2022年河南中考数学试卷分析
2024年中考数学试卷分析报告河南
2024年中考数学试卷分析报告河南介绍本文对2024年河南省中考数学试卷进行了细致的分析，旨在总结试卷内容、难度和重点考点，为学生和教师提供参考和指导，帮助他们更好地备考和讲授数学知识。
试卷概述2024年河南省中考数学试卷总分为120分，包含选择题、填空题和解答题三个部分。
本次试卷共有8个选择题、8个填空题和4个解答题，涵盖了各个知识点和技能要求。
选择题分析难度与出题思路本次试卷的选择题整体难度适中。
其中，有一道题目是通过填空的方式，考查学生对均值和方差的理解和计算能力。
另外，还有几道题目考查了学生对几何形状的认识和计算能力。
考点归纳选择题主要涵盖了以下几个考点：1.代数运算：包括整数的运算、代数式的简化等。
2.几何形状：包括平行线、直角三角形、相似三角形等的性质和计算。
3.统计与概率：包括平均数、方差、样本调查等的计算和分析。
填空题分析难度与出题思路本次试卷的填空题整体难度适中。
填空题从各个知识点中选取了一些典型题型进行考查，涵盖了代数、几何和统计等多个领域。
其中，一道填空题考查了学生对代数方程的解的理解和求解能力，另外一道题考查了学生对三角形的性质和计算能力。
考点归纳填空题主要涵盖了以下几个考点：1.代数方程的解：包括一元一次方程和一元二次方程的解的求解。
2.几何形状计算：包括三角形的性质、面积和周长的计算等。
3.统计与概率：包括样本调查和统计指标的计算等。
解答题分析难度与出题思路本次试卷的解答题整体难度适中。
解答题从代数、几何和统计等多个领域选取了一些典型题型进行考查，要求学生运用所学的知识和方法进行解答和计算。
其中，有一道解答题考查了学生对图形的对称性和平移的理解和应用能力，另外一道题考查了学生对统计图表的分析和解读能力。
考点归纳解答题主要涵盖了以下几个考点：1.几何形状计算：包括三角形的性质、面积和周长的计算等。
2.图形的对称性与平移：包括图形的对称性和平移的理解和应用能力。
3.统计与概率：包括统计图表的分析和解读、样本调查等。
2024河南中考数学试题评析
2024河南中考数学试题评析中考是每个学生人生中的一次重要考试，决定着他们的高中学业发展。
其中数学科目一直被认为是学生们最为困难的科目之一，曾有人说过：“ 胜数学者胜中考”。
2024年中考拉下帷幕，当我们仔细分析今年的数学命题，我相信有经验的数学老师都会有一种意料之中的快意，下面我谈几点不成熟的看法。
一、稳中求变。
我从2002-2022河南中考数学试题做过对比分析，这里面有五次大的转折，基本呈现五年有调整，前二次转折无论从题量还是题型甚至知识点考查调整比较大，更倾向于 变”；后三次转折可以说是微调，更注重 稳”。
1.我们先来说说稳。
发展到现在主要有三不变：①结构不变：闭卷120分，考试时间为100分钟，题目共计23题，填空选择15题45分，解答8题75分。
②题型不变：选择题、填空题、解答题，解答题主要涵盖——计算求解、推理证明题、应用性问题、阅读分析题、类比探究性问题、开放性问题等。
③考查知识点不变：以数与代数、图形与几何为主，统计与概率、综合与实践为辅。
2.我们再来说说变。
三变”。
①选择题由原来的6题升为8题，再升为10题，填空题由原来的9题降为7题再将为5题。
②题目难度下调，2024难度系数0.65-0.70，满分120，基本平均分78-84；③阅读量增大。
二、变中求新。
1.体现教-学-评一致性。
可以说原来我们的数学中考是考什么，学什么，所以每一年都会有 惊喜”，正如有人说平时学了一粒沙，考试考了撒哈拉；现在依据新课程标准转变为学什么，考什么。
以前我们每年可以扒拉出上百套全国各地中考试题，以后这种情况将不复存在了。
新课标明确规定学业水平考试由省级教育行政部门组织实施，依据学业质量标准，对学生学完本课程后课程目标达成度进行终结性评价。
考试成绩是学生毕业和高一级学校招生录取的重要依据，为评价区域和学校教学质量、改进教学提供重要参考。
值得注意的是2025与2026届仍延续的是2011版课标，今年暑假后七年级新生将正式使用新教材，2022版新课标也正式落地。
初中河南数学卷子推荐
初中河南数学卷子推荐2022年中考数学试题依据课程标准，“四基”“四能”，创新试题形式，突出素养立意，加强教考衔接，助力“双减”改革。
一、加强基础考查，助力减负提质试题突出对基础知识、基本技能的考查。
如对计算和化简，统计中的数据分析，利用三角函数测量拂云阁的高度，分式方程、不等式、函数综合运用的考查。
这些试题都注重基础知识、基本技能和通性通法的理解运用，很好地引导课堂教学遵循教学规律，提高课堂效果，实现作业题、练习题减量提质，服务“双减”改革。
二、注重关联教材，引导教学回归试题材料呼应教材，问题设置与教材内容关联，让学生有扑面而来的熟悉感、亲切感，也减轻了学生考场上的心理负担。
如利用测角仪测量拂云阁的高度，教材中有相关例题和综合实践内容；利用生活中的喷泉情境考查二次函数，教材上有相关的问题背景和类似的研究方法；折纸操作源于教材内容，这些都是学生所熟悉的，有助于引导教学重视教材，用好教材，以提高课堂教学质量的方式提高学生成绩。
三、严格依标考查，增强教考衔接试题的考查内容、范围和比例、知识要求层次都与课程标准保持一致，没有偏题、怪题，没有超标试题，注重通性通法，淡化特殊技巧，体现“学什么，考什么”，增强教考衔接。
引导教师严格依据课程标准进行教学，做到应教尽教，既不随意提高或降低标准，也不随意增加或删减内容；引导学生把学习的重心放到学校，不增加无谓的焦虑。
有助于营造良好的教育生态，有助于“双减”改革取得良好成效。
四、创新试题形式，思维考查试题创设了丰富的情境，提高了开放性、探究性试题的比例，体现了跨学科命题。
如第2题的“北京冬奥会”，第13题的“喜迎二十大”，第17题的“天宫课堂”等取材于反映新时代、新变化、新成就的社会热点；如对尺规作图的考查由往年的识别作图痕迹改进为动手操作，并通过几何推理，揭示一般规律，是一道兼顾基础性、综合性和创新性的好题；如第11、17、23题都给学生一定的开放探究空间；如第10题的“呼气式酒精测试仪”立足生活情境和科学情境，体现跨学科命题。
2024年河南中考数学试卷分析报告
2024年河南中考数学试卷分析报告前言本文旨在对2024年河南中考数学试卷进行全面分析和评述，以探究试卷设置的难易程度、题型分布和考查知识点的情况，为教育工作者和考生提供参考。
一、试卷概述本次数学中考试卷共分为两部分：选择题和解答题。
选择题占试卷总分的60%，解答题占试卷总分的40%。
二、选择题分析1. 难易程度选择题部分的题目难度适中，大部分题目采用多项选择题形式，考查了学生的基础知识和思维能力。
2. 题型分布选择题部分主要分为单选题和多项选择题。
其中，单选题占选择题总数的60%，多项选择题占选择题总数的40%。
3. 考查知识点选择题涵盖了数学的多个知识点，包括代数、几何、概率与统计等。
在代数方面，试题主要考察了代数式计算、方程与不等式等内容；在几何方面，试题聚焦于图形的性质与变换、空间几何等；在概率与统计方面，试题涉及了概率计算和数据分析等。
三、解答题分析1. 难易程度解答题部分的题目整体难度适中偏易，考查了学生的解题思路和推理能力。
2. 题型分布解答题部分主要分为计算题和证明题。
其中，计算题占解答题总数的70%，证明题占解答题总数的30%。
3. 考查知识点解答题更注重学生运用知识解决实际问题和能力培养。
其中，计算题主要涵盖了多个知识点，包括代数、几何、数列等。
在证明题方面，主要考察了几何证明的思维能力和逻辑推理能力。
四、试卷整体特点1. 综合性强2024年河南中考数学试卷整体而言，试题偏重综合性能力的考查。
试题设计注重运用数学知识解决实际问题和培养学生的创新思维能力。
2. 关注基础知识试题中对基础知识的考查较为全面，注重学生对数学基本概念的掌握和运用。
同时，试题涵盖了各个学习层次的知识点，旨在全面评价学生的数学水平。
3. 强调数学思维试题设计中重视培养学生的数学思维能力，注重学生的逻辑推理和问题解决能力的培养。
结语本次数学中考试卷整体难度适中，注重基础知识和综合能力的考查。
试题设置合理，符合教育改革的方向和要求。
2023年河南省中考数学真题(原卷与解析)
2023年河南省普通高中招生考试试卷数学一、选择题1.下列各数中，最小的数是（）A.－lB.0C.1D.2.北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（）A.主视图与左视图相同B.主视图与俯视图相同C.左视图与俯视图相同D.三种视图都相同3.2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源．数据“4.59亿”用科学记数法表示为（）A.74.5910⨯ B.845.910⨯ C.84.5910⨯ D.90.45910⨯4.如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若180∠=︒，230∠=︒，则AOE ∠的度数为（）A.30︒B.50︒C.60︒D.80︒5.化简11a a a-+的结果是（）A.0B.1C.aD.2a -6.如图，点A ，B ，C 在O 上，若55C ∠=︒，则AOB ∠的度数为（）A.95︒B.100︒C.105︒D.110︒7.关于x 的一元二次方程280x mx +-=的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根8.为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（）A.12B.13C.16D.199.二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，则一次函数y x b =+的图象一定不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.如图1，点P 从等边三角形ABC 的顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B ．设点P 运动的路程为x ，PBy PC=，图2是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则等边三角形ABC 的边长为（）A.6B.3C.3D.23二、填空题11.某校计划给每个年级配发n 套劳动工具，则3个年级共需配发______套劳动工具．12.方程组35,37x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为______．13.某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1000棵该品种苗进行抽测．如图是某次随机抽测该品种苗的高度x （cm ）的统计图，则此时该基地高度不低于300cm 的“无絮杨”品种苗约有______棵．14.如图，PA 与O 相切于点A ，PO 交O 于点B ，点C 在PA 上，且CB CA =．若5OA =，12PA =，则CA 的长为______．15.矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且1AN AB ==．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为______．三、解答题16.（1）计算：135--+；（2）化简：()()224x y x x y ---．17.蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：a ．配送速度得分（满分10分）：甲：66777899910乙：67788889910b ．服务质量得分统计图（满分10分）：c ．配送速度和服务质量得分统计表：项目统计量快递公司配送速度得分服务质量得分平均数中位数平均数方差甲7.8m 72s 甲乙8872s 乙根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的m =______；2s 甲______2s 乙（填“>”“=”或“<”）．（2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由．（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？18.如图，ABC 中，点D 在边AC 上，且AD AB =．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出A ∠的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若（1）中所作的角平分线与边BC 交于点E ，连接DE ．求证：DE BE =．19.小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数ky x=图象上的点)3,1A和点B 为顶点，分别作菱形AOCD 和菱形OBEF ，点D ，E 在x 轴上，以点O 为圆心，OA长为半径作 AC ，连接BF ．（1）求k 的值；（2）求扇形AOC 的半径及圆心角的度数；（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．20.综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD 为正方形，30cm AB =，顶点A 处挂了一个铅锤M ．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D ，A 与树顶E 在一条直线上，铅垂线AM 交BC 于点H ．经测量，点A 距地面1.8m ，到树EG 的距离11m AF =，20cm BH =．求树EG的高度（结果精确到0.1m ）．21.某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．活动一：所购商品按原价打八折；活动二：所购商品按原价每满．．300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价．（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a 元，请直接写出a 的取值范围．22.小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 在x 轴上，球网AB 与y 轴的水平距离3m OA =，2m CA =，击球点P 在y 轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足一次函数关系0.4 2.8y x =-+；若选择吊球，羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足二次函数关系()21 3.2y a x =-+．（1）求点P 的坐标和a 的值．（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C 点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．23.李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．（1）观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点()4,0M 的直线l y 轴，作ABC 关于y 轴对称的图形111A B C △，再分别作111A B C △关于x 轴和直线l 对称的图形222A B C △和333A B C △，则222A B C △可以看作是ABC 绕点O 顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；333A B C △可以看作是ABC 向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．（2）探究迁移：如图2，ABCD Y 中，()090BAD αα∠=︒<<︒，P 为直线AB 下方一点，作点P 关于直线AB 的对称点1P ，再分别作点1P 关于直线AD 和直线CD 的对称点2P 和3P ，连接AP ，2AP ，请仅就图2的情形解决以下问题：①若2PAP β∠=，请判断β与α的数量关系，并说明理由；②若AD m =，求P ，3P 两点间的距离．（3）拓展应用：在（2）的条件下，若60α=︒，AD =15PAB ∠=︒，连接23P P ．当23P P 与ABCD Y 的边平行时，请直接写出AP 的长．2023年河南省普通高中招生考试试卷数学一、选择题1.【答案】A【解析】解：∵101-<<<，∴最小的数是-1．故选：A 2.【答案】A【解析】解：这个花鹅颈瓶的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．故选：A ．3.【答案】C【解析】解：4.59亿8459000000 4.9510==⨯．故选：C ．4.【答案】B【解析】解：∵180∠=︒，∴180AOD ∠=∠=︒，∵230∠=︒，∴2803050AOE AOD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：B 5.【答案】B 【解析】解：11111a a aa a a a--++===，故选：B ．6.【答案】D【解析】解：∵55C ∠=︒，∴由圆周角定理得：2110AOB C ==︒∠∠，故选：D ．7.【答案】A【解析】解：∵280x mx +-=，∴()2248320m m ∆=-⨯-=+>，所以原方程有两个不相等的实数根，故选：A ．8.【答案】B【解析】设三部影片依次为A 、B 、C ，根据题意，画树状图如下：故相同的概率为3193=．故选B ．9.【答案】D【解析】解：由图象开口向下可知a<0，由对称轴bx 02a=->，得0b >．∴一次函数y x b =+的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D ．10.【答案】A【解析】解：如图，令点P 从顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点O ，再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，1PBPC=，∴PB PC =，AO =又∵ABC 为等边三角形，∴60BAC ∠=︒，AB AC =，∴()SSS APB APC △≌△，∴BAO CAO ∠=∠，∴30BAO CAO ∠=∠=︒，当点P 在OB 上运动时，可知点P 到达点B时的路程为∴OB =，即AO OB ==∴30BAO ABO ∠=∠=︒，过点O 作OD AB ⊥，∴AD BD =，则cos303AD AO =⋅︒=，∴6AB AD BD =+=，即：等边三角形ABC 的边长为6，故选：A ．二、填空题11.【答案】3n【解析】解：由题意得：3个年级共需配发得套劳动工具总数为：3n 套，故答案为：3n ．12.【答案】12x y =⎧⎨=⎩【解析】解：3537x y x y +=⎧⎨+=⎩①②由3⨯-①②得，88x =，解得1x =，把1x =代入①中得315y ⨯+=，解得2y =，故原方程组的解是12x y =⎧⎨=⎩，故答案为：12x y =⎧⎨=⎩．13.【答案】280【解析】解：该基地高度不低于300cm 的“无絮杨”品种苗所占百分比为10%18%28%+=，则不低于300cm 的“无絮杨”品种苗约为：100028%280⨯=棵，故答案为：280．14.【答案】103【解析】如图，连接OC ，∵PA 与O 相切于点A ，∴90OAC ∠=︒；∵OA OB CA CB OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴OAC OBC ≌，∴90OAC OBC ∠=∠=︒，∴90PAO PBC ∠=∠=︒，∵P P ∠=∠，∴PAO PBC ∽，∴PO AO PC BC=，∵5OA =，12PA =，∴13PO ==，设CB CA x ==，则12PC PA CA x =-=-，∴13512x x=-，解得103x =，故CA 的长为103，故答案为：103．15.【答案】21+【解析】解：当90MND ∠=︒时，∵四边形ABCD 矩形，∴90A ∠=︒，则∥MN AB ，由平行线分线段成比例可得：AN BM ND MD =，又∵M 为对角线BD 的中点，∴BMMD =，∴1AN BM ND MD==，即：1ND AN ==，∴2AD AN ND =+=，当90NMD ∠=︒时，∵M 为对角线BD 的中点，90NMD ∠=︒∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN ND =，∵四边形ABCD 矩形，1AN AB ==∴90A ∠=︒，则BN ==∴BN ND ==∴1AD AN ND =+=，综上，AD 的长为21，故答案为：21+．三、解答题16.【答案】（1）15；24y 【解析】（1）解：原式1=335-+15=；（2）解：原式222444x xy y x xy=-+-+24y =．17.【答案】（1）7.5；<（2）甲公司，理由见解析（3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可）【解析】（1）由题意可得，787.52m +==，()()()()22222137748726757110s ⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-+-=⎣⎦甲()()()()()()()222222221478721072679725777 4.210s ⎡⎤=⨯-+-+⨯-+⨯-+-+⨯-+-=⎣⎦乙，∴22s s <甲乙，故答案为：7.5；<；（2）∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，∴甲更稳定，∴小丽应选择甲公司；（3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可）18.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）解：如图所示，即为所求，（2）证明：∵AE 平分BAC ∠，∴BAE DAE ∠=∠，∵AB AD =，AE AE =，∴()SAS BAE DAE △≌△，∴DE BE =．19.【答案】（13（2）半径为2，圆心角为60︒（3）2333π-【解析】（1）解：将)3,1A 代入k y x=中，得13=，解得：3k =（2）解： 过点A 作OD 的垂线，垂足为G ，如下图：)3,1A ，1,3AG OG ∴==，22(3)12OA ∴=+=，∴半径为2；12AG OA = ，∴1sin 2AG AOG OG ∠==，30AOG ∴∠=︒，由菱形的性质知：30AOG COG ∠=∠=︒，60AOC ∴∠=︒，∴扇形AOC 的圆心角的度数：60︒；（3）解：2OD OG == ，1AOCD S AG OD ∴=⨯=⨯菱形221122663AOC S r πππ=⨯=⨯⨯= 扇形，如下图：由菱形OBEF 知，FHO BHO S S = ，322BHO kS == ，322FBO S ∴=⨯= ，2233FBO AOCD AOC S S S S ππ∴=+-=+= 阴影部分面积菱形扇形．20.【答案】树EG 的高度为9.1m【解析】解：由题意可知，90BAE MAF BAD ∠=∠=∠=︒， 1.8m FG =，则90EAF BAF BAF BAH ∠+∠=∠+∠=︒，∴EAF BAH ∠=∠，∵30cm AB =，20cm BH =，则2tan 3BH BAH AB ∠==，∴2tan tan 3EF EAF BAH AF ∠==∠=，∵11m AF =，则2113EF =，∴22m 3EF =，∴22 1.89.1m 3EG EF FG =+=+≈，答：树EG 的高度为9.1m ．21.【答案】（1）活动一更合算（2）400元（3）当300400a ≤<或600800a ≤<时，活动二更合算【解析】（1）解：购买一件原价为450元的健身器材时，活动一需付款：4500.8360⨯=元，活动二需付款：45080370-=元，∴活动一更合算；（2）设这种健身器材的原价是x 元，则0.880x x =-，解得400x =，答：这种健身器材的原价是400元，（3）这种健身器材的原价为a 元，则活动一所需付款为：0.8a 元，活动二当0300a <<时，所需付款为：a 元，当300600a ≤<时，所需付款为：()80a -元，当600900a ≤<时，所需付款为：()160a -元，①当0300a <<时，0.8a a >，此时无论a 为何值，都是活动一更合算，不符合题意，②当300600a ≤<时，800.8a a -<，解得300400a ≤<，即：当300400a ≤<时，活动二更合算，③当600900a ≤<时，1600.8a a -<，解得600800a ≤<，即：当600800a ≤<时，活动二更合算，综上：当300400a ≤<或600800a ≤<时，活动二更合算．22.【答案】（1）()0,2.8P ，0.4a =-，（2）选择吊球，使球的落地点到C 点的距离更近【解析】（1）解：在一次函数0.4 2.8y x =-+，令0x =时， 2.8y =，∴()0,2.8P ，将()0,2.8P 代入()21 3.2y a x =-+中，可得： 3.2 2.8a +=，解得：0.4a =-；（2）∵3m OA =，2m CA =，∴5m OC =，选择扣球，则令0y =，即：0.4 2.80x -+=，解得：7x =，即：落地点距离点O 距离为7m ，∴落地点到C 点的距离为752m -=，选择吊球，则令0y =，即：()20.41 3.20x --+=，解得：1x =±（负值舍去），即：落地点距离点O 距离为()1m +，∴落地点到C 点的距离为()(514m -=-，∵42-<，∴选择吊球，使球的落地点到C 点的距离更近．23.【答案】（1）180︒，8．（2）①2βα=，理由见解析；②2sin m α（3）或【解析】（1）（1）∵ABC 关于y 轴对称的图形111A B C △，111A B C △与222A B C △关于x 轴对称，∴222A B C △与ABC 关于O 点中心对称，则222A B C △可以看作是ABC 绕点O 顺时针旋转得到的，旋转角的度数为180︒∵()1,1A -，∴12AA =，∵()4,0M ,13,A A 关于直线4x =对称，∴131248A A AA +=⨯=，即38AA =，333A B C △可以看作是ABC 向右平移得到的，平移距离为8个单位长度．故答案为：180︒，8．（2）①2βα=，理由如下，连接1AP ，由对称性可得，112PAB P AB P AD P AD ∠=∠∠=∠，，2112PAP PAB P AB P AD P AD ∠=∠+∠+∠+∠1122P AB P AD=∠+∠()112P AB P AD =∠+∠2BAD=∠∴2βα=，②连接113,PP PP 分别交,AB CD 于,E F 两点，过点D 作DG AB ⊥，交AB 于点G ，由对称性可知：113PE PE PF P F ==，且113PP AB PP CD ⊥⊥，，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD∥∴13P P P ，，三点共线，∴311311222PP PE PE PF P F PE PF EF =+++=+=，∵113,,PP AB PP CD DG AB ⊥⊥⊥，∴1190PFD PEG DGE ∠=∠=∠=︒，∴四边形EFDG 是矩形，∴DG EF =，在Rt DAG △中，DAG α∠=，AD m =∵sin DG DAG DA∠=，∴sin sin DG AD DAG m α=⋅∠=,∴3222sin PP EF DG m α===（3）解：设AP x =，则12AP AP x ==，依题意，12PP AD ⊥，当23P P AD ∥时，如图所示，过点P 作1PQ AP ⊥于点Q ，∴12390PP P ∠=︒∵15PAB ∠=︒，60α=︒，∴1320P PAP AB ∠=︒∠=，1245DAP DAP ∠=∠=︒∴2190P AP ∠=︒，则122PP x =，在1APP 中，()111180752APP PAP ∠=︒-∠=︒，∴213180457560P PP ∠=︒-︒-︒=︒，则13230PP P ∠=︒，∴1321222PP P P ==在Rt APQ △中，30PAQ ∠=︒，则1122PQ AP x ==，2232AQ AP PQ x =-=，在1Rt PQP 中，1132PQ AP AQ x x =-=-，222211316223222PP PQ PQ x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴3113626322222PP PP PP x x x +=+=+=由（2）②可得32sin PP AD α=，∵23AD =∴332362PP =⨯=∴63262x +=，解得：326x =；如图所示，若23P P DC ∥，则13290PP P ∠=︒，∵21360P PP ∠=︒，则32130P P P ∠=︒，则13121222PP PP x ==，∵1622PP x =，36226222PP x x x =+=，∵36PP =，∴662x =，解得：x =，综上所述，AP 的长为或．。
2022年河南省数学中招试题评析
2022年河南省中招数学试卷评析河南省第二实验中学胡亚丽试卷依照《新课程标准》，以《中考说明》规定的考试范围为依据，突出了对数学基础知识和基本能力的考查,涵盖数与代数，空间与几何，概率与统计等知识点，与课标要求比例分基本上一致。
有利于引导和促进数学教学全面落实《课程标准》所设立的课程目标，有利于引导改善学生的数学学习方式，提高学生数学学习的效率。
试题注重通性通法、淡化特殊技巧，解答题设置了多个问题，形成入口宽、层次分明、梯度递进的特点，有较好的区分度。
有利于高中阶段学校综合、有效地评价学生的数学学习状况;所有试题的考查内容及试题编排由易及难，坡度平缓，一部分试题情景来源于教材，对考生具有相当的亲和度，有利于考生获得较为理想的成绩。
试卷体现了“稳中求变、稳中求新”。
今年试题与去年相比难度稍有下降，重视基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验等“四基”的考查，第三大题解答题中删掉了一个概率题，增加了一个几何证明题。
难、中、易的比例基本在6：3：1。
试卷所呈现的信息不仅是数学符号和文字，还包括图形、图像及表格等。
如第5题求月牙①旋转到月牙②时点A的坐标、第18题通过表格和扇形统计图获取信息进而解决问题，第22题通过表格获取信息，利用不等式组及其它知识解决实际问题、让学生在各种赏心悦目的考查形式下，愉悦地进行答卷。
试卷呈现丰富多彩的生活情境，贴近生活，体现时代性。
如第13题摸球游戏，如第14题通过折纸求点A的移动距离，折纸是学生喜欢做的手工，看似似曾相识，但本题有一定难度，重在考查数学能力；家庭换灯泡是再常见不过的事情了，第20题就以换灯泡为背景，考查学生构建数学模型解决问题的能力；又如第18题以奥运为背景设计的统计问题；第22题背景取材于同学们所熟悉的“社会主义新农村建设”，以家电下乡设计的方案设计问题等。
使学生感悟到生活中处处有数学。
试卷积极创设探索思考空间，如第17题.试判断OE和AB的位置关系；第21随着旋转角α的变化探索四边形EDBC的形状，对各种形状图形求AD的长，激发了考生的探究欲望；第19题判断他们能否在汽车报警前回到家? 请说明理由.很好地考查了学生“观察——发现——自主探索”的思维过程、用数学知识和数学思想方法解决综合问题的能力，以及学生的创新意识和能力。
2023年河南省中考数学真题(解析版)
2023年河南省普通高中招生考试试卷数学一、选择题1. 下列各数中，最小的数是（ ）A. －lB. 0C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】根据实数的大小比较法则，比较即可解答．【详解】解：∵101-<<<，∴最小的数是-1．故选：A【点睛】本题考查实数的大小比较，负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．2. 北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）A. 主视图与左视图相同B. 主视图与俯视图相同C. 左视图与俯视图相同D. 三种视图都相同【答案】A【解析】【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．【详解】解：这个花鹅颈瓶的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．故选：A ．【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的概念是解题关键．3. 2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源．数据“4.59亿”用科学记数法表示为（ ）A. 74.5910´B. 845.910´C. 84.5910´D. 90.45910´【答案】C【解析】【分析】将一个数表示为10n a ´的形式，其中110a £<，n 为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．【详解】解：4.59亿8459000000 4.9510==´．故选：C ．【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，掌握形式为10n a ´，其中110a £<，确定a与n 的值是解题的关键．4. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若180∠=︒，230∠=︒，则AOE ∠的度数为（ ）A. 30︒B. 50︒C. 60︒D. 80︒【答案】B【解析】【分析】根据对顶角相等可得180AOD ∠=∠=︒，再根据角和差关系可得答案．【详解】解：∵180∠=︒，∴180AOD ∠=∠=︒，∵230∠=︒，∴2803050AOE AOD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：B【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．5. 化简11a a a -+的结果是（ ）A 0 B. 1 C. a D. 2a -【答案】B【解析】的.【分析】根据同母的分式加法法则进行计算即可．【详解】解：11111a a a a a a a--++===，故选：B ．【点睛】本题考查同分母的分式加法，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．6. 如图，点A ，B ，C 在O e 上，若55C ∠=︒，则AOB ∠的度数为（ ）A. 95︒B. 100︒C. 105︒D. 110︒【答案】D【解析】【分析】直接根据圆周角定理即可得．【详解】解：∵55C ∠=︒，∴由圆周角定理得：2110AOB C ==︒∠∠，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．7. 关于x 的一元二次方程280x mx +-=的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根【答案】A【解析】【分析】对于20(0)ax bx c a ++=¹，当0D >, 方程有两个不相等的实根，当Δ0=, 方程有两个相等的实根，Δ0<, 方程没有实根，根据原理作答即可．【详解】解：∵280x mx +-=，∴()2248320m m D =-´-=+>，所以原方程有两个不相等的实数根，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．8. 为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ）A. 12 B. 13 C. 16 D. 19【答案】B【解析】【分析】先画树状图，再根据概率公式计算即可．【详解】设三部影片依次为A 、B 、C ，根据题意，画树状图如下：故相同的概率为3193=．故选B ．【点睛】本题考查了画树状图法计算概率，熟练掌握画树状图法是解题的关键．9. 二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，则一次函数y x b =+的图象一定不经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a 、b 的正负情况，再由一次函数的性质解答．【详解】解：由图象开口向下可知a<0，由对称轴b x 02a=->，得0b >．∴一次函数y x b =+的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出a 、b 的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．10. 如图1，点P 从等边三角形ABC 的顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B ．设点P 运动的路程为x ，PB y PC=，图2是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则等边三角形ABC 的边长为（ ）A. 6B. 3C.D. 【答案】A【解析】【分析】如图，令点P 从顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点O ，再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，PB PC =，AO =30BAO CAO ∠=∠=︒，当点P 在OB 上运动时，可知点P 到达点B 时的路程为AO OB ==O 作OD AB ^，解直角三角形可得cos303AD AO =×︒=，进而可求得等边三角形ABC 的边长．【详解】解：如图，令点P 从顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点O ，再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，1PB PC=，∴PB PC =，AO =又∵ABC V 为等边三角形，∴60BAC ∠=︒，AB AC =，∴()SSS APB APC △≌△，∴BAO CAO ∠=∠，∴30BAO CAO ∠=∠=︒，当点P 在OB 上运动时，可知点P 到达点B 时的路程为∴OB =AO OB ==，∴30BAO ABO ∠=∠=︒，过点O 作OD AB ^，∴AD BD =，则cos303AD AO =×︒=，∴6AB AD BD =+=，即：等边三角形ABC 的边长为6，故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．二、填空题11. 某校计划给每个年级配发n 套劳动工具，则3个年级共需配发______套劳动工具．【答案】3n【解析】【分析】根据总共配发的数量=年级数量´每个年级配发的套数，列代数式．【详解】解：由题意得：3个年级共需配发得套劳动工具总数为：3n 套，故答案为：3n ．【点睛】本题考查了列代数式，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列代数式．12. 方程组35,37x y x y +=ìí+=î的解为______．【答案】12x y =ìí=î【解析】【分析】利用加减消元法求解即可．【详解】解：3537x y x y +=ìí+=î①②由3´-①②得，88x =，解得1x =，把1x =代入①中得315y ´+=，解得2y =，故原方程组的解是12x y =ìí=î，故答案为：12x y =ìí=î．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的常用解法：代入消元法和加减消元法，观察题目选择合适的方法是解题关键．13. 某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1000棵该品种苗进行抽测．如图是某次随机抽测该品种苗的高度x （cm ）的统计图，则此时该基地高度不低于300cm 的“无絮杨”品种苗约有______棵．【答案】280【解析】【分析】利用1000棵乘以样本中不低于300cm 的百分比即可求解．【详解】解：该基地高度不低于300cm 的“无絮杨”品种苗所占百分比为10%18%28%+=，则不低于300cm 的“无絮杨”品种苗约为：100028%280´=棵，故答案为：280．【点睛】本题考查用样本估计总体，明确题意，结合扇形统计图中百分比是解决问题的关键．14. 如图，PA 与O e 相切于点A ，PO 交O e 于点B ，点C 在PA 上，且CB CA =．若5OA =，12PA =，则CA 的长为______．【答案】103【解析】【分析】连接OC ，证明OAC OBC V V ≌，设CB CA x ==，则12PC PA CA x =-=-，再证明PAO PBC V V ∽，列出比例式计算即可．【详解】如图，连接OC ，∵PA 与O e 相切于点A ，∴90OAC ∠=︒；∵OA OB CA CB OC OC =ìï=íï=î,∴OAC OBC V V ≌，∴90OAC OBC ∠=∠=︒，∴90PAO PBC ∠=∠=︒，∵P P ∠=∠，∴PAO PBC V V ∽，∴PO AO PC BC=，∵5OA =，12PA =，∴13PO ==，设CB CA x ==，则12PC PA CA x =-=-，∴13512x x=-，解得103x =，故CA 的长为103，故答案为：103．【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判断和性质，熟练掌握性质是解题的关键．15. 矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且1AN AB ==．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为______．【答案】21【解析】分析】分两种情况：当90MND ∠=︒时和当90NMD ∠=︒时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当90MND ∠=︒时，∵四边形ABCD 矩形，∴90A ∠=︒，则∥MN AB ，由平行线分线段成比例可得：AN BM ND MD =，又∵M 为对角线BD 的中点，∴BM MD =，∴1AN BM ND MD==，即：1ND AN ==，【∴2AD AN ND =+=，当90NMD ∠=︒时，∵M 为对角线BD 的中点，90NMD ∠=︒∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN ND =，∵四边形ABCD 矩形，1AN AB ==∴90A ∠=︒，则BN ==∴BN ND ==∴1AD AN ND =+=，综上，AD 的长为21，故答案为：21+．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．三、解答题16. （1）计算：135---+；（2）化简：()()224x y x x y ---．【答案】（1）15；24y 【解析】【分析】（1）先求绝对值和算术平方根，再进行加减计算即可；（2）先利用完全平方公式去括号，再合并同类项即可．【详解】（1）解：原式1=335-+15=；（2）解：原式222444x xy y x xy=-+-+24y =．【点睛】本题考查实数的混合运算、多项式乘多项式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．17. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：a ．配送速度得分（满分10分）：甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10b ．服务质量得分统计图（满分10分）：c ．配送速度和服务质量得分统计表：配送速度得分服务质量得分项目统计量快递公司平均数中位数平均数方差甲78m 72s 甲乙8872s乙根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的m =______；2s 甲______2s 乙（填“>”“=”或“<”）．（2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由．（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？【答案】（1）7.5；<.（2）甲公司，理由见解析（3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可）【解析】【分析】（1）根据中位数和方差概念求解即可；（2）通过比较平均数，中位数和方差求解即可；（3）根据题意求解即可．【小问1详解】由题意可得，787.52m +==，()()()()22222137748726757110s éù=´´-+´-+´-+-=ëû甲()()()()()()()222222221478721072679725777 4.210s éù=´-+-+´-+´-+-+´-+-=ëû乙，∴22s s <甲乙，故答案为：7.5；<；【小问2详解】∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，∴甲更稳定，∴小丽应选择甲公司；【小问3详解】还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可）【点睛】本题考查中位数、平均数、方差的定义，掌握中位数、平均数、方差的定义是解题的关键．18. 如图，ABC V 中，点D 在边AC 上，且AD AB =．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出A ∠的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若（1）中所作的角平分线与边BC 交于点E ，连接DE ．求证：DE BE =．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；的（2）证明()SAS BAE DAE △≌△，即可得到结论．【小问1详解】解：如图所示，即为所求，【小问2详解】证明：∵AE 平分BAC ∠，∴BAE DAE ∠=∠，∵AB AD =，AE AE =，∴()SAS BAE DAE △≌△，∴DE BE =．【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键．19. 小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数k y x =图象上的点)A 和点B 为顶点，分别作菱形AOCD 和菱形OBEF ，点D ，E 在x 轴上，以点O 为圆心，OA 长为半径作 AC ，连接BF ．（1）求k 的值；（2）求扇形AOC 的半径及圆心角的度数；（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．【答案】（1（2）半径为2，圆心角为60︒（3）23p -【解析】【分析】（1）将)A 代入k y x=中即可求解；（2）利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出AOD ∠的度数，最后结合菱形的性质求解；（3）先计算出AOCD S =菱形，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k 的几何意义可求出FBO S =V 【小问1详解】解：将)A 代入k y x=中，得1=，解得：k =【小问2详解】解：Q 过点A 作OD 的垂线，垂足为G ，如下图：)A Q ，1,AG OG \==，2OA \==，\半径为2；12AG OA =Q ，∴1sin 2AG AOG OG ∠==，30AOG \∠=︒，由菱形的性质知：30AOG COG ∠=∠=︒，60AOC \∠=︒，\扇形AOC 的圆心角的度数：60︒；【小问3详解】解：2OD OG ==Q ，1AOCD S AG OD \=´=´=菱形221122663AOC S r p p p =´=´´=Q 扇形，如下图：由菱形OBEF 知，FHO BHO S S =V V ，2BHO k S ==V Q2FBO S \==V ，2233FBO AOCD AOC S S S S p p \=+-=+=V 阴影部分面积菱形扇形．【点睛】本题考查了反比例函数及k 的几何意义，菱形的性质、勾股定理、圆心角，解题的关键是掌握k 的几何意义．20. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD 为正方形，30cm AB =，顶点A 处挂了一个铅锤M ．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D ，A 与树顶E 在一条直线上，铅垂线AM 交BC 于点H ．经测量，点A 距地面1.8m ，到树EG 的距离11m AF =，20cm BH =．求树EG 的高度（结果精确到0.1m ）．【答案】树EG 的高度为9.1m 【解析】【分析】由题意可知，90BAE MAF BAD ∠=∠=∠=︒， 1.8m FG =，易知EAF BAH ∠=∠，可得2tan tan 3EF EAF BAH AF ∠==∠=，进而求得22m 3EF =，利用EG EF FG =+即可求解．【详解】解：由题意可知，90BAE MAF BAD ∠=∠=∠=︒， 1.8m FG =，则90EAF BAF BAF BAH ∠+∠=∠+∠=︒，∴EAF BAH ∠=∠，∵30cm AB =，20cm BH =，则2tan 3BH BAH AB ∠==，∴2tan tan 3EF EAF BAH AF ∠==∠=，∵11m AF =，则2113EF =，∴22m 3EF =，∴22 1.89.1m 3EG EF FG =+=+»，答：树EG 的高度为9.1m ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，得到EAF BAH ∠=∠是解决问题的关键．21. 某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．活动一：所购商品按原价打八折；活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价．（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a 元，请直接写出a 的取值范围．【答案】（1）活动一更合算（2）400元 （3）当300400a £<或600800a £<时，活动二更合算【解析】【分析】（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可；（2）设这种健身器材的原价是x 元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可；（3）由题意得活动一所需付款为0.8a 元，活动二当0300a <<时，所需付款为a 元，当300600a £<时，所需付款为()80a -元，当600900a £<时，所需付款为()160a -元，然后根据题意列出不等式即可求解．【小问1详解】解：购买一件原价为450元的健身器材时，活动一需付款：4500.8360´=元，活动二需付款：45080370-=元，∴活动一更合算；【小问2详解】设这种健身器材的原价是x 元，则0.880x x =-，解得400x =，答：这种健身器材的原价是400元，【小问3详解】这种健身器材的原价为a 元，则活动一所需付款为：0.8a 元，活动二当0300a <<时，所需付款为：a 元，当300600a £<时，所需付款为：()80a -元，当600900a £<时，所需付款为：()160a -元，①当0300a <<时，0.8a a >，此时无论a 为何值，都是活动一更合算，不符合题意，②当300600a £<时，800.8a a -<，解得300400a £<，即：当300400a £<时，活动二更合算，③当600900a £<时，1600.8a a -<，解得600800a £<，即：当600800a £<时，活动二更合算，综上：当300400a £<或600800a £<时，活动二更合算．【点睛】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，注意分类讨论的应用．22. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 在x 轴上，球网AB 与y 轴的水平距离3m OA =，2m CA =，击球点P 在y 轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足一次函数关系0.4 2.8y x =-+；若选择吊球，羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足二次函数关系()21 3.2y a x =-+．（1）求点P 的坐标和a 的值．（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C 点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．【答案】（1）()0,2.8P ，0.4a =-，（2）选择吊球，使球的落地点到C 点的距离更近【解析】【分析】（1）在一次函数上0.4 2.8y x =-+，令0x =，可求得()0,2.8P ，再代入()21 3.2y a x =-+即可求得a 的值；（2）由题意可知5m OC =，令0y =，分别求得0.4 2.80x -+=，()20.41 3.20x --+=，即可求得落地点到O 点的距离，即可判断谁更近．【小问1详解】解：在一次函数0.4 2.8y x =-+，令0x =时， 2.8y =，∴()0,2.8P ，将()0,2.8P 代入()21 3.2y a x =-+中，可得： 3.2 2.8a +=，解得：0.4a =-；【小问2详解】∵3m OA =，2m CA =，∴5m OC =，选择扣球，则令0y =，即：0.4 2.80x -+=，解得：7x =，即：落地点距离点O 距离为7m ，∴落地点到C 点的距离为752m -=，选择吊球，则令0y =，即：()20.41 3.20x --+=，解得：1x =±+（负值舍去），即：落地点距离点O 距离为()1m +，∴落地点到C 点的距离为()(514m -=-，∵42-<，∴选择吊球，使球的落地点到C 点的距离更近．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．23. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．（1）观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点()4,0M 的直线l y P 轴，作ABC V 关于y 轴对称的图形111A B C △，再分别作111A B C △关于x 轴和直线l 对称的图形222A B C △和333A B C △，则222A B C △可以看作是ABC V 绕点O 顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；333A B C △可以看作是ABC V 向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．（2）探究迁移：如图2，ABCD Y 中，()090BAD a a ∠=︒<<︒，P 为直线AB 下方一点，作点P 关于直线AB 的对称点1P ，再分别作点1P 关于直线AD 和直线CD 的对称点2P 和3P ，连接AP ，2AP ，请仅就图2的情形解决以下问题：①若2PAP b ∠=，请判断b 与a 的数量关系，并说明理由；②若AD m =，求P ，3P 两点间的距离．（3）拓展应用：在（2）的条件下，若60a =︒，AD =，15PAB ∠=︒，连接23P P ．当23P P 与ABCD Y 的边平行时，请直接写出AP 的长．【答案】（1）180︒，8．（2）①2b a =，理由见解析；②2sin m a（3）或【解析】【分析】（1）观察图形可得222A B C △与ABC V 关于O 点中心对称，根据轴对称的性质可得即可求得平移距离；（2）①连接1AP ，由对称性可得，112PAB P AB P AD P AD ∠=∠∠=∠，，进而可得22PAP BAD ∠=∠，即可得出结论；②连接113,PP PP 分别交,AB CD 于,E F 两点，过点D 作DG AB ^，交AB 于点G ，由对称性可知：113PE PE PF P F ==，且113PP AB PP CD ^^，，得出32PP EF =，证明四边形EFDG 是矩形，则DG EF =，在Rt DAG △中，根据sin DG DAG DA∠=，即可求解；（3）分23P P AD ∥，23P P CD ∥，两种情况讨论，设AP x =，则12AP AP x ==，先求得1PP x =，勾股定理求得13PP ，进而表示出3PP ，根据由（2）②可得32sin PP AD a =，可得36PP =，进而建立方程，即可求解．【小问1详解】（1）∵ABC V 关于y 轴对称的图形111A B C △，111A B C △与222A B C △关于x 轴对称，∴222A B C △与ABC V 关于O 点中心对称，则222A B C △可以看作是ABC V 绕点O 顺时针旋转得到的，旋转角的度数为180︒∵()1,1A -，∴12AA =，∵()4,0M ,13,A A 关于直线4x =对称，∴131248A A AA +=´=，即38AA =，333A B C △可以看作是ABC V 向右平移得到的，平移距离为8个单位长度．故答案为：180︒，8．【小问2详解】①2b a =，理由如下，连接1AP ，由对称性可得，112PAB P AB P AD P AD ∠=∠∠=∠，，2112PAP PAB P AB P AD P AD∠=∠+∠+∠+∠1122P AB P AD=∠+∠()112P AB P AD =∠+∠2BAD=∠∴2b a =，②连接113,PP PP 分别交,AB CD 于,E F 两点，过点D 作DG AB ^，交AB 于点G ，由对称性可知：113PE PE PF P F ==，且113PP AB PP CD ^^，，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD∥∴13P P P ，，三点共线，∴311311222PP PE PE PF P F PE PF EF =+++=+=，∵113,,PP AB PP CD DG AB ^^^，∴1190PFD PEG DGE ∠=∠=∠=︒，∴四边形EFDG 是矩形，∴DG EF =，在Rt DAG △中，DAG a ∠=，AD m=∵sin DG DAG DA∠=，∴sin sin DG AD DAG m a =×∠=,∴3222sin PP EF DG m a===【小问3详解】解：设AP x =，则12AP AP x ==，依题意，12PP AD ^，当23P P AD ∥时，如图所示，过点P 作1PQ AP ^于点Q ，∴12390PP P ∠=︒∵15PAB ∠=︒，60a =︒，∴1320P PAP AB ∠=︒∠=，1245DAP DAP ∠=∠=︒∴2190P AP ∠=︒，则12PP =，在1APP V 中，()111180752APP PAP ∠=︒-∠=︒，∴213180457560P PP ∠=︒-︒-︒=︒，则13230PP P ∠=︒，∴13212PP P P ==在Rt APQ △中，30PAQ ∠=︒，则1122PQ AP x ==，AQ x ==，在1Rt PQP V 中，11PQ AP AQ x x =-=，1PP x ====，∴3113PP PP PP x x =+=+=由（2）②可得32sin PP AD a =，∵AD =∴326PP =´=6x =，解得：x =；如图所示，若23P P DC ∥，则13290PP P ∠=︒，∵21360P PP ∠=︒，则32130P P P ∠=︒，则131212PP PP x ==，∵1PP x =，3PP x x x =+=，∵36PP =，6=，解得：x =，综上所述，AP 的长为或【点睛】本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．。
2022河南数学中考总复习--三角形及其全等(试题、含解析)
2022河南数学中考总复习--4.2三角形及其全等五年中考考点1三角形的有关概念1.(2020吉林,5,2分)将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为()A.85°B.75°C.65°D.60°答案B如图,∠α是△ABC的外角,所以∠α=∠ABC+∠A=45°+30°=75°.故选B.2.(2021河北,12,2分)如图,直线l,m相交于点O.P为这两直线外一点,且OP=2.8.若点P关于直线l,m的对称点是()分别是点P1,P2,则P1,P2之间的距离可能．．A.0B.5C.6D.7答案B连接OP1,OP2,因为点P关于直线l,m的对称点分别是点P1,P2,根据轴对称的性质得OP1=OP,OP2=OP.根据三角形的三边关系得OP1+OP2>P1P2,因为OP=2.8,所以0<P1P2<5.6,故选B.3.(2018福建,3,4分)下列各组数中,能作为一个三角形三边边长的是()A.1,1,2B.1,2,4C.2,3,4D.2,3,5答案C三角形的三边边长要满足“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,选项A、B、D均不符合.故选C.4.(2021福建,14,4分)如图,AD是△ABC的角平分线.若∠B=90°,BD=√3,则点D到AC的距离是.答案√3解析过D点作DE⊥AC于E点.∵AD是△ABC的角平分线,DB⊥AB,∴DE=BD=√3,即点D到AC的距离是√3.5.(2020北京,15,2分)如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,D是网格线交点,则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为:S△ABC S△ABD(填“>”“=”或“<”).答案=解析根据题中图形可以求得△ABC的面积为4,△ABD的面积由割补法可求,为4,所以两个三角形的面积相等.一题多解连接CD,可知CD∥AB,即点C、D到直线AB的距离相等,两个三角形同底等高,故面积相等.6.(2018湖北黄冈,12,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x 2-10x +21=0的根,则三角形的周长为 . 答案 16解析 ∵x 2-10x +21=(x -3)(x -7)=0,∴x 1=3,x 2=7, ∵3+3=6,∴3不能作为该三角形的第三边长, ∴三角形的第三边长为7, ∴三角形的周长为3+6+7=16.7.(2019四川成都,25,4分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.已知点A 的坐标为(5,0),点B 在x 轴的上方,△OAB 的面积为152,则△OAB 内部(不含边界)的整点的个数为 .答案 4或5或6解析 ∵A (5,0),S △OAB =152,点B 在x 轴的上方,∴点B 的纵坐标为3.设边OB ,AB 分别与直线y =1交于点E ,F ,与直线y =2交于点C ,D ,则BC =CE =EO ,CD ∥EF ∥OA ,∴CD =13OA =53,EF =23OA =103,∴线段CD 可以覆盖1个或2个整点,线段EF 可覆盖3个或4个整点,∴△OAB 内部(不含边界)的整点的个数为4或5或6.考点2三角形全等1.(2021重庆A卷,7,4分)如图,点B,F,C,E共线,∠B=∠E,BF=EC,添加一个条件,不能判定△ABC≌△DEF的是()A.AB=DEB.∠A=∠DC.AC=DFD.AC∥FD答案C由BF=EC可得BC=EF,又∠B=∠E,所以添加AB=DE后,根据SAS可得△ABC≌△DEF;添加∠A=∠D后,根据AAS可得△ABC≌△DEF;添加AC∥FD后,得∠ACB=∠DFE,根据ASA可得△ABC≌△DEF.添加AC=DF后,由SSA不能判定△ABC≌△DEF.故选C.2.(2019山东临沂,6,3分)如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,若AB=4,CF=3,则BD的长是()A.0.5B.1C.1.5D.2答案B∵CF∥AB,∴∠A=∠FCE,∠ADE=∠F,在△ADE和△CFE中,{∠A=∠FCE,∠ADE=∠F, DE=FE,∴△ADE≌△CFE(AAS),∴AD=CF=3,∵AB=4,∴DB=AB-AD=4-3=1.故选B.3.(2018江苏南京,5,2分)如图,AB⊥CD,且AB=CD,E、F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为()A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c答案D∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,∴∠A=∠C,又∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,BF=DE=b.∵EF=c,∴AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c.故选D.思路分析证明△ABF≌△CDE,得出AF=CE=a,BF=DE=b,从而推出AD=AF+DF=a+b-c.解后反思本题考查全等三角形的判定和性质,解题的关键是正确寻找全等三角形,属于中考常考题型.4.(2020北京,14,2分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上(不与点B,C重合).只需添加一个条件即可证明△ABD ≌△ACD,这个条件可以是(写出一个即可).答案答案不唯一,如:D是BC的中点解析根据题意可知AB=AC,∠B=∠C,若根据“边角边”判定△ABD≌△ACD,可以添加BD=CD(D是BC的中点);若根据“角边角”判定△ABD≌△ACD,可以添加∠BAD=∠CAD(AD平分∠BAC);若根据“角角边”判定△ABD≌△ACD,可以添加∠BDA=∠CDA(AD⊥BC或∠ADC=90°),答案不唯一.5.(2020江西,11,3分)如图,CA平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若∠EAC=49°,则∠BAE的度数为.答案82°解析∵∠EAC=49°,∴∠DAC=180°-∠EAC=131°.∵CA平分∠DCB,∴∠DCA=∠BCA,又CB=CD,CA=CA,∴△DCA ≌△BCA,∴∠DAC=∠BAC=131°,∴∠BAE=131°-∠EAC=82°.6.(2019辽宁大连,19,9分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:AF=DE.证明∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,∴BF=CE.在△ABF和△DCE中,{AB=DC,∠B=∠C, BF=CE,∴△ABF≌△DCE(SAS),∴AF=DE.7.(2021陕西,18,5分)如图,BD∥AC,BD=BC,点E在BC上,且BE=AC.求证:∠D=∠ABC.证明∵BD∥AC,∴∠EBD=∠C.(2分)∵BD=BC,BE=AC,∴△EDB≌△ABC.(4分)∴∠D=∠ABC.(5分)8.(2019江苏苏州,24,8分)如图,△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置,使得∠CAF=∠BAE.连接EF,EF与AC交于点G.(1)求证:EF=BC;(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.解析(1)证明:∵线段AC绕点A旋转到AF的位置,∴AC=AF.∵∠CAF=∠BAE,∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE,即∠EAF =∠BAC. 在△ABC 和△AEF 中,{AB =AE ,∠BAC =∠EAF ,AC =AF ,∴△ABC ≌△AEF (SAS ), ∴EF =BC. (2)∵AE =AB ,∴∠AEB =∠ABC =65°. ∵△ABC ≌△AEF , ∴∠AEF =∠ABC =65°,∴∠FEC =180°-∠AEB -∠AEF =180°-65°-65°=50°. ∵∠FGC 是△EGC 的外角,∠GCE =28°, ∴∠FGC =∠GEC +∠GCE =50°+28°=78°.9.(2021河南,23,10分)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段,请仔细阅读,并完成相应的任务.图1小明:如图1,(1)分别在射线OA ,OB 上截取OC =OD ,OE =OF (点C ,E 不重合);(2)分别作线段CE ,DF 的垂直平分线l 1,l 2,交点为P ,垂足分别为点G ,H ;(3)作射线OP ,射线OP 即为∠AOB 的平分线.简述理由如下:由作图知,∠PGO =∠PHO =90°,OP =OP ,OG =OH ,所以Rt △PGO ≌Rt △PHO ,则∠POG =∠POH ,即射线OP 是∠AOB 的平分线.图2小军:我认为小明的作图方法很有创意,但是太麻烦了,可以改进如下,如图2,(1)分别在射线OA,OB上截取OC=OD,OE=OF(点C,E不重合);(2)连接DE,CF,交点为P;(3)作射线OP,射线OP即为∠AOB的平分线.……任务:(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是(填序号).①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL(2)小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗?请判断并说明理由.(3)如图3,已知∠AOB=60°,点E,F分别在射线OA,OB上,且OE=OF=√3+1,点C,D分别为射线OA,OB上的动点且OC=OD,连接DE,CF,交点为P,当∠CPE=30°时,直接写出线段OC的长.图3解析(1)⑤(2分)(2)是.(注:若没写出判断结果,但后续证明正确,不扣分)(3分)理由如下:由作图可知,OC=OD,OF=OE.又∵∠COF=∠DOE,∴△COF≌△DOE.∴∠OFC =∠OED. (5分) 连接EF.∵OF =OE ,∴∠OFE =∠OEF. ∴∠PFE =∠PEF ,∴PF =PE. 又∵OP =OP ,OF =OE , ∴△FOP ≌△EOP. ∴∠FOP =∠EOP ,即射线OP 是∠AOB 的平分线. (8分)(3)2或2+√3. (10分)提示:连接OP.由(1)(2)可知,图形关于直线OP 对称,分情况讨论:①如图1,当点C 在线段OE 上时,连接EF ,过点C 作CG ⊥OB 于点G ,∵∠COB =60°,OE =OF =√3+1,∴△OEF 为等边三角形,∴∠OFE =60°,∵PE =PF ,∴∠EFP =12∠2=12×30°=15°,∴∠1=∠OFE -∠EFP =45°,设OG =x ,则CG =√3x ,GF =CG =√3x ,∴OG +GF =x +√3x =√3+1,∴x =1. ∴OC =2x =2;②如图2,当点C 在线段OE 的延长线上时,连接CD ,过点E 作EH ⊥OB 于点H ,同①可证∠1=45°,在Rt △EOH中,EH =OE ·sin 60°=√32(√3+1)=32+√32,OH =12OE =√32+12,在Rt △EHD中,HD =EH =32+√32,∴OD =OH +HD =2+√3,∴OC =2+√3.综上,线段OC 的长为2或2+√3.图1图2题干解读本题是以作已知角的平分线的不同方法为背景的几何综合题,小明和小军的作图过程中分别提供了相等的角和线段,可以依据三角形全等的判定和性质证明作图的正确性.在(3)中,点C,D分别为射线OA,OB上的动点,OE=OF且OE,OF为定长,需分点C,D分别在线段OE,OF上和点C,D分别在线段OE,OF的延长线上两种情况,再结合题中所提供的条件,构造等边三角形、直角三角形,通过计算可以求得线段OC的长.三年模拟A组基础题组一、选择题(每题3分,共9分)1.(2021南阳宛城一模,4)在三角板拼角活动中,小明将一副三角板按如图方式叠放,则拼出的∠α度数为()A.65°B.75°C.105°D.115°答案C根据题意得,∠ACB=45°,∠D=60°,∠DCB=90°,则∠DCA=90°-45°=45°,所以∠α=∠D+∠DCA=60°+45°=105°.故选C.2.(2020信阳二模,8)如图,已知在Rt△ABC中,∠B=90°,以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB、AC于点D、E,再分别以点D、E为圆心,大于12DE长为半径作弧,两弧交于点F,作射线AF交BC于点G,若BG=1,AC=4,则△ACG的面积是()A.1B.2C.32D.52答案B由题意知AF平分∠BAC,过点G作GH⊥AC于点H,∵∠B=90°,∴GH=BG=1,∴S△ACG=12GH·AC=2.故选B.3.(2021商丘柘城一模,4)如图,△EFG的三个顶点E,G和F分别在平行线AB,CD上,FH平分∠EFG,交线段EG于点H,若∠AEF=36°,∠BEG=57°,则∠EHF的大小为()A.105°B.75°C.90°D.95°答案B∵∠AEF=36°,∠BEG=57°,∴∠FEH=180°-36°-57°=87°.∵AB∥CD,∴∠EFG=∠AEF=36°,∵FH平分∠EFG,∴∠EFH=12∠EFG=12×36°=18°,∴∠EHF=180°-∠FEH-∠EFH=180°-87°-18°=75°.故选B.思路分析本题主要考查三角形内角和定理的应用,角平分线的定义及平行线的性质,依据上述性质得出相关角的大小,由角的和差运算求出∠EHF的大小即可.二、填空题(每题3分,共6分)4.(2021信阳一模,12)一副直角三角板如图放置,AB∥EF,∠B=30°,∠F=45°,则求∠1=.答案75°解析∵AB∥EF,∠F=45°,∴∠BDF=∠F=45°,∴∠1=∠B+∠BDF=75°.5.(2020信阳一模,13)一个等腰三角形边长的数值是方程x2-6x+8=0的根,那么这个等腰三角形的周长为.答案10解析解方程x2-6x+8=0,得x1=2,x2=4,则等腰三角形的三边长分别为2,4,4.故其周长为10.三、解答题(共20分)6.(2021信阳一模,18改编)定义:三角形一个内角的平分线与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.如图,∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角,若∠A =α,请用含α的代数式表示∠E.解析 ∵BE 平分∠ABC ,CE 平分∠ACD , ∴∠EBD =12∠ABC ,∠ECD =12∠ACD , ∵∠ECD =∠E +∠EBD ,∴∠E =∠ECD -∠EBD =12(∠ACD -∠ABC )=12∠A =12α.7.(2021郑州三模,22改编)如图,两个等腰直角△ABC 和△CDE 中,∠ACB =∠DCE =90°. (1)观察猜想如图1,点E 在BC 上,线段AE 与BD 的数量关系是 ,位置关系是 ; (2)探究证明把△CDE 绕直角顶点C 旋转到图2的位置,(1)中的结论还成立吗?说明理由.解析 (1)AE =BD ;AE ⊥BD. (2)结论成立.理由如下:如图,延长AE 交BD 于点H ,交BC 于点O.在△ABC和△CDE中,AC=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD=90°,∴∠ACB-∠BCE=∠ECD-∠BCE,∴∠ACE=∠BCD,∴△ACE≌△BCD,∴AE=BD,∠EAC=∠CBD,∵∠EAC+∠AOC=90°,∠AOC=∠BOH,∴∠BOH+∠OBH=90°,∴∠OHB=90°,即AE⊥BD.思路分析本题考查几何变换、等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质.(1)根据条件证明△ACE≌△BCD即可.(2)结论不变.在图2中,延长AE交BD于点H,交BC于点O,证明△ACE≌△BCD,可以求得结论.8.(2020中原名校三模,22(1)(2))问题呈现:已知等边三角形ABC边BC的中点为点D,∠EDF=120°,∠EDF的两边分别交直线AB,AC于点E,F,现要探究线段BE,CF与等边三角形ABC的边长BC之间的数量关系.(1)特例研究:如图1,当点E,F分别在线段AB,AC上,且DE⊥AB,DF⊥AC时,请直接写出线段BE,CF与BC的数量关系:;(2)问题解决:如图2,当点E落在射线BM上,点F落在线段AC上时,(1)中的结论是否成立?若成立,请说明理由;若不成立,请通过证明探究出线段BE,CF与等边三角形ABC的边长BC之间的数量关系.解析(1)BE+CF=1BC.(3分)2(2)不成立.理由如下:如图,分别过点D作DG⊥AB于点G,DH⊥AC于点H,易证得△BDG≌△CDH,则BG=CH,DG=DH.∵∠A=60°,∠DGA=∠DHA=90°,∴∠GDH=120°,∵∠EDF=120°,∴∠FDH=∠EDG,则△DGE≌△DHF,∴EG=FH,∴CF-FH=CF-EG=CF-(BE+BG)=CF-BE-BG=CH,即CF-BE=2CH,在Rt△DCH中,CD=2CH,∴CF-BE=CD,即CF-BE=1BC.(8分)2思路分析(1)根据等边三角形的性质和直角三角形的性质可得出线段BE、CF和BC之间的关系.(2)过点D 作AB、AC的垂线,结合题中的条件构造全等三角形,依据全等的性质找出相等线段,判断三条线段的数量关系.B组提升题组一、选择题(每题3分,共6分)1.(2020驻马店二模,7)如图,在△ABC中,∠BAC=80°,以点B为圆心,以任意长度为半径画弧交BA,BC于点D,E,分别以点D,E为圆心,以大于1DE的长度为半径画弧,两弧交于点P,作射线BP;以点C为圆心,以任意长度为半径2画弧交AC,BC于点M,N,分别以点M,N为圆心,以大于1MN的长度为半径画弧,两弧交于点Q,作射线CQ.若BP与CQ2相交于点O,则∠BOC的度数是()A.100°B.110°C.120°D.130° 答案 D 由作图知BP ,CQ 分别平分∠ABC ,∠ACB , 则∠OBC =12∠ABC ,∠OCB =12∠ACB , ∴∠OBC +∠OCB =12(∠ABC +∠ACB ), ∴180°-∠BOC =12(180°-∠A ), ∴∠BOC =90°+12∠A =130°.故选D .2.(2021开封二模,10)如图,将△ABC 沿着过BC ,AB 的中点D ,E 所在的直线折叠,使点B 落在AC 边上的B 1处,称为第一次操作,点D 到AC 的距离为h 1;还原纸片后,再将△BDE 沿着过BD ,BE 的中点D 1,E 1所在的直线折叠,使点B 落在DE 边上的B 2处,称为第二次操作,点D 1到AC 的距离记为h 2,按上述方法不断操作下去……经过第n 次操作后得到点D n -1到AC 的距离记为h n ,若h 1=1,则h n 的值为 ( )A.2-12n -1B.2-12nC.1+12n -1D.1+12n答案 A 如图,过点B 作BG ⊥AC 于点G 交DE 于点F ,交D 1E 1于点M ,过点D 作DH ⊥AC 于点H ,∵D ,E 分别为BC ,BA 的中点,∴BD =DC ,DE ∥AC ,∴DE ⊥BF ,∴∠BFD =∠DHC =90°,∠BDF =∠C , ∴△BFD ≌△DHC ,∴BF =DH =FG , 即h 1=12BG =1,∴BG =2, 同理BM =12BF =12,即h 2=2-12, ∴h 3=2-122,…,h n =2-12n -1.故选A .一题多解 过点B 作BG ⊥AC 于点G ,交DE 于点F ,交D 1E 1于点M ,,∵D ,E 分别为BC ,AB 的中点,∴DE ∥AC ,DE =12AC ,∴BF BG =BD BC =12,∴BF =FG =12BG =1,∴BG =3,同理,BM =12BF =12,∴h 2=2-12,∴h 3=2-122,…,h n =2-12n -1.故选A .二、填空题(每题3分,共9分)3.(2021濮阳二模,14)如图,在△ABC 中,已知AB =4,AD ⊥BC ,垂足为D ,BD =2CD ,若E 是AD 的中点,则EC = .答案 2解析 取BD 的中点F ,连接EF , ∵E 是AD 的中点, ∴EF =12AB =2, ∵BD =2CD ,∴FD =CD , ∵AD ⊥BC ,∴EC =EF =2.4.(2020信阳二模,13)如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,∠B =36°,AD 是BC 边上的中线,将△ACD 沿AD 折叠,使点C 落在点F 处,DF 交AB 于点E ,则∠DEB = .答案 108°解析 在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,∴∠C =90°-∠B =54°.∵D 是BC 的中点,∴DA =DC ,∴∠DAC =∠C =54°,∴∠ADC =∠ADF =72°,∴∠EDB =180°-2×72°=36°,∴∠DEB =180°-∠B -∠EDB =180°-36°-36°=108°.5.(2019郑州一模,14)如图,已知△ABC ≌△DCE ≌△GEF ,三条对应边BC 、CE 、EF 在同一条直线上,连接BG ,分别交AC 、DC 、DE 于点P 、Q 、K ,其中S △PQC =3,则图中三个阴影部分的面积和为 .答案 39解析 ∵△ABC ≌△DCE ≌△GEF , ∴∠ACB =∠DEC =∠GFE ,BC =CE =EF. ∴AC ∥DE ∥GF.∴PC KE =12,PC GF =BC BF =13,∴KE =2PC ,GF =3PC. 又∵DK =DE -KE =3PC -2PC =PC , 易证△DQK ≌△CQP.设△DQK 的边DK 长为x ,DK 边上的高为h , 则12xh =3,整理得xh =6, ∴S △BPC =12x ·2h =xh =6.∴S 四边形CEKQ =12×3x ·2h -3=3xh -3=3×6-3=18-3=15,S △EFG =12×3x ·2h =3xh =18. ∴三个阴影部分的面积和为6+15+18=39.三、解答题(共25分)6.(2021许昌二模,18改编)如图,在△ABC 中,∠BAC =90°. (1)尺规作图,作出经过A ,B ,C 三点的☉O ;(不写作法,保留作图痕迹) (2)连接AO 并延长,交☉O 于点D ,连接DB ,DC. 求证:△BDC ≌△CAB.解析 (1)如图所示,☉O 即为所求.(2)证明:∵OA =OD ,OB =OC , ∴四边形ABDC 是平行四边形, ∴CD =AB ,BD =CA ,在△BDC 和△CAB 中{CD =BA ,BD =CA ,BC =CB ,∴△BDC ≌△CAB (SSS ).7.(2019开封一模,22(1)(2))(1)操作:如图1,点O 为线段MN 的中点,直线PQ 与MN 相交于点O ,请利用图1画出一对以点O 为对称中心的全等三角形;(不写画法)(2)根据上述操作得到的经验完成探究活动:如图2,在四边形ABCD 中,AB ∥DC ,E 为BC 边的中点,∠BAE =∠EAF ,AF与DC的延长线相交于点F.试探究线段AB与AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论.解析(1)如图①.(1分)(2)结论:AB=AF+CF.(2分)证明:如图②分别延长AE、DF交于点M,∵E为BC的中点,∴BE=CE,∵AB∥CD,∴∠BAE=∠M.在△ABE与△MCE中,{∠BAE=∠M,∠AEB=∠MEC, BE=CE,∴△ABE≌△MCE(AAS),∴AB=MC,∵∠BAE=∠EAF,∴∠EAF=∠M,∴AF=MF,∴AB=MC=MF+FC=AF+FC.(6分)8.(2021濮阳二模,23)(1)[问题背景]如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是直线BC上的一点,将线段AD 绕点A逆时针旋转90°至AE,连接CE,求证:△ABD≌△ACE;(2)[尝试应用]如图2,在(1)的条件下,延长DE,AC交于点G,BF⊥AB交DE于点F,求证FG=√2AE;(3)[拓展创新]如图3,A 是△BDC 内一点,∠ABC =∠ADB =45°,∠BAC =90°,BD =√3,直接写出△BDC 的面积为 .解析 (1)[问题背景]证明:如图1∵∠BAC =∠DAE =90°,∴∠DAB =∠EAC ,在△ABD 和△ACE 中{AD =AE ,∠DAB =∠EAC ,AB =AC ,∴△ABD ≌△ACE (SAS ).(2)[尝试应用]证明:如图2,过点D 作DK ⊥DC 交FB 的延长线于点K.∵DK ⊥CD ,BF ⊥AB ,∴∠BDK =∠ABK =90°,∵AB =AC ,∠BAC =90°,∴∠ABC =∠ACB =45°,∴∠DBK =∠K =45°,∴DK =DB ,∵△ABD ≌△ACE ,∴∠ABD =∠ACE =135°,DB =EC =DK ,∴∠ECG =45°,∵BF ⊥AB ,CA ⊥AB ,∴AG ∥BF ,∴∠G =∠DFK.在△ECG 和△DKF 中{∠ECG =∠K ,∠G =∠DFK ,CE =KD ,∴△ECG ≌△DKF (AAS ),∴DF =EG ,∵DE =√2AE ,∴DF +EF =√2AE ,∴EG +EF =√2AE ,即FG =√2AE.(3)[拓展创新]32.提示:如图3中,过点A 作AE ⊥AD 交BD 于点E ,连接CE ,∵∠ADB =45°,∠DAE =90°,∴△ADE 与△ABC 都是等腰直角三角形,∠DEA =45°,同法可证△ABD ≌△ACE ,∴CE =BD =√3,∵∠AEC =∠ADB =45°,∴∠CED =∠AEC +∠DEA =90°,∴S △BDC =12·BD ·CE =12×√3×√3=32.思路分析 本题考查旋转变换,三角形全等的性质与判定及等腰直角三角形的性质.(1)根据条件,用“边角边”判定全等.(2)以DB 为边,点D 为直角顶点作辅助线构造等腰直角三角形,证明全等,将FG 的长转化为DE ,而DE =√2AE ,求得结论.(3)作辅助线构造“手拉手模型”的全等三角形,证出CE 即为△DBC 的边BD 上的高,即可求出面积.。
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2022年河南中考数学试卷分析今年的数学中考题，学生和老师总体感觉“容易”。
1·为什么“容易”？2022年中考是实施“双减”政策的第一年，中考前教育部颁布“双减”政策以及对中考的要求，强调中考试题顺应“双减”政策。
这样命题不会超标和随意扩大，避免了偏题怪题出现、杜绝了计算量大的题出现，做到了教考有效的衔接，这样给学生和家长一个信号，只要认真学好课堂知识就可以考好。
既减轻了学生作业时间，又削弱了学生参加校外培训的动力，很好地促进了学生的全面发展，从本质上顺应了“双减”。
2·数学试卷难度降低。
试卷“兼顾毕业的检测和升学”的功能1--14题都是计算量很小有的直接用知识点就可以做出选择，16题只是化简和一个有关幂的运算，与以往的化简求值做了删减。
17题一次函数与反比例综合也降低了很多难度，三问内容都是课本上基础知识的运用。
18--21是平时教学的直接衔接基本知识的能力的迁移，22题与去年的21题知识点有共性的地方，23题类比探究难度也是降低了很多。
3·试卷这样做的好处是：很好的落实了“双减”为学生减轻了课业负担，学生有时间充分发挥自己的爱好，多读书、读好书的时间，培养自己的兴趣爱好，对于自身想钻研的内容有了大量的时间；缺点我认为：针对中考数学成绩同样很好的学生不能区分开来那个更有潜力，因为从成绩上不是很容易的区分出来那个是经过咬紧牙关达到的高分，那个是轻轻松松达到的高分。
针对这种情况班
级尖子生该怎样培养呢？目前我采用重点补充和分层次作业，让他们平时接触中考题、研究中考题，上课时补充中考知识，或者九年级的知识，提前了解数学知识的系统性，连贯性。
每次作业都有一个综合性特高、覆盖高频考点较多的作业，根据自己的能力来挑战，学生可以选择性的去做，班级的吴宇豪、庄常宇、金乾江等几位同学就是这样的学生，每次高难度选拔题都是积极的参与，针对这几位学生都不会的问题，单独给他们讲解，对于平时不会的、高难度的问题、做到问题归类，提升他们分析能力，拓宽解题思路，让他们尝试一题多解的分析，所以这几位同学担起了班级数学“小老师”的角色，期中吴宇豪考了120分，本次期末吴宇豪考了116分，其中一个计算在开方运算时一个符号错误扣去了4分，尖子生答题规范程度达到了要求，包括张校长提出的演草纸的使用做到了规范使用，良好的做题习惯得到了加强。
4·2020--2022近三年河南省中考数学考点分布图
二·对以后的教学思考
“双减”后的首次中考很好地发挥了教育教学改革“指挥棒”的作用，为初中教育指明了未来发展方向，要着力促进学生全面健康而有个性地发展。
1·通过对今年数学中考试题反复的研读给我的最大感觉就是：得基础者得中考。
在以后的教学中，注重加强对基础知识的考查，以教材为依托，以思维能力提升为主要目标。
今年的试题近60%的题目为基础题，考查的内容、层次、范围、比例等均与课标吻合。
2·10---13题19---22题是以现实情境为背景，突出育人作用。
充分体现数学学科应用的广泛性、基础性和联系实际的特点，设置真实情境，体现数学源于现实、应用于现实，命题更体现育人的本质。
23题培养学生的应用意识与创新意识。
3·19题是以开封清明上河园佛云阁为素材，了解中国历史文化。
考查学生的数学思想方法，认知和理解、迁移与转化的能力，对激发学生的民族自豪感和探索精神大有裨益。
命题紧紧围绕“立德树人”和“核心素养’”两个风向标，材料鲜活，时代感强；试题的命制正向着培育学生核心素养、探索育人本质的方向不断迈进。
为平时教学中校内作业量的布置、校外学科类培训标明了“红
线”。
但是要想提升数学成绩，最关键的还是数学基础知识理解掌握和学生数学解题能力的提升以及要有良好数学素养。
4·在平时的数学新课教学中：要让学生理解数学概念、数学定理，而不是死记硬背。
引导学生思考“是什么、为什么、如何用”三问，以此达到知识内化的效果。
5·老师下题海，学生泛轻舟。
题不在于做得多，而是重在思考。
‘双减’之下，学生要告别过去的‘满堂灌’‘拼刷题’，在以后的教学中整合每章数学知识点，高频考点，易错点，知识的纵向、横向联系，准备好拓展练习、分层练习等，让学生精准打击重点知识，省去搜索时间，提倡学生多思、多悟，提升学生分析问题总结归类能力，让学生从要我学到我要学的转变。
6·进入复习阶段，不可“不分轻重一把抓”，一定要有针对性。
结合XXX校长走访班级时谈到的：“对数学知识点，分场次的覆盖融合，要把高频考点先罗列出来，用不同试卷对同一知识点不同层次的训练，重点讲解学生出错的点，要狠抓课堂效率、少灌输多探究”。
典型题专题讲，达到一题变多变的效果，减少重复练习，力求减负提质。
要从针对性入手，实施‘简化内容、强化基础、适度拔高、分层要求’的灵活复习方式；提升学生自信心，增强学生对关键问题探究兴趣。
平时不做偏题怪题，在错题更正的过程中，必须追本溯源、理清错题的思路，找到错误的症结。
知识点融会贯通，规范答题，注重答题过程的严谨性、完整性，规范学生答题，培养学生平时合理使用演草纸，减少不必要的失分。