平面向量
平面向量的运算
平面向量的运算在数学中，平面向量是研究平面几何和向量代数的重要概念之一。
平面向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和向量的数量积等。
本文将详细介绍平面向量的运算规则和相关性质。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用字母加上一个带箭头的小写字母来表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。
平面向量可以用坐标表示、顶点表示和分解成基本单位向量表示等多种方式。
1. 坐标表示法：平面向量在坐标系中的表示方法为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
2. 顶点表示法：平面向量也可以用顶点表示法表示，即用向量的起点A和终点B表示向量，如AB→。
3. 分解成基本单位向量表示法：平面向量可以分解成基本单位向量i和j的线性组合，即A→ = a·i+ b·j。
二、平面向量的加法平面向量的加法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→+B→=(a1+b1, a2+b2)。
三、平面向量的减法平面向量的减法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→-B→=(a1-b1, a2-b2)。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法满足以下规则：设有一个向量A→=(a1, a2)和一个实数k，则kA→=(ka1, ka2)。
五、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，表示为A→·B→或(A, B)。
数量积的计算公式如下：A→·B→=|A→|·|B→|·cosθ其中，|A→|和|B→|分别表示向量A→和B→的模长，θ表示向量A→和B→之间的夹角。
根据数量积的计算公式，可以得到一些重要的性质：1. 若A→·B→=0，则向量A→和B→垂直。
2. 若A→·B→>0，则向量A→和B→的夹角为锐角。
3. 若A→·B→<0，则向量A→和B→的夹角为钝角。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。
2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。
3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。
4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。
二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。
- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。
- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。
2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。
- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。
3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。
- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。
- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。
- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。
三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。
2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。
3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。
四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。
平面向量的所有公式
平面向量的所有公式平面向量是数学中一种常见的概念，用于表示平面上的有向线段。
在几何学、物理学以及工程学中都有广泛的应用。
以下是一些与平面向量相关的重要公式：1.向量定义：平面上的向量可以由两个坐标表示，通常用小写字母加箭头表示，如AB→。
向量的起点和终点分别是A和B，表示从A指向B的有向线段。
2.向量的平移：平面向量可以进行平移。
设有向线段AB→，向量CD→是向量AB→平移后的结果，则CD→=AB→。
平移后向量的大小和方向保持不变。
3.向量的负向量：向量AB→的负向量是-AB→，即大小相等但方向相反的向量。
如果向量AB→的坐标表示为(a,b)，则-AB→的坐标表示为(-a,-b)。
4.共线向量：如果两个向量的大小和方向相同或相反，则这两个向量是共线的。
即对于向量AB→和CD→，如果存在实数k，使得AB→=kCD→，则两个向量共线。
5.向量的加法：给定两个向量AB→和CD→，则它们的和为AB→+CD→=(a+c,b+d)，其中a、b、c、d分别是AB→和CD→的坐标。
6.向量的减法：给定两个向量AB→和CD→，则它们的差为AB→-CD→=(a-c,b-d)，其中a、b、c、d分别是AB→和CD→的坐标。
7. 数量乘法：给定一个向量AB→和一个实数k，则k乘以向量AB→为kAB→ = (ka, kb)，其中a、b为向量AB→的坐标。
8.向量的数量积（点积）：给定向量AB→和CD→，它们的数量积为AB→·CD→=a*c+b*d，其中a、b、c、d为相应向量的坐标。
数量积的结果是一个实数。
9. 向量的夹角：给定两个非零向量AB→和CD→，它们的夹角为θ，则夹角的余弦值可以通过数量积计算：cos(θ) = (AB→ · CD→) / (，AB→，，CD→，)，其中，AB→，和，CD→，分别为向量AB→和CD→的长度。
10.向量的叉积（向量积）：给定向量AB→和CD→，它们的叉积为AB→×CD→=(b*d-a*c)k，其中a、b、c、d为相应向量的坐标，k为单位向量。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则平面向量是二维的有方向和大小的量，通常用箭头表示。
在平面上，我们可以进行平面向量的加法、减法、数乘、点乘和叉乘等运算，下面将详细介绍这些运算法则。
1.平面向量的加法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其加法运算为：⃗A+⃗B=⃗C，其中C是由A和B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。
加法满足以下性质：-交换律：⃗A+⃗B=⃗B+⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)+⃗C=⃗A+(⃗B+⃗C)2.平面向量的减法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其减法运算为：⃗A-⃗⃗B=⃗C，其中C是由A的箭头指向B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。
3.平面向量的数乘：设有平面向量A和实数k，表示为⃗A和k，其数乘运算为：k⃗A=⃗B，其中B的大小等于A的大小乘以k，方向与A相同（若k>0），或相反（若k<0）。
数乘满足以下性质：- 结合律：k(l⃗A) = (kl)⃗A-分配律：(k+l)⃗A=k⃗A+l⃗A4.平面向量的点乘（数量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其点乘运算为：⃗A · ⃗B = ABcosθ，其中A和B的夹角θ的余弦值等于点乘结果与两个向量大小的乘积的商。
点乘满足以下性质：-交换律：⃗A·⃗B=⃗B·⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)·⃗C=⃗A·⃗C+⃗B·⃗C-数乘结合律：(k⃗A)·⃗B=k(⃗A·⃗B)特殊情况下：-若⃗A与⃗B垂直，即⃗A·⃗B=0，则称⃗A与⃗B是正交的或垂直的。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B>0，则夹角θ为锐角。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B=0，则夹角θ为直角。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B<0，则夹角θ为钝角。
5.平面向量的叉乘（向量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其叉乘运算为⃗A × ⃗B = nABsinθ⃗n，其中n为垂直于A和B所在平面的单位向量，θ为A和B 的夹角。
平面向量知识点归纳总结图
平面向量知识点归纳总结图一、平面向量的定义1.1 平面向量的概念在平面上任意选定一个起点和一个终点之间的有序对称就称为平面向量，记作。
平面向量可以用有向线段来表示，有向线段的起点就是平面向量的起点，终点就是平面向量的终点。
1.2 平面向量的表示平面向量可以用坐标表示，设平面向量的起点为原点O，终点为点A(x, y)，则平面向量记作。
1.3 平面向量的相等两个平面向量相等指的是它们的模相等，并且方向相同，即两个平面向量相等当且仅当。
二、平面向量的运算2.1 平面向量的加法设和，平面向量+的结果是一个新的平面向量，其起点为向量的起点，终点为向量的终点。
2.2 平面向量的减法设，平面向量-的结果是一个新的平面向量，其起点为向量的起点，终点为向量的终点。
2.3 数乘设，数的积是一个新的平面向量，其长度是向量的倍数，方向与向量相同。
三、平面向量的运算性质3.1 交换律3.2 结合律3.3 分配律四、平面向量的应用4.1 平面向量的线段设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则向量的终点减去起点的坐标差即为该线段的平面向量表示。
4.2 平面向量的位置关系(1) 共线若向量平行，则它们共线。
(2) 垂直若，则它们垂直。
4.3 平面向量的运动学应用若一个物体在平面内的任意两点A、B之间作平移运动，其位矢向量表示。
五、平面向量的数量积5.1 定义设，，则积。
5.2 计算（1）坐标法（2）数量积的几何意义5.3 性质（1）交换律（2）结合律（3）分配律5.4 应用（1）判断共线若，则共线。
（2）判断垂直若，则垂直。
（3）夹角公式若，则夹角α的余弦值是的数量积。
六、平面向量的叉乘6.1 定义设，把数视为数乘6.2 计算6.3 性质6.4 应用七、平面向量的混合积7.1 定义设、，则混合积7.2 计算7.3 性质7.4 应用八、几何向量8.1 平面向量的模8.2 单位向量8.3 平行四边形法则8.4 平面向量的夹角公式8.5 平面向量的坐标表示8.6 平面向量的位置关系总结平面向量是高中数学中的一个重要概念，它不仅有着丰富的几何意义，还具有广泛的物理意义。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则在数学中，平面向量是具有大小和方向的量，常用箭头表示。
平面向量有许多运算法则，包括相加、相减、数量乘法等。
1. 平面向量的表示方法平面向量通常用坐标表示，形式为 (x, y) 或 i*x + j*y，x、y分别表示向量在x轴和y轴上的分量，i和j是单位向量。
2. 平面向量的相加设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
则 A + B 的坐标表示为 (x1 + x2, y1 + y2)。
3. 平面向量的相减设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
则 A - B 的坐标表示为 (x1 - x2, y1 - y2)。
4. 平面向量的数量乘法设有一个平面向量 A，A 的坐标表示为 (x, y)，k 为实数。
则 kA 的坐标表示为 (k*x, k*y)。
5. 平面向量的数量除法设有一个平面向量 A，A 的坐标表示为 (x, y)，k 为非零实数。
则A/k 的坐标表示为 (x/k, y/k)。
6. 平面向量的数量积设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
两个向量的数量积为 A·B = x1*x2 + y1*y2，是一个数量。
7. 平面向量的向量积设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
两个向量的向量积为 A×B = x1*y2 - x2*y1，是一个向量。
8. 平面向量的模长一个平面向量 A 的模长表示为 |A|，计算公式为|A| = √(x^2 + y^2)，其中 x 和 y 分别为向量 A 在 x 轴和 y 轴上的分量。
9. 平面向量的数量积与夹角设有两个非零平面向量 A 和 B，它们之间的夹角θ 满足以下公式：cosθ = (A·B) / (|A|*|B|)。
什么是平面向量
什么是平面向量平面向量是代数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。
平面向量可以用来表示平面上的位移、速度、力等物理量，具有方向和大小两个特征。
一、平面向量的定义平面向量是由两个有序实数组成的有序对，记作AB→，其中A、B 表示平面上的两个点，→表示有向线段。
实数称为平面向量的坐标或分量，可以用来表示向量在坐标轴上的投影。
二、平面向量的表示平面向量可以用坐标轴上的点表示，也可以用向量的坐标表示。
以直角坐标系为例，设A点的坐标为(x1, y1)，B点的坐标为(x2, y2)，那么平面向量AB→的向量坐标为{(x2-x1), (y2-y1)}。
三、平面向量的运算1. 加法：设有平面向量AB→和CD→，则它们的和为AB→ +CD→ = AD→。
即向量的加法满足“三角形法则”。
2. 数乘：设有平面向量AB→，实数k，则kAB→ = BA→。
即向量的数乘改变了向量的方向或长度。
3. 减法：设有平面向量AB→和CD→，则它们的差为AB→ - CD→ = AD→。
即向量的减法可以看作是加法和数乘的结合。
四、平面向量的性质1. 零向量：零向量是长度为0的向量，任何向量与零向量的和等于该向量本身。
2. 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
3. 共线向量：若两个向量在同一直线上，则它们是共线向量。
4. 相等向量：若两个向量的方向和长度相等，则它们是相等向量。
5. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量，可以通过将一个非零向量除以它的模长得到。
五、平面向量的应用平面向量在几何学中被广泛应用，例如求向量的模长、向量的夹角、向量的投影等。
在物理学中，平面向量可用于描述力的大小和方向，在工程学中，平面向量可用于描述力的分解和合成等问题。
总结：平面向量是由两个有序实数组成的有序对，具有方向和大小两个特征。
它可以用坐标轴上的点或向量的坐标来表示。
平面向量的运算包括加法、数乘和减法，满足相应的运算规律。
平面向量知识点讲解
平面向量知识点讲解一、向量的基本概念。
1. 向量的定义。
- 既有大小又有方向的量叫做向量。
例如，物理学中的力、位移等都是向量。
向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
2. 向量的表示。
- 几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的起点和终点分别用大写字母表示，如→AB，其中A为起点，B为终点。
- 字母表示：可以用小写字母→a，→b，→c等表示向量。
3. 向量的模。
- 向量的大小叫做向量的模，记作|→AB|或|→a|。
例如，若→AB表示从点A(1,1)到点B(3,4)的向量，则|→AB|=√((3 - 1)^2+(4 - 1)^2)=√(4 + 9)=√(13)。
4. 零向量。
- 长度为0的向量叫做零向量，记作→0，其方向是任意的。
5. 单位向量。
- 长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
与非零向量→a同方向的单位向量是(→a)/(|→a|)。
二、向量的基本运算。
1. 向量的加法。
- 三角形法则：已知非零向量→a，→b，在平面内任取一点A，作→AB=→a，→BC=→b，则向量→AC=→a+→b。
- 平行四边形法则：已知两个不共线向量→a，→b，作→AB=→a，→AD=→b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则向量→AC=→a+→b。
- 向量加法满足交换律→a+→b=→b+→a和结合律(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
2. 向量的减法。
- 向量→a与→b的差→a-→b=→a+(-→b)，其中-→b是→b的相反向量，其长度与→b相同，方向相反。
求→a-→b可以用三角形法则，即把→a与-→b首尾相接，则→a-→b是由-→b的起点指向→a的终点的向量。
3. 向量的数乘。
- 实数λ与向量→a的乘积是一个向量，记作λ→a。
当λ>0时，λ→a与→a方向相同；当λ < 0时，λ→a与→a方向相反；当λ = 0时，λ→a=→0。
且|λ→a|=|λ||→a|。
平面向量的概念及表示
B1
A2
B2
A3
B3
A4
B4
平行向量也叫共线向量
01
注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上.
C
02
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅地阐述观点。
O
03
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅地阐述观点。
B
04
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅地阐述观点。
A
B
C
D
E
F
7
DC,DB,BD,FE,EF, CB, BC5ຫໍສະໝຸດ FD,EB,BE,EA,AE
2
CF, FA
如图,D、E、F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF是平行四边形，请分别写出： （1）与ED共线的向量； （2）与FE共线的向量； （3）与ED相等的向量； （4）与FE相等的向量。
大小记作:
F
G
练习:1.温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为什么？
2.向量 AB 和 BA 同一个向量吗？为什么？
我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。所以数学中的向量也叫自由向量.
如图：他们都表示同一个向量。
不是，温度只有大小，没有方向。
不是，方向不同
a
a
说明1：
数量有：质量、身高、面积、体积
向量有：重力、速度、加速度
2. 向量如何表示？
A
B
①几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
注: 以A为起点，B为终点的有向线段记为 线段AB的长度记作 （读为模）；
②小写字母表示：
平面向量基本公式大全
平面向量基本公式大全平面向量是数学中的一个重要概念，用于描述两个方向和大小都有所限定的量。
平面向量有很多重要的基本公式，这些公式在数学和物理学中都有广泛的应用。
下面就来介绍一下平面向量的基本公式。
1、平面向量的模长公式平面向量的模长（也叫长度）是平面向量的重要特性之一，表示向量在平面上的长度。
平面向量的模长公式为：AB，=√(某2-某1)2+(y2-y1)2其中，A(某1,y1)和B(某2,y2)表示向量AB的起点和终点坐标。
2、平面向量的加法和减法公式平面向量的加法和减法公式是指两个向量相加或相减的规则。
其公式为：A+B=(A某+B某,Ay+By)A-B=(A某-B某,Ay-By)其中，A、B分别表示两个向量，A某、Ay、B某、By分别表示两个向量在某轴和y轴上的分量。
3、平面向量的数量积公式数量积是向量中另一个重要的特性，用于描述两个向量之间的夹角。
平面向量的数量积公式为：A·B=，A，B，cosθ其中，A、B分别表示两个向量，A，和，B，表示它们的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
4、平面向量的叉积公式叉积也是向量中的一种运算，用于计算两个向量所在平面的法向量，常用于计算力矩和面积等。
平面向量的叉积公式为：A某B=，A，B，sinθ其中，A、B分别表示两个向量，A，和，B，表示它们的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
5、平面向量的坐标表示对于向量AB，在平面直角坐标系中，可以用一个有序数组(某,y)表示其坐标。
例如A(1,2)和B(3,4)，则向量AB可以表示为(2,2)。
6、平面向量的方向角公式平面向量的方向角指向量与正方向某轴之间的夹角，其公式为：θ=tan-1(y/某)其中，某、y分别表示向量的某轴和y轴分量。
7、平面向量的正交公式两个向量如果互相垂直，则称它们是正交的。
平面向量的正交公式为：A·B=0其中，A、B分别表示两个向量，·表示数量积运算。
总之，平面向量的基本公式是理解和应用平面向量的关键。
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辅导讲义——平面向量2例1．．设坐标平面上全部向量的集合为A ，已知由A 到A 的映射f 由f (x )＝x －2(x ·a )·a 确定，其中x ∈A ，a ＝(cos θ，sin θ)，θ∈R. (1)当θ的取值发生变化时，f [f (x )]的结果是否会发生变化？请证明你的结论． (2)若|m |＝5，|n |＝52，f [f (m ＋2n )]与f [f (2m －n )]垂直，求m 与n 的夹角．例2．设a 、b 是不共线的两个非零向量， (1)若OA ＝2a －b ，OB ＝3a ＋b ，OC＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线；(2)若8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，求实数k 的值；(3)设OM ＝ma ，ON ＝nb ，OP＝α a ＋β b ，其中m 、n 、α、β均为实数，m ≠0，n ≠0，若M 、P 、N 三点共线，求证：αm ＋βn ＝1.例3．已知函数g (x )＝12sin(2x ＋2π3)，f (x )＝a cos 2(x ＋π3)＋b ，且函数y ＝f (x )的图象是函数y ＝g (x )的图象按向量a ＝(－π4，12)平移得到的．(1)求实数a 、b 的值； (2)设h (x )＝g (x )－3f (x )，求h (x )的最小值及相应的x .例4．已知向量m ＝(3sin x 4，1)，n ＝(cos x 4，cos 2x 4)．(1)若m ·n ＝1，求cos(2π3－x )的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．作业：1．下列命题中不．正确的是 ( ) A ．a ∥b ⇔|a ·b |＝|a |·|b | B ．|a |＝a 2 C ．a ·b ＝a ·c ⇔b ＝c D ．a ·b ≤|a |·|b |2.有下列四个命题：①(a ·b )2＝a 2·b 2； ②|a ＋b |>|a －b |；③|a ＋b |2＝(a ＋b )2； ④若a ∥b ，则a ·b ＝|a |·|b |.其中真命题的个数是 ( )A.1B.2C.3D.43.设P 1(2，－1)，P 2(0,5)，且P 在P 1P 2的延长线上，使|1p p |＝2|2p p|，则点P 为 ( )A.(－2,11)B.(34，3)C.(23，3) D.(2，－7)4.设i ，j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA ＝4i ＋2j ，OB＝3i ＋4j ，则△OAB 的面积等于 ( ) A.15 B.10 C.7.5 D.55.在△ABC 中，D 为BC 的中点，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则在下列向量中与AD同向的向量是 ( )A.a |a |＋b |b |B.a |a |－b|b | C.a ＋b |a ＋b |D.|a |a ＋|b |b 6.已知向量p ＝(2，x －1)，q ＝(x ，－3)，且p ⊥q ，若由x 的值构成的集合A 满足A ⊇{x |ax ＝2}，则实数a 构成的集合是 ( ) A.{0} B.{23} C.∅ D.{0，23}7．将y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6的图象按向量a ＝⎝⎛⎭⎫－π4，－2平移，则平移后所得图象的解析式为 （ ） A ．y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 3＋π4－2 B ．y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 3－π4＋2 C ．y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 3－π12－2 D ．y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 3＋π12＋2 8．设a ，b 是不共线的两向量，其夹角是θ，若函数f (x )＝(xa ＋b )·(a －xb )(x ∈R)在(0，＋∞)上有最大值，则( )A ．|a |＜|b |，且θ是钝角B ．|a |＜|b |，且θ是锐角C ．|a |＞|b |，且θ是钝角D ．|a |＞|b |，且θ是锐角9．已知A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB在向量CD 上的投影为 ( )A.2105 B ．－2105 C.105 D ．－10510．已知|OA |＝1，|OB |＝3，OA ·OB ＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC ＝mOA ＋n OB (m 、n ∈R)，则mn 等于 ( )A.13B.3C.33D. 3 11．已知向量a 与b 的夹角为120°，若向量c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则|a ||b |＝________.12．已知直角坐标平面内的两个向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)，使平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成c＝λa ＋μb ，则m 的取值范围是________．13．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且a cos B －b cos A ＝35c .则tan Atan B的值为________．14．设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2)，(1)求证a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值；(2)求c 在a 方向上的投影．15．已知|a |＝1，|b |＝2，(1)若a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |；(2)若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角．16．若△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3＜C ＜π2且b a －b ＝sin2Csin A －sin2C.(1)判断△ABC 的形状；(2)若|BA BC + |＝2，求BA ·BC的取值范围．18.已知A (－1,0)，B (0,2)，C (－3,1)，1052==∙，。
(1)求D 点坐标； (2)若D 点在第二象限，用AB ，AD 表AC ； (3)AE ＝(m,2)，若3AB ＋AC 与AE 垂直，求AE坐标.例1．解：(1)∵a ＝(cos θ，sin θ)，∴a ·a ＝1.∴f [f (x )]＝f [x －2(x ·a )·a ]＝x －2(x ·a )·a －2{[x －2(x ·a )·a ]·a }·a ＝x －2(x ·a )·a ＋2(x ·a )·a ＝x ， ∴f [f (x )]的结果不会随θ的变化而变化．(2)由(1)知f [f (m ＋2n )]＝m ＋2n ，f [f (2m －n )]＝2m －n ，∴f [f (m ＋2n )]·f [f (2m －n )]＝(m ＋2n )·(2m －n )＝2m 2＋3m ·n －2n 2＝3m ·n ＋152，由f [f (m ＋2n )]与f [f (2m －n )]垂直得3m ·n ＋152＝0，则m ·n ＝－52＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉，∴cos 〈m ，n 〉＝－1，∴〈m ，n 〉＝π，故m 与n 的夹角为π.例2．解：(1)证明：∵AB ＝(3a ＋b )－(2a －b )＝a ＋2b ，而BC ＝(a －3b )－(3a ＋b )＝－2a －4b ＝－2AB，∴AB 与BC共线，且有公共端点B ， ∴A 、B 、C 三点共线.(2)∵8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，∴存在实数λ，使得(8a ＋kb )＝λ(ka ＋2b )⇒(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0，∵a 与b 不共线， 8082220k k λλλ-=⎧⇒==±⎨-=⎩∴2 4.k λ==±(3)证明：∵M 、P 、N 三点共线，∴存在实数λ，使得MP PN λ=，∴ ，n m OM OM λλλλλ+++=++=111 ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=λλβλα11n m ∴ αm ＋βn ＝1. 例3．解：(1) y ＝12sin(2x ＋2π3＋π2)＋12＝12cos(2x ＋2π3)＋12＝12[2cos 2(x ＋π3)－1]＋12＝cos 2(x ＋π3)，∴a ＝1，b ＝0.(2)f (x )＝cos 2(x ＋π3)， 由(1)知h (x )＝g (x )－3f (x )＝12sin(2x ＋2π3)－3cos 2(x ＋π3)＝12sin(2x ＋2π3)－32cos(2x ＋2π3)－32＝sin(2x ＋2π3－π3)－32＝sin(2x ＋π3)－32. 故而h (x )min ＝－1－32，此时2x ＋π3＝2k π－π2，k ∈Z. 即x ＝k π－5π12(k ∈Z)． 例4．解：(1)m ·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x 4＝sin(x 2＋π6)＋12， ∵m ·n ＝1， ∴sin(x 2＋π6)＝12.cos(x ＋π3)＝1－2sin 2(x 2＋π6)＝12， cos(2π3－x )＝－cos(x ＋π3)＝－12.(2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ， 由正弦定理得，(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，B ＝π3. ∴0＜A ＜2π3.∴π6＜A 2＋π6＜π2，sin(A 2＋π6)∈(12，1)． 又∵f (x )＝sin(x 2＋π6)＋12， ∴f (A )＝sin(A 2＋π6)＋12.故函数f (A )的取值范围是(1，32)．CAADC DADAB 11． 12 12． m ∈R 且m ≠－3 13． 414．解：(1)∵a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a 与b 不共线．又a ·b ＝－1×4＋1×3＝－1，|a |＝2，|b |＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－152＝－210. (2)∵a ·c ＝－1×5＋1×(－2)＝－7， ∴c 在a 方向上的投影为a ·c |a |＝－72＝－72 2.15．解：(1)|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1＋2×1×2×cos π3＋2＝3＋ 2. ∴|a ＋b |＝3＋ 2.(2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0. ∴|a |2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝|a |2. 设a 与b 的夹角为θ. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝|a |2|a ||b |＝11×2＝22. 又0≤θ≤π，∴θ＝π4. 所以向量a 与b 的夹角为π4.16．解：(1)证明：∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b2R，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形．(2)由题意可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0. ∴a ＋b ＝ab . 由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0. ∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)， ∴S ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.17．解：(1)由b a －b ＝sin2Csin A －sin2C及正弦定理得sin B ＝sin2C ，∴B ＝2C ，或B ＋2C ＝π，若B ＝2C ，π3＜C ＜π2，∴23π＜B ＜π，B ＋C ＞π(舍)；∴B ＋2C ＝π，则A ＝C ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)∵BA BC + ＝2，∴a 2＋c 2＋2ac ·cos B ＝4，∴cos B ＝2－a 2a 2(∵a ＝c )，而cos B ＝－cos2C ，π3＜C ＜π2，∴12＜cos B ＜1， ∴1＜a 2＜43， 又BA ·BC ＝ac cos B ＝2－a 2，∴BA ·BC .∈(23，1)． 18．解：(1)设D (x ，y )，AB ＝(1,2)，AD＝(x ＋1，y ). 到求得D 点坐标为(－2,3)或(2,1).(2)∵D 点在第二象限，∴D (－2,3). ∴AD＝(－1,3).∵AC ＝(－2,1)，设AC ＝m AB ＋n AD ， 则(－2,1)＝m (1,2)＋n (－1,3)， ∴2,123.m n m n -=-⎧⎨-==⎩∴11.m n =-⎧⎨=⎩∴AC ＝－AB ＋AD .(3)∵3AB ＋AC ＝3(1,2)＋(－2,1)＝(1,7)， AE ＝(m,2)，∴(3AB ＋AC )·AE＝0.∴m ＋14＝0.∴m ＝－14. ∴AE＝(－14,2).。