人教B版高一数学必修第三册下学期第八章8.1向量的数量积知识点归纳复习总结
新教材人教B版高中数学必修3精品课件：第八章 8.1.3 向量数量积的坐标运算
������1������2+������1������2 .
������12+������12 ������22+������22
方法技巧：利用数量积的坐标运算求两个向量夹角的步骤：
（1）利用坐标运算求a·b；
（2）利用|a|＝ ������12 + ������12与|b|＝ ������22 + ������22求两个向量的模；
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
8.1.3 向量数量积的坐标运算
学习目标
1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能运用数量积的坐标表达式表示两个向量的夹角，会用数量积 判断两个向量的垂直关系. 3.体验用数量积的坐标运算解决某些简单的几何问题. 重点：向量数量积的坐标运算与度量公式. 难点：灵活运用向量数量积的坐标运算与度量公式解决有关问题.
（3）由cos
<
������, ������
>＝ ������∙������ ＝
|������||������|
������1������2+������1������2 直接求出cos < ������, ������ >；
������12+������12 ������22+������22
（4）在[0,π]内，由cos < ������, ������ >的值求 < ������, ������ >.
������������ ＝ ������2 − ������1 2 + ������2 − ������1 2.
3.向量的夹角的坐标运算
设向量������＝（������1，������1），������＝（������2，������2），则
新高考 高中数学 必修三 课件+类型题8.1之向量极化恒等式
2.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原 点)上滑动，则(OC)·(OB)的最大值是________．
解析:如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON， 则(OC)·(OB)＝(OM)2－1/4, 因为OM≤ON＋NM＝AD/2＋AB＝3/2， 当且仅当O，N，M三点共线时取等号． 所以(OC)·(OB)的最大值为2.
AC AC a b a 2a b b （1）
2
2
2
2
2
DB DB a b a 2a b b （2）
（1）+（2）得：AC 2
2
DB
2
a
2
b 2
2
2
AB
AD 2
知识点2：极化恒等式
2
2
2
2
2
AC AC a b a 2a b b
（1）
2
2
2
2
2
练习：
1．已知在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B＝4(1)AB，且对于边AB上 任一点P，恒有(PB)·(PC)≥(P0B)·(P0C)，则( ) A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°
C．AB＝AC
D．AC＝BC
解析：如图所示，取AB的中点E，因为P0B＝4(1)AB， 所以P0为EB的中点，取BC的中点D，则DP0为△CEB的 中位线，DP0∥CE. 根据向量的极化恒等式， 有(PB)·(PC)＝(PD)2－(DB)2， (P0B)·(P0C)＝(P0D)2－(DB)2. 又(PB)·(PC)≥(P0B)·(P0C)，则| (PD)|≥|(P0D)|恒成立， 必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB，又E为AB的中点， 所以AC＝BC.
新教材高中数学第八章向量的数量积：向量数量积的坐标运算pptx课件新人教B版必修第三册
)
A.4
B．5
C．3 5
D．4 5
【答案】
D
【解析】 由a∥b，得y＋4＝0，
y＝－4，b＝(－2，－4)，
∴2a－b＝(4，8)，∴|2a－b|＝4 5.故选D.
2 5
(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝
________．
4
【解析】 由题意知，a＋b＝(－2，4)，a－b＝(4，0)，
(1)向量数量积的坐标运算：
a1b1＋a2b2
已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝__________．
(2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：
a1b1＋a2b2＝0
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔____________．
知识点二 向量的长度、距离和夹角公式
(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
(2)通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、
方程等知识的联系．
(3)向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，
两者相互补充．
跟踪训练1 设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，
则(a＋2b)·c＝(
因此|a＋b|＝2 5，|a－b|＝4.
(1)两向量a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2 －x2y1 ＝0.
(2)已知a ＝(x，y)，则|a|＝ x 2 + y 2 .
方法归纳
向量模的问题的解题策略：
(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a2将向量模的运算转化为向量的数
新知初探·自主学习
高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8
8.1教B版必修第三册
1 第八章向量的数量积与三角恒等变换
8.1 向量的数量积 8。1。1 向量数量积的概念 课后篇巩固提升 基础巩固 1.已知|b|=3，a在b方向上的投影的数量是32,则a·b为( ) A。3 B。92 C.2 D。1
2
答案B
2。（多选）下列命题中是真命题的是（ ） A。|a·b｜=|a｜·｜b| B.a·b=0⇔a=0或b=0 C.｜λa｜=|λ|·｜a| D。λa=0⇔λ=0或a=0 答案CD 3.设非零向量a，b,c满足|a｜=|b|=|c|,a+b=c，则（ ) A。150° B.120° C.60° D。30° 8.1教B版必修第三册
2 解析如图所示.因为|a|=｜b｜=|c|,
所以△OAB是等边三角形. 所以〈a，b〉=120°。 答案B 4.如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中,最大的是（ )
A。𝑃1𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑃1𝑃3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.𝑃1𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑃1𝑃4
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C。𝑃1𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑃1𝑃5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D。𝑃1𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑃1𝑃6
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
解析设正六边形的边长为a,则
𝑃1𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑃1𝑃3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32a2,𝑃1𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑃1𝑃4
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=a2，
𝑃1𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑃1𝑃5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,𝑃1𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑃1𝑃6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =—12a2. 答案A 5.在△ABC中，已知｜𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ｜=｜𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ｜=4，且𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =8,则△ABC的形状为 . 答案等边三角形 8.1教B版必修第三册
3 6。已知平面向量a，b满足｜a｜=1,|b｜=2,a与b的夹角为π3,
新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换章末复习教案新人教B版第三册
新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换章末复习教案新人教B版第三册知识系统整合规律方法收藏1．向量的数量积运算(1)求模：|a|＝a·a；(2)求角度：cosα＝a·b|a||b|.(3)判断两直线的关系①法向量判断；②方向向量判断．(4)坐标运算方法若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)；a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；a·b＝x1x2＋y1y2；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.2．三角恒等变换常用的方法(1)变角(角的变换)；(2)变名(函数名称的变换)；(3)变幂(升幂与降幂的变换)；(4)变数(常数的变换)．3．三角函数化归的常用方法(1)化异为同； (2)弦切互化； (3)单角化倍角； (4)单角化复角； (5)倍角化复角； (6)复角化复角等． 4．角的常用变换技巧 (1)α＝(α＋β)－β； (2)α＝β－(β－α)； (3)α＝(2α－β)－(α－β)； (4)α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；(5)α＝12[(α＋β)－(β－α)]；(6)α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β等．学科思想培优一、向量的数量积运算数量积的运算是本章的重点，由于数量积的运算及其性质涵盖向量的长度、夹角以及不等式等，因此它的应用也最为广泛．利用数量积可以求长度，也可以判断直线与直线之间的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算将代数中的有关函数、不等式以及数列等知识融合在一起．例1 (1)在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OD 是AB 边上的高，若AD →＝λAB →，则实数λ等于( )A.b －a ·a|a －b |2B.a －b ·a|a －b |2C.b －a ·a|a －b |D.a －b ·a|a －b |[解析] ∵AD →＝λAB →，∴OD →－OA →＝λ(OB →－OA →)，OD →＝λOB →＋(1－λ)OA →＝(1－λ)a ＋λb .又因为OD 是AB 边上的高，所以OD →·AB →＝0，即OD →·(OB →－OA →)＝0，∴[(1－λ)a ＋λb ]·(b －a )＝0，整理可得λ(b －a )2＝(a －b )·a ，即λ＝a －b ·a|a －b |2.故选B.[答案] B(2)已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a与b 的夹角．[解] 由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b ·7a －5b ＝0，a －4b ·7a －2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0， ②②－①，得23b 2－46a ·b ＝0， ∴2a ·b ＝b 2，代入①，得a 2＝b 2， ∴|a |＝|b |，设a 与b 的夹角为θ， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b 2|b |2＝12，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.二、向量数量积的应用向量的应用是多方位的，但由于我们所学的知识范围较窄，因此我们目前的应用主要限于平面几何以及用来探讨函数、三角函数的性质等方面．例2 (1)已知向量a ＝(x ，x －1)，b ＝(1＋mx,1)，若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，求实数m 的取值范围．[解] f (x )＝a ·b ＝x (1＋mx )＋(x －1)＝mx 2＋2x －1.当m ＝0时，f (x )＝2x －1在区间(－1,1)上是增函数，故m ＝0满足要求； 当m >0时，因为f (x )在区间(－1,1)上是增函数， 所以－1m≤－1，解得0<m ≤1；当m <0时，因为f (x )在区间(－1,1)上是增函数， 所以－1m≥1，解得－1≤m <0.综上，m 的取值范围为[－1,1]． (2)已知平面向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.①证明：a ⊥b ；②若存在不同时为零的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－k )b ，y ＝－s a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数关系式s ＝f (t )；③若s ＝f (t )在[1，＋∞)上是增函数，试求k 的取值范围． [解] ①证明：因为a ·b ＝32×12－12×32＝0， 所以a ⊥b .②由题意知|a |＝|b |＝1，由于x ⊥y ，则x ·y ＝0，从而－s |a |2＋(t ＋sk －st 2)a ·b ＋t (t 2－k )|b |2＝0，故s ＝f (t )＝t 3－kt .③设t 1>t 2≥1，则f (t 1)－f (t 2)＝t 31－kt 1－(t 32－kt 2)＝(t 1－t 2)(t 21＋t 1t 2＋t 22－k )． 因为s ＝f (t )在[1，＋∞)上是增函数，所以t 21＋t 1t 2＋t 22－k >0，即k <t 21＋t 1t 2＋t 22在[1，＋∞)上恒成立，又t 21＋t 1t 2＋t 22>3，所以只需k ≤3即可．三、三角函数的化简与证明三角函数式的化简，需要注意：(1)三角函数的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；(2)三角函数的分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式，最终变为整式或数值；(3)对二次根式，则需要运用半角公式．例3 化简2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.[解] 解法一：原式＝cos 2α－sin 2α2×1－tan α1＋tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos α＋cos π4sin α2＝cos 2α－sin 2α1＋tan α1－tan αcos α＋sin α2＝cos 2α－sin 2α⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin αcos αcos α＋sin α2＝1.解法二：原式＝cos2α2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos2αcos2α＝1.四、三角函数的求值严格来说，三角函数的化简、证明、求值都是三角恒等变形，在变换技巧上都是相通的，但由于是求值，于是它就有了特殊性，因此把它单列开来，作为一个专题．三角函数的求值，主要有三种类型．(1)“给角求值”．一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察这类问题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要诱导公式．解题时，要利用观察得到的关系，结合有关公式转化为特殊角并且消去非特殊角的三角函数而得到结果．(2)“给值求值”．即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆角、配角．当然在这个过程中要注意角范围的变化．(3)“给值求角”．本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的值，在求角之前还需要结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．例4 (1)求3tan10°＋4sin10°的值；(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，17π12<x <7π4，求sin2x ＋2sin 2x1－tan x 的值．[解] (1)原式＝3sin10°＋4sin10°cos10°cos10°＝3sin10°＋2sin20°cos10°＝3sin30°－20°＋2sin20°cos10°＝3sin30°cos20°－3cos30°sin20°＋2sin20°cos10°＝32cos20°＋12sin20°cos10°＝sin 60°＋20°cos10°＝1.(2)sin2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝sin2x 1＋tan x1－tan x＝sin2x tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.由17π12<x <7π4，得5π3<x ＋π4<2π. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－45.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－43. ∴sin2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43 ＝－2875.五、三角变换在研究三角函数图像与性质中的应用借助于三角变换化简给定的三角函数式，将三角函数式化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后研究三角函数的性质，这是高考命题的热点题型．例5 已知向量a ＝(1－tan x,1)，b ＝(1＋sin2x ＋cos2x ，－3)，记f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的定义域、值域及最小正周期；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4＝6，其中α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求α.[解] (1)∵f (x )＝(1－tan x )(1＋sin2x ＋cos2x )－3 ＝cos x －sin x cos x(2cos 2x ＋2sin x cos x )－3＝2(cos 2x －sin 2x )－3 ＝2cos2x －3，∴f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z，值域为(－5，－1]，最小正周期T 为π. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4＝2cos α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2(cos α＋sin α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝32，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴α＋π4＝π3或α＋π4＝2π3，∴α＝π12或α＝5π12.。
新教材2023版高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换向量数量积的运算律课件新人教B版必修第三册
________称作a在________上的数量或在__________上的数量．
直线l
直线l的方向
3．a·b等于|a|与b在a方向上的投影的乘积，也等于|b|与a在b方向上
的投影的乘积．其中a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的，
投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
知识点一
定义
范围
向量的夹角
∠AOB
0°≤θ≤180°
____________
θ＝______
a与b同向
0°
a与b反向
特例 θ＝180°
a⊥b
a与b垂直，记作_________，规定________可与
零向量
θ＝90°
任一向量垂直
知识点二 向量的数量积
|a||b|cos 〈a，b〉
向量数量积的定义：_____________叫做向量a和b的数量积，记作
)
3. 如 图 ，在 △ABC 中 ， AC，AB 的 夹 角 与 CA，AB 的 夹 角 的 关 系 为
互补
________.
解析：根据向量夹角定义可知向量AB，AC夹角为∠BAC，而向量CA，AB夹角
为π－∠BAC，故二者互补．
4．已知等边△ABC的边长为4，则BA·BC＝________．
12
所以向量a在向量b方向上的投影的数量为|a|·cos θ＝ ＝ ＝－ ；向量b在向
量a方向上的投影的数量为|b|·cos
· −12
θ＝ ＝ ＝－4.
3
5
5
方法归纳
(1)在书写数量积时，a与b之间用实心点“·”连接，而不能用“×”
连接，更不能省略不写．
人教B版高中同步学案数学必修第三册精品课件 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 向量数量积的概念
在平面内任取一点 O,作=a,=b,以, 为邻边作平行四边形 OACB,
如图所示.
∵|a|=|b|,∴||=||,
∴四边形 OACB 为菱形,OC 平分∠AOB.
这时 =a+b,=a-b,而|a|=|b|=|a-b|,即||=||=||,
∴△AOB 为正三角形,故∠AOB=60°,
于是∠AOC=30°,即<a,a+b>=30°.
规律方法 熟练应用数形结合思想,恰当运用向量的几何意义是解决此类
问题的有效方法.
变式训练
若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则<a+b,a-b>是(
π
A. 6
π
B. 3
2π
C. 3
5π
所以 ⊥ ,即 AC⊥BD,
所以 EF⊥GF,所以四边形 EFGH 是矩形.
(2)解因为a·b=|a||b|cos<a,b>,所以
|a·b|=||a||b|cos<a,b>|=|a||b||cos<a,b>|=6.
6
又|a|=3,|b|=4,所以|cos<a,b>|=||||
所以
=
6
3×4
重难探究•能力素养全提升
探究点一 与向量数量积有关问题的判断
【例1】 已知a,b,c是三个非零向量,则下列正确的个数为(
)
①|a·b|=|a||b|⇔a∥b;②a,b反向⇔a·b=-|a||b|;③a⊥b⇔|a+b|=|a-b|;
④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|.
A.1
B.2
C.3
D.4
新教材人教B版高中数学必修3精品课件：第八章 向量数量积的概念 向量数量积的运算律
如 图（1 ）, 当〈 a， b 〉 <π2 时，������′������′的 方向与b的方向相同，而且
| ������′������′|＝|a|cos〈a，b〉；
图（1）
如
图（2）
,当〈a
，b〉
＝π时
2
，
������′������′为零向量，即| ������′������′|＝0；
如
图
（
3
）
另外，我们还能得到数量积的如下性质. （3）a，b垂直的充要条件是它们的数量积为0，即
������ ⊥ ������ ⇔ ������ · ������＝0.
（4）如果a，b都是非零向量，则
cos〈a，b〉＝
������∙������ ������ ������
.
点拨 1.性质（1）中，当且仅当������ ∥ ������时，等号成立，此性质 可用来解决不等式的相关问题. 2.性质（2）用数量积来求向量的模.实现了实数运算与 向量运算的相互转化. 3.性质（3）可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等 量关系. 4.性质（4）是数量积定义的变形，又称为夹角公式， 建立了向量与三角函数的联系.
π
例如，下图中向量a与b的夹角为π4，即〈a，b〉＝ 4 .
类似地，上图中， 向量a与c的夹角为π2，即〈a，c〉＝π2； 向量a与d的夹角为0，即〈a，d〉＝0； 向量a与e的夹角为π，即〈a，e〉＝ π .
根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一 确定的，而且
0≤〈a，b〉≤π， 〈a，b〉＝〈b，a〉. 当〈a，b〉＝π2时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b. 由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时， 规定零向量与任意向量垂直.
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第八章 向量的数量积
8.1向量的数量积
8.1.1向量数量积的概念
1、夹角：
给定两个非零向量a ，b ，在平面内任选一个点O ，作a OA ，b OB ，则称
，0内的AOB 为向量a 与向量b 的夹角，记作 b a ,.
注意：（1），b 是非零向量；
（2）非零向量a ，b 的夹角范围是 ，0；
（3） ,,；
（4）当2,
b a 时，向量a 与向量b ，记作
（5）规定，零向量与任意向量垂直
（6）注意下列向量的夹角： b a ,
2、向量数量积
一般地，当与b 都是非零向量时，b
b a ,cos 为向量与的数量积（也称为内积），
记作，即b a ，即b a b b a ,cos
注：（1） 的结果是一个实数，而不是向量
（2） 的符号由 b a ,cos 决定，即由 b a ,决定.
当 ,)2,
0[ 时，b a 是正数 当 ,2
时，b a 等于0
当 b a ,],2(
时，b a 是负数
3、向量数量积的性质
（1 b
（2）2 （3）0 b a b a
4、向量的投影与向量数量积的几何意义 设非零向量a AB ，过A ，B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为A ，B ，则称向量B A 为向量在直线l 上的投影向量或投影.
类似地，给定平面上的一个非零向量b ，设b 所在的直线为l ，则a 在直线l 上的投影B A 称为a 在向量b 上的投影.
由图可知，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向即有肯能相同，也有可能相反.
如图（1），当 ,2
时，B A 的方向与b b a ,；
如图（2），当 ,2 时，B A 0
如图（3），当 b a ,2
时，B A 的方向与b b a ,cos
一般地，如果a ，b ,为向量a 在向量b 上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.因为
b b a ,cos =b a , ，所以两个非零向量a ，b 的数量积b a ，等于a 在向量b 上的投影的数量与b 的模的乘积.这就是两个向量数量积的几何意义.
8.1.2向量数量积的运算律
1、交换律
（1）a b b a
（2）当 是实数时，)()()(
2、分配律
（1） )(
（2） )(
（3）22)()(
（4）2222)(
（5）222
2)(
8.1.3向量数量积的坐标运算
1、向量的坐标与向量的数量积
在平面直角坐标系中，分别给定与x 轴、y 轴正方向相同的单位向量1e ，2e 之后，如果对于平面内的向量，有21e y e x a ，则),(y x 就是向量的坐标，记作 ),(y x ，而且，1(e ，)2e 是一组单位正交基底. 设 ),(11y x ， ),(22y x 由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底1(e ，)2e ，使得2111e y e x ，2212e y e x ，所以
b a =)(2111e y e x )(2212e y e x
=2221122121211121e e y y e e x y e e y x e e x x
=2121y y x x 所以 =2121y y x x
当 ),(11y x ， ),(22y x 都不是零向量时，因为2121y x a a ，
2222y x ，所以222
2212
12121,cos y x y x y y x x
2、用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 设 ),(11y x ， ),(22y x ，由 的充要条件是 ， 所以02121 y y x x b a。