函数项级数收敛的判别方法
数学分析2课件：13-1函数项级数及其一致收敛性
x(1,1) 1 x n 1
n1
而右端极限为，
故原级数在(-1,1)不一致收敛。
但限制x [a,a],a 1,则
sup
x(a,a )
|
sn( x)
s( x) |
sup
x(a,a )
| 1 xn 1 x
1 1
x
|
sup | xn | an , x(a,a) 1 x 1 a
[( xn ) 0,单调增] 1 x
故 un( x)在数集D上一致收敛。
n1
证毕。
注1 在这个定理的条件下，可得| un( x) | 也一致收敛。
n1
注2 不是每个收敛级数都有优级数。
例8
sin n
nx
p
,
cos n
nx
p
,(
p
1)在(,)一致收
敛。
优级数均为
1 np
.
(1)n sin nx的优级数为 np
1， np
一致收敛。
xn在[a,a](a 1)的优级数为 an，一致收敛。
an为绝对收敛级数，则 an sin nx, an cos nx
n1
n1
n1
在(,)一致收敛，且| an | 就是其优级数。
n1
全体收敛点的集合称为收敛域。
un( x) s( x)
n1
——和函数。
例5
xn 1 x x2 x3
n0
lim
n
sn( x)
lim
n
1 xn 1 x
1 , 1 x 发散，
| x | 1 | x | 1
xn在（ 1，1）内收敛于s( x)
1
.
n0
级数收敛与发散的判定方法
级数收敛与发散的判定方法级数是由一系列连加的无穷项组成的数列。
在数学中，判断一个级数是收敛还是发散是一个重要的问题。
下面我将介绍几种常见的方法来判定级数的收敛性或发散性。
一、正项级数收敛判定法正项级数是指级数的每一项都是非负数。
对于正项级数，我们可以使用以下几种方法来判定其收敛性或发散性。
1. 比较判别法：如果一个正项级数的每一项都小于等于另一个已知收敛的正项级数的对应项，那么这个级数也是收敛的；如果一个正项级数的每一项都大于等于另一个已知发散的正项级数的对应项，那么这个级数也是发散的。
2. 比值判别法：对于正项级数，计算相邻两项的比值，如果这个比值的极限存在且小于1，则级数收敛；如果大于1，则级数发散；如果等于1，则无法判定。
3. 根值判别法：对于正项级数，计算相邻两项的根的比值，如果这个比值的极限存在且小于1，则级数收敛；如果大于1，则级数发散；如果等于1，则无法判定。
二、交错级数收敛判定法交错级数是指级数的每一项交替正负。
对于交错级数，我们可以使用以下方法进行判定。
1. 莱布尼茨判别法：对于交错级数，如果级数的每一项绝对值递减趋向于零，并且满足单调性条件，即后一项的绝对值不大于前一项的绝对值，那么该级数收敛。
三、级数收敛判定法对于非正项级数，也有一些方法可以判定其收敛性。
1. 绝对收敛判别法：如果一个级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛。
2. 条件收敛判别法：如果一个级数是收敛的但不是绝对收敛的，那么它是条件收敛的。
四、其他级数的判定方法除了上述常见的判定法外，还有一些特殊的级数判定方法。
1. 积分判别法：将一个级数与一个函数的积分进行比较，如果积分收敛，则级数收敛；如果积分发散，则级数发散。
2. 定积分法：将级数的前n项求和表示为一个关于n的函数，然后对该函数进行定积分，如果定积分收敛，则级数收敛；如果定积分发散，则级数发散。
总结：级数的收敛与发散的判定方法有比较判别法、比值判别法、根值判别法、莱布尼茨判别法、绝对收敛判别法、条件收敛判别法、积分判别法和定积分法等。
级数收敛和发散的定义
级数收敛和发散的定义
级数是无穷多个数的和，如果这个和收敛到一个有限值，那么该级数就是收敛的；如果级数的和趋向于无穷大，那么该级数就是发散的。
判断一个级数是否收敛或发散，有多种方法，以下是常用的几种方法：
• 1. 直接比较判别法：如果一个级数的每一项都小于另一个收敛的级数的对应项，那么这个级数也是收敛的；如果一个级数的每一项都大于另一个发散的级数的对应项，那么这个级数也是发散的。
这种方法可以用于判断绝对收敛和条件收敛。
• 2. 积分判别法：将级数中的项转化为一个函数，如果这个函数在一个区间上单调递减且非负，那么这个级数的收敛性与该函数在区间上的积分的收敛性相同。
• 3. 比值判别法：取级数中相邻两项的比值，如果这个比值趋近于一个常数，那么这个级数的收敛性与这个常数的大小有关。
• 4. 根式判别法：取级数中某一项的n次方根，如果这个根趋近于一个常数，那么这个级数的收敛性与这个常数的大小有关。
• 5. 交错级数判别法：如果一个级数的每一项都是交替正负的，且绝对值单调递减趋向于0，那么这个级数是收敛的。
需要注意的是，这些方法只是用来判断级数的收敛性，而不能用来计算级数的和。
对于一些发散的级数，数学家们通过定义不同的“和”，使得在一些应用场景下仍然可以对其进行运算。
级数收敛证明方法总结
级数收敛证明方法总结级数收敛是数学中重要的概念之一，而证明一个级数是否收敛是数学研究中的一项基本任务。
在本文中，我们将总结一些常用的级数收敛证明方法，以便读者更好地理解和运用这些方法。
首先，我们介绍一些基本的概念。
对于一个级数∑an，我们定义其部分和为Sn=∑n=1nan。
当Sn的极限存在并有限时，我们称该级数收敛，反之称为发散。
接下来，我们将介绍一些常见的级数收敛证明方法。
1.比值判别法。
比值判别法是一种常用的判别级数收敛与发散的方法。
其基本思想是通过计算相邻两项的比值，来判断级数的收敛性。
具体而言，当limn→∞|an+1/an|<1时，级数收敛；当limn→∞|an+1/an|>1时，级数发散；当limn→∞|an+1/an|=1时，无法判断级数的收敛性。
2.根值判别法。
根值判别法也是一种常用的判别级数收敛与发散的方法。
其基本思想是通过计算某一项的n次方根，来判断级数的收敛性。
具体而言，当limn→∞|an|1/n<1时，级数收敛；当limn→∞|an|1/n>1时，级数发散；当limn→∞|an|1/n=1时，无法判断级数的收敛性。
3.积分判别法。
积分判别法是一种常用的判别级数收敛与发散的方法。
其基本思想是通过将级数中的项与某一函数的积分进行比较，来判断级数的收敛性。
具体而言，当级数∑an和函数f(x)满足以下条件时，级数收敛：f(x)单调递减、非负、连续，并且∫f(x)dx收敛；当级数∑an和函数f(x)满足以下条件时，级数发散：f(x)单调递减、非负、连续，并且∫f(x)dx发散。
4.夹逼定理法。
夹逼定理法是一种常用的证明级数收敛的方法。
其基本思想是通过找到两个已知的级数，一个发散且下降趋势趋于0，另一个收敛且上升趋势趋于该级数，来证明该级数收敛。
具体而言，设级数∑an收敛，且对于所有n都有a(n)<=b(n)<=c(n)。
如果级数∑b(n)收敛，级数∑c(n)发散，则级数∑a(n)收敛。
函数项级数一致收敛的判别
专业名称：数学与应用数学年级班别： 2009级1班姓名：张庆明指导教师：左红亮2013年04月函数项级数一致收敛的判别摘要：函数项级数的一致收敛性是函数级数概念当中最基本最重要的问题。
本文则在数项级数的基础上, 分析函数项级数的收敛性定义及其判定, 函数项级数的分析性质和函数的一致收敛有关。
而因此本论文中提出了函数级数一致收敛的定义, 柯西一致收敛准则, 魏尔斯特拉斯判别法(M判别法), 狄利克雷判别法, 阿贝尔判别法, 余项判别法, 积分判别法。
本文对函数项级数一致收敛的判别法进行推广, 主要归纳总结出了对数判别法, 导数判别法, 连续性判别法, 逼敛性判别法以及M判别法的推论等几种判别法, 同时并应用函数项级数一致敛的定义, 重要判别法及其充要条件给出了论文中一些结论的证明。
关键词：函数项级数；一致收敛性；判别法。
Discrimination of uniform convergence of function seriesAbstract:The uniform convergence of function series is the concept of series of functions are the most basic and most important problem. In this paper, on the basis of a number of series,the definitions of convergence of function series and its decision, uniform convergence analysis of properties and functions related to the function of series. Therefore, this paper proposes a definition of uniform convergence of function series, Cauchy uniform convergence criteria the Weierstrass discrimination method (M identification method), Dirichlet discrimination law, Abel discriminant law, the remainder discriminant method, integration criterion method and article on the function series convergence discriminant method to promote mainly summarized Diagnostic Method derivative test, continuity discrimination law, forcing several discriminant method of convergence discrimination law and M inference of discrimination law, and apply function series consistent definition of convergence, it is important discrimination method and the necessary and sufficient conditions are given some proof of the conclusion of the paper.Keywords: Function Series; uniform convergence; discrimination law.前言一致收敛性是函数项级数的一个重要性质, 有效地判别函数项级数的一致收敛对进一步研究函数项级数的性质起着重要的作用。
函数项级数收敛域求法
函数项级数收敛域求法一、函数项级数的定义在数学中，一个函数项级数是指形如∑an(x)的无穷级数，其中an(x)是一个函数序列。
当x取不同的值时，这个级数可能会收敛或发散。
二、函数项级数的收敛域函数项级数的收敛域是指使得该级数收敛的所有x值所组成的集合。
在实际应用中，求出一个函数项级数的收敛域非常重要。
因为只有在收敛域内才能保证该级数具有良好的性质。
三、判断函数项级数收敛性的方法1.比较判别法：将给定函数与已知收敛或发散的基准函数进行比较，从而判断其收敛性。
2.比值判别法：对于给定函数项序列{an(x)}，计算其相邻两项之比lim|an+1(x)/an(x)|，若此极限存在且小于1，则该序列绝对收敛；若此极限大于1，则该序列绝对发散；若此极限等于1，则无法确定其收敛性。
3.根值判别法：对于给定函数项序列{an(x)}，计算其绝对值lim|an(x)|^(1/n)，若此极限存在且小于1，则该序列绝对收敛；若此极限大于1，则该序列绝对发散；若此极限等于1，则无法确定其收敛性。
4.积分判别法：将给定函数项序列{an(x)}中的每一项都积分，然后比较所得的积分级数与已知收敛或发散的基准级数，从而判断其收敛性。
四、函数项级数收敛域求法1.利用比较判别法当给定函数项级数∑an(x)与一个已知收敛的基准函数∑bn(x)相比较时，可以得到以下结论：(1)若|an(x)|≤bn(x)，且∑bn(x)收敛，则∑an(x)也必然收敛。
(2)若|an(x)|≥bn(x)，且∑bn(x)发散，则∑an(x)也必然发散。
因此，可以通过找到一个已知的基准函数来确定函数项级数的收敛域。
具体步骤如下：(1)找到一个已知的基准函数∑bn(x)，使得其在某个区间上绝对收敛。
(2)将待求级数中每一项用该基准函数中相同次幂的项来代替，并取绝对值。
即将原来的级数改写为：∑|an(x)/bn(x)|*bn(x)。
(3)求出新级数的收敛域。
(4)根据比较判别法的结论，原级数在新级数的收敛域内绝对收敛。
03第三讲 余项准则,一致收敛的例
| fn( x) f ( x) | , x D.
由上确界的定义, 对所有 n N , 也有
sup | fn( x) f ( x) | .
xD
这就得到了(6)式.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
高等教育出版社
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
定理13.2（余项准则）
函数列{ fn }在区间 D上一致收敛于 f 的充分必要条
件是:
lim sup |
n xD
fn( x)
f ( x) |
0.
(6)
充分性 由假设, 对任给 >0, 存在正整数N, 使得
当n N 时,有 sup | fn( x) f ( x) | .
(7)
xD
因为对一切 x D, 总有
1 ]上有
f
(x)
lim
n
fn(
x)
0.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
高等教育出版社
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛fn ( x) 2n 2n2 x,
1 x 1,
2n
n
0,
1 x 1, n
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
第三讲
余项准则 一致收敛函数列的例
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
高等教育出版社
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
绝对收敛和条件收敛的判别方法
绝对收敛和条件收敛的判别方法
绝对收敛和条件收敛是数列、级数和函数级数中重要的概念，常常用于求解实际问题。
判别一个数列、级数或函数级数是否绝对收敛，可以通过以下方法：
1. 比较判别法：将该数列、级数或函数级数与某个比较级数进行比较，若比较级数收敛，则原数列、级数或函数级数绝对收敛；若比较级数发散，则原数列、级数或函数级数可能条件收敛，需要再进行判别。
2. 比值判别法和根值判别法：对于正项数列、级数和函数级数，可以分别用比值判别法和根值判别法进行判定。
若极限值小于1，则绝对收敛；若极限值大于1，则发散；若等于1，则无法判断，需要采用其他方法。
3. 绝对收敛的充分性：若一个数列、级数或函数级数绝对收敛，则它必定收敛，即条件收敛。
因此，绝对收敛是条件收敛的充分条件。
4. 瑕积分判别法：对于函数级数，可以用瑕积分判别法进行判定。
若瑕积分收敛，则函数级数绝对收敛；若瑕积分发散，则函数级数可能条件收敛，需要再进行判别。
通过以上方法，可以判别数列、级数和函数级数的绝对收敛和条件收敛性质，为进一步求解实际问题提供有力的数学工具。
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函数项级数收敛的判别方法
1.比较判别法
比较判别法是根据函数项级数与已知的正项级数进行比较来判定其收敛性。
设函数项级数为∑an(x)和已知的正项级数∑bn(x)，若对于所有的n，存在正数M使得，an(x)，≤Mbun(x)，则函数项级数与正项级数的收敛性同时成立。
比较判别法的关键是寻找一个已知的正项级数，使得函数项级数的绝对值小于等于正项级数的绝对值，并且根据正项级数的收敛性来推断函数项级数的收敛性。
2.比值判别法
比值判别法是通过计算函数项级数相邻两项的比值的极限值来判定其收敛性。
设函数项级数为∑an(x)，如果存在正数r，当n趋向于无穷大时，具有lim ，an+1(x)/an(x)， = r，那么：
-若r<1，函数项级数绝对收敛；
-若r>1，函数项级数发散；
-若r=1，比值判别法不确定。
比值判别法可以通过计算函数项级数的极限值和已知的收敛级数或发散级数的极限值比较，来判断函数项级数的收敛性。
3.根值判别法
根值判别法是通过计算函数项级数项的绝对值的n次方根的极限值来
判定其收敛性。
设函数项级数为∑an(x)，如果存在正数r，当n趋向于
无穷大时，具有lim ，an(x)，^(1/n) = r，那么：
-若r<1，函数项级数绝对收敛；
-若r>1，函数项级数发散；
-若r=1，根值判别法不确定。
根值判别法与比值判别法类似，也可以通过计算函数项级数的极限值
和已知的收敛级数或发散级数的极限值比较，来判断函数项级数的收敛性。
4.积分判别法
积分判别法是通过将函数项级数与一个已知的函数进行积分比较来判
定其收敛性。
设函数项级数为∑an(x)，如果存在函数f(x)，当x大于等
于其中一点a时，具有∫[a,+∞) ，an(x)，dx = ∑∫[a,+∞)an(x)dx = ∫[a,+∞)f(x)dx，那么：
- 若∫[a,+∞)f(x)dx收敛，函数项级数绝对收敛；
- 若∫[a,+∞)f(x)dx发散，函数项级数发散。
积分判别法的关键是找到一个已知函数，通过对函数项级数的积分与
该已知函数的积分进行比较，从而判断函数项级数的收敛性。
5.绝对收敛判别法
绝对收敛判别法是对于函数项级数的绝对值级数进行收敛性判定。
如
果函数项级数的绝对值级数收敛，那么函数项级数就是绝对收敛的。
绝对收敛判别法的关键是对函数项级数的绝对值进行计算与收敛级数进行比较，以判定函数项级数的收敛性。
如果绝对值级数收敛，那么函数项级数就是绝对收敛的。
总结起来，无论是比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法还是绝对收敛判别法，都是通过与已知的级数进行比较来判断函数项级数的收敛性。
不同的判别方法适用于不同类型的函数项级数，所以在应用时需要根据题目的要求和给定条件选择合适的判别方法。