幂函数导学案——王英霞
幂函数导学案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
幂函数导学案教学目标：1、掌握幂函数的定义和特点；2、掌握幂函数的图象绘制方法和性质分析；3、体会由特殊到一般的数学研究方法和数学结合的数学思想。
教学重点：从5个具体函数中归纳幂函数性质 教学难点：从幂函数图象中概括性质特征。
教学过程：一、幂函数定义研究1-2132x =y x =y x =y x =y x =y ，，，，问题1：在这5个函数中，有哪些是我们已经学过的函数，有哪些是我们不熟悉的函数？问题2：从自变量、函数值及解析式观察这5个函数，都有什么共同特征？定义：________________________________________________________________ 二、幂函数图象和性质研究问题3：现在我们已经学习了幂函数的定义，我们应该怎么研究幂函数的图象和性质？ 问题4：在高中阶段，我们只研究这5个幂函数的图象和性质，结合我们在前几节所学的知识，我们应该研究它们的图象和哪些性质呢？ 三、课堂探究： 探究任务1：画出1-2132x =y x =y x =y x =y x =y ，，，，的图象和性质，进行小组探究，并展示探究成果。
任务2：使用ggb 画出5个函数的图象。
任务3：观察5个函数图象的精确图象，并完成下表。
y=x 2y x =3x y =21x y =1-=x y定义域 值域 奇偶性 单调性任务4：根据以上归纳，猜想幂函数 ax y = 的一些性质：（1）a>0时 （2）a<0时任务5：观察幂函数)0()0(<=>=a x y a x y aa 和 的动态图象变化，汇总幂函数的性质。
四、探究成果：经过本节课，你有什么收获？。
高中数学《幂函数》导学案
2.3 幂函数教学目标：1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12 的图象，掌握它们的性质3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小． 教学重点：1.掌握幂函数图象并掌握它们的性质2.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小 教学难点：幂函数图象及其性质教学过程；预习教材P77－P78，完成下面问题： 知识点1 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝x －45是幂函数．( )(2)函数y ＝2－x 是幂函数．( )(3)函数y ＝－x 12 是幂函数．( )(1)√ 函数y ＝x －45 符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)× 幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x 不是幂函数；(3)× 幂函数中x α的系数必须为1，所以y ＝－x 12 不是幂函数．知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．【训练1】 若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________．答案 13题型二 幂函数的图象及应用【例2】 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)点(2，2)与点⎝⎛⎭⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，分别有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )． 答案 （1）B(2)解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：①当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； ②当x ＝1时，f (x )＝g (x )； ③当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12 或y ＝x 3)来判断．【训练2】 如图是函数y ＝x m n(m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图象，则( )A ．m ，n 是奇数，且mn <1B ．m 是偶数，n 是奇数，且mn >1C ．m 是偶数，n 是奇数，且mn <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且mn >1答案 C典例迁移题型三 利用幂函数的性质比较大小【例3】 比较下列各组数中两个数的大小：(1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3；(2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1. 解 (1)因为幂函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，所以⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫130.3. (2)因为幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－23<－35，所以⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. 【迁移1】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫13－0.3”，则二者的大小关系如何？解 因为⎝⎛⎭⎫13－0.3＝30.3，而y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25<3，所以⎝⎛⎭⎫250.3<30.3.即⎝⎛⎭⎫250.3<⎝⎛⎭⎫13－0.3. 【迁移2】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝⎛⎭⎫250.3与0.325 ”，则二者的大小关系如何？解 因为y 1＝⎝⎛⎭⎫25x 在(0，＋∞)为上减函数，又0.3<25，所以⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫2525 ，又因为函数y 2＝x 25 在(0，＋∞)上为增函数，且25>0.3，所以⎝⎛⎭⎫2525 >0.325 ，所以⎝⎛⎭⎫250.3>0.325 . 规律方法 比较幂值大小的三种基本方法【训练3】 比较下列各组数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫230.5与⎝⎛⎭⎫350.5；(2)－3.143与－π3； (3)⎝⎛⎭⎫1234 与⎝⎛⎭⎫3412.解 (1)∵y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数且23＞35，∴⎝⎛⎭⎫230.5＞⎝⎛⎭⎫350.5.(2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14＜π， ∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.(3)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x是R 上的减函数，∴⎝⎛⎭⎫1234 ＜⎝⎛⎭⎫1212 . y ＝x 12是[0，＋∞)上的增函数，∴⎝⎛⎭⎫3412 ＞⎝⎛⎭⎫1212 .∴⎝⎛⎭⎫3412 ＞⎝⎛⎭⎫1234 .课堂达标1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝( ) A ．14B ．4C ．22D ． 2答案 C2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．y ＝x 13B ．y ＝x －12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23答案 D3．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案 A4．函数y ＝x 13 的图象是( )答案 B5．比较下列各组数的大小：(1)－8－78 与－⎝⎛⎭⎫1978 ；(2)⎝⎛⎭⎫－23－23 与⎝⎛⎭⎫－π6－23 .解 (1)－8－78 ＝－⎝⎛⎭⎫1878 ，函数y ＝x 78 在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝⎛⎭⎫1878 >⎝⎛⎭⎫1978 .从而－8－78 <－⎝⎛⎭⎫1978 . (2)⎝⎛⎭⎫－23 －23 ＝⎝⎛⎭⎫23－23 ＝⎝⎛⎭⎫46－23 ，⎝⎛⎭⎫－π6－23 ＝⎝⎛⎭⎫π6－23 .因为函数y ＝x －23 在(0，＋∞)上为减函数，又46>π6，所以⎝⎛⎭⎫－23－23 <⎝⎛⎭⎫－π6－23 .7．已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)－m 5<(5－2a )－m5的a 的取值范围．能力提升8．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1,0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞1答案 B9．如图，函数y ＝x 23的图象是( )答案 D10．已知幂函数f (x )＝x 12 ，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值范围是________．答案 (3,5]11．已知a ＝x α，b ＝x a2 ，c ＝x 1a，x ∈(0,1)，α∈(0,1)，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <a <b 12．已知幂函数y ＝f (x )＝x－2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；(2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域．13．(选做题)已知函数f (x )＝x 1-a 3的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，求最小自然数α. 教学反思。
3.3 幂函数 导学案(1)
3.3 幂函数1.理解幂函数的概念，会画幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象; 2.结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质； 3.能应用幂函数性质解决简单问题。
1.教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质；2.教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。
一、幂函数的是概念：一般地，函数 叫做幂函数(power function) ，其中 为自变量， 为常数。
二、幂函数的性质一、探索新知 探究一 幂函数概念 （一）实例观察，引入新课(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克,那么她需要支付P = W 元 ， P 是W 的函数 （y=x ）(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a 2 ， S 是a 的函数（y=x 2）。
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a 3， S 是a 的函数（y=x 3）。
(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长a= 12S 。
a 是S 的函数 。
（y=12x ） (5)如果某人 t s 内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t -1，V 是t 的函数 。
（y=x -1）问题1：以上问题中的函数具有什么共同特征?（二）类比联想，探究新知1.幂函数的定义：一般地，函数y=x ɑ叫做幂函数(power function) ，其中x 为自变量，ɑ 为常数。
注意:幂函数的解析式必须是y = x a 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”． 【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解. 思考1：你能指几个学过的幂函数的例子吗？ 思考2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？思考3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？看看自变量x 是指数（指数函数）还是底数（幂函数）。
练习：1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？（1）4y x =；（2）22y x =；（3）2y x =-；（4）2x y =；（5）2y x -=；（6） 3+2y x =。
高中数学2.3幂函数导学案无答案新人教A必修1
湖北省荆州市监利县柘木中学高中数学 2.3幂函数导学案 新人教A版必修1使用说明：“自主学习”10分钟完成，泛起问题，小组内部讨论完成，展示个人学习成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”11分钟完成，并进行小组学习成果展示，小组都督互评，教师重点点评。
“巩固练习”9分钟完成，组长负责，小组内部点评。
“个人收获”5分钟完成，按照个人学习和小组讨论情况，对掌握知识点、方式进行总结。
最后5分钟，教师针对本节课中泛起的重点问题做总结性点评。
通过本节学习应达到如下方针:1.了解幂函数的图像和性质，并能进行简单的应用。
2.能够类比研究一般函数，指数函数，对数函数的过程与方式，来研究幂函数的图像和性质。
3.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。
重点与难点：幂函数的图像和性质；幂函数的性质 学习过程：（一）自主探究【问题1】如果张红购买了每千克1元的水果w 千克，那么她需要付的钱数p （元）和购买的水果量w （千克）之间有何关系？【问题2】如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积2a S =，这里S 是a 的函数。
【问题3】如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积3a V =,这里V 是a 的函数。
【问题4】如果正方形场地面积为S ，那么正方形的边长21Sa =,这里a 是S 的函数【问题5】如果或人t s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的速度s /km tV 1-=，这里v 是t 的函数。
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(从自变量和常数的角度考虑)这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？ 幂函数的概念如果设变量为x ,函数值为y ，你能按照以上的生活实例获得怎样的一些具体的函数式？这里所获得的函数是幂函数的几个典型代表，你能按照此归纳出幂函数的定义吗？ 幂函数的定义：（二）合作探讨【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？试一试：判断下列函数那些是幂函数？（1）x2.0y = （2）51x y = （3）3x y -= （4）2x y -=我们已经对幂函数的概念有了比力深刻的认识，按照我们前面学习指数函数、对数函数的学习经历，你认为我们下面应该研究什么呢？ 几个常见幂函数的图象和性质在初中我们已经学习了幂函数12x y ,x y ,x y -===的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。
2015届高三数学一轮教学资料 幂函数活动导学案
《幂函数》活动导学案
【学习目标】
1.了解幂函数定义，并能求简单幂函数
2.了解简单幂函数性质
【重难点】总结归纳幂函数相关性质 【活动过程】
一、自学质疑：五种常见幂函数的图像与性质
函数
特征 性质
y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3
2
1x y
y ＝x －1
图像
定义域
值域 奇偶性
单调性
公共点
1.幂函数y ＝f (x )的图像过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的解析式为______________________．
2．(2013·南通二调)已知幂函数f (x )＝k ·x α
的图像过点 12，22，则k ＋α＝________.
3.图中曲线是幂函数y ＝x α
在第一象限的图像．已知n 取±2，±12四个值，
则相应于
曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为____________．
4．设a ＝ 3552，b ＝ 2553，c ＝
2552
，则a ，b ，c 的大小关系是________．
二、互动研讨
活动一、已知函数f (x )＝(m 2
－m －1)x －5m －3
，m 为何值时，f (x )是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？
三、检测反馈
1、（2011江苏8）在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x x f 2
)(
的图象交于P 、Q
两点，则线段PQ 长的最小值是________.
2、幂函数y ＝f (x )的图象经过点(－2，－1
8
)，则满足f (x )＝27的x 的值是__________．。
人教版数学高二必修1导学案 2.3幂函数学生版
2.3 幂函数学习目标 1.理解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α(α＝－1，12，1,2,3)的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.学习过程 一、自主学习 1.幂函数的概念阅读教材P 77至倒数第二自然段，完成下列问题．幂函数：一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量，α是 ． 2.幂函数的图象与性质阅读教材P 77倒数第二自然段至P 78“例1”以上部分，完成下列问题． 幂函数的图象与性质：R R R 问题1 y ＝1x ，y ＝x ，y ＝x 2三个函数有什么共同特征？问题2 类比y ＝x 3的图象和性质，研究y ＝x 5的图象与性质.探究点1：幂函数的概念 例1 已知y ＝(m 2＋2m －2)22m x -＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值.探究点2：幂函数的图象及应用例2 若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，14)在幂函数g (x )的图象上，问当x为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x ).变式探究若对于例2中的f (x )，g (x )，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ≤g x ，g x ，f x >g x ，试画出h (x )的图象.探究点3：幂函数性质的综合应用 命题角度1：比较大小例3 设a ＝2323⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1323⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝2325⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.b >a >c C.b >c >a D.c >b >a命题角度2：幂函数性质的综合应用例4 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足()31m a -+<()332m a --的a 的取值范围.三、当堂检测1.已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12B.1C.32 D.2 2.已知幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (4)的值等于( ) A.16 B.116 C.2D.123.设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为( )A.1,3B.－1,1C.－1,3D.－1,1,34.下列是y ＝23x 的图象的是( )5.以下结论正确的是()A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限四、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?五、学后反思1、我的疑问：2、我的收获：。
《幂函数》导学案
《2.3 幂函数》导学案——高一数学李磊【学习目标】：1、了解幂函数的概念，会画幂函数的图象，掌握幂函数图象的变化情况和性质，并能进行简单的应用；2、通过与指数函数相类比的过程中，培养学生的抽象概括能力和识图能力，并学会类比和数形结合的思想方法；3、借助实例引导学生激情投入，体验数学与实际生活密切相关，从而激发学生学习数学的积极性.【教学重点】：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质.【教学难点】：画出五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质.【问题情境】：1.如果小明购买了每千克1元的蔬菜x千克，那么他需要付的钱数y=________2.如果正方形的边长为x，那么正方形面积y＝_______3.如果正方体的棱长为x，那么正方体体积y＝________4.如果你x秒内骑车行进1千米，那么你骑车的平均速度y=________5.如果正方形场地的面积为x，那么正方形的边长y＝___________一学习探究：问题1：以上问题中的函数是指数函数吗？它们有什么共同特征？问题2：幂函数是如何定义的？问题3：指数函数xay=与幂函数αxy=有什么联系与区别？问题4：判断下列函数哪些是幂函数：（1）x2.0y=（2）51xy=（3）3xy-=（4）23-=xy（5）21yx=二学生展示：画出下列函数的图象，并结合图象填写下面表格.（1）y x=（2）2y x=（3）3y x=（4）12y x=（5）1y x-=三 师生点评：四总结延伸：根据上表的内容并结合图象，试总结函数12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的共同性质：（1） 所有的幂函数都在______________上有定义；（2） 指数是偶数的幂函数是_________；指数是奇函数的幂函数是_________； （3） 当0α>时，①图象都经过点_______和________；②图象在第一象限是_________,其中，当1α>时__________；当01α<<时_____________；当0α<时，①图象经过点_________；②图象在第一象限是________;且向右无限接近______, 向上无限接近______.五 巩固训练： (一) 图象问题若幂函数αx x f =)(，在第一象限内的图象如图所示，已知α取4，3，21，-2，曲线C1，C2，C3，C4的值依次是_________________.(二) 解析式问题 已知幂函数αx x f =)(的图象经过点（2，2），求)41(f .(三) 单调性问题比较下列各组值的大小：312121331121211.1,4.1,1.1)4(73.0()72.0)(3(.27.026.02(.5.5)1(）与与）；与----【当堂检测】1. 比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上“<”或“>”）(1) 2114.3________21π (2)3)38.0(-________()339.0-(3)125.1-__________122.1- (4)25.0)31(-____________27.0)31(-2.下列函数中既是偶函数又是上是减函数的是),0(+∞（ ）A ．2x y =B ．31x y =C ．y x =-2D ．1-=x y3. 已知幂函数,)2()(122-++=m m xm m x f 当m 为何值时，)(x f 是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）幂函数；六 课堂小结：今天你学到了什么？【作业】导练设计 P 139。
高一数学人教A版必修一新导学案2.3《幂函数》
2.3《幂函数》导学案【学习目标】：通过具体实例了解幂函数的图象和性质，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用．【重点难点】重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质．【知识链接】（1）边长为的正方形面积，这里是的函数；（2）面积为的正方形边长，这里是的函数；（3）边长为的立方体体积，这里是的函数；观察上述三个函数，有什么共同特征？（指数定，底变）【学习过程】幂函数的图象与性质①给出定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．②作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．观察图象，举例学习这类函数的一些性质．归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律：（Ⅰ）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（Ⅱ）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（Ⅲ）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．【例题分析】例1、利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1），；（2），；（3），；（4），．例2证明幂函数上是增函数、【基础达标】2．如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，则相应图象依次为：．2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象的草图，你能发现什么规律？（1）和；（2）和．3．比较大小：①与；②与；③与；④与；⑤与．【学习反思】（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？。
幂函数导学案
幂函数导学案幂函数是一种常见的基础函数，其形式为y=ax^n，其中a为常数，n为整数。
在学习幂函数的过程中，我们需要了解其导数的计算方法以及一些常见的性质。
本导学案将针对幂函数的导数进行详细讲解，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
一、导数的定义在学习幂函数的导数之前，我们先来回顾一下导数的定义。
导数描述了函数在某一点处的变化率，可以通过极限的定义来计算。
对于函数y=f(x)，其导数f'(x)的定义可以表示为：f'(x) = lim [f(x + h) - f(x)] / h (h→0)其中，h表示自变量x的增量。
当h趋近于0时，得到函数在点x 处的导数。
二、幂函数的导数计算1. 当幂函数为y=ax^n时，其中a为常数，n为整数时，我们可以通过以下公式计算其导数：dy / dx = n * ax^(n-1)即，幂函数的导数等于指数n乘以系数a再乘以x的n-1次方。
2. 举例说明：对于函数y=3x^2，其导数为：dy / dx = 2 * 3x^(2-1) = 6x因此，函数y=3x^2的导数为6x。
3. 特殊情况：当幂函数为y=ax^0时，即y=a时，其导数为0。
因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率始终为0。
三、常见幂函数的导数性质1. 幂函数导数的线性：若f(x)和g(x)分别是幂函数y=ax^n和y=bx^m，其中a、b为常数，n、m为整数，则有：f(x) ± g(x) = f'(x) ± g'(x)即，幂函数的导数是具有线性性质的。
2. 幂函数导数的乘积法则：若f(x)和g(x)分别是幂函数y=ax^n和y=bx^m，则有：[f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)即，幂函数的导数在求导乘积时遵循乘积法则。
四、综合练习1. 求以下函数的导数：（1）y=5x^3 - 2x^2解：y' = 3 * 5x^(3-1) - 2 * 2x^(2-1) = 15x^2 - 4x（2）y=2x^4 + 3x^3 - x解：y' = 4 * 2x^(4-1) + 3 * 3x^(3-1) - 1 = 8x^3 + 9x^2 - 12. 若f(x) = x^2，g(x) = 3x，则求f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)的导数。
幂函数(导学案)
《3.3幂函数》一、学习目标1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α⎝ ⎛⎭⎪⎫α＝－1，12，1，2，3的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．二、导学指导与检测导学检测及课堂展示 幂函数的概念一般地，函数 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2五个幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 312y x =y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R[0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性非奇非偶单调性 增 在[0，＋∞) 上增，在(－∞，0] 上减增 增 在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减一般幂函数的图象特征三、巩固诊断1、已知幂函数f (x )＝x α图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)＝________.2、)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2 3、已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于( )4、已知幂函数f (x )＝x α的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，试画出f (x )的图象并指出该函数的定义域与单调区间．四、堂清、日清记录今日之事今日毕 日积月累成大器。
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3.3 幂函数
●课前导学
（一） 学习目标
1. 学生通过实例，了解幂函数的定义。
2. 学生通过小组合作画出常见幂函数的图像，并归纳其性质。
3. 利用幂函数单调性，会比较两个数的大小。
4. 结合性质，学生能作出一般幂函数的图像。
（二） 重点难点
重点：幂函数的定义、图像和性质。
难点：将函数图像的直观特点上升至理论知识，归纳、概括成函数的性质。
（三）温故知新
1. 将下列各式化为根式的形式：
（1）_________21
=x （2）_________32
=x （3）_________
2
1=-x
（4）_________
3
2=-x
2.函数31
x y =的定义域是___________,且在定义域上为_______函数（奇/偶）。
3.函数2-=x y 的定义域是___________,且在定义域上为_______函数（奇/偶）。
●课中导学
（一）观察归纳，形成概念
问题：观察函数121
2
,,,-====x y x y x y x y ，这些解析式有什么共同特点？
_______________________________________________
幂函数的定义：形如)(R x y ∈=αα
的函数叫做幂函数。
【小试身手】
1. 判断下列函数是否为幂函数
（1）x y 2= （2）12+=x y （3）0
x y =
（4）x y = （5）2
1x
y = （6）x y 2=
2.若函数()1
12+-=a x
a y 为幂函数，则_______=a
（二）描点作图，归纳性质 【小组合作，探究图像】
第一组任务：在同一坐标系中请作出320x y x y x ==>和时，的图像
第二组任务：在同一坐标系中请作出31
210x y x y x ==>和时，的图像 第三组任务：在同一坐标系中请作出2-1-0x y x y x ==>和时，的图像 成果展示墙：
第一组 第二组 第三组
问题：随着α的不同，幂函数的图像和性质也不尽相同。
但聪明的孩子们，你能找到它们的一些共同之处么？ 【师生齐心，性质了然】 幂函数的性质： （1）定义域： （2）单调性：
（3）特殊点：
（三） 步步推进，性质应用
1 讨论函数32
x y =的定义域、奇偶性，作它的图像，并根据图像说明其值域和增减性。
问题：借助例2，你能总结出幂函数作图的四步曲么？ （1） （2） （3） (4)
2.作出函数3
2-=x y 的简图，并写出它的性质。
3.数形连连看
（四）当堂检测，回归性质 1. 比较大小
（1）32
32
4.2_______3.2 （2）34
34
35.0_______31.0
（3）2
12
19
.0_______1.1-
-
（4）
()
()
2
32
33_______
2-
-
●课后导学
（四） 归纳小结，反思提升
请同学们对照学习目标，检验本节课的学习成果。
① 幂函数的定义、图像和性质。
② 数形结合、分类讨论的思想 ③ 函数性质的简单应用 (六) 课后作业，巩固新知 作业一：课本110P 习题A
作业二：课外阅读：幂函数与函数的凸性。
()
2
1,2,2
1,
2)(21,2,2,2
1)(2
,21,2
1,
2)(2,21,21,2)(,,,212.34321-
---
----±
±==D C B A c c c c x y 依次为的，则，知
在第一象限的图象，已
下图是幂函数
ααα。