曲线坐标计算(

曲线坐标计算

一、圆曲线

圆曲线要素：α---------------曲线转向角

R---------------曲线半径

根据α及R可以求出以下要素：

T----------------切线长

L----------------曲线长

E----------------外矢距

q----------------切曲差（两切线长与曲线全长之差）

各要素的计算公式为：

2

α

tg

R T ?=

??=180π

α

R L (弧长)

)

12(sec -=α

R E （sec α=cos α的倒数）

圆曲线主点里程：ZY=J D －T

QZ=ZY ＋L ／2 或 QZ=JD －q /2 YZ=QZ ＋L ／2 或 YZ=JD ＋T －q JD=QZ ＋q ／2（校核用）

1、基本知识

◆里程：由线路起点算起，沿线路中线到该中线桩的距离。

◆表示方法：DK26＋284.56。

“+”号前为公里数，即26km，“+”后为米数，即284.56m。

CK ——表示初测导线的里程。

DK ——表示定测中线的里程。

Ｋ——表示竣工后的连续里程。

铁路和公路计算方法略有不同。

2、曲线点坐标计算（偏角法或弦切角法）

已知条件：起点、终点及各交点的坐标。

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1）计算ZY 、YZ 点坐标 通用公式：

2）计算曲线点坐标 ① 计算坐标方位角 i 点为曲线上任意一点。 li 为 i 点与ZY 点里程之差。

弧长所对的圆心角

弦切角

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弦的方位角

当曲线左转时用“-”，右转时用“+”。

②计算弦长

③计算曲线点坐标

此时的已知数据为：

ZY（x ZY，y ZY）、αZY- i、C。

根据坐标正算原理：

切线支距法这种方法是以曲线起点ZY或终点YZ为坐标原点，以切线为X轴，以过原点的半径为Y轴，则圆曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得：

π

?

?

?

?

?

=

-

=

=

180

,

)

cos

1(

sin

R

l

R

y

R

x

式中

利用坐标平移和旋转，该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得：

式中：α为ZY(YZ)点沿线路前进方向的切线方位角。当起点为ZY 时，“±”取“＋”，X0=X(ZY), Y0=Y(ZY), 曲线为左偏时应以y i=-y i代入；当起点为YZ时，“±”取“-”，X0=X(YZ), Y0=Y(YZ), 曲线为左偏时应以y i=-y i代入；

注：1、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半

2、切线性质圆的切线与过切点的半径相垂直

3、弦切角定理弦切角等于它所夹弧上的圆周角

4、弧长公式

由L/πR=n°/180°得L=n°πR/ 180°=nπR/180

二、缓和曲线（回旋线）

缓和曲线主要有以下几类：

A：对称完整缓和曲线（基本形）------切线长、ls1与ls2都相等。B: 非对称完整缓和曲线---------------切线长、ls1与ls2都不相等C: 非完整缓和曲线（卵形曲线）----连接两个同向、半径不等的圆的缓和段所组成的卵形曲线

D: 回头曲线------------回头曲线是一种半径小、转弯急、线型标准低的曲线形式，其转角接近、等于或大于180度。

1、基本形缓和曲线

基本公式：

ρ=A2/l A=√Rls

ρ为缓和曲线上任意点的曲率半径A为回旋线参数

l为缓和曲线上任意点到起点（ZH）的距离（弧长）

ls为缓和曲线的全长

切线角公式：

缓和曲线直角坐标

任意一点P 处取一微分弧段ds ，其所对应的中心角为 d β x dx=dscos β x

dy=dssin β x

缓和曲线常数

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主曲线的内移值 p 及切线增长值 q 内移值： p=Y s -R(1-cosβs )=l s 2/24R 切线增长值： q=X s -Rsinβs =l s /2-ls 3/240R 2

2

3

2

240224R

l l q R

l

p s

s s

-==

缓和曲线的总偏角及总弦长 总偏角： βs =l s /2R ? 180／Π 总弦长： C s =l s -l s 3/90R 2 缓和曲线要素计算 切线长

外距

曲线长

圆曲线长

切线差

平曲线五个基本桩号：

ZH ——HY ——QZ ——YH ——HZ

缓和曲线主点里程：

ZH=JD-T HY=ZH+Ls YH=HY+Ly HZ=YH+Ls

QZ=ZH+L总/2=HZ-L总/2 JD=QZ+q/2（校核）

缓和曲线上任意点坐标计算

切线支距法：以缓和曲线起点ZH(HZ)点为坐标原点，起点的切线为x轴，过原点的垂直于切线的垂线为y轴建立坐标系，则缓和曲线上

任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得：

利用坐标平移和旋转，该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得：

式中：α为ZH(HZ)点沿线路前进方向的切线方位角。当起点为ZH 时，“±”取“＋”，X0=X(ZH), Y0=Y(ZH), 曲线为左偏时应以y i=-y i代入；当起点为HZ时，“±”取“-”，X0=X(HZ), Y0=Y(HZ), 曲线为左偏时应以y i=-y i代入；

曲线上任意点的方位角

α(i)=α（ZH或HZ）±ββ为切线角±为右转“﹢”左转“﹣”

当点位于圆曲线上，有：

其中，，为点到坐标原点的曲线长。

2、非对称完整缓和曲线

由于受特殊地形和地物条件限制采用对称缓和曲线型平曲线难以与地形条件相结合，于是引入非对称缓和曲线型平曲线。非对称缓和曲线在计算时较困难，不能简单套用对称缓和曲线的公式。以下阐述非对称缓和曲线几何要素和任意点坐标及方位角的计算原理。（1）计算原理

如图1所示，平曲线由非对称缓和曲线Ls1、Ls2及半径R的圆曲线组成，JD为平曲线切线交点，转角α。由于平曲线两端的缓和曲线不等长，因此在计算平曲线各要素时就不能简单套用等长缓和曲线的计算公式。

平曲线各要素计算：

注：第一式最后一项应+q1

根据交点坐标和切线长计算缓和曲线起点（ZH或HZ）坐标：

X(ZH)=X(JD)+T1×COSα

Y(ZH)=Y(JD)+T1×Sinαα为JD～ZH方位角

X(HZ)=X(JD)+ T2×COSα

Y(ZH)=Y(JD)+T2×Sinαα为JD～HZ方位角

曲线上任意点坐标按基本型缓和曲线的切线支距法和坐标变换、旋转来计算求出。

3、非完整缓和曲线（卵形曲线）

卵形曲线是指在两个同向、半径不等的圆曲线间插入一段不完整的缓和曲线，即卵形曲线是缓和曲线的一段，在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段。

首先需要计算出实际并不存在只是在计算过程中起辅助作用的完整缓和曲线段的起点即ZH或HZ点桩号、坐标和切线方位角。这样卵形曲线段的计算就转化为完整缓和曲线段的计算。

（1）卵形曲线参数

式中：R大，R小为卵形曲线相连的两圆曲线半径，为非完整缓和曲线段即卵形曲线段长度。

（2）与相对应的完整缓和曲线的长度为

（3）卵形曲线的起点Q（接大半径圆的点）至假设存在的完整缓和

曲线起点ZH或HZ点的弧长为

或=－

（4）与对应的弦长为

又因为

βQ-------切线角ΔQ-------切点Q至假设起点ZH(HZ)的弦切角故可得，Q点至ZH点的方位角

ZH点的切线方位角

Q点至HZ点的方位角

HZ点的切线方位角

求得卵形曲线起点Q 至ZH(HZ)的弦长和方位角后，则

ZH(HZ)点的坐标为

求出假设的ZH(HZ)点的坐标后，就可以根据基本形缓和曲线的计算方法来计算曲线上任意点的坐标。

上面的公式（3）到（11）是以不完整缓和曲线的起点Q （接大圆点）来计算假设的完整缓和曲线起点ZH(HZ)的坐标。也可以以接小圆的缓和曲线终点YH(HY)来计算起点ZH(HZ)坐标。如下：

① 与

相对应的完整缓和曲线的长度

为

② 与对应的

的弦长为

总弦长： C s = l s -l s 5/90R 2 l s 2= l s -l s 3/90R 2

③ 接小圆的YH(HY)点的切线角

总偏角： βs =l s /2R ? 180／Π

④ 接小圆的YH(HY)点到假设起点ZH(HZ)的弦切角

R

l b s 3200=

=δ

⑤ 设接小圆的YH(HY)点为Z ，则Z 点至ZH 点的方位角

α（Z-ZH ）=α(Z)＋180±R

l b s

3200=

=δ

⑥ ZH 点的切线方位角

α（ZH ）=α(Z)±β(Z)

⑦ Z 点至HZ 点的方位角

α（Z-HZ ）=α(Z)±R

l b s

3200==δ

⑧ HZ 点的切线方位角

α（HZ ）=α(Z)±β(Z)

⑨ ZH(HZ)点的坐标为 (设接小圆的YH(HY)点为Z)

X(ZH 或HZ)=X(Z)+ C s cos αZ-ZH(HZ)

Y(ZH 或HZ)=Y(Z)+ C s Sin αZ-ZH(HZ) C s 为弦长