解答-华南农业大学2011高等代数1期末试卷

2011学年第一学期 高等代数Ⅰ(A 卷)

一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1. 注：此题不考

2. 已知方阵33()ij A a ⨯=的第1行元素分别为111=a ，212=a ，113-=a ，

且知A 的伴随矩阵*732537425A --⎛⎫ ⎪

=- ⎪ ⎪-⎝⎭

，则A =（ B ）

A . 0

B . -1

C . 1

D . 以上答案都不对

分析： A 的第一行元的代数余子式111213,,A A A 就是*A 的第一列元-7,5,4

所以按照A 的第一行元展开得

111112121313=1-7+25+-=-A a A a A a A =++⨯⨯⨯（

1）41。 注意：行列式按本行（列）展开的值为A ，串行（列）展开的值为“0” 内容见课本78页定理3.

3. 下列命题中与命题“n 阶方阵A 可逆”不等价．．．

的是（ ） A . 0A ≠ B . ()R A n =

C . 方程组0Ax =有非零解

D . A 的行（列）向量组线性无关 分析：n 阶方阵A 可逆

0A ⇔≠⇔判断矩阵可逆的常用方法

0(A)=n A A R ≠⇔⇔满秩

(A)=n A R A n n ⇔⇔的行（列）向量组的秩为n 的的个行（列）向量无关

00A Ax ≠⇔=方程个数与未知数个数相等的齐次线性方程组只有零解 注意：此题改为与“n 阶方阵A 不可逆”的等价条件是？ 4. 设,A B 为n 级矩阵，则下列结论错误的是（ A ）

A . A

B A B +=+ B . AB BA =

C . ()T T T AB B A =

D . ()T T T A B A B +=+ 分析：A B A B +=+，纯属杜撰，无此公式

AB BA =，课本175页定理1；C ，D 见课本174页公式（17）

（18）. 5. 设A 为5级方阵，且()4R A =，12,αα是0AX =的两个不同的解向量，则

0AX =的通解为（ A ）

A . 1k α

B . 2k α

C . 12()k αα+

D . 12()k αα- 分析：方程组0AX =含“5”个未知数，其基础解系解向量个数

n-r(A)=1,

1212121+--0αααααααα≠r

，，，中只有，其它不能保证非零，从而无法保证无关 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

1. 以1－i 为根的次数最低的实系数多项式是 .此题不考

2. 设,A B 均为3阶方阵，且1

,12A B ==-，*A 为A 的伴随矩阵,

则12A B *-=－2

分析：312

*112||||=8A

2B

B A B A *--= 注意：n 阶方阵A ：1

1*1A A ,A ,A A n n A

λλ--==

= 3. 若矩阵12345(,,,,)A ααααα=经过初等行变换化为10312011010001100000⎛⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎝⎭

（阶梯型矩

阵），那么向量组12345,,,,ααααα的秩为 3 ，它的一个极大线性无关组为124,,ααα.

注意：初等行（列）变换不改变矩阵的秩；（矩阵求秩的原理） 初等行变换不改变列向量组的相关性；（求极大无关组依据） 初等列变换不改变行向量组的相关性；

4. 当x = -1 时, 向量(,1,0)x 可由向量组12(1,1,0),(2,0,1)αα=-=-

线性表出.

分析：向量(,1,0)x 可由向量组12(1,1,0),(2,0,1)αα=-=-线性表出，因此3个

向量构成相关组，因此

10

11001201

x x -=⇒=-- 5. 若二次型22212312

3121323(,,)5224f x x x x x x t x x x x x x =+++-+是正定的， 则t 的取值范围为4

05

t -<<.

分析：二次型正定，所有顺序主子式去全大于零。

三、判别题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）

（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“⨯”）

1. 每一个多项式都有唯一确定的次数. （ ⨯ ） 分析：课本第4页，零多项式()0f x =是唯一不定义次数的多项式。

2. 此题不考（ ）

3. n 级排列中奇排列的个数为

2

!

n 。 （ √ ） 分析：课本52页推论，全部n 级排列中，奇，偶排列个数各占一半为2

!

n

4. 下列矩阵中: 100020003⎛⎫

⎪

⎪ ⎪

⎝⎭, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010101, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100110101, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200011001,

只有一个是初等矩阵. （ √ ）

分析：初等矩阵由单位矩阵E 经过一次初等变换而成

23

23100100010020001003r r ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 非初等矩阵， 13100101010010001001r r +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

初等矩阵 ，2313100101010011001003r r r r ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭非初等矩阵， 213-3

100101010011001003r r r

⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭非初等矩阵， 5. 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵. （ √ ）

四、解答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）

1.设422(),()2,f x x x ax b g x x x =+++=+- 求,a b 使得()(),()().f x g x g x = 解 要使()(),()(),f x g x g x = 必须()().g x f x (2分)

用()g x 除()f x ，得余式