三角板的中的奥秘勾股定理详解
勾股定理比例公式
勾股定理比例公式勾股定理，这可是数学世界里的一位“大明星”呀！它就像一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多几何难题的大门。
咱先来说说啥是勾股定理。
简单来讲，就是在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
用公式表示就是：a² + b² = c²，这里的 a 和 b 是两条直角边，c 就是斜边。
还记得我上学那会，老师为了让我们搞懂勾股定理，可真是费了不少心思。
有一次上课，老师拿着一个大三角板走进教室，然后在黑板上画了一个大大的直角三角形，标上了边的长度。
接着，老师就开始给我们演示怎么用勾股定理来计算斜边的长度。
当时我就觉得这太神奇了，几个数字一摆弄，就能算出斜边的长度。
那勾股定理的比例公式又有啥用呢？用处可大了！比如说，在建筑工地上，工人们要确定一个直角的角度，就可以用勾股定理的比例公式来测量。
还有在设计家具的时候，设计师也能通过这个公式来计算一些关键的尺寸，保证家具既美观又实用。
再比如说，我们在日常生活中想要知道两棵树之间的距离，假如我们能测量出一些相关的直角边长度，就能利用勾股定理算出斜边，也就是两棵树之间的距离啦。
而且啊，勾股定理比例公式还能帮助我们解决很多数学难题。
像是有些几何图形的计算，或者是在数学竞赛中，它都是一个很重要的解题工具。
学习勾股定理比例公式可不能死记硬背，得理解它背后的原理。
比如说，我们可以自己动手画几个直角三角形，然后量一量边的长度，亲自验证一下这个公式。
这样一来，印象就会特别深刻。
还有啊，多做一些相关的练习题也很有帮助。
通过不断地练习，我们能更加熟练地运用这个公式，遇到问题就能迅速找到解决办法。
总之，勾股定理比例公式虽然看起来简单，但它的作用却不容小觑。
它就像我们数学学习道路上的一个好伙伴，陪伴着我们解决一个又一个的难题。
回想起当初老师拿着三角板在黑板上比划的情景，再看看现在自己对勾股定理比例公式的熟悉和运用，真的是感慨万千。
数学的世界真是奇妙无穷，而勾股定理比例公式就是这奇妙世界里的一颗璀璨明珠，等待着我们不断去探索和发现它更多的奥秘。
勾股定理十种详细证明方法
勾股定理十种详细证明方法嘿，咱今儿个就来聊聊那大名鼎鼎的勾股定理！你可别小瞧它，这可是数学世界里超级重要的一块儿宝藏呢！要说这勾股定理啊，那就是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
就好像一个神奇的魔法公式，能解决好多好多问题。
那它都有哪些详细证明方法呢？咱先来说说第一种方法，拼图法。
就好像我们在玩拼图游戏一样，把几个图形巧妙地拼在一起，就能神奇地证明出勾股定理。
你说妙不妙？第二种呢，是面积法。
通过计算不同图形的面积，然后找到它们之间的关系，从而得出勾股定理。
这就好像是在一个大迷宫里找线索，最后找到了那关键的出口。
还有一种很有意思的方法，叫相似三角形法。
利用相似三角形的性质来证明勾股定理，就像是找到了打开宝藏大门的钥匙。
再说说代数法，把几何问题转化为代数问题，这可真是一种独特的思路，就如同给几何穿上了代数的外衣。
然后是割补法，把一个图形割开或者补全，从中发现勾股定理的奥秘，是不是很神奇呢？还有构造法，就像建筑师一样，巧妙地构造出一些图形来证明勾股定理。
另外，还有反证法，从反面去思考问题，来证明勾股定理的正确性，这可是很需要脑筋急转弯的哦！还有一种方法，是利用三角函数来证明，这就好像给勾股定理加上了一双翅膀，让它能飞得更高更远。
第九种方法是归纳法，通过一系列的例子归纳出勾股定理，就像是从一颗颗珍珠串成了一条美丽的项链。
最后一种呢，是利用向量来证明。
向量可是数学里的一把利剑，用它来证明勾股定理，那可真是威力无穷啊！你想想看，这十种方法，每一种都像是一把独特的钥匙，能打开勾股定理这扇神秘大门。
是不是很厉害？这勾股定理就像是数学王国里的一座坚固城堡，而这十种证明方法就是通往城堡的不同道路。
我们可以沿着这些道路，尽情地探索数学的奥秘，感受数学的魅力。
所以啊，别小看了这小小的勾股定理，它背后可有着大大的智慧呢！咱可得好好学。
三角板的中的奥秘勾股定理详解
常用平方数 ：112=121，132=169， 142=196，152=225，172=289
求长度的常用方法：
1） 逆用面积公式：SΔ=底 x 高÷2；高=2x SΔ÷底；底 =2 x SΔ÷高 2） 等高模型 3） 勾股定理（构造直角三角形）
寻找勾股定理
直角三角形中才有勾股定理 学会寻找直角三角形。最常见做法，作垂线。 注意：勾股定理研究的是直角三角形三条边的平方之间的关系，所 以有时候不知道边的长度，但知道边的平方，一样可以应用勾股定理。
三角板的中的奥秘
解：如左图，过 D 点做 BC 边的高，和 BC 交于 E 点 直角三角形 ABC→ AC2=AB2+BC2→ AC2=122+92→ AC=15 EC=BC-BE=9-4=5 DE=AB=12 直角三角形 DCE→ DC2=DE2+EC 2→ DC2=122+52→ DC=13 ΔADC 周长：AD+DC+AC=4+15+13=32 答：阴影三角形的周长是 32 练一练 图中直角已标出，AC=10，AD= 6 ，BD = 15 ；请求出 BC 的长度 解题思路分析 : 观察发现 BC 为直角三角形 BCD 的斜边，但 CD 长度不知道，因此无法直接计算，继续观察发现 CD 也是直角三角形 ACD 的直 角边，同时知道 AC、AD，可以使用勾股定理计算出 CD，然后再利用勾股定理 计算 BC 解：ΔADC 为直角三角形→ AC2=AD2+DC2 → DC2= AC2-AD2 → DC2= 64→ DC= 8 ΔBDC 为直角三角形→ BC2=BD2+DC2 → BC2= 152+82 → BC2= 289→ BC= 17 答：BC 的长度是 17
探究勾股定理蕴含的秘密
探究勾股定理蕴含的秘密勾股定理是数学中的重要定理之一，被广泛应用于几何学和物理学等领域。
然而，除了其实用性以外，这个定理蕴含了一些深层的秘密。
本文将探究勾股定理所蕴含的三个秘密，以期更深入地了解这一经典定理。
一、几何之美：勾股定理的视觉享受通过勾股定理，我们可以推导出各种美妙的几何关系和性质。
首先，让我们先来感受一下勾股定理的几何之美。
1. 直角三角形的推演勾股定理表达了直角三角形中三条边之间的关系。
假设三角形的两条直角边分别为 a 和 b，斜边为 c。
则根据勾股定理，有：c^2 = a^2 + b^2直角三角形的几何之美在于它的斜边恰好可以表达为两个直角边的平方和的开平方。
这种简洁而优美的表达方式让人赞叹几何学的奇妙。
2. 勾股数的兴趣勾股定理不仅仅局限于直角三角形，还与整数集合之间的关系产生了有趣的联系。
我们将满足勾股定理的三个正整数称为勾股数。
例如，3、4、5就是最小的一组勾股数。
通过勾股定理，我们可以得到无穷多组勾股数。
例如，5、12、13也是一组勾股数。
这种数学的奇迹使得勾股定理蕴含了数学中的宝藏，供我们去探索。
二、数学之美：勾股定理的数学奥秘勾股定理所蕴含的秘密不仅仅是几何学上的，还深藏于数学的奥秘之中。
在这一部分，我们将进一步探究勾股定理的数学之美。
1. 勾股定理的代数证明勾股定理可以通过代数方法进行证明。
例如，我们可以利用平方差公式，将直角三角形的两条直角边的平方和与斜边的平方进行对比，从而证明勾股定理的成立。
这种代数证明方法揭示了勾股定理背后的数学结构和规律，让我们以另一种方式欣赏到数学之美。
2. 勾股定理的数论特性勾股定理还涉及到数论领域的研究。
例如，根据勾股定理，我们可以得知一个奇数的平方必定是奇数，偶数的平方必定是偶数。
这个特性在数论中具有重要影响。
勾股定理的数论特性表明了数学中隐藏的神秘性，引发了人们对数学规律和性质的好奇。
三、哲学之美：勾股定理的深层意义最后，勾股定理所蕴藏的秘密也折射出了哲学上的深层意义。
勾股定理探索三角形形状的奥妙
勾股定理探索三角形形状的奥妙在数学中，勾股定理是最为广为人知的定理之一。
它揭示了直角三角形的边长关系，以及三角形形状的奥妙。
在本文中，我们将探索勾股定理的背后原理，深入理解三角形的特性。
勾股定理最早可追溯到古希腊的毕达哥拉斯学派。
这个定理表明，对于任意一个直角三角形，斜边的平方等于两腰边长度的平方和。
数学表达式如下所示：c² = a² + b²其中，c代表直角三角形的斜边，a和b分别代表三角形的两腰边。
通过勾股定理，我们不仅可以计算直角三角形的边长关系，还可以推导出三角形的一些神奇特性。
首先，勾股定理告诉我们斜边是三角形最大的边，因为它的平方与其他两边的平方的和相等。
这一结论在计算三角形边长时非常有用。
其次，根据勾股定理，我们可以了解到有哪些整数边长的三角形存在。
例如，如果我们知道一个三角形的两边a和b的整数长度值，我们可以通过勾股定理计算出斜边c的长度值。
这样，我们就可以得到直角三角形的整数边长解，例如(3,4,5)、(5,12,13)等。
此外，勾股定理也能帮助我们判断一个三角形是否为直角三角形。
如果一个三角形的三边满足a² + b² = c²，那么我们可以确定这个三角形是一个直角三角形。
这一方法在实际应用中也有着广泛的运用，例如在建筑和测量方面。
除了直角三角形，我们还可以通过勾股定理研究其他类型的三角形形状。
例如，等腰直角三角形是指两条腰边的长度相等，并且与直角边呈直角的三角形。
根据勾股定理，我们可以得知等腰直角三角形的腰边长度与斜边长度的关系，从而计算出三角形的具体边长。
在实际应用中，勾股定理在航海、建筑、导弹轨迹计算等领域都得到了广泛的应用。
例如，航海中的航向推算，就需要利用勾股定理来计算船只的坐标和距离。
此外，建筑中的设计和测量也需要借助勾股定理来保证建筑的平衡和精确度。
总结来说，勾股定理深入研究了三角形形状的奥妙。
通过勾股定理，我们可以计算三角形的边长关系，揭示三角形的特性。
勾股定理简介与证明(3篇)
第1篇一、勾股定理简介勾股定理，又称为毕达哥拉斯定理，是数学中一个重要的几何定理。
它指出，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理不仅在我国古代数学著作《周髀算经》中有记载，而且在古希腊、印度、埃及等地的数学文献中也有所体现。
勾股定理是解决直角三角形问题的基础，也是许多数学领域的重要工具。
二、勾股定理的证明1. 证明方法一：几何证明如图所示，设直角三角形ABC中，∠C为直角，AC、BC分别为直角边，AB为斜边。
作辅助线CD，使得CD⊥AB于点D。
（1）证明AC²+BC²=AB²由于CD⊥AB，∠ACD和∠BCD都是直角。
因此，三角形ACD和三角形BCD都是直角三角形。
根据直角三角形的性质，有：AC² = AD² + CD²BC² = BD² + CD²将上述两个等式相加，得到：AC² + BC² = (AD² + CD²) + (BD² + CD²)AC² + BC² = AD² + BD² + 2CD²由于AD+BD=AB，将AD+BD替换为AB，得到：AC² + BC² = AB² + 2CD²由于CD是AB的一半，即CD=AB/2，代入上式，得到：AC²+ BC² = AB² + 2(AB/2)²AC² + BC² = AB² + AB²AC² + BC² = 2AB²由于2AB²=AB²，因此：AC² + BC² = AB²（2）证明结论根据上述证明，得出勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的几何解释与证明方法
勾股定理的几何解释与证明方法勾股定理是数学中的重要定理之一，也是几何学中常用的理论工具。
它描述了直角三角形中三条边的关系，即直角边的平方和等于斜边的平方。
本文将介绍勾股定理的几何解释和证明方法。
一、勾股定理的几何解释勾股定理的几何解释可以通过图形来直观理解。
我们取一个任意直角三角形，其中直角边分别为a、b，斜边为c。
根据勾股定理，a²+b²=c²。
首先，我们在平面直角坐标系中绘制一个任意直角三角形ABC，其中∠C为直角。
接下来，我们将边a沿着x轴方向延伸，边b沿着y轴方向延伸，并在x轴和y轴上分别标出点D和E。
然后，连接点C和D，连接点C和E，得到直线段CD和CE。
由于三角形ABC是直角三角形，所以∠C为直角，即CD与CE彼此垂直。
进一步观察三角形ADC和三角形BEC，可以发现它们相似，即它们具有相同的形状。
因此，根据相似三角形的性质，我们可以得到以下等式：AD/BD = DC/EC = AC/BC将等式转化为比例：AD/BD = AC/BC进一步整理可得：AD = AC * BD / BC根据平面几何知识，我们可以得知BD = a，BC = c，AC = b。
代入上述等式可得：AD = b * a / c再经过简单的变形，我们可以得到：AD² = (b * a / c)²化简得：AD² = (a² * b²) / c²更进一步，我们可以利用已知信息，即三条边的关系（a² + b² =c²），将其代入上述等式中：AD² = c²因此，我们得到了勾股定理的几何解释。
二、勾股定理的证明方法勾股定理有多种证明方法，其中最著名的一种是毕达哥拉斯定理的证明。
该证明基于对直角三角形面积的观察。
假设我们有一个直角三角形ABC，其中∠C为直角，则三角形ABC的面积可以表示为：S(ABC) = 1/2 * a * b接下来，我们构造一个以斜边c为底，高为a的矩形，记为矩形ACDE。
三角形中的勾股定理及其应用
三角形中的勾股定理及其应用勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中三条边之间的关系。
根据勾股定理，直角三角形中最长的边，即斜边的平方等于两个直角边平方的和。
这一定理被广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域，有助于解决直角三角形相关的问题和计算。
勾股定理的一种简单表述是：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边平方的和。
用数学符号表示为：c² = a² + b²，其中c是斜边的长度，a和b是两个直角边的长度。
勾股定理的应用非常广泛，下面将介绍其中一些常见的应用。
1. 测量直角三角形的边长：当我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度时，可以通过勾股定理计算斜边的长度。
这对于工程测量和建筑设计等领域非常重要。
2. 判断三角形的形状：根据勾股定理，如果一个三角形的三条边满足c² = a² + b²，那么这个三角形就是一个直角三角形。
通过这一定理，我们可以判断任意三条边的长度是否构成直角三角形。
3. 计算角度：勾股定理可以用来计算直角三角形中的角度。
根据a²+ b² = c²，我们可以通过三角函数的逆运算，如正弦、余弦和正切等，求得角度的数值。
4. 解决问题：勾股定理在解决实际问题中有着重要的应用。
例如，在导航和航海中，我们可以利用勾股定理计算两个位置之间的直线距离。
在炮弹轨迹的分析和设计中，勾股定理可以帮助预测炮弹的轨迹和距离。
通过深入理解和应用勾股定理，可以进一步拓展我们对三角形性质的认识，并解决更为复杂的问题。
例如，我们可以探索勾股定理在多边形中的应用，以及勾股定理的扩展形式，如海伦公式等。
除了勾股定理本身，我们还可以讨论一些与之相关的概念和定理，进一步加深对三角形的理解。
例如，我们可以介绍正弦定理和余弦定理，它们可以用来计算非直角三角形中的边长和角度。
总结起来，勾股定理作为数学中一项重要而实用的定理，不仅有助于理解和解决直角三角形相关的问题，还在物理学、工程学和导航等实际应用中发挥着重要作用。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴ ∴.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
直角三角形的勾股定理应用知识点总结
直角三角形的勾股定理应用知识点总结直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
直角三角形的勾股定理是指直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
掌握并灵活运用直角三角形的勾股定理是解决与直角三角形相关问题的基础，下面将对直角三角形的勾股定理的应用知识点进行总结。
一、勾股定理的表达式直角三角形的勾股定理可用如下表达式表示：c² = a² + b²其中，c为斜边的长度，a和b为两条直角边的长度。
二、已知两条直角边求斜边若已知直角三角形中两条直角边的长度a和b，可以利用勾股定理求解斜边的长度c。
具体步骤如下：1. 将已知的两条直角边长度代入勾股定理的表达式：c² = a² + b²；2. 对方程两边开平方，得到：c = √(a² + b²)。
三、已知斜边和一条直角边求另一条直角边若已知直角三角形中斜边的长度c和一条直角边的长度a，可以利用勾股定理求解另一条直角边的长度b。
具体步骤如下：1. 将已知的斜边和直角边的长度代入勾股定理的表达式：c² = a² + b²；2. 移项，得到：b² = c² - a²；3. 对方程两边开平方，得到：b = √(c² - a²)。
四、勾股定理的应用1. 用勾股定理判断三条线段能否构成直角三角形：若三条线段的长度满足勾股定理中的关系，即c² = a² + b²，那么这三条线段可以构成直角三角形，其中斜边的长度为c。
2. 用勾股定理求解测量问题：通过测量直角三角形的两条直角边的长度，可以利用勾股定理求解斜边的长度，从而实现测量目的。
3. 用勾股定理求解问题的推广：勾股定理不仅适用于直角三角形，还可以推广到其他情况，如非直角三角形以及其他几何形状的问题。
在运用时需要根据具体情况进行推广。
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形，如果图中所有的正方形的面积之和为 192 平方厘 米，问最大的正方形的边长是多少厘米？ 解题思路分析: 题目告诉了正方形面积之和，因此只要 知道面积之和与最大正方形的倍数关系，就可以计算了 解：根据毕达哥拉斯树原理有 S5=S4+S3；S6=S2+S1 ；S7=S5+S6 S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7=S6+S5+S5+S6+S7=S7+S7+S7=192 S7=64 cm2 =82 cm2 正方形边长：8cm 答：最大的正方形的边长是 8 厘米？
勾股树
1） 基本模型 S1+S2=S3 2）勾股树：每一圈所有正方形的面积和等于最大正方 形面积。 S15=S14+S13 S14=S9+S10；S13=S11+S12 S12=S1+S2；S11=S3+S4 S10=S5+S6；S9=S7+S8 S15=S14+S13=S9+S10+S11+S12 S15=S7+S8+S6+S5+S3+S4+S1+S2 常见方法 ① 边长的平方进行相加减 ② 表示出直角三角形的三条边。 设未知数，列方程。 对于类似“62 + y2 =（9-y）2 ”方程 36=（9-y）2 - y2 36=（9-y+y）x（9-y-y） 36=9（9-2y） 用到核心公式是平方差或者完全平方展开： a2 –b2 = (a
三角板的中的奥秘
解：如左图，过 D 点做 BC 边的高，和 BC 交于 E 点 直角三角形 ABC→ AC2=AB2+BC2→ AC2=122+92→ AC=15 EC=BC-BE=9-4=5 DE=AB=12 直角三角形 DCE→ DC2=DE2+EC 2→ DC2=122+52→ DC=13 ΔADC 周长：AD+DC+AC=4+15+13=32 答：阴影三角形的周长是 32 练一练 图中直角已标出，AC=10，AD= 6 ，BD = 15 ；请求出 BC 的长度 解题思路分析 : 观察发现 BC 为直角三角形 BCD 的斜边，但 CD 长度不知道，因此无法直接计算，继续观察发现 CD 也是直角三角形 ACD 的直 角边，同时知道 AC、AD，可以使用勾股定理计算出 CD，然后再利用勾股定理 计算 BC 解：ΔADC 为直角三角形→ AC2=AD2+DC2 → DC2= AC2-AD2 → DC2= 64→ DC= 8 ΔBDC 为直角三角形→ BC2=BD2+DC2 → BC2= 152+82 → BC2= 289→ BC= 17 答：BC 的长度是 17
常用平方数 ：112=121，132=169， 142=196，152=225，172=289
求长度的常用方法：
1） 逆用面积公式：SΔ=底 x 高÷2；高=2x SΔ÷底；底 =2 x SΔ÷高 2） 等高模型 3） 勾股定理（构造直角三角形）
寻找勾股定理
直角三角形中才有勾股定理 学会寻找直角三角形。最常见做法，作垂线。 注意：勾股定理研究的是直角三角形三条边的平方之间的关系，所 以有时候不知道边的长度，但知道边的平方，一样可以应用勾股定理。
三角板的中的奥秘 五、巩固
1. 图中的三角形是直角三角形，那么未知边 BC 的长度（5 ） 解题思路分析: 直角三角形，利用勾股定理 BC2=AC2-AB2 BC2=15 2-12 2 →BC=5 2. 图中给出的三角形均是直角三角形，那么未知边 a 的长 度为（ 8 ） 解题思路分析 : 题目告诉直角三角形，首先 联想到勾股定理，发现 a 为ΔADB 的直角 边，如果知道 AB、AD 就可以计算，继续观 察 AB 也是直角三角形 ABC 的直角边，且知 道 AC、BC，可以使用勾股定理计算 AB 2 2 2 2 解：直角ΔABC→AB =AC -BC →AB =262-242 →AB2=（26+24 ）x （26-24 ） AB=10 直角ΔADB→DB 2=AB2-AD2 →DB2=10 2-62 →DB2=（10+6 ）x （10-6） DB=8 3. 科技小组演示自制机器人，如机器人从 A 点向南行走 16 米，再向东行走 12 米，到达 B 点.则 B 点与 A 点的距离是（ 20 ）米 解题思路分析: 为了方便解题，需要先将文字描述转化为图形，在观察计算 解：按照题意有右图：AB2=AC2 + BC2 AB2=16 2 + 122=256+144=400
+ b) x (a-b)
（a-b） =a -2ab+b
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三角板的中的奥秘 三、模块一：勾股定理初识
例 1：（1）图中给出的三角形均是直角三角形，请求出未知边的长度 解题思路分析 : 题目告诉为直角 三角形，并且都知道两边长度， 因此考虑使用勾股定理公式计算 解：第一个直角三角形 ABC：AB2+BC2=AC2 AC2=9+16 → AC=5 第二个直角三角形 ABC：AB2+BC2=AC2 2 2 AB2= AC2- BC2 →AB 2=13 -12 → AB 2=25→ AB=5 第三个直角三角形 ABC：AC2+BC2=AB2 BC2= AB 2- AC2 →BC2=172-152 → BC2=64→ BC=8 （2）一块木板如图所示，已知 AB = 3，BC = 4， DC=13，AD= 12，木板的面积为（24 ） 解题思路分析: 题目木板形状不规则，需要求面积，首先考虑转化为规则图形 求面积，观察发现∠ABC 为直角，考虑将 AC 连接，发现三角形 ABC 为直角三 角形，可以求出它的面积和 AC 的长度，只要能够求出三角形 ADC 的面积，就 可以方便求出木板的面积，题目告诉了 AD、DC，又知道 AC，由于只知道三角 形的三条边，要求面积只能是特殊三角形，因此需要先判断这三条边是否有特 殊关系，然后计算三角形 ADC 的面积 解：连接 AC ΔABC 为直角三角形 → SΔ ABC= AB x BC÷2 =6 AC2 = 32 + 42 →AC = 5 AD2 = 122 =144 CD2 = 132 =169 AD2 +AC 2 = CD2 →ΔADC 为直角三角形→SΔADC= AD x AC÷2 =12x5÷2=30 SΔADC - SΔABC=24 练一练 在直角三角形中，两条直角边分别为 a 和 b，斜边为 c，则： 1）a=6 ，b=8，c = （） 2 ）a=1.5 ，b=2 ，c = （） 3）c=25 ，b=24，a = （） 4）c=61，b=60，a = （） 解题思路分析: 观察发现 1）、2）中 a、b 和 3、4 都有倍数关系，因此考虑到 （3，4，5）这一组勾股数，容易得到 1）中 c=5x2=10；2）中 c=5 ÷2=2.5 观察 3）、4）都知道斜边，因此考虑利用勾股定理来计算 a2=c2-b2 3）a2=252-242=（25-24 ）x（25+24）= 49 →a=7 4）a2=612-602=（61-60 ）x（61+60）= 121 →a=11 例 2：下图是一个直角梯形 ABCD，其中 AD = 4，AB = 12 ； BC = 9， 求阴影三角形的周长。 解题思路分析 : 阴影部分三角形为ΔADC，要求周长需要知道 AD、 AC、DC 的长度，ΔABC 为直角三角形，知道 AB、BC，可以求出 AC，同时观察发现 DC 为一个斜边，因此可以考虑构造直角三角形来计算长 度，因此可以考虑通过 D 点做 BC 边的高
练一练
如图，以直角边为 1 和 2 的直角三角形斜边为直角边再做一 个直角三角形，另一直角边为 3，如 此重复，每次直角边边 长都比上一个长 1，最后做一个正方形，求这个正方形的面 积 解题思路分析: 题目告诉了直角三角形，并且知道直角边，因 此可以考虑使用勾股定理计算斜边，最后发现正方形的边长为直角三角形的一 斜边，然后利用正方形面积公式计算 解：根据勾股定理：（a1）2=12+22 （a2）2=12+22+32 （a3）2=12+22+32+42 （a4）2=12+22+32+42+52 =1+ 4+9+16+25=55 正方形面积：（a4）2=25 答：这个正方形的面积为 25
四、模块二 ：勾股定理的应用
例 3：如图在美丽的平面珊瑚礁图案中，三角形都是直角三角形，四边形都是 正方形，如果图中所有的 正方形的面积之和为 180 平方厘米，问最大的正方形 的边长是多少厘米？ 解题思路分析 : 根据直角三角形勾股定理，发现 S1=S3+S4 S1=S2+S5 → S3+S4=S2+S5 S2=S6+S7；S7=S8+S9；S6=S10+S11 S5=S14+S15;S14=S12+S13;S15=S16+S17 然后根据 S1 到 S17 的总和为 180cm 2，可以计算 S1 的面积 解：S1+S2+S3+…+ S15+S16+S17=180 毕达哥拉斯树知道：S6+S7+S14+S15=S8+S9+S10+S11+S12+S13+S16+S17 S2+S5= S6+S7+S14+S15 S1=S2+S5=S3+S4 S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S14+S15+ S6+S7+S14+S15=180 S1+S1+S1+ S2+S5+ S2+S5=180 S1+S1+S1+S1+S1=180 S1=36=62 答：最大的正方形的边长是 6 厘米