极限四则运算法则
极限的四则运算(数列极限、函数极限)
a
k
，lim（C n
an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185（3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
极限的运算法则
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3
极限四则运算法则条件
极限四则运算法则条件极限是数学中一个重要的概念，它在研究函数的性质以及求解各种数学问题中起着重要的作用。
四则运算是我们常用的加减乘除运算，而极限四则运算法则是指在进行函数的极限运算时，可以通过一些特定的条件和法则来简化运算过程。
下面，我们将详细介绍极限四则运算法则的条件以及其在实际问题中的应用。
首先，我们来说一下四则运算的基本规则。
加法运算满足交换律和结合律，即对于任意实数a、b、c，有a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
减法运算是加法运算的逆运算，即对于任意实数a和b，有a-b=a+(-b)。
乘法运算满足交换律和结合律，即对于任意实数a、b、c，有a*b=b*a和(a*b)*c=a*(b*c)。
除法运算是乘法运算的逆运算，即对于任意非零实数a和b，有a/b=a*(1/b)。
接下来，我们来讨论极限四则运算法则的条件。
在进行极限四则运算时，以下条件必须满足：1. 极限的条件：对于函数f(x)和g(x)，当x无限趋向于某个数值a时，f(x)和g(x)需要有定义。
这意味着函数在点a的附近存在。
2. 除法运算的条件：在进行除法运算时，除数g(x)不能趋近于零，即lim g(x)≠0。
因为在数学中，除以零是没有定义的。
3. 极限和常数乘法的条件：在进行极限运算时，可以将极限与常数相乘。
即lim (c*f(x))=c*lim f(x)，其中c为常数。
这个条件使得我们可以在极限运算过程中简化计算。
4. 极限和加法、减法的条件：在进行极限运算时，可以将极限与加法、减法运算相结合。
即lim (f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)和lim (f(x)-g(x))=lim f(x)-lim g(x)。
这个条件使得我们可以将复杂的极限运算转化为简单的加减法运算。
通过满足以上条件，我们可以在进行极限运算时，应用极限四则运算法则，来简化计算过程。
最后，我们来谈谈极限四则运算法则的应用。
在实际问题中，我们常常需要求解函数在某个点的极限值，以及函数在无穷远处的极限值。
极限四则运算
函数极限的四则运算： 如果
lim
x x0
f ( x) a
lim g ( x ) b 那么
x x0
lim [ f ( x ) g ( x )] a b
x x0
lim [ f ( x ) g ( x )] a b
x x0
lim
x x0
x x0
f ( x) a ( b 0) g ( x) b
0 lk l l 1 a0n a1n al a0 l k lim k 1 b0 b n b n b n 0 k 1 k 不存在 l k
练习：P88 1，2
例3:求下列极限
P90
1， 2
1 2 3 n 1/2 lim n 4 7 3n 1 ] lim [ n ( n 1) n ( n 1) n ( n 1)
n 2
n
3/2
1/3
1 1 1 ] lim [ 1 4 4 7 ( 3n 2)( 3n 1)
n
x ax 3 例4： 已知 lim b， 求常数a , b的值 x 1
2 x 1
a=－2;b=－4
例5： 在半径为R的圆内接正n边形中，r 是边心距，
2 2 3 3 4
下去， 试求点P的极限位置。
作业：练习：P91
P4 P5
O
4a 2a , 5 5
P1 x
；/ 清货公司 ；
去?怎么才能去雨帝部落?" 夜妖娆虽然依旧静静の坐着,但是内心却是早已飞到数万里外の雨帝部落.这地方她是一刻也不想待下去了. "吱呀！" 石门打开了,走进来一些妖yaw女子,蛇一样の娇躯随着行走不断の扭
极限四则运算法则
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用
无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值
极限的四则运算
极限四则运算：
定义：所谓的极限四则运算法则：需要具有两个极限同时存在，如果有一个极限自身不存在的时候，四则运算法则无法成立。
性质：唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。
保不等式性：设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。
若存在正数N ，使得当n>N时有xₙ≥yₙ，则（若条件换为xₙ>yₙ，结论不变）。
和实数运算的相容性：如果两个数列{xₙ} ，{yₙ} 都收敛，那么数列{x ₙ+yₙ}也收敛，而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。
其中我们可以设：limf（x）和limg（x）存在
令：limf（x）=A，limg（x）=B，其中，B≠0；c是一个常数
备注：四则运算可以相互带入数值进行互算，第四带入数值B不能为0不然等式不能成立。
极限的四则运算法则适用条件
极限的四则运算法则适用条件1. 嘿，你知道吗，极限的四则运算法则适用可有个条件呢，那就是参与运算的各个极限都必须存在呀！就好比搭积木，每一块积木都得稳稳当当的，才能搭出漂亮的造型嘛。
比如求当 x 趋近于 1 时，(x+1)/(x-1)就不能直接用四则运算法则，因为当 x 趋近于 1 时，分母的极限不存在呀！2. 哎呀呀，要注意哦，极限的四则运算法则适用时，分母不能为零呀！这就好像跑步比赛，跑道可不能有大窟窿呀！像计算当 x 趋近于 0 时，1/x 就不能用四则运算法则啦，不然不就乱套了嘛！3. 喂喂喂，极限的四则运算法则还有个条件可别忘啦，函数得连续呀！这就如同走钢丝，得一路稳稳当当不能断呀！比如求分段函数在分段点处的极限，就得先考虑连续性呢。
4. 嘿呀，极限的四则运算法则适用的一个重要条件是不能出现无穷大除以无穷大这种不确定的情况呀！这就好像在大雾中找路，模模糊糊可不行呀！像求当 x 趋近于无穷时，(x^2)/(x+1)就不能简单用法则哦。
5. 哇塞，要记住哦，极限的四则运算法则要求不能有那种奇奇怪怪没极限的部分呀！好比做蛋糕，不能有坏了的原料呀！比如求当 x 趋近于 0 时，sin(1/x)与 x 的乘积就不能直接四则运算呀。
6. 天哪，极限的四则运算法则适用的前提是各项的极限都得有意义呀！就像一场比赛，每个选手都得符合规则呀！像求当 x 趋近于无穷时，e^x 与1/x 的和就不能贸然用法则呢。
7. 哈哈，别忘了，极限的四则运算法则要想用得好，各个部分得“靠谱”呀！这跟建房子一样，材料不好怎么行呢！例如求当 x 趋近于 0 时，(1-cosx)/x^2 就不能简单粗暴用法则啦。
8. 哎呀，极限的四则运算法则可不是随便用的呀，得满足那些条件呀！好比开锁，钥匙不对怎么打得开呢！像求当 x 趋近于 1 时，(x-1)/(lnx)就不能直接四则运算咯。
9. 哇哦，极限的四则运算法则适用条件可不能马虎呀！就像开车，得遵守交通规则呀！比如求当 x 趋近于 0 时，tanx 与 x 的差就不能随便用法则呀。
1-5极限的运算法则
2
3x 5
.
2
lim ( x
x 2
3 x 5 ) lim x
x 2 2
lim 3 x lim 5
x 2 x 2
( lim x )
x 2
2
3 lim x lim 5
x 2 x 2
2
3 2 5 3 0,
lim
x x
2
3
定理. 设
x x0
lim ( x ) a , 且
x 满足 0
x x0 1
时,
( x ) a , 又 lim f ( u) A , 则有 u a
x x0
lim f [ ( x ) ] lim f ( u) A
u a
①
lim 说明: 若定理中 x x ( x ) , 则类似可得
1) x x0 时, 2) x x0 时,
用代入法 ( 分母不为 0 )
对
0 型 0
, 约去公因子
时,分子分母同除最高次幂 “抓大头” (2) 复合函数极限求法 设中间变量 (3)利用无穷小运算性质求极限
(4)利用左右极限求分段函数极限.
3) x
重点：运用极限的四则运算、复合函数的极限 法则求极限 难点：求极限的一些技巧，极限不存在时的一 些运算
lim
lim
x 4 2 x
0 ( 0 )型
x 0
x 4 2 x
1 x 4 2
lim
1 4
x x( x 4 2)
x 0
x 0
lim
x 0
（分子有理化）
0 ( 0 )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
极限四则运算法则
由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。
定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且
)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。
证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>∃>∀δε，当100δ<-<x x 时，有2)(ε
<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当200δ<-<x x 时，有2)(ε
<-B x g ，取
},mi n {21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有
所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。
其它情况类似可证。
注：本定理可推广到有限个函数的情形。
定理2：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ⋅存在，且
)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==。
证明：因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，⇒,)(,)(βα+=+=B x g A x f
（βα,均为无穷小）)())(()()(αβαββα+++=++=⇒B A AB B A x g x f ，记 αβαβγ++=B A ， γ⇒为无穷小， AB x g x f =⇒)()(lim 。
推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）。
推论2：n n x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）。
定理3：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则)
(lim )(lim )()(lim x g x f B A x g x f ==。
证明：设βα+=+=B x g A x f )(,)(（βα,为无穷小），考虑差：
其分子βαA B -为无穷小，分母0)(2≠→+B B B β，我们不难证明)
(1β+B B 有界（详细过程见书上）)(ββα+-⇒B B A B 为无穷小，记为γ，所以γ+=B A x g x f )()(， B A x g x f =⇒)()(lim 。
注：以上定理对数列亦成立。
定理4：如果)()(x x ψϕ≥，且b x a x ==)(lim ,)(lim ψϕ，则b a ≥。
【例1】b ax b x a b ax b ax x x x x x x x x +=+=+=+→→→→00
000lim lim lim )(lim 。
【例2】n
n x x n x x x x x 0]lim [lim 00==→→。
推论1：设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 为一多项式，当 )()(lim 001101000x f a x a x a x a x f n n n n x x =++++=--→ 。
推论2：设)(),(x Q x P 均为多项式，且0)(0≠x Q ，则)()()()(lim
000x Q x P x Q x P x x =→。
【例3】31151105(lim 221
-=+⨯-=+-→x x x 。
【例4】33
009070397lim 53530-=+--⨯+=+--+→x x x x x （因为03005≠+-）。
注：若0)(0=x Q ，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。
【例5】求3
22lim 221-+-+→x x x x x 。
解：当1→x 时，分子、分母均趋于0，因为1≠x ，约去公因子)1(-x ，
所以 5
3322lim 322lim 1221=++=-+-+→→x x x x x x x x 。
【例6】求)1
311(
lim 31+-+-→x x x 。
解：当13,11,13++-→x x x 全没有极限，故不能直接用定理3，但当1-≠x 时， 1
2)1)(1()2)(1(1311223+--=+-+-+=+-+x x x x x x x x x x ，所以 11)1()1(2112lim )1311(lim 22131
-=+-----=+--=+-+-→-→x x x x x x x 。
【例7】求2
lim 2
2-→x x x 。
解：当2→x 时，02→-x ，故不能直接用定理5，又42→x ，考虑：04222lim
22=-=-→x
x x ， ∞=-⇒→2lim 2
2x x x 。
【例8】若3)
1sin(lim 221=-++→x b ax x x ，求a ,b 的值。
当1→x 时，1~)1sin(2
2--x x ，且0)(lim 21
=++→b ax x x 【例9】设n m b a ,,0,000≠≠为自然数，则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∞<==++++++--∞→时
当时当时当m n m n m n b a b x b x b a x a x a m m m n n n x 0lim 00110110 。
证明：当∞→x 时，分子、分母极限均不存在，故不能用§1.6定理5，先变形：
【例10】求)21(lim 222n
n n n n +++∞→ 。
解：当∞→n 时，这是无穷多项相加，故不能用定理1，先变形：
原式2121lim 2)1(1lim )21(1lim 22=+=+⋅=+++=∞→∞→∞→n n n n n n n n n n 。
【例11】证明[][]x x x x ,1lim =∞→为x 的整数部分。
证明：先考虑[][]x x x x x -=-1，因为[]x x -是有界函数，且当∞→x 时，01→x
，所以由有界量与无穷小量的乘积是无穷小，得
[][][]1lim 0)1(lim 0lim =⇒=-⇒=-∞→∞→∞→x x x
x x x x x x x 。