第十五讲 生活中的巧妙(3)——抽屉原理

第十五讲生活中的巧妙（3）——抽屉原理

[知识提要]

我们来想一个生活中有趣的小问题：桌上有六个苹果，桌子共有五个抽屉。现在，要把这六个苹果放到这五个抽屉里。放的方法怎样都可以：有的抽屉可以放一个，有的可以放两个、三个，有的可以放四个、五个。喜欢动手的同学可以自己试一试，但最终我们会发现，至少有一个抽屉里面至少放两个苹果。有趣不有趣？这一现象就是我们这一讲所要讲的抽屉原理。

我们可以画一张表，来说明这个问题：

上面的图表已经包含了所有的情况。我们可以发现：把6个苹果放到5个抽屉里时，不管怎样放，其中总有一个抽屉放2个或2个以上的苹果。

聪明的同学可能已经发现，这个现象出现的原因，就是苹果的数量比抽屉的个数多。6>5，那么一个抽屉，一个抽屉放下来，等到五个抽屉都各放了一个后，还是会有一个苹果剩下。那么不管把它放在那个抽屉里，都会有一个抽屉里有两个。所以，没有一个抽屉里是只有一个苹果的。这个原理，具体写出来就是：

只要苹果数>抽屉数，就会至少有一个抽屉里面至少放两个苹果。

这个原理虽然简单，但它却是组合数学中最重要的一个原理，很多大数学家也要靠它来解决问题呢！所以，掌握了它，就相当于掌握了进入数学大厦的一把金钥匙。

下面，我们看一看生活中其它应用抽屉原理的问题：

[经典例题]

[例1]沙沙说：“我不知道我的好朋友都在几月出生，但是我可以肯定，在我的好朋友中，至少有两个人出生在相同月份。”那么，沙沙至少有几个好朋友呢？

[分析]这两个问题，刚一看时，好像和“抽屉放苹果”的问题一点关系都没有。但是，其实也是可以利用抽屉原理来解决的。我们知道，一年有十二个月。其实，这十二个月就可以看成是十二个“抽屉”，沙沙的那些好朋友就可以看成是若干个“苹果”。我们还知道，13是比12的最小的整数。因此，为了保证在沙沙的好朋友中至少有两个人出生在相同月份，沙沙至少应该有13个好朋友。

从这道题目可以看出来，应用抽屉原理解决生活中的问题，关键的地方在于准确地发现题目中的哪个量可以被看成是“抽屉”，哪个量又可以被看成是“苹果”。搞清楚了哪个是“抽屉”，那个是“苹果”后，只要比较一下他们的大小，就能做出正确地判断了。

[解答]12+1=13

13>12

答：沙沙至少有13个好朋友。

[评注]这是一道基本的抽屉原理题目，只要小朋友们能明白“在同一个月份出生”和“属于同一个抽屉”之间可以建立起联系，那么得出13个的答案并不是很难。

[举一反三]

1，小黄转学了，转学的第一天回家，他就对爸爸妈妈说：“我们班一定有两个人的出生日期相同。”事实上，他根本没有问过任何同学的生日，那么他的班级至少有多少人呢？

2，几个小朋友一起玩石头、剪子、布的游戏。无论他们各自出什么，总会有两个小朋友出的相同。那么最少有几个小朋友一起玩呢？

3，一幢大楼有18层。某天，一些住户一起从1楼乘坐电梯回家，尽管他们彼此不认识，但是知道其中必有两人在同一层下电梯。那么你知道电梯里最少有多少人吗？（注意，一层的住户不需要乘坐电梯！）

[例2]幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理。

[分析与解答]从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同。

[评注]看起来每个小朋友任意选两件变数比较大，但是经过枚举可以发现，可以选择的方法数还是要比小朋友的人数少，这样我们就得出了结论。有的问题，正是需要用枚举去实践，才能得出答案。

[举一反三]

1、沙沙又说：“蕾蕾小学六年级的360名学生中，至少有两名学生，他们在同一天过生日。”你认为他的说法正确么吗？你能说明为什么正确或为什么不正确吗？

2、为了提高同学们解应用题的能力，培养同学们对数学学习的兴趣，蕾蕾小学数学教学组购买了一批《六年级应用题天天练》，准备发给六年级的同学们。六（1）班有45个人，李老师至少要拿多少本《六年级应用题天天练》，随意分给同学们，才能保证至少有一个同学能得到三本《六年级应用题天天练》？

3、沙沙有有同样大小的黑、白、红、黄、绿色的手套各一双。现在，一只一只地从中拿手套。那么，其中至少需要拿几只，才能保证拿出的手套中有2只恰为一双手套？

[思路拓展]

其实，这类问题最重要的就是“抽屉”和“苹果”的选择。不过，抽屉原理不是拿来就能用的。在上面的问题中，“抽屉”和“苹果”的选择还都是比较简单的。

下面，我们再来看一道比较复杂的问题，在这个问题中，“抽屉”和“苹果”都很不明显，刚拿到时很难想到要用抽屉原理来解答。但是，通过分析，我们就会发现，这其实还是一道用到抽屉原理的数学题。解题的关键是要应用所学的数学知识去寻找“抽屉”，制造“抽屉”，弄清应当把什么看作“抽屉”，把什么看作“苹果”。

[例3]楠楠在纸上任意写下了4个自然数。楠楠惊奇地发现：无论怎样写这四个自然数，其中都至少有两个数的差是3的倍数。楠楠不明白了：这是为什么啊？你能帮助楠楠解答这个疑问吗？

[分析与解答]首先，我们需要应用相关的数学知识，弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两个自然数的差是3的倍数。而且，任何一个自然数被3除的

余数，或者是0，或者是1，或者是2。刚兴趣的小朋友不妨自己去试一试，看看是不是这样。

根据这三种情况，我们可以帮助楠楠把自然数分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。我们把4个自然数看作“苹果”。根据抽屉原理，由于“苹果”数量多于“抽屉”数量，所以必定有一个“抽屉”里至少有2个数。换句话说，4个自然数分成3类，至少有两个是同一类。既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一定相同。所以，任意4个自然数，至少有2个自然数的差是3的倍数。

[评注]想一想，如果楠楠任意写下的不是4个自然数而是7个，那么会不会其中至少有两个数的差是6的倍数呢？

[举一反三]

1，楠楠这回写下5个数，他不再计算它们的差是否是3的倍数，而是计算它们的差是否是7的倍数了。他发现，有可能没有两个数的差是7的倍数，但是只要这种情况出现，就会有两个数的和是7的倍数。你能解释是为什么吗？

2，在正十边形的顶点中任意取4个，证明可以以这4个顶点为顶点连出两条线段，它们的长度相等。

3，几个学生被安排去阅读同一本课外书。几天后上课，老师说：“你们中肯定有两个人，读那本书的页数之差是5的倍数。”那么至少有几名学生被安排读这本课外书呢？

[例4]有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问不论如何取，从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）？

[分析]试想一下，从箱中取出6只袜子，能配成3双袜子吗？回答是否定的。

按5种颜色制作5个抽屉，根据抽屉原理，只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只，这2只就可配成一双。拿走这一双，尚剩4只，如果再补进2只又成6只，再根据抽屉原理1，又可配成一双拿走。如果再补进2只，又可取得第3双。所以，至少要取6＋2＋2=10只袜子，就一定会配成3双。

[解答] 6＋2＋2=10（只）

答：至少取出10只就能保证有3双袜子。

[评注]从这道题目的分析里可以看出，有时候我们并不能够直接利用抽屉原理一步得出答案。比如给出一共有10只袜子，如果用抽屉原理，只能得出至少有一种颜色的袜子有2只，而这两只只能配成一双，并不满足三双的要求。这道题目里，我们利用了“分步讨论”的方法，一双一双地拿取了三双袜子。这样的解法，值得小朋友们注意。

[举一反三]

1、蕾蕾小学五(2)班选两名班长．投票时，每个同学只能从4名候选人中挑选2名．这个班至少应有多少个同学，才能保证有8个或8个以上的同学投了相同的2名候选人的票？

2、蕾蕾小学每周星期一、三、五、六各举办一种课外活动，问：至少要有多少学生报名参加，才能保证其中至少有3位学生所参加的课外活动完全一样？

3、每位小朋友去麦当劳吃儿童套餐，都可以获得四种玩具中的一种。彬彬现在要集出三对相同的玩具，分别摆在自己的床头、写字台上和书架里。那么他至少要吃多少次套餐，才能保证完成自己的愿望？

[例5]一个布袋中有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？

[分析]从最“不利”的取出情况入手。最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。

接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过4个，所以，根据抽屉原理2，只要取出的球数多于（4-1）×3=9个，即至少应取出10个球，就可以保证取出的球至少有4个是同一抽屉（同一颜色）里的球。

故总共至少应取出10＋5=15个球，才能符合要求。

[解答]10＋5=15（个）

答：一次至少取出15个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球。

[评注]这种各个颜色之间有区别的题目，我们不能直接利用抽屉原理。因为抽屉原理的本质是考虑最坏情况，如果最坏情况不存在，那么抽屉原理的结果便不精确。另外请想一想：把题中要求改为4个不同色，或者是两两同色，情形又如何？

[举一反三]

1，三双白袜子，五双红袜子，七双蓝袜子和八双黑袜子，至少选出多少双，才能保证有5双相同颜色的袜子呢？如果要求是7双相同颜色的袜子呢？

2，小杰的妈妈有一张相册，里面有60年代的照片5张，70年代的照片10张，80年代的照片20张，90年代的照片30张。妈妈让小杰拿出12张相同年代的照片来做成一组相片，但是小杰并不知道哪张照片是哪个年代的。他至少要选出多少张照片，才能保证有12张相同年代的照片？

3，全年（平年）的365天里，至少要选出多少天，才能保证有11天有着相同的日期？

[例6]一副扑克牌有黑桃、红桃、梅花和方块各13张，为保证至少有4张牌的花色相同，则至少应当抽出多少张牌？

[分析]通过仔细分析题目，我们发现题目的难点在“保证至少有4张牌的花色相同”上。“至少有4张牌的花色相同”意味着黑桃、红桃、梅花或者方块四种花色当中的任意一种有4张或者4张以上；而“保证”意味着无论抽出的这些牌是什么，都起码有4张牌的花色一样。那么，我们可以用极端法看看从最坏的角度会出现怎样的情况。

最差手气：假设我们第一张抽出的扑克牌是黑桃，然后又连续抽取了2张黑桃，此时我们心中暗想：如果接下来再抽中一张黑桃，那么有4张牌花色相同，满足条件。但不幸的是，接下来抽中的是红桃，而且连续3张都是红桃，此时我们心中暗想：如果接下来再抽中一张黑桃或者红桃，那么有4张牌花色相同，满足条件。可以想象，我们很不幸的抽到了梅花，而且同样又连续3张都是梅花。此时我们心中暗想：如果接下来再抽中一张黑桃、红桃或者梅花，只要不是方块，那么就有4张牌花色相同，满足条件。不用说，肯定很不幸的抽中了方块，而且又连续3张都是方块。此时，我们手上已经具有黑红梅方各3张，那么接下来不管手气怎样，都必然抽中黑红梅方任意一种花色，使得有4张牌的花色相同，满足条件。

[解答] 3×4＋1＝13（张）

答：为保证至少有4张牌的花色相同，则至少应当抽出13张牌。

[评注]利用极端法可以很好的解决这一问题，通过分析问题，只需构造问题的最坏情况即可。

[举一反三]

1，一副扑克牌有黑桃、红桃、梅花和方块各13张，为保证至少有3张牌的花色各不相同，则至少应当抽出多少张牌？

2，一副扑克牌有1，2，3，……，10各4张，为保证至少有3张牌的点数相同，则至少应当抽出多少张牌？

3，两副扑克牌有1，2，3，……，10，J，Q，K各8张，为保证至少有6张牌的点数相同，则至少应当抽出多少张牌？

[例7]从一副完整的扑克牌中，至少抽出多少张牌，才能保证至少6张牌的花色相同？

[分析]利用和例题1相同的方法，连续抽取了5张黑桃之后，开始连续的抽取红桃，然

后是梅花和方块。当以为接下来不管抽到黑红梅方什么花色都能解决问题的时候，发现抽到的是小王！哎呀，一副完整的扑克牌除了黑红梅方四种花色之外还有大王和小王各一张！接着又很不幸的抽中了大王之后，此时不管抽什么牌，都能保证有6张牌的花色相同。

[解答]答案为5×4＋2＋1＝23（张）

答：至少抽出23张牌，才能保证至少6张牌的花色相同。

[评论]相当多的抽屉原理题目，都是先去构造最坏情况，然后再进行证明。这道题目里的最坏情况实在是坏的不能再坏了，或者说是运气差到极点了。如果没有考虑大小王，而得出抽21张牌就有6张花色相同，在证明时将遇到问题。所以说，如何构造最坏情况，是利用抽屉原理解决问题的一大关键。在做每个抽屉原理题目时，同学们都应该好好想想，我这样的构造是不是最坏情况，是不是不能再坏了。如果确认了之后，就去放心大胆的证明吧！

[举一反三]

1、在一个半径为10米的圆形旱冰场上有7个人溜冰，那么至少有2个人之间的距离不大于10米，为什么？

2、有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号，证明：在200个信号中至少有4个信号完全相同。

3、一副扑克牌有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，问最少要抽几张牌，才能保证有四张牌是同一花色的？

[本章小结]

利用抽屉原理，可以说明许多有趣的现象或结论。

应用抽屉原理解题，关键是要应用所学的数学知识去寻找“抽屉”，制造“抽屉”，弄清应当把什么看作“抽屉”，把什么看作“苹果”。通常，可采用把多个“苹果”进行合理分类的方法来制造抽屉。比如，若干个同学可按出生的月份不同分为12类，自然数可按被3除所得余数分为3类等等。

应该按照以下的步骤：

第一步：分析题意。分清什么是“苹果”，什么是“抽屉”，也就是什么可以作“苹果”，什么可作“抽屉”。

第二步：制造“抽屉”。这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。

第三步：运用抽屉原理。观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题的解决。

很多这类问题，往往和相应的数学知识之间有着密切联系，比如例 2.所以，如果大家想要掌握好运用抽屉原理解决问题的能力，就不仅要学会按照上面的步骤分析问题，还要熟悉相关的数学知识。只有这样，才能真正算是会运用抽屉原理了。好啦，这一讲就到这里啦。爱学习的小朋友还可以在第二十二讲《容斥原理》中，学到更多与本讲有密切联系的相关知识。

[本章自测]

1、南国市组织了一次全市优秀小学生参加的数学夏令营，一共有400个小朋友参加。在入营式上，组织老师向在场的这些小朋友提出了下面的问题：

(1)至少有多少人在同一天过生日？

(2)至少有多少人单独过生日？

(3)至少有多少人不单独过生日？

只有正确回答这三个问题的小朋友才有资格加入夏令营。如果你也在场，你能回答正确这三个问题，加入夏令营吗？

2、为了探望和祝福生病的小朋友沙沙，姜姜决定去花店采购鲜花。花店中有三种红、黄、蓝三种颜色的鲜花各10束。如果姜姜随便的买，那么，请问：

(1)姜姜至少要买多少束鲜花，才能保证买到全部三种颜色的鲜花送给沙沙？

(2)姜姜至少要买多少束鲜花，才能保证送给沙沙的鲜花至少有两束是相同颜色的？

(3)姜姜至少要买多少束鲜花，才能保证送给沙沙的鲜花至少有三束是相同颜色的？

3、某班37名同学，至少有几个同学在同一个月过生日？

4、42只鸽子飞进5个笼子里，可以保证至少有一个笼子中可以有几只鸽子？

5、口袋中有红、黑、白、黄球各10个，它们的外型与重量都一样，至少要摸出几个球，才能保证有4个颜色相同的球？

6、饲养员给10只猴子分苹果，其中至少要有一只猴子得到7个苹果，饲养员至少要拿来多少个苹果？

7、为了丰富暑假生活，蕾蕾小学组织甲、乙两班进行了一次军棋对抗赛，每班各出五人，同时对弈。比赛时天气很热，蕾蕾小学给选手们准备了两种饮料，有可乐，有汽水，每个选手都选用了一种饮料。

试证明：至少有两对选手，不但甲班选手选用的饮料相同，而且乙班选手选用的饮料也相同。

8、一个班有40名同学，现在有课外书125本。把这些书分给同学，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？

9、在某校数学乐园中，五年级学生共有400人，年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，我们不用去查看学生的出生日期，就可断定在这400个学生中至少有两个是同年同月同日出生的，你知道为什么吗？

10、有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起，如果让你闭上眼睛去摸，你至少要摸出几根才敢保证至少有两根筷子是同色的？为什么？至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子，为什么？

11、证明：在任意的37人中，至少有四人的属相相同。

12、某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，试问小书架上至少要有多少本书，才能保证至少有一个同学能借到两本或两本以上的书。

13、在从1开始的10个奇数中任取6个，一定有两个数的和是20。

14、从1，3，5，7，……，37，39这20个奇数中任取出14个。证明：其中至少有两个数一个是另一个的倍数。

15、在任意的10个人中，至少有两个人，他们在这10个人中认识的人数相等。

16、从1，4，7……，37，40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有两个数的和是41。

17、证明：在自然数1至100中任取21个数，其中一定有两个数的差（大数减小数）小于5.

18、有四个运动员练习投球，一共投进了30个球，一定有一个运动员至少投进多少个球？

19、一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？

20、盒子里有同样大小的红球、黄球、蓝球和白球各12个，要想摸出的球一定有2个是同色的，至少要摸出多少个球？要想摸出的球一定有两对同色的球，至少要摸出多少个球？