(完整版)向量长度计算公式及中点公式

课 题：6.3平面向量的坐标运算--向量长度的计算公式和线段中点的坐标公式

教学目的：（1）理解平面向量长度的计算公式；

（2）掌握线段中点的坐标公式；

教学重点：线段中点的坐标公式

教学难点：公式的理解及应用.

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教学过程：

一、复习引入：

平面向量的坐标运算:若),(11y x a =?，),(22y x b =ρ

，则 b a ?ρ+),(2121y y x x ++=，b a ρρ-),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=ρ 若),(11y x A ，),(22y x B ，则2121(,)AB x x y y =--u u u r .

二、讲解新课：

1.平面向量长度的计算公式的推导：

如图,已知12(,)a xe ye x y =+=r r

v ，则 11xe x e x =?=r r , 1212ye y e y =?=r r ,

由勾股定理得,22

22a x y x y =

+=+v ,

上式即为根据向量a v 的坐标,求向量a 的长度的计算公式,简称向量长度的计算公式. 如果已知11(,)A x y ,),(22y x B ,则有向量22112121(,)(,)(,)AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--u u u r u u u r u u u r

所以,222121()()AB x x y y =-+-u u u r .

上式即为根据向量AB u u u r 的坐标,求向量AB u u u r 的长度的计算公式,也称为向量长度的计算

公式,又称为两点间的距离公式.

2.线段中点的坐标公式的推导：

方法一:设线段AB 的两个端点),(11y x A ,),(22y x B ,线段AB 的中点(,)C x y ,则

1111(,)(,)(,)AC OC OA x y x y x x y y =-=-=--u u u r u u u r u u u r ,

2222(,)(,)(,)CB OB OC x y x y x x y y =-=-=--u u u r u u u r u u u r ,

又C 为线段AB 的中点,因此AC CB =u u u r u u u r ,于是1212x x x x y y y y

-=-??-=-?,得1212,.22x x y y x y ++== 这就是线段AB 的中点C 的坐标计算公式,简称中点公式.

方法二:如图,C 为线段AB 的中点,所以1()2

OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r , 换用坐标表示为121211221(,)=[(,)+(,)]=(,)222

x x y y x y x y x y ++, 即 1212,.22

x x y y x y ++== 三、讲解范例：

例1已知两点(3,5)A -，(1,7)B --，求向量AB u u u r 的长度.

解: (方法一)

AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r Q =(1,7)--(3,5)--=(4,2)--,22(4)(2)2 5.AB ∴=-+-=u u u r (方法二)直接由公式得,22222121()()(13)[7(5)]25AB x x y y =-+-=--+---=u u u r .

例2试证点A(x,y)与B(-x,-y)关于平面直角坐标系Oxy 的原点O 中心对称.

证明:设线段AB 的中点坐标为00(,)x y ,根据中点公式有 00()()0,0.22

x x y y x y +-+-==== 即线段AB 的中点坐标为(0,0),这表明线段AB 的中点是平面直角坐标系Oxy 的原点O,所以点A(x,y)与B(-x,-y)关于平面直角坐标系Oxy 的原点O 中心对称.

例3已知平行四边形ABCD 的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(3,1),求顶点D 的坐标.

解: (方法一) OD OA AD OA BC OA OC OB =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q =(-1,-2)+(3,1)-(3,-1)=(-1,0),

∴D(-1,0).

(方法二) 设D(x,y),则AD u u u r =(x,y)- (-1,-2)=(x+1,y+2), BC uuu r =(3,1)-(3,-1)=(0,2),

∵在平行四边形ABCD 中,AD u u u r =BC uuu r , ∴(x+1,y+2)=(0,2), ∴x+1=0,y+2=2, ∴

x=-1,y=0.

∴D(-1,0). (方法三) 设D(x,y),则AC u u u r 的中点为1321(,)22-+-+,BD u u u r 的中点为31(,)22x y +-+, 133211,2222

x y -++-+-+∴==,∴x=-1,y=0. ∴D(-1,0). 四、课堂练习:

1.已知平行四边形ABCD 的顶点A(-3,0),B(2,-2),C(5,2),求顶点D 的坐标.

2.已知A(-1,1)、B(0,-2)、C(3,0)、D(2,3),求证:四边形ABCD 是平行四边形.

3.求下列各点关于坐标原点的对称点:

A(2,3),B(-3,5),C(-2,-4),D(3,-5).

五、小结:本节课的主要内容是:

1.平面向量长度的计算公式：

若(,)a x y =v ，则a =v

若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB =u u u r 2.线段中点的坐标公式：

若),(11y x A ,),(22y x B ,则线段AB 的中点(,)C x y 的坐标公式为：

1212,.22

x x y y x y ++== 六、课后作业:P155练习6-3 T9-10.

七、板书设计:

八、课后记: