【人教版】2016中考备战策略·数学第16讲 线段、角、相交线与平行线

A．如图①，展开后，测得∠ 1＝∠2 B．如图②，展开后，测得∠1＝∠2，且∠3＝∠4 C．如图③，测得∠ 1＝∠ 2 D．如图④，展开后，再沿 CD 折叠，两条折痕的 交点为 O，测得 OA＝ OB， OC＝ OD
【解析】 A 中，根据内错角相等，两直线平行即 可判定； B 中，求出四个角均为直角，根据平行线的 判定定理即可判断出 a， b 互相平行； C 中，由∠ 1＝ ∠ 2 不一定能判定 a∥ b；D 中，利用两个三角形全等， 对应角相等， 即可判断出两内错角相等， 进而判断出 a， b 互相平行．故选 C. 答案： C
方法总结： 解答平行线的性质与判定的题目，主要是利用平 行线的性质与判定实现几个之间的转化，求出相关 角的度数 .
1．下列图形中，∠ 1 与∠ 2 互为对顶角的是(
)
答案： C
2．如图，下列说法中不正确的是(
)
A．因为 AB∥ CD，所以∠ 1＝∠ 3 B．因为∠2＝∠4，所以 AE∥ CF C．因为 AE∥ CF，所以∠ 2＝∠4 D．因为∠ 1＝∠ 3，∠ 2＝∠4，所以 AB∥ CD 答案： A
1．平行公理 经 过直线外 一点有且 只有一条 直线与已 知直线 平行． 2．平行线的性质 (1)如果两条直线平行，那么同位角相等； (2)如果两条直线平行，那么内错角相等； (3)如果两条直线平行，那么同旁内角互补．
3．平行线的判定 (1)定义：在同一平面内不相交的两条直线，叫做 平行线； (2)同位角相等，两直线平行； (3)内错角相等，两直线平行； (4)同旁内角互补，两直线平行．
A． 15° 答案： A
B． 30°
C． 45°
D． 60°
7．(2015· 毕节 )如图，直线 a∥ b， 直角三角形 ABC 的顶点 B 在直线 a 上，∠ C＝ 90° ，∠ β＝ 55° ，则∠ α 的度数为 ( )
A． 15°
B．25°
C． 35°
D． 55°
【 解析】 如图 ，过点 C 作 CE∥ a ， ∵ a∥ b， ∴ CE∥ b.∴∠ 1＝∠ β，∠ 2＝∠ α，∴∠ C＝∠ α＋∠ β.
【解析】∵∠ ECA＝ α° ，∴ ∠ ECB＝ 180° － ∠ ECA＝ 1 180°－ α° .∵ CD 平 分 ∠ ECB ， ∴∠ DCB ＝ ∠ ECB ＝ 2 α ° 1 × (180° － α° )＝ 90－ 2 .∵ FG∥ CD，∴∠ GFB＝ ∠ DCB 2 α ° ＝ 90－ 2 . α 答案： 90－ 2
B． 45°
C． 55°
D． 70°
3． (2015· 宿迁 )如图，直线 a， b 被直线 c 所截， ∠ 1 与∠2 是 ( )
A．同位角 C．同旁内角 答案： A
B．内错角 D．邻补角
4． (2015· 金华 )以下四种沿 AB 折叠的方法中，不 一定能判定纸带两条边线 a， b 互相平行的是 ( )
3．如图，已知∠ AOB与∠ BOD互为余角， OC是 ∠ BOD的平分线，∠ AOB＝ 29.66° ，∠ COD的度数是 ( )
A． 30° 17′ C． 30° 10′ 12″ 答案： C
B． 30.67° D． 30° 10′
4．如图，下列说法正确的个数是 ( ②线段 AB， AC， AD 中，线段 AC 最短，因为两点之间线段最短； ③线段 AB， AC， AD 中，线段 AC 最短，根据是垂线段最短；
考点三
相交线
1．对顶角的性质 对顶角相等 ． 2．垂线 (1)平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直． (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短 (简记为：垂线段最短)．
(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂 线段的长度叫做点到直线的距离．
考点四
平行线的性质和判定
射 线
1
1
两个大写 字母 两个大写 字母或一 个小写字 母
线 段
2
0
考点二
角、余角、补角
1．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；如 果一个角的两边成一条直线，那么这个角叫做平角； 平角的一半叫做直角；大于直角小于平角的角叫做钝 角；大于 0° 小于直角的角叫做锐角． 2． 1 周角＝ 360 度， 1 平角＝ 180 度，1 直角＝ 90 度， 1° ＝ 60 分，1 分＝ 60 秒．
9．如图，直线 l∥ m∥ n，等边△ ABC 的顶点 B， C 分别在直线 n 和 m 上，边 BC 与直线 n 所夹锐角为 25° ，则∠ α 的度数为 ( )
A． 25°
B． 45°
C． 35°
D． 30°
【解析】如图，∵ l∥ m，∴∠α＝ ∠ ACD.∵ m∥ n， 边 BC 与直线 n 所夹锐角为 25° ， ∴∠ BCD＝ ∠ CBE＝ 25° .∵△ ABC 是等边三角形， ∴∠ ACB＝ 60° .∴∠ ACD ＝ ∠ ACB－ ∠ BCD＝ 60° － 25° ＝ 35° .故选 C.
A． 4 答案： D
B． 6
C． 8
D． 10
6.如图， 在△ ABC 中，∠ C＝ 90° ，AC＝ 3，BC＝ 4， 点 P 是边 BC 上的动点，则 AP 的长不可能是 ( )
A． 2.5 答案： A
B． 3
C． 4
D． 5
7．如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直 尺的一边上，若∠ 1＝ 32° ，则∠ 2＝ 58度．
11．如图，直线 l1∥ l2，∠ A＝ 125° ，∠ B＝ 85° ， 则∠ 1＋∠ 2＝ ( )
A． 30°
B． 35°
C． 36°
D． 40°
【解析】 如图， 作 AC∥ BD∥ l1，∵ l1∥ l2，∴ AC∥ BD∥ l1∥ l2.∴∠1＝ ∠ CAE， ∠2＝ ∠ DBF， ∠ CAB＋ ∠ DBA＝ 180° .∵∠ CAE＋ ∠ CAB＋ ∠ DBA＋ ∠ DBF＝ 125° ＋ 85° ＝ 210° ， ∴∠ 1＋ ∠2＝ 210° － 180° ＝ 30° .故 选 A.
【点拨】根据两点之间线段最短，可得 C， B两 点之间的最短距离是线段 CB的长度，所以想尽快赶 到书店，最近的一条路线是 A→ C→ F→ B.故选 B. 【答案】 B
考点二 余角、补角的定义 例 角的是 ( 2 (2015· 崇左 )下列各图中，∠ 1与∠ 2互为余 )
【点拨】 A 中， ∠1 的对顶角与 ∠2 是同位角关系， 只能说明 ∠1＝ ∠2； B 中， ∠1 和 ∠ 2 是对顶角， ∠1 ＝ ∠2；C 中，∠1＋ ∠2＝ 90° ，∠1 与 ∠ 2 互余；D 中， ∠ 1＋ ∠2＝ 180° ， ∠1 与 ∠ 2 互补．综上所述，选 C. 【答案】 C
考点三 平行线的性质与判定 例 3 2015· 河南)如图，直线 a， b 被直线 c， d 所 ) 截，若∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝ 125° ，则∠ 4 的度数为 (
A． 55°
B．60°
C． 70°
D． 75°
【点拨】∵∠ 1＝ ∠2，∴a∥ b.∵∠5＝ ∠ 3＝ 125° ， ∴∠4＝ 180° － ∠5＝ 180° － 125° ＝ 55° .故选 A. 【答案】 A
温馨提示： 除上述平行线的判定方法外，还有“在同一平面 内垂直于同一条直线的两条直线平行”及“平行于同 一条直线的两条直线平行”的判定方法 .
考点一 线段的性质 例 1(2015· 新疆 )如图，某同学的家在 A处，书店 ) 在 B处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店， 请你帮助他选择一条最近的路线 ( A． A→ C→ D→ B B． A→ C→ F→ B C． A→ C→ E→ F→ B D． A→ C→ M→ B
(2)线段中点的几何表示： 1 AB＝ BC＝ AC； AC＝ 2AB＝ 2BC. 2
4．线段的性质 (1)两点的所有连线中，线段最短． (2)过两点有且只有一条直线．
5．直线、射线、线段的区别与联系 端 类别 项目 点 个 数 可延伸 方向个 数 两个大写 直 线 0 2 字母或一 个小写字 母 表 示 图形示 例
【解析】 ∵∠1＝ 130° ， ∴∠ CEF＝ 180° － ∠1＝ 180° － 130° ＝ 50° . ∵ AB∥ CD，∴∠ 2＝∠ CEF＝ 50° .
15． (2015· 杭州 )如图，点 A， C， F， B 在同一条 直线上，CD 平分∠ ECB，FG∥ CD.若∠ ECA 为 α 度， 则∠ GFB 为 度(用含 α 的代数式表示)．
考点训练
一、选择题 (每小题 3 分，共 33 分 ) 1． (2015· 柳州 )如图，∠ α 的度数等于 ( )
A． 135° C． 115° 答案： A
B． 125° D． 105°
2． (2015· 济南 )如图， OA⊥ OB，若∠ 1＝ 35° ，则 ∠ 2 的度数是( )
A． 35° 答案： C
3．余角、补角及其性质 (1)互余：如果两个角的和等于 90°( 直 角)， 那么 这两个角互为余角； (2)互补：如果两个角的和等于 180° ( 平 角 )，那 么这两个角互为补角； (3)性质：同角 ( 等 角 )的余角相等；同角( 等 角) 的补角相等．
温馨提示： 1. 互为补角、互为余角是相对两个角而言，它们 都是由数量关系来定义的，与位置无关 . 2. 一副三角尺，各个角的度数分别为 90° ， 60° ， 45° ， 30° ，将各个角相加或相减，画出的角的度数都 是 15° 的倍数.
)
①过点 A 有且只有一条直线 AC 垂直于直线 l；
④线段 AC 的长是点 A 到直线 l 的距离． A． 1 个 答案： C B ． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
5．如图，AB＝ 12，C 为 AB 的中点，点 D 在线段 AC 上，且 AD∶ CB＝ 1∶ 3，则 DB 的长度为( )