第三章 人寿保险的精算现值

1
则
A 1 =E(Zt ) =v .n px =e .n px
n xn :
−δn
寿险精算
23
5.赔付现值变量的方差 赔付现值变量的方差
Var ( Z ) = E ( Z ) − [ E ( Z )] = E ( Z ) − ( A 1 )
2 2 2 x:n
2
E (Z ) = v .n px = e
x t
∫
0 t T
t
=∫ v t pxµx+tdt
t 0
∞
=∫ e t pxµx+tdt
−δt 0
寿险精算 19
∞
5.赔付现值变量的方差 赔付现值变量的方差
Var ( Z ) = E ( Z ) − [ E ( Z )] = E ( Z ) − ( Ax )
2 2 2
2
E (Z ) =
2
∫
∞ 0
z t2 f T ( t ) d t
= =
2 ∞
∫ ∫
∞ 0 ∞ 0
v 2t t p x µ x+t d t e −2δ t t p x µ x + t d t
记 Ax = ∫ e−2δ t t px µx+t dt ，则 0
Var(Z) = Ax −(Ax )
2
寿险精算
2
20
6.用替换函数表示趸缴纯保费 引入替换函数： 引入替换函数：
寿险精算 5
• 保费净均衡原理的思想很好理解，但在保 险经营过程中要落实这条原理，保险公司 必须要解决以下几个问题： 1.什么时候会发生索赔事件？ 2.发生索赔的概率有多大？ 3.发生的索赔额等于多少？ 4.钱的时间价值如何测量？
寿险精算
6
• 为了解决以上问题，趸缴净保费的厘定给 出了以下三条假设： 假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保 险人的剩余寿命独立同分布 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合 假定三：保险人可以预测将来的投资收益 这三条假定将单个被保险人的风险事故转 化为一个同质总体的风险事故
xn : t
∫
0 t T
t
=∫ v t pxµx+tdt
t 0
n
=∫ e t pxµx+tdt
−δt 0
寿险精算 14
n
5.赔付现值变量的方差 赔付现值变量的方差
Var ( Z ) = E ( Z ) − [ E ( Z )] = E ( Z ) − ( A )
2 2 2 1 x:n
2
E (Z ) =
保险赔付时间与赔付金额的不确定性
人寿保险的赔付金额与赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡是一个随机变量，这就 意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依 赖于被保险人剩余寿命分布
被保障人群的大数性
这就意味着，保险公司可以依靠概率统计原理计算 出平均赔付并可预测将来的风险 寿险精算
3
四、人寿保险精算现值的概念 ——也称为趸缴纯保费，是指在保单生效日 被保险人或投保人一次性缴付的，恰好覆盖 保险人将来赔付风险的费用。 就是投保人或被保险人在保单签发之日一 次性交付的纯保险费。 精算现值＝毛保费－附加保费
b t = { 1 ,t > n
2）按年度实际贴现率复利计息，则 n vt = v ,t ≥ 0 3.赔付现值变量
Z t = bt .vt = {
寿险精算
0,t ≤ n v n ,t > n
22
4.趸缴纯保费的厘定 趸缴纯保费的厘定 记 Ax:n 为n年期生存保险的趸缴纯保费 年定期生存保险情况下， 在n年定期生存保险情况下，赔付事件发生 的概率就等于剩余寿命大于等于n 的概率就等于剩余寿命大于等于n年的概率
1) D x = v x .l x 2 )C x = 3) M
x
∫ v = ∫ D
0 ∞ 0
1
x+t
.l x + t . µ x + t d t = .µ x + t d t
x x
∫
1 0
D x + t .µ x + t d t
x+t
则：
M Ax = D
例P49：4.1.2 ：
寿险精算
21
三、n年期纯生存保险的精算现值 1.定义——什么是纯生存保险 2.基础模型假定条件 1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，保险期 0 ,t ≤ n 限n年，则
vt = {
3.赔付现值变量
v t ,t ≤ n v n ,t > n
Z t = bt .vt = {
寿险精算
v t ,t ≤ n v n ,t > n
26
4.趸缴纯保费的厘定 趸缴纯保费的厘定 记 Ax:n 为即刻赔付n年两全保险的趸缴纯保费 为即刻赔付n 年两全保险是n年定期死亡保险与n n年两全保险是n年定期死亡保险与n年纯生 存保险的组合产品 即：
寿险精算
30
五、延期保险的精算现值
（一）延期m年的终身寿险 1.定义 2.基础模型假定条件 1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，延期m年，则
寿险精算
17
二、终身寿险的精算现值 1.定义——什么是终身寿险 2.基础模型假定条件 1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，则
bt = 1, t ≥ 0
2）按年度实际贴现率复利计息，则 vt = v t ,t ≥ 0 3.赔付现值变量
Z t = bt .vt = v , t ≥ 0保费的厘定 记 Ax 为终身寿险即刻赔付的趸缴纯保费 赔付事故发生等于死亡事故发生， 赔付事故发生等于死亡事故发生，所以赔付 发生的概率就等于剩余寿命的密度函数 ∞ 所以 A =E(Z ) = z f (t)d
1
x+t
.l x + t . µ x + t d t = .µ x + t d t
∫
1 0
D x + t .µ x + t d t
x+t
则：
A
1
x :n
D x+n = Dx
寿险精算 25
四、两全保险的精算现值 1.定义——什么是两全保险 2.基础模型假定条件 1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，保险期 限n年，则 b t = 1 , t ≥ 0 2）按年度实际贴现率复利计息，则
寿险精算 11
主要险种的精算现值（趸缴纯保费）的厘定 1.n年定期保险 2.终身保险 3.生存保险 4.n年期两全保险 5.延期寿险 ——延期m年的终身保险 ——延期m年的n年定期保险 ——延期m年的n年期两全保险
寿险精算 12
一、n年定期保险的精算现值 1.定义——什么是定期保险 2.基础模型假定条件 1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，保险期 1 ,t ≤ n 限n年，则
第三章 人寿保险的精算现值 §3.1 人寿保险精算现值概述
一、什么是人寿保险？ 狭义——是以被保险人在保障期内是否死亡 作为保险事故的一种保险 广义——是以被保险人的生命作为保险事故 的一种保险。它包括以保障期内被保险人死 亡为保险事故的狭义寿险，也包括以保障期 内被保险人生存为保险事故的生存保险和两 全保险 本章主要介绍狭义的人寿保险的精算现值
1 2 x:n
15
6.用替换函数表示趸缴纯保费 引入替换函数： 引入替换函数：
1) D x = v x .l x 2) C x = 3) M x =
1 0 1 0
∫
v
∞
x+t
.l x + t .µ x + t d t =
∫
D x + t .µ x + t d t
∫
0
D x + t .µ x + t d t
2 2n
−2δ n
.n px
记 A
2
1
=e
−2 δ n
. n p x ，则
2 2
x :n
Var(Z) = A 1 −(A 1 )
x:n
寿险精算
x:n
24
6.用替换函数表示趸缴纯保费 引入替换函数： 引入替换函数：
1) D x = v x .l x 2 )C x = 3) M
x
∫ v = ∫ D
0 ∞ 0
2
∫
n 0
z t2 f T ( t ) d t
= =
2 1 x:n n
∫ ∫
n 0 n 0
v 2t t p x µ x+t d t e −2δ t t p x µ x + t d t
记 A = ∫ e−2δ t t px µx+t dt ，则 0
Var(Z) = A −(A )
2 1 x:n
寿险精算
则：
A
1 x :n
Mx−M = Dx
寿险精算
x+n
16
例：P48：4.1.1 ： 课堂练习 某人30岁向一家寿险公司购买 岁向一家寿险公司购买30年定期死亡 某人 岁向一家寿险公司购买 年定期死亡 保险，死亡发生t后立即给付额为 保险，死亡发生 后立即给付额为 e0.05t ，假定 该30岁的被保险人死亡服从lx = 100 − x, 0 ≤ x ≤ 100 岁的被保险人死亡服从 求投保人在30岁签单时 且已知息力 δ = 0.05 ，求投保人在 岁签单时 应缴的趸缴纯保费。 应缴的趸缴纯保费。
寿险精算
4
五、厘定原理——保费净均衡原则 保险人收取的净保费应该恰好等于未来支出 的保险赔付金，即保费收入的期望现值正好 等于将来的保险赔付金的期望现值。它的实 质是在统计意义下的收支平衡，是在大数场 合下，收费期望现值等于支出期望现值 对于保险公司来说，各种类型的保险产品， 无论采用何种缴费方式，在厘定净保费时 都应遵循这条基本原则。