摄动有限体积法重构近似高精度的意义
有限体积方法
有限体积方法引言有限体积法(FVM)是在物理空间上积分形式的守恒方程进行直接离散的数值方法。
与有限差分方法相比有限体积方法更具有一般性，适用于任意形式的网格，结构网格与非结构网格均适用。
有限体积法是一种基于将CFD中最基本的量在单元内的平均值，这是与有限差分及有限元方法区别的地方，后边两种方法的数值量都取为在网格点上。
FVM方法一个重要优势是跟守恒性离散这个重要的概念联系起来，它可以自动满足具有守恒性的离散。
另一个优点就是适用于任意的网格。
5．1 守恒性离散对于量U守恒律的一般积分形式可以由式(1.1.1)给出如下将上式的最终表面源项合并到通量项中得到该表达式的基本特点是存在表面积分以及在体积内U的时间变化只依赖于表面上的通量. 如图5.1.1所示可将一个体积元分解成三个亚体元,对于每个亚体元写出守恒律表达式将这些表面积分进行加和,内部线ADB以及DE总是两次出现,但是方向相反,将三部分积分守恒律相加,这些内部的贡献量就会抵消,只剩下外边界的贡献量.例如,对于有一个通量的贡献量而对于也有一个相似的项:这样这两项相加就可以抵消. 故要保证格式是守恒的,通量的数值离散必须满足这样一个基本性质.下面我们以一维守恒律的情形来说明这个问题结合图5.1.2来说明这个问题其中f是矢量通量的x方向分量, 参考上图, 定义一个一维有限体积网格,并把中间点定义为“单元面”. 例如, 对于元(i), 单元面就是i-1/2与i+1/2的中点.对该有限体积网格应用中心差分, 在i, i+1与i-1点处分别离散得到将以上三个方程加和就得到了与元AB(i-3/2, i+3/2)上的守恒律相容的离散方程,即从上式可以看出内部点的通量贡献已经抵消掉. 有时这种特性称为通量项的“telescoping property”, 对于元AB, 只考虑中间点i(不考虑i-1与i+1点),则离散形式可以直接写为从 5.1.7的两式对比中, 我们可以看到通量部分的离散具有统一的形式, 这就是我们所要强调的守恒的特性.如果我们要考虑方程(5.1.3)的非守恒形式, 则通量的导数就可以写为其中, a(u)为Jacobian函数, , 故非守恒形式可以写为利用图5.1.2所示的有限体积网格, 对非守恒形式在i点应用二阶中心差分得到其中是的值.同样,对于i+1点以及i-1点有,将9式中三个离散式子进行加和得到参考5.1.7b, 将5.1.8式直接在AB上进行离散,可得我们发现5.1.10a右边由元AB内部点贡献的通量部分并不能互相抵消掉, 表现出源项的特点,这导致计算机程序不能将之与物理源项相区分, 故非守恒形式的离散会产生内部源.这些项被认为在网格点处展开为一项的二阶形式. 在连续流情况下可以忽略它, 但是对于计算非连续流动,比如流动中有激波产生, 就会产生巨大的误差. 数值实验显示非守恒形式比守恒形式的精度更低,尤其是在遇到梯度大的地方,由于数值源项的存在会产生更大的误差.5.1.1 守恒的离散化的正式表示方法对于5.1.3式,如果离散成如下的形式就可以满足守恒性要求,为数值通量, 其为u在(2k)个邻域内点的函数.此外, 方程5.1.11与原方程相容性要求当所有的均相等时,有这些都可以直接推广到多维的情形, 以上条件必须分别对矢量通量的所有分量均成立.定理: 当趋近于0时,若离散方程5.1.11的解几乎处处收敛于某个函数值, 则是方程 5.1.3的弱解(可以存在有限个间断——Rankine-Hugoniot条件)5.2 有限体积方法基础有限体积方法是积分形式的守恒律方程的直接离散,这是有限体积方法与有限差分方法最大的区别,由于积分形式是守恒律的最一般的表达式,它不要求通量一定是连续的,这就是有限体积方法接近真实流动的原因.FVM需要按以下步骤来构建:1.划分网格,由空间离散得到有限体积,一个控制体积与每一个网格点都相关联2.在每一个有限体积上应用积分形式的守恒律.有限体积选择的条件由于具有普遍性,有限体积方法能够适用于任何类型的网格,结构与非结构.单元居中的方法: 未知量定义在网格单元的中心,网格线定义了有限体积及表面积, 此处, 变量与单元相关,如图5.2.1a及c. 流动变量是在整个单元的平均值, 可以认为是单元内部某些有代表性点的值, 例如单元中心点.单元顶点的方法: 未知量定义在网格角上,此处变量与网格点相关,例如单元顶点, 如图5.2.1b,d所示在相容的有限体积方法的体积的选择上,以下的限制条件必须得到满足:(i)它们的总数应该覆盖整个区域(ii)亚区域是允许重叠的,条件是表面的每一部分作为一个偶数个不同亚区域的部分而出现,这样整体的总积分守恒律就适用于任何相邻亚区域的组合域.(iii)通量沿单元表面必须由不依赖于当地单元的公式来计算.(iii)确保了守恒特性的满足,因为通量的内部边界的贡献量会抵消掉(相关的有限体积相加之后)5.2.2 有限体积离散的定义将积分型守恒律应用到每一个控制体积, 关联到网格点J, 因此对于依附于该点或单元上未知量的离散化方程可定义为:该方法的优点(对于无源项方程尤其有优势)是通量只在二维表面上计算,而不是三维空间中. 5.2.1可由其离散形式代替,对于参考图5.2.1a对于单元1(i, j), 用统一表示, 是ABCD面. 通量项在4条边AB, BC, CD, DA求和.式(5.2.2) 说明了有限体积法与有限差分及有限元法区别的一些重要特性: 1.点J的坐标是变量的准确位置,在控制体积内它将不会明确的标出.因此在控制体内联结到一个固定点,将之看作是整个控制元上该流动变量U的一个平均值(图5.2.1a). 5.2.2式中第一项代表在选定的控制体积上流动变量的平均值的时间变化率.2.网格坐标只出现在确定的单元体积以及侧面上. 因此, 参照图5.2.1a, 考察点1的控制元ABCD只有A,B,C,D的坐标将是需要用到的.3.当不存在源项的时候,有限体积方程式表示时间间隔内U的平均值变化等于相邻单元之间通量的交换量,对稳态流动,得到的数值解是通量进入控制体平衡的结果, 即例子: 图5.2.1a中AB面,对于1则通量贡献量为正,而8则为负.4. 有限体积也允许边界条件的自然引入, 例如固壁, 法向分量为0, 对连续方程. 在固壁处. 因此对(5.2.2)及(5.2.3)的相应的贡献变为0.5.2.3 数值格式的一般表达式假设守恒律的积分形式(5.2.1)对于控制体积, 从到进行积分有,引入单元平均守恒变量, 在时间的源, 单元与时间平均源, 以及每个边上的数值通量, 分别定义如下守恒的离散化采用如下形式:其中与任何网格点无关, 它是整个单元上的平均. 为了在离散化的水平上实现守恒,在给定的单元面上的数值通量的估计必须独立于其所属的单元.如果考虑空间离散完全由其数值通量来定义,时间积分项暂不处理,则以上的数值方法就会得到其一般形式. 一个一般的数值格式可以定义为对时间的常微分方程为定义残差为整个单元上的通量平衡减去源项贡献. 5.2.6是5.2.7的时间的向前差分,也有其他的时间离散方法,例如龙格-库塔法.守恒性条件可选择的公式在任意数量的单元上对5.1.2进行展开, J=1-N. 对所有的单元进行加和,削去所有单元内表面的贡献项得,定义为在整个单元的平均值,该格式的守恒性要求,在每一个时间步,如下的条件要得到满足,边界以及源项5.3 有限体积方法的实际应用5.3.1 二维有限体积方法如图5.2.1a,考察控制单元ABCD, 方程5.2.1可写为f, g为矢量通量F的直角坐标分量,对边AB,表面矢量可定义为对于单元,可以得到有限体积方程ABCD展开求和包括ABCD的四条边,对于一般的四边形,面积可由对角线矢量乘积表示,如图5.3.1, 平行四边形1234的面积是ABCD的两倍,因此, 为点A的位置矢量.对于单元ABCD,上式右边为正.通过单元表面通量的计算沿侧边通量分量,如的计算(a)对于中心离散格式以及单元中心化的有限体积方法,有以下做法:1.通量平均2.由于通量分量一般是U的线性函数,以下的式子与5.3.5不等价3.将取为通量在A及B处的平均这里,可以在A及B处求变量的值, 例如以及也可以进行通量的直接平均, 例如:可以看到, 5.3.7与5.3.10比5.3.8与5.3.11需要更少的通量计算(b)对于中心格式及单元-顶点的有限体积方法:5.3.7, 5.3.8是对通量的直接近似, 5.3.8是对应着对积分梯形公式的应用通过加和在单元ABCD四个边积分的贡献量(如图5.2.1b), 可以得到例子: 在笛卡儿网格下的中心离散格式. 在笛卡儿坐标, 均匀网格下,上述有限体积公式与有限差分的公式是一致的. 由可以得到(此处记, 同样其他的量也采用类似的记法)两边除以可以得到中心差分格式将5.3.5式应用到图5.2.1a, 方程E5.3.3变为而由5.3.8与5.3.11将推出如下的公式(c)单元-中心化有限体积的迎风格式(利用上游点求下游)对流通量以相关的对流速度传播方向的函数来计算,其中由图5.2.1a可以定义(d)对于迎风-单元顶点的有限体积方法(图5.2.1b), 可以定义例子:E5.3.2 “笛卡儿坐标网格中的迎风格式”考虑二维线性对流方程的离散如图5.2.1a所示, 在单元ABCD应用有限体积的公式:通量定义为, 选择方程5.3.14, AB,CD为竖直边,有对于水平边BC, DA有故其得到的格式为一阶迎风格式的推广, 具有一阶精度5.3.2 梯度的有限体积的计算对于任意一个体积，由高斯定理得此处，S是封闭的边界表面,定义平均化的梯度为以及对于二维控制单元,可以得到如图5.2.1d, 在公式两边应用梯形积分公式, 得到此处对所有的顶点求和,从1到6, 以及. 经过整理可得到对于y同样存在这样的关系计算单元面积: 当U=x时,方程5.3.21左侧为1. 对于任意一个单元的面积可用如下的式子进行计算,对任意一个四边形ABCD, 如图5.3.2, 可以得到以及对于y方向导数有,对于同一单元的封闭面与体有如下关系对于二维单元, 取, 可以推出如下的公式例子: E5.3.3 二维扩散方程考虑二维扩散方程对于扩散的通量分量(k为常数) 在图5.2.1a的网格上进行有限体积的离散,将整个单元ABCD的通量表示如下,在单元的格点A,B上计算导数, 对于单元(i, j),方程5.3.3可写为对于A点, U的导数取整个元1,6,7,8的平均值,由5.3.26得对于B可以得到与A类似的关系通过边AB对通量的贡献为E5.3.14与E5.3.15两式的加和, 并与相乘而得到的,同理通过BC通量的贡献为类似的关系对于C有最后,对于方程E5.3.13有, 可以写为该数值离散对应的是图4.2.3中Laplace算子的离散.更简单的办法为这样就推出了扩散方程的标准有限差分格式(对应图4.2.2)以上可以推广到多维的情况以及流行的结构及非结构网格上去.。
volume of fluid 有限体积法 -回复
volume of fluid 有限体积法-回复什么是体积法？体积法是一种流体力学数值计算方法，用于模拟流体的运动和相变过程。
该方法通过将流体区域离散化为小的控制体单元，并基于质量守恒原理，计算每个控制体单元中流体相对于时间的体积变化来描绘流体的行为。
其中，有限体积法（Volume of Fluid，VOF）是体积法的一种经典方法，可以用于描述多相流体的界面和相变现象。
VOF方法在工程领域中广泛应用于模拟液体与气体、固体或其他物质的相互作用，例如液滴碰撞、水波折射、汽车空气动力学等。
VOF方法的基本原理是将流体区域离散化为小的控制体单元，并通过分析不同控制体单元中流体的体积分数来确定物质的分布情况。
控制体单元中的体积分数被定义为该单元的体积中所含物质的体积占比。
在VOF方法中，流体的体积分数通常用0到1之间的数值表示，其中0表示该单元中不含物质，而1表示该单元中完全充满物质。
在模拟过程中，VOF方法通过计算流体控制体单元中物质的体积变化来追踪物质的流动。
其中，计算体积变化的关键是确定流体在两个相邻控制体单元之间的界面位置，也就是所谓的界面重构。
界面重构的目的是为了准确地确定流体界面的位置，以便精确计算流体在不同区域的分布情况。
界面重构的方法有很多种，常用的方法包括Piecewise Linear Interface Calculation（PLIC）、Height Function Method（HFM）和Volume Tracking Method（VTM）等。
这些方法通过分析流体界面的几何特征和体积分数分布，提供了不同的数值算法来计算界面位置。
一旦流体界面的位置确定，VOF方法就可以应用于计算物质的传输和相变过程。
通过求解质量守恒方程和物质守恒方程，可以得到流体的运动方程和相变规律。
这些方程描述了流体在空间中的运动和相互作用，提供了对流体行为进行数值模拟的基础。
在实际应用中，VOF方法可以通过将流体区域进一步划分为更小的控制体单元，提高计算精度。
计算流体力学讲义CFD2013-第7讲-有限体积法1
守恒变 量重构 原始变 量重构 特征变 量重构
U
U I 1/ 2 min mod(U I 1 U I ,U I U I 1 )
U IR1/2 U I 1 1/ 2 min mod(U I 1 U I ,U I 2 U I 1 ) qIL1/2 qI 1/ 2 min mod(qI 1 q I , qI qI 1 ) qIR1/2 qI 1 1/ 2 min mod(qI 1 q I , qI 2 qI 1 )
Q11 R11 / a11
Qij (Rij dij Qi 1, j eij Qi , j 1 ) / aij
Qmn Rmn / amn
Qij (aij Qij bij Qi 1, j cij Qi , j 1 ) / aij
3
§ 7.1 结构网格有限体积法
有限体积法主要优势： 处理复杂网格 差分法处理复杂外形 —— 坐标变换
U IJ t
残差=净通量=右端项
9
2. 无粘通量的计算
F nds
常用方法 （流过AB边的通量）： a. 利用周围点的值，计算出(I+1/2,J)
点处的物理量； b. 利用该处的物理量，计算出流过 AB边的流通量
方法1： 中心型有限体积法
U I 1/2, J
1 U I , J U I 1, J 2
f 3 f 3 f f z 3 z 3 z z
ˆ J 1 ( f f f ) f 1 x 1 y 2 z 3
ˆ J 1 ( f f f ) f 2 x 1 y 2 z 3 ˆ J 1 ( f f f ) f 3 x 1 y 2 z 3
有限容积法和有限体积法
有限容积法和有限体积法有限容积法和有限体积法是计算流体力学中常用的两种数值方法，它们在流体动力学的数值计算中占有非常重要的地位。
本文将从概念、原理、特点、应用等方面，对这两种方法进行详细介绍。
一、有限容积法1.概念有限容积法（Finite Volume Method，FVM）是一种离散化的数值方法，它将连续的物理量离散化为有限个体积元，在每个体积元内计算其平均值，进而求解整个流体系统的物理量。
FVM方法的核心是质量守恒原理，即物质的进出必须平衡，这种保证了物理量在每个体积元内的守恒关系，从而保证了数值计算的准确性。
2.原理FVM方法的数值计算是基于网格的，它将流体动力学问题离散化为一个由有限体积元组成的系统，将原问题转化为流量守恒方程的求解，即$$\frac{\Delta m}{\Delta t}=\Sigma_{faces}\rho uA$$其中，$\Delta m$是在$\Delta t$时间内通过一个表面的质量变化量，$\rho$是介质的密度，$u$是速度，$A$是面积。
对于每个有限体积元，上式可以写为其中，$F_{ij}^p$和$F_{ij}^n$分别是流向有限体积元内部和外部的通量，$i,j$是有限体积元的编号。
3.特点（1）FVM方法基于质量守恒原理，具有非常强的数值稳定性和保真性；（2）FVM方法的计算结果具有局部守恒性，能够准确反映流场内部的物理现象；（3）FVM方法可以处理非结构化网格，适用范围广泛；（4）FVM方法求解的是面积分，所需的时间和空间存储相对较少。
4.应用（1）流体力学领域，如空气动力学、水力学、燃烧问题等；（2）材料科学领域，如薄膜生长、材料变形等。
有限体积法（Finite Element Method，FEM）是一种离散化的数值方法，它将求解的物理场离散化为有限个单元，然后在每个单元内进行近似计算。
相比于FVM方法，FEM方法更加精确，适用于需要高精度计算的问题。
有限元法,有限差分法和有限体积法的区别
有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
有限元和有限体积
有限元和有限体积有限元和有限体积是工程学中常用的数值分析方法，用于求解各种复杂的物理问题。
这两种方法在实际工程应用中具有重要的意义，并在不同领域得到了广泛的应用。
有限元方法是一种数值计算方法，通过将连续的物理问题离散化为有限数量的单元，然后在每个单元内建立近似解来求解整个问题。
在有限元方法中，通常将物理问题的城域分割为许多小的单元，然后在每个单元内建立适当的插值函数，通过对每个单元的方程进行求解，最终得到整个问题的近似解。
有限元方法适用于各种领域，如结构力学、流体力学、热传导等。
与有限元方法类似，有限体积方法也是一种数值计算方法，但其基本思想是在物理问题的每个离散单元上建立方程，然后通过对每个单元的质量、动量、能量守恒等方程进行求解，最终得到整个问题的解。
有限体积方法适用于对流传输、热传导等问题的求解，特别适用于对流问题的模拟。
在实际工程应用中，有限元和有限体积方法都具有各自的优势和局限性。
有限元方法在处理复杂几何形状和边界条件时具有灵活性，适用于各种非线性、非均匀、非稳态问题的求解。
而有限体积方法在处理守恒形式的方程时具有优势，尤其适用于流体力学和热传导等守恒形式的问题。
有限元和有限体积方法也可以结合使用，形成混合方法，以克服各自的不足。
混合方法将有限元和有限体积方法相结合，利用它们各自的优势来提高数值计算的精度和效率。
混合方法在涉及多物理场耦合或复杂边界条件的问题中具有重要的应用价值。
在工程实践中，工程师们常常根据具体问题的特点和求解要求选择合适的数值分析方法。
有限元和有限体积方法作为常用的数值计算方法，在工程领域发挥着重要作用，为工程问题的求解提供了有效的途径和手段。
总的来说，有限元和有限体积方法是工程学中常用的数值分析方法，它们在不同领域的工程应用中具有重要的地位和作用。
工程师们通过运用这两种方法，可以有效地解决各种复杂的物理问题，推动工程技术的发展和进步。
希望通过不断的研究和实践，有限元和有限体积方法能够不断完善和发展，为工程领域的发展做出更大的贡献。
计算流体力学中的有限体积法
计算流体力学中的有限体积法有限体积法（FVM）是计算流体力学（CFD）中常用的数值方法之一，用于求解流体力学方程。
它将求解域划分为离散的有限体积，通过对这些体积进行积分，将偏微分方程转化为代数方程，从而得到离散的数值解。
有限体积法的基本思想是将求解域划分为互不相交的有限体积单元，每个体积单元都包含一个中心点和一个相对应的体积。
在每个体积单元内，通过对流体力学方程进行积分，可以得到一个代表该体积单元平均值的代数方程。
这些代数方程连成一个线性方程组，通过求解这个方程组可以得到流场的数值解。
在FVM中，主要有三个关键步骤：离散化、积分和求解。
离散化是将待求解的方程在各个体积单元上进行离散，最常用的离散方式是采用控制体积法。
控制体积法通过定义控制体积面和控制体积边界上的通量，将方程离散化为一个线性代数方程组。
通常，在离散化过程中，流体力学方程会按照守恒形式进行处理。
积分是将流体力学方程在体积单元上进行积分，得到一个代表该体积单元平均值的代数方程。
通过这种方式，可以避免对方程进行高阶求导，降低计算的复杂性和误差。
在FVM中，除了对流体力学方程进行积分外，还需要对边界条件、源项和湍流模型等进行积分。
这些积分一般会产生一些额外的项，如壁面摩擦力、源项通量等。
求解是通过求解离散化后的线性代数方程组，得到流场的数值解。
求解方程组的方法有很多种，常见的方法包括迭代法、直接法和代数多重网格法等。
与其他数值方法相比，有限体积法在求解非结构网格上的方程组时具有较大的优势。
有限体积法的应用广泛，可以用于求解各种流动问题，如湍流、多相流、辐射传热等。
它在工程实践中具有很高的实用价值，可以为设计和优化流体系统提供有效的数值工具。
在实际应用中，有限体积法还可以与其他数值方法相结合，如有限元法、差分法等。
这样可以充分利用各种数值方法的优势，提高求解的精度和效率。
总之，有限体积法作为一种数值计算方法，被广泛应用于流体力学领域。
它不仅能够准确求解流体力学方程，还能够为工程实践提供有效的数值计算工具。
计算流体力学中的有限体积法
计算流体力学中的有限体积法
有限体积法（FVM）是一种数值计算方法，用于模拟流体力学问题。
它是通过把流场分成很多个离散化的小体积来描述流体的运动的。
有限体
积法的基本思想是在每一个小体积中应用质量、动量和能量守恒方程，然
后将它们组合成一个离散化的形式，以便于数值计算。
其中，质量守恒方
程描述了流体的连续性，动量守恒方程描述了流体的运动，能量守恒方程
则描述了流体的温度和压力等性质随时间的变化。
有限体积法的计算流程一般包括以下步骤：
1.网格划分：将流场划分成若干个小体积，每个小体积称为一个网格
单元。
2.定义控制体：在每个网格单元内，定义一个控制体。
控制体是一个
虚拟的小体积，它可以是任意形状，但通常为正交体。
3.求解守恒方程：对于每个控制体，应用守恒方程，得到一个自由度
方程组。
4.数值求解：利用数值方法求解自由度方程组，得到解。
5.更新场变量：根据求解得到的解，更新场变量（如速度、压力等）。
6.考虑边界条件：在每个边界上，根据物理条件定义边界条件，用于
修正解。
7.重复以上步骤：对于每个时间步长，重复以上步骤，直到计算结束。
需要注意的是，有限体积法是一种局域方法，只考虑每个网格单元内
部的守恒方程，没有直接考虑两个网格单元之间的相互作用。
因此，在计
算边界处或流场中存在复杂流动结构的区域时，需要采用一些特殊的技术（如插值方法、外推方法等）来处理。
计算流体力学中的有限体积法 pdf
计算流体力学中的有限体积法 pdf 有限体积法（Finite Volume Method）是计算流体力学中一种常用的数值求解方法，它通过将流域划分为离散的有限体积单元来近似描述流体的宏观守恒方程。
这一方法在许多领域中得到广泛应用，如流体动力学、热传导、质量传递等。
有限体积法通过将流域划分为有限体积单元，将守恒方程应用于每个单元，并通过积分得到方程在单元内的平均值。
在有限体积单元内，流体的宏观守恒方程可以表示为一个线性代数方程组。
通过对方程组进行离散化，可以得到数值解，进一步用于模拟和预测流体力学现象的特性。
在有限体积法中，流域被划分为网格，通常是结构化或非结构化网格。
结构化网格以规则的矩形或立方体单元组织，而非结构化网格则根据流体流动的特性灵活调整单元的形状和大小。
无论是结构化还是非结构化网格，有限体积法都能够准确地处理流体流动的各种边界条件。
有限体积法的优势之一是它保持了宏观物理量的守恒性质。
例如，在处理流体流动时，有限体积法能够准确地保持质量、能量和动量的守恒。
这使得有限体积法在工程领域的应用十分重要。
例如，在空气动力学中，有限体积法可以精确地模拟飞机周围的空气流动，从而帮助设计师优化飞行器的性能。
为了得到准确的数值解，有限体积法需要进行离散化和数值逼近。
通常使用线性或高阶的插值方法对守恒方程进行离散化。
此外，为了解决方程组中的非线性项，可以采用迭代方法，如简单迭代或牛顿迭代。
有限体积法在多相流、湍流流动和传热等领域有着广泛的应用。
例如，在化工工艺中，有限体积法可以模拟复杂的多相流动，从而帮助工程师优化生产过程。
同时，有限体积法还可以用于研究液体和气体的传热特性，如对流、传导和辐射的影响。
总之，有限体积法是计算流体力学中一种重要的数值求解方法，通过将流域划分为离散的有限体积单元，通过离散化和数值逼近得到数值解，以模拟和预测流体力学现象的特性。
它具有保持宏观守恒性质的优势，适用于各个领域的流体流动问题。
高精度有限体积格式
r s 1 k，r 0，s 0
r s 1 k，r 0，s 0 – 在模板中的所有单元上，要求
1 x j
• 模板中单元数量>待定参数个数（适用于最小二乘重构）
x
j
x
1 2
j
1 2
p( )d v j，j i r,..., i s
之间
ˆ n 1 n1 f (u f j 1/2 j 1/2 (t )) dt t n t
有限体积方法中将在这两个过程中引入各种近似，从而把积分型方程化为代 数方程。下面分别讨论这两个过程。
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有限体积方法2：半离散形式
u dx f 2 f1 0 x1 t 把 式应用于第j个控制体，有 f1 f (u( x1 )), f 2 f (u( x2 ))
pi ( x) v( x) O(xk )，x Ii，i 1,2,..., N
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• 问题解法（ I i单元的重构）
– 指定重构精度要求和多项式具体形式
i i pi ( x) a0 a1 x i k 1 ak x 1
k个待定参数
– 给定重构的模板：
S (i ) {Ii r ,..., Ii s }
m 0 j 0
(x
l 0 l m
xi r l 1/2 )
11
• 在实际实施过程中，感兴趣的是控制体界 L R p ( x ) v , v 面处的左右状态。我们利用 i 计算 i1/2 i1/2 • Shu给出了具体公式如下：
v
L i 1/2
cr , j vi r j , v
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[文章编号] 10012246X(2004)0220131206[收稿日期]2003-01-27;[修回日期]2003-08-15[基金项目]国家自然科学基金(10272106)资助项目
[作者简介]高智(1937-),男,山西祁县,研究员,从事流体和计算流体力学方面的研究.
摄动有限体积法重构近似高精度的意义高 智, 向 华, 申义庆(中国科学院力学研究所,北京 100080)
[摘 要] 研讨有限体积(FV)方法重构近似高精度的作用问题.FV方法中积分近似采用中点规则为二阶精度时,重构近似高精度(精度高于二阶)的意义和作用是一个有争议的问题.利用数值摄动技术[1,2]构造了标量输运方程的积分近似为二阶精度、重构近似为任意阶精度的迎风型和中心型摄动有限体积(PFV)格式.迎风PFV格式无条件满足对流有界准则(CBC),中心型PFV格式为正型格式,两者均不会产生数值振荡解.利用PFV格式求解模型方程的数值结果表明:与一阶迎风和二阶中心格式相比,PFV格式精度高、对解的间断分辨率高、稳定性好、雷诺数的适用范围大,数值地“证实”重构近似高精度和PFV格式的实际意义和好处.
[关键词] 计算流体力学;有限体积方法;摄动有限体积方法[中图分类号] O35[文献标识码] A
0 引言在计算流体力学(CFD)、数值传热学(NHT)中,有限体积(FV)方法是最主要的实用方法,它在CFDΠNHT
软件中得到了普遍的应用.但一般认为它的精度不如有限差分方法和有限元方法的精度高.这是因为FV方法是二级近似:积分近似和插值(或称重构)近似.积分近似常取中点规则,具有二阶精度,精度高于二阶的积分近似需要过多的基点,因此很难使用.精度高于二阶的重构近似需要同时使用相邻和较远的控制单元,对非结构网格(特别是三维情况)重构近似为高精度的格式既复杂又难构造.何况当积分近似为二阶精度时,重构近似的精度再高、FV格式的整体精度仍为二阶.因此重构近似高精度的FV格式并不多见.摄动有限体积(PFV)方法
[1,2]的提出,使我们有可能构造节点数与一阶迎风和二阶中心有限体积格式一致,即积分近似精
度为二阶但重构近似为任意阶精度的PFV格式.由于PFV格式的整体精度理论上仍为二阶,此外还应当强调,在FV方法中积分方程对任一小体积单元列出,因此使用更多基点明显偏离积分方程的数学规定,物理含义也不清楚.看来构造的高精度FV格式应以维持三基点为前提.摄动有限体积格式[1,2]在维持三基点不动的前提下,把重构近似的精度提高到了任意阶,但由于PFV格式中积分近似使用了中点规则,PFV格式的整体精度理论上仍为二阶.因此首先需要弄清楚重构近似高精度和PFV格式的实际效果和好处.本文构造了标量输运方程的PFV格式,通过一维和二维标量输运问题的典型算例,分析并数值地证实了重构近似高精度和PFV格式的好处和意义.
1 高精度摄动有限体积(PFV)格式考虑标量输运方程∫sρu<・nds=∫sΓΔ<・nds+∫vSdv,(1)
从方程(1)的一阶迎风有限体积格式
∑j[(ΓΔ<・s)jf-min(mjf,0))
出发,对界面通量数值m
jf作摄动处理,即把mjf展开成相邻控制体中心连线距离|dj|的幂级数,参见图1,
再
利用空间分裂技术,并利用方程本身推导出幂级数的系数;对相邻控制体中心连线近似垂直于界面的情况,获
第21卷第2期2004年3月
计 算 物 理
CHINESEJOURNALOFCOMPUTATIONALPHYSICS Vol.21,No.2Mar.,2004
得积分近似为二阶精度而重构近似为任意阶精度的迎风型和中心型摄动有限体积(PFV)格式,它们分别为∑j
1
∑N
n=01
(n+1)!
(αRjf)n
Γd
j・Sj
|dj|2-
1-α2mjf∑Nn=0(-1)n
(n+1)!
Rnjf(
和∑j=1
1
∑M
n=01
(2n+1)!
R2n
jf
Γd
j・Sj
|dj|2-
12mjf∑2M+1n=0(-1)n
(n+1)!
Rnjf(
图1 Delaunay三角剖分网格Fig.1 Two2dimensionalgridsbyDelaunaytrianglationmethod
其中α=signm
jf,Rjf=mjf|dj|ΠΓSj,VP是控制单元的体积.
2 摄动有限体积(PFV)格式的性质由PFV格式的推导过程可知,PFV格式修正微分方程的截断误差首项对迎风PFV格式(3)为O(R
N+1
jf)阶,对中心PFV格式(4)为
O(R2M+2jf)阶;因此迎风PFV格式(3)的重构近似精度为(N+1)阶,中心PFV格式(4)的重构近似精度为(2M+2)阶.在迎风PFV格式(3)中令求
和上限N=0,格式(3)简化为一阶迎风有限体积(UFV)格式.与一阶UFV格式一样,所有高阶迎风PFV格式无条件满足对流有界准则[3],均不会产生数值振荡解.在中心型PFV格式(4)中令求和上限M=0,并略去含R
jf的项,格式(4)简化为二阶中心有限体积(CFV)格式,当网格雷
诺数约大于2时,二阶CFV格式产生数值振荡解.当M≥1时,格式(4)为正型PFV格式,事实上,由于Γdj・Sj|dj|2-12mjf∑2M+1n=0(-1)n(n+1)!Rnjf=Γdj・Sj2|dj|22-Rjf∑2M+1n=0(-1)n(n+1)!Rnjf=M→∞Γd
j・Sj
2|dj|2(1+e-Rjf),(5)
在(5)式中对e-Rjf的偶数阶展开和对R
jf的任意值,均有(1+e-Rjf)≥1,所以中心型PFV格式(4)的二阶、四
阶、六阶…,偶数阶均为正型格式,一维情况下即为TVD格式.在时间前进积分中,正型格式不会产生振荡解[4].此外应指出,相邻体积元基点P和jP(j=1,2,3)到相邻界面不等距离的PFV格式与等距离之PFV格
式完全一致,这是高精度PFV格式的一个突出优点.PFV方法中相邻基点到相邻界面往往为不等距情况,而不等距时高精度格式往往比等距高精度格式复杂许多,例如不等距摄动有限差分(PFD)格式比等距PFD格式的数值精度高,但格式要复杂许多[5,6].
3 数值算例311 无源项一维对流扩散问题方程(1)中令S=0,用PFV格式(4)的定常及时间相关法作了计算.计算条件为ρu=1010kg・m-2・s
-1
,
Γ=011kg・m
-1s-1,ReL=100,<(0)=
.计
算结果参见图2.
从图2可以看出,在网格雷诺数Rδ=3时,普通的二阶CFV格式给出振荡解,而二阶和四阶中心型PFV
格式在Rδ大时仍能给出很好的结果.在网格雷诺数Rδ=2时,二阶PFV的计算结果也比二阶CFV格式好,
四阶和六阶PFV格式的结果几乎与精确解相同,格式精度越高效果越好,且随精度的提高,适用的雷诺数范围越大.
图3给出了网格雷诺数Rδ=5和10时,二阶、四阶、六阶和八阶中心型PFV格式的计算结果,格式精度越高,计算结果与精确解符合越好.
迎风型二阶PFV格式的效果明显优于中心型二阶PFV格式和普通一阶UFV格式,高于二阶的迎风型PFV格式效果有进一步提高,参见图4.其计算条件分别为ρu=215和1010kg・m-2・s-1两种情况,相应的雷
诺数ReL=25和100,第1和第2种情况分别取了5和10个计算点,网格雷诺数Rδ分别为5和10.
231计 算 物 理第21卷
图2 一维对流扩散方程CFV和中心型PFV格式数值结果的比较Fig.2 NumericalsolutionsofvariouscentralPFVschemesandsecond2orderCFVschemeforone2dimensionalconvective2diffusionequation
图3 在相同网格雷诺数下提高PFV格式重构近似精度的结果Fig.3 NumericalsolutionsofcentralPFVschemeswithdifferentaccurateorderforgridReynoldsnumbersR
δ
=5and10
图4 二阶迎风PFV格式与二阶中心PFV格式及一阶迎风(UFV)格式结果之比较Fig.4 Numericalsolutionsofsecond2orderupwindandcentralPFVschemesandfirst2orderupwindUFVscheme
331
第2期高智等:摄动有限体积法重构近似高精度的意义