垂直的定义及概念
直线、平面垂直的判定及其性质
5．如图，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是 AC的中点，则下列命题中正确的有________(填序号)．
①平面ABC⊥平面ABD； ②平面ABD⊥平面BCD； ③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE； ④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.
解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理 有DE⊥AC，DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面 ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平 面ACD⊥平面BDE.故只有③正确．
解析：由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以 BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.故选C.
答案：C
2．(必修2P69练习题)如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别 是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这 个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的 点记为G，则在四面体SEFG中必有( )
垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的
角叫做二面角的平面角．
2．平面与平面垂直的判定定理
4．(2017· 浙江卷)如图，已知正四面体DABC(所有棱长均相 等的三棱锥)，P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP＝PB， BQ CR ＝ ＝2.分别记二面角DPRQ，DPQR，DQRP的平面角 QC RA 为α，β，γ，则( A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α )
A．SG⊥平面EFG C．GF⊥平面SEF
B．SD⊥平面EFG D．GD⊥平面SEF
解析：解法1：在正方形SG1G2G3中，SG1⊥G1E，SG3⊥ G3F，在四面体SEFG中，SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，所 以SG⊥平面EFG. 解法2：GF即G3F不垂直于SF，所以可以排除 C；在△GSD 中，GS＝a(正方形边长)，GD＝ 2 4 a，SD＝ 3 2 4 a，所以
2.3.1直线与平面垂直的判定(经典)
如图,点Q是＿点＿P＿在＿平＿面＿内＿的＿射＿影＿ ＿线＿段＿PQ＿是点P到平面 的垂线段
（2）斜线
一条直线和一个平面相交，但不和
这个平面垂直，这条直线叫做这个平面
的斜线．
P
斜线和平面的交点
叫做斜足。
从平面外一点向平 面引斜线，这点与斜
R
足间的线段叫做这点
到这个平面的斜线段
思考：平面外一点到一个平面的垂线段有 几条？斜线段有几条？
A
B
O
D
α
C
这条直线垂直于梯形所在的平面。（√ ）
（4）若一条直线与一个平面不垂直,则这个平面内
没有与这条直线垂直的直线。(× )
定理应用
四：典型例题
例1 如图，已知 a//b,a，求证 b.
证明：在平面 内作两条相交
直线m，n．
a
b
m n
巩固练习
例2 如图，在三棱锥V—ABC中，VA=VC， AB=BC，求证：VB⊥AC。
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱
AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面ABCD的 位置关系如何？它们彼此之间具有什么
位置关系？ C1
D1
B1
A1
C
D
B
A
一、线面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明：
假设 a与b不平行.
记直线b和α的交点为o,
A
A
B
D
CB
C D
过 ABC 的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻
折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接
触）．
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
2.3直线、平面垂直的判定及其性质(新课知识讲解)
从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角
思考:下列两个二面角在摆放上有什 么不同？
β l l
α
α
β
思考:一个二面角是由一条直线和两 个半平面组成，其中直线l叫做二面 角的棱，两个半平面α 、β 都叫做 二面角的面，二面角通常记作“二 面角α -l-β ”.那么两个相交平面共 组成几个二面角？
β
面
棱
l
α
二面角的 画法与记法 2、二面角的记法： 面1－棱－面2 （1）、以直线l 为棱，以 a , 为半平面的二面角记为：
a l
a, （2）、以直线AB 为棱，以 为半平面的二面角记为：
a AB
a
l
A
B
a
二面角的 平面角的定义、范围及作法 1、二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引 垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的 平面角。 ? AOB AOB== a 注:（1）二面角的平面角与点的位置 等角定理：如果一个角的两边和另 无关，只与二面角的张角大小有关。 A 一个角的两边分别平行，并且方向相 O （2）二面角是用它的平面角来度 同，那么这两个角相等。） B l 量的，一个二面角的平面角多大，就 说这个二面角是多少度的二面角。 B O （3）平面角是直角的二面角叫做 A 直二面角。 （4）二面角的取值范围一般规定 为（0,π）。 观看动画演示
4.总结反思—提高认识
（1）通过本节课的学习，你学会了
哪些判断直线与平面垂直的方法？
（2）在证明直线与平面垂直时应注
意哪些问题？
（3）本节课你还有哪些问题？
直线与平面垂直的判定方法 1. 定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条 直线，则此直线垂直于这个平面. 2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条 相交直线，那么此直线垂直于这个平面。 3. 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那 么另一条也垂直于同一个平面。
垂直的判定公式
垂直的判定公式在我们的数学世界里，垂直可是个相当重要的概念，而垂直的判定公式就像是打开垂直这扇神秘大门的钥匙。
先来说说垂直的定义吧，当两条直线相交成直角时，就说这两条直线互相垂直。
这听起来挺简单，对吧？但要准确判定两条直线是否垂直，就得靠那些神奇的判定公式啦。
比如在平面直角坐标系中，如果两条直线的斜率乘积为 -1，那么这两条直线就是垂直的。
这就好比是两条直线在进行一场特殊的“较量”，它们斜率的乘积就像是比赛的结果，如果结果是 -1，那就意味着它们打成了平手，也就是垂直啦。
给大家讲个我在教学中的小趣事。
有一次上课，我在黑板上画了两条线，然后问同学们这两条线是不是垂直的。
结果大家都瞪大眼睛，一脸迷茫。
我就引导他们去计算斜率，可还是有不少同学摸不着头脑。
这时候，有个平时挺调皮的小男孩突然站起来说：“老师，我感觉这就像猜谜语，可我怎么也猜不对！”大家都被他逗笑了，课堂气氛一下子轻松了起来。
那咱们再深入聊聊垂直判定公式在实际生活中的应用。
想象一下，建筑工人在盖高楼的时候，如果墙壁和地面不垂直，那这楼可就危险啦！他们就得用垂直判定公式来确保每一面墙都是笔直的，这样咱们住的房子才能稳稳当当。
还有我们常见的电线杆，它们得和地面垂直，这样才能保证电线的稳定和安全。
这时候，垂直判定公式就派上用场了，工程师们可以通过测量和计算，确保电线杆立得直直的。
在数学的解题中，垂直判定公式也是个得力的助手。
比如在一些几何证明题里，通过已知条件推导出直线垂直，往往能打开解题的突破口，让难题变得迎刃而解。
总之，垂直的判定公式虽然看起来只是一些简单的数学表达式，但它的作用可大着呢！无论是在理论研究，还是在实际生活中，都有着不可或缺的地位。
就像我们生活中的许多事情一样，看似简单的背后，往往隐藏着巨大的价值。
希望大家能牢牢掌握垂直的判定公式，让它成为我们探索数学世界的有力武器，为我们解决更多的问题，开启更多的智慧之门！。
高中数学课件-线面垂直的定义(上课用)
求证VB AC
V
.D
C
A
B
练习：如图，点P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，O 是对 角线AC与BD的交点，且PA =PC PB =PD .求证：PO⊥平面ABCD
B
证明QPA PC,点O是AC的中点 \PO AC
又QPB PD,点O是BD的中点 \PO BD
又Q AC BD O \ PO 平面 ABCD
线段B1E
（3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
C1
A1
B1
E
D
C
A
B
巩固练习
1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
线段C1D C1
A1
B1
D
C
A
B
例2，如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC 的中点
G2G3,的中点，D是EF的中点，现沿SE,SF,及EF把这个正方
形折成一个几何体，使G1,G2,G3三点重合于点G，这样下面
结论成立的是（
）
G1
A.SG 面EFG
B.SD 面EFG
C.GF 面SEF
D.GD 面SEF E
G2
F
G3
G
E
S
F
三、直线与平面所成的角
B
垂线
斜线
C AC
垂足
一条直线和一个平面相交，但 不和这个平面垂直，这条直线 叫做这个平面的斜线，斜线和 平面的交点叫做斜足。
线，则a∥α；④若直线a垂直于平面α内的两条直线，则a⊥α. 解析：①中b与α还可能平行、在平面内或斜交；②同①；③
7.5直线平面垂直的判定和性质
3
∵MG∥AE,MG⊄平面ADE,AE⊂平面ADE, ∴MG∥平面ADE.
同理,GN∥平面ADE.又∵GN∩MG=G,பைடு நூலகம்
∴平面MGN∥平面ADE.
又MN⊂平面MGN,∴MN∥平面ADE. ∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.
4.如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°的 菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD. (1)求证:AD⊥PB;
(2)∵PA=AB=BC,∠ABC=60°,故PA=AC.
∵E是PC的中点,故AE⊥PC.
由(1)知CD⊥AE,从而AE⊥平面PCD,
故AE⊥PD. 易知BA⊥PD,故PD⊥平面ABE.
下图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图.
(1)若F为PD的中点,求证:AF⊥面PCD; (2)证明BD∥面PEC;
∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB.
(2)解:连接CG,DE,且CG与DE相交于H点, 在△PGC中作HF∥PG交PC于F点,连接DF, ∴FH⊥平面ABCD, ∴平面DHF⊥平面ABCD. ∵H是CG的中点,∴F是PC的中点,
∴在PC上存在一点F,满足平面DEF⊥面ABCD.
对于探索类问题,书写步骤的格式有两种:
• • • • • • •
考点一 直线与平面垂直的判定与性质 1.直线l与平面α内的两条直线都垂直,则直线l与平面α的 位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直 C.在平面α内 D.无法确定
m n a
解析:直线l与平面α内的两条直线都垂直,因为不知道 b c 这两条直线是否相交,所以无法确定直线l与平面α的 位置关系. 答案:D
4.如图所示,已知空间四边形ABCD中,BC=AC,AD=BD,E 是AB的中点.
垂直线的性质及应用
垂直线的性质及应用垂直线是几何学中常见的概念，它具有一些特殊的性质和应用。
本文将从何为垂直线、垂直线的性质以及在实际生活中的应用等方面进行论述。
一、垂直线的定义在几何学中，垂直线指的是两条直线之间的夹角为90度。
当两条直线互相垂直时，它们在交点处形成的角度被称为直角。
严格来说，垂直线是指两条互相垂直的线段或直线。
二、垂直线的性质1. 互相垂直的线段长度相等：如果有两条线段互相垂直，并且其中一条线段的长度为a，那么另一条线段的长度也为a。
这一性质可以通过使用勾股定理进行证明。
2. 垂直线的斜率相乘为-1：在平面直角坐标系中，当两条线互相垂直时，它们的斜率之积等于-1。
例如，一条直线的斜率为2，那么与之垂直的直线的斜率为-1/2。
3. 从垂直线上下来的线段是平行的：设有一条垂直线L和一条与L 交于一点的线段AB，如果从L上下来的线段CD与线段AB垂直，那么线段CD与线段AB是平行的。
三、垂直线的应用1. 建筑和工程学：在建筑和工程学中，垂直线的应用非常广泛。
例如，在建造一栋建筑物时，垂直线可以用来确保墙壁的垂直度，从而保持建筑物的结构稳定。
此外，垂直线也用于测量和标定建筑物的各个部分的位置和角度。
2. 地理和导航：地理和导航领域也经常使用垂直线的概念。
例如，航海家们利用垂直线（经线）来确定地球上的位置。
在导航系统中，垂直线常常被用来测量和指示物体或车辆的垂直度，以避免不必要的倾斜和偏差。
3. 数学和物理学：在数学和物理学中，垂直线被广泛运用于各种推导和证明过程。
例如，垂直线可以用于解决直角三角形的问题，以及在力学中研究物体的斜坡和坡度等。
四、结语垂直线作为几何学中的重要概念，具有一些独特的性质和应用。
它不仅在实际生活中发挥着重要作用，而且在数学、物理学等学科中也具有深远的影响。
了解垂直线的性质和应用，有助于我们更好地理解和应用这一概念，同时也为解决各种问题提供了有力的工具和思路。
新人教版高中数学必修第二册 第8章 8.6.1 第1课时 直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定
8．6空间直线、平面的垂直8．6.1直线与直线垂直8．6.2直线与平面垂直第1课时直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定考点学习目标核心素养异面直线所成的角会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角直观想象、逻辑推理、数学运算直线与平面垂直的定义理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性直观想象直线与平面垂直的判定定理掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题直观想象、逻辑推理问题导学预习教材P146－P150的内容，思考以下问题：1．异面直线所成的角的定义是什么？2．异面直线所成的角的范围是什么？3．异面直线垂直的定理是什么？4．直线与平面垂直的定义是什么？5．直线与平面垂直的判定定理是什么？1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a 与直线b垂直，记作a⊥b．(3)范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°.■[名师点拨]当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.注意与异面直线所成的角的范围的区别．2．直线与平面垂直定义一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足图示及画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直■名师点拨(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．3．直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α■名师点拨判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)异面直线a，b所成角的范围为[0°，90°]．()(2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．()(3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．()答案：(1)×(2)×(3)√直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是() A．平行．垂直C．在平面α内．无法确定答案：D已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则()A．a∥α．a⊂αC．a⊥α．a是α的斜线答案：C在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，则直线OB1与A1C1所成角的度数为________．解析：连接AB1，B1C，因为AC∥A1C1，所以∠B1OC(或其补角)是异面直线OB1与A1C1所成的角．又因为AB1＝B1C，O为AC的中点，所以B1O⊥AC，故∠B1OC＝90°，所以OB1与A1C1所成的角的大小为90°.答案：90°异面直线所成的角如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．【解】(1)如图，因为CG∥BF.所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD 为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.1．[变条件]在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD 所成的角．解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°.2．[变条件]在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2°，求AM和BN所成的角．解：连接MG，因为BCGF是正方形，所以BF═∥CG，因为M，N分别是BF，CG的中点，所以BM═∥NG，所以四边形BNGM是平行四边形，所以BN∥MG，所以∠AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39.2°，所以∠AMG＝101.6°，所以AM和BN所成的角为78.4°.求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．[提醒] 求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.如图所示，在三棱锥A -BCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成的角．解：如图所示，取BD 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点，AB ＝CD ， 所以EG ∥CD ，GF ∥AB ， 且EG ＝12CD ，GF ＝12AB .所以∠GFE (或其补角)就是异面直线EF 与AB 所成的角，EG ＝GF . 因为AB ⊥CD ，所以EG ⊥GF . 所以∠EGF ＝90°.所以△EFG 为等腰直角三角形． 所以∠GFE ＝45°， 即EF 与AB 所成的角为45°.直线与平面垂直的定义(1)直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能( ) A ．平行 ．相交 C ．异面．垂直(2)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 【解析】 (1)因为直线l ⊥平面α，所以l 与α相交．又因为m⊂α，所以l与m相交或异面．由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．(2)对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．【答案】(1)A(2)B对线面垂直定义的理解(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l 与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以④正确．答案：③④直线与平面垂直的判定如图，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.(1)求证：PC⊥平面AEF；(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD.【证明】(1)因为P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以P A⊥BC.又AB⊥BC，P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB，AE⊂平面P AB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面P AD，AG⊂平面P AD，所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD.1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥P A，因为P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC，又FH⊂平面P AC，所以BD⊥FH.2．[变条件]若本例中P A＝AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC⊥平面AFG.证明：因为P A⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以DC⊥P A，又因为ABCD 是矩形，所以DC ⊥AD ，又P A ∩AD ＝A ， 所以DC ⊥平面P AD ，又AG ⊂平面P AD ， 所以AG ⊥DC ，因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点， 所以AG ⊥PD ，又DC ∩PD ＝D ， 所以AG ⊥平面PCD ，所以PC ⊥AG ， 又因为PC ⊥AF ，AG ∩AF ＝A ， 所以PC ⊥平面AFG .3．[变条件]本例中的条件“AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ”，改为“E ，F 分别是AB ，PC 的中点，P A ＝AD ”，其他条件不变，求证：EF ⊥平面PCD .证明：取PD 的中点G ，连接AG ，FG . 因为G ，F 分别是PD ，PC 的中点，所以GF ═∥12CD ，又AE ═∥12CD ，所以GF ═∥AE ， 所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF . 因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点， 所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ， 易知CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD .因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD .(1)线线垂直和线面垂直的相互转化(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．[提醒]要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．如图，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明：(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM.又P A⊥平面ABM，所以P A⊥BM.又因为P A∩AM＝A，所以BM⊥平面P AM.又AN⊂平面P AM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB.又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，所以NQ⊥PB.1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是()A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C.过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1．平面A1DB解析：选B.因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1.3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线()A．相交且垂直．不相交也不垂直C．相交不垂直．不相交但垂直解析：选D.如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD.4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC的补角，所以直线a，b所成的角为60°.答案：60°[A基础达标]1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂α．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂β．m⊥n，且n∥β解析：选B.A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D 中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.2．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是()A．b⊥β．b∥βC．b⊂β．b⊂β或b∥β解析：选A.因为a⊥α，a∥b，所以b⊥α.又α∥β，所以b⊥β.3．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是()解析：选D.对于A，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于B，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，易证AB⊥NQ，AB⊥MQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于D，由图可得MN与直线AB相交且不垂直，故直线AB 与平面MNQ不垂直．故选D.4.如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B.由PB⊥α，AC⊂α得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.故选B.5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段解析：选A.如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于线段B1C上．6.如图，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是______．解析：连接AD1，则AD1∥BC1.所以∠CAD 1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，所以∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.答案：60°7．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有__________________；(2)与AP垂直的直线有__________________．解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC ⊥BC.(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面P AC，因为AP⊂平面P AC，所以BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，P A⊥平面ABCD，且P A＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．解析：因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥QD.若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，P A∩PQ＝P，则有QD⊥平面P AQ，从而QD⊥AQ.在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ.所以当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值为2.答案：29.如图，在直三棱柱ABC-A 1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.②由①②得AD⊥平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E⊂平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.10．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．解：取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以EF∥CD，所以∠BEF(或其补角)即为所求的异面直线BE与CD所成的角．在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝AC，所以AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝12AD＝12，所以BE＝52.在Rt△AEF中，AF＝12AC＝12，AE＝12，所以EF＝22.在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝12，所以BF＝52.在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝12EFBE＝2452＝1010，所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为1010.[B 能力提升]11．已知异面直线a 与b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a ，b 所成的角都是30°的直线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B.过空间一点P ，作a ′∥a ，b ′∥b .由a ′、b ′两交线确定平面α，a ′与b ′的夹角为50°，则过角的平分线与直线a ′、b ′所在的平面α垂直的平面上，角平分线的两侧各有一条直线与a ′、b ′成30°的角，即与a 、b 成30°的角且过点P 的直线有两条．在a ′、b ′相交另一个130°的角部分内不存在与a ′、b ′成30°角的直线．故应选B. 12．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22解析：选C.如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，E 为DC 边的中点，沿AE 将△ADE 折起，在折起过程中，下列结论正确的有( )①ED ⊥平面ACD ；②CD ⊥平面BED ；③BD ⊥平面ACD ；④AD ⊥平面BED .A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A.因为在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E为DC边的中点，所以在折起过程中，D点在平面ABCE上的投影如图．因为DE与AC所成角不能为直角，所以DE不会垂直于平面ACD，故①错误；只有D点投影位于Q2位置时，即平面AED与平面AEB重合时，才有BE⊥CD，此时CD不垂直于平面AECB，故CD与平面BED不垂直，故②错误；BD与AC所成角不能为直角，所以BD不能垂直于平面ACD，故③错误；因为AD⊥ED，并且在折起过程中，有AD⊥BD，所以存在一个位置使AD⊥BE，所以在折起过程中有AD⊥平面BED，故④正确．故选A.14．如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，△BCF为正三角形，G，H分别为BC，EF的中点，EF＝4且EF∥AB，EF⊥FB.(1)求证：GH∥平面EAD；(2)求证：FG⊥平面ABCD.证明：(1)如图，取AD的中点M，连接EM，GM.因为EF∥AB，M，G分别为AD，BC的中点，所以MG∥EF.因为H为EF的中点，EF＝4，AB＝2，所以EH＝AB＝MG，所以四边形EMGH为平行四边形，所以GH∥EM，又因为GH⊄平面EAD，EM⊂平面EAD，所以GH∥平面EAD.(2)因为EF⊥FB，EF∥AB，所以AB⊥FB.在正方形ABCD中，AB⊥BC，所以AB⊥平面FBC.又FG⊂平面FBC，所以AB⊥FG.在正三角形FBC中，FG⊥BC，所以FG⊥平面ABCD.[C拓展探究]15．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.因为DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEQP.即A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
垂直的定义及概念
在几何学中，垂直是一个重要的概念，用来描述两条线段或平面之间的关系。
当两条线段或平面互相交叉，并且形成直角时，我们就可以说它们是垂直的。
垂直关系是空间中最基本和最常见的关系之一，它在建筑、工程、几何学和物理学等领域都有广泛的应用。
垂直关系的概念可以由直观的方式理解，在直角坐标系中，垂直的线段是互相交叉，并形成90角的线段或平面。
直角是几何学中最基本的角度之一，它由两条互相垂直的线段所形成。
垂直关系可以直观地通过两个线段的交叉方式来识别。
另外，两个平面也可以是垂直的，当且仅当它们的法向量垂直。
几何学中的垂直关系可以通过数学的方法进行精确定义。
在二维平面中，我们可以通过两个线段的斜率来判断其是否垂直。
如果两个线段的斜率的乘积为-1，则它们是垂直的。
在三维空间中，我们可以通过两个平面的法向量是否垂直来判断它们是否垂直。
垂直关系在几何学中起到了重要的作用。
首先，垂直线段或平面是直角三角形和矩形等图形的基础。
垂直线段和平面的存在使得我们可以利用它们的性质来解决各种几何问题。
其次，在建筑和工程领域，垂直关系被广泛应用于测量和设计。
例如，在建筑设计中，我们会使用垂直线来确保墙壁和地板之间的垂直关系，以保持建筑的结构稳定。
此外，在物理学中，垂直关系也被用来描述力的作用方向和重力的影响等。
垂直关系还有一些重要的性质和特点。
首先，垂直线段或平面上的任意一点到另一个线段或平面上的点的连线都是垂直的。
其次，如果两个线段或平面的关系是垂直的，那么它们之间的夹角是90，即两个向量的点积为0。
此外，两个垂直的线段的长度之积等于它们的斜率之积为-1。
这些性质和特点使得我们可以更好地理解和应用垂直关系。
在解决几何学问题时，我们可以通过使用垂直关系来简化问题。
例如，在求解三角形的面积时，我们可以将底边延长到使其与另一边垂直相交，以便计算高度。
同样，在求解矩形的面积时，我们可以使用垂直关系将矩形分解为两个直角三角形，从而简化计算过程。
在实际应用中，垂直关系具有广泛的应用。
例如，在建筑和工程中，垂直关系被用来确保墙壁和地板之间的垂直关系，以确保建筑物的结构稳定。
此外，在测量和地理信息系统中，垂直关系被用来构建地形模型和高程数据，以及计算地表和大气的垂直分布。
还有，在导航和航空控制中，垂直关系被用来确定飞机的爬升或下降方向，以及计算气压和高度等。
总之，垂直是一个在几何学中非常重要的概念，用来描述两条线段或平面之间的关系。
垂直关系可以通过直观的方式理解，也可以通过数学的方法进行精确定义。
垂直关系在几何学、建筑、工程和物理学等领域都有广泛的应用。
了解垂直关系
的性质和特点可以帮助我们更好地解决各种几何问题，并在实际应用中应用垂直关系。