竞赛中的三角函数(讲义)
商南县高级中学2019届高一数学奥赛讲义： 竞赛中的三角函数
2019年4月14日 班级 姓名
一、例题讲解：
例1.已知圆222k y x =+至少覆盖函数k x
x f πsin 3)(= 的一个最大值点与一个最小值点，求
实数k 的取值范围？
例2.求函数x x x f cos sin )(+=的周期，并予以证明。
例3. 求值：??-?+?80sin 40sin 50cos 10cos 22
例4.已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,求S=tan(x+y+z)+tanxtanytanz 的值
二、真题演练：
1、（2000一试2）设sin α＞0,cos α＜0,且sin 3α＞cos 3α,则3
α的取值范围是( ) A ．(2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z B ．(32πk +6π,32πk +3
π),k ∈Z C ．(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z D ．(2k π+4π,2k π+3π) (2k π+6
5π,2k π+π),k ∈Z
2、（2001一试3）在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃO ｔｘ｜、ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数是（ ）． Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜ Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜
Ｃ．ｙ＝｜ｃO ｔｘ｜ Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜
3、（2003一试4）若x∈[－5π12 ，－π3]，则y=tan(x+2π3)－tan(x+π6)+cos(x+π6
)的最大值是（ ） A ．
125 2 B ． 116 2 C ． 116 3 D ． 125
3
4、（2004一试1）设锐角θ使关于x 的方程x2+4xcos θ+cot θ=0有重根，则θ为 ( )
A ．π6
B ．π12或5π12
C ．π6或5π12
D ．π12
5、（2000一试7）arcsin(sin2000?)=__________.
6、（2002一试12）不等式sin 2x+acosx+a 2≥1+cosx 对一切x∈R 恒成立的负数a 的取值范围？
7、（2006一试7）设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域？
8、（2011一试4）如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围？
9、（2011一试9）已知函数0,,2
132cos 21sin )(≠∈+-+-=a R a a a x x a x f （１）若对任意R x ∈，都有0)(≤x f ，求a 的取值范围；
（２）若2≥a ，且存在R x ∈，使得0)(≤x f ，求a 的取值范围．
三、作业巩固：
1．求函数)23sin(2x y -=π的单调递增区间
2．已知)cos()sin(3)(θθ-++=x x x f 是偶函数，πθ<<0，求θ
3．已知)cos(sin )(t x x x f ++=为偶函数，且t 满足不等式t 2-3t-4<0，求t 值
4.（2008一试8）设)cos 1(22cos )(x a x x f +-=的最小值为21-，则=a ？
九年级三角函数竞赛题(含答案)
锐角三角函数 古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式． 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=α αsin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1． 【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 2 1sin 21sin 21==； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值． 思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．
新编高中数学竞赛用三角函数公式大全
三角函数公式汇总 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．． 一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：αααcos sin tan = 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。 三、诱导公式 ⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．． 锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵απ +2、απ -2、απ+23、απ-2 3的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．． 锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限） 四、和角公式和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (?+?=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=- 五、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α αα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-
高中数学竞赛讲义_三角函数
三角函数 一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正 弦函数s in α= r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=α sec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ?? ? ??-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。单调区间：在区间 ?? ????+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间??????++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2 π时, y 取最小值-1。对称性：直线x =k π+2 π均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x =k π均为其对称轴，点?? ? ?? +0,2ππk 均为其对称中心。有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+ 2π)在开区间(k π-2π, k π+2π)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2π ，0）均为其对称中心。 定理6 两角和与差的基本关系式：co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β,s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β; tan (α±β)= .) tan tan 1()tan (tan βαβα ±
全国高中数学竞赛专题三角函数
全国高中数学竞赛专题三 角函数 This manuscript was revised on November 28, 2020
三角恒等式与三角不等式 一、基础知识 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。 若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负 角，若不旋转则为零角。 定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴 重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到 原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α =x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=α csc 1 ，co s α =α sec 1； 商数关系：tan α=α α αααsin cos cot ,cos sin = ； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α =co s α； 平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ?? ? ??-απ2=cot α （奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。 单调区间：在区间????? ? +-22,22ππππk k 上为增函数，在区间 ?? ????++ππππ232,22k k 上为减函数， 最小正周期：2π. 奇偶性：奇函数
初中数学竞赛：三角函数
初中数学竞赛：三角函数 直角三角形中有两条直角边和一条斜边，从这三条边中适当取两条边可以得到不同的比，这些比值的大小显然只与直角三角形中锐角的大小有关，这佯便定义了直角三角形中锐角的三角函数(如图3－14)，常用的有： 利用比例的变形并且结合勾股定理，可以从三角函数定义中推出同角三角函数间的关系式： (1)倒数关系 tgα·ctgα=1； (2)商的关系 (3)平方关系 sin2α+cos2α=1． 这些同角三角函数关系式对任意锐角都成立，它们在求值、化简以及三角式的变形中有着重要的应用． 如图3-15所示，在直角三角形ABC中，∠A与∠B互为余角，根据三角函数定义不难得到互为余角的三角函数之间的关系：
sinB=sin(90°-A)=cosA， cosB=cos(90°-A)=sinA， tgB=tg(90°-A)=ctgA， ctgB=ctg(90°-A)=tgA． 上述四个公式可以概括为：一个锐角的余角的三角函数值，等于该锐角相应的余函数的函数值 由图3－16可以看到，在直角三角形ABC中，如果斜边长度不变，当锐角A增大时，sinA 与tgA的值也随之增大，而cosA与ctgA的值随之减小．特别地，当A=0时，sin0=0，tg0=0，cos0=1，ctg0值不存在；当A=90°时，sin90°=1，tg90°值不存在，cos90°=0，ctg90°=0． 由于一个角的正弦或余弦值等于直角边与斜边的比，而直角三角形的斜边总是大于直角边，所以，当α为锐角时，总有 0＜sinα＜1，0＜cosα＜1． 我们利用以上锐角三角函数的定义及性质，可以解决一些求值、化简以及等式证明等问题． 例1 不查表，求15°的四种三角函数值． 分析 30°，45°，60°这些特殊角的三角函数值，我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出．同样，15°角的三角函数值，也可以利用直角三角形的性质将其推出．
高中数学竞赛 试题之三角函数教师版
高中数学竞赛（07-10年）试题分类汇总——三角、向量 一、选择题 1.（07全国）设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x?c )=1对任意实数x 恒成立，则 a c b cos 的值等于（ ） A. 2 1- B. 21 C. ?1 D. 1 解：令c=π，则对任意的x ∈R ，都有f (x )+f (x?c )=2，于是取2 1 ==b a ，c=π，则对任意的x ∈R ，af (x )+bf (x?c )=1，由此得 1cos -=a c b 。 一般地，由题设可得1)sin(13)(++=?x x f ，1)sin(13)(+-+=- c x c x f ?，其中 2 0π<且b c a +>．即有不等式组
高中数学竞赛试题汇编四 《三角函数》讲义
高中数学竞赛试题汇编四 《三角函数》讲义 1. 化简 2sin 44sin ()tan()44 αππαα=+-（ ） (A) cos2α (B) sin 2α (C) cos α (D) sin α 2. 化简sin12sin 48sin54??= （用数字作答）. 3. sin 7.5cos7.5+= . 4. 22cos 75cos 15cos75cos15++?= . 5. 函数()2sin()cos()(0)36 f x x x ππ ωωω=++->的最小正周期为π，则ω= . 6. 函数2()3sin 22cos ,f x x x a =++在0,2π?????? 上最小值1-，则a = . 7. 若tan tan 2x y =，1sin sin 3 x y =，则x y -= . 8. 设[],0,2x y π∈，且12sin cos sin cos 2 x y x y ++=-，则()max x y += . 9. 在ABC ?中，sin 10sin sin A B C =，cos 10cos cos A B C =，则tan A = . 10. 若sin(20)cos(10)cos(10)x x x +=++- ，则tan x = .
11. 4cos cos 2()y x x x R =+∈的值域是 . 12. 设02x y π<<< ，cos 2cos 24cos 4cos P x y x y =--+的取值范围是 . 13. 在ABC ?中，222ac c b a +=-，最大边的边长为7，sin 2sin C A =，则ABC ?最小边的边长为 . 14. 在ABC ?中，2sin sin cos 2a A B b A a +=，则b a 等于 . 15. 在ABC ?中，22()ABC S a b c ?=--，则tan 2 A = . 16. 在ABC ?中，2sin tan tan ,cos A B C B C += =则 . 17. 在ABC ?中，3cos cos 5a B b A c -=，则tan tan A B = . 18. 锐角,αβ满足()()sin cos sin cos 2ααββ++=，则α= ，β= .
九年级数学竞赛讲座锐角三角函数附答案
【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 13 5，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，B C=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．
注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值． 思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比． 【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=13 12，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC= AC AD =1312，引入参数可设AD=12k ，A C ＝13k ． 【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． (1)求实数p 、q 应满足的条件； (2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦? 思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约
三角函数竞赛辅导
第一讲：三角恒等关系 一、引入： 三角恒等式的变形方法和技巧，包括三角恒等式的证明，条件恒等式的证明、化简、求值问题等. （一）、解题中关注的三大变化，这是打开解决问题之门的钥匙： ⑴角的变化；⑵结构的变化；⑶三角函数名称的变化. （二）、引例：求证： ()()sin 2sin 2cos sin sin αββ αβαα +-+= 分析：从“角”看：出现四种角：2,,,αβαβαβ++， 一种比较好的联系方式是：()()2,αβαβαβαβα+=++=+-，形式比较对称； 从“结构”看：通分应该是明智的选择； 从“名称”看为正弦、余弦形式，比较基本，证明方法可以综合法或分析法 证明：()()()()()()sin 2sin 22sin cos 2cos sin sin sin s cos sin sin sin sin co αβαβααβαβααααβααββαα ++-+-+= +-+== （三）、复习各种三角恒等关系式： 1、同角三角函数间的基本关系： ⑴ 倒数关系： ①sin csc 1θθ?=；②cos sec 1θθ?=；③ tan cot 1θθ?= ⑵ 商数关系： ①sin tan cos θθθ= ；②cos cot sin θθθ = ⑶ 平方关系： ①2 2sin cos 1θθ+=；②22tan 1sec θθ+=；③221cot csc θθ+= ⑷ “θθcos sin +”,“,cos sin θθ-”“θθcos sin ?”的关系 ①θθθθcos sin 21)cos (sin 2 +=+ ； ②θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- ③2)cos (sin )cos (sin 2 2 =-++θθθθ 2、诱导公式： ()2 k k Z παα+∈与关系：
竞赛三角函数训练题
三角函数竞赛训练题 1.（2011湖北联赛）已知R α∈，如果集合{sin ,cos 2}{cos ,sin 2}αααα=，则所有符合要求的角α构成的集合为 ． 2.（2011湖北联赛）满足方程2 8sin()160x x xy ++=（R,[0,2)x y π∈∈）的实数对(,)x y 的个数为 ． 3.设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意R x ∈和θ ∈[0, π 2 ], 2||≥+βα恒成立. 则实数a 的取值范围是 ． 4.（2005全国联赛）设α、β、γ满足πγβα20<<<<，若对于任意 ++++∈)cos()cos(,βαx x R x ,0)cos(=+γx 则=-αγ ． 5.（2007一试4）已知函数)45 41(2)cos()sin()(≤≤+-=x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为 ． 6.（2008一试）设ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C A B C B ++的 取值范围是 ． 7.设111 sin cos tan tan sin cos y x x x x x x =+++ ++ ，则||y 的最小值为 ． 8.（2007年全国联赛）函数()3sin 2cos 1f x x x =++，若实数,,a b c 使得af(x)+bf(x ?c)=1对任意实数x 恒成立，则a c b cos 的值等于 ． 9.设,0πα<<,2πβπ<<若对任意的R x ∈，等式 )sin()cos(βα+++x x +0cos 2=x 恒成立，试求α、β的值。 10.已知当x ∈[0，1]时，不等式x 2cos θ－x (1－x )+(1－x ) 2 sin θ>0恒成立，试求θ的取值范围。 11.（2010北大自主招生）存不存在02 x π <<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．
全国高中数学竞赛专题三角函数
三角恒等式与三角不等式 一、基础知识 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。 若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。 定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|= r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取 一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x , 正切函数tan α= x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1 ； 商数关系：tan α=α α αααsin cos cot ,cos sin = ； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α； 平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ??? ??-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。 单调区间：在区间?? ? ?? ?+ - 22,2 2πππ πk k 上为增函数，在区间?? ? ?? ?++ πππ π232,22k k 上为减函数， 最小正周期：2π. 奇偶性：奇函数 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2 π 时, y 取最小值-1，值域为[-1，1]。 对称性：直线x =k π+ 2 π 均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。 单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。 最小正周期：2π。 奇偶性：偶函数。 有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。 对称性：直线x =k π均为其对称轴，点?? ? ? ?+ 0,2π πk 均为其对称中心。这里k ∈Z . 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+ 2π)在开区间(k π-2π, k π+2 π )上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2 π ，0）均为其对称中心。 定理6 两角和与差的基本关系式：co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β, s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β; tan (α±β)= .) tan tan 1() tan (tan βαβα ± 两角和与差的变式：2222 sin sin cos cos sin()sin()αββααβαβ-=-=+- 2222 cos sin cos sin cos()cos()αββααβαβ-=-=+-
初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-锐角三角函数
初中数学竞赛辅导讲义---锐角三角函数 古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式． 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tg α= ααcos sin ，ctg α=α α sin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1． 【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝13 5 ，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=13 5 =AC CD ，tanB= 2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 2 1 sin 21sin 2 1==； （2） R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△AB C 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．
全国【高中】数学竞赛专题-三角函数
全国【高中】数学竞赛专题-三角函数 2020-12-12 【关键字】思路、方法、条件、问题、矛盾、快速、保持、关键、基础、需求、关系、分析、逐步、满足、方向、中心、外心、内心 一、基础知识 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。 若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。 定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|= r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取 一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x , 正切函数tan α= x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1 ； 商数关系：tan α=α α αααsin cos cot ,cos sin = ； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α； 平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ??? ??-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。 单调区间：在区间?? ? ?? ?+ - 22,2 2πππ πk k 上为增函数，在区间?? ? ?? ?++ πππ π232,22k k 上为减函数， 最小正周期：2π. 奇偶性：奇函数 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2 π 时, y 取最小值-1，值域为[-1，1]。 对称性：直线x =k π+ 2 π 均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。 单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。 最小正周期：2π。 奇偶性：偶函数。 有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。 对称性：直线x =k π均为其对称轴，点?? ? ? ?+ 0,2π πk 均为其对称中心。这里k ∈Z . 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+ 2π)在开区间(k π-2π, k π+2 π )上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2 π ，0）均为其对称中心。
数学竞赛三角函数
三角函数 几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小.三角函数的本质就是用线段长度之比来表示角的大小，从而将两个基本量联系在一起，使我们可以借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问题.三角函数不仅是一门有趣的学问，而且是解决几何问题的有力工具. 1．角函数的计算和证明问题 在解三角函数问题之前，除了熟知初三教材中的有关知识外，还应该掌握： （1）三角函数的单调性当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大；cosa与ctga 随a的值增大而减小；当a为钝角时，利用诱导公式转化为锐角三角函数讨论. 注意到sin45°=cos45°=,由(1)可知,当时0＜a＜45°时,cosa＞sina;当45°＜a＜90°时,cosa＜sina. (2)三角函数的有界性|sina|≤1,|cosa|≤1,tga、ctga可取任意实数值（这一点可直接利用三角函数定义导出）. 例1（1986年全国初中数学竞赛备用题）在△ABC中，如果等式sinA+cosA=成立，那么角A是（） （A）锐角（B）钝角（C）直角 分析对A分类，结合sinA和cosA的单调性用枚举法讨论. 解当A=90°时，sinA和cosA=1； 当45°＜A＜90°时sinA＞，cosA＞0， ∴sinA+cosA＞ 当A=45°时，sinA+cosA=
当0＜A＜45°时，sinA＞0,cosA＞ ∴sinA+cosA＞ ∵1, 都大于. ∴淘汰（A）、（C），选（B）. 例2（1982年上海初中数学竞赛题）ctg67°30′的值是（） （A）-1 （B）2-（C）-1 （D）（E） 分析构造一个有一锐角恰为67°30′的Rt△，再用余切定义求之. 解如图36-1，作等腰Rt△ABC，设∠B=90°，AB=BC=1.延长BA到D使AD=AC，连DC，则AD=AC=，∠D=22.5°,∠DCB=67.5°.这时， ctg67°30′=ctg∠DCB= ∴选(A).
竞赛中的三角函数(讲义)
商南县高级中学2019届高一数学奥赛讲义： 竞赛中的三角函数 2019年4月14日 班级 姓名 一、例题讲解： 例1.已知圆222k y x =+至少覆盖函数k x x f πsin 3)(= 的一个最大值点与一个最小值点，求 实数k 的取值范围？ 例2.求函数x x x f cos sin )(+=的周期，并予以证明。 例3. 求值：??-?+?80sin 40sin 50cos 10cos 22 例4.已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,求S=tan(x+y+z)+tanxtanytanz 的值
二、真题演练： 1、（2000一试2）设sin α＞0,cos α＜0,且sin 3α＞cos 3α,则3 α的取值范围是( ) A ．(2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z B ．(32πk +6π,32πk +3 π),k ∈Z C ．(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z D ．(2k π+4π,2k π+3π) (2k π+6 5π,2k π+π),k ∈Z 2、（2001一试3）在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃO ｔｘ｜、ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数是（ ）． Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜ Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜ Ｃ．ｙ＝｜ｃO ｔｘ｜ Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜ 3、（2003一试4）若x∈[－5π12 ，－π3]，则y=tan(x+2π3)－tan(x+π6)+cos(x+π6 )的最大值是（ ） A ． 125 2 B ． 116 2 C ． 116 3 D ． 125 3 4、（2004一试1）设锐角θ使关于x 的方程x2+4xcos θ+cot θ=0有重根，则θ为 ( ) A ．π6 B ．π12或5π12 C ．π6或5π12 D ．π12
竞赛中的三角函数例题选讲
竞赛中的三角函数例题选讲 【内容综述】 一．三角函数的性质 1．正，余弦函数的有界性 对任意角， ， 2．奇偶性与图象的对称性 正弦函数，正切函数和余切函数都是奇函数，它们的图象关于原点对称，并且y=sinx 的图象还关于直线 对称：余弦函数是偶函数，从而y=cosx 的图象关于y 轴对称，并且其图象还关于直线 对称 3．单调性 y=sinx 在上单调递增，在 上单调递减：y=cosx 在上单调递增，在 上单调递减；y=tanx 在 上都是单调递增的；y=cotx 在 上都是单调递减的。 4．周期性 y=sinx 与y=cosx 的最小正周期是2π，y=tanx 与y=cosxr 的最小正周期是π。 【例题分析】 例1 已知圆222k y x =+至少覆盖函数的一个最大值点与一个最小 值点，求实数k 的取值范围。 解 因为 是一个奇函数，其图象关于原点对称，而圆222k y x =+也关 于原点对称，所以，图222k y x =+只需覆盖的一个最值点即可。 令 ，可解得 的图象上距原点最近的一个最大值点 ，依题意， 此点到原点的距离不超过|k|，即 综上可知，所求的K 为满足的一切实数。 例2 已知 ，且
求 cos(x+2y)的值。 解原方程组可化为 因为所以令，则在 上是单调递增的，于是由 得 f(x)=f(-2y) 得 x=-2y 即 x+2y=0 例3 求出（并予以证明）函数 解首先，对任意，均有 这表明，是函数f(x)的一个周期 其次，设，T是f(x)的一个周期，则对任意，均有 在上式中，令x=0，则有 。 两边平方，可知 即sin2T=0，这表明，矛盾。 综上可知，函数的最小正周期为。 例3 求证：在区间内存在唯一的两个数，使得 sin(cosc)=c, cos(sind)=d 证，构造函数 f(x)=cos(sinx)-x f(x)在区间内是单调递减的，由于 f(0)=cos(sin0)-0=1>0. 故存在唯一的，使f(d)=0，即 cos(sind)=d
人教版初中数学《三角函数》竞赛专题精讲与训练
第7章三角函数 §7．1锐角三角函数 7．1．1★比较下列各组三角函数值的大小： （1）sin19?与cos70?； （2）cot65?与cos40?； （3）cos1?，tan46?，sin88?和cot38?． 解析（1）利用互余角的三角函数关系式，将cos70?化sin20?，再与sin19?比大小． 因为() cos70cos9020sin20 ?=?-?=?，而 sin19sin20 ??>， 所以cot60cos45 ??>?=． 因为() cos1cos9089sin89 ?=?-?=?， 所以sin88sin891 ??>?>?． 评注比较三角函数值的大小，一般分为三种类型： （1）同名的两个锐角三角函数值，可直接利用三角函数值随角变化的规律，通过比较角的大小来确定三角函数值的大小． （2）互为余函数的两锐角三角函数值，可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数，比较其大小． （3）不能化为同名的两个三角函数，可通过与某 些“标准量”比大小，间接判断它们的大小关系，常选择的标准量有：0，1以及其他一些特殊角如30?，45?，60?的三角函数值． 7．1．2 ★化简求值： （1）tan1tan2tan3tan89 ???????? ； （2sin83?； （3） 22 22 tan sin tan sin αα αα ? - ； （4cos79sin79 ?-?；
三角函数竞赛训练
第三讲:三角函数+向量近几年考题专练 高中数学联赛决赛： 试题结构：一试：时间：8:00-9:20 满分：120分； 1-8填空：每个8分共64分；9题16分，10-11各20分；共120分 二试：时间：9:40-12:10 满分：180分，共4个大题40+40+50+50， 不等式+数论+组合数学+平面几何 积化和差公式：（1）sin cos αβ= ；（2）cos sin αβ= ； （3）cos cos αβ= ；（4）sin sin αβ= ； 和差化积公式：（1）sin sin αβ+= ；（2）sin sin αβ-= ； （3）cos cos αβ+= ； （4）cos cos αβ-= ； 3.三倍角公式：33sin33sin 4sin ,cos34cos 3cos αααααα=-=- 考题过手： 一．高校自主招生考试 1.（2016清华5）下列计算正确的是（ ） .A tan1tan 61tan1213tan1tan 61tan121++= .B tan1tan 61tan1213tan1tan 61tan121++=- .C tan1tan 61tan1tan121tan 61tan1213++= .D tan1tan 61tan1tan121tan 61tan1213++=- 解：BD tan 61tan121== ， 28tan1tan 61tan12113tan 1+=- ，22tan 13 tan 61tan12113tan 1 -=- ，由此可证 2.（2016清华）下列能够成唯一ABC ?的是 . A .1a =，2b =，c Z ∈ B .150A = ，sin sin sin sin a A c C C b B += C .cos sin cos cos()cos sin 0A B C B C B C ++= D .a =，1b =，60A = 【解析】A .2c =，正确；B .正弦定理，余弦定理，135B = ，错误； C .cos sin()0A B C -=，60C = ，所以为直角或等边三角形，错误；