PD+的最大值及此时点2①求证：23DO EO =．②当点E 在线段OB 上，且BE =35．（2023·山西·统考中考真题）如图，二次函数直线与该函数图象交于点()1,3B (1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE 设点P 的横坐标为m ．①当12PD OC =时，求m 的值；②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ x ⊥轴于点Q ，36．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线21:28=--C y x x 交x 轴于,A B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于点C ．(1)直接写出,,A B C 三点的坐标；(2)如图（1），作直线()04=<<x t t ，分别交x 轴，线段BC ，抛物线1C 于,,D E F 三点，连接CF ．若BDE 与CEF △相似，求t 的值；(3)如图（2），将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，其顶点为原点．直线2y x =与抛物线2C 交于,O G 两点，过OG 的中点H 作直线MN （异于直线OG ）交抛物线2C 于,M N 两点，直线MO 与直线GN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．(1)直接判断AOB 的形状：AOB 是_________三角形；(2)求证：AOE BOD △≌△；(3)直线EA 交x 轴于点(,0),2C t t >．将经过B ，C 两点的抛物线21y ax =物线2y ．①若直线EA 与抛物线1y 有唯一交点，求t 的值；(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，当PAC △(3)如图2，取线段OC 的中点D ，在抛物线上是否存在点若不存在，请说明理由．(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______；(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，90QBD ∠=︒，点E ，F 分别为BDQ △的边,DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE Q F +的最小值为m ．①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =-，请直接写出k 的取值范围．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M 作x 轴的垂线，与拋物线交于点N ．若04t <<，求NED 面积的最大值．(3)抛物线与y 轴交于点C ，点R 为平面直角坐标系上一点，若以B C M R 、、、为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R 的坐标．41．（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数2y ax bx =++交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴且90BFE ∠=︒，求出点F 的坐标；(3)如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．42．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图①，抛物线29y ax bx =+-与x 轴交于点()30A -,，()6,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC .点P 是x 轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q 在抛物线上，若以点A ，C ，P ，Q 为顶点，AC 为一边的四边形为平行四边形时，求点Q 的坐标；(3)如图②，当点(),0P m 从点A 出发沿x 轴向点B 运动时（点P 与点A ，B 不重合），自点P 分别作∥PE BC ，交AC 于点E ，作PD BC ⊥，垂足为点D ．当m 为何值时，PED V 面积最大，并求出最大值．43．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知：y 关于x 的函数()()221y a x a x b =-+++．(1)若函数的图象与坐标轴．．．有两个公共点，且4a b =，则a 的值是___________；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x 轴有两个公共点()2,0A -，()4,0B ，并与动直线:(04)l x m m =<<交于点P ，连接PA ，PB ，PC ，BC ，其中PA 交y 轴于点D ，交BC 于点E ．设PBE △的面积为1S ，CDE 的面积为2S ．①当点P 为抛物线顶点时，求PBC 的面积；②探究直线l 在运动过程中，12S S -是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．(1)求抛物线的解析式；(2)若32m<<，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？(3)若32m<，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使值；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D 是线段OC 上的一动点，连接AD 好落在抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标；(3)如图2，动点P 在直线AC 上方的抛物线上，过点F ，过点F 作FG x ⊥轴，垂足为G ，求2FG +(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求AOD △周长的最小值；(3)如图2，过动点D 作DP AC ∥交抛物线第一象限部分于点P ，连接,PA PB ，记PAD 与△为S ，当S 取得最大值时，求点P 的坐标，并求出此时S 的最大值．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E ，F 为平面内两点，若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形，且点E 在点F 的左侧．F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线21y ax bx c =++的图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ，此抛物线的图象与两点（M 点在N 点左侧）．点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下方．已知点P 的横坐标为P 作PD NC ⊥于点D ．求m 为何值时，12CD PD +有最大值，最大值是多少？50．（2023·四川南充·统考中考真题）如图1，抛物线23y ax bx =++（0a ≠）与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，过点()1,3K 的直线（直线KD 除外）与抛物线交于G ，H 两点，直线DG ，DH 分别交x 轴于点M ，N ．试探究EM EN ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．51．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()4,0A -、()2,0B ，且经过点()2,6C -．(1)求抛物线的表达式；(2)在x 轴上方的抛物线上任取一点N ，射线AN 、BN 分别与抛物线的对称轴交于点P 、Q ，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，求APQ '△的面积；(3)点M 是y 轴上一动点，当AMC ∠最大时，求M 的坐标．52．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()1,0，对称轴是直线=1x -，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．53．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:23L y x x =--的顶点为P ．直线l 过点()()0,3M m m ≥-，且平行于x 轴，与抛物线1L 交于A B 、两点（B 在A 的右侧）．将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ，抛物线2L 交y 轴于点C ，顶点为D ．(1)当1m =时，求点D 的坐标；(2)连接BC CD DB 、、，若BCD △为直角三角形，求此时2L 所对应的函数表达式；(3)在（2）的条件下，若BCD △的面积为3,E F 、两点分别在边BC CD 、上运动，且EF CD =，以EF 为一边作正方形EFGH ，连接CG ，写出CG 长度的最小值，并简要说明理由．54．（2023·云南·统考中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA 标；(3)设直线135 :4l y kx k=+-交抛物线于点M、N，求证：无论存在一点E，使得MEN∠为直角．(1)求a 的值．(2)将直线BC 向下平移()0m m >个单位长度，交抛物线于在定点D ，无论m 取何值时，都是点D 到直线B C ''的距离最大，若存在，请求出点请说明理由．(3)抛物线上是否存在点P ，使45PBC ACO ∠+∠=︒，若存在，请求出直线58．（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知抛物线28y ax bx =++过点()4,8B 和点()8,4C ，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接,AB BC ，点D 在线段AB 上（与点,A B 不重合），点F 是OA 的中点，连接FD ，过点D 作DE FD ⊥交BC 于点E ，连接EF ，当DEF 面积是ADF △面积的3倍时，求点D 的坐标；(3)如图2，点P 是抛物线上对称轴右侧的点，(),0H m 是x 轴正半轴上的动点，若线段OB 上存在点G （与点,O B 不重合），使得GBP HGP BOH ∠=∠=∠，求m 的取值范围．59．（2023·吉林长春·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22y x bx =-++（b 是常数）经过点(2,2)．点A 的坐标为(,0)m ，点B 在该抛物线上，横坐标为1m -．其中0m <．(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；(2)当点B 在x 轴上时，求点A 的坐标；(3)该抛物线与x 轴的左交点为P ，当抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2m -时，求m 的值．(4)当点B 在x 轴上方时，过点B 作BC y ⊥轴于点C ，连结AC 、BO ．若四边形AOBC 的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC 的顶点），设这两个交点分别为点E 、点F ，线段BO 的中点为D ．当以点C 、E 、O 、D （或以点C 、F 、O 、D ）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半时，直接写出所有满足条件的m 的值．60．（2023·湖北·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()260y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()()2,0,6,0A B -，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC ．(1)抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果）(2)在图1中，连接AC 并延长交BD 的延长线于点E ，求CEB ∠的度数；(3)如图2，若动直线l 与抛物线交于,M N 两点（直线l 与BC 不重合），连接,CN BM ，直线CN 与BM 交于点P ．当MN BC ∥时，点P 的横坐标是否为定值，请说明理由．61．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与探究如图，抛物线2y x bx c =-++上的点A ，C 坐标分别为()0,2，()4,0，抛物线与x 轴负半轴交于点B ，点M 为y 轴负半轴上一点，且2OM =，连接AC ，CM ．(1)求点M 的坐标及抛物线的解析式；【基础训练】(1)请分别直接写出抛物线214y x =的焦点坐标和准线l 的方程：___________，___________【技能训练】(2)如图2，已知抛物线21y x =上一点()()000,0P x y x >到焦点F 的距离是它到x 轴距离的参考答案一、解答题222（3）如图，P是抛物线上的一点，且在第一象限，当⊥交BP于连接PB，过C作CE BC∵5OC OB ==，则OCB 为等腰直角三角形，由勾股定理得：52CB =，∵ACO PBC ∠=∠，∴tan tan ACO PBC ∠=∠，即1552CE CE CB ==，∴2CE =由CH BC ⊥，得90BCE ∠=︒，【点拨】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．A7．【答案】(1)()2,0,y=【分析】（1）令0（2）由题意可得抛物线的对称轴为假设M 过点()3,2N ,则有以下两种情况：①如图1：当点M 在点N 的上方，即∴2683m m -+=，解得：m =∵4m >∴5m =；②如图2：当点M 在点N 的上方，即∴2681m m -+=，解得：m =∵4m >∴32m =±；综上，32PM m =-=或2．∴当M 不经过点()3,2时，1【点拨】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．∵直线GH平分矩形ABCD的面积，∴直线GH过点P．．由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，=．∴PQ CH∵四边形ABCD是矩形，∴P是AC的中点．33⎝∴90,PEC CED ∠=∠=︒。

二次函数(10大题型)(50道压轴题专练)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(沪教版)

二次函数（10大题型）（50道压轴题专练）压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题1．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点为(1,0)-．若关于x 的一元二次方程2(0)ax bx c p p ++=<有整数根，则p 的值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个2．已知抛物线221(0)y x bx b b =-++->，当46x ££时，y 的值恒大于等于9．则b 的取值范围为 ．3．在平面直角坐标系中，抛物线2221y x mx m =-++存在两点()11,A m y -，()22,B m y +．(1)请比较1y 与2y 的大小，并说明理由；(2)记抛物线在A ，B 之间的部分为图象F （包括A ，B 两点）；y 轴上一动点()0,C a ，过点C 作垂直于y 轴的直线l 与F 有且仅有一个交点，求a 的取值范围；(3)若点()32,M y 也是抛物线上的点，记抛物线在A ，M 之间的部分为图象G （包括M ，A 两点），记图形G 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t ，若21t y y ³-，求m 的取值范围．4．问题：已知抛物线L ：22y x x =-，抛物线W 的顶点在抛物线L 上（非抛物线L 的顶点）且经过抛物线L 的顶点．请求出一个满足条件的抛物线W 的表达式．(1)解这个问题的思路如下：先在抛物线L 上任取一点（非顶点），你所取的点是 ① ；再将该点作为抛物线W 的顶点，可设抛物线W 的表达式是 ② ；然后求出抛物线L 的顶点是 ③ ；再将抛物线L 的顶点代入所设抛物线W 的表达式，求得其中待定系数的值为 ④ ；最后写出抛物线W 的表达式是 ⑤ ．(2)用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线W ，请再写出一个抛物线W 的表达式．(3)如果问题中抛物线L 和W 在x 轴上所截得的线段长相等，求抛物线W 的表达式．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y x bx =+-的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为E ．点D CD x ∥轴，2CD =．(1)求这条抛物线的函数解析式及顶点E 的坐标；(2)在x 轴上有一点F ，若以点F 、B 、C 为顶点的三角形与BCD △相似，求点F 坐标；(3)点Q 是二次函数图象上一点，过点Q 向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H ，若3HE HQ =，求点Q 的坐标．压轴题型二 二次函数的最值问题1．如图，在平面直角坐标系中，E 、F 、C 三点的坐标分别为1(4，1)、(3,1)、(3,0)，点A 为线段EF 上的一个动点，连接AC ，过点A 作AB AC ^交y 轴于点B ，点A 从E 运动到F 时，点B 随之运动．设点B 的坐标为(0,)b ，则b 的最小值为（ ）A ．94-B ．94C ．54-D ．542．如图，在ABC V 中，AB AC ==4BC =，D 为边AB 上一动点（不与点B 重合），以CD 为边作正方形CDEF ，连接BE ，则当BDE V 的面积最大时，AD 的长为 ．3．已知抛物线2421y x mx m =-++，m 为实数．(1)如果该抛物线经过点()4,3，求此抛物线的顶点坐标．(2)如果当2321m x m -+≤≤时，y 的最大值为4，求m 的值．(3)点()0,0O ，点()1,0A ，如果该抛物线与线段OA （不含端点）恰有一个交点，求m 的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）经过点()1,0A ，()3,0B ，动点P 在抛物线上，其横坐标为m ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 到y 轴的距离小于3，求点P 的纵坐标的取值范围；(3)若抛物线位于点P 右侧（包含点P ）部分的函数值最小为2m -，求m 的值．5．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），其中()()1,0,3,0A B -，与y 轴相交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图所示，点P 是抛物线上位于第一象限内的一个动点，过点P 作PF CE ^，求PF 的最大值．压轴题型三 二次函数的平移问题1．如图，抛物线21445y x x =-+与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作1C ，将1C 向左平移得到2C ，2C 与x 轴交于点B 、D ，若直线y x k =+与1C 、2C 共有3个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）A ．2554k -<<-B ．51k -£<-C ．95k -£<-D ．2954k -<<-2．二次函数223y x x =--的图象与x 轴交于点,A B （A 在B 的左侧），将该函数图象向右平移()0m m >个单位后与x 轴交于点,C D （C 在D 的左侧），平移前后的函数图象相交于点E ，若90AED Ð=°，则m 的值为 ．3．已知抛物线L 的解析式为22y x mx n =-++（m ，n 为常数）．(1)若抛物线L 的顶点在第四象限，且221n m m =-+-，求m 的取值范围；(2)若抛物线L 经过点()1,1P ，将抛物线L 经过平移后得到抛物线S ，点P 的对应点为点()1,2Q t m -，其中1t ³．抛物线仍然经过点P ，求m 的最小值．4．已知抛物线213:4L y x bx c =-++与y 轴交于点C ，与x 轴交于(4,0)(1,0)A B -，两点．(1)求抛物线1L 的函数解析式及点C 的坐标；(2)平移抛物线1L 得到抛物线2L ，抛物线2L 经过点C ，且与x 轴交于()3,0M N ，两点，连接CB ，CN ．点P 是抛物线2L 上的点，连接PN ，若PNC BCN Ð=Ð，请求出所有符合条件的点P 的坐标．5．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于点()3,0A -和点C ，与y 轴交于点B (0,3)，点P 是抛物线上点A 与点C 之间的动点（不包括点A ，点C ）．　备用图(1)求抛物线的解析式；(2)动点P 在抛物线上，且在直线AB 上方，求ABP V 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移2.5个单位，点F 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点E ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若QFE △是以QE 为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点Q 的坐标．压轴题型四 二次函数的翻折问题1．函数()220,40y ax bx c a b ac =++>->的图象是由函数()220,40y ax bx c a b ac =++>->的图象x 轴上方部分不变，下方部分沿x 轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）①20a b += ；②3c =； ③0abc >；④将图象向上平移1个单位后与直线5y =有3个交点．A ．①②B ．①③C ．②③④D ．①③④2．函数()220,40y ax bx c a b ac =++>->的图象是由函数()220,40y ax bx c a b ac =++>->的图象轴上方部分不变，x 轴下方部分沿x 轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是①20a b +=；②3c =；③0abc >； ④30a c +=；⑤将图象向上平移1个单位后与直线5y =有3个交点．3．已知二次函数图像的对称轴为y 轴，且经过点()1,5和111,24æö-ç÷èø．(1)求此二次函数的解析式；(2)若将该二次函数图像先向下平移4个单位，再沿x 轴翻折后与x 轴交于A ，B 两点，设顶点为P ，求AOP V 的面积．4．如图，二次函数2y x bx c =＋＋的图象过点(3520())A B ，-，-，．(1)求这个二次函数的解析式；(2)将一次函数21y x =＋的图象向下平移a 个单位长度，与二次函数的图象总有交点，求a 的取值范围；(3)过点()0N m ，作y 轴的垂线EF ，以EF 为对称轴将二次函数的图象位于EF 下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x 轴有交点，且交点都位于x 轴的正半轴，直接写出m 的取值范围．5．如图，函数()()21130y a x x =-++£的图象过原点，将其沿y 轴翻折，得到函数2y 的图象，把函数1y 与2y的图象合并后称为函数L 的图象.(1)a 的值为__________；函数2y 的解析式为_______________（注明x 的取值范围）；(2)对于函数L ，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是_____________；(3)当直线y x b =+与函数L 的图象有3个公共点时，求b 的值.压轴题型五 二次函数与方程、不等式压轴题1．函数2y x bx c =++与y x =的图象如图所示，有以下结论：①240b c ->；②1b c +=-；③360b c ++=；④当13x <<时，()210x b x c +-+<，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知二次函数22y x x =-++，当3a x a ££+对应的函数值y 随x 的增大而增大，且对应的图象与直线4y =-有公共点时，a 的取值范围为 ．3．二次函数2y x bx c =++的图象经过点()1,0A ，B (0,3)，点C 与点B 关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y mx n =+的图象经过A ，C 两点．(1)求二次函数解析式；(2)根据图象，写出满足不等式2x bx c mx n ++<+的解集_____；(3)二次函数2y x bx c =++，当13x ££时，对应的函数值y 的取值范围为_____．4．在平面直角坐标系中，设二函数1()(2)y x m x m =-++，其中0m ¹．(1)求证：函数1y 与x 轴有交点；(2)若函数2y mx n =+经过函数1y 的顶点，求实数n 的最大值；(3)已知点()1(3,),,P a Q x b -在函数1y 的图象上，若a b ³，求1x 的取值范围．5．在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++（a b 、为常数）的对称轴为直线1x =，且经过点()1,0-．(1)当132x -££时，二次函数的最大值是_____，最小值是______；(2)当1t x t -££时，若二次函数的最大值和最小值的差为3，求t 的值；(3)现有一点P 在抛物线上，横坐标为m ，过点P 作直线PQ 平行于x 轴，交抛物线于另一点Q ．抛物线上另有两点M N 、，横坐标分别为1-和4，M N 、两点之间的部分（不包括M N 、两点）记作图象G ．若图象G 上恰好有三个点到直线PQ 的距离为2，求出m 的取值范围．压轴题型六 二次函数的销售问题（含参问题）1．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．A ．50B ．90C ．80D ．702．某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 元．3．为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市30天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第x 天（x 为整数）的售价为y （元/斤），日销售额为w （元）．据销售记录知：①第1天销量为42斤，以后每天比前一天多卖2斤；②前10天的价格一直为500元/斤，后20天价格每天比前一天跌10元，(1)当1130x ££时，写出y 与x 的关系式；(2)当x 为何值时日销售额w 最大，最大为多少？(3)若日销售额不低于31680元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款m 元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买10800元的图书，求m 的最小整数值．4．电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x （元），每天的销售量为y （件）．(1)求y 关于x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价；(3)小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m 元（m >0）给希望工程，当每天销售最大利润为6000元时，求m 的值．5．某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元，每月可卖出200件，如果售价每上涨1元，则每月少卖10件（每件售价不能高于65元）；如果售价每下降1元，则每月多卖12件（每件售价不低于48元）．设每件商品的售价为x 元（x 为正整数），每月的销售量为y 件．(1)①当售价上涨时，y 与x 的函数关系为______，自变量x 的取值范围是______；②当售价下降时，y 与x 的函数关系为______，自变量x 的取值范围是______；(2)每件商品的售价x 定为多少元时，每月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？(3)商家发现：在售价上涨的情况下，每件商品还有()0a a >元的其他费用需要扣除，当售价每件不低于60元时，每月的利润随x 的增大而减小，请直接写出a 的取值范围______．压轴题型七 二次函数的存在性问题1．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：在图形G 上若存在两点M ，N ，使PMN V 为正三角形，则称图形G 为点P 的T 型线，点P 为图形G 的T 型点，PMN V 为图形G 关于点P 的T 型三角形．若()0,2H -是抛物线2y x n =+的T 型点，则n 的取值范围是（ ）A ．1n ³-B ．1n £-C ．54n £-D ．54n ³-2．如图，已知二次函数2(1)y x a x a =-++-的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ．已知BAC V 的面积是6，若在抛物线上存在一点P （与点C 不重合），使ABP ABC S S =△△，则点P 的坐标为 ．3．如图所示，已知以M 为顶点的抛物线2y x bx c =-++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为3y x =-+．(1)求抛物线的表达式．(2)连接AC ，在x 轴上方的抛物线上有一点D ，若ABD ACO Ð=Ð，求点D 的坐标；(3)若点P 为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P 作PQ BC ^，求PQ 的最大值；(4)在x 轴上是否存在一点N ，使得以A ，C ，N 为顶点的三角形与BCM V 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，抛物线()240y ax bx a =++¹与x 轴，y 轴分别交于()1,0A -，B (4,0)，C 三点．(1)试求抛物线的解析式；(2)若P 点在第一象限的抛物线上，连接PC PB 、，当PCB V 的面积最大时，求点P 的坐标．(3)点()3,D m 在第一象限的抛物线上，连接,BC BD ．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P ，满足PBC DBC Ð=Ð？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．5．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =+-经过()()1,0,4,0A B -两点，与y 轴交于点C ，P 是抛物线上一动点，设点P 的横坐标为302m m æö<<ç÷èø，连接AC CP BC BP ，，，．(1)求抛物线的函数表达式及点C 的坐标．(2)当BCP V 的面积等于ABC V 的面积的35时，求m 的值．(3)在（2）的条件下，若M 为x 轴上一动点，N 是抛物线上一动点，是否存在以点C ，P ，M ，N 为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．压轴题型八 二次函数的角度问题1．已知抛物线 ²30y ax bx a =++<（）与x 轴交于()1,0A ，()3,0B - 两点， 与y 轴交于点C ．若点P 在抛物线的对称轴上，线段PA 绕点P 逆时针旋转90°后，点A 的对应点A ¢恰好也落在此抛物线上，则点P 的坐标为（ ）A ．()1,1-B ．()1,1--C ．()1,1- 或()1,2--D ．()1,1-- 或()1,2-2．如图，抛物线213222y x x =+-与x 轴交于点A 和点B 两点，与y 轴交于点C ，D 点为抛物线上第三象限内一动点，当2180ACD ABC ÐÐ=°＋时，点D 的坐标为 ．3．抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A (―2,0)，()60B ，两点，与y 轴交于点C ，点D 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点D 在BC 上方的抛物线上，当BCD △的面积最大时，求点D 的坐标；(3)是否存在点D ，使得BCD ABC Ð=Ð？若存在，求出点D 的坐标；若存在，请说明理由．4．抛物线22y x x c =-+经过点115,24P æö-ç÷èø，与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)直接写出c 的值及点A ，B ，C 的坐标；(2)如图1，连接,AC BC ，点F 在抛物线上，满足FCB ACO Ð=Ð，求点F 的坐标；(3)如图2，向上平移直线BC 交抛物线于M ，N 两点，直线,MP NP 分别交y 轴的负半轴于D ，E 两点，求证：PD PE =．5．如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，交y 轴于点C ，连接AC ，BC ，点()2,3D 在抛物线上．(1)求抛物线的表达式；(2)判断ABC V 的形状，并说明理由；(3)连接CD ，点M 在抛物线上，ACM BCD Ð=Ð，求点M 的坐标．压轴题型九 二次函数铅垂高、水平宽求面积最大值1．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()()2,0,4,0A B -，交y 轴的正半轴于点C ，对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，则下列结论：①20a b +=；②0abc >；③2a b am bm +>+（m 为任意实数）；④若点(),Q m n 是抛物线上第一象限上的动点，当QBC △的面积最大时，1,m n a b c ==++，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，已知抛物线2y x =和直线21y x =+相交与点A ，B ．点P 是抛物线上一点，且在直线AB 的下方，连接AP ，BP ，当ABP V 的面积最大时，则点P 的坐标是 ．3．如图，在直角坐标系中，二次函数212y x bx c =++的图象与x 轴相交于点A (―2,0)和点()6,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求b 、c 的值；(2)若点P 是抛物线BC 段上的一点，当PBC △的面积最大时求出点P 的坐标，并求出PBC △面积的最大值．4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,3C ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为()3,0，点P 是抛物线上一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点P ，使得ABP V 的面积等于10．若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．(3)若点P 在直线BC 的上方，当点P 运动到什么位置时，BPC V 的面积最大？请求出点P 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，直线1y ax =+与抛物线23y x bx =+-交于点A 和点()4,5B ．(1)求a 和b 的值；(2)求点A 的坐标，并结合图象写出不等式231x bx ax +->+的解集；(3)点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A ，B 重合），请直接写出当PAB V 的面积最大时，点P 的坐标．压轴题型十 二次函数与相似相关压轴题1．抛物线()230y ax ax b a =++<，设该抛物线与x 轴的交点为()5,0A -和B ，与y 轴的交点为C ，若ACO CBO D D ∽，则tan CAB Ð的值为 （ ）A B C D 2．在同一平面内，直线1y kx =+与抛物线 214y x =交于A 、B 两点，设 ()()1122,,A x y B x y ，．（1） 12x x = ；（2）若点()01N -，，且AN 与BN 不垂直，则k 的取值范围是： ．3．如图1，平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于()1,0A ，()3,0B -两点，交y 轴于点()0,3C ，点M 是线段OB 上一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交直线BC 于点F ，交抛物线于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)当BCE V 面积最大时，求M 点的坐标；(3)如图2，是否存在以点C 、E 、F 为顶点的三角形与ABC V 相似，若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系内，点(20)A -，，点(40)B ，，点4(0)C ，．连接AC BC ，．(1)求经过点A 、B 、C 三点的抛物线的表达式；(2)点D 在x 轴正半轴上，当以点D 、O 、C 为顶点的三角形与AOC △相似时，求点D 的坐标．(3)在（1）的抛物线上找一点E ，使得BE CE -的值最小并求点E 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =++¹与x 轴交于()1,0A -、()4,0C 两点，与y 轴交于点B ．(1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标；(2)若点D 是抛物线上的一个动点，满足ABD △与BCD △的面积相等．求出点D 的坐标；(3)若点E 在第一象限内抛物线上，过点E 作EF x ^轴于点F ，交BC 于点P ，且满足BFP △与CEP △相似，求出点E 的横坐标．。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题附答案附答案

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题附答案1．如图，已知抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）与x 轴交于()1,0A ，()3,0B -两点，顶点为C ，点P 为线段AB 上的动点（不与A 、B 重合），过P 作PQ BC ∥交抛物线于点Q ，交AC 于点D ．(1)求该抛物线的表达式；(2)求CPD △面积的最大值；(3)连接CQ ，当CQ PQ ⊥时，求点Q 的坐标；(4)点P 在运动过程中，是否存在以A 、O 、D 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由2．在平面直角坐标系中，抛物线24y x x c =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为()5,0-．(1)求点C 的坐标；(2)如图1，若点P 是第二象限内抛物线上一动点，求点P 到直线AC 距离的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)如图2，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知：如图，抛物线()2430y mx mx m =++>交x 轴于E 、F 两点，交y 轴于A 点，直线AE ：y x b =+交x 轴于E 点，交y 轴于A 点．(1)求抛物线的解析式；(2)若Q 为抛物线上一点，连接,QE QA ，设点Q 的横坐标为()3t t <-，QAE 的面积为S ，求S 与t 函数关系式；（不要求写出自变量t 的取值范围）(3)在（2）的条件下，点M 在线段QA 上，点N 是位于Q 、E 两点之间的抛物线上一点，15S =，QMN AEM ∠=∠，且MN EM =，求点N 的坐标．4．如图，抛物线22y ax ax c =++经过()()1003B C ，，，两点，与x 轴交于另一点A ，点D 是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)如图1，连接AC ，点E 在直线AC 上方的抛物线上，连接EA EC ，，当EAC 面积最大时，求点E 坐标；(3)如图2，连接AC BC 、，在抛物线上是否存在点M ，使ACM BCO ∠=∠，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．5．抛物线21164y ax x =+-与x 轴交于(,0),(8,0)A t B 两点，与y 轴交于点C ，直线6y kx =-经过点B ．点P 在抛物线上，设点P 的横坐标为m ．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若APC △是以CP 为斜边的直角三角形，求点P 的坐标；(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点P 作PQ BC ⊥，垂足为Q ，求12CQ PQ +的最大值．6．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =-++与x 轴交于点A 、B （A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴为直线l ，点P 是抛物线上位于点B 、C 之间的动点．(1)求ABC ∠的度数；(2)若PBC ACO ∠=∠，求点P 的坐标；(3)已知点(),P p n ，若点(),Q q n 在抛物线上，且p q >；①仅用无刻度的直尺在图2中画出点Q ；②若2PQ t =，求232022p tq t +-+的值．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过()0,1A ，()4,1B -．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 上方且在对称轴右侧的一个动点，过P 作PD AB ⊥，垂足为D ，E 为点P 关于抛物线的对称轴的对应点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)PE +的最大值时，求此时点P PE +的最大值；(3)将抛物线y 关于直线3x =作对称后得新抛物线y '，新抛物线与原抛物线相交于点F ，M 是新抛物线对称轴上一点，N 是平面中任意一点，是否存在点N ，使得以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．8．如图所示，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+交坐标轴于B 、C 两点，抛物线23y ax bx =++经过B 、C 两点，且交x 轴于另一点()1,0A -．点D 为抛物线在第一象限内的一点，过点D 作DQ CO ∥，DQ 交BC 于点P ，交x 轴于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 的横坐标为m ，在点D 的移动过程中，存在DCP DPC ∠=∠，求出m 值；(3)在抛物线上取点E ，在平面直角坐标系内取点F ，问是否存在以C 、B 、E 、F 为顶点且以CB 为边的矩形？如果存在，请求出点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．9．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为()1,4-．(1)求出抛物线的解析式；(2)如图1，若点P 在抛物线上且满足PCB CBD ∠=∠，求点P 的坐标；(3)如图2，M 是线段CB 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC 上一个动点，当QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 的坐标．10．二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()10A -，和点()30B -，，交y 轴于点()03C -，．(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，点E 为抛物线的顶点，点()0T t ，为y 轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T 旋转180︒，得到新的抛物线，其中B ，E 旋转后的对应点分别记为B E ''，，当四边形BEB E ''的面积为12时，求t 的值；(3)如图2，过点C 作CD x ∥轴，交抛物线于另一点D ．点M 是直线CD 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ．是否存在点M 使PBC 为直角三角形，若存在，请直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线2y ax 2x c =++交x 轴于点()10A -，和点()30B ，，交y 轴于点C ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)求该抛物线的表达式，并求出点D 的坐标；(2)若点E 为该抛物线上的点，点F 为直线AD 上的点，若EF x ∥轴，且1EF =（点E 在点F 左侧），求点E 的坐标；(3)若点P 是该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P ，使得APD △为直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接写出点P 坐标．12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线2y x bx c =-++经过B 、C 两点，与x 轴的另一个交点为A ．(1)如图1，求b 、c 的值；(2)如图2，点P 是第一象限抛物线2y x bx c =-++上一点，直线AP 交y 轴于点D ，设点P 的横坐标为t ，ADC △的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，E 是直线BC 上一点，45EPD ∠=︒，ADC △的面积S 为54，求E 点坐标．13．抛物线24y ax =-经过A 、B 两点，且OA OB =，直线EC 过点()41E -，，()03C -，，点D 是线段OA （不含端点）上的动点，过D 作PD x ⊥轴交抛物线于点P ，连接PC 、PE ．(1)求抛物线与直线CE 的解析式；(2)求证：PC PD +为定值；(3)在第四象限内是否存在一点Q ，使得以C 、P 、E 、Q 为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A 、()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及点D 的坐标；(2)若四边形BCEF 为矩形，3CE =．点M 以每秒1个单位的速度从点C 沿CE 向点E 运动，同时点N 以每秒2个单位的速度从点E 沿EF 向点F 运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M 、E 、N 为顶点的三角形与BOC 相似时，求运动时间t 的值；(3)抛物线的对称轴与x 轴交于点P ，点G 是点P 关于点D 的对称点，点Q 是x 轴下方抛物线上的动点．若过点Q 的直线l ：94y kx m k ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA 、GB 相交于点H 、K ，求证：GH GK +为定值．15．在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx =+经过(40)(13)A B ，，，两点．P 是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的表达式；(2)若OAB 面积是PAB 面积的2倍，求点P 的坐标；(3)如图，OP 交AB 于点C ，PD BO ∥交AB 于点D ．记CPB △，BCO 的面积分别为12S S ，，判断12S S 是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．16．已知抛物线212y x bx c =-++（b 、c 是常数）的顶点B 坐标为()1,2-，抛物线的对称轴为直线l ，点A 为抛物线与x 轴的右交点，作直线AB ．点P 是抛物线上的任意一点，其横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点Q ，过点P 作PN l ⊥于点N ，以PQ PN 、为边作矩形PQMN ．(1)b =___________，c =___________．(2)当点Q 在线段AB 上（点Q 不与A 、B 重合）时，求PQ 的长度d 与m 的函数关系式，并直接写出d 的最大值．(3)当抛物线被矩形PQMN 截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P 的坐标．(4)矩形PQMN 的任意两个顶点到直线AB 的距离相等时，直接写出m 的值．17．如图1．在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()2,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点()0,2C ．(2)点P 是第一象限内的抛物线上一点．过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交直线BC 于点Q ，求PQ 的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)如图2．将地物线沿射线BC()2111110y a x b x c a =++≠，新抛物线与原抛物线交于点G ，点M 是x 轴上一点，点N 是新抛物线上一点，若以点C 、G 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N 的坐标．18．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点()0,6C ，顶点为D ，且()1,8D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段BC 上存在一点M ，过点O 作OH OM ⊥交BC 的延长线于H ，且MO HO =，求点M 的坐标；(3)点P 是y 轴上一动点，点Q 是在对称轴上一动点，是否存在点P ，Q ，使得以点P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)223y x x =+-(2)2(3)11524Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(4)1,05⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()0,0或1,05⎛⎫ ⎪⎝⎭2．(1)()0,5(2)点P 到直线AC 距离为8，此时535,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)点M 的坐标为()3,8-或()7,16--或()3,16-3．(1)243y x x =++(2)23922S t t =+(3)()2N -4．(1)223y x x =--+，()14D -，(2)E 的坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，(3)存在，()45M --，或5724⎛⎫- ⎪⎝⎭，5．(1)2111644y x x =-+-；364y x =-(2)710,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)169166．(1)45︒(2)(1,4)P(3)①见解析；②20237．(1)2712y x x =-++PE +的最大值为1，此时点P 的坐标为961,416⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在点N ，使以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，此时点N 的坐标为215,424N ⎛+ ⎝⎭或215,424⎛- ⎝⎭或13,544N ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或13,544N ⎛- ⎝⎭或299,204N ⎛⎫ ⎪⎝⎭8．(1)223y x x =-++(2)2m =(3)存在，此时点F 的坐标为()4,1或()5,2--9．(1)2=23y x x --(2)满足PCB CBD ∠=∠，点P 的坐标为(4,5)或(2,2)-(3)M 点的坐标为(1,2)-或(2,5)--或924,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．(1)243y x x =---(2)3t =-(3)存在，532⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或532⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或(23)--，或(53)--，11．(1)223y x x =-++，()23D ，(2)11024E ++⎝⎭，或1124E --+⎝⎭，(3)存在点P ，使得APD △为直角三角形，此时点P 的坐标为312⎛⎫+ ⎪⎝⎭，或312⎛ ⎝⎭，或()12-，或()14，12．(1)2b =，3c =(2)12S t =(3)3513,1616⎛⎫ ⎪⎝⎭13．(1)2144y x =-；132y x =-(2)见解析(3)存在，754Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，14．(1)2315344y x x =-+，527,216D ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)当911t =或65t =时(3)见解析15．(1)24y x x=-+(2)(24)P ，或(3,3)(3)见解析16．(1)1-，32(2)21122d m =-+()11m -<<，d 最大值为12(3)()3,0-或1--(4)3-或0或317．(1)211242y x x =-++；(2)5PQ +最大值为94，此时点5(3,4P ；(3)(1-，14-或(1-，1)4-或(1-+1)4或(1--1)4．18．(1)2246y x x =-++(2)129,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)(1,8或(1,8或271,4⎛⎫ ⎪⎝⎭。

上海中考数学压轴题专题复习——二次函数的综合

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x .（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛+- ⎝⎭或3171,2⎛- ⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．2．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线233333y x x =--+“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；（3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可【详解】（1）∵2234323y x x =-+a=233-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=； 联立两解析式求交点2234323332323y=y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩x=1y=0⎧⎨⎩， ∴A （-2，3B （1,0）；（2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，在223432333y x x =--+中，令y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2，23），∴AC=22-++2133=（23）（）由翻折的性质可知AN=AC=13，∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，∴N 在y 轴上，且AD=2，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN=22AN -AD =13-4=3，∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N 点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ，∴∠ ACK=∠ EFH ，在△ ACK 和△ EFH 中ACK=EFH AKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK ≌△ EFH ，∴FH=CK=1，HE=AK=23∵抛物线的对称轴为x=-1，∴ F 点的横坐标为0或-2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点的横坐标为0时，则F （0，233），此时点E 在直线AB 下方， ∴E 到y 轴的距离为EH-OF=32343，即E 的纵坐标为43∴ E（-1，-433）；当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵ C（-3,0），且A（-2，23），∴线段AC的中点坐标为（-2.5，3），设E（-1，t），F（x，y），则x-1=2×（-2.5），y+t=23，∴x= -4，y=23-t，23-t=-233×（-4）+233，解得t=43-3，∴E（-1，43-3），F（-4，1033）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-433）、（0，233）或E（-1，43 -3），F（-4，1033）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题3．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x x y x ⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得10x y =-⎧⎨=⎩或103139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P 点坐标为（103，﹣139）. 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139）. 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB ：y ＝kx +b （k ＜0，b ＞0），与x 轴交于点A 、与y 轴交于点B ，直线CD 与x 轴交于点C 、与y 轴交于点D ．若直线CD 的解析式为y ＝﹣1k（x +b ），则称直线CD 为直线AB 的”姊线”，经过点A 、B 、C 的抛物线称为直线AB 的“母线”．（1）若直线AB 的解析式为：y ＝﹣3x +6，求AB 的”姊线”CD 的解析式为： （直接填空）；（2）若直线AB 的”母线”解析式为：2142y x x =-+，求AB 的”姊线”CD 的解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，点P 为第二象限”母线”上的动点，连接OP ，交”姊线”CD 于点Q ，设点P 的横坐标为m ，PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的函数关系式，并求y 的最大值；（4）如图3，若AB 的解析式为：y ＝mx +3（m ＜0），AB 的“姊线”为CD ，点G 为AB 的中点，点H 为CD 的中点，连接OH ，若GH ＝5，请直接写出AB 的”母线”的函数解析式．【答案】（1）1(6)3y x =+；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）当m ＝﹣32，y 最大值为338；（4）y ＝x 2﹣2x ﹣3．【解析】【分析】（1）由k ，b 的值以及”姊线”的定义即可求解；（2）令x ＝0，得y 值，令y ＝0，得x 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而求得直线CD 的表达式；（3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12m 2﹣m+4， 从而求得直线OP 的表达式，将直线OP 和CD 表达式联立并解得点Q 坐标， 由此求得P Q y y ，从而求得y ＝﹣12m 2﹣32m+3，故当m ＝﹣32，y 最大值为338； （4）由直线AB 的解析式可得AB 的“姊线”CD 的表达式y ＝﹣1m（x+3），令x ＝0，得 y 值，令y ＝0，得x 值，可得点C 、D 的坐标，由此可得点H 坐标，同理可得点G 坐标， 由勾股定理得：m 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而得到 “母线”函数的表达式．【详解】（1）由题意得：k ＝﹣3，b ＝6， 则答案为：y ＝13（x+6）； （2）令x ＝0，则y ＝4，令y ＝0，则x ＝2或﹣4，点A 、B 、C 的坐标分别为（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），则直线CD 的表达式为：y ＝12（x+4）＝12x+2； （3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12m 2﹣m+4， 则直线OP 的表达式为：y ＝n mx ， 将直线OP 和CD 表达式联立得122n y x m y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得：点Q （2438m m m --+，222838m m m m +-+-） 则P Q y y ＝﹣12m 2﹣32m+4， y ＝1P Q P Q Q y y y PQ OQ y y -==-＝﹣12m 2﹣32m+3， 当m ＝﹣32，y 最大值为338；（4）直线CD的表达式为：y＝﹣1m（x+3），令x＝0，则y＝﹣3m，令y＝0，则x＝﹣3，故点C、D的坐标为（﹣3，0）、（0，﹣3m），则点H（﹣32，﹣32m），同理可得：点G（﹣32m，32），则GH2＝（32+32m）2+（32﹣32m）2＝（5）2，解得：m＝﹣3（正值已舍去），则点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），则“母线”函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2﹣2x﹣3），即：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故：“母线”函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．【点睛】此题是二次函数综合题目，考查了“姊线”的定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.6．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．【解析】【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．【详解】（1）由题意得，322a b b a+-⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝，解得14a b -⎧⎨⎩＝＝，∴抛物线的解析式为y=x 2-4x ， 令y=0，得x 2-2x=0，解得x=0或4， 结合图象知，A 的坐标为（4，0），根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x 的取值范围是0≤x≤4；（2）如图，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为F ，设P （x ，x 2-4x ）, ∵PA ⊥BA ∴∠PAF+∠BAE=90°, ∵∠PAF+∠FPA=90°, ∴∠FPA=∠BAE 又∠PFA=∠AEB=90° ∴△PFA ∽△AEB,∴PF AF AE BE =，即244213x x x--=-， 解得，x= −1，x=4（舍去） ∴x 2-4x=-5∴点P 的坐标为（-1，-5），又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1 所以BP 与x 轴交点为（14，0） ∴S △PAB=115531524⨯⨯+= 【点睛】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．7．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC 于点D，求△DMH周长的最大值．【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+（3）【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH 的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，∴B（3，0），C（0，），∴OB=3，OC=，∴tan∠BCO==，∴∠BCO=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACO=30°，∴=tan30°=，即=，解得AO=1，∴A（﹣1，0）；（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，∴DH=DM，MH=DM，∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，∴当DM有最大值时，其周长有最大值，∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，DM有最大值，最大值为，此时DM=×=，即△DMH周长的最大值为．考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想8．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．【解析】试题分析：（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，所以，解得；（3）令，即，解得，，得到D （4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．试题解析：（1）∵=，令y=0，得到，，∴A（－1，0），B（3，0），∵直线l经过点A，∴，，∴，令，即，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴，∴，∴直线l的函数表达式为；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝＝，∴△ACE的面积的最大值为，∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得；（3）令，即，解得，，∴D（4，5a），∵，∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P1（1，）；②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，），m ＝，则P（1，8a），∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P2（1，－4）．综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．考点：二次函数综合题．9．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=c 分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m 为何值时，△MAB 面积S 取得最小值和最大值？请说明理由； （3）求满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标．【答案】（1）点P 的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x 2+3x+4；（2）当m=0时，S 取最小值，最小值为12；当m=3时，S 取最大值，最大值为5．（3）满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标为（0，4）或（247，12449）．【解析】【分析】（1）代入y=c 可求出点C 、P 的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A 、B 的坐标，再由△PCB ≌△BOA 即可得出b 、c 的值，进而可得出点P 的坐标及抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F 的坐标，过点M 作ME ∥y 轴，交直线AB 于点E ，由点M 的横坐标可得出点M 、E 的坐标，进而可得出ME 的长度，再利用三角形的面积公式可找出S=﹣12（m ﹣3）2+5，由m 的取值范围结合二次函数的性质即可求出S 的最大值及最小值；（3）分两种情况考虑：①当点M 在线段OP 上方时，由CP ∥x 轴利用平行线的性质可得出：当点C 、M 重合时，∠MPO=∠POA ，由此可找出点M 的坐标；②当点M 在线段OP 下方时，在x 正半轴取点D ，连接DP ，使得DO=DP ，此时∠DPO=∠POA ，设点D 的坐标为（n ，0），则DO=n ，()()22304n -+-DO=DP 可求出n 的值，进而可得出点D 的坐标，由点P 、D 的坐标利用待定系数法即可求出直线PD 的解析式，再联立直线PD 及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点M 的坐标．综上此题得解． 【详解】（1）当y=c 时，有c=﹣x 2+bx+c ， 解得：x 1=0，x 2=b ，∴点C 的坐标为（0，c ），点P 的坐标为（b ，c ）， ∵直线y=﹣3x+3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点， ∴点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，3）， ∴OB=3，OA=1，BC=c ﹣3，CP=b ， ∵△PCB ≌△BOA ，∴BC=OA ，CP=OB ， ∴b=3，c=4，∴点P 的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x 2+3x+4； （2）当y=0时，有﹣x 2+3x+4=0， 解得：x 1=﹣1，x 2=4， ∴点F 的坐标为（4，0），过点M 作ME ∥y 轴，交直线AB 于点E ，如图1所示， ∵点M 的横坐标为m （0≤m≤4），∴点M 的坐标为（m ，﹣m 2+3m+4），点E 的坐标为（m ，﹣3m+3）， ∴ME=﹣m 2+3m+4﹣（﹣3m+3）=﹣m 2+6m+1， ∴S=12OA•ME=﹣12m 2+3m+12=﹣12（m ﹣3）2+5， ∵﹣12＜0，0≤m≤4， ∴当m=0时，S 取最小值，最小值为12；当m=3时，S 取最大值，最大值为5； （3）①当点M 在线段OP 上方时，∵CP ∥x 轴， ∴当点C 、M 重合时，∠MPO=∠POA ， ∴点M 的坐标为（0，4）；②当点M 在线段OP 下方时，在x 正半轴取点D ，连接DP ，使得DO=DP ，此时∠DPO=∠POA ，设点D 的坐标为（n ，0），则DO=n ，∴n 2=（n ﹣3）2+16， 解得：n=256， ∴点D 的坐标为（256，0）， 设直线PD 的解析式为y=kx+a （k≠0）， 将P （3，4）、D （256，0）代入y=kx+a ， 342506k a k a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：2471007k a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线PD 的解析式为y=﹣247x+1007， 联立直线PD 及抛物线的解析式成方程组，得：2241007734y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩﹣，解得：1134x y =⎧⎨=⎩，2224712449x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴点M 的坐标为（247，12449）． 综上所述：满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标为（0，4）或（247，12449）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次（二次）函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质求出b 、c 的值；（2）利用三角形的面积公式找出S=﹣（m ﹣3）2+5；（3）分点M 在线段OP 上方和点M 在线段OP 下方两种情况求出点M 的坐标．10．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）．【解析】试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c=++中，得：0{9303a b c a b c c -+=++==-，解得：1{23a b c ==-=-，故抛物线的解析式：223y x x =--．（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2b a -=1，故P （1，0）； （3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2b a -=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1； ②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6±；③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-； 当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，6）（1，6-）（1，﹣1）（1，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．。

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专题复习：二次函数综合压轴题型讲练
题型一：二次函数与一元二次方程
【例1】已知关于x 的方程mx 2﹣（3m ﹣1）x +2m ﹣2=0． (1)求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根； (2)若关于x 的二次函数y=mx 2﹣（3m ﹣1）x +2m ﹣2的图象与x 轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式； (3)在直角坐标系xoy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y =x +b 与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b 的取值范围．
变式训练1：
1.设p 是实数，二次函数p px x y --=22的图象与x 轴有两个不同的交点。

)0,(1x A ,)0,(2x B (1) 求证： 032221>++p x px ；
(2) 若A,B 间的距离不超过32-p ，求p 的最大值。

题型二：二次函数与一次函数
【例2】已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102. (1)若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；
(2)过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式.
变式训练2：
4.已知：如图一次函数 的图象与x 轴交于点
A ，与y 轴交于点
B ；二次函数 的图象与
一次函数 的图象交于B,C 两点，与x 轴交于
D,E 两点且D 点坐标为（1,0） (1)求二次函数的解析式； (2)求四边形BDEC 的面积S ；
(3)在x 轴上是否存在点P ，使得PBC △是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由.
1
12
y x =+2
12
y x bx c =++1
12
y x =+
题型三：二次函数与三角形
【例3】二次函数 的图象与x 轴从左到右两个交点依次为A 、B ，与y 轴交于点C ， (1)求A 、B 、C 三点的坐标；
(2)如果P(x ，y )是抛物线AC 之间的动点，O 为坐标原点，试求△POA 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(3)是否存在这样的点P ，使得PO=PA ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

变式训练3：
1．如图，已知抛物线
与坐标轴交于A,B,C 三点，点A 的横坐标为1-，过点(03)C ，的直线
与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<．
(1)确定b c ，的值：
(2)写出点B,Q,P 的坐标（其中Q,P 用含t 的式子表示）： (3)依点P 的变化，是否存在t 的值，使PQB △为等腰 三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．
题型四：二次函数与四边形
【例4】已知，如图抛物线 与y 轴
交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧。

点B 的坐标为(1，0),OC=3OB ． (1)求抛物线的解析式；
(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值：
(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。

是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
变式训练4：
1.如图，抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与
y 轴相交于点C ，顶点为D.
（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ；
①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？
②设BCF △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式.
62
541
2+-=x x
y 2
3
4
y x bx c =-++3
34y x t
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